MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Átírás

1 MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE

2 A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetecia alapú képzés és oktatás feladataira) keretébe készült, a sulinova oktatási programcsomag részekét létrejött taulói iformációhordozó. A kiadváy sikeres haszálatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és haszálata. A teljes programcsomag elérhető: címe. Szakmai vezető: Oláh Vera Szakmai taácsadók: Csatár Katali, Árváé Doba Mária Alkotószerkesztő: Oláh Judit Grafika: dr. Fried Katali Lektor: Urbá Jáos Felelős szerkesztő: Teszár Edit H-AMAT0 Szerzők: Lövey Éva, Vidra Gábor Educatio Kht Tömeg: 480 gramm Terjedelem: 5,9 (A/5 ív) A taköyvvé yilváítási eljárásba közreműködő szakértők: Tatárgy-pedagógiai szakértő: Kóya Istvá Tudomáyos szakmai szakértő: dr.marosváry Erika Techológiai szakértő: Ábrahám Júliaa

3 tartalom. modul: Sorozatok (Lövey Éva) modul: Gazdasági matematika (Lövey Éva) modul: Síkidomok kerülete, területe (Lövey Éva) modul: Poliéderek felszíe, térfogata (Vidra Gábor) modul: Térfogat és felszíszámítás (Vidra Gábor) modul: Statisztika és valószíűség (Lövey Éva) Mellékletek A köyvbe kidolgozott MINTAPÉLDÁK segíteek a taayag megértésébe. A FELADATOK szitjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszitű feladatok: középszitű feladatok: emelt szitű feladatok: Ahol ics ilye jelzés, azt a példát midekiek ajáljuk.

4

5 . MODUL sorozatok Készítette: Lövey Éva

6 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Sorozatok fogalma és megadása Logikai feladváyokba gyakra szerepelek olya kérdések, mi lee egy megkezdett számsor vagy ábrasor 00. tagja. Ilyekor bizoyos törvéyszerűséget kell felfedezi az első éháy tag alapjá. Hasoló témával már az általáos iskolába is foglalkoztatok, sőt már taultatok sorozatokról. Idézzük fel ezt! Keressük a felsorolt elemek tulajdoságai között szabályszerűséget, és aak megfelelőe folytassuk még 5 taggal! I II. III. IV. C D E F G V. Bizoyára midekiek támadt ötlete, hogya lehete ezeket az elemeket folytati. Matematikailag ezek egyikét sem lehet sorozatak evezi, ugyais ha ezek jól megadott valódi sorozatok leéek, csak egyféleképpe lehete folytati őket. Ezeket viszot többféleképpe is lehet: és ettől kezdve mide tag 3-mal agyobb az előzőél, vagy és ettől kezdve mide tag 0. és ettől kezdve midig az első égy tag ismétlőde, vagy és ettől kezdve mide tag zöld kör.

7 . modul: SOROZATOK 7 babák. Vagy akár folytatódhata így is: és ettől kezdve midig ebbe az aráyba őéek a megit csökke a méretük. majd ismét övekedek, és újabb 5 baba utá A következő 5 betűbe felfedezhetjük a zeei hagok sorát, amit akár folytathatuk így is: C D E F G A H C D E és így folytatva ez a hét betű ismétlődik a végteleségig, vagy felfoghatjuk az öt leírt agybetű egy lehetséges permutációjáak, melyet követhet a többi 9 permutáció, majd vége a sorozatak. C D E F G C D E G F A égyzeteket is folytathaták több módo, a legkézefekvőbb, hogy a égyzet oldalai midig egy egységgel őek: de az is elképzelhető, hogy ettől kezdve csupa egységégyzettel folytatódak: Az I V. feladatokál többféleképpe is folytathattuk a hiáyzó elemek keresését, ezért kell potosítauk a sorozat fogalmát:

8 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE egy sorozatot csak akkor tekitük megadottak, ha elemei egyértelműe meghatározottak. Ilye esetekbe meg tudjuk azt is modai, hogy mi lesz a sorozat 5., 00., 000., -edik tagja. Azt is modhatjuk, hogy mide pozitív egész számhoz egyértelműe hozzáredelük valamit. Valójába tehát függvéyről va szó, ami két halmaz közti egyértelmű hozzáredelés. Sorozat eseté a függvéy értelmezési tartomáya: a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete pedig: a sorozat tagjai. Amit úgy íruk a függvéyekél, hogy x a f ( x), azt most pl. a II. sorozatál úgy tekitjük, hogy Például a II. sorozat esetébe ezt így írjuk: a, a, a 3, a 4, a 5,. Összefoglalva tehát: Sorozatak evezük egy olya függvéyt, melyek értelmezési tartomáya a pozitív egész számok halmaza, értékkészletéek elemei pedig a sorozat tagjai. A sorozat -edik tagját általába a jelöli. Mitapélda Adjuk meg a következő sorozatok első öt, illetve 00. tagját, és vizsgáljuk meg, hogy a megadott szám beletartozik-e a sorozatba! I. a + 5, a 007, II. b 6, b 770, III. 5 c, + 3 c 0, IV. d a tört tízedestört alakjáak tizedesvessző utái -edik számjegye, 7 d 6. Megoldás: I. ha, a + 5 6; ha, a + 5 7; ha 3, a ; ha 4, a ; ha 5, a ; ha 00, a

9 . modul: SOROZATOK 9 Nézzük meg, va-e olya pozitív egész szám, amelyre a ? 00 eseté a 007, azaz 007 eek a sorozatak a 00. tagja. 00 II. ha, b 6 6; ha, b 6 ; ha 3, b ; ha 4, b ; ha 5, b ; ha 00, b Oldjuk meg a egyeletet! 385, ami em pozitív egész szám, tehát 3 ics olya, hogy b 770 legye, a 770 em tagja a sorozatak. 5 5 III. ha, c ; ha, c ; ha 3, c3 ; Az sem tagja a sorozatak ha 4, c4 ; ha 5, c5 ; ha 00, c egyelet megoldása 4, ami egész ugya, de em pozitív, így a 0 IV. Írjuk fel a törtet tizedestört alakba, azaz végezzük el a : 7 osztást! 7 : 7 0, mit a 4. tag, mivel , így d 7. Látható, hogy amit újra megjeleik a mit maradék, a háyadosba szereplő számjegyek ismétlődi fogak, ismét, 8, 5, 7,, 4, majd ismét ez a 6 hosszúságú szakasz következik. Így d, d 8, d 5, d 7, d A századik tag kiszámításához em kell az előtte levő 99 tagot felíri, elég, ha észrevesszük, hogy mide 6. tag azoos, és a 00. tag ezek szerit ugyaayi lesz, 00 Mivel az osztás eredméyébe csak az,, 4, 5, 7, 8 számjegyek ismétlődek, így a 6 em tagja a sorozatak.

10 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda Adjuk meg a következő sorozatok első öt, illetve 00. elemét ( )! V. e, e e VI. f, f, f f + f Fiboacci-sorozat Megoldás: Eél a két sorozatál az egyes elemeket az őt megelőző elemek segítségével kell meghatározi. V. A sorozat mide eleme -vel kevesebb az őt megelőző elemél. e e e 4 e3 e 4 6 e e 6 8 e e A 00. tag kiszámításához a képlet utasítása szerit ismerük kellee az előtte levő tagot, az a99 -et. Ha em ügyeskedük, ez hosszú számolást igéyel. Ha egy sorozat tagjait úgy adjuk meg, hogy az -edik tag meghatározásához szükség va a sorozat előző tagjaira is, akkor a sorozatot rekurzív defiícióval adtuk meg. Példákba észrevehetjük, hogy a egatív páros számok csökkeő sorozatához jutuk, a sorozat -edik tagja ( ) e. Tehát e VI. Ez a sorozat a leghíresebb rekurzív sorozat, melyet Leoardo Pisao fedezett fel. Leoardo Pisao (70 50?), azaz FIBONACCI Itáliai matematikus; a középkor legagyobb európai matematikusa. BONACCIO pisai kereskedő fia, ie a Fiboacci (Boaccio fia) év. Egy észak-afrikai városba őtt fel, majd kereskedelmi utazásokat tett Egyiptomba, Szíriába, Görögországba és Szicíliába. Röviddel hazatérte utá publikálta híres Liber Abaci című művét. A köyv agymértékbe elősegítette az arab algebra és a hidu-arab számírás elterjedését Európába. Nevét őrzi a Fiboaccisorozat.

11 . modul: SOROZATOK A sorozat tagjai közül megadtuk az első két tag értékét, és mide további tagot az őt megelőző két tag összegekét számolhatuk ki. f, f, f 3 f + f +, f 4 f + f 3 + 3, f f + f A sorozat 00. tagját most hiába töpregük csak az előző 99 tag ismeretébe tudjuk meghatározi. Eek a tagak közelítő értéke: Mitapélda 3 Megadtuk a következő sorozatokat: a) ; 0; 003; 0 004; ; b) 3; 6; ; 8; 7; f , 54 0 Keress képletet vagy rekurzív defiíciót, amellyel meghatározható a sorozat -edik tagja! Add meg a sorozat 30. tagját is! Megoldás: a) a 0 + a , ahol az -es és a 3-as között 8 darab 0 va. b) Az egymást követő számok külöbsége a páratla számok részsorozata, tehát b b +, b b + 5, b b + 7, b b 9, általáosa: b , b b + ( ). Ha valaki ezt a rekurzív defiíciót követve akarja 3 megadi a 30. tagot, aak ki kell számolia a sorozat összes előbbi tagját is. Észrevehetjük azoba, hogy b +, b +, b 3,..., azaz általáosa: +. Ezzel az 3 + összefüggéssel köyedé kiszámítható a sorozat 30. tagja is: b b 30 Az utóbbi megadással azt kapjuk, hogy a két egymást követő tag külöbsége midig a páratla számok övekvő sorozata: ( ) ( ) + + ( ) ( + ) + + ( ) + b b +. Láttuk, hogy sorozatokat többféle módo is megadhatuk: képlettel, utasítással vagy rekurzív defiícióval (azaz visszavezető lépésekkel).

12 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok. Add meg az alábbi sorozatok első 0 elemét: a) a 5 4, ( N + ); b) a 7-re végződő pozitív egész számok övekvő sorozata; c) P( ; ) c ahol P a derékszögű koordiáta-redszer egy potja;, (,, 3,..., 0) d) d ; e) a prímszámok övekvő sorozata; f) origó középpotú egység sugarú kör, ( N + ); g) g ( ), ( N + ); h) h, h 8, h h h, ( 3 egész szám). 7. Válaszd ki azokat a sorozatokat, amelyekek tagjai között a következő számok valamelyike megtalálható: 7, a e ; ; b e + ; e ; c + 5 ; f, d f f 3 ; Adj meg egy képletet vagy rekurzív defiíciót, amellyel ki lehet számítai a sorozat - edik tagját! Add meg a sorozat 0. tagját is! a) 3; 6; 9; ; 5; b) ; ; 3; 5; 7; c) 6; 3;,5; 0,75; d) ; 4; 9; 6; 5; e) 00; ; 44; 69; 5; 3 4 f) ; ; ; ;

13 . modul: SOROZATOK 3 4. Jelöljük a sorozat első eleméek összegét S -el. Például S a S a + a, S a + a +,..., 3 a3 Mit ad meg S 4 S3, S6 S5, illetve általába az S S külöbség? Add meg a sorozat első 5 elemét, ha a) S 5 ; b) S ; c) 3 S.

14 4 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Sorozatok grafikoja, tulajdoságai Tudjuk, hogy a sorozatok olya speciális függvéyek, melyek értelmezési tartomáya a pozitív egész számok halmaza. A függvéyek tulajdoságaival sokat foglalkoztuk. Eze tulajdoságok közül éháy a sorozatokál is érdekes lehet. Mitapélda 4 Tekitsük a következő sorozatokat, és írjuk fel éháy elemüket! ( ) a. a ; a ; a ; a ; 3 4 b π si. 3 π 3 b si ; 3 π 3 b si ; b 3 siπ 0 3 b 4π si b 5π si b si π 6 0 b 7π π si si b c a tört tizedestört-alakjáak -edik számjegye a tizedesvessző utá ,50 & & 0, , tehát c 5 ; c ; c 4 5 c ; c 5 c ; c 6 0 c3. o v a v(;3) helyvektor elforgatottja az origó körül 90 -kal. v ( 3;); v ( ; 3); v 3 (3; ); v 4 (;3), és ie újra ismétlődek a vektorok. A tárgyalt sorozatok közös tulajdosága, hogy tagjaik periodikusa ismétlődek. Az a sorozat periódusa p, azaz a a A +. b sorozat periódusa p 6, azaz b b +6.

15 . modul: SOROZATOK 5 c sorozat periódusa p 3, azaz c c A +3. A v sorozat periódusa p 4, azaz v +4 v. Periodikusak evezzük azt a sorozatot, amelyhez va olya p pozitív egész szám, hogy a sorozat bármely -edik elemére a a + p. Mitapélda 5 Állapítsuk meg a következő sorozatok periódusát: a) a húrtrapéz +90 -os elforgatásai az átlók metszéspotja körül. b) b az pozitív egész szám 5-tel való osztási maradékai. c) c az 3 szám utolsó számjegye. o o d) si( 30 ) cos( 30 ) Megoldás: d. a) 4 külöböző helyzet lehetséges, így a a +4. b) Írjuk fel a sorozat első éháy elemét: b b b 3 b 4 b 0 b A sorozat elemei ettől kezdve ismétlődek, tehát a periódus 5, azaz b +5 b. Azt kell belátuk, hogy + 5 ugyaayi maradékot ad 5-tel osztva, mit az. Ez akkor következik be, ha a két szám külöbsége osztható 5-tel. És valóba: ( + 5 ) 5 c) Írjuk fel a sorozat első éháy elemét:. c c 8 c 7 c 4 c 5 c 6 c 3 c c 9 c 0 c Sejtésük szerit az ismétlődés most már bekövetkezik. Sejtésüket igazoljuk is, azaz megmutatjuk, hogy a sorozat periódusa 0, azaz mide eseté c +0 c. Két szám utolsó számjegye akkor és csak akkor egyelő, ha a két szám külöbsége 0- ra végződik, azaz a két szám külöbsége osztható 0-zel. Vizsgáljuk meg azt a két számot, melyekek utolsó számjegye adja a sorozat megfelelő tagjait: 3 3 ( + 0) valamit A két szám külöbsége: ( + 0) ( ) osztható 0-zel, tehát a két szám utolsó számjegye megegyezik, a periódus 0.

16 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE d) Abba biztosak lehetük, hogy a p jó periódus lee, hisze a sorozat mide. tagjába olya szögek szerepelek, melyekek midkét szögfüggvéye azoos, hisze a szögek eltérése 360º. De va-e vajo eél kisebb lehetséges periódus? Írjuk fel a sorozat első éháy elemét: o o o o d si30 cos30 0,8660, d si 60 cos60 0, Itt juthaták arra az elhamarkodott következtetésre, hogy a sorozat periódusa, azaz d + d, átredezve d + d 0, de ez csak bizoyos -ekre lee igaz. Ha a sorozat éháy további tagját felírjuk: o o o o d si 90 cos 90 0 d si0 cos0 0, o o o o d si50 cos50 0,8660 d si80 cos o o d si 0 cos 0 0,8660, tehát d d A továbbiakba csak számsorozatokat (rövide: sorozatokat) tekitük, azaz olya függ- véyeket, melyekek értelmezési tartomáya a pozitív egész számok halmaza, értékkészletük pedig a valós számok egy részhalmaza. E függvéyek grafikojai tehát midig potsorozatok. A most következő sorozat-tulajdoságokat csak számsorozatokra értelmezzük. Az alábbi R + R függvéyekről tudjuk, hogy szigorúa mooto övekedők: f ( x) x g ( x) x 3 h ( x) x

17 . modul: SOROZATOK 7 Ha leszűkítjük az értelmezési tartomáyukat a pozitív egész számokra, akkor a Z + R függvéyek által megadott sorozat tagjai is övekedek (piros potok): f, g 3, h. Egy sorozat mooto ő, ha mide tagja legalább akkora, mit az előző tag: a a. Hasolóképp defiiálhatjuk a mooto csökkeő sorozatokat is: Egy sorozat mooto csökke, ha mide tagja legfeljebb akkora, mit az előző tag: a a. Mitapélda 6 Válaszd ki az alábbi sorozatokból a mooto csökkeőket és a mooto övekedőket ( N + )! Sejtésedet bizoyítsd! a) a ; b) b 0, b b + 3; c) c 0, c c 4 ; d) d 0, d d ( ).. Megoldás: Először számítsuk ki a sorozat éháy tagját, hogy megsejtsük, mooto sorozatok-e. melyik sorozat a b c d Az a sorozat tagjai egyre közelebb kerülek a 0-hoz, sejtésük szerit csökkeő sorozat. És valóba: ha, A 4 a a < 0, azaz a < a. 5 ( ) ( ) b sorozat tagjai övekedek, mivel b b b + b + 3 0, azaz b. > b 3 > 6

18 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A c sorozat csökkeő, mivel c c c 4 c 3 c. Eek előjele attól függ, hogy c pozitív, vagy egatív. Látható, hogy a sorozat mide eleme (köztük a c is) egatív, mivel a második elemtől kezdve midig egy egatív szám háromszorosát számítjuk ki. A d sorozat se em csökkeő, se em övekvő sorozat. Ha valaki mégis megpróbálá bebizoyítai, hogy csökkeő, vagy övekvő, a d d külöbséget kellee vizsgália. Most próbakét tegyük ezt meg! d d ( ) d 3 d Eek előjele d előjelétől függ, az viszot váltakozó. d. A sorozatok mootoitásáak vizsgálatát megköyíti, ha ismerjük aak a függvéyek a grafikoját, amelyből a sorozat elemeit képezzük. x x a x a 3 x x x x a x a 0 ( ) a()/ b() sorozat c() sorozat d() sorozat, ,8 0, ,4 0, Feladat 5. Írd fel a sorozatok első 0 elemét! Válaszd ki az alábbi sorozatok közül a periodikus sorozatokat. Add meg a periódusukat! Határozd meg a mooto övőket és a mooto csökkeőket ( N + )! a 7 3 ; ( ) b ; c az szám utolsó számjegye; ( 5) d ; o ( ) e si 0 ; f ; + g az szám osztóiak száma.

19 . modul: SOROZATOK 9 III. A számtai sorozat Vizsgáljuk meg, mi a közös az alábbi sorozatokba: a, b , b b 3, c az -edik olya pozitív egész, melyek utolsó számjegye Valameyi sorozat közös tulajdosága, hogy az egymás utái tagokat megkaphatjuk úgy is, ha az előző taghoz midig ugyaazt a számot adjuk, tehát az egymást követő tagok külöbsége (differeciája) álladó. Az ilye sorozatokat számtai sorozatak evezzük. Számtai sorozatak evezzük az olya sorozatot, amelybe az egymást követő tagok külöbsége álladó. Ezt az álladót differeciáak (lati: külöbség) evezzük, jele: d. A számtai sorozatba a második tagtól kezdve mide tagot úgy kapuk meg, hogy a sorozat előző tagjához hozzáadjuk a differeciát. A számtai sorozatot általába úgy adjuk meg, hogy megadjuk az első tagját és a differeciát. Nézzük meg, eek segítségével hogya lehet meghatározi a sorozat többi tagját! a a + d ; a3 a + d a + d ; a4 a3 + d a + 3d a +d a +d a 3 +d a +d +d A sorozat -edik tagjához úgy jutuk el, hogy a sorozat első tagjához -szer hozzáadjuk a d-t.

20 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A számtai sorozat -edik tagját így számoljuk ki: a a + ( ) d Mitapélda 7 Ismerjük egy számtai sorozat első tagját és differeciáját: a) a 7, d 3 ; b) b 5, d 0, 64 ; c) c 4, d., Számítsuk ki a számtai sorozatok tizedik, huszadik, századik tagját! Megoldás: 0 + d + a) a ( 0 ) a ; ( 0 ) a + d a ; ( 00 ) a + d a. b) b b + 9d , ; 0, ( 0 ) d , b + ; 0 b, ( 00 ) d , b b, c) c c 9d, 4 9 ( ) ; 0, c c ( 0 ) d, ( ) ; 0 c, ( 00 ) d, ( ) c, Észrevehetjük, hogy a számtai sorozat mooto csökke, ha d < 0, mooto ő, ha d > 0. Ha a differecia ulla, a sorozat mide tagja azoos. Az ilye sorozatot kostas sorozatak evezzük. Mitapélda 8 Számítsd ki a sorozat tizedik elemét, ha tudjuk, hogy a9 4 és a 9. Megoldás:. módszer: Alkalmazzuk a számtai sorozat midkét tagjára az ismert képletet, majd megoldjuk a kapott egyeletredszert: a ( ) d a +, tehát 4 a 9 a + 8d + 0d Ezt behelyettesítve az első egyeletbe:. Ie (kivoással): d 7, 5.

21 . modul: SOROZATOK 4 a + 8 7, 5 a 4 8 7, Alkalmazva képletüket a 0. elemre a , ,. módszer: Tudjuk, hogy a 0 a 9 + d, átredezve a 9 a 0 d, valamit a a 0 + d tehát a 9 + a a0 d + a0 + d a0., a9 + a a0 -et megkaphatjuk tehát a, 5 számítás eredméyekét. Az első módszer midig alkalmazható, ha adott a számtai sorozat két tagja, és meg akarjuk határozi az első tagot és a differeciát. A második módszerből az derült ki számukra, hogy a számtai sorozat tizedik eleme a kilecedik és tizeegyedik elem számtai közepe. (Ie származik az ilye tulajdoságú sorozatok számtai jelzője.) Ez általába is érvéyes: Az első tag kivételével a számtai sorozat bármely tagja a hozzá képest szimmetrikusa elhelyezkedő tagok számtai közepe. Képlettel: a a k + a+ k, ha >k >0 egészek. Feladat 6. Mutasd meg az alábbi sorozatokról, hogy számtai sorozatot alkotak, és add meg a differeciájukat! a) a 5 ; b) b 0 ; c) ( ) c. 7. Néháy számtai sorozat első tagját és differeciáját adtuk meg. Számítsd ki a keresett tagokat! a) a, d 3, a? a? 37 8 b) b 5, d, b8? b34? 3 c) c 03,9, d 0,4, c0? c5?

22 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 8. Egy agyo erős doháyos szilveszterkor megfogadja, hogy leszokik a doháyzásról. Jauár elsejé még elszívja az addig szokásos két doboz (40 szál) cigarettáját, majd ettől kezdve mide ap 3 szállal csökketi az adagját. Ha tartja magát elhatározásához, sikerül-e a születésapjáig (jauár 0-ig) leszokia a doháyzásról? 9. Add meg a számtai sorozat jellemzőit ( a -et és d-t), ha elemei között feáll a következő algebrai kapcsolat: a 5 a a a Egy háromszög szögei egy számtai sorozat egymást követő tagjai. Leghosszabb és legrövidebb oldala 4, illetve cm. a) Számítsd ki a háromszög területét! b) Számítsd ki a háromszög harmadik oldalát!

23 . modul: SOROZATOK 3 IV. A számtai sorozat első tagjáak összege Egy trapéz alakú ézőtére 0 sor va. Mide sorba SZÍNPAD kettővel több szék va, mit az előtte levőbe. Háy éző fér el a szíházba, ha az első sorba tíze ülhetek le? A sorokba levő székek száma számtai sorozatot alkot, melyek első tagja 0, differeciája pedig. Ha arra vagyuk kívácsiak, háya férek el a ézőtére, az S összeget kell kiszámítauk, és 0 a a... a0 ehhez a számtai sorozat mid a 0 tagját meg kell állapítauk, és azokat összegezi kell. Vajo ics eél egyszerűbb módszer? Egy sorozat tagjaiak összegére gyakra va szükségük. Egy sorozat első eleméek összegé következőt értjük: S a + a a. (Az S kifejezés S betűje a summaösszeg lati szóból ered.) Az ilye típusú összegeket szokás rövide így is íri: agy szigma betű.) a + a a a i. (Σ a görög A számtai sorozat első eleméek összegéek meghatározásához Gauss ötletét alkalmazzuk. i Gauss, Karl Friedrich ( ) émet matematikus, fizikus és csillagász. A matematikusok fejedelme. Koráak legagyobb matematikusa volt, aki megújította szite az egész matematikát. A szászországi Brauschweigbe született szegéy családból. Tehetségét taítója fedezte fel. A több osztállyal foglalkozó taító a tizeévesekek gyakorlásul feladta a számok összeadását -től 00-ig. Palatáblájá Gauss rögtö megmutatta az eredméyt: A csodálkozó taítóak elmagyarázta, hogy em a szokásos módo számolt, haem az összeget vette 50-szer. Két külöböző sorredbe adjuk össze a tagokat, először az első, majd az utolsó (-edik) tagtól kezdve: S S a a + a + a a a + a + a Adjuk össze a két sort úgy, hogy az egymás alatt álló tagokat összepárosítjuk: ( a + a ) + ( a + a ) ( a + a ) ( a + a ) + ( a ) S a k k + Vizsgáljuk meg, hogy milye összefüggés va az egy zárójelbe szereplő tagok között!

24 4 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE a + a felírható a + d + a d a + a alakba, de ez igaz lesz mide zárójelbe szereplő kifejezésre, hisze a a k k a a + ( k ) ( k ) d a d k + a k a + ( k ) d + a ( k ) d a + a Így egyeletük jobb oldalá mide zárójelbe levő kifejezés helyettesíthető a + a a, tehát S. tehát S ( a + ). a + a -el, Gyakra előfordul, hogy a számtai sorozatot első elemével és a differeciával adják meg, így célszerű az a ( ) d a megbarátkozi: + kifejezés behelyettesítése utá kapott következő képlettel is S ( ) a + d. Ha egy számtai sorozat első tagja a, -edik tagja a és differeciája d, akkor a sorozat első eleméek összegét a következő képlettel tudjuk kiszámítai: a + a a + ( ) d S. Oldjuk most meg a fejezet elejé felvetett problémát! Mitapélda 9 Egy trapéz alakú ézőtére 0 sor va. Mide sorba kettővel több szék va, mit az előtte levőbe. Háy éző fér el a szíházba, ha az első sorba tíze ülhetek le? Megoldás: a 0, d. Képletüket alkalmazva 0 + ( 0 ) S Mitapélda 0 Háy sor va abba a kör alakú aréába, amelyről tudjuk, hogy az első sorba 00 ülőhely va, majd mide sorba 4-gyel több a helyek száma, mit az eggyel alacsoyabba levő sorba? Az egész aréába 3700 éző fér el.

25 . modul: SOROZATOK 5 Megoldás: Jelöljük a sorok számát -el! Az egyes sorokba levő ülőhelyek száma számtai sorozatot alkot, melyek differeciája 4. Ismerjük még a számtai sorozat első tagját: a 00, valamit az első elem összegét: S Ha az ismert adatokat beírjuk képletükbe, egyetle ismeretleük marad, az. Redezés utá a ( ) / [ 00 + ( ) ] másodfokú egyelethez jutuk. A megoldóképletet alkalmazva: ( 850) 49 ± ± 99, 74; 5. A egatív eredméy em jöhet szóba, így 5, tehát az aréába 5 sor va Elleőrzés: S Mitapélda Egy számtai sorozat 3. tagja 3. Meyi az első 5 tag összege? Megoldás: a3 3 a + d. Látható, hogy kevés az adatuk ahhoz, hogy megállapítsuk a számtai sorozat első elemét és differeciáját, ugyais végtele sok ilye számtai sorozat va. Szerecsére az összeg megállapításához ics szükségük a feti adatokra, ugyais az olya sorozatokba, melyekek 3. tagja 3, mid azoos az első 5 tag összege. Haszáljuk most az S a + a képletet az összeg kiszámítására: a + a5 S 5 5. Mivel a 3. taghoz képest az első és a 5. tag szimmetrikusa helyezkedik el, a + a 5 a 3. Így S a

26 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Ha egy számtai sorozatak páratla sok tagját adjuk össze, midig megtehetjük, hogy a középső tagot szorozzuk meg a tagok számával. Feladatok. Számítsd ki a hiáyzó adatokat! a) a ; d,5. S? b) b ; d,5. S? 0 c) c,3; S 9. d? 4 5 d) d,; S 66. a? 0 e) d,; S 57. e? 0 5 f) S ; S 34. f? f? Valaki összeadta az összes olya legfeljebb 4 jegyű pozitív egész számot, amelyre igaz, hogy a számjegyek összege osztható 9-cel. Meyi lett ez az összeg? 3. Egyforitosokból az ábrá látható alakzatokat raktuk ki. Háy forit szükséges a 00. ilye alakzat megformálásához? 4. Egy sorozatot az ( + 5) a képlettel adtak meg. a) Számítsd ki a sorozat első 0 eleméek összegét! b) Milye képlet adja meg a sorozat első eleméek összegét? 5. Nagymama vastag foalból babakocsiba való lábzsákot köt a kisuokájáak. A szabásmita szerit a zsák hátsó része trapéz alakú. Ezt a formát úgy alakította ki, hogy az első sorba 40 szemet kötött, majd mide ötödik sorba szemet szaporított. Az utolsó 5 sorba 80 szemet kötött. Milye hosszú lesz a lábzsák, ha mide kötéssor 0,5 cm-ek felel meg? Összese háy szemet kötött, míg elkészült a mukával?

27 . modul: SOROZATOK 7 V. A mértai sorozat Vizsgáljuk meg, mi a közös az alábbi sorozatokba: a) a ; a a b). b c) c c 3;. c Az a közös a sorozatokba, hogy mid a háromál úgy kapjuk meg a sorozat tagjait az előzőből, hogy ugyaazzal a számmal megszorozzuk. Mértai sorozatak evezzük az olya sorozatot, amelybe a szomszédos tagok háyadosa a sorozatra jellemző ullától külöböző álladó. Ezt az álladót háyadosak (kvóciesek) evezzük, jele q. A kvócies elevezés a lati quoties háyados szóból származik, ezért szoktuk q-val jelöli. A mértai sorozatokba a második tagtól kezdve mide tagot úgy kapuk meg, hogy a sorozat előző tagját q-val (a kvóciessel) megszorozzuk. Az ( a ) ( b ), ( c ), sorozatok tehát mértai sorozatok.

28 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda Mutassuk meg, hogy az előző három sorozat midkét defiícióak megfelel! Megoldás: Az ( a ) sorozat tagjai úgy keletkezek, hogy mide tag az őt megelőző 3-szorosa, tehát az egy 3 kvóciesű sorozat. Ha a ( b ) sorozat bármely tagját -vel szorozzuk, a következő tagot kapjuk: b. + b+ c sorozat képletét átredezve c c, tehát ez egy A ( ) sorozat. q kvóciesű mértai Látható, hogy az ( a ) és ( ) b sorozatokál álladó az egymást követő tagok háyadosa: a a, a a 3, 3; 9 a b, b b,. b A harmadik sorozat megadása eleve olya volt, hogy az egymást követő tagok háyadosa legye. A mértai sorozatok esetébe gyakra megadjuk az első tagot és a q-t. Hogya tudjuk meghatározi a és q ismeretébe a sorozat tagjait aélkül, hogy az összes előzőt ki kellee számoluk? a q a q a 3 q a q q A sorozat -edik tagját úgy kapjuk meg, hogy az első tagot -szer megszorozzuk q-val, tehát a a q. A mértai sorozat -edik tagját így számoljuk ki: a a q -.

29 . modul: SOROZATOK 9 Mitapélda 3 Számítsuk ki a bevezetésbe szereplő sorozatok hatodik tagjait! Megoldás: a 6 ; 3; 3 6 a q a 43 7; 9 a 9 9 b 6 6 b ; q ; b6 64; b c 6 c 3; q ; c6 3 3 c 3. Mitapélda 4 Egy mértai sorozat két tagját ismerjük: a, a 000. Számítsuk ki a sorozat. tagját! Megoldás:. módszer: Az 0 0 a a q egyelet segítségével állítsuk fel egyeletredszert 0 a q kiszámítására: 000 a q 9. A két egyelet megfelelő oldalait elosztjuk egymással (másodikat az elsővel): q 00 ie q 0 vagy q 0. A két értéket behelyettesítve az első egyeletbe azt kapjuk, hogy a a q ( 0) 8 q a 8 a a q , vagy ( 0 ) ( 0) ( 0 ) a és q.

30 30 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. módszer: a 0 értékét megkaphatjuk úgy, hogy a -et elosztjuk q-val, vagy a 9 -et megszorozzuk q-val: a a 0 0 a q a 9 q a a 9 a 0 a q 0 q a. q 0 Tehát a a ( a q) ( ) 9 0 a Így ( ) a 00 vagy a 00 a.. Az első módszer alkalmazható mide olya esetbe, amikor adott a mértai sorozat két tagja, és meg akarjuk határozi az első tagot és a kvóciest. A második módszerbe kapott összefüggés általáosa is igaz: Az első tag kivételével a mértai sorozat bármely tagjáak égyzete megegyezik a hozzá képest szimmetrikusa elhelyezkedő tagok szorzatával, azaz ( a ) a k a+ k. Ha kikötjük, hogy a mértai sorozat összes tagja pozitív, akkor a feti összefüggésből következik. Kimodhatuk a számtai sorozatba megismerthez hasoló a a k a+ k jellegű tételt: A pozitív tagú mértai sorozat bármely tagja a hozzá képest szimmetrikusa elhelyezkedő tagok mértai közepe. Képlettel: ha >k és mide a i >0, i N +. a a k a+ k (Ezért evezik az ilye tulajdoságú számsorozatokat mértai sorozatak.)

31 . modul: SOROZATOK 3 Feladatok 6. Írd fel a következő mértai sorozatok első 5 elemét! Állapítsd meg a sorozatok mootoitását! Sejtésedet igazold! a) a 00; q 0,5. b) b 64; q 0,5. c) c,; q 3. d) d 7; q,5. e) e 36; q. 7. Számítsd ki a megadott mértai sorozatok hiáyzó adatait: a) a ; q 3; a? b) b ; q 3; a? c) c ; c4 ; q? d) d ; d5 ; q? e) e ; e 6; q? 5 8. Adott egy mértai sorozat az első elemével és a kvóciesével. Dötsd el, hogy tagja-e a sorozatak a t-vel jelölt szám, és ha ige, akkor háyadik tagja ez a sorozatak? a) a 56; q 0,5; t 6 ; b) b 5; q 0,4; t 0, 447 ; c) c 800; q 0,3; t 0000.

32 3 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VI. Kamatos kamat Először ismételjük át a százalékszámításról taultakat! p Egy A meyiség p százaléka az adott összeg -ad része, tehát ha ki akarjuk számítai az 00 p A meyiség p százalékát, meg kell szorozuk A-t -zal. 00 Az A meyiség p %-a: p 00 A. p Ha az A meyiséget p %-kal öveljük, akkor az A-hoz hozzá kell adi az A meyiség - 00 szorosát: Az A meyiség p %-kal övelve: p p A + A + A Hasolóa, ha most p%-kal csökketei akarjuk A-t: Az A meyiség p %-kal csökketve: p p A A A Mitapélda 5 A havi kötelező felelősségbiztosítás összege 494 Ft-ról 55 Ft-ra változott. Háy százalékkal őtt a havi díj? Megoldás:. módszer: Először számítsuk ki, háyszorosa az új díj az eredetiek: 55, 037. Ez 03,7 494 századrészt, azaz 03,7 százalékot jelet. Tehát a övekedés (00%-ról) 3,7%.. módszer: Azt ézzük meg, hogy a övekedés háyadrésze az eredeti összegek! ,037. Ez az eredeti összeg 3,7 századrésze, tehát 3,7%-a.

33 . modul: SOROZATOK 33 Mitapélda 6 Egy üzlet forgalma az előző hóaphoz képest 7%-kal őtt. Ebbe a hóapba Ft volt. Mekkora volt az elmúlt hóapba? Megoldás: Jelölje x az eredeti forgalom értékét. Ez 7%-kal övekedett, vagyis 7 x + x ,07x x, Tehát az elmúlt hóap forgalma Ft volt. Mitapélda 7 Magyarországo a halálozások száma 005-be 3573 volt, 006-ba pedig 3500 (KSH adat). Háy százalékkal csökket a halálozások száma 005-ről 006-ra? Megoldás:. módszer: Először megvizsgáljuk, háyadrésze (háyszorosa) a 006. évi halálozások száma a 005. évihez képest: , 969, százalékba megadva 96,9%, tehát a csökkeés ,%-os.. módszer: Vizsgáljuk meg, hogy a csökkeés háyadrésze (háyszososa) a 005. évi adatak: ,03. Ez 3, századrészek, azaz 3,%-ak felel meg. 3573

34 34 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda 8 A bakba berakott pézem havota kamatozik úgy, hogy 0,9%-át mide hóap végé jóváírják a számlámo. Vizsgáljuk meg, milye összegek szerepelek a számlámo hóapról hóapra, ha jauár -jé beteszek Ft-ot, és egész évbe em yúlok a számlámhoz! Megoldás: Ha x összeg va a számlá, ez az összeg a 0,9% kamat miatt,009-szorosára ő jauár február. 0000, 009 március. 0000, 009, , 009 április , 009, , 009 május , 009, , 009 júius , 009, , 009 július , 009, , 009 augusztus , 009, , 009 szeptember , 009, , 009 október , 009, , 009 ovember , 009, , 009 december , 009, , jauár , 009, , , 35Ft Észrevehetjük, hogy az egymást követő pézösszegek mértai sorozatot alkotak. A 008. jauár -é felvehető pézt kiszámíthattuk vola a mértai sorozat -edik eleméek képlete segítségével is: a 0000; q,009; 3; a 0000, Amikor egy bizoyos pézösszegek azoos mértékű ismételt kamatát számítjuk ki (vagyis a kamattal övelt összeg kamatát számítjuk), kamatos kamatról beszélük.

35 . modul: SOROZATOK 35 Mitapélda 9 Egy természetvédelmi területe egy övéy egyedszáma úgy változik, hogy évről-évre 4%- kal ő. Ha a körülméyek em változak, háy év múlva lesz a övéyek egyedszáma az eredeti szám másfélszerese? Megoldás: Legye a övéyek eredeti egyedszáma N, ekkor a feladat: N; q,04; a,5 N; a? a a q 5, N N, 04 / : N,5,04 Most az ismeretle a kitevőbe szerepel, a megoldást ezért megkapjuk, ha vesszük az egyelet midkét oldaláak logaritmusát. Ezt megtehetjük, hisze ha két pozitív meyiség egyelő, akkor (és csak akkor) a logaritmusuk is egyelő. (Az függvéy kölcsööse egyértelmű a pozitív valós számokra.) ( ) lg,5 lg,04 A hatváy logaritmusáak azoosságát alkalmazva: lg,5 ( ) lg,04 / : lg, 04 lg,5 0,34, ie lg,04,34. x a log x A sorozat első tagjáak modtuk az iduló egyedszámot, ami igazából a 0. év, így a másfélszeres populációt a 0,34-edik évbe éri el a övéy. Tehát 0 év elteltével még em, de év elteltével a populáció egyedszáma már meg is haladja az eredeti másfélszeresét. Észrevehetjük, hogy a feladat megoldása em függ az eredeti egyed- számtól.

36 36 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 9. Magyarországo 005-be az élveszületések száma volt, 006-ba pedig (KSH adat). Háy százalékkal változott az élveszületések száma 005-ről 006-ra? 0. Egy személygépkocsi árát 5%-kal megemelték, majd ebből az árból egy akció alkalmával 5%-ot elegedtek. Hogya változott a gépkocsi ára az eredeti árhoz képest?. Egy agymama uokája születésekor olya foritos betétet helyezett el számára a bakba, mely évete 8%-ot kamatozik. Uokája ezt 8 éves korába felveszi, hogy a továbbtaulását ayagilag fedezze. Mekkora összeget tud ekkor felvei?. Egy ország 007-be vállalja, hogy a károsayag-kibocsátást évi 3%-kal csökketi. Háy év kell ahhoz, hogy a szeyezés a mostai érték 70%-a legye?

37 . modul: SOROZATOK 37 VII. A mértai sorozat első tagjáak összege Mitapélda 0 A legeda szerit egy idiai király udvari bölcse volt a sakk feltalálója. Az uralkodó ayira örült az új játékak, hogy felajálotta a bölcsek, kérje, amit csak akar, megkapja. A bölcs kérése szeréyek látszott: Tégy a sakktábla első mezőjére egy búzaszemet, a másodikra kettőt, a harmadikra égyet és így tovább, mide mezőre kétszer ayit, ameyi az előtte lévő volt. Ayi búzaszem legye a jutalmam, ameyi ilye módo a sakktáblá va! Számítsuk ki, háy szem búza lett vola a 64. kocká, ha a bölcs szeréy kérését a király teljesítei tudja! Megoldás: A kérés szerit az elhelyezett búzaszemek száma háyadosú mértai sorozatot alkot, mert első tagja a, a másodikat úgy kapjuk meg, hogy az elsőt szorozzuk kettővel, és így tovább: a a a 3 4,, 3, 63 8 a 9,. 64 0

38 38 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Tehát az utolsó mező több mit 9 trillió búzaszemek kellee elférie. A tudós azoba emcsak a 64. mezőre jutó búzát kérte, haem a sakktáblára elhelyezett összes búzát. Ki kellee számítauk a mértai sorozat első 64 tagjáak összegét! A mértai sorozat első eleméek összegéek kiszámításakor hasoló cselt alkalmazuk, mit a számtai sorozat képletéek levezetésekor. Itt is kétszer írjuk fel az összeget, de a második sorba az összeg helyett az összeg q-szorosa szerepel: S q S a + a q + a q a q + a q a q a q + a q + a q + a q Észrevehetjük ugyais, hogy a két egymás alatt álló összegbe agyo sok azoos tag va, ezért, ha a két egyeletet kivojuk egymásból, a következőt kapjuk: q S S a q S ( q ) a ( q ), a Ie, ha q, S q q a. Ha q, a sorozat mide tagja azoos, kostas sorozat keletkezik, tehát S a. A mértai sorozat első eleméek összege q S a, ha q és S a, ha q. q Mitapélda Számítsuk ki, háy szem búza járt vola a sakk feltalálójáak! Megoldás: a q Alkalmazzuk a képletet: S64 84, 0. Észrevehetjük, hogy ez az érték az utolsó égyzetre tett búzaszemek kétszerese, azaz a legutolsó mező ayi búza va, mit a másik 63 mező összese. Ha egy szem búza tömegét kb. 0,04 g-ak tekitjük, akkor ez a búzameyiség 7,36 0 toa, és a Földö eyi búza eddig még összese em termett.

39 . modul: SOROZATOK 39 Mitapélda Kerítésüket olya -szer méteres égyzet alakú elemekből akarjuk elkészítei, amit betoacél rudakból hegesztük össze a következő módo: Az méteres oldalú égyzet oldalfelező potjaiba rudakat hegesztve kisebb égyzetet formáluk, majd eljárásukat addig folytatjuk, míg az eredetivel együtt már 7 égyzet va a mitákba. a) Mekkora lesz a legkisebb égyzet oldala? b) Háy m acélrúd kell egy ilye kerítéselem elkészítéséhez? Megoldás: a) A legagyobb égyzet oldala m, a következőé egy oldalú égyzet átlója, tehát, ami az előző adat ( m) -szöröse. Mide kis égyzetoldal az előzőek eyiszerese, tehát az oldalak hosszai mértai sorozatot alkotak, melyek kvóciese, első tagja, és keressük a hetedik tagot: a ,5 m. Tehát a legrövidebb rúd hossza,5 cm. b) A égyzetek kerületei is mértai sorozatot alkotak, melyek kvóciese szité, 4, 4 4. hisze K a K a ( a) K A mértai sorozat első tagja most K 4, a kvócies q tag összegét keressük: S ,45. 8 ( ) ( ) Egy kerítéselem elkészítéséhez tehát körülbelül,5 m ayag kell., de most az első hét

40 40 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda 3 Egy mértai sorozat első öt tagjáak összege 8989, kvóciese. Határozzuk meg a mértai sorozat első tagját! Megoldás: Alkalmazzuk az összegképletet: 8989 a 8989 a a,8. 5, 605, Mitapélda 4 Egy mértai sorozat első tagja 4, kvóciese q,5. A sorozat első éháy tagját össze- adtuk, és azt kaptuk, hogy S 676, 5. Háy tagot adtuk össze? Megoldás: Alkalmazzuk a mértai sorozat első eleméek összegére voatkozó képletet: 676,5 4 8,875 98, ,6565 (,5) (,5),5 3,5 (,5) (,5) Most az ismeretleük a kitevőbe va. Ilyekor a logaritmust szoktuk segítségül hívi, de ebbe az esetbe azt most sajos em tehetjük, hisze egatív számak em vehetjük a logaritmusát. Szerecsére az számot a pozitív egész számok körébe keressük, így egy kicsit ügyeskedhetük: ( ), 97, Tudjuk, hogy [( ) a] ( ) a, és a > 0 eseté ez csak akkor lesz egatív, ha az szám páratla, tehát a jele esetbe ( ). Osszuk el az egyelet midkét oldalát -gyel, és ezutá már vehetjük midkét oldal logaritmusát:

41 . modul: SOROZATOK 4 97,6565,5 lg97,6565 lg,5 lg97, lg,5 Tehát a mértai sorozat első 5 tagját adtuk össze. Mitapélda 5 Számítsuk ki a mértai sorozat kvóciesét, ha tudjuk, hogy az első három tag összege 39,368, és az első tag a 3 8. Megoldás:. módszer: Tudjuk,, hogy a 3, q a, q 8 és 3 3 8, tehát a 39, 368 3, 8 + 3, 8q + 3, 8q másodfokú egyelethez jutuk. Ezt átredezve és a megoldóképletet alkalmazva: 3,8q q q, + 3,8q 35, q 9,36 0 ± + 4 9,36 / : 3,8 ± 6, a q 3,6 és a q,6 megoldásokat kapjuk. És valóba, ha q 3,6; 3,8 + ( 3,68) + 49,48 39,368;. módszer: Alkalmazzuk az összegképletet: 3 q 39, 368 3, 8 q 3 q 0, 36 q és ha q,6; 3,8 + 9,88 + 5,688 39,368. Ha most beszorozák az egyelet midkét oldalát ( q ) -gyel ( q ), harmadfokú 3 3 egyelethez juták. Ha viszot alkalmazzuk az a b ( a b)( a + ab + b ) azoosságot, átalakíthatjuk a törtük számlálóját, majd egyszerűsíthetük ( q ) -gyel: q q q q ( q )( q + q + ) + + q q q. Tehát egyeletük így alakul: q + q + 0, 36 q + q 9,36 0, ami az előzőekbe megoldott egyelet.

42 4 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda 6 Egy mértai sorozat első 6 tagjáak összege 49,6496. Ha csak a páratla sorszámú tagokat adjuk össze, akkor,568-t kapuk, azaz a + a + a , Mekkora a sorozat első tagja? Megoldás: A mértai sorozat páratlaadik tagjai szité mértai sorozatot alkotak, hisze 4 a ; aq ; aq olya mértai sorozat egymást követő tagjai, melyek első tagja b a kvóciese q q és. Írjuk fel midkét sorozat eseté a megfelelő tagok összegét: 49,6496 a,568 b 6 q, q ( q ) 3 q a q q 6 ( q + )( q ). Ha a második egyelet midkét oldalát ( q +) -gyel szorozzuk, az helyére 49,6469-ot helyettesíthetük: 6 q a kifejezés q,568 a,568 q 6 ( q )( q + ) 6 q q ( q + ) a,568 ( q + ) 49,6496. Ie q +, q,. A sorozat első tagjáak kiszámításához újra elő kell veük valamelyik összegképletet: 6, 49, 6496 a, 49, , a 5 6, A sorozat első tagja tehát 5.

43 . modul: SOROZATOK 43 Mitapélda 7 Hogya írható fel a legagyobb 7-jegyű szám a 3-as számredszerbe? Add meg eek értékét tízes számredszerbe! (Ahogy a tízes számredszerbe pl. a 0 szám értéke 0 hármas számredszerbe a ) , úgy a Megoldás: A hármas számredszerbe a legagyobb számjegy a, így a legagyobb hétjegyű szám a Az eredméy em túl meglepő, hisze a legagyobb hétjegyű utá a legkisebb 7 yolcjegyű következik, ami a A feladat tehát azzal az ötlettel is 3 7 megoldható, hogy a 3-as számredszer legkisebb yolcjegyű számából ( 3 ) -et levouk. Feladatok 3. Írd fel tízes számredszerbe a következő 5-ös számredszerbeli számot: (Ahogy a tízes számredszerbe pl. a 769 szám értéke , 0 úgy az ötös számredszerbe pl. a ) 5 4. Számítsd ki a mértai sorozat első tagjáak összegét! a) a,7; q 0,4; 9. b) b 3,; q 0,5; 0. c) c 3,; q 0,5; 0. d) d 3,; q 0,5; 0. e) e 0,36; q ;. f) f 0,36; q ;. g) g 0,36; q ;.

44 44 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 5. Egy mértai sorozat első tagja, első három tagjáak összege 57. Írd fel a sorozat első három tagját! 6. Számítsd ki a mértai sorozat első tagját, ha a) q 4; S ; b) q 0,; S7 390, 6.

45 . modul: SOROZATOK 45 VIII. A mértai sorozat gyakorlati példákba Mitapélda 8 Két üzlet közül az első forgalma jauár elejé,5-szer akkora, mit a másodiké. Az első üzlet forgalmát később havi 0%-kal, a másodikét havi 0%-kal sikerül öveli. a) Melyik hóapba lesz a második üzlet forgalma legalább akkora, mit az elsőé? b) Melyik hóapba éri el az addigi forgalom összege a második üzletbe az elsőét? Megoldás: a) Midkét üzlet havi forgalmát mértai sorozatak tekitjük. Jelölje F a második üzlet eredeti forgalmát, ekkor az első üzlet esetébe: a,5 F, q, a,5 F,, a második üzlet esetébe: b F, q, b F,. Azt akarjuk megtudi, milye eseté lesz b a. F,,,,,,,5 F,,5,,5,5. / :, Az ismeretle a kitevőbe va, tehát az egyelőtleség midkét oldaláak logaritmusát vesszük. Tehetjük ezt, mivel az x a lgx függvéy szigorúa mooto > 0 ő, így ha a b, akkor lg a lgb is teljesül. ( ), lg lg,5, 4,66 5,66., / : lg > 0, A feti eredméy azt mutatja, hogy az idulástól számított hatodik hóapba lesz először a második üzlet forgalma agyobb, mit az elsőé. b) Most ismét az előbbi sorozatokkal számolva azt kell megtuduk, hogy milye eseté lesz s S. ( S -el az első, s -el pedig a második üzlethez tartozó bevétel,, összegét jelöltük.) S,5 F, s F,,,

46 46 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE,,,5 F F,,,,,5 0, 0, 3 (, ) 3, 3, 3,, 3,,, +. Az ilye típusú feladatokat algebrai módszerrel általába em tudjuk megoldai. Mivel most csak pozitív egész számok körébe keressük a megoldást, sőt azt is tudjuk, hogy 6, hisze csak abba a hóapba érte utol a második üzlet forgalma az elsőét, próbálgatással igyekszük választ adi. Készítsük táblázatot! ,,,33,6,3,9,59 A táblázatból látható, hogy a második üzlet összegzett forgalma az idulástól számított 9. hóapba már meghaladja az elsőét: 9 9,, S9,5 F 0,37F, s9 F 0,80F.,, Mitapélda 9 Karcsiak édesapja azt ígérte, ha mide évbe saját zsebpézéből 0 köyvet vásárol, potosa tizedayi (általa kiválasztott) köyvet vesz eki karácsoyra, mit aháy a polcá sorakozik. Ekkor éppe 00 saját köyve volt. A köyveket agyo szereti, de a zsebpéze kevés, így évete potosa 0 köyvet tudott vásároli. Háy köyve lesz így 5 év elteltével? Megoldás: Ha édesapja tizedayi köyvet vásárol, mit aháy éppe volt, a köyvek számát azok -ével öveli, tehát a köyvek száma,-szeresére ő. 0

47 . modul: SOROZATOK 47 Év végé. ( ), 0 00, + 0,. ( 00, + 0, + 0), 00, + 0, + 0, ( 00, + 0, + 0, + 0), 00, + 0, + 0, + 0, ( 00, + 0, + 0, + 0, + 0), 00, + 0, + 0, + 0, + 0, ( 00, + 0, + 0, + 0, + 0, + 0), 00, + 0, + 0, , Észrevehetjük, hogy az 5. év végé megjeleő összegbe megjeleik a kezdetbe meglevő köyvek évi 0%-kal övelt száma, valamit az éves köyvvásárlások számáak évekét,-szeresére övelt értéke. Az összeadadó tagok egy mértai sorozatot alkotak, ahol az első tag 0,, a kvócies pedig,. Így az 5. év végé Karcsi köyveiek száma: 5 5 (, ) 30, 0 389, , 5 00, + S5 00, + 0, 00, + 0, Így 5 év elteltével körülbelül 389 köyve lesz Karcsiak.. Mitapélda 30 Egy gazdaságba 4000 yúl va. A gazdaságak érvéyes szerződése va arra, hogy 4 havota 5000 yulat átveszek tőle. Havota átlagosa 5%-kal ő a yulak száma. Ilye feltételek mellett háy yúl lesz a gazdaságba év elteltével? Megoldás: A yulak száma az egyes hóapokba:. 4000, , , , ( 4000, ), , , , , 5, , , ( ) 4000, , 5, , , ( )

48 48 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE ( 4000, , 5 ), , , ( 4000, , ), , , , , , , 5, , , , ( ) 4000, , , 5, , , , ( ) ( 4000,5 5000,5 5000,5 ), ,5 5000,5 5000, A. hóap végé tehát 4000, , , yúl va a gazdaságba. Ez a szám egyrészt tartalmazza azt a yúlszámot, ami akkor adóda, ha em adtuk vola el egy yulat sem az év folyamá, másrészt kivoódik belőle az eladott yulak száma, de em a , mert a számítás azt is figyelembe veszi, hogy az eladott yulak szaporulata is elvész. Ez utóbbi rész amit kivouk egy mértai sorozat összege. A mértai sorozat első tagja Az év végé tehát a yulak száma a , q,. 4000,5 S3 4000, ,5 Egy év elteltével 00 yúl lesz a gazdaságba. 4 3 (,5 ) Feladatok 7. Egy gazdaságba 0000 sertést evelek. A sertések száma évről évre megháromszorozódik, de kétévete (az állomáy megújítása érdekébe) vásárolak 4000 sertést. Háy sertésük lesz 0 év múlva, ha évi 4000 sertést a vágóhídra viszek? 8. Egy fős kisvárosba soka születek, de kevese halak meg, eek következtébe lakossága 0 év alatt 0%-kal ő. Ha évete 000 új lakos érkeze a városba, háy fővel őe a lakosság 0 év alatt?

49 . modul: SOROZATOK 49 IX. Számtai és mértai sorozatokat is tartalmazó feladatok Mitapélda 3 Három szám egy számtai sorozat három egymást követő tagja. Ha az első számhoz 3,6-et aduk, egy mértai sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek összege 5,6. Határozzuk meg ezeket a számokat! Megoldás: Jelölje a számtai sorozat három egymást követő tagját a d, a, a + d. Ha a mértai sorozat három tagjához úgy jutuk, hogy a számtai első tagjához 3,6-et adtuk, akkor a számtai sorozat három egymást követő tagjáak összegét megkapjuk, ha a mértai sorozat összegéből levouk 3,6-et. Számtai. tag. tag 3. tag Összeg a d a a + d +3,6 3,6 Mértai a d + 3, 6 a a + d 5,6 Ha tudjuk, hogy a számtai sorozat három egymást követő tagjáak összege, a középső tagot megkaphatjuk úgy, hogy az összeget osztjuk 3-mal, tehát a 4. Még azt em haszáltuk ki, hogy a 4 d + 3, 6, 4, 4 + d számok egy mértai sorozat egymást követő tagjai. A mértai sorozatról tudjuk, hogy bármely tag égyzete a hozzá képest 7, 6 d 4 + d 4, szimmetrikusa elhelyezkedő tagok szorzatával egyelő, tehát: ( )( ) ezt 0-ra redukálva a d + 3,6d + 4,4 0 másodfokú egyelethez jutuk. Eek gyökei d és d, 4. 6 A két sorozat tagjai tehát: Számtai 4 0 6,4 4,6 VAGY Mértai, ,6 Ellerőrzés: Az,6; 4; 0 számhármas valóba mértai sorozat egymást követő elemei, hisze q, 5 és összegük, , 6. Hasolóa, a 0; 4;,6 számhármas is mértai sorozatot alkot, ekkor q 0, 4. Összegük ugyaayi, mit az előbb, hisze a tagok ugyaazok, csak más sorredbe.

50 50 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda 3 Két városba (evezzük őket A és B városak) 006. jauár -é elhatározzák, hogy a buszbérlet árát hóapról hóapra emelve 008. jauár -ig felemelik 00 fabatkáról 00 fabatkára. Ezt A város úgy valósította meg, hogy havota azoos %-kal, B város pedig úgy, hogy havota azoos összeggel övelte az árat. a) Háy százalékkal őtt hóapról hóapra A városba a bérlet ára? b) Háy fabatkával őtt havota B városba a bérlet ára? c) Ha egy polgár mide hóapba vásárol bérletet, melyik városba költ rá többet a 4 hóap alatt? d) Háy százalékkal költ többet bérletre egy B városba lakó a második évbe, mit az elsőbe? Megoldás: a) A városba a bérlet havi költsége a mértai sorozat szabályai szerit ő: a (006. ja.-i állapot) 00, a 5 (008. ja.-i állapot) q q q 4,093, tehát a övekedés havi,93%. b) B városba a bérlet havi költsége a számtai sorozat szabályai szerit ő: b 00, b d 4d 00 5 d 47, 6 Tehát a övekedés körülbelül havi 4,7 fabatka. c) Számítsuk ki midkét sorozat az első 4 tagjáak összegét! S ,7; 4 A B 4 S Tehát B városba költeek többet bérletre két év alatt. (Grafikouko is látszik, hogy a kék oszlopok összmagassága agyobb.)

51 . modul: SOROZATOK B város A város d) A B városba lakó az első évbe S fabatkát, a második évbe pedig fabatkát költ bérletre. A övekedés tehát 075, 407 -szeres, tehát 40,7%-kal költ többet a második évbe bérletre, mit az 475 elsőbe. Feladatok 9. Folytasd a sorozatot még 5 taggal úgy, hogy I. számtai sorozat legye! II. mértai sorozat legye! a) ; 4 b) ; c) 6; 3 d) 3 ; 4 4 e) f) ; o si 90 ; o si 70 ;

52 5 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 30. Body Béla és Gyúró Gyula elhatározták, hogy a stradszezo előtt formába hozzák magukat. Béla api 0 fekvőtámasszal kezdte, de elhatározta, hogy apota -gyel öveli a gyakorlatok számát. Gyúró Gyula óvatosabb volt, api 5 fekvőtámasszal kezdte az első hét mide apjá, de elhatározta, hogy hétről hétre megduplázza api adagját. Midkette február -jé, hétfő kezdték az ösayargatást. Február végéig ki csiált meg több fekvőtámaszt? (Törtéetük em szökőévbe játszódik.) 3. Egy üzletlác tagjai feladatul kapták, hogy forgalmukat hóapról hóapra év, azaz 4 hóap alatt redszerese övelve, havi Ft-ról Ft-ra öveljék. Ezt az üzletlác két tagja is teljesítette, de az utasítást másképp értelmezték. Az egyik üzlet havota ugyaakkora összeggel övelte bevételét, a másik pedig hóapról hóapra ugyaayi %-kal. a) Meyivel övelte havota forgalmát az első üzlet? b) Háy %-kal övelte havota forgalmát a második üzlet? c) A két év alatt összese mekkora forgalmat boyolított le a két üzlet külö-külö? 3. Egy egyetem két kara is azt az utasítást kapta, hogy az eddig évete felvett taulók számát 000-ről 5 év alatt évi 600-ra csökketsék. Az utasítást az egyik kar úgy hajtotta végre, hogy évete azoos számmal csökketette a felvehető taulók számát, a másik pedig úgy, hogy a keretszámot évről évre azoos százalékkal csökketette. Háy hallgatót vett fel 5 év alatt az egyetem egyik, illetve másik kara? 33. Egy heger alakú medecéből mide ap elpárolog a víz 5%-a. Ha a feltöltés utá 0 appal 0 cm magasa áll a víz, milye magasa állt feltöltéskor? 34. Helyezz el 8 számot a 0 és a 00 közé úgy, hogy a 0 szám egymást kövesse egy a) számtai sorozatba; b) mértai sorozatba! 35. Számítsd ki a 3 első 7 hatváyáak a) összegét; b) szorzatát!

53 . modul: SOROZATOK Egy 0 cm oldalú égyzet átlóját 0 egyelő részre osztottuk, és mide osztópotba merőlegeset állítottuk az átlóra. Mekkora a merőlegesek égyzetbe eső részeiek összege? 37. Három szám egy mértai sorozat három egymást követő tagja. Szorzatuk 78. Ha az első számból 6-ot levouk, egy számtai sorozat három egymást követő tagjához jutuk. Mekkora eek a számtai sorozatak a differeciája?

54 54 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kislexiko Sorozat: az a függvéy, amelyek értelmezési tartomáya a pozitív egész számok halmaza. Az ilye függvéyél az értékkészlet elemeit a sorozat tagjaiak vagy elemeiek evezzük. Rekurzív megadás: ha egy sorozat tagjait úgy adjuk meg, hogy az -edik tag kiszámolásához szükség va a sorozat előző tagjaira is. Periodikus a sorozat, ha va olya pozitív egész p szám, hogy a sorozat bármely -edik elemére igaz, hogy a a + p. Egy sorozat mooto ő, ha mide tagja legalább akkora, mit az előző tag. a. a Egy sorozat mooto csökke, ha mide tagja legfeljebb akkora, mit az előző tag. a. a Számtai sorozatak evezzük az olya sorozatot, amelyél a második tagtól kezdve mide tagot úgy kapuk meg, hogy a sorozat előző tagjához a sorozatra jellemző álladó számot hozzáadjuk. Ezt az álladót differeciáak (lati: külöbség) evezzük. A számtai sorozat -edik tagját így számoljuk ki: a + ( ) d a. A számtai sorozat bármely tagja a hozzá képest szimmetrikusa elhelyezkedő tagokak számtai közepe. Képlettel: a a k + a+ k ha >k.

55 . modul: SOROZATOK 55 Ha egy számtai sorozat első tagja a, -edik tagja pedig a, a sorozat első eleméek összege: S a + a a + ( ) d Mértai sorozatak evezzük az olya sorozatot, amelyél a második tagtól kezdve mide tagot úgy kapuk meg, hogy a sorozat előző tagját a sorozatra jellemző álladó, ullától külöböző számmal megszorozzuk. Ezt az álladót háyadosak (kvóciesek) evezzük. A mértai sorozat -edik tagját így számoljuk ki: a a q. A pozitív tagú mértai sorozat bármely tagja a hozzá képest szimmetrikusa elhelyezkedő tagok mértai közepe. Képlettel: a a k a+ k ha > k és mide a > 0. i Negatív tagokat is tartalmazó sorozat eseté: a a k a+ k. A mértai sorozat első eleméek összege: q S a, ha q és S a, ha q. q Kostas sorozat: ha egy sorozat mide tagja azoos. Számtai sorozat eseté d 0, mértai sorozat eseté q. Kamatos kamat számítása: egy bizoyos meyiség azoos mértékű ismételt kamatozását úgy számítjuk, hogy a kamattal övelt összeg kamatát számítjuk. Ha a t 0 kiidulási összeg évig kamatozik, p százalékos kamattal, akkor a kamatokkal felövekedett összeg értéke: p 0 +. t t 00

56

57 . MODUL gazdasági matematika Készítette: Lövey Éva

58 58 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Betétek Mitapélda Számítsuk ki, mekkora éves kamatot jelet az, ha a bakba tett Ft-ot évi 6%-kal a) hathavota (azaz évete kétszer), b) kéthavota, c) havota tőkésítik. A feti tőkésítési gyakoriságot kamatperiódusak evezik. Megoldás: Legye a tőke A Ft. a) Ha egy bak évete kétszer tőkésít, az azt jeleti, hogy az éves kamat felét két alkalommal hozzáírja a tőkéhez. Tehát a 6% felét, 3% kamatot hozzáadak az A tőkéhez, így két tőkésítés utá Ez megfelel 6,09%-os éves kamatak., A A, 03, 0609 A -ra ő a tőke. b) Ha a bak évete 6-szor tőkésít, azt jeleti, hogy az éves kamat hatodrészét 6 alkalommal hozzáírja a tőkéhez. Tehát a 6% hatodát, % kamatot hozzáadak az A tőkéhez, így 6 tőkésítés utá Ez évi 6,5%-os kamatak felel meg. 6 0, 06 A 6 + A, 0, 065A -ra ő a tőke. 6 c) Ha a bak évete -szer tőkésít, az azt jeleti, hogy az éves kamat tizekettedrészét adják hozzá tizekét alkalommal az aktuális tőkéhez. Tehát kamatperiódus utá a tőke 0, 06 A + A 005,, 0668A. Ez 6,68%-os kamatak felel meg. Számukra ez a legkedvezőbb megoldás. Megjegyzés: Látható, hogy számításuk eredméye függetle attól, hogy mekkora az A tőke. Általáosa: Ha a bak p%-os évi kamat mellett évi alkalommal tőkésít, akkor az iduló tőke p + -szeresére ő.

59 . modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA 59 Mitapélda Azt tervezzük, hogy beteszük a bakba 007. jauár -jé millió foritot, és éve át em yúluk hozzá. A következő baki ajálatok közül választhattuk 007-be. Segíts dötei! Kamatláb( bruttó) % / EBKM % Elevezés Sávhatárok hóapos hóapos 3 hóapos 6 hóapos éves Miimálisa leköthető összeg (Ft) Betétlejárat előtti felmodáskor alkalmazott kamatláb Kamatprémium Kamatcsúcs betét X 6,34/6,49 X X X ,00 Ft 0,00 Ft Határidős hozambetét tól 5,5/5, 5,5/5, 5,0/5,7 5,0/5,7 5,0/5, ,00% 0,5 Família betétszámla Ft Ft X X X X 6,00/6, A következőket lehet még tudi a feti betétekről: A határidős hozambetét a lejárat utá em kamatozik. A Família betétszámla havi kamatjóváírású. Mi is az az EBKM? Az egységesített betéti kamatláb mutató egyike azokak a mutatószámokak, amelyek segíteek beüket a külöböző baki ajálatok összehasolításába. Ahogy a boltokba kötelesek feltüteti mide mosóporál, hogy abból a mosóporból meyibe kerüle kg, ugyaígy a bakok is megadják, milye éves kamat adódik a betétjeikél, hogy a külöböző időpotokba törtéő tőkésítések elleére is össze tudjuk hasolítai az egyes betéti kamatokat. Tehát az EBKM azt adja meg, hogy mekkora valamely betét téyleges éves hozama. Ezt köteles mide bak azoos elvek alapjá kiszámítai. Megoldás: A Kamatcsúcs betét eseté úgy tuduk két éve át takarékoskodi, ha kéthavota újra és újra lekötjük hóapra. Bár erről em szól a hirdetméy, a kamatjóváírás is valószíűleg kéthavota törtéik meg. Ilyekor az éves kamat év alatt az millió forituk részével számolak, így 6

60 60 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 6 0, , Ft-ra ő. 6 Ez az összeg az millió forituk 6,5%-os övekedését jelzi az első évbe, ami agyo hasolít a táblázatukba szereplő 6,49%-hoz. Tulajdoképpe már ezek utá, külöösebb számolgatás élkül döthetük is, azt a betéti formát érdemes választauk, amelyél az EBKM a legagyobb. Az egyes lehetőségekél: Kamatcsúcs betét 6,49%, Határidős hozambetét 5,7%, Família betétszámla 6,7%, vagyis az első lekötés a legkedvezőbb. Mitapélda 3 Számítsuk ki, mekkora összeghez jutuk két év elteltével a feti legjobb ajálat eseté! Megoldás: A téyleges összeg kiszámításához figyelembe kell vei, hogy betétük kamata utá kamatadót kell fizeti. A kamatadó mértéke a midekori kamat 0%-a, így a két hóap 0, 0634 elteltével az A összeg utá A kamatot íráak jóvá (tőkésíteéek), de eek 6 0%-át rögtö az államak utalják, így számláko csak a kamat 80%-a, azaz 0, , 0634 A A kamat jeleik meg. Tehát millió forituk 4 hóap, 6 6 0, 0634 azaz kamatperiódus alatt , Ft-ra ő. 6 A továbbiakba úgy tekitjük, mitha a megadott kamat mértéke az adózás utái kamat lee, azaz a meghirdetett kamat 80%-ával számolák. Mitapélda 4 Ha a bak évi %-ot ígér havi tőkésítéssel, az azt jeleti, hogy mide hóap végé az aktuális betét utá az éves kamat tizeketted részéyi kamatot fizetek. A kamatot havota írják jóvá (és tőkésítik). Ez azt jeleti, hogy mide hóap végé az éppe bakba levő pézük %-át hozzáadják a betéthez, ettől kezdve a kamat is kamatozik. Havota Ft-ot tuduk félretei, és ezt mide hóap elejé a számlákra tesszük. Olya bakot választottuk, amelyik (ha éve belül em yúluk a pézükhöz) évi % kamatot fizet. Célszerű egy táblázatot készítei a hóap eleji és év végi helyzetükről.

61 . modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA 6 Megoldás: Hóap elejé Hóap végé , , , , , , , , , , , , , , 0 Észrevehetjük, hogy a 4. hóap végé egy olya mértai sorozat első 4 eleméek összegét kapjuk, melyél a 0000, 0 és q, 0. Tehát a 4 hóap leteltével felvehető összeg: 4 0, S , , Két év elteltével Ft-uk lesz a bakba. A feti típusú takarékosságot gyűjtőjáradékak evezzük: redszeres időközökét (pl. havota, évete) azoos összeget fizetük be, és az a számláko kamatozva gyűlik. Feladatok. Az újságba ezt olvashattuk: Nyolc ap alatt elkapkodták a magábefektetők a CIB 006. augusztus elejé, 3 milliárd forit értékbe piacra dobott, hároméves futamidejű, a futamidő alatt összese 4 százalékos kamatot fizető CIB Classic 009A kötvéyét. Mekkora évi kamatak felel meg ez?. Dötsd el, az a), b), és c) esetekbe meyit kapuk kézhez év utá, ha a bakba tett pézük százezer forit! (A kamatadót most e vedd figyelembe!) a) Évi 6% kamat eseté, havi kamatperiódussal. b) Évi 6,3%, ha a tőkésítés kéthavota törtéik. c) Évi 6,4% kamat, ha évete kétszer tőkésíteek.

62 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 3. Számítsd ki az EBKM értékét, ha az éves kamat 4,8%, és a kamatperiódus a) hóap; b) 3 hóap; c) 4 hóap. 4. Egy életbiztosítással kombiált megtakarítási számlára 0 éve át mide év elejé Ft-ot fizetük be. Ebből Ft az éves biztosítás díja. Ezek általába évete változó kamatozású számlák, de az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy évi 6% kamatot fizetek. A 0 év elteltével meyi péz felett redelkezük a számlá?

63 . modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA 63 II. Járadék Takarékoskodi em csak azért lehet, hogy valami vágyott dologra összegyűjtsük a pézt, haem hogy később, azoos időközökbe amikor szükségük va rá fölvegyük. Ilyekor járadékot biztosítuk magukak. Mitapélda 5 Egy idős házaspár elhatározza, hogy yaralójuk eladásából származó 5 millió foritjukat bakba teszik évi 9%-os kamatra, és amíg pézük tart, mide évbe a kamat tőkésítése utá kiveszek Ft-ot, hogy abból utazzaak. A kamatot mide év végé írják jóvá. Meyi pézük marad a 0. év végé? Megoldás: Év elejé Év végé , , , , , , , , , , 09 S , 09 S0 Az év végé kamatozik a pézük, ezért az év elejé levő vagyoukat megszorozzuk p , -dal, majd kivouk belőle Ft-ot Észrevehetjük, hogy a levot összegek egy mértai sorozat tagjai, melyek első tagja a , kvóciese pedig q, 09. Számítsuk ki, mekkora összeggel redelkezik az idős házaspár a tizedik év végé: 0 0 0, ,09 S , , Láthatjuk, hogy a tizedik év végé még majdem az eredeti összeg áll a redelkezésükre. (Eltekitettük az iflációtól és a kamatadótól, ezért ez az ideális, szép eredméy.)

64 64 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda 6 Számítsuk ki, hogy az előző példába szereplő összeg évi Ft kivétele eseté háy évre elegedő az idős házaspárak. Megoldás: Az előző feladatba szereplő képletet haszálhatjuk most is, csak úgy, hogy a 0 év helyett év szerepelje midig. A redelkezésre álló összeg év elteltével: ( ) Ö S , 09, , Amíg va péz a számlájuko, addig ez a külöbség pozitív, tehát az ( ) 0 Ö egyelőtleséget kell megoldauk , 09, , 0 09, 0, 9 09, 09, 0 0, 09 ( 09, ) 0, 09, 0,,09 09, / : / 0, 09 / / 0 Mivel az x a lg x függvéy szigorúa ő, vehetjük midkét oldal logaritmusát: lg,09 lg0, mivel lg0, ezért lg,09 / : lg,09 > 0 6,7. lg,09 Ez azt jeleti, hogy a telek árából idealizált körülméyek között 6 éve át tudak utazi.

65 . modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA 65 Feladatok 5. Egymillió foritot beteszük a bakba, majd a következő évtől mide év elejé kiveszük Ft-ot. Az évi 9,6%-os kamatot mide év végé tőkésítik. Meyi pézük marad a. év elejé? Ft kölcsöt vettük fel a bakból, évi %-os kamatra. Ha mide hóap elejé Ft-ot tuduk törlesztei, meyi idő alatt fizetjük viszsza a hitelt?

66 66 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Kölcsöök, THM, diákhitel Egy üzletlác hirdetésébe a következőket olvashatjuk: A fűyírót megvásárolhatja havi részletre is, 0% kamat, THM: 5,8%. A fűyíró ára (ha készpézzel fizetük) Ft, a havi törlesztőrészlet 4000 Ft mi is lehet hát akkor a THM? A THM, azaz teljes hiteldíjmutató is egyike azokak a mutatókak, ami segít ekük abba, hogy eligazodjuk a külöböző bakok ajálatai között. A THM az összes olya költséget tartalmazza, ami egy év alatt felmerül a kölcsö törlesztése kapcsá. Ilye lehet például a baki kamato kívül a hitelbírálati díj, a folyósítási jutalék, a kezelési költség stb. Ha lakást vásároluk, beszámít a THM-be a megvásároladó igatla értékbecslési díja is. Feti, fűyírós példákba valószíűleg fizetük kell valami okból (például hitelbírálat díjkét) , Ft-ot. Még valószíűbb, hogy ez 800 Ft lesz, mivel a , kerekített értéke is 5,8%. Mitapélda 7 Kerékpárt akaruk vásároli a égyfős család mide tagjáak, és ezért személyi kölcsöt veszük fel, melyet 4 hóap múlva egy öszszegbe kell visszafizeti. Tudjuk, hogy a bak évi 5% kamatot számít fel, és a Ft-os kölcsö kiutalásakor %-os kezelési költséget levoak. Számítsuk ki, mekkora a THM? Megoldás: Számítsuk ki, mekkora kamatot kell fizeti 4 hóapra a felvett összeg utá! 4 hóap az év ⅓ része, így a kamat 5%, a visszafizetedő összeg , Ft. Nézzük meg, hogy ez háyszorosa aak az összegek, amihez hozzájutottuk. Igazából csak Ft-ot kaptuk, hisze %-ot a kifizetéskor levotak:, A THM megállapításakor a jobb összehasolíthatóság kedvéért midig évre számolak. Az

67 . modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA 67 egy évre számított kamat hatváyozódik: 0606, 4, 653. Tehát a THM itt 6,53% lesz, ami meglehetőse magas érték. Mitapélda 8 Vaak olya kölcsöök, melyekhez ige köyű gyorsa hozzájuti, de ige magas kamatozásúak. Ilyekor mivel a külöböző futamidők eseté külöböző kamattal számolak csak így adják meg a THM értékét: pl: THM: 5 30%. Lehet azoba hitelkalkulációt kéri, ahol ha beadjuk a kért összeget és a futamidőt, kiszámítják a törlesztőrészletet. Ilyekor már megadják a THM értékét is. Egy ilye ajálatot találtuk az iterete. Nézzük meg, a kamato kívül kell-e számítauk valami egyéb költségre is a hitel felvételekor? Megoldás: Ha az éves kamat 3,85%, akkor havi törlesztések eseté a havi ka- 0, 385 mat eek tizekettedrésze lesz, ami éves kamatba + 0, 664, és ez po- tosa a THM-mel megegyező érték, tehát eél a kölcsöél a kamato kívül ics egyéb teher. Hamarosa leérettségiztek, és lehet, hogy lesz köztetek olya is, aki Diákhitelt vesz igéybe a továbbtauláshoz. A hitelt államilag támogatott vagy ököltséges képzésbe továbbtauló egyetemi és főiskolai hallgatók vehetik igéybe 40 éves korig, bármilye képzési formába. Te döthetsz arról, hogy háy félévre kéred a folyósítását. Egy taulmáyi félév sorá 5 havi Diákhitelt folyósítaak. Akkor kezded el törlesztei a kölcsöt, ha már em taulsz. Az első két évbe a miimálbér 6%-át kell fizeted havota mit törlesztőrészletet. A harmadik évtől kezdve a havi törlesztőrészletet úgy számítják ki, hogy a két évvel korábbi egész éves bruttó béred tizeketted részéek 6%-át kell havota törlesztéskét befizeted egésze addig, amíg em fizetted vissza az adósságod.

68 68 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda 9 Az államilag támogatott képzésbe választhatsz, hogy havota 5,, 5 vagy 30 ezer foritot veszel fel. A 006/07-es taévbe az éves kamat 9,5%. Ha úgy dötesz, hogy 0 félévre veszed fel a hitelt, havi 30 ezer foritot, és mide félévbe összegbe kéred, milye tartozással zárod taulmáyaidat? (Feltételezzük, hogy az 5 év folyamá a kamat változatla marad.) Megoldás: Az első kölcsö felvétele és a 0. félév vége között (pl október 03. júius) 57 hóap telik el. Az hóapra számított kamat az éves kamat tizeketted része: 0,095. A félévbe felvett kölcsö. félév október félév március félév október félév március félév október félév március félév október félév március félév október félév március Eek kamattal övelt összege: 0, , , , , , , , , ,

69 . modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA 69 A jobb oldali oszlop összege lesz a feálló tartozásuk. Észrevehetjük, hogy ha mide második sort tekitjük, azok mértai sorozat egymást követő tagjai. Ha alulról felfelé ézzük a sorozatok egymást követő tagjait, midkét sorozat eseté 0, 095 q +, midkettő 5 tagból áll, de az októberi sorozatál o 9 0, , míg a már- ciusiál m 0, A feálló kölcsötartozásuk tehát 5 0, 095 0, , 095 0, So Sm , 095 0, , , 095 0, , Mitapélda 0 A bakokba deviza alapú hiteleket is fel lehet vei. Ez azt jeleti, hogy a felvett összeget, majd a midekori tartozást em foritba tartják yilvá, haem valamely más pézembe. A midekori törlesztőrészletet is ebbe a valutába határozzák meg. Ha a jövedelmük foritba keletkezik, módukba áll a törlesztést is foritba befizeti, de úgy, hogy az összeg idege valutára átváltva akkora legye, mit a megállapított részlet. Így fordulhat elő az, hogy a deviza alapú hitelük törlesztőrészlete azoos kamat és kezelési költség mellett is hóapról hóapra változik. A következő táblázat azt mutatja, milye ajálatot adhat egy bak egy adott összegű kölcsö fölvételére. a) Számítsuk ki, mekkora a felvett hitel! b) Számítsuk ki, a meghirdetés pillaatába meyi volt a svájci frak ára! c) Számítsuk ki, hogy ha a hitelt 0 éves futamidőre vettük fel, milye törlesztőrészletet kell fizeti 007. március 8-á, ha svájci frak ára 58,53 Ft az adott bakba azo a apo!

70 70 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Hiteltípus Kamat % Kezelési költség/év Törlesztőrészlet a futamidő függvéyébe évre fix 0 év 0 év Svájci frak alapú,49,5% (5 eft) 30 CHF (48,6 eft) 70 CHF (7,4 eft) Ft alapú forrásoldali támogatással 6,99,0% (00 eft) 58,3 eft 39 eft Megoldás: a) A felvett hitel összegét ki tudjuk számítai, hisze látjuk, hogy %-a Ft. Így maga a felvett kölcsö Ft. Ugyaezt az eredméyt adja a CHF 0, alapú hitelajálat is: Ft. 0, 05 b) A bak ajálatába az szerepel, hogy 30 CHF (svájci frak) 48,6 eft-ak felel meg, tehát CHF 6, 46 Ft. Ugyaakkor az is szerepel, hogy 70 CHF 7,4 eft ak felel meg, ebből CHF 6, 8 Ft. A külöbség valószíűleg aak a ke- 70 rekítések a hibájából adódik, hogy a törlesztés foritértékét ezer forit potossággal adták meg. c) 0 éves futamidő eseté havi törlesztőrészlet 30 CHF, amiért 007. március 8-á 30 58, Ft-ot kell fizeti. Mitapélda A következő grafiko azt mutatja, hogya változott a forit árfolyama az euróéhoz képest, azaz háy foritért lehetett vásároli eurót:

71 . modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA 7 a) Olvasd le a grafikoról, háy foritért lehetett vásároli eurót 003. jauár -á, 003. május -á, 004. szeptember -á. b) Olvasd le a grafikoról, a vizsgált időszak alatt, mikor ért a legtöbbet a forit (az euróhoz képest) és mikor a legkevesebbet! Megoldás: a) 003. jauár -á körülbelül 36 Ft-ba került euró, 003. május -á körülbelül 46 Ft-ba került euró, 004. szeptember -á körülbelül 5 Ft-ba került euró. b) Akkor ér a legtöbbet a forit, ha a legkevesebbe kerül euró, tehát keressük a grafiko miimumhelyét, és az 003. jauárjába va. Ekkor (euró) körülbelül 35 Ft-ba kerül. Akkor ér a legkevesebbet a forit, amikor a legtöbbet kell fizeti -ért, ezért keressük a grafiko maximumhelyét, amit körülbelül 003 decemberébe találuk, amikor több mit 70 Ft-ot kellett fizeti -ért. Feladatok 7. Olvasd el figyelmese az alábbi hirdetméyt. Mi az, ami óvatosságra it? Va-e olya vásárlási összeg, ami eseté em tudod, mekkora az örész? ÁLTALÁNOS FELTÉTELEK: IGÉNYELHETŐ HITELÖSSZEG: ÖNRÉSZ: FUTAMIDŐ: KEZELÉSI KÖLTSÉG: Ft Ft-ig a termék vételáráak 0%-a, Ft felett a termék vételáráak 0%-a 6 60 hóap a hitelösszeg %-a A hitel megítélése a Bak hitelbírálatáak függvéye. Ez a hirdetés kizárólag a figyelemfelkeltés célját szolgálja, em miősül a Bak részéről yilváos tájékoztatóak és ajálattételek. A teljes hiteldíj-mutató (THM): 0 44,3%, a választott hitelkostrukció és a futamidő függvéyébe. A hitelről szóló részletes tájékoztatást az áruházakba elhelyezett hirdetméyek adak.

72 7 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Számítsd ki, ha vásárolsz az adott bak által yújtott hitel segítségével egy televíziót 0000Ft-ért, milye költségekkel jár ez számodra a magasabb THM eseté? A futamidőt évek válaszd, és év elteltével egy összegbe fizeted be a tartozásod. 8. Egy mezőgazdasági vállalkozó 3 millió forit kölcsöt vett fel gép vásárlására, melyet év múlva kezd el törlesztei 3 év alatt, 3 egyelő részletbe, mide év elejé. A bak a feálló tartozásra évi 8%-os kamatot számít fel. Mekkora lesz a törlesztőrészlet? 9. Az Ft kölcsöt évi %-os kamatra vettük fel. év alatt fizetjük vissza. Mekkora a törlesztőrészlet, ha a) részletbe; b) 3 részletbe fizetjük vissza? A kamat tőkésítése midkét esetbe havota törtéik. 0. Számítsd ki, az alábbi hitel eseté mekkora volt az aktuális euró-árfolyam? Háy forit lee ez a havi törlesztőrészlet 00. jauár -á, 003. jauár -á, illetve 004 decemberébe, amikor olya magas volt az euró ára? Haszáld a. mitapéldába található grafikot! Mit godolsz, miért alacsoyabb a törlesztőrészlet 3 hóapos kamatperiódus eseté? Mit godolsz, 0 éves futamidő eseté miért em fele akkora a törlesztőrészlet? 5 millió forit hitelösszeg 0 év futamidő 3 hóapos kamatperiódus eseté Havi törlesztő részlet: 48, Ft. 5 millió forit hitelösszeg 0 év futamidő éves kamatperiódus eseté Havi törlesztő részlet: 49, Ft. 5 millió forit hitelösszeg 0 év futamidő éves kamatperiódus eseté Havi törlesztő részlet: 99, Ft.

73 3. MODUL sikidomok kerülete, területe Készítette: Lövey Éva

74 74 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Bevezetés Becsüljük meg, mekkora lehet eek a tóak a területe és a kerülete? Fedjük le a tó térképét 00 m oldalú (0000 m² területű) égyzetekkel! Azokak a égyzetekek a területösszege, amelyek beleférek a tóba, kisebb, míg azokak a területösszege, melyek magukba foglalják a tavat, pedig agyobb, mit a tó területe. Tehát a tó területe m T < m. < tó Ha még potosabba meg akarjuk tudi a területet, akkor kisebb égyzetekkel is lefedhetjük a tó térképét. Például csökketsük a égyzet oldalát felére, ekkor 500 m² területű égyzetek keletkezek. Így potosabb becslést kapuk: m < T tó < m, azaz m < T tó < m, azaz 3 km < < T tó 9,75km. A második ábrá, ahol kisebb égyzetek területösszegekét becsültük a területet, a körülírt sokszög területe kisebb lesz, mit az előző esetbe. Általába, ha a égyzetrács oldalát csökketjük, az alakzat köré írt sokszög területe csökke vagy legalábbis em ő az előzőhöz képest, hisze az újabba felrajzolt becslés midig belefér az előzőbe. A körülírt sokszögek területe tehát csökke, de értéke em csökke a méredő alakzat területe alá, csak egyre ikább megközelíti azt. Hasolóa, a beírt sokszögek területe egyre ő, ahogy a égyzetrács oldala csökke, hisze az új beírt sokszög midig tartalmazza az előzőt. Területük tehát övekvő sorozatot alkot, de értéke sosem haladja meg a méredő alakzat területét (hisze belefér), csak egyre ikább megközelíti azt. A égyzetek oldalát tovább csökketve, egyre potosabba megkaphatjuk a tó területét. Ha a tó kerületét (a határoló görbevoal hosszát) akarjuk megbecsüli, közelítsük azt olya sokszögek kerületével, melyekek csúcspotjai a határoló íve vaak.

75 3. modul: SÍKIDOMOK KERÜLETE, TERÜLETE 75 Ha a csúcspotok számát öveljük (például megkétszerezzük a csúcspotok számát úgy, hogy két-két csúcspot közé újabbat illesztük), a sokszög kerülete egyre jobba hozzásimul az alakzat kerületéhez, így hossza egyre jobba közelíti a görbe hosszát. Egy sokszöget fel lehet osztai háromszögekre, és a háromszögek területéek összege megadja a sokszög területét. Ezért is ige fotos, hogy feleleveítsük a sokszögek kerületéek és területéek, eze belül is a háromszögek területéek kiszámítási módjait.

76 76 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Háromszögek Foglaljuk össze, milye képleteik vaak a háromszög területéek kiszámítására! Akkor haszálhatjuk, ha a háromszög valamely oldala és a hozzá tartozó magasság adott. Akkor haszálhatjuk, ha a háromszög két oldala és az oldalak közbezárt szöge adott. Ez a há- romszögbe bármely két oldalpárra és azok közbezárt szögére voatkozhat: β α γ si c a si c b si b a T Δ Akkor haszálhatjuk, ha a háromszög kerülete és a beírt kör sugara adott. Akkor haszálhatjuk, ha a háromszög midhárom oldalát ismerjük (Hero-képlet). Ebbe a képletbe s a háromszög kerületéek felét jeleti: c b a K s + +. Mitapélda A kertészeti vállalat következő feladata, hogy egy háromszög alakú területet füvesítseek. Itt a terület határoló oldalaiak hosszát tudták leméri. AB 00 m, BC 30 m, AC 70 m. Mekkora a párosítadó terület? ( ) ( ) ( ) c s b s a s s T c b a m c m b m a T Δ siγ b a T Δ s r K r K r T

77 3. modul: SÍKIDOMOK KERÜLETE, TERÜLETE 77. megoldás: A háromszög területéek kiszámításához ki kell számítai a háromszög valamely szögét. Ehhez a kosziusztételt haszáljuk: c a + b ab cosγ, a 30, b 70, c cosγ cos o γ 0,6484 γ 49,58. Ezt a szöget felhaszálva, a háromszög területe: o a b si γ si 49,58 T 3464,. A parkosítadó terület tehát 3464, m².. megoldás: Kiszámíthatjuk a feti háromszög területét a Héro-képlet segítségével is. K a + b + c Először számítsuk ki a kerület felét: s 50. A Héro-képlet szerit tehát a terület: T ( 50 30) ( 50 70) ( 50 00) Ez az érték potos érték, de egy kertész számára em haszosítható. Közelítő értéke természetese ugyaaz, mit az előbb, tehát körülbelül 3464, m². Mitapélda A Bermuda-háromszög egy titokzatos terület, mivel több hajó és repülőgép tűt el ott sokáig megmagyarázhatatla módo. A háromszög három csúcsát a Bermuda-szigetek, Puerto Rico és Fort Lauderdale alkotják. Tudjuk a következő távolságokat: Bermuda-szigetek Puerto Rico: 500 km, Bermuda-szigetek Fort Lauderdale: 50 km, Puerto Rico Fort Lauderdale: 40 km. Számítsuk ki aak a háromszögek a területét, melyek oldalai ezek a távolságok, majd hasolítsuk össze a térképészek által megadott területtel, mely km.

78 78 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megoldás: Haszáljuk a Héro-képletet: s 0. T km. Ez erőse eltér a hivatalosa megadott km értéktől! Mi lehet a magyarázat az eltérésre? A feti képlettel egy síkidom területét számoltuk ki. Oldalai szakaszok. A valóságba a Bermuda-háromszög a földgömb felszíé va, oldalai a főkörök egy-egy íve, vagyis valójába egy gömbháromszögről va szó. Egy gömb felszíéek egy bizoyos részét kellee kiszámítai. A kiszámításhoz a térképészetbe gyakra haszálatos gömbháromszögtai ismeretekre lee szükség. (A gömbi háromszögekről ugya már esett szó a korábbi osztályokba, de velük kapcsolatos számolási feladatokkal sem akkor, sem most em foglalkozuk.) Síkmértai módszerekkel tehát csak akkor szabad földdarabok területét kiszámítai, ha a távolságok em túl agyok, ugyais ilyekor a gömbfelszí kicsiy darabja jól közelíthető síkidommal. Mitapélda 3 Egy méter átmérőjű körheger alakú mély gödör va a kertbe, amit el kell kerítei. Ezt három darab, összese 6, m hosszú kerítéssel oldjuk meg. Számítsuk ki, meyivel agyobb területet kerítettük így el, mitha égyzet alakba vettük vola körbe a gödröt! Megoldás: Először számoljuk ki a égyzet területét! Az m átmérőjű kör köré m oldalú égyzet rajzolható. Eek területe m. A háromszög területéek kiszámításához látszólag kevés az adatuk. Ha azoba egy kicsit ügyeskedük, elegedő lesz a terület kiszámításához. Kössük össze a kör középpotját a háromszög három csúcsával. Ezek a szakaszok a háromszögüket három olya háromszögre botják, melyekek az egyik magassága közös: a háromszögbe írt kör sugara. Jelöljük ezt r-rel.

79 3. modul: SÍKIDOMOK KERÜLETE, TERÜLETE 79 A háromszög területe kiszámítható a beírt kör sugara, valamit a kerület segítségével r r K (s ismét a kerület felét jeleti): T K r s 6, A körbekerített terület tehát T Δ 0, 5, 55 m², ez 0,55 m²-rel agyobb, mitha égyzet alakba kerítettük vola körbe. Mitapélda 4 Egy kerítéssel körbevett 940 m²-es háromszög alakú területről tudjuk, hogy két oldalá a kerítés hossza 40 és 50 méter. Meg tudjuk-e állapítai ezekből az adatokból, hogy milye hosszú a kerítés harmadik része? Megoldás: Látszólag egyszerű a dolguk, va egy képletük, amelyek segítségével két oldal és a terület ismeretébe meghatározható a közbezárt szög sziusza: T Δ a b si γ. Legye most a és b oldal a két ismert kerítéshossz, és számítsuk ki azt a szöget, amelyet ez a két oldal bezár: si γ 940 si γ 0,94. Ez a sziuszérték azoba 0º és 80º között két szöget is meghatároz: γ 70, 05, illetve γ 09, 95. Tehát a telek alakja em egyértelmű. A területből és a 40 méteres b oldalból kiszámíthatjuk a háromszög b oldalhoz tartozó b m T 940 magasságát: T mb 47 b 40 b. Elemi geometriai ismereteikből tudjuk, hogy a háromszög B csúcsa rajta va azo az egyeese, amely párhuzamos az AC oldallal, és attól 47 m távolságra va. Másrészt a B csúcs illeszkedik a C középpotú 50 méter sugarú körre. A körív és a párhuzamos

80 80 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE egyees két potba metszi egymást, tehát két olya háromszög is va, melyek két oldala 40 és 50 méter, területe pedig 940 m². Az ábrából és a számításból is látszik, hogy a két lehetséges γ szög 80 -ra egészíti ki egymást. Számítsuk ki midkét esetbe a harmadik oldal hosszát a kosziusztétel felhaszálásával: c cos 70,05 c 5,3. c cos09, cos 70, 05 c 73,9. A harmadik kerítéselem tehát 5,3 méter, vagy 73,9 méter, így a telek bekerítéséhez aak alakjától függőe 4,3 m, illetve 64 m hosszú kerítésre va szükség. Mitapélda 5 Péter és Pál földje háromszög alakú. Meg akarták tudi, hogy mekkora a területe. Egyik sarkába letűztek egy karót, a háromszög másik két csúcsába pedig Péter és Pál állt. Ez volt az utcai oldal, tehát tudták, hogy a hossza 70 méter. Péter teodolittal megmérte, hogy Pált és a karót 74 -os szög alatt látja, Pál is megmérte, hogy ő a Péter és a karó közti oldalt 43 -os szög alatt látja. Számítsuk ki a föld területét! Megoldás: Most ismerjük a háromszög egyik oldalát és a rajta fekvő két szöget. Ezek az adatok a háromszöget egyértelműe meghatározzák. Legye a háromszög 70 méteres oldala AB, ekkor ha az A csúcsba áll Péter, tehát az α szög 74 -os lesz, Pál pedig a B csúcsba, így a β szög lesz 43. a b siγ Ha a T Δ képletet akarjuk haszáli, ki kell számítauk a háromszögek még egy oldalát. A sziusztétel segítségével kiszámíthatjuk az AC oldalt: AC AB siβ. si γ A képletbe szerepel a γ szög, amit ki tuduk kiszámítai, mivel a háromszög belső szögeiek összege 80. ( α + ) 80 ( ) γ 80 β 63. si 43 Ezt behelyettesítve képletükbe: AC 70 30, (m). Most már ismerjük a si 63 háromszög két oldalát és a közbezárt szögét, a terület tehát:

81 3. modul: SÍKIDOMOK KERÜLETE, TERÜLETE 8 AB AC si α 70 30, si 74 T 0 63,7. Péter és Pál földjéek területe tehát 0 63,7 m². Feladatok. A képe látható pachworkbe a mita középpotosa szimmetrikus. Számítsd ki a legagyobb területű háromszög kerületét és területét! (A kép 36 cm oldalú égyzet. A bal felső háromszög jobb oldali csúcsa harmadolja a égyzet oldalát.) Mekkorák azok a szögek, melyek az ábra szimmetriaközéppotjába keletkezek?. Az elsőbbségadás kötelező KRESZ táblát úgy készítik, hogy előbb lefestik az egész táblát fehérre, majd a szélére 5 cm széles piros csíkot festeek. A tábla egyelőoldalú háromszög, melyek oldala 60 cm. Számítsd ki, 00 ilye tábla lefestéséhez háy égyzetméterre való fehér, illetve piros festéket kell vásároli! 3. Egy közpark sarkából egy kertészeti áruda kihasít egy háromszög alakú területet. Az eredeti terv szerit kerítésük a saroktól az Ó utcá 80 méterig, az Új utcá pedig 70 méterig tart, de kiegyezek abba is, ha a két utcafroto méteres kerítésük lehet. Mikor veszít kevesebb területet a közpark? (Tudjuk, hogy az Ó utca és az Új utca 80 -os szögbe találkozik.) 4. Milye hosszú kerítéssel lehet körbevei azt a háromszög alakú kertet, melyek területe 500 m², két oldala pedig méter? 5. Egy háromszög alakú kertecskéről azt állítják, egyik oldala 30 méter, területe 300 m², kerülete pedig 70 méter. Hoa tudjuk, hogy valamelyik adat téves? (Azaz mekkora lesz egy olya háromszög miimális kerülete, melyek egyik oldala 30 méter, területe pedig 300 m²?)

82 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Négyszögek Egy égyszög egy átlójával midig felbotható két háromszögre, így a égyszög területe midig előállítható két háromszög területéek összegekét. Vaak olya égyszögek, melyek területéek kiszámítására ismerük egyszerűbb módszert is. Foglaljuk össze, milye képleteket ismertük meg a égyszögek területéek kiszámítására! Trapéz területe: T trapéz a + c m ahol a és c a két párhuzamos oldal hossza, m a trapéz magassága. Mivel a paralelogramma, a rombusz, a téglalap és a égyzet mid trapéz, ezzel a képlettel ezek területei is számolhatók. Paralelogramma területe: T paralelogr amma a m b a m b T paralelogramma a b si γ T paralelogramma e f si ϕ ahol a, b a paralelogramma oldalai, m a magassága, e, f az átlói, γ az a, b oldalak által bezárt szög, ϕ pedig az átlók által bezárt szög. Mivel a rombusz, a téglalap és a égyzet is paralelogramma, ezekkel a képletekkel ezek területei is számolhatók. Speciálisa T téglalap a b T a égyzet Deltoid területe: T deltoid e f ahol e, f a deltoid átlói.

83 3. modul: SÍKIDOMOK KERÜLETE, TERÜLETE 83 Éritőégyszög területe: K r T éritőégyszög ahol K a égyszög kerülete, r a beírt kör sugara. Általáos égyszög területe: T égyszög e f si ϕ Ezzel a képlettel bármely égyszög területét meghatározhatjuk, ha ismerjük a égyszög átlóit (e, f) és az átlók által bezárt ϕ szöget. Mitapélda 6 Egy húsfeldolgozó üzem egyik mukapadját védőfestékkel kell bevoi. A felület paralelogramma alakú, 60 cm széles pallóból vágták ki, hosszabb oldala 50 cm. Elegedő lesz-e doboz, m² lefestésére alkalmas festéket vásároli? Megoldás: 40 cm 40 cm A paralelogramma területe T cm 9600 cm 0,96 m. paralelogramma Tehát szűke, de elég lesz egy doboz festéket megvásároli. Mitapélda 7 A húsvéti yusziak a kertbe úgy választottuk le területet, hogy egy régi gyerekjáróka rácsát haszáltuk fel hozzá. A járóka eredetileg téglalap alapú volt, de már ics meg az alja, ami megtartaá a derékszöget. A rács hosszabb oldala 50 cm, a rövidebb 00 cm. Mekkora területet választottuk le a yusziak, ha a kert egy olya sarkába illesztettük be a járókát, ahol a két kerítés 70 -os szöget zár be?

84 84 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megoldás: Ha a járóka alapja eredetileg téglalap volt, szemközti oldalai egyelők leszek, csak a derékszög em biztosított, így paralelogramma területét kell kiszámítauk. Ha a járókát olya kerítésrészhez állítottuk, ahol a bezárt szög 70, akkor a paralelogrammák két szomszédos oldala által bezárt szög is 70 lesz, így a járóka aljáak területe T si cm, azaz majdem másfél égyzetméter a leválasztott terület. Mitapélda 8 Egy kertészeti vállalat azt a feladatot kapta, hogy egy égyszög alakú parkba a két átló meté sétáló utat létesítse. A kert alaprajzát em találják, de az eddigi mukálatok leírásából kiderül, hogy a parkak - oldala egyelő 00-00, illetve méteres, és az odaszállított fűmag meyisége alapjá a területe m². Meg tudjuk-e modai, hogy milye hosszúak az átlók? Megoldás: Ha a égyszögek két-két oldala egyelő hosszú, akkor a égyszög vagy paralelogramma, vagy deltoid. Az egyik átlója midkét esetbe két egybevágó háromszögre botja, ezek területe a si γ égyszög területéek fele, tehát T ACD T KMN A γ szög a paralelogrammába az ADC szög, a deltoidba pedig a KNM szög. Feti képletből γ-ra két érték adódik: siγ 0,83333 γ 56,44 vagy γ 3, 56. Ez a paralelogrammáál em ad két léyegese külöböző megoldást, hisze az ACD és BDC háromszögekek azoos a területük (midkettő területe a paralelogramma területéek fele), és két oldaluk is azoos hosszúságú. A deltoidál azoba két léyegese külöböző megoldást kapuk. Ha az N potál tompaszög va, akkor mideképpe kovex deltoidhoz jutuk, tehát γ kal, számolva számítsuk ki az AC, illetve KM átló hosszát kosziusztétel felhaszálásával:

85 3. modul: SÍKIDOMOK KERÜLETE, TERÜLETE 85 AC KM cos3,56 334,97 m. A paralelogramma másik átlóját megkapjuk, ha γ 56, 44 -kal számoluk: DB cos 56,44 80,55m. Ha az N potál hegyesszög va, akkor 80,55 m lesz a deltoid szimmetriategelye is. Ilyekor előfordulhat, hogy a deltoid kokáv lesz. Feladatukak azoba ez em megoldása, hisze akkor em a parko halad át a másik sétáy. Ha a KMN háromszögbe K-ál vagy M-él tompaszög va, akkor a deltoid kokáv. Tompaszög a háromszögbe csak a legagyobb oldallal szembe lehet, tehát vizsgáljuk meg, hogy a KMN háromszögbe milye szög va a 00 méteres oldallal szembe. A legagyobb oldallal szembe akkor va tompaszög, ha a másik két oldal égyzetéek összege kisebb, mit a legagyobb oldal égyzete < , , tehát a másik formá- jú deltoid is kovex. Számítsuk most ki a deltoidok másik átlóját! Ha a deltoid egyik átlója (a szimmetriategely) e , akkor a KMN háromszögbe ehhez az oldalhoz tartozó magasság a, 334, 97 f másik átló fele lesz. Ezt a területképletbe helyettesítve: 5000, ebből megkapjuk a másik átló hosszát: f 79. Hasolóa, a területképletbe helyettesítve, az e értéket, megkapjuk, hogy f 33 3.,, A két sétaút hossza tehát körülbelül 335 m és 80,5 méter, ha a park paralelogramma alakú. Deltoid alakú park eseté két lehetőség is va: a két sétaút hossza körülbelül 335 m és 79 m, vagy 80 m és 33 méteres. Mitapélda 9 Egy szabálytala égyszög alapú szoba parkettázásáért kell fizetük. Megmértük a égy fal hosszát: AB 5,3 m, BC 5 m, CD 4,9 m és DA 5, m. Sajos ezek az adatok em elegedőek a terület kiszámításához, hisze em határozzák meg egyértelműe sem a szoba alakját, de még a területét sem. (Godoljuk az összecsukódó járókára!) Ha csak mérőszalaguk va, hogya segíthetük maguko, hogy mégis ki tudjuk számítai a szoba alapterületét?

86 86 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megoldás: Ha megmérjük a szoba egyik átlóját, két egyértelműe meghatározott háromszögre botottuk a szobát. Ezek területéek összege megadja a szoba területét. Tegyük fel, hogy mérésük eredméye is megva már, AC 7, m. Az ABC háromszög területe a Héroképlet segítségével: 7, + 5, s 8, 7 ; ( 8, 7 7, ) ( 8, 7 5, 3) ( 8, 7 5) 3, 3m. T ABC 8, 7 Az ACD háromszög területe pedig: s 5, + 4,9 + 7, 8,6; ACD T 8,6 ( 8,6 5,) ( 8,6 4,9) ( 8,6 7,),74 m A két háromszög területét összeadjuk. A szoba alapterülete tehát 5,97 m² 6 m².. Mitapélda 0 Az ábrá látható deltoid alakú sárkáy két oldala 40 és 60 cm, a bee levő kör sugara pedig 30 cm. Háy égyzetcetiméter pauszpapírt haszáltuk fel az elkészítéséhez? (5% veszteséggel számolj!) Megoldás: Ez a sárkáy mit mide deltoid éritőégyszög, hisze a szemközti oldalak összege egyelő. Az éritőégyszög területe kiszámítható K r a T képlettel, így a sárkáy kerülete: ( ) 00 cm K, a területe T 3000 cm. Eek 5%-kal megövelt értéke, azaz 350 cm² pauszpapír szük- séges a sárkáyhoz.

87 3. modul: SÍKIDOMOK KERÜLETE, TERÜLETE 87 Feladatok 6. Forgalomtól elzárt területet jelöl ez a csíkozás. A csíkok jelölt szélessége 8 cm. m² felület befestésére vásárolt festékkel elkészíthető-e ez a csíkozás? Ha marada festék, akkor lehete-e egy 8 cm széles sávot még körbe festei? A fotó látható falikép oldala m, a hatszög oldala 40 cm. A csíkmita szélessége 5 cm. Háy égyzetcetiméter kék szíű alapayagot haszáltak fel hozzá? 8. Amikor legutóbb kitört az ajtó legkisebb ablaka, az üvegesél 600 Ft-ot fizettük. Tudjuk, hogy az árak egyeese aráyosak az üvegtábla területéek méretével. Meyyit foguk most fizeti, amikor a legagyobb ablak törött ki? A legkisebb ablak méretei: 5 cm széles és 5 cm magas, a legagyobb (trapéz alakú) ablak leghoszszabb oldala 00 cm, a trapéz vízszites oldala 38 cm, hegyesszöge pedig 40º.

88 88 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE IV. Szabályos sokszögek Egy sokszöget akkor evezük szabályosak, ha mide oldala és szöge egyelő. Mitapélda Egy égyzet alakú terítő közepé szabályos hatszög va, melyek oldala 40 cm. Számítsd ki a hatszögmita területét! Megoldás: A hatszög szimmetriategelyeiek metszéspotjából a csúcsokhoz húzott szakaszok a hatszöget hat egybevágó szabályos háromszögre botják. Egy ilye kis háromszög területéek meghatározásához szükségük va az OT magasságra is, ezt tages szögfüggvéyel határozzuk meg: 0 tg 30, OT 0 0 OT 0 3 tg 30 3 Így már mide adatuk megva a hatszög területéek meghatározásához: ( 0 3) 40 T hatszög cm.

89 3. modul: SÍKIDOMOK KERÜLETE, TERÜLETE 89 Mitapélda Kör alakú, 3 méter átmérőjű felfújható medecék alá akaruk (a lehető legkisebb) szabályos szög alakú betoalapot készítei úgy, hogy a medece szélétől midehol legalább fél méter szélese beto legye. Milye hosszú legye eek a tizekétszögek egy oldala, és mekkora területet fedük le vele? Megoldás: Fogalmazzuk meg a feladatot másképpe: Adott A egy szabályos -szög, ami ériti a medece mide oldalát. Ha ezt a tizekétszöget a kör középpotjából úgy agyítjuk ki, hogy a két szemközti éritési pot távolsága az eredeti méretél -szer 50 cm-rel agyobb legye, akkor megkap- A O 30 o Q P juk a feladatba kívát tizekétszöget. Mekkora az a tizekétszög, amely ériti ezt a B kört? B Ha a kör középpotját a tizekétszög csúcsaival összekötjük, olya egybevágó egyelőszárú háromszöget kapuk, melyek szárszöge A háromszögek az alaphoz tartozó magassága a kör sugara lesz. A agyobb tizekétszögél ugyaez az adat 0,5 méterrel hosszabb: R, 5 + 0, 5. A agyobbik sokszög oldaláak kiszámításához az OPQ egyelőszárú háromszöget haszáljuk: a a a tg5 a 4 tg5,07. R 4 Tehát a medecét alulról védő betosokszög oldalai körülbelül 07 cm hosszúak legyeek. A beto területét megkapjuk, ha a egyelőszárú háromszög területét összeadjuk: T beto cm,8 m.

90 90 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 9. A rajzo egy parkettázást látsz, azaz a síkot hézagmetese lefedték szabályos sokszögekkel. A tizekétszög oldala cm. Mekkora a rajzo látható többi szabályos síkidom területe? 0. A képe látható homokozó késze kapható. Szabályos yolcszög alakú, és úgy hirdetik, hogy 35 m² területű. Mekkora lehet a leghosszabb átlója? A számítás elvégzése előtt becsüld meg az eredméyt!. Számítsd ki aak az oldalú szabályos sokszögek az oldalát, amely ériti az m sugarú kört! a) 3; b) 4; c) 8; d). Háy százaléka lesz a sokszög kerülete a kör kerületéek? Háy százaléka lesz a sokszög területe a kör területéek? Hogya változak ezek az aráyok?. Számítsd ki aak az oldalú szabályos sokszögek a területét, amelyek csúcsai az m sugarú körö vaak! Számítsd ki, háy százaléka ez a kör területéek! Hogya változik ez az aráy? a) 3; b) 4; c) 8; d).

91 3. modul: SÍKIDOMOK KERÜLETE, TERÜLETE 9 V. Kör és részei Foglaljuk össze, milye képleteket ismertük meg a körre és a kör részeire voatkozóa. Kör: K kör rπ T kör r π ahol r a kör sugara, π 3, 459 álladó. (Haszáljuk 3,4 helyett a számológépbe tárolt π értéket!) Körcikk: T körcikk i r T körcikk r πα 360 ahol r a kör sugara, i a körcikk ívhossza, α a körcikk középpoti szöge. Körgyűrű: K körgyűrű R π + rπ π( R + r) ahol R a külső, r a belső kör sugara. T körgyűrű R π r π ( R r )π Körszelet: ir h( r m) T körszelet ahol h a határoló húr hossza, i a körszelet ívhossza, r a kör sugara, m a körszelet magassága. 0 8 π 3m,. Mitapélda 3 A 8 méter átmérőjű szökőkút mellé méter széles járdát tervezek díszburkolattal. Háy égyzetmétert kell burkoli? A járda két oldala szegélykövekkel va határolva. Háy folyóméteryi szegélykövet kell a helyszíre vii? Megoldás: A járda felülete körgyűrű alakú. Területét megkapjuk, ha a külső kör területéből levo- juk a belső kör területét: T ( ) Amikor a szegélykövek meyiségére vagyuk kívácsiak, a körgyűrű kerületét kell kiszámítauk, az pedig értelemszerűe a külső és belső körök kerületéek összege: ( 0 + 8) 3m K π, lesz.

92 9 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda 4 Számítsd ki, hogy az ajtó felületéek háy százaléka üveg? Méretek: Az ajtó szélessége 9 cm, magassága: 04 cm. Egy téglalap alakú üvegtábla szélessége 7 cm, magassága 34 cm. Két vízszitese egymás melletti üvegtábla távolsága 33 cm. Két ablakot elválasztó léc szélessége 8 cm. Megoldás: Számoljuk ki először az egész ajtó felületét: T ajtó cm. A téglalap alakú ablakokból 6 va, területük együttese: 6 T téglalap cm. A két felső ablak körgyűrűcikk formájú, de mégsem az, hisze a középső léc oldalai em sugár iráyúak. Nem csaluk sokat, ha a két felső ablak együttes területét úgy számoljuk ki, hogy egy fél körgyűrű területéből egy 8 cm széles, 7 cm magas téglalap területét vojuk le. Az elválasztó léc itt valójába em téglalap, de területe csak kevéssel külöbözik a számított téglalapétól. A körgyűrűk belső átmérője akkora, mit két szomszédos ablaktábla távolsága, azaz r 33 cm, a külső kör átmérőjét pedig úgy kapjuk meg, hogy a szomszédos ablaktáblák távolságához hozzáadjuk két téglalap alakú ablak szélességét: R cm. A fél körgyűrű területe tehát π 335 cm. Ebből még ki kell voi az elválasztó téglalap területét: T felső üveg cm. Az összes üvegfelület tehát T üveg cm területével, megkapjuk, hogy , 5 az egész ajtó 5%-a üveg Ezt elosztva az egész ajtó

93 3. modul: SÍKIDOMOK KERÜLETE, TERÜLETE 93 Mitapélda 5 Ezt a formájú ajtót meg lehet redeli úgy is, hogy a középső, üveges rész helyett fatáblát helyezek be. m² 4 70cm 4cm 4 ( cm vastag) fa tömege 6600 g-mal köyebb, mit m² (0,4 cm vastag) üvegé. Meyivel ehezebb az üveges ajtó a csupa fa ajtóál? Méretek: függőleges yíl: 50 cm, vízszitese mért távolságok: 70 cm és 4 cm. Megoldás: A válaszadáshoz ki kell számítauk az ablakok területét. Az ablakok területét úgy a legegyszerűbb megkapi, ha a 50 cm magas és 70 cm széles téglalap területéből kivojuk a két körszelet területét. A terület meghatározásához szükséges adatok közül ekük csak a húr hossza adott (h 50 cm). A körszelet magassága ige egysze rűe kiszámítható: ( m 8 cm). Az ábrá látható derékszögű háromszögből r Pitagorasz tételével kiszámítható: ( 8 r ) 75 r +. Elvégezve a égyzetreemelést, majd kifejezve 6409 r-et, r 4,45 cm. 56 Az ív hosszáak kiszámításához derékszögű háromszögükből ki- α 75 α számítjuk az ív középpoti szögéek felét: si 40,94, α 8,89. 4,45 Az ív hossza egyeese aráyos a középpoti szög agyságával, 889, i 4, 45 π 63, 58cm. 360 Most már semmi akadálya, hogy haszáljuk a képletet: T körszelet 63,58 4,45 50 ( 4,45 8) T 877, 5754,4 cm 0,57544 m. üveg i α, jele esetbe rπ , cm. Az ajtó két körszelet va, tehát Mivel egy égyzetméter üveg 6600 g-mal ehezebb egy égyzetméter fáál, ezért az üveges ajtó 0, , 8 g-mal, azaz 3,8 kg-mal ehezebb, mit a faajtó. m 8 8-r 50cm 5 0 h 75 i r i r

94 94 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 3. A képe látható legyező hossza összecsukva 6 cm. Ha a lehető legjobba széthúzzuk, a középpoti szög 00. Számítsd ki, mekkora területű felülettel tuduk legyezi, ha a legyezőt csak 60 -osra, félkörre, vagy teljese kiyitjuk! 4. Az ábrá látható méter átmérőjű terítő körcikkeit szereték kiszabi. A száliráy miatt, és mert em lehet tetszőlegese széles ayagot kapi, így szabjuk ki a darabokat egy 70 cm széles, m hosszú ayagból. Számítsd ki, háy százalék lesz a hulladék a körcikkek kiszabásakor! 5. Ádám és Zoltá ablakok és ajtók üvegfelületéek lemosását vállalta. Ádám a két bejárati ajtót és a kerek ablakot, Zoltá pedig a agyobbfajta ablakot mosta le. Melyikük dolgozott többet? (Egyegy ablako belül a léceket e vegyük figyelembe. ) Méretek: Az ajtóko a félkörök szélessége 63 cm, a bal oldali ajtó a fa félkör átmérője 3 cm. A kör alakú ablak átmérője 60 cm, a agy ablak szélessége 80 cm, magassága középe 0 cm. 6. Számítsd ki, a megálli tilos táblá mekkora a pirossal és kékkel festett területek aráya! (A tábla átmérője 60 cm, a piros voalak vastagsága 5 cm.)

95 3. modul: SÍKIDOMOK KERÜLETE, TERÜLETE Egy 5, egy 0 és egy 00 Ft-os érmét az ábrá látható módo szorosa egymás mellé rakuk. Mekkora lesz az általuk közrezárt terület? Az érmék átmérője mm, 6 mm és 4 mm. 8. A bal oldali terítő a sötét terület 350 cm², a jobb oldali pedig 650 cm². Mekkora a jobb oldali ábrá a két kör területe? (A két terítő a körök sugara ugyaakkora.)

96 96 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VI. Hasoló síkidomok kerülete és területe Ha két síkidom hasoló, akkor kerületük aráya megegyezik hasolóságuk aráyával, területük aráya pedig a hasolóságuk aráyáak égyzetével egyezik meg. Mitapélda 6 Egy óvoda tűzfalát lefestették fehérre, majd az alábbi tervek alapjá díszítik agy kék és kis rózsaszí felhőkkel. A kék felhők festésével már késze vaak, 0 doboz festék fogyott. Háy doboz rózsaszí festéket vásároljaak? (Tudjuk, hogy a kicsi felhők szélessége potosa a fele a agy felhőkéek.) Megoldás: A kék és rózsaszí felhők hasoló síkidomok. Ha a kék felhő szélessége kétszerese a rózsaszí megfelelő szakaszáak, akkor a hasolóság aráya :. Ilyekor a területek aráya :4, tehát egy rózsaszí felhő területe egyedakkora, mit egy kék felhőé. Ha 8 kék felhő festéséhez 0 doboz festék kell, akkor 0 doboz festék rózsaszí felhő befestésére elegedő. Azaz rózsaszí felhő befestéséhez doboz fes ték kell, 0 rózsaszí felhő befestéséhez 0 3, 5 doboz festék kell, tehát 4 dobozt 6 kell megvásároluk.

97 3. modul: SÍKIDOMOK KERÜLETE, TERÜLETE 97 Mitapélda 7 Olvassuk le a térképről a megfelelő adatokat, majd számítsuk ki, mekkora az Orczy-kert területe, és milye hosszú kerítés határolja! Gyakra haszos, hogy egy több lépésből megoldadó feladat kiszámítása előtt megoldási tervet készítük. Ebbe a feladatba bemutatjuk ezt a módszert. Megoldás: Terv: ) Mérjük le a térképe a égyszög szükséges adatait; ) Számítsuk ki a térképe levő síkidom területét; 3) A mért adat és a skála összehasolításával állapítsuk meg a hasolóság aráyát; 4) Határozzuk meg a valós kerületet és területet. Számítás: ) Legye az Üllői út felé eső oldal a égyszög AB oldala. AB 58 mm, BC 36 mm, CD 6 mm és DA 7 mm. Mivel ez általáos égyszög, még legalább egy adatát le kell mérük: AC 83 mm. T +. A Héro-képletettel számoljuk ki az ABC háromszög és a CDA ) ABCD TABC TCDA háromszög területét: s 88, 5, így T 88,5 88, , , , (mm ). ABC ( ) ( ) ( ) Hasolóa CDA háromszög területére: s 07, 5 így ( 07,5 6) ( 07,5 7) ( 07,5 83) 4, 7 T 07,5 (mm ). CDA T 88,84 + 4,7 997,(mm ). ABCD

98 98 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 3) A térkép alatti léptékről leolvasható, hogy az ábrá 47 mm felel meg a valóságba méterek, így a hasolóság aráya A valódi kerület a mért kerületek 9 04,5-szerese, azaz ( 0, , ,06+ 0,07) 043 K 904,5 4) A valódi terület a térképi területek 904, 5 -szerese., azaz : 9 04,5. (m). T 997,mm ABCD 0,00997(m ), tehát a park területe T park 904,5 0,00997m m. Feladatok 9. A római Patheoról midehol megemlítik, hogy magassága ugyaakkora, mit a kör alakú főhajó átmérője, azaz 43,5 m. Mérd meg az alaprajzo szereplő méreteket, majd állapítsd meg az alaprajz és az eredeti épület méreteiek aráyát! Számítsd ki az épület alapterületét! 0. Egy termékkatalógusba a közúto haszálatos STOP-tábla méretét 60 cm-esek adják meg, az iskolai közlekedési parkokba haszálatosakét pedig 30 cm-esek. Nem közlik, hogy ez a leghosszabb átló mérete, vagy a tábla vízszites legagyobb kiterjedéséé. a) Számítsd ki midkét esetbe a közúti közlekedésbe haszálatos STOP-tábla területét. b) Ha egy adag piros festékkel a közúto haszálatos táblák közül 0-at tuduk befestei, akkor háy táblára elegedő ez az iskolai parkba haszálatosak közül?

99 3. modul: SÍKIDOMOK KERÜLETE, TERÜLETE 99 Kislexiko A háromszög kerülete és területe: T T Δ Δ a m a b m b c m a b si γ b c si α a c siβ ( s a) ( s b) ( s c) TΔ s, c K a + b + c Δ. a + b + c ahol s a háromszög kerületéek fele, azaz s T Δ c b m b m a K r s r, ahol K a kerülete, r a háromszögbe írt kör sugara, s pedig a kerület fele. a m γ A égyzet kerülete és területe: K égyzet 4a ; T égyzet a. A téglalap kerülete és területe: K téglalap ( a + b) ; a b. T téglalap A trapéz kerülete és területe: K trapéz a + b + c + d ; T trapéz a + c m, ahol a és c a két párhuzamos oldal hossza, m pedig a trapéz magassága. A paralelogramma kerülete és területe: K ( a b). parale log ramma + T paralelogramma T paralelogramma a m b m. a b a b siγ, ahol γ az a és b hosszúságú oldalak bezárt szöge. T paralelogramma e f siϕ, ahol e és f a két átló hossza, φ az általuk bezárt szög.

100 00 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A rombusz kerülete és területe: K rombusz 4a ; a m. T rombusz T rombusz T rombusz e f, ahol e és f a két átló hossza. a siα, ahol α a rombusz egyik szöge. A deltoid kerülete és területe: K deltoid ( a + b) ; T deltoid e f ahol e és f a két átló hossza. r r K. Az éritőégyszög területe: T ( a + b + c + d ) ér it ő égyszög Bármely kovex égyszög területe: T égyszög e f siϕ, ahol e és f a két átló hossza, és φ az általuk bezárt szög.

101 4. MODUL poliéderek felszíe, térfogata Készítette: Vidra Gábor

102 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A hasáb A lakásba szereték átalakításokat végezi: új falat emeli gipszkartoból, légkodicioálót beszerelteti, a falat lefesteti. Csupa olya probléma, amelyek megoldásához alapvető térgeometriai ismeretekre va szükség: a festék meyiségéek meghatározásához területet, felszít kell számoli, a megfelelő hűtőredszer kiválasztásához pedig ismerük kell a helyiség térfogatát. A test térfogata aak a térrészek a mértéke, amelyet a test felülete határol. A térfogatot midig valamilye térfogategységhez hasolítjuk, amely az egységélű kocka térfogata. A test felszíe a testet határoló felület területe. Síklapokkal határolt testek eseté a határoló lapok területéek összege. Poliéderek evezük egy testet, ha azt véges sok sokszöglap határolja. A poliéder kovex, ha bármely két potjáak összekötő szakaszát is tartalmazza. Mide kovex poliéderre teljesül Euler tétele: l + c e +, azaz: lapok + csúcsok száma élek száma +. A poliéder szabályos, ha élei, élszögei és lapszögei egyelők. Összese öt ilye test va: tetraéder (4 lap), hexaéder (kocka; 6 lap), oktaéder (8 lap), dodekaéder ( lap), ikozaéder (0 lap). A középiskolába leggyakrabba a poliéderek közül a hasábokkal, gúlákkal és csokagúlákkal foglalkozuk. A test hálója poliéderek eseté az a sokszöglap, amelyet ha egy síklapból kiváguk, akkor összehajtogatható belőle a test felülete. Adott az alapsíko egy sokszög (alaplap) és egy egyees, amely az alapsíkkal em párhuzamos. Ha a sokszög mide potjá keresztül párhuzamost húzuk az adott egyeessel, hasábfelületet kapuk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező korlátos (zárt) térrészt evezzük hasábak. Egyees hasábot kapuk, ha az adott egyees merőleges az alapsíkra. Az oldallapokat együtt palástak evezzük. Az alaplap és a fedőlap síkjáak távolsága adja a hasáb magasságát.

103 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA 03 A hasáb térfogata: V alapterület testmagasság, felszíe: A alapterület + a palást területe. A térfogat és felszíképletek bizoyítható állítások. Speciális hasábok a téglatest és a kocka. A kocka térfogata: V a 3, felszíe A 6a (a a kocka élhossza). A téglatest térfogata V abc, felszíe A (ab + bc + ac) (a, b és c a téglatest egy csúcsából kiiduló éleiek hossza). Mitapélda Az ábrá látható prizma egy féyképezőgép alkatrésze. Négy darab téglalap határolja, amelyek közül a szomszédosak egy-egy oldala közös és 4 cm hosszú, valamit két szimmetrikus trapéz, amelyek alapjai 4 cm és cm, magassága cm. A két trapéz síkja merőleges a prizma alap és fedőlapjára. Számítsuk ki a prizma felszíét és a térfogatát! Megoldás: A felszí kiszámításához szükségük va a trapéz szárára: c + 5. A test hálóját felrajzolva láthatók a testet határoló síkidomok. A felszí ezek területéek összege: ,9 cm A 4 ( ) A térfogat kiszámításához felhaszáljuk, hogy a test egy trapéz alapú egyees hasáb, az + 4 alapterület a trapéz területe: T 6 cm, a testmagasság M 4 cm, így a 3 térfogat: V T M 4 cm.

104 04 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda Egy égyzet alapú ferde hasáb két oldallapja téglalap, másik két oldallapja olya paralelogramma, melyek egyik szöge 60. Mekkora a hasáb térfogata és felszíe, ha az alapél hossza 4 cm, az oldalél hossza 0 cm? Megoldás: Ábrát készítük, és ráírjuk a megfelelő adatokat. Az alapterület T 4 96 (cm ). Az egyik alapél és az oldalél által alkotott derékszögű háromszögből számítható a testmagasság, amely ebbe az esetbe az egyik oldallap m magassága is egybe: si 60, ahoa m 0 si 60 7, 3(cm). 0 3 A térfogat V T m 3394,7 cm. A felszí kiszámításához mide adatot ismerük: A ( ,3) 436,96 cm. Feladatok. Mekkora az a alapélű, b oldalélű égyzetes oszlop a térfogata és felszíe, ha a) a cm, b dm; b) a,4 cm, b 35 mm; c) a 400 mm, b 4 dm; d) a 55 mm, b 0,3 dm.. Egy égyzetes oszlop magassága háromszorosa az alapélek. Töltsd ki a táblázat hiáyzó részeit! alapél térfogat felszí a) 6 cm b) 4,6 dm c) 686 cm d) 46,875 m 3

105 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Egy építkezéshez 3 darab, égyzetes oszlop alapú geredát haszálak fel. A gereda keresztmetszete 0,5 cm 0,5 cm, hosszuk egységese 8,4 m. a) Háy m 3 a geredák térfogata összese? b) A geredákat olya felületkezelő ayaggal voják be, amelyek kiadóssága 0 m /liter. Háy liter vegyszerre va szükség? 4. Számítsd ki az egyelőszárú háromszög alapú hasáb térfogatát és felszíét, ha az alaplap alapja 50 cm, szárai 45 cm hosszúak, és a hasáb magassága 70 cm! 5. Az üzletbe 750 ml-es utátöltőbe is árulják a folyékoy szappat. Va egy hasáb alakú tartók, amelyek alaplapja egy 6 cm és cm alapú, 7, cm szárú trapéz, a testmagassága 8 cm, és a tartó térfogatából 85% a tartály. Betölthető-e ebbe a szappatartóba a vásárolt folyékoy szappa? 6. Az alábbi lakás szobáiba és koyhájába szeretéek klímaberedezést vásároli. A lakás magassága,8 méter. Becsüljük meg, mekkora teljesítméyű beredezéseket vásároljaak az egyes helyiségekbe! Átlagosa 35 W/m 3 teljesítméyegységgel számolhatuk. Megjegyzés: A kapott érték valóba becslés, mert a kívát teljesítméy függ a helyiség haszálatáak jellegétől, a bee tartózkodó személyek számától, a burkolófelületek ayagától, a tájolástól stb. 7. Egy 9 cm oldalhosszúságú kocka sarkaiból leváguk egyegy 3 cm oldalélű kockát az ábra szerit. Mekkora a meg- maradó rész térfogata és felszíe? 8. Mekkora az ábrá látható, cm élű játékkockákkal kirakott játékbástya térfogata és felszíe?

106 06 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 9. Egy téglatest egyik éle 3 m-rel hosszabb a másikál, a harmadik éle 0 m, a térfogata 600 m 3. Mekkorák az élei és a hasáb felszíe? 0. Egy téglatest felszíe 8576 cm. Egyik oldaléle,4 dm, a másik két oldalél külöbsége cm. Mekkorák a hasáb élei és térfogata?. Egy ajtóba az üveg keretét 8 cm 3 cm széles deszkából készítették. Az ajtó 0 cm magas és 86 cm széles, az üveg 8 mm vastag. Az ajtó térfogatáak háy százaléka az üveg térfogata?. Egy szabályos hatszög alapú egyees hasáb magassága másfélszerese az alapéléek. Mekkora a hasáb felszíe, ha térfogatáak potos értéke ? 3. Egy szabályos sokszög alapú egyees hasáb alapéle cm, testmagassága 5 cm. Számítsd ki a hasáb térfogatát és felszíét, ha az alaplap a) hatszög; b) ötszög; c) yolcszög; d) tízszög. 4. Egy szabályos háromszög alapú egyees hasáb alapéle 8 cm hosszú, palástjáak területe (az oldallapok területösszege) hatszorosa az egyik alaplap területéek. Mekkora a hasáb felszíe és térfogata? Mitapélda 3 Egy ideiglees, téglatest alakú szípad vas keretéhez merevítéskét be kell hegesztei síkokét egy-egy lapátlót és két testátlót (amelyek metszik egymást, ezért a két testátlót égy egyforma darabból kell összeállítai). Számítsuk ki, hogy a kerettel együtt meyi vas ayagra lesz szükség, ha a szípad,6 m magas, és 0 m 6 m a felület, ami fellépek a művészek. Mekkora szögbe illeszkedik egymáshoz a két testátló, és milye hosszú az a égy darab, amiből összehegesztve megkapjuk a merevítést?

107 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA 07 Megoldás: A téglatest lapátlóit Pitagorasz-tétellel számítjuk ki: x 6 +,6 38,56 6, (m) y ,66 (m) z, ,56 0,3 (m) A testátlót a kiemelt derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétellel határozzuk meg: d 0 + x ,6, ahoa 38, 56 d, d, 77 (m). A megfelelő darabok hosszát összeadva kapjuk a szükséges ayagmeyiséget: 4 ( ,6) + ( x + y + z) +,77 50 m ayagra va szükség. A hajlásszög kiszámításához derékszögű háromszöget keresük a testátlók által meghatározott síkba. Szögfüggvéy segítségével tgα α 45,5. z z, ahoa 5 0 A feladat megoldása sorá láttuk, hogy a testátló hossza hogya függ az oldalak hosszától: d a + b + c. Ebből kapuk egy általáosa is igaz összefüggést: A téglatest testátlójáak hossza: d + a + b c, ahol a, b és c a téglatest egy csúcsba összefutó éleiek hossza.

108 08 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda 4 Hogya függ a kocka testátlójáak hossza a kocka oldalhosszától (a)? Megoldás: A kocka is téglatest, így a testátlóra kapott összefüggést itt is alkalmazhatjuk. Most mide oldal egyelő: a + a + a 3a, ahoa a 3 d d. Feladatok 5. Egészítsd ki a táblázat hiáyzó részeit! a, b és c egy téglatest egy csúcsba összefutó élei, d a testátló, A a felszí és V a térfogat. a b c d A V a) 5 cm 8 cm 0 cm b),3 cm 0,46 dm 7 mm c) 0 m 0 m 34,3 m d) 6 cm 4,8 cm 9,4 cm e) a + 8 a + 6, dm 6. Mekkora szöget zár be a kocka testátlója a) a kocka éleivel; b) a kocka lapjaival; c) a kocka egy másik testátlójával? 7. Mekkora a kocka térfogata és a felszíe, ha testátlója cm? 8. Egy téglatest két éle 8 cm és 6 cm, felszíe 68 cm. Mekkora szöget zár be a testátlója azokkal az élekkel és lapokkal, amelyek a testátló egyik csúcspotjába találkozak? 9. Mekkora szöget zár be a 4 cm alapélű, 499 cm 3 térfogatú, szabályos hatszög alapú hasáb leghosszabb testátlója az alaplappal? 0. Egy szabályos sokszög alapú egyees hasáb alapéle a, oldaléle b. Fejezd ki a leghosszabb testátlót a és b segítségével, ha az alaplap a) égyzet; b) hatszög; c) yolcszög.

109 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA 09 II. A gúla Adott az alapsíko egy sokszög (alaplap) és egy pot az alapsíko kívül (csúcspot). Ha a sokszög mide potját egyeesekkel összekötjük az adott pottal, gúlafelületet kapuk. A keletkező korlátos térrészt evezzük gúláak. A gúla magassága az alaplap síkjáak és a csúcspotak a távolsága. Szabályos a gúla, ha az alaplapja szabályos sokszög, és a gúla csúcsából az alaplapra bocsátott merőleges az alaplap középpotjá megy át. Feladatok. Kheopsz fáraó égyzet alapú szabályos gúlát formáló Nagy Piramisáak eredeti alapéle 30 m, magassága 47 m volt. Számítsuk ki, hogy mekkora a térfogata és a felszíe!. Egy égyzet alapú szabályos gúla alapéle 3,5 dm. Mekkora a térfogata és a felszíe, ha 50 cm a) a testmagassága; b) az oldallapjáak magassága; c) az oldaléle? 3. Egy hatszög alapú szabályos gúla alapéle a cm. Mekkora a térfogata és a felszíe, ha 0 cm a) testmagassága; b) oldallapjáak magassága; c) oldaléle? 4. Egy égyzet alapú szabályos gúla alapéle 0 cm. Mekkora a gúla térfogata és a felszíe, ha 75 a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge; b) az oldallap és az alaplap hajlásszöge? 5. Egy hatszög alapú szabályos gúla alaplapja köré cm átmérőjű kör írható. Mekkora a térfogata és a felszíe, ha 45 a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge; b) az oldallap és az alaplap hajlásszöge?

110 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 6. Két szabályos gúla magassága megegyezik. Az egyik alaplapja szabályos ötszög, a másiké szabályos hatszög. A két sokszög köré írható körök sugara is megegyezik. Háy százalékkal agyobb az egyik test térfogata a másik térfogatáál? 7. Reklámcélra egy cég legyártja az ábrá látható testet: egy 0 cm élű kocka éleiek harmadoló potjait kötötték össze, és levágták a kocka így adódó sarkait. a) Mekkora a keletkező test térfogata? b) Mekkora a felülete a piros és a kék részekek összese? 8. a) Számítsuk ki az a élű szabályos tetraéder térfogatát és felszíét! b) Mekkora az alaplap és az oldallap, illetve az alaplap és az oldalél hajlásszöge? 9. A Téglatest együttes új evet vett fel: Pyramys. Az együttes kocertjei árult, műayagból készült, 3 cm 4 cm 5 cm élű téglatestekből 360 darab megmaradt. Ezeket megolvasztják, és olya égyzet alapú szabályos piramisokat gyártatak belőle, amelyek alapéle 7 cm, testmagassága 3,5 cm. A gyártás sorá 7%-os térfogatveszteséggel kell számoli. Háy ilye piramis készíthető? 30. Egy vállalkozás reklámcélokra hatszög alapú szabályos gúlákat csiáltat, amit fából készíteek el. A gúla alapélei 4, cm hosszúak, magassága 5 mm. Eddig 50 ilye ajádékot osztottak ki. a) Háy cm 3 faayag va az eddig kiosztott gúlákba? b) A gúla oldallapjait szíesre festik. Háy cm felületet festeek be egy gúla oldallapjaiak a szíezésekor? Meyi festékre volt szükség a 50 ajádék befestésekor, ha m -hez 3,6 liter festék kell? Mitapélda 5 Egy cm alapélű, cm magasságú égyzet alapú szabályos gúlát elváguk a testmagasság harmadoló potjai átmeő, alaplappal párhuzamos síkokkal. a) Határozzuk meg az így keletkező három test térfogatát! Megoldás: A vázlat elkészítése a megoldás egyik kulcslépése. Három gúlát kapuk, amelyek alaplapja hasoló

111 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA egymáshoz (a gúla csúcsából törtéő középpotos hasolósággal ezek az alaplappal párhuzamos síkmetszetek egymásba vihetők). A hasolóság aráyát a megfelelő szakaszok, most a testmagasságok aráyából határozzuk meg. A hasoló síkidomok területe a hasolóság aráyáak égyzetével 3 3 T, ami azt jeleti, hogy T T3 4T3, és egyezik meg: : T ( M : M ) hasolóa T 3 T3 9T3. A szabályos gúlák alapterülete: T3 T 6 cm, T cm, a gúla térfogata T M V, a legkisebb gúláé V 3, 3 cm A másik két test térfogata gúlák térfogatáak külöbségekét állítható elő: 64 8 V V3 49,3 cm 3, illetve V ( V + V3 ) 405, 3 cm Megjegyzés: A gúla alaplapjával párhuzamos síkok által levágott testek közül a gúla csúcsáál egy újabb gúla keletkezett, a másik két test pedig egy-egy csokagúla, amellyel a későbbiekbe részletese foglalkozuk. A keletkezett kis gúla hasoló az eredetihez. A hasolóság a térbeli alakzatokra is ugyaazt jeleti, mit a síkidomokra megadott defiíció. Mitapélda 6 Egy T alapterületű, M testmagasságú gúlát a csúcsából k-szorosára agyítuk. Írd fel T, M és k segítségével a keletkező új gúla térfogatát! Megoldás: Az eredeti gúla térfogata V T M T ' M '. A agyított gúla térfogata V ', ahol T az új 3 3 test alapterülete, M pedig a testmagassága. A agyított és az eredeti gúla hasolósága miatt M ' k M, míg az alapterület T ' k T. Ezeket behelyettesítve T ' M ' V ' 3 ( k T ') ( k M ') 3 k 3 T ' M ' k 3 3 V Hasoló testek felszíéek aráya a hasolóság aráyáak második hatváya. Hasoló testek térfogatáak aráya a hasolóság aráyáak harmadik hatváya. Ha az. és a. test hasoló, és k a hasolóság aráya, akkor A V k és 3 k. A V

112 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 3. Egy szabályos gúlát úgy váguk el egy alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a keletkező két rész térfogata megegyezze. A magasság háyad részéél kell elváguk a gúlát? 3. Egy hatszög alapú szabályos gúla testmagassága és alapéle egyarát 4 cm. Úgy vágjuk el a gúlát egy alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a keletkező két rész térfogatáak aráya 3 : legye! a) Számítsd ki a keletkező részek térfogatát! b) Hol kell elvági a gúlát? 33. Egy 8,5 cm alapélű, szabályos égyoldalú gúla oldaléle az alaplappal 65 -os szöget zár be. Az alaplaptól milye távolságokba vágjuk el a gúlát két, alaplappal párhuzamos síkkal, hogy a keletkező részek térfogata egyelő legye?

113 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA 3 III. A csokagúla Ha a gúlát elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, csokagúlát kapuk. Egy szabályos gúlát elmetszve szabályos csokagúlát kapuk. Mitapélda 7 Háy liter virágföldet vásároljuk abba a égyzet alapú, csokagúla alakú virágládába, amelyek belső méretei: az alaplap éle 6 cm, a fedőlap éle 38 cm, a láda magassága 47 cm? Megoldás: A cserép térfogatáak meghatározásához ismeri kell a csokagúla térfogatáak kiszámítási módját. Hasolóság segítségével a következő képletet lehet levezeti: M A csokagúla térfogata: V ( T + t T + t) 3, ahol M a testmagasság, t a fedőlap, T az alaplap területe. Az adatokat a képletbe behelyettesítve: ( ) 4869 cm 48,7 liter V 47 3 zsák virágföldet megvásároli.. Érdemes tehát egy 50 literes A csokagúla felszíéek kiszámításához ics képlet, mide feladatot egyedi módo olduk meg. Ha a csokagúla égyzet alapú szabályos gúlából származott, melyek adatai az ábrá láthatók, akkor meghatározzuk az oldallapok (trapézok) területét. Az oldallap magassága (m) és testmagasság (M), valamit az oldallap magassága és az oldalél (b) között a Pitagorasz-tétel teremt kapcsolatot: m b M m a c + a c +

114 4 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 34. Egy egyiptomi matematikatörtéeti emlék, a moszkvai papirusz a következőképpe írja le a csokagúla térfogatáak kiszámítását: [ ] alapélek:, illetve 4 köyök, magasság: 6 köyök.. Add össze ezt a 6-ot. ezzel a 8-cal és ezzel a 4-gyel: 3. kijö 8. Számítsd ki 4. /3-át a 6-ak. Kijö. 5. Számolj 8-asával kétszer. Kijö Nézd, ez 56. Helyese számítottad ki. Valóba helyes a számolás? Elleőrizd! 35. Töltsd ki a táblázat hiáyzó részeit! a b c m M V A a) b) c) d) Egy 3,6 dm élű kocka egyik oldaláak csúcsait összekötjük a szemközti oldal középpotjával, majd az így kapott gúlát elvágjuk az adott oldallal párhuzamos, a kocka középpotjá átmeő síkkal. Határozd meg az így kapott csokagúla térfogatát és felszíét! 37. Egy sokszög alapú szabályos csokagúla alaplapjáak éle 8 cm, fedőlapjáak éle 8 cm, oldaléle 0 cm. Mekkora a térfogata és felszíe, ha az alaplap a) égyzet; b) szabályos hatszög? 38. Egy égyzet alapú szabályos csokagúla alapéle 6 cm, fedőlapjáak éle 8 cm, és az oldallapok 73 -os szöget zárak be az alaplappal. Mekkora a térfogata és a felszíe?

115 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Egy égyzet alapú szabályos csokagúla alapéle 6 cm, fedőlapjáak éle 8 cm, és az oldalélek 64 -os szöget zárak be az alaplappal. Mekkora a térfogata és a felszíe? 40. Egy szobor talapzata,7 méter magas hatszög alapú szabályos csokagúla, az alaplap éle 0 cm, és a fedőlap éle 30%-kal kisebb az alaplap éléél. a) Mekkora a talapzat tömege, ha az ayaga,7 kg/dm 3 sűrűségű márváy? b) Télire becsomagolják a szobor talapzatát, hogy megóvják az időjárás viszotagságaitól. Meyi csomagolóayagra va szükség, ha a kötözéshez a talapzat felszíé kívül még 0% ayagot rá kell számoli? 4. Az ábráko kürtős páraelszívók láthatók. Számítsd ki a térfogatukat és a felszíüket! A páraelszívók szimmetrikusak egy olya síkra, amelyik az alaplap 60 cm-es élével párhuzamos és az alaplapra merőleges. Mide távolságadat cm-be értedő. a) b) 4. Egy háromszög alapú szabályos csokagúla oldallapjai az alaplappal 70 -os szöget zárak be. A csokagúla magassága 9 cm, az alaplap éle 3 cm. Mekkora a felszíe és a térfogata?

116 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE IV. Vegyes feladatok 43. Mekkora aak a háromszög alapú egyees hasábak a térfogata és felszíe, amelyek alapélei 0 cm, cm és 4 cm, oldaléle pedig 0 cm hosszú? 44. Egy égyzetes oszlop oldalhosszai cetiméterrel mérve egész számok, térfogata 7 cm 3. Meyi lehet a felszíe? 45. Egy ajtót úgy készítettek, hogy két bútorlapot összeragasztottak. Az egyik méretei: 8 cm 0 cm 3 mm, a másik méretei: 85 cm 0,5 cm 5 mm. a) Számítsd ki az egyes bútorlapok, majd az egész ajtó ayagáak térfogatát! b) Mekkora a tömege az ajtóak, ha a bútorlap sűrűsége 600 kg/m 3? m A sűrűség, a tömeg és a térfogat közötti összefüggés: ρ. V 46. Egy 08 cm élű kocka oldalait kilec egybevágó égyzetre osztjuk, és a középső égyzetekek megfelelőe teljese átfúrjuk a kockát. a) Meyi a megmaradó rész térfogata? b) A kocka lapjai megmaradó 8-8 égyzetet újra 9 egybevágó égyzetre osztjuk, és az itt megjeleő középső égyzetekek megfelelőe ismét átfurkáljuk a kockából megmaradt testet. Mekkora az így keletkező test térfogata?

117 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Mekkora aak a hasábak a térfogata és felszíe, amelyek hálóját és méreteit az ábra mutatja? 48. Egy egyees hasáb alaplapja olya trapéz, amelyek egyik alapja kétszerese a másikak. Hogya tudák három, egyelő térfogatú hasábra vági két olya síkkal, ami párhuzamos az oldalélekkel? 49. Egy trapéz alapú egyees hasábot az alaplap átlóját tartalmazó, alaplapra merőleges síkokkal égy darab háromszög alapú hasábra botuk az ábra szerit. Milye összefüggések találhatók a keletkező hasábok térfogatai között? A trapéz rövidebbik alapja 6 cm, a hosszabbik 5 cm. 50. A 0 cm alapélű, 5 cm testmagasságú, rombusz alapú egyees hasábok közül melyik- ek a legagyobb a térfogata? Számítsd ki a maximális térfogatot és azt is, hogy ekkor meyi a felszí! 5. Egy hasáb alakú sarokgardrób alaplapja látható az ábrá. Meyibe kerül a bútorlap költsége, ha a szekréy magassága 93 cm, körbe midehol bútorlap határolja és a égyzetméter-ár 400 tallér? 5. Egy szabályos égyoldalú gúla oldaléle az alapél kétszerese. Mekkora szöget zár be az alaplap az oldallappal? 53. Egy szabályos égyoldalú gúla alapéléek és testmagasságáak aráya 3 : 5, térfogata 875 cm 3. Mekkora a felszíe?

118 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 54. Egy 4 cm élű kocka egyik oldaláak csúcsait összekötjük a szemközti oldal középpotjával. Határozd meg az így kapott gúla térfogatát és felszíét! 55. Egy kerítésdíszt úgy készíteek, hogy egy 6 cm élű kocka szemközti oldalaiak csúcsait összekötik a kocka középpotjával (középe potszerűe összehegesztik). Határozd meg az így kapott dísz térfogatát és felszíét! 56. A 0 cm magasságú, 8 cm alapélű, égyzet alapú szabályos gúlát az alaplapjával felfelé fordítjuk, és a magasság feléig megtöltjük vízzel. Ezutá lezárjuk, és a gúlát az alaplapjára fordítva lerakjuk az asztalra. Milye magasa áll bee a víz? 57. Egy ötszög alapú szabályos gúla alaplapja köré 6,8 cm sugarú kör írható. Mekkora a térfogata és a felszíe, ha 45 a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge; b) az oldallap és az alaplap hajlásszöge? 58. Egy yolcszög alapú szabályos gúla alaplapja köré,3 dm sugarú kör írható. Mekkora a térfogata és a felszíe, ha 35 a) az oldalél és az alaplap hajlásszöge; b) az oldallap és az alaplap hajlásszöge? 59. Egy égyzet alapú szabályos csokagúla testmagassága 5 -os szöget zár be az oldallap magasságával, és a két magasság külöbsége 6,8 cm. Mekkora a térfogata és a felszíe, ha a fedőlap éle 3 cm? 60. Egy égyzet alapú szabályos csokagúla fedőlapjáak és alaplapjáak élei közötti külöbség cm, testmagassága 3,8 cm. Mekkora a felszíe, ha a térfogata 498 cm 3? 6. Mekkora aak a égyzet alapú csokagúláak a térfogata és felszíe, amelyikek hálója az ábrá látható?

119 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA 9 Kislexiko A test térfogata: aak a térrészek a mértéke, amelyet a test felülete határol. A térfogatot midig valamilye térfogategységhez hasolítjuk. Térfogategység: az egységélű kocka térfogata. A test felszíe: a testet határoló felület területe. Síklapokkal határolt testek eseté a határoló lapok területéek összege. Poliéderek evezük egy testet, ha azt véges sok sokszög határolja. Kovex poliéder: bármely két potjáak összekötő szakaszát is tartalmazza. Euler tétele: l + c e + (lapok + csúcsok száma élek száma + ); mide kovex poliéderre teljesül. Szabályos poliéder: élei, élszögei és lapszögei egyelők. Hasáb: Adott az alapsíko egy sokszög (alaplap) és egy egyees, amely az alapsíkkal em párhuzamos. Ha a sokszög mide potjá keresztül párhuzamost húzuk az adott egyeessel, hasábfelületet kapuk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező bezárt térrészt evezzük hasábak. Egyees hasáb: olya hasáb, amelyél az adott egyees merőleges az alapsíkra. Palást: a poliéder oldallapjaiak együttese. Gúla: Adott az alapsíko egy sokszög (alaplap) és egy pot az alapsíko kívül (csúcspot). Ha a sokszög mide potját egyeesekkel összekötjük az adott pottal, gúlafelületet kapuk. A keletkező bezárt térrészt evezzük gúláak. A gúla magassága az alaplap síkjáak és a csúcspotak a távolsága. Szabályos gúla: ha az alaplapja szabályos sokszög, és a gúla csúcsából az alaplapra bocsátott merőleges az alaplap középpotjá megy át.

120 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Csokagúlát kapuk, ha a gúlát elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal. Szabályos csokagúla: ha szabályos gúlát metszük el egy, az alaplappal párhuzamos síkkal.. Gyakra előforduló poliéderek térfogata és felszíe: A kocka térfogata: V a 3, felszíe A 6a (a a kocka éle). A téglatest térfogata V abc, felszíe A (ab + bc + ac) (a, b és c a téglatest élei). A hasáb térfogata: V alapterület testmagasság, felszíe: A alapterület + a palást területe. A gúla térfogata V összege adja. alapterület magasság, felszíét a határoló lapok területeiek 3 M A csokagúla térfogata: V ( T + t T + t) T az alaplap területe. 3, ahol M a testmagasság, t a fedőlap, Hasoló testek: két test hasoló, ha va olya hasolósági traszformáció, amely egyiket a másikhoz redeli. Hasoló testek eseté feáll a síkidomokra is érvéyes állítás: az egyik alakzat két tetszőleges potjáak egymástól való távolsága s a másik alakzat megfelelő potjaiak egymástól való távolsága között levő aráy álladó. Hasoló testek felszíéek aráya a hasolóság aráyáak égyzete. Hasoló testek térfogatáak aráya a hasolóság aráyáak köbe.

121 5. MODUL térfogat és felszíszámítás Készítette: Vidra Gábor

122 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A heger A heger származtatása, jellemzői Adott az alapsíko egy görbe voallal határolt síkidom (alaplap) és egy egyees, amely az alapsíkkal em párhuzamos. Ha a görbe mide potjá keresztül párhuzamost húzuk az adott egyeessel (alkotók), hegerfelületet kapuk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező, az alaplap és a fedőlap közé eső térrészt evezzük hegerek. Ha a görbe kör, a test eve körheger. Egyees körhegerél az alkotók merőlegesek az alapsíkra. A test görbe határoló felületét palástak evezzük. Az alaplap és a fedőlap síkjáak távolsága adja a testmagasságot. A hasáb térfogatához hasoló a heger térfogata: az alapterület és a testmagasság szorzatával határozhatjuk meg. Körheger eseté: V r π M, ahol r az alapkör sugara, M a testmagasság. Az egyees körheger (a továbbiakba ezt evezzük hegerek, ha a feladat szövege em utal a heger egyéb tulajdoságaira) felszíéek kiszámításakor figyelembe vesszük, hogy a heger palástja síkba kiterítve téglalap. A heger felszíe: A r π + rπm rπ ( r + M ).

123 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS 3 Mitapélda Az üvegbe a címke szerit 750 ml méz található. Milye magasa áll a méz a heger alakú üvegbe, ha az alaplap belső átmérője 9 cm? Megoldás: 750 ml 750 cm 3. A térfogat képlete V r π M, behelyettesítve 750 4,5 π M M,8 cm. A mézek az üvegbe kb. cm magasa kell állia. Mitapélda Egy heger magassága kétszerese az alaplap átmérőjéek. Mekkora a térfogata, ha a felszíe 985, cm? Megoldás: M d 4r ; behelyettesítve a felszí képletébe: A rπ ( r + 4r) rπ 5r 0r π 985, (cm ). 985, 3 r 5,6 (cm). A térfogat értéke a V r π M 4r π összefüggésből: 0 π V 06,9 cm 3. Feladatok. Számítsd ki aak a hegerek a térfogatát és felszíét, amelyet egy 6 cm 0 cm-es téglalap megforgatásával kapuk, ha a téglalapot a a) rövidebb oldaláak felezőmerőlegese; b) hosszabb oldaláak felezőmerőlegese; c) rövidebb oldala; d) hosszabb oldala körül forgatjuk meg. Töltsd ki a táblázatot! r M V A a) b) c) d)

124 4 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Az a és b oldalú téglalapot megforgatjuk az a oldala körül, a keletkező test térfogata V, felszíe A. Keresd meg az összetartozó betű szám párosokat! A) a 5 ; b 5; B) a 8 ; b ; C) a 4 ; b 3 ; D) b 7 ; a 3 ; ) V A 8 ; ) 5 A 0 V ; 3) V A 5 ; 4) 8 V 6. A 7 3. Mekkora az ábrá látható heger térfogata? a 5 cm. 4. Egy 6 hegeres motorról a heger leírásába a következőt találjuk: furat / lökethossz 89,00/74,8 mm. Háy cm 3 -es a motor? 5. Kati mamája egy fektetett félheger alakú fóliasátrat szerete, amelyikbe ki is tud egyeesedi. Ezért szereték, hogy a 3 méter hosszú sátor teteje méter magas legye. a) Háy m fóliával lehet a sátrat bevoi? b) Háy m 3 a sátor térfogata? 6. Egy heger kiterített palástja égyzet, a felszíe 3384,5 cm. Mekkora a térfogata? 7. Egy betocső külső átmérője 50 cm, a belső átmérő 40 cm. Mekkora a 6 méteres betocső tömege, ha a beto sűrűsége 00 kg/m 3? (A sűrűséget a ρ V m összefüggés adja, ahol m a tömeg, V a térfogat, és a csőbe levő levegő tömege elhayagolható.) 8. Egy heger alakú vödör átmérője 6 cm, és felmosáskor 0 cm magasa áll bee a víz. A felmosószer kupakjá ez áll: 5 liter vízhez kupakkal ötsö. Háy kupakkal kell öteük felmosáskor a vödörbe? 9. Egy heger alaplapjáak átmérője harmada a testmagasságak. Mekkora a) a térfogata, ha a felszíe 395,8 cm ; b) a felszíe, ha a térfogata 7, dm 3.

125 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS 5 0. Egy körheger alakú hordó átmérőjéek és magasságáak aráya 5 : 6. Úgy szereték az oldalukra fordítva és kiékelve elhelyezi egymás mellett a hordókat, hogy közöttük 8-0 cm hely maradjo. Háy ilye 5 hektoliteres hordót tuduk elhelyezi egy 7,5 méter hosszú picerészbe?. Egy ferde heger alkotói 55 -os szöget zárak be a 8 cm átmérőjű alaplappal, az alkotók hossza 0 cm. a) Válaszd ki, hogy milye alakú a ferde heger palástja! b) Mekkora a heger térfogata?. Egy heger palástja síkba kiterítve cm 8 cm-es téglalap. Meyi a heger felszíe és térfogata? Ne csak egy megoldásra godolj! 3. Egy heger palástja olya égyzet, amelyek átlója π. Mekkora a térfogata és a fel- szíe? 4. Egyelő oldalú heger (az alapkör átmérője egyelő a magassággal) a) térfogata 55, m 3. Meyi a felszíe? b) felszíe 85,7 dm. Meyi a térfogata? 5. Egy 5 cm átmérőjű, 4 cm magasságú körheger alakú üvegbe a vízszit az átmérő kétharmadáál va, ha az üveget elfektetjük. Háy liter víz va az üvegbe?

126 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A kúp Adott az alapsíko egy görbe voallal határolt síkidom (alaplap) és egy pot az alapsíko kívül (csúcspot). Ha a görbe mide potját egyeesek segítségével összekötjük az adott pottal, kúpfelületet kapuk. A keletkező korlátos testet kúpak evezzük. Ha a zárt görbe kör, a test eve körkúp. Egyees körkúpak evezzük a körkúpot, ha a potak az alaplap síkjára eső merőleges vetülete az alapkör középpotjába esik. A test határoló felületét evezzük palástak (egyees körkúp síkba kiterített palástja körcikk; a palást az alaplapot em tartalmazza), a csúcspot és a görbe potjai által meghatározott szakaszokat pedig alkotókak. Az alaplap síkjáak és a csúcsak a távolsága adja a kúp magasságát. Ha az egyees körkúpot elmetsszük egy olya síkkal, amely a kúp magasságáak egyeesét tartalmazza (tegelymetszet), akkor egyelőszárú háromszöget kapuk (alapja az alapkör átmérője, szárai a kúp alkotói). Máskét: az egyees körkúp tegelymetszete egyelőszárú háromszög. A szárak által bezárt szöget (φ) a kúp yílásszögéek evezzük. Az egyees körkúp szimmetrikus bármely, a tegelyét tartalmazó síkra. A sugár, a testmagasság és az alkotók között feáll az r + M a összefüggés. Bizoyítható, hogy a kúp térfogata a gúla térfogatához hasolóa, a alapterület magasság V összefüggéssel számító ki. Az egyees körkúp térfogata tehát: 3 r π M V, ahol r az alapkör sugara, M a kúp magassága. 3

127 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS 7 Az egyees körkúp felszíéek meghatározásához a kúpot az egyik alkotója meté szét kell váguk : a palást síkba kiterítve egy körcikk, amelyek ívhossza egyelő az alapkör kerületével. A körcikk területe kiszámítható a T körcikk i r rπ a összefüggéssel, ami most T körcikk raπ, ez a kúp palástjáak felszíe. Ehhez hozzáadva az alapkör területét a kúp felszíére az A rπ ( r + a) képletet kapjuk. Az egyees körkúp térfogata: V r π M, felszíe: A rπ ( r + a). 3 A képletbe r az alapkör sugara, M a kúp magasságáak, a az alkotójáak a hossza. Feladatok 6. Számítsd ki a következő adatokkal megadott kúpok yílásszögeit, és csoportosítsd az egyelőket! (Mide távolságadat cm-be értedő. K az alapkör kerülete, T a területe, a az alkotó hossza, r az alapkör sugara, M a kúp magassága.) A. r, a 4; A. r 3, M 3,4; A3. a, K 47,; A4. M 9,4, T 78, 5 B. r,, a 8,8; B. r 3, M 5,; B3. a 5, K 6,8; B4. M 0, T 804, C. r 4, a 6; C. r 0, M,5; C3. a 64, K 00,5; C4. M 9,, T 380, D. r 5, a 8; D. r 3,5, M 3,6; D3. a 9,6, K 30,; D4. M 3,4, T 45, 4 7. Dötsd el a következő állításokról, hogy melyik igaz és melyik hamis. a) A kúp alkotójáak hossza egyelő a testmagasságával (a M). b) Ha a kúp alkotója kétszerese az alapkör átmérőjéek, akkor a kúp yílásszöge 9. c) Mide kúp yílásszöge egyelő a kiterített palást középpoti szögével. d) Ha egy kúpba a kiterített palást félkör, akkor a yílásszöge 90. e) A palást középpoti szöge és az alapkör sugara egyértelműe meghatározza a kúpot. f) Ha egy kúpot kétszeresére agyítuk, a palástjáak felszíe is kétszeresére övekszik.

128 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 8. Egy a alapú, b szárú egyelőszárú háromszöget megforgatuk a szimmetriategelye körül. Állítsd térfogatuk szerit övekvő sorredbe a keletkező kúpokat! A B C D a 0,8 dm dm 6 cm cm b 0 cm 8 cm, dm 8 cm Mitapélda 3 Egy alul yitott kúp alakú sátor alapköréek átmérője 4 m. Szereték felálli a sátorba, ezért úgy akarjuk elkészítei, hogy a szélétől,5 m távolságba,9 m magas legye. a) Milye magas a sátor? b) Mekkora a kiterített sátorlap körcikkéek középpoti szöge? c) Háy m ayagból készíthető el a sátorlap? Megoldás: a) A hasolóság miatt M,9, 53 m.,5 b) Az alkotóra érvéyes: a + r M, ebből a +,53 3,3m. A körcikk sugara egyelő az alkotóval, ívhossza pedig az alapkör kerületével. A középpoti szög egyeese aráyos a körív hosszával, ezért i α 360. i rπ 4π (m), Kkör aπ 6, 46π (m). K kör 4π A középpoti szög agysága: α ,46π i a c) A körcikk területe: T 3 0, körcikk m. Tehát a sátorlap elékészítéséhez kb. 0,3 m ayag kell.

129 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS 9 Feladatok 9. Egy csokigyárba apota 000 darab csokikúpot gyártaak, amelyet egyekét fóliába csomagolak. A kúpok alapköréek átmérője és magassága egyarát 4 cm. a) Háy liter csokoládéból készül el a api készlet? b) Mekkora felületű fóliát haszálak apota csomagolásra, ha a hajtogatás miatt 5%- kal többet kell számítai? 0. Egy kúp alkotója 5 cm. A csúcstól számítva a testmagasság egyedéél elvágjuk a kúpot egy alaplappal párhuzamos síkkal. A keletkező síkmetszet területe 5,9 cm. Mekkora az eredeti kúp térfogata és felszíe?. Egy kúp kiterített palástjáak területe 63 cm, az alkotó és az alaplap hajlásszöge Mekkora a kúp térfogata és a palást középpoti szöge?. Egy 4,8 m sugarú körlapot égy egybevágó körcikkre váguk. Milye magas körkúp alakú sátor készíthető egy-egy darabból? 3. Egy kúp palástjáak felszíe π területegység, alapköréek területe π terület- egység. Mekkora a kúp yílásszöge? 4. Egy kúp felszíe 79 π, alkotója 8 egységgel hosszabb a sugaráál. Mekkora a tér- fogata? 5. Egy forgáskúp alapköréek átmérője egyelő a kúp alkotójával. A kúp magasságáak hossza 5 3 cm. Készíts vázlatot! a) Mekkora a kúp felszíe? b) Mekkora a kúp térfogata? c) Mekkora a kúp kiterített palástjáak középpoti szöge?

130 30 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. A csokakúp Ha a kúpot elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, akkor egy kisebb kúpot és egy másik testet is kapuk, amelyet csokakúpak evezük. Az alaplap és a fedőlap síkjáak távolsága adja a csokakúp testmagasságát. Az egyees körkúpból származtatott csokakúp térfogata: ( r + r R R ) M π V + 3. Megjegyzés: a képlet levezetésekor felhaszáljuk, hogy a levágott (ú. kiegészítő kúp) hasoló ahhoz a kúphoz, amiből a csokakúp keletkezett. A csokakúp felszíét megkapjuk, ha az alapkör és a fedőkör területéhez hozzáadjuk a csokakúp palástjáak felszíét. A palást síkba kiterítve körgyűrűcikket alkot. ( a) π. A csokakúp felszíe A r + R + ( r + R) A a felszí, r az alapkör sugara, R a fedőkör sugara, a az alkotó. Mitapélda 4 Készítsük el egy csokakúp alakú vulká kicsiyített modelljét A4-es papírok felhaszálásával! A 4 cm sugarú körcikk még ráfér az A4-es kartora úgy, hogy 8 -os a középpoti szöge. Az alapkört, a fedőkört és a körgyűrűcikk kisebb ívét eked kell kiszámítaod és megrajzolod. A modell magassága 8 cm legye! Figyelj arra is, hogy a ragasztáshoz a megfelelő helyeke fülecskéket kell hagyi.

131 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS 3 Megoldás: 8 8 A körcikk ívhosszából kiszámítjuk az alapkör sugarát: i K alapkör 4 π, és ez egyelő az R sugarú kör kerületével: 4 π R π, ahoa R 4 8,9 cm. 360 A magasság: M 8 cm, a fedőkör sugarát szögfüggvéy segítségével állapítjuk meg: R 8,9 8 8 cosα α 50, 5. a 0,4 cm, x 6,6 cm. 4 4 siα tgα Mivel x R r, r,3 cm. A körcikkből 4 a 3,6 cm sugarú körcikket kell kivági. Feladatok 6. Egy csokakúp alapköréek sugara 9 cm, a fedőköré 4 cm, az alkotója 5 cm. a) Számítsd ki a csokakúp térfogatát! b) Számítsd ki a csokakúp palástjáak területét és felszíét! 7. Egészítsd ki a táblázat hiáyzó részeit! Mide adat azoos egységredszerbe értedő. r a fedőkör sugara, R az alapkör sugara, M a csokakúp magassága, a az alkotó, P a palást felszíe, A a csokakúp felszíe és V a csokakúp térfogata. r R a M V P A a) 5 0 b) 8 8,0 c) 4 0 3,0

132 3 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 8. Egy csokakúp alapköréek sugara cm, a fedőköré 8 cm, a magassága 5 cm. a) Számítsd ki a kiegészítő kúp alkotójáak hosszát! b) Számítsd ki, hogy mekkora középpoti szögű körcikkből lehet elkészítei a csokakúp palástját! c) Számítsd ki, hogy a kiegészítő kúp térfogata háy százaléka a csokakúp térfogatáak! 9. Egy gyertyaötő olya csokakúp alakú gyertyákat öt, amelyek alapköréek átmérője 0 cm, a fedőköré 6 cm, és a magassága 8 cm. a) Háy gyertyát tud kiötei 50 liter folyékoy viaszból? b) Mide gyertyát külö celofába csomagol, és a gyertya felszíéél 7%-kal többet kell számolia a csomagoláshoz. Háy m celofát haszál fel a kiötött gyertyák csomagolásához? 30. Összekeveredett az építőjáték, szétestek a kúpok. A számok csokakúpokat, míg a betűk kiegészítő kúpokat jelölek, és a távolságok cm-be adottak. Találd meg az összeillőket az alábbi adatok alapjá! Az ábra csak illusztráció. A) M 6 cm, a dm; B) M 8 cm, a dm; C) r 3 cm; a 58 mm; D) r 3 cm; a 0,5 dm; ) M 00 mm; a,7 cm; ) r 3 cm; R, dm; M 6 cm; 3) M 7 mm; a, dm; 4) r 6 cm; R 90 mm; a,5 dm. A) D) kúpokat jelöl, amelyekél a az alkotó, M a magasság, r az alapkör sugara. ) 4) csokakúpokat jelöl, amelyekél R az alapkör sugara, r a fedőkör sugara, a az alkotó, M a magasság.

133 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS 33 IV. A gömb A gömb a természet egyik, talá a legfotosabb alapformája. Bizoyítható, hogy az egyelő térfogatú testek közül a gömbek a legkisebb a felszíe, ezért ugrik össze gömb alakú cseppé a folyadék, ha teheti (például a higay). Az égitestek alakja többé-kevésbé gömb, és kis golyókkal modellezzük a természet sok jeleségét (például az atommagot és a körülötte kerigő elektrookat csakúgy, mit a gázrészecskéket az ideális gázba, vagy a légszeyezést okozó aeroszol részecskéket). A gömb egy adott pottól (a középpottól) egyelő távolságra levő potok halmaza a térbe. Mide síkmetszete kör, a legagyobb területű síkmetszetet főkörek evezzük. Ha a gömböt egy síkkal metsszük, akkor gömbsüveg keletkezik (a gömbsüvegre voatkozó összefüggéseket megtalálod a függvéytáblázatba). A gömb térfogatát, illetve felszíét az itegrálszámítás segítségével határozzuk meg, ami túlmutat a középszitű érettségi taayagá. Feladatok Az r sugarú gömb térfogata és felszíe: 4 3 V r π, A 4 r π 3 3. Töltsd ki a táblázat hiáyzó részeit! r a gömb sugara cm-be, V a térfogat cm 3 -be, A a felszí cm -be mérve. r A V a) 3 b) 54,5 c) 44,6 d) 53,6

134 34 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 3. Dötsd el az alábbi állításokról, hogy melyik igaz, illetve melyik hamis! a) Ha egy gömb sugarát háromszorosára öveljük, a felszíe és a térfogata is három- szorosára változik. b) Az egység sugarú gömb felszíéek mérőszáma háromszorosa a térfogat mérő- számáak. c) Ha egy 5 cm-él agyobb r sugarú gömb sugarát 3 cm-rel öveljük, a felszíe 4 ( r + 3) -el övekszik. d) Ha egy 5 cm-él agyobb r sugarú gömb sugarát 3 cm-rel öveljük, a térfogata 4 3 r π -vel övekszik. 3 e) Ha két gömb felszíéek külöbsége 490 cm, akkor a két gömb sugarát R-rel és r-rel jelölve R r Mekkora aak a gömbek a sugara, amelyre igaz, hogy térfogatáak mérőszáma duplája a felszíe mérőszámáak? 34. Egy 7 cm átmérőjű üveggolyó belül üreges, a falvastagság 6 mm. Mekkora az üveg- golyó tömege, ha az üvegbe elhayagolható súlyú levegő va, és az üveg sűrűsége ρ 800 kg/m 3, és a tömeg az m ρ V képlettel számolható? 35. Mekkora oldalú fémkockából tudak ötei 0 darab, 4,6 cm átmérőjű gömböt?

135 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS 35 V. Testekkel kapcsolatos számítások Mitapélda 5 A sziliko tömítőayagot hegerekbe árulják. A heger belső átmérője 45 mm, a tubus hossza,6 cm, és az aljától 4 cm-yi helyet em sziliko tölt ki. A heger folytatása egy 0,6 cm alkotójú csokakúp alakú kiyomócső, amelyek egyik végé 8 mm, a másik végé mm átmérőjű a lyuk. Háy méteres egyees csíkot tudák kiyomi a csőből? (A bee található sziliko folyékoy, összeyomhatatla.) Megoldás: A heger sugara,5 cm, magassága 7,6 cm. A hegerbe töltött sziliko térfogata: V,5 π 7,6 80 (cm 3 ). A kiyomócső magassága: , 96 (mm), kiyomás utá a kiyomócsőbe 0,596 π V (cm 3 ), vagyis a 3 maradó sziliko térfogata: ( 0,4 + 0,4 0, + 0, ), 33 kiyomott csík térfogata 80,33 77, 67 (cm 3 ). A kiyomott szilikocsík sugara mm, az egyees csíkot hegerkét számolva, a 77,67 hossza: x 8838,5 mm 8,84 m. 0, π Mitapélda 6 Egy szabályos, égyzet alapú gúla oldallapjai 8 cm oldalú szabályos háromszögek. Mekkora a beírható és a köré írható gömb sugara? Megoldás: A gömbök középpotjai a gúla magasságá találhatók. A beírt gömb eseté: 3 m 8 4 3, M m 4 3 5,66 (cm). A derékszögű háromszögek r M r a M 8 5,66 hasolósága miatt r, (cm). a m m + a

136 36 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A köré írható gömb középpotja egybeesik az alaplap középpotjával, mert a égyzet átlója egyelő a testmagasság kétszeresével, így a sugár: R a 4 5, 7 (cm). Ha ezt em vesszük észre, akkor a jelölt derékszögű háromszögre írjuk fel a Pitagorasz-tételt. y a 4 (cm), y + M a a R y + ( M R) R a 4 cm. M a Összetett testek 36. A szomszéd szeretett vola hétvégi telkére egy jurtát, és találtuk is egy agol yelvű holapot az iterete, ahol redeli lehet. A szavak jeletése: Diameter: átmérő Wall Height: falmagasság Roof Height: tetőmagasság feet: láb ( láb 30,48 cm) Forrás: [ MogoliaGer.aspx] Diameter (feet) Wall Height (feet) 4 Roof Height (feet) 7'6" Mekkora a jurta felszíe és térfogata? (Az egyszerűség kedvéért modellezzük alul-felül yitott heger és kúp összerakásával a jurtát.) Megjegyzés: A hüvelyk a tízes számredszere alapuló mértékredszer előtti időszak azo alapegységeiek egyike, amely az emberi test egyik részét, a hüvelykujj agyságát vette mértékül. A hüvelyk a tizekettes mértékredszerbe tartozik; egy lábak a -ed része. Egy hüvelyk voalból áll, azaz,6 cm (tehát egy voal 0, cm). Négy hüvelyk (azaz 0,4 cm) alkotott egy markot. A hüvelyk émet eve (Zoll) is elterjedt: coll. Ezt az elevezést főleg kézművesek, ácsok, asztalosok haszálták (colos deszka, colos szeg stb.). [Forrás: Magyar éprajzi lexiko]

137 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Az ábra egy 9 mm átmérőjű lőszer oldalézetét mutatja. Végezz méréseket az ábrá, és számítsd ki a lövedék felszíét és térfogatát! 38. Egy csokakúp alakú parfümös üveget kartodobozba csomagolak. A doboz méretei: 6 cm 6 cm 8 cm, a parfümös üveg méretei: a fedőlap átmérője 5 cm, az alaplap átmérője 3 cm, a magassága 7 cm. a) Háy ml parfüm va az üvegbe, ha az üveg térfogatáak 56%-a a folyadék? b) A doboz térfogatáak háy százaléka üres, azaz ics kitöltve a parfümös üveggel? darab 9 cm átmérőjű, gömb alakú gyertyát csomagolak kartodobozba, szorosa egymás mellé. a) A doboz térfogatáak háy százalékát töltik ki a gyertyák? b) A sérülések elkerülése érdekébe a gyertyák közé az alaplap közepére egy hugarocell hegert tolak, ami a gyertyákat ériti, és em egedi elmozduli. Legfeljebb mekkora legye a heger sugara? 40. Egy teiszlabdagyárba 3 labdát csomagolak kétféle csomagolásba: égyzetes oszlop, illetve heger alakú, műayag oldalfalú dobozba. A dobozokat kartookkal zárják le, midkét végükö. A labdák átmérője 6,5 cm. a) Mekkora területű kartora, illetve műayagra va szükség az egyes dobozok elkészítéséhez? b) A dobozok térfogatáak háy százaléka a három teiszlabda térfogata? c) Ayagfelhaszálás és térkitöltés szempotjából melyik dobozt célszerűbb gyártai?

138 38 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. 4 cm átmérőjű fagolyókat égyesével kis (téglatest alakú) dobozokba csomagoluk úgy, hogy azok e lötyögjeek a dobozokba. A két szóba jövő elredezést felülézetből lerajzoltuk. A dobozokat átlátszó műayag fóliával fedjük le, a doboz többi része kartopapírból készül. A ragasztáshoz, hegesztéshez hozzászámoltuk a doboz méreteiből adódó ayagszükséglet 0%-át. a) Meyi az ayagszükséglet egy-egy dobozfajtáál a két felhaszált ayagból külökülö? b) A égyzet alapú dobozba a fagolyók közötti teret állagmegóvási célból tömítő ayaggal töltik ki. A doboz térfogatáak háy százalékát teszi ki a tömítő ayag térfogata? 4. Egy 8 cm belső átmérőjű, 9,5 cm belső magasságú csészébe 3 dl víz va. Meyivel emelkedik meg a vízszit, ha a csészébe beletesszük az alábbi tárgyakat? Mide távolságot cm-be adtuk meg. 43. Egy ipari alpiista csoport azt a megbízást kapja, hogy fesse le az itt látható, hegerből és kúpból összeállított kilátó külső felületét. A tető kúp alakú, a toroy szélétől cm távolságra yúlik ki. Az egész toroy magassága 5, m. Határozd meg, hogy a tetőre és a vakolatra haszált festékből háy m 3 -re valót kell a csapatak beszerezie!

139 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Az ábrá látható dísz egy derékszögű háromszög átfogó körüli megforgatásával keletkezett. Két kúpot kaptuk, az egyik magassága 4,5 cm, a másiké 8 cm. a) Mekkora a dísz külső felszíe? b) Mekkora a dísz tömege, ha a sűrűsége, g/cm 3? Beírt és köré írható testek 45. Egy 8 cm sugarú, 5 cm magasságú fakúpból a lehető legagyobb sugarú gömböt akarjuk kifaragi. A kúp ayagáak háy százalékát kell eltávolítai? 46. Egy gömb köré és a gömbbe írt kocka éleiek külöbsége 8 cm. Mekkora a gömb térfogata és felszíe? 47. Mekkora aak a kockáak az éle, amelyet egy 6 cm alapélű, 0 cm magasságú szabályos égyoldalú gúlába íruk úgy, hogy a kocka egyik lapja a gúla alaplapjá található, másik égy csúcsa pedig a) az oldallapok magasságvoalai; b) az oldaléleke? 48. Egy félgömb alakú szípadi sátrat 4 függőleges és a felső végüket összekötő 4 vízszites, 5,6 méteres, kockát formázó fémoszlop tart. A kocka alaplapjáak középpotja éppe a gömb középpotjába található. Mekkora a sátorpoyva felszíe? 49. Egy szabályos, égyzet alapú gúla oldallapjai a oldalú szabályos háromszögek. Mekkora a beleírható és a köré írható gömb sugara a-val kifejezve?

140 40 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Vegyes feladatok 50. Két hasoló heger felszíéek aráya 4 : 5, az egyik alapköréek sugara 5 cm-rel agyobb a másik alapköréek sugaráál. A kisebb heger felszíe 36,3 cm 3. Mekkora a agyobb heger térfogata? 5. Egy 4 cm magas egyees körkúpot a csúcstól számítva mekkora távolságba kell az alaplappal párhuzamos síkkal elvági, hogy a lemetszett kúpak fele akkora legye a) a térfogata; b) a palástja, mit az eredeti kúpak? 5. Csúcsára állított kúpot magasságáak feléig töltük meg vízzel. A testmagasság háy %-áig ér a víz, ha a kúpot megfordítva az alaplapjára állítjuk? 53. Ferde körkúp alapköréek területe 45,4 cm, a leghosszabb alkotó 4 -os szöget zár be az alaplappal. Mekkora a legrövidebb alkotó, ha a kúp magassága 5 cm? 54. Egy forgáskúp alapköréek sugara 0, felszíe 4 π egység. Háyszorosára övekszik a kúp térfogata, ha alkotóit 0 egységgel meghosszabbítjuk? 55. Egy csokakúp fedőköréek sugara 5 cm-rel kisebb az alapkör sugaráál, testma- gassága 9,4 cm. Mekkora a felszíe, ha a térfogata 567,3 cm 3? 56. Egy csokakúp alapköréek sugara 4 m, fedőköréek sugara 0 cm, és az alkotók az alaplappal 48 -os szöget zárak be. Mekkora a csokakúp felszíe és térfogata? 57. Egy csokakúp alakú cserép aljáak átmérője cm, tetejéek átmérője 30 cm és magassága 8 cm. Háy liter virágföldet vegyük a cserépbe, ha a magasságáak 85%-áig akarjuk feltöltei?

141 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Mekkora aak a csokakúpak a felszíe és térfogata, amely az egyeletével megadott e egyees megjelölt szakaszáak x tegely körüli megforgatásával keletkezik? a) e : y x 3; x 6 ; b) e : y x + 9; x 4 ; c) e : y x 4; x A Föld felszíéek 80%-a víz. Mit godolsz, melyik a agyobb: a teljese száraz Hold felszíe, vagy a Földö a szárazföldek területéek összege? A Föld sugara 6370 km, a Hold átmérője 3476 km. 60. Egy asztali dísz 5 darab olya gömbből áll, amelyek sugara cm-rel övekszik az előzőhöz képest, és az első gömb sugara cm. a) Mekkora az 5 gömb térfogatáak összege? b) Becsüld meg, hogy az asztali dísz ayagából háy darab 38 mm átmérőjű pigpoglabda készíthető! 6. A föld kérge és a földköpey legfelső része összefüggő és együtt mozgó réteget alkot, ezt evezzük a föld kőzetburkáak (litoszféra). Határozd meg az ábra alapjá, hogy a szilárd kőzetburok térfogata háy százaléka az egész föld térfogatáak? (Tekitsük a Földet gömb alakúak.) 6. Egy 9 cm és cm befogójú derékszögű háromszöget megforgatuk az egyik oldala körül. Állítsd agyságredi sorredbe a keletkező testek felszíét és térfogatát, ha a) a rövidebb befogója; b) a hosszabb befogója; c) az átfogója meté forgatjuk meg?

142 4 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 63. Egy húrtrapézt megforgatuk a szimmetriategelye körül. A trapéz alapjai 58 mm és 0 mm, szárai 3 mm hosszúak. Mekkora a keletkező test térfogata és felszíe? 64. Egy paralelogramma két oldala 4 cm és cm, a köztük levő szög 60 -os. Mekkora aak a testek a térfogata és felszíe, amelyet a paralelogramma hosszabb oldal körüli megforgatásával kapuk? 65. Az első test úgy keletkezett, hogy egy r sugarú és r magasságú hegerből kifúrtuk egy csúcsára állított, ugyaolya sugarú magasságú kúpot. A második test egy r sugarú félgömb. Hasolítsd össze az alaplaptól tetszőleges x távolságba ( x < r ) a két test tegelyre merőleges metszetéek területét! 66. Lézergravírozással egy kockába 0 cm átmérőjű gömböt gravírozak, majd a gömbbe egy olya egyees szabályos hatszög alapú gúlát, amelyek mide csúcsa a gömb felületére esik. Mekkora a gúla éle, ha a magassága az alapél kétszeresével egyelő? 67. Mekkora sugarú gömb írható egy olya szabályos sokszög alapú egyees hasáb köré, amelyek magassága az alapél kétszerese? Az alapél 6 cm és az alaplap a) égyzet; b) háromszög; c) hatszög; d) ötszög? 68. Mekkora sugarú gömb írható egy cm élű szabályos a) tetraéderbe; b) tetraéder köré? 69. Egy 5 cm és egy 0 cm-es gömb kívülről ériti egymást. Határozd meg, hogy mekkora a gömbök köré írható kúp felszíe és térfogata! 70. Egy csokakúp alaplapjai cm és 4 cm átmérőjű körök, magassága cm. A kisebb alapjára állítva a testet egy olya gömböt ejtettük bele, ami teljese beleszorult. Milye messze va a gömb a felső alaplaptól?

143 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS A kristályokba az atomok, molekulák, iook rácsszerkezetbe helyezkedek el, amelyek legkisebb ismétlődő egységét elemi celláak evezzük. Egyes kristályokba az elemi cella kocka alakú, ezek a köbös rácsok. Határozzuk meg a következő három köbös rács térkitöltési hatásfokát! (A térkitöltési hatásfok a cellatérfogatak az a része, amit az egyforma gömbökek tekitett részecskék kitölteek.)

144 44 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kislexiko Heger: Adott az alapsíko egy görbe voallal határolt síkidom (alaplap) és egy egyees, amely az alapsíkkal em párhuzamos. Ha a görbe mide potjá keresztül párhuzamost húzuk az adott egyeessel (alkotók), hegerfelületet kapuk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező, az alaplap és a fedőlap közé eső térrészt evezzük hegerek. Ha a görbe kör, a test eve körheger. Egyees körhegerél az alkotók merőlegesek az alapsíkra. A test görbe határoló felületét palástak evezzük. Az alaplap és a fedőlap síkjáak távolsága adja a testmagasságot. Körheger térfogata: V r π M, ahol r az alapkör sugara, M a testmagasság. Körheger felszíe: A r π + rπm rπ ( r + M ), ahol r az alapkör sugara, M a testmagasság. Az egyees heger palástja: síkba kiterítve téglalap, felszíe: A r π + rπ M rπ ( r + M ).

145 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS 45 Kúp: Adott az alapsíko egy görbe voallal határolt síkidom (alaplap) és egy pot az alapsíko kívül (csúcspot). Ha a görbe mide potját egyeesek segítségével összekötjük az adott pottal, kúpfelületet kapuk. A keletkező korlátos testet kúpak evezzük. Ha a zárt görbe kör, a test eve körkúp. Egyees körkúpak evezzük a körkúpot, ha a potak az alaplap síkjára eső merőleges vetülete az alapkör középpotjába esik. A test határoló felületét evezzük palástak (egyees körkúp síkba kiterített palástja körcikk; a palást az alaplapot em tartalmazza), a csúcspot és a görbe potjai által meghatározott szakaszokat pedig alkotókak. Az alaplap síkjáak és a csúcsak a távolsága adja a kúp magasságát. Kúp yílásszöge: Ha az egyees körkúpot elmetsszük egy olya síkkal, amely a kúp magasságáak egyeesét tartalmazza (tegelymetszet), akkor egyelőszárú háromszöget kapuk (alapja az alapkör átmérője, szárai a kúp alkotói). Máskét: az egyees körkúp tegelymetszete egyelőszárú háromszög. A szárak által bezárt szöget (φ) a kúp yílásszögéek evezzük. Az egyees körkúp szimmetrikus bármely, a tegelyét tartalmazó síkra. A sugár, a testmagasság és az alkotók között feáll az r + M a összefüggés. Kúp térfogata: V alapterület magasság összefüggéssel számító ki, az egyees körkúp 3 térfogata tehát: V r π M, ahol r az alapkör sugara, M a kúp magassága. 3 Kúp felszíe: A rπ ( r + a), ahol r az alapkör sugara, a a kúp alkotója.

146 46 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Csokakúp: Ha a kúpot elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, akkor egy kisebb kúpot és egy másik testet is kapuk, amelyet csokakúpak evezük. Az alaplap és a fedőlap síkjáak távolsága adja a testmagasságot. Csokakúp térfogata: M π Az egyees körkúpból származtatott csokakúp térfogata: V ( r + r R + R ) M a csokakúp magassága, r a fedőkör sugara, R az alapkör sugara. 3, ahol ( a) Csokakúp felszíe: A π r + R + ( r + R), ahol a a csokakúp alkotója, r a fedőkör sugara, R az alapkör sugara. A csokakúp palástjáak felszíe: P ( r + R) aπ. Gömb: egy adott pottól (a középpottól) egyelő távolságra levő potok halmaza a térbe. Mide síkmetszete kör, a legagyobb területű síkmetszetet főkörek evezzük. 4 3 Az r sugarú gömb térfogata és felszíe: V r π, A 4 r π. 3 Gömbsüveg: ha a gömböt egy síkkal metsszük, akkor gömbsüveg keletkezik.

147 6. MODUL Statisztika és valószíűség Készítette: Lövey Éva

148 48 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Adatsokaságok Mitapélda Egy háziorvos feljegyezte, 50 betege év alatt háyszor kereste fel a redelőjébe: a) A doktort legtöbbször, illetve legkevesebbszer felkereső betege között háy alkalom eltérés volt? b) Va-e a feljegyzett adatok között leggyakrabba előforduló esetszám, azaz modhatja-e a doktor: A legtöbb betegem alkalommal keresett fel.? c) Átlagosa háy alkalommal keresték fel betegei az orvost? Megoldás: a) Az orvost legkevesebbszer felkereső beteg em is járt ebbe az évbe az orvosál, azaz 0 alkalommal kereste fel, az orvost legtöbbször felkereső beteg 9-szer járt ott. A legkisebb és legagyobb érték közti külöbség tehát Ezt az értéket az adatsokaság terjedelméek evezzük. b) Azt az adatot keressük, amely a legtöbbször fordul elő az adatsokaságba, azaz az adatsokaság móduszát. A feti táblázat eheze áttekithető a leggyakrabba előforduló adat megtalálásához. Készítsük gyakorisági táblázatot, amely megmutatja, az egyes számok milye gyakorisággal fordulak elő a táblázatukba:

149 6. modul: STATISZTIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉG 49 alkalom gyakoriság alkalom gyakoriság alkalom gyakoriság Még látváyosabb, ha oszlopdiagramo ábrázoljuk az alkalmak számáak gyako- riságát: gyakoriság alkalmak száma A grafikoo és a táblázatból is láthatjuk, hogy a legtöbb beteg 6 alkalommal kereste fel az orvost, tehát az adatsokaság módusza 6. c) Egy adatsokaság átlaga az adatok számtai közepe: x x + x x Ilye sok adatból úgy célszerű számtai közepet számoli, hogy a gyakorisági táblázatot haszáljuk: x 8,

150 50 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda A fetartó ökormáyzat jeletést kért az előző példabeli orvostól, hogy milye gyakorisággal látogatják a betegei. a) Soroljuk egyelő széles osztályokba az adatokat, majd ábrázoljuk az egyes osztályok gyakoriságát! b) Számítsuk ki aak valószíűségét, hogy Mari éi aki az orvos régi betege 5 alkalomál többször kereste fel a doktort az év folyamá! Megoldás: a) Ha már elkészítettük a gyakorisági táblázatot az előző feladathoz, köyű dolguk va. Ha mégsem, írjuk fel az osztályokat, majd mellettük húzzuk strigulákat, így aráylag gyorsa el tudjuk készítei a gyakorisági táblázatot ilye sok adatból is. osztály gyakoriság b) 50 beteg közül olya va, aki 5-él több alkalommal látogatta. (Ez a 6 30 osztály gyakorisága.) Aak valószíűsége, hogy Mari éi közéjük tartozik: P,33%. 50 Észrevehetjük, hogy a számított valószíűség megegyezik az osztály relatív gyakoriságával.

151 6. modul: STATISZTIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉG 5 Mitapélda 3 Az alábbi táblázat 50 fiú testtömegét mutatja 00 gramm potosságra kerekítve. a) Ábrázoljuk a kumulatív (lati: összegyűjtött, felhalmozott) Tömeg (kg) Fiúk száma gyakoriságot voaldiagramo! b) Számítsuk ki, mi az átlaga a 50 fiú tömegéek! Megoldás: a) A gyakoriságok fokozatos összegzésével yert gyakoriság a kumulatív gyakoriság. Készítsük el először azt a táblázatot, mely segítségével a grafikot meg tudjuk rajzoli! Az egyes sorokba most azokak az elemekek a gyakorisága kerül, melyek em agyobbak, mit az előző 44,0 47,9 48,0 5,9 5,0 55,9 56,0 57,9 58,0 59,9 60,0 63,9 64,0 67,9 68,0 7, osztályok valódi felső határa. Például az 58,0 59,9 osztályba akkor tartozik egy elem, ha az kisebb, mit 59,95, hisze e fölött kerekítéssel már a következő osztályba tartoza. Tömeg Fiúk (kg) száma m<47,95 3 m<5,95 0 m<55,95 70 m<57,95 5 m<59,95 6 m<63,95 8 m<67,95 4 m<7,95 50 b) Az átlag kiszámításához szükség lee a fiúk össztömegére. Ezt viszot potosa em tudjuk megadi, hisze potosa egyetle fiú tömegét sem ismerjük. Ilye esetekbe az osztályhatárok számtai közepével, azaz az osztályközéppel számolhatuk. Hogy mely osztályhatárok számtai közepét vesszük, az teljese midegy, hisze az osztályhatárok (pl. 44 és 47,9) és a valódi osztályhatárok (jele esetbe ,95 és 47,95) számtai közepe azoos:, 9,, 45, 95 +.

152 5 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A fiúk össztömege tehát: , , , , , , , , , 5 kg. 4636, 5 Az átlagos testtömeg pedig 58, 546 kg. 50 Feladatok. Egy parkolóőr megszámolta, háya ültek azokba az autókba, melyek a parkolójába behajtottak reggel 8 és 0 között. Emberek száma Kocsik száma a) Átlagosa háya ültek egy-egy személyautóba? b) Szemléltesd kördiagramo az egy autóba ülők számáak megoszlását! c) Számítsd ki aak valószíűségét, hogy az elsőek érkező kocsiba legalább égye utaztak!. Az egyik, új lakásokat értékesítő vállalat úgy hirdette meg lakásait, hogy futi lehetett a kedvezméyért. Aháy másodperccel korábba odafutottak egy adott helyről az épülő házhoz, mit a meghirdetett szitidő, ayi égyzetméter burkolatot kaptak igye. Mielőtt a szitidőt megállapították vola, megkértek 50 embert, hogy fussa le a távot. Úgy akarták megadi a szitidőt, hogy az emberek 50%-áak sikerélméye legye, és legalább égyzetméteryi kedvezméyt kaphasso. A próbakét futók a következő eredméyeket érték el másodpercekbe

153 6. modul: STATISZTIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉG 53 a) Mekkora az adatsokaság terjedelme? (Azaz háy másodperc az időkülöbség a leggyorsabb és leglassúbb között?) b) Milye szitidőt javasolál a feti próbafutás utá, ha te leél a vállalat értékesítési vezetője? 3. Agliába a Corwall-félszigete egy régi agyagbáya területé hatalmas félgömbök hívják fel magukra az arra járók figyelmét. Az Éde-terv üvegházai, a XXI. század botaikus kertje a brit kormáy és az EU segítségével jött létre. A projekt 40 millió euróba került és a tervek szerit évete 600 ezer látogatót fogad majd. A buborékok körül kertek borítják az öreg felszíi báyát. Bet az üvegházakba trópusi övéyekbe gyöyörködhet a látogató. A kert közepé agy táblá a következő iformációsor olvasható: Ha a föld összezsugoroda egy 00 lakosú falu méretére, 57 ázsiai, európai, 4 amerikai és 8 afrikai éle rajta. A százból 70 fehér és 30 em fehér lee. 89 lee heteroszexuális és homoszexuális. Hat tulajdoosé lee a világ gazdaságáak 59 százaléka, és mid a 6 az USA-ból származa. Nyolcvaa éléek rossz lakáskörülméyek között, hetvee em tudáak olvasi, és ötvee leéek alultápláltak. Egyek lee felsőfokú képzettsége és ugyacsak egyek számítógépe. a) Ábrázold sávdiagramo a föld épességéek eloszlását kotiesek szerit! b) Ábrázold kördiagramo az olvasi tudók, illetve az aalfabéták aráyát! c) Ábrázold kördiagramo az éhezők és a em éhezők aráyát!

154 54 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Középértékek Mitapélda 4 Az alábbi táblázat egy évfolyam fiaiak testmagasságát mutatja egy középiskolába. a) Készítsük el az egyes testmagasságokhoz tartozó gyakorisági táblázatot! Valaki a táblázat ismeretébe ki akarja találi, hogy a évsorba a legelső fiú milye magas. Melyik értékre adja a voksát? Megoldás: Készítsük el a külöböző magasságértékek gyakorisági táblázatát. A legagyobb gyakorisággal redelkező magasságértékre érdemes szavazi A legagyobb gyakoriságú magasságérték a 67 cm, erre érdemes tippeli. Eek 9 valószíűsége 0, b) Eze az évfolyamo a fiúk elhatározzák, hogy a taév végé szereádot adak, és szere- ádra egyforma pólót redelek magukak. A pólók méretezése a következő: S M L XL XXL Készítsük táblázatot, amelyből kiderül, melyik méretből háyat kell redeli.

155 6. modul: STATISZTIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉG 55 Megoldás: A méretezéskor a magasságokat 8 cm szélességű osztályokba sorolják. Észrevehetjük, hogy bizoyos magasságok két osztályba is illeek. Ezekél az értékekél dötsük a kéyelmesebb, agyobb méret mellett. S M L XL XXL c) A boltba kiderült, hogy csak akkor kapak kedvezméyt a agy tételű vásárlásra, ha mid a 0 pólót azoos méretbe redelik meg. Vitatkozi kezdtek azo, hogy melyik is legye ez az egyetle méret. Jáos azt javasolta, akkora pólót vegyeek, amelyik egy átlagos testmagasságú fiúra illee. A középutas Marci azt javasolta, válasszaak pólót a torasor középső emberéek. Péter azt modta, azt a méretet redeljék, amelyből amúgy is a legtöbbet redeltek vola. Gábor amellett kardoskodott, hogy aak a magasságak megfelelő méretet redeljék, amelyikek eltérése az összes fiúétól a legkisebb, így lesz az eltérés a legkevésbé feltűő. A 67 cm magas Sayi állította, olya pólót kell vei, ami a többségek jó, és mivel a vele egy magasságúak vaak a legtöbbe, ezért az S méret a yerő. A colos Laci arról győzködte a többieket, hogy az XL méretet vegyék, hisze míg a agy legfeljebb egy kicsit laza lesz, ő bele sem fér a kisebbekbe. Állapítsuk meg, melyik méretet kell vei Jáos, Péter, Gábor, illetve Marci javaslatára! Megoldás: Jáos: Számítsuk ki az adatsokaság átlagát, azaz számtai közepét! x 75,4. 0 Átlag: 75,4. Eek megfelelő méret az M, de ha ezt az értéket egészekre kerekítjük, megállapodásuk szerit már az L méretet kellee választai. Péter: Az M osztály gyakorisága a legagyobb (36). Marci: ugyaezt javasolta, hisze a torasorba a középső a magasságadatok mediája. Ebbe az esetbe ics középső ember a torasorba, ugyais páros számú adatuk va. Ilyekor a mediá a két középső adat számtai közepe.

156 56 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Nézzük, milye adat áll az 5. és az 5. helye: Midkét adat a 75 cm, így az adatsokaság mediája a 75, eek megfelelő pólóméret az M. Gábor: Keressük azt a számot, amelyre az eltérések abszolútértékéek összege a lehető legkisebb. Tudjuk, hogy egy adatsokaság mediája az szám, melyek átlagos abszolút eltérése az adatoktól a lehető legkisebb, így Gábor is azt javasolja, hogy a mediáak megfelelő méretet vásárolják. A vita eredméyekét végül az M méretet választották. d) Számítsuk ki a feti adatsokaság eseté az átlagtól vett átlagos abszolút eltérést, a módusztól vett átlagos abszolút eltérést, valamit a mediától való átlagos abszolút eltérést! Megoldás: Az adatsokaság átlaga x 75,4. Az átlagtól való átlagos abszolút eltérés: 64 x x x x + 90 x Δx 5,56. 0 Az adatsokaság módusza Mo 67. A módusztól vett átlagos abszolút eltérés: 64 Mo Mo Mo Mo + 90 Mo Δx 8,65 0 Az adatsokaság mediája Me 75. A mediától vett átlagos abszolút eltérés: 64 Me Me Me Me + 90 Me Δx Me 5,55 0 Az említett közepek közül a mediá olya tulajdoságú, hogy a tőle való átlagos abszolút eltérés a lehető legkisebb. Tehát előbbi példákra utalva, ezt a méretet választva lesz a méretbeli külöbségek átlaga a legkisebb. A móduszak megva az a jó tulajdosága, hogy erre tippelve találjuk el a legagyobb valószíűséggel a leggyakoribb értéket, hisze eek gyakorisága, így relatív gyakorisága a legagyobb.

157 6. modul: STATISZTIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉG 57 Az átlag alkalmas arra, hogy megadjo egy olya értéket, mellyel helyettesítve az adatsokaság értékeit az összeg változatla lesz. Va a középértékektől való átlagos abszolút eltérése kívül egy másik mutató is, ami jelzi, meyire térek el az adatok a középértéktől. Ha az eltérések abszolút értéke helyett azok égyzetéek számítjuk az átlagát, átlagos égyzetes eltérésről beszélük. Ha az átlagtól vett eltérések égyzetéek vesszük az átlagát, az a leggyakrabba haszált szóráségyzet. Ez a legtöbb zsebszámológépe egy billetyűvel kiszámolható. ( x x) + ( x x) + + ( x x)... σ A szórást úgy kapjuk meg, hogy égyzetgyököt vouk a szóráségyzetből: σ ( x x) + ( x x) + + ( x x)... Mitapélda 5 Számítsuk ki az előző feladatba szereplő adatok átlagos égyzetes eltérését a a) módusztól; b) mediától; c) átlagtól. Számítsuk ki a szórást is! Megoldás: ( x Mo) + ( x Mo) + + ( x Mo)... ( 64 67) + 3. ( 65 67) ( 89 67) + ( 90 67) 0 ( x Me) + ( x Me) + + ( x Me)... ( 64 75) + 3. ( 65 75) ( 89 75) + ( 90 75) 0 5,55. 44,96.

158 58 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE ( x x) + ( x x) + + ( x x)... σ ( 64 75,5) + 3. ( 65 75,5) ( 89 75,5) + ( 90 75,5) 0 Látható, hogy az átlagtól számított szóráségyzet a legkisebb. 44,80. A szórás: σ σ 6, 69. A szórás a terjedelemhez hasoló jellegű mutató. Kis szórása aak az adatsokaságak va, ahol az értékek kevéssé térek el az átlagtól. Feladatok 4. Az alábbi grafikook azt mutatják, hogy egy 6 éves időszakba ( ) háya változtattak lakhelyet az egyes évekbe (az számít lakhelyváltoztatásak, ha másik településre költözik); hogya változott (költözések miatt) az egyes településtípusok lélekszáma. 50 A költözés miatt vádorlók száma vádorlók száma összese Népesség számáak változása elvádorlás miatt elvádorlások száma Budapest többi város község

159 6. modul: STATISZTIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉG 59 a) Számítsd ki, mekkora volt a tizehat éves időszakba az átlagos épességmozgás! b) Igaz-e, hogy a magyarok em szívese változtatak lakhelyet? Számítsd ki a vádorlók átlagáak relatív gyakoriságát. (Magyarország épességét 0 millióra kerekítheted.) c) Milye következtetéseket tudsz levoi a második grafikoról? Mivel magyarázod, hogy míg például 005-be a más településre költözők száma 8, addig Budapest, más városok és a faluk épességéek változása összese is csak? d) Számítsd ki midhárom településtípus eseté a változás átlagát a tizehat évre, valamit a szórást! 5. Egy kúszóövéy idáiak hosszúságát mérték, és az adatokat a következő táblázatba sorolták be (az idák hosszát mm-be mérték): Ida hossza Gyakoriság a) Add meg az osztályok szélességét! b) Számítsd ki egy ida átlagos hosszát! c) Készítsd el azt az oszlopdiagramot, mely az egyes osztályok gyakoriságát ábrázolja! d) Mi a valószíűsége, hogy egy ida hossza 3 és 70 mm közé esse?

160 60 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Középértékek alkalmazhatósága Ebbe a fejezetbe azzal foglalkozuk, hogy mikor, melyik középérték yújtja számukra a legtöbb iformációt. Mitapélda 6 Valaki a frisse szerzett szakiráyú képesítésével állást keres. Több ajálat közül is választhat, és igyekszik a vállalatokál uralkodó bérviszoyokról iformációt szerezi. Értékeljük együtt, milye adatokból milye következtetéseket lehet levoi! Az A vállalatál fizetett havi bérek terjedelme Ft. A B vállalatál a havi fizetések átlaga Ft. A C vállalatál a havi fizetések módusza Ft. A D vállalatál a havi fizetések mediája Ft. Feltételezzük, hogy mid a égy vállalat profilja hasoló, és körülbelül 0 embert alkalmazak. Legye ez például egy tervezővállalat, ahol valószíűleg va egy vezető, több mérök és - kisegítő alkalmazott. Megoldás: A havi bérek terjedelme egy álláskeresőek em sokat mod. Ez valószíűleg a kisegítő kézbesítő miimálbére és az igazgató csúcsfizetése közti külöbség. Mivel egy szakiráyú pályakezdő valószíűleg em az igazgatói vagy a kézbesítői állást pályázza meg, az iformáció semmitmodó. Lehet, hogy a másik 8 alkalmazott fizetése egységese havi Ft, de az is lehet, hogy a többi 8 alkalmazott mid Ft körül keres. A B vállalatál az átlagból megtudhatjuk az összes kiosztott fizetést. Ha em tudjuk, hogy potosa háy kis fizetésű (kisegítő) alkalmazott va, és eheze becsüljük a vezető fizetését, akkor ige agy csalódások érhetek miket. Nézzük meg az alábbi két becslést: Legye fő fizetése Ft, és a vezető fizetése Ft, ekkor a 7 másik (egymáshoz hasoló fizetésű alkalmazottra fejekét ( ) Ft jut. Ha azoba csak alacsoy fizetésű alkalmazott va, havi Ft-os fizetéssel, és a vezető fizetése havi Ft, akkor a másik 8 alkalmazottra fejekét

161 6. modul: STATISZTIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉG 6 ( ) Ft jut, ami léyeges eltérés. A C vállalatál a leggyakoribb fizetés a Ft. Valószíűleg ez em azt jeleti, hogy például kette foritra eyit kapak, haem azt, hogy a leggyakoribb a Ft körüli fizetés. Ha feltételezzük, hogy a dolgozók zöméek fizetése hasoló, akkor pályázók várható fizetése is e körül az érték körül mozog. A D vállalatál a mediá Ft. Talá ebbe az esetbe ez a legtöbbet modó adat. Egy adatsokaság mediája em változik meg attól, ha a legkisebb és legagyobb értéket másik kicsire, illetve agyra változtatjuk, vagy akár el is hagyjuk. Úgy modjuk, a mediá em érzékey a szélsőséges adatokra. Valószíűleg pályázók is e körül az érték körül várhatja fizetését. Mitapélda 7 A cukrászokak szóló receptköyvbe a receptek em úgy kezdődek, hogy vegyél 5 tojást, haem úgy, hogy hozzávalók: tojássárgája: 0,04 kg. Ha valaki az otthoi sütéshez mégis ezt akarja haszáli, meg kell tudia, háy tojást is üssö föl aélkül, hogy mide alkalommal patikamérleggel méré a tojássárgája tömegét. Egy külööse agy adag rátotta elkészítése alkalmával valaki rászáta az időt, és mielőtt fölverte vola a tojásokat, megmérte 0 tojássárgájáak tömegét külö-külö. A következő adatsokaságot kapta: gramm: Értékeljük az adatsokaságot! Melyik közép jellemzi legjobba ezt a sokaságot? Megoldás: Eek az adatsokaságak is va módusza és mediája Mo, Me 0,5, de seki sem godolja, hogy va jeletősége aak, hogy a megmért tojásokat sorba redezve melyik tömege áll középe, vagy aak, hogy a 0 méréseredméy között 4-szer fordult elő a. Sokkal ikább jellemzi az átlag. Kiszámíthatjuk, hogy a mérés átlaga 0 g 0,0 kg, tehát ha egy süteméybe 0,04 kg tojássárgája kell, tojás sárgáját teszük bele.