Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok"

Átírás

1

2 Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való oszthatóságra Megoldás A kettővel való oszthatósági kritériumot köyű észrevei: egy szám akkor osztható -vel, ha utolsó számjegye 0,, 4, 6 vagy 8 (vagyis egy szám potosa akkor páros, ha utolsó számjegye is páros) Bizoyítás Legye egy természetes szám és a az utolsó számjegye Ekkor felírható 0 + a alakba, ahol (tulajdoképpe a ) Ie következik, hogy a 0 5, tehát a osztható kettővel Ez pedig azt jeleti, hogy az és a számok paritása (páros vagy páratla volta) megegyezik, vagyis potosa akkor páros, ha a is páros (0,, 4, 6 vagy 8), és ha a páratla, akkor is páratla Hasolóa igazolható a következő kijeletés helyessége is (öttel való oszthatósági szabály): egy szám potosa akkor osztható öttel, ha utolsó számjegye 0 vagy 5 A hárommal való oszthatósági szabály a következő: egy szám akkor és csak akkor osztható -mal, ha számjegyeiek összege is osztható -mal Bizoyítás Ha aa am (a, a,, am számjegyek), S a számjegyek összege, akkor a szám és számjegyeiek külöbsége S aa a ( a + a + a ) m m m m m a 0 + a a 0 + a ( a + a + + a m ) m m m k k m k k m k m k ( 0 ) a k 999 ak a k, tehát az és S külöbsége osztható hárommal Ie következik, hogy az csakis akkor osztható -mal, ha számjegyei összege is osztható -mal A bizoyításból jól látszik a kileccel való oszthatósági szabály is (sőt, a két kritérium bizoyítása teljese azoos): egy természetes szám akkor és csak akkor osztható 9-cel, ha számjegyei összege osztható kileccel Héttel való oszthatósági kritérium: az a a am természetes szám akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha az f ( ) aa am am szám osztható héttel (például f (0) 0 4, tehát 0 osztható 7 -tel) Bizoyítás Tegyük fel, hogy osztható héttel, ekkor 7,k k De 0 aa am + am 0 ( aa am am) + am 0 f( ) + a m, ie m

3 6 Valós számok pedig következik, hogy 0 f ( ) + am 7k 0 f( ) 7( k am), tehát 0 f ( ) osztható héttel Mivel 0 és 7 relatív prímek, kapjuk, hogy f ( ) osztható héttel Ha f ( ) 7, ll N, akkor 0 f ( ) + am 0 7l + am 7 (0l + a m ), így is osztható héttel Tizeeggyel való oszthatóság: egy szám csak akkor osztható -gyel, ha a számjegyeiből alkotott alteráló összeg osztható -gyel (például a 8079 számjegyeiből alkotott alteráló összeg , tehát 8079 osztható -gyel) A bizoyítás hasolít a -mal, illetve 9-cel való oszthatóság igazolásához Ha aa am, akkor a számjegyeiből alkotott alteráló összeg S a m am + am + ( ) m a, így S aa a ( a a + + ( ) a ) m m m m m m m m m am am am am a a 0 + a a 0 + a ( + + ( ) ) m (0 + ) a + (0 ) a + (0 + ) a + + (0 + ( ) ) m m m m m m k k ( ) k k 0 ( ) a m k ( ) ( ) am k k k m m ( ) k k M + ( ) a m k M am k k k ( ), ahol M a valamely többszörösét jeleti Tehát S midig osztható -gyel, így akkor és csak akkor osztható -gyel, ha S osztható -gyel Bizoyítsd be, hogy ha páratla természetes szám, akkor osztható 64-gyel Bizoyítás Mivel egy páratla természetes szám, létezik egyetle olya k szám, amelyre k + Tehát A ( + 7) ( 4k + 4k + + 7) [4 kk+ ( ) + 8 ] Tudjuk, hogy két egymás utái szám szorzata midig páros (az egyikük biztosa páros), így k( k + ) m,m N Ezt felhaszálva írhatjuk, hogy A (8 m + 8) [ 8( m + ) ] 64( m + ), tehát A többszöröse 64-ek Bizoyítsd be, hogy ha b a, c a és ( bc, ), akkor bc a Bizoyítás A b a és c a oszthatóságokból következik, hogy létezek a k, l természetes számok, amelyekre a k b és a l c Ie k b l c, tehát kb a

4 Valós számok 7 osztható c -vel, de mivel ( bc, ), k osztható c -vel Tehát létezik olya m, amelyre k m c Ezt visszahelyettesítve az a k b összefüggésbe, kapjuk, hogy a m b c, vagyis a osztható b c-vel 4 Bizoyítsd be, hogy öt egymás utái természetes szám szorzata osztható 0-szal Általáosítás! Bizoyítás , tehát elégséges igazoli, hogy öt egymás utái természetes szám szorzata osztható -el, -mal és 5 -tel Az öt szám közül legalább kettő páros, ezek egymás utái páros számok, tehát az egyik osztható 4 -gyel és a másik -vel, így a szorzatuk osztható 8 -cal Három egymás utái természetes szám közül az egyik osztható -mal, tehát az öt közt is va -mal osztható Öt egymás utái természetes szám közül az egyik osztható 5 -tel, tehát a szorzat osztható 5 0-szal Ez a godolatmeet eheze terjeszthető ki több számra, ezért az általáos esetre más megoldást kell találuk A tulajdoság általáosabba a következőképpe fogalmazható meg: k k darab egymás utái természetes szám szorzata osztható k!-sal, ahol! k ( + k)! A tulajdoság ekvivales azzal, hogy az kifejezés egész szám mide! k! * k, eseté és ezt úgy fogjuk beláti, hogy tetszőleges p prímszámra igazoljuk, hogy a számlálóba legalább akkora a kitevője, mit a evezőbe Ehhez szükséges megvizsgáli, hogy a p -ek mi a kitevője m! prímtéyezős felbotásába (m m tetszőleges) Az,,,, m számok közt p -ek többszöröse va, ezek közül p m m p p m r osztható -tel, osztható p -el és általába osztható p -el, ha r p p r Így a p kitevője az m! prímtéyezős felbotásába m m m m p p r p r p Ezt a tulajdoságot Legedre-féle tételek is evezik Másrészt az [ x] + [ y] [ x + y], k xy, egyelőtleség alapjá + k + + k r p r r r r p, vagyis ( )! r p felbotásába a p kitevője legalább akkora, mit az! k! felbotásába Mivel ez a tulajdoság mide prímszámra igaz, az ( + k)! kifejezés egész szám mide! k! * k, eseté, és így az ( + )( + )( +k) szorzat osztható k - val

5 8 Valós számok 5 Háy ullára végződik az 4 00 szorzat? Megoldás A vizsgált szorzat prímtéyezős felbotásába agyobb -ek a kitevője, mit 5 -ek, ezért elégséges az 5 kitevőjét meghatározi Az,,,,00 00 számok közül 400 osztható 5 -tel Ezek közül osztható 5 -tel, osztható 5 -tel, 00 osztható 65 -tel, és így az 5 kitevője (6 ) + (80 6) + (400 80) 499 Tehát az 4 00 szorzat 499 ullába végződik 6 Határozd meg a kitevőjét az 4 00 szorzatba Megoldás Az előbbi godolatmeet vagy a Legedre-tétel alapjá a kitevője az szorzatba r r 9 7 Bizoyítsd be, hogy a + 99 szám osztható 0-zel Bizoyítás (( ) ) 9 0 ( 60 )( 0 ) ( )( )( + ) ( )( + ) ( )( + ), 9 99 tehát + osztható tízzel 8 Bizoyítsd be, hogy ha a, b és c egész számok és ( a + b + c) 6, akkor 5 a + b + c is osztható 6-tal Bizoyítás Elégséges igazoli, hogy 5 ( a b c) ( a b c) De b b b( b )( b + ) 6, mert három egymás utái természetes szám közt biztosa va páros is és hárommal osztható is Hasolóa 5 a a a( a )( a + ) a( a )( a + )( a + ) 6, tehát ( a 5 b c) ( a b c) ( a 5 a) ( b b) Bizoyítsd be, hogy ( + + ) 4, Bizoyítás Két esetet külöböztetük meg paritása szerit Ha k +, k, akkor k+ + + (4 ) + 4k + + v 4 + 4k ( v + k + ) 4, ahol v Ha, k k, akkor v k + 4 ( v + k + ) 4, k (4 ) 4k

6 Valós számok 9 aholv egy természetes szám 0 Milye számredszerbe érvéyes a következő szorzás ? Megoldás Ha x a számredszer alapja, akkor a 4 (x + 5) x + x + 4 x + x + 7x + 4 ( ) 4 egyelethez jutuk Ez x 6x 5x 6x 6 0 alakba írható, és az egyetle 7 -él agyobb természetes szám gyöke az x 8, tehát a szorzás a 8 -as számredszerbe érvéyes Vizsgáld meg, hogy az alábbi egyeletekek va-e megoldása a természetes számok halmazába: a) xy ( x + y) 00; b) x + y x y 00; c) x y 4; x y d) x y 7; e) 5 + z (x 0 ); f) x + y x + y Bizoyítás a) Ha az xy, számok közül valamelyik páros, akkor az xy (x + y) szorzat is páros, tehát xy(x + y) em lehet páratla Ha x és y páratlaok, akkor x + y páros, így xy( x + y) ebbe az esetbe sem lehet páratla Mivel más eset ics, következik, hogy xy(x + y) midig páros, tehát az xy( x + y) 00 egyeletek ics megoldása -be b) Az x + y x y 00 egyelet még x( x ) + yy ( ) 00 alakba is írható Mivel két egymás utái szám szorzata midig páros és két páros szám összege is páros, következik, hogy az egyelet bal oldala csak páros értékeket vehet fel, tehát sosem lehet 00 c) Tegyük fel, hogy a x y 4 egyeletek va természetes megoldása Ekkor létezik x0, y0 N úgy, hogy x0 y0 4 4 ( x0 7y0), s mivel ( x0 7y0), ez azt jeleteé, hogy 4 osztható hárommal, így yilvávalóa elletmodáshoz jutottuk Következik, hogy feltételezésük hamis volt, tehát az egyeletek ics természetes megoldása d) Az egyelet egy megoldása x 5 és y e) A bal oldal utolsó számjegye 6, tehát z 4 A jobb oldal osztható 4 -gyel és a bal oldal 4 -gyel való osztási maradéka + ( ) y, tehát y páratla A jobb oldal -mal x is osztható, míg a bal oldal -mal való osztási maradéka ( ), tehát x páros Ezek alapjá létezik olya x, y,z, amelyekre x x, y y + és z 4z Az eredeti egyelet tehát ( ) ( ) ( )( y x + z x 5 z x z z x alakba írható x z 5 és + 5 relatív prímek és prímszám, tehát az z x z x y + előbbi egyelőség csak akkor lehetséges, ha 5 és + 5 )

7 0 Valós számok z (( ) ) z Másrészt 4 és 5 x 4, tehát a vizsgált egyeletek ics megoldása a természetes számok halmazába f) x + y x + y x x + + y y + ( x ) + ( y ), ami lehetetle, mert két pozitív szám összege em lehet egatív Határozd meg a hiáyzó számjegyeket úgy, hogy a) 6 5xy; b) 45 4x68y; c) 99 6xy xy Megoldás a) 6 5xy Az első oszthatóság alapjá y értéke 0, 4 9 5x y vagy 8 lehet Ha y 0, a második oszthatóság alapjá 9 (9 + x), s mivel x számjegy, következik, hogy x 0 Ha y 4, akkor 9 ( + x), tehát x 5 Ha y 8, akkor 9 (7 + x), tehát x 5 4x68 y y {0, 5} b) 45 4x68y Ha y 0, akkor 9 (0 + x), 9 4x68y 9 (0 + x + y) tehát x 7 Ha y 5, akkor 9 (5 + x), tehát x 9 6xy47 9 ( + x + y) c) 99 6xy47, ahol xy, számjegyek Ebből 6xy47 ( + x y) ( x + y) {6,5} következik, hogy Az így kapott égy egyeletredszer közül csak ( x y) {,9} x + y 6 egyek va megfelelő megoldása, az redszerek, ie pedig x x y y Lehet-e egyszerre egész az és az, ha? Megoldás Tételezzük fel, hogy létezik olya, amelyre és egészek 5 Ekkor ( + ) 5, ( + 8), ie pedig + és + 8 oszthatóak hárommal Következik, hogy külöbségük is osztható -mal, tehát ( + 8 ) ( + ) 7, ami egy hamis állítás Következik, hogy em létezik olya, amelyre midkét tört értéke egész legye 4 Bizoyítsd be, hogy ha a természetes számokat írjuk a tizedes vessző utá övekvő sorredbe, a kapott szám em lesz racioális

8 Valós számok Megoldás A kapott szám em véges, mert végtele sok természetes szám létezik és em lehet periodikus sem, mert tetszőleges eseté végtele sok olya természetes szám létezik, amelyek több mit darab egymás utái számjegye 0 Így ha a periódus hossza vola, akkor ezeket a számokat a periodikus rész em tartalmazhatá és ez em lehetséges (mert végtele sok va belőlük) 5 Határozd meg azokat az a, b, c és d számjegyeket, amelyekre abcd + bcd + cd + d 9844 Megoldás abcd + bcd + cd + d a + 00 b + 0 c + 4 d ( a 9) + 00 (b 8) + 0 (c 4) + (4d 4) 0 Az összeg első három tagja többszöröse 0-ek, ie következik, hogy (4 d 4) is osztható kell legye tízzel, tehát d {, 6} Ha d -et helyettesítük vissza, következik, hogy 000 ( a 9) + 00 (b 8) + 0 (c 4) 0, ie pedig 00( a 9) + 0( b 4) + (c 4) 0 Az összeg első két tagja többszöröse 0-ak, következik, hogy ( c 4) 0, tehát c 8 és 00( a 9) + 0( b 4) azaz 5 a + b 48, ami csak úgy lehetséges, ha a 9 és b Ha d 6 -ot helyettesítük vissza, következik, hogy 000 ( a 9) + 00 (b 8) + 0 (c 4) + 0 0, ie pedig 00 ( a 9) + 0( b 4) + (c ) 0 Az összeg első két tagja többszöröse 0-ak, következik, hogy ( c ) 0, ami egyetle c számjegy eseté sem teljesül Tehát az egyetle szám, amely kielégíti az egyeletet, az a bcd 98 6 Vizsgáld meg, mi lehet az osztási maradéka egy teljes égyzetek 4-gyel, -mal, 5-tel, 7- tel Megoldás Ha x, k k, akkor x 4 k, tehát x 4 Ha x k +, k, akkor x 4( k + k ) + Tehát egy teljes égyzetek éggyel való osztási maradéka 0 vagy lehet Hasolóa, ha x k ±, akkor x (k ± k) +, ha pedig x k, akkor x, tehát egy teljes égyzet -al való osztáskor 0 vagy maradékot adhat Ha x 5k ±, akkor x 5(5k ± k) +, ha x 5k ±, akkor x 4 5(5k ± 4 k ) +4, ha pedig x 5k, akkor x 5 A lehetséges maradékok:0,,

9 Valós számok Hasolóa kapjuk, hogy egy teljes égyzet héttel való osztási maradéka 0,,, 4 lehet Megjegyzés A levezetések alapjá jól látszik, hogy a teljes égyzetek -el való + osztási maradékait megkapjuk, ha meghatározzuk az -él kisebb természetes számok égyzeteiek -el való osztási maradékaiak halmazát 7 Határozd meg azokat az x egész számokat, amelyekre a) ( 4x ) 7; b) ( x ) ; c) ( 7x + 4) Megoldás a) Mivel (5, 7), ezért a (4 x ) 7 feltétel egyeértékű azzal, hogy [5(4x )] 7, ez pedig redre a következőkkel ekvivales: (0x 5) 7, [ 7(x ) (0x 5) ] 7, ( x 4 0x + 5) 7, ( x + ) 7, tehát k úgy, hogy x + 7k, ie pedig x 7k Tehát mide x 7k,k alakú szám megoldás b) (x ) [ 4( x ) ] (x + x 8) ( x 8) k úgy, hogy x 8 k x k + 8, k c) ( 7x + 4) [ ( 7x + 4) ] (x + x + 8) ( x + 8) k úgy, hogy x + 8 k x k 8, k 8 Bizoyítsd be, hogy ha a b c + d, akkor ( ab,) (, bd) Bizoyítás Ha ( ab,) x és ( bd, ) y, igazoli kell, hogy x y Mivel x (,) a b, x osztja a -t is és b -t is, tehát x a, x bc, ie pedig x ( a bc) x d Tehát x d és x b, így x -ek osztaia kell y -t is (mert y értelmezés szerit b és d közös osztói közül a legagyobb) Kapjuk tehát, hogy x y Hasolóa bizoyítható a fordított oszthatóság is: y ( bc + d) y a, y b y ( a, b) y x y (, b d) y b, y d Az x y és y x oszthatóságokból következik az x y egyelőség 9 Adjál algoritmust két szám lko-jáak és lkkt-éek meghatározására Megoldás Ha a és b a két szám (a > b), akkor az előbbi tulajdoság alapjá a következő lépéseket végezhetjük: Osztjuk a -t b -vel, jelöljük q -gyel és r -gyel a háyadost és a maradékot Osztjuk b -t r -gyel, jelöljük q -vel és r -vel a háyadost és a maradékot Mide eseté osztjuk r -et -gyel, jelöljük q -gyel és r - gyel a háyadost és a maradékot r + +

10 Valós számok Ebbe az eljárásba az előbbi feladat alapjá ( r, ) (, ) r a b,, tehát az + utolsó ullától külöböző maradék az eredeti két szám legagyobb közös osztója (ezt a evezik Euklideszi algoritmusak) Ha d (, a b ) és t [, a b], akkor t b, tehát d meghatározható a legkisebb közös többszörös is 0 Bizoyítsd be, hogy bármely eseté az szám osztható 6-tal Bizoyítás Mivel 6 és (, ), elég igazoli, hogy az ( ) ( + ) szorzat osztható -vel és -mal Az és egymás utái számok közül potosa az egyik biztosa páros, ezért ( ) mide eseté, tehát midig páros Ha, k k, akkor ( ) k( + ), ha k +, k( + ), ha pedig k, akkor ( ) k Tehát mide természetes szám eseté,, így 6, Igazold, hogy három egymás utái egész szám köbéek összege osztható -mal Megoldás A a + ( a + ) + ( a + ) a + ( a + a + a + ) + ( a + 6a + a + 8) ( a + a + 5a + ), tehát A osztható hárommal Adottak az a 00 : ( 0 5 ): 7 ( 4 57 : ) és a b 0 : { + 4 : ( ) } : számok Határozd meg az a és b számok lko-ját és lkkt-ét Megoldás ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 5 b 0 : { 4 : ( ) : 8 7 } 4 0 : { + 4 : ( ): ( ) } a : : + : + 4 : : : 6 (,) ab (6,8) és [ ab, ] [6,8] : ( + 4 : 7) 000 : 5 8 Az a és b számok lko-ja 5, lkkt-e 80 Melyek ezek a számok?

11 4 Valós számok Megoldás Az a, b számok lko-ja 5, ezért a 5x, b 5y, ahol xy, és (, xy ) Ekkor 80 [ ab, ] [5 x,5 y] 5[ xy, ], tehát [ xy], 80: 5 (, xy) x vagy x vagy x 4 [, xy] y y 4 y 5 megoldások: a, a 45 a 60, a 80, b 80 b 60 b 45 b 5 vagy x Tehát a y 4 Két természetes szám összege 00 Határozzuk meg a számokat, ha legagyobb közös osztójuk 87 Megoldás Legye a két szám a és b Az ( ab,) 87 feltétel alapjá a 87x, b 87y, ahol x és y két egymással relatív prím természetes szám Ekkor 00 a + b 87( x +y), ie kapjuk, hogy x + y Ez utóbbi összefüggés tartalmazza azt is, hogy x és y relatív prímek, hisze ha d x,d y, akkor d ( x + y), ie pedig d {, } De d em lehetséges, így marad a d eset, tehát ( xy), Következik, hogy mide ( k, k), k, alakú számpár megoldás, tehát a feladat megoldásai ( ab,) (87, k 87 ( k)), k, 5 Határozd meg az 49a4b számot, ha 8 és ( ab + ) 9 Megoldás 8 4, 7 4b 4,(49a4 b) 7 ( ab + ) 9 (0a + b + ) 9 ( a + b + ) 9 b {0,4,8}, (0a + 4 b) 7 ( a + b) {8,7} Ha a + b 7, a b {0,4,8} feltétel alapjá a 9 és b 8, ekkor viszot 0a + 4 b 78 em osztható héttel Következik, hogy a 8 b, így 0a b b csak akkor osztható héttel, ha b 0, ekkor a 8, tehát a keresett szám az Bizoyítsd be, hogy ha az természetes szám em osztható 7-tel, akkor az 6 6 N + szám természetes szám 7 7 Bizoyítás Az szám héttel való maradéka lehet,,, 4, 5 vagy 6 Mid a hat esetbe -ak 7 -tel való osztási maradéka, tehát ( ) Bizoyítsd be, hogy az N szám osztható -mal és az 000 M N szám osztható 40-el 0 Bizoyítás Észrevesszük, hogy felírható + + alakba Ezért az N összeg tagjait a következőképpe csoportosítjuk:

12 Valós számok N ( ) + ( ) + + ( ( ) + ( + + ) + + ( ) ( 9) ( + + ) ( ) N 0 Hasolóa, mivel , M tagjait égyesével csoportosítjuk: M ( ) + ( ) + + ( ( ) + ( ) + + ( 0 ) ( ) 40 ( M ( ) ) 40 8 a) Bizoyítsd be, hogy em létezik olya természetes szám, amely égyzetéek hárommal való osztási maradéka b) Oldd meg az egész számok halmazá a b 9a b + 0 egyeletet Megoldás a) Három esetet vizsgáluk -ek hárommal való osztási maradéka szerit: ha, l l, akkor 9l, tehát em k + alakú ha l +, akkor 9l + 6l + (l + l) + em k + alakú ha l +, akkor 9l + l + 4 (l + 4l + ) + em k + alakú Következik, hogy egy teljes égyzet hárommal való osztási maradéka csak a 0 és értékek valamelyikét veheti fel, sosem lehet b) A b 9a b + 0 egyeletet még így is írhatjuk: b + b + 9a +, ( b + ) (a + ) + Midkét oldal hárommal való osztási maradékát ézve, azt kapjuk, hogy ( b + ) -ek -mal való osztásakor maradékul kettőt kapuk, ez pedig elletmod az a) potba megfogalmazott állításak Tehát az adott egyeletek ics megoldása az egész számok halmazába 9 Határozd meg azokat az természetes számokat, amelyekre az +, + 7, +, + 9, + 5 számok midegyike prímszám Megoldás -ek öttel való lehetséges osztási maradékai szerit öt esetet külöböztetük meg Ha 5k +, k, akkor + 9 5k ( k + 4) em lehet prímszám Ha 5k +, k, akkor + 5k ( k + ) em lehet prímszám Ha 5k +, k, akkor + 7 5k ( k + ) em lehet prímszám Ha 5k + 4, k, akkor + 5k ( k + ) potosa akkor lesz prímszám, ha k +, vagyis ha 4 Ez az érték valóba teljesíti a feltételeket ) )

13 6 Valós számok Ha 5, k k, akkor + 5 5k ( k + 5) em lehet prímszám Tehát az egyetle megfelelő szám az 4 0 Bizoyítsd be, hogy az tört irreducibilis, bármely eseté Bizoyítás Adott eseté legye d (5 +, + 8) Ekkor d 5 +, d + 8, tehát d [ 5 ( + 8) (5 + ) ], ie pedig d Következik, hogy d, vagyis bármely eseté (5 +, + 8) a) Igazold, hogy kk ( + ) k k+ b) Bizoyítsd be, hogy < k + k k + k Bizoyítás a) kk ( + ) kk ( + ) kk ( + ) kk ( + ) k k+ ; b) < Bizoyítsd be, hogy a +, és + számok összetett számok Bizoyítás ( ) + ( ) v + v ( v + v ), 7 5 ahol v,v egész számok Tehát ( + ), így em lehet prím ( ) (7 ) (7 ) v ( v ) 7, ahol v ( ) (7 ) (7 ) (7v 4 ) 7+ v4 7 ( ) 7, ahol v Bizoyítsd be, hogy a + szám osztható 5-tel, 5-tel, 75-tel és 5-tel Az ( + )( + + ) a b a b a a b a b ab b ( ) (+ ) 5 Ugyaezt a képletet haszálva, kapjuk, hogy illetve (( ) 5 ( ) 5 ) ( ) , képlet alapjá

14 Valós számok 7 és (( ) ( ) ) ( ), (( ) 5 ( ) 5 ) ( ) I Gyakorlatok és feladatok (5 oldal) Milye racioális számok tizedes reprezetációi a következő számok? a) 0,(5) ; b), ; c) 4, 5 ; d) 0, () ; e), () ; f) 5,(4) ; g) 0, () ; h) 5,5() ; i) 0, 4() ; j), 4() Megoldás a) 0,(5) ; b), ; c) 4, 5 ; d) 0, () ; e), () ; f) 5, (4) 5 5 ; g) 0, () ; h) 5, 5() 5 5 ; i) 0, 4() ; j), 4() Írd végtele tizedes szám alakjába a következő törteket: a) 0 ; b) e) ; f) 6 7 ; c) ; d) 8 ; 5 ; g) ; h) 0 5 Megoldás a) 0 9,(9) 0,(0) ; b) 7,() ; c), 5(0), 4(9) ; d) 8, 6(0), 5(9) 5 ; 6 e) 0, (6) ; f) 0,(9076) 6 90 ; g) 0, 4() ; 0 h) 0, (4857) 5 Határozd meg a következő számok századik tizedes jegyét: a), () ; b), 75 ; c),(4) ; d) e) 0 ; f) ; g) ;

15 8 Valós számok Megoldás a) Köyű beláti, hogy a tizedesvessző utái számjegyek az első kettő kivételével periodikusa ismétlődek Mivel a periódus kettő, ezért a századik számjegy megegyezik a 98-al, ez pedig a 96-al, s folytatva a godolatmeetet, kapjuk, hogy a századik számjegy egyelő a egyedikkel, ami az -es Általáosa, az N c, aa a ( bb b ) alakú szám -dik tizedes jegyét a i j következőképpe határozhatjuk meg: ha 0 < i, akkor a keresett számjegy a lesz, ha i <, akkor legye m az ( i) -ek j -vel való osztási maradéka Ha m 0, akkor az -dik számjegy a b j, ha pedig 0 < m < j, akkor a keresett számjegy az a m b) A második tizedes utá mid ullák állak, így a századik számjegy a 0 c) A századik számjegy a kettes d) 4 0, 8 0, 8(0), a századik tizedes jegy a 0 5 e) 0,(), a századik tizedes jegy a f), 5(), a századik tizedes 5 jegy a 4 Hasolítsd össze a következő számokat Melyik szám a agyobb? a) és 6 9 ; b) 4 és ; c) 6 és ; 5 7 d) 5 4 és 7, 49 ; e) és 4, 667 ; f), (7) és, (7) ; g) 4,(4) és 4,(5) ; h) és, (4) ; i) π és, (4) Megoldás a) 4 9 < 6 9 ; b) < < ; c) 5 6 < ; 7 d) 5 7, 5 7, 49 > ; e) 4 4,(6) 4, 666 4, 667 < ; f),(7),77 <,777, (7), (7) <,(7) ; g) 4,(4) 4,444 < 4,55 4,(5) 4,(5) < 4,(4) ; h) >, 44 >, 44,(4) ; i) π,4 <,444,(4) 5 Határozd meg a következő számok egészrészét, illetve a törtrészét: a) ; b) ; c) 6 8 ; d) 4, 9() ; 6 5 e), 5 ; f), 8(4) ; g) ; h) 5 6 Megoldás a) 8, 5 7, így egészrésze 8, törtrésze pedig 0,5; b) 65 0, 8(), egészrésze 0, törtrésze 0,8(); 6 c) 5 0, 5(5748), egészrésze 0, törtrésze 0, 5(5748) ; 8

16 Valós számok 9 d) [ 4, 9() ] 4, { 4, 9() } 0, 9() ; e), , 875 [, 5] 4, {-,5} 0, 875 ; f), 8(4) + 0,(58) [, 8(4) ], {, 8(4) } 0,(58) ; g), 4 + 0,, 4 0, ; h) 6 8,(6984), tehát 5 9, és 6 { 5 } 0,(8705) 6 6 Határozd meg a következő irracioális számok, illetve 4 tizedessel hiáyal, majd többlettel való közelítéseit: a) ; b) 5 ; c) ; d) 7 ; e) 85 ; f) 00 Megoldás a), 4 < <, 5 ;, 4 < <, 4 ;, 44 < <, 44 ;, { } b), < 5 <, ;, < 5 <, 4 ;,60 < 5 <,6; c), 6 < <, 7 ;, 60 < <, 6 ;, 6055 < <, 6056 ; d) 4, < 7 < 4, ; 4, < 7 < 4, ; 4, < 7 < 4, ; e) 9, < 85 < 9, ; 9, < 85 < 9,; 9,96 < 85 < 9,95 ; f) 44, 8 < 00 < 44, 7 ; 44, 74 < 00 < 44, 7 ; 44, 76 < 00 < 44, 75 7 Határozd meg az x + y, illetve az x y számok három tizedessel hiáyal, majd többlettel való közelítéseit, ha a) x és y 7 ; b) x, 4 és y 5,47 ; c) x,() és y 0 ; d) x 4, 7654 és y 8,(4) Megoldás a) 4, 059 < + 7 < 4, 06 és, 74 < 7 <, 74 ; b) 7, 56 < x + y < 7, 57 és, 64 < x y <, 65 ; c) 6, 8 < x + y < 6, 84 és 9, 870 < x y < 9, 87; d), 86 < x + y <, 860 és 8, 4 < x y < 8, 44 8 Bizoyítsd be, hogy a következő számok irracioálisak: a) ; b) 5 ; c), ha em teljes égyzet; d) + ; e) Bizoyítás Az a) és b) alpotok a c) sajátos esetei, amikor {, 5} c) Tegyük fel, hogy létezik olya em teljes égyzet szám, amelyre a racioális Ekkor létezek az a, b egész számok úgy, hogy és b 0 b Négyzetre emelve, majd b -el átszorozva ez utóbbi egyelőség midkét oldalát, kapjuk, hogy a b, tehát a b, ami egyeértékű azzal, hogy a b Így létezik egy k egész szám, amelyre a k b Visszahelyettesítve, a ( kb) k b k, ami elletmod aak, hogy em teljes égyzet b b b

17 0 Valós számok Következik, hogy potosa akkor racioális, ha teljes égyzet, és ebbe az esetbe is egész szám a d) Tegyük fel, hogy +, ab,, b 0 Ekkor b a a a 5b ( + ), 5+ 6, 6, s mivel a 5b, b egészek, b b b ez azt jeleti, hogy 6 racioális, ami elletmod a c) potba szereplő állításak Tehát + irracioális Más megoldás Köyű beláti, hogy egy ullától külöböző szám potosa akkor racioális, ha iverze is az Mivel ( )( + ), ezért és + egymás iverzei Így, feltételezve, hogy + racioális, következik, hogy is az Két racioális szám összege is az, tehát ( ) + ( + ) is racioális kell legye, ez pedig szité elletmod a c) alpotak e) Feltételezzük, hogy + + a 5, ahol a, b egészek, b 0 Ekkor b + a 5 és 5 b 6 a a 5 b b a + 0a b 4b 4b a + 0a b 4 5a b 5, 4ab vagyis 5 racioális, ami elletmodás 9 Bizoyítsd be, hogy ha ( m, ), akkor az és m számok tizedes ábrázolásába a szakasz hossza ugyaaz Bizoyítás A 4 tétel g) alpotja alapjá a legkisebb szakasz hossza csak az m irreducibilis alakba írt tört evezőjétől függ, tehát és tizedes reprezetációjába ugyaakkora a szakasz hossza * m 0 Ha m, ( m, ) és (, 9), akkor felírható olya tizedes tört formájába, amelyek a szakasza egy 9-cel osztható szám Bizoyítás Ha a,, bc, akkor az x a, b( c) tizedes szám átalakítása sorá az k ( 0 ) b + c x a + (*) törtet kapjuk Ha ez ekvivales egy m irreducibilis törttel, amelybe (, 9), akkor a (*) tört egyszerűsíthető 9 -cel, tehát c 9 Bizoyítsd be, hogy + + vegyes szakaszos tizedes tört, bármely + + * eseté k

18 Valós számok Bizoyítás + + A tört evezője osztható ( + )( + ) mal és a számlálója em, tehát a tört tizedes reprezetációja szakaszt is tartalmaz (4 tétel a) alpotja) Másrészt a számláló páratla eseté páratla, páros eseté em osztható 4 -gyel, míg a tört evezője az első esetbe páros és a második esetbe osztható 4 -gyel Így a tört evezője egyszerűsítés utá midig páros lesz, tehát a tört tizedes ábrázolása vegyes szakaszos tört (4 tétel c) alpot) + Bizoyítsd be, hogy vegyes szakaszos tizedes tört, bármely * \{} ( ) eseté + Bizoyítás Az tört számlálója em osztható -mal és a evezője ( ) osztható, tehát irreducibilis alakba a evezőek va -től és 5 -től külöböző osztója Ugyaakkor páros eseté a evező páros és a számláló páratla, míg páratla eseté a evező osztható 8 -cal és a számláló em osztható 4 -gyel, tehát az irreducibilis alakra hozott tört evezője páros Így a 4 tétel c) alpotja szerit a tört tizedes reprezetációja vegyes szakaszos Bizoyítsd be, hogy két tiszta szakaszos tizedes tört szorzata is tiszta szakaszos tizedes tört Bizoyítás Ha az a és c irreducibilis törtek tizedes reprezetációja tiszta b d szakaszos, akkor ( b, 0) és ( d, 0), tehát ( b d, 0) Ebből következik, ac hogy b d mide osztója is relatív prím 0 -zel, tehát az tört tizedes bd reprezetációja is tiszta szakaszos 4 Ha az x és y valós számokak ismerjük az jegyű hiáyal illetve többlettel való közelítését, akkor milye közelítést adhatuk a következő kifejezésekre: a) x + y ; b) x y ; c) x y; d) x + y? Megoldás Feltételezhetjük, hogy xy>, 0, mert a többi eset erre visszavezethető Az a < x < a + és b < y <b + egyelőtleségek alapjá írhatjuk, hogy: 0 0 a + b < x + y < a + b + < a + b +, 0 0 a b < x y < a b + < a b +, a + b ab < xy < ab + +, és 0 0 ( a + b) a + b < x + y < a + b Ez alapjá látható, hogy az összeadás és a kivoás eseté csak a legutolsó számjegy veszhet el (tehát az eredméy tizedesjegye potos), míg a szorzás és égyzetösszeg kiszámítása sorá több számjegyet is veszíthetük a számok agyságredjétől függőe

19 Valós számok I6 Gyakorlatok és feladatok ( oldal) Számítsd ki: a) ; b) 9 ; c) 4 5 f) ( ) ; g) ( ) ; h) k) + Megoldás a) ; b) e) ( ) ; d) ( ) ; e) ( ) 7 ; c) g) ( ) ( ) ; i) 4 5 ( ) 5 ( ) ( ) i) ( ) k) ; ; j) ; d) ( ) ; 9 9 ; f) ( ) ( ) 9 ( ) 7; ; j) ( ) ; h) ( ) ; ; ; Írd egyszerűbb alakba a következő számokat: 6 6 a) ; b) a a a, ahol a 0 ; c) Megoldás a) d) 75 ; e) 5 96 ; f) b) a a a a a a a a a; c) ( ) 4 > ( ) ; xy 9 9; z ; d) e) ; 96 ( ) ( ) 5 ; f) 6 xy x x x y y z z z z 9 y Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: a) ; b) 64a + 7a 8a ; a 4 4 7

20 Valós számok c) 9 ; d) 5 5 ; e) 9 : ; f) xy : 5xy 5 Megoldás a) b) ; a + 7a 8a 4a a 9 a a a + a a (4a + 9) a 8 a a (9 4 a) a ; 9 9 9; c) d) e) f) ; 9 : xy : 5xy 5 xy xy 5 xy xy 5 4 Számítsd ki: 5 xy x y 5 x y x y a) 5 4 0, 0000 ; b) 0, ; c) d) Megoldás a) b) c) : x y 0, , 0 0 ; , ; ; d) 4 : Írd egyszerűbb alakba: ( ) a) + ; b) 5+ 6 ; c) 5 6 ; d) 4 7 ; e) 6 5 Megoldás a) A megoldás sorá vagy az összetett gyökök képletét haszáljuk, vagy a külső gyök alatti kifejezést teljes égyzetté alakítjuk Az első módszerrel , a második módszerrel ; ;

21 4 Valós számok b) c) ( + ) + +; ; 5 6 ( ) ; 7 ; 4 d) 4 ( ) e) Mivel a köbgyökö belül gyökjel alatt csak a hármas szám szerepel, ezért várhatóa a keresett egyszerűbb alak a + b lesz Meg kell határozi az a, b (lehetőleg racioális) számokat úgy, hogy teljesüljö az 6 5 a + b egyelőség Köbre emelve midkét oldalt, kapjuk, hogy 6 5 a + 9 ab + (a b + b ) Ha a, b racioálisak, akkor ez azt jeleti, 6 a + 9ab hogy Az egyeletredszerek egy megoldása ( ab,) (, ) 5 ab+ b Köye elleőrizhető, hogy valóba teljesül a 6 Írd egyszerűbb alakba: 0 a) ( 5 7 ) : 49 ; b) ( ) 0 Megoldás a) ( ) b) ( ) 6 6 egyelőség 4 7 : ; c) ( ) ; d) ( ) : 49 7 : 49 7 : ; : : : 9 : 9; c) ( ) ( ) ( ) ; d) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: a) ( ) x y x ; b) yx x 4 8 x y ( x y) d) + + xy 4 ; e) : 4 xy y y 4 Megoldás a) ( ) ; x y x x y x x y b) yx yx yx x x c) ( ) ( ) 4 4 x xy x xy xy xy xy ; ; c) ( x xy ) ; ;

22 Valós számok d) 8 8 x y xy x y 4 8 x y xy xy 6 ; x y 4 4 x y ( x y) ( ) e) + + x y y x y : , ha y( x + y) > 0 5 y y y ( x + y) y 8 Számítsd ki: a) ( + + ) ; b) ( a + b + a b) Megoldás a) ( + + ) b) ( a b a b) ; ( )( ) ( ) a ( ) a b a b a b a + b + a + b a b a + b + a b + a b Bizoyítsd be a következő egyelőségeket: a) ( 5) 5 ; b) ; + 5 c) + 5 ; d) Megoldás a) ( ) ( ) ( 5 ) 5 5, vagy ( ) ( ) ( ) b) , ami yilvá igaz c) Mivel midkét oldal pozitív, ezért a égyzetre emelés ekvivales átalakítást jelet ; d) Ha x, akkor x ( )( ) x x x 5 0 ( x 4)( x + 4x + ) 0 x 4, mert x Tehát

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória)

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY 013/014-ES TANÉV Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) Feladatok és megoldások A verseny az NTP-TV-13-0068 azonosító számú pályázat alapján a Nemzeti Tehetség

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

Jelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható.

Jelöljük az egyes területrészeket A-val, B-vel és C-vel, ahogy az ábrán látható. 1. feladat. 013 pontosan egyféleképpen írható fel két prím összegeként. Mennyi ennek a két prímnek a szorzata? 40 Megoldás: Mivel az összeg páratlan, ezért az egyik prímnek párosnak kell lennie, tehát

Részletesebben

SZÁMELMÉLET FELADATSOR

SZÁMELMÉLET FELADATSOR SZÁMELMÉLET FELADATSOR Oszthatóság 1. Az 123x4 számban milyen számjegy állhat x helyén, ha a szám osztható a) 3-mal; e) 6-tal; b) 9-cel; f) 24-gyel; c) 4-gyel; g) 36-tal; d) 8-cal; h) 72-vel? 2. Határozd

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

Skatulya-elv. Sava Grozdev

Skatulya-elv. Sava Grozdev Skatulya-elv Sava Grozdev Egy alapvető szabály, azaz elv azt állítja, hogy: ha m testet szétosztunk n csoportba és m > n, akkor legalább két test azonos csoportba fog kerülni. Ezt az elvet különböző országokban

Részletesebben

1J. feladat Petike menő srác az iskolában, így mindig csak felemás színű zoknikat hord. Ruhásszekrénye mélyén

1J. feladat Petike menő srác az iskolában, így mindig csak felemás színű zoknikat hord. Ruhásszekrénye mélyén 1J. feladat Petike menő srác az iskolában, így mindig csak felemás színű zoknikat hord. Ruhásszekrénye mélyén összesen 30 darab piros színű, 40 darab zöld színű és 40 darab kék színű zokni található, azonban

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

I. Racionális szám fogalma és tulajdonságai

I. Racionális szám fogalma és tulajdonságai 2. modul: MŰVELETEK A RACIONÁLIS SZÁMOK KÖRÉBEN 9 I. Racionális szám fogalma és tulajdonságai Természetes számok 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9; 10; 11; 12... Módszertani megjegyzés: Ráhangolódás, csoportalakítás

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Euler kör/út: olyan zárt/nem feltétlenül zárt élsorozat, amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza

Euler kör/út: olyan zárt/nem feltétlenül zárt élsorozat, amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza 1) Euler körök és utak, ezek létezésének szükséges és elégséges feltétele. Hamilton körök és utak. Szükséges feltétel Hamilton kör/út létezésére. Elégséges feltételek: Dirac, és Ore tétele. Euler kör/út:

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

A természetes számok halmaza (N)

A természetes számok halmaza (N) A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá

Részletesebben

MI ILYENNEK KÉPZELJÜK MATEMATIKA

MI ILYENNEK KÉPZELJÜK MATEMATIKA MI ILYENNEK KÉPZELJÜK Minta feladatsorok a középszintű MATEMATIKA érettségire való felkészüléshez II. RÉSZ Összeállították: a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium vezetőtanárai

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

FELADATSOROK 3 IX. osztály... 3 X. osztály... 4 XI. osztály... 5 XII. osztály... 7

FELADATSOROK 3 IX. osztály... 3 X. osztály... 4 XI. osztály... 5 XII. osztály... 7 Tartalomjegyzék Előszó 2 FELADATSOROK 3 IX. osztály......................... 3 X. osztály.......................... 4 XI. osztály......................... 5 XII. osztály......................... 7 MEGOLDÁSOK

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Matematika 5. Gondolkodni jó! feladatainak megoldása

Matematika 5. Gondolkodni jó! feladatainak megoldása Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Zankó Istvánné tanár Matematika 5. Gondolkodni jó! feladatainak megoldása általános iskola 5. osztály

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben