MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok"

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához! a ) Egy számsorozatról a következőket tudjuk: - a harmadik tagtól kezdve mide tag kiszámítható a következő rekurzív képlet segítségével: ; - az a, a és a 9a a a a egymást követő tagja; sorozat első öt tagjáak összege 68. a - az ebbe a sorredbe egy számtai sorozat Mekkora eek a számsorozatak a hatodik tagja? A megadott feltételeket a következő alakba haszáljuk: () a a a, ha a a a 9a () (6 pot) () a a a a4 a5 68 ( pot) A sorozat harmadik tagja az () alapjá: a a a Behelyettesítve a () összefüggésbe ezt az a helyére, redezés utá kapjuk, hogy ( pot) a 4a a a a 4a a 6a Ebből A egyedik tagot felírva az () alapjá: a a a 4 A jobb oldalo behelyettesítve az kapjuk, hogy a a 6a 4a 64a 4 Hasolóa fejezhetjük ki 5 4 és az a 5 a az értékét a -gyel kifejezett értéket ( pot) a segítségével: a a a 64a 6a 56a ( pot) Összevoás utá 4a 68 Ebből a A hatodik tagot felírva () alapjá: a6 a5 a 4. Az és az a -gyel kifejezve kapjuk, hogy a 5 6 a 4 értékét a 56a 64a 04a ( pot) A kapott ;8;;8;5;048; számsorozat elemei kielégítik az elemiről megadott összes feltételt. A sorozat hatodik tagja 048 a sorozat Összese: 6 pot

2 ) a a) Legye egy mértai sorozat, melyek első tagja 5, háyadosa. Meyi a valószíűsége, hogy ha eek a mértai sorozatak az első 0 tagjából egyet véletleszerűe kiválasztuk, akkor a kiválasztott tag -gyel osztva maradékot ad? (6 pot) b) Legye egy számtai sorozat, amelyek az első tagja 5, és b differeciája. Mekkora a valószíűsége, hogy ha eek a számtai sorozatak az első 0 tagjából egye kiválasztuk, akkor a kiválasztott tag -gyel osztva maradékot ad? (7 pot) a) Az első sorozatba az első tagtól kezdve felírjuk a tagok -gyel való osztás maradékát: 5; 4; ; ; 9; 5; A maradékok ciklikusa ismétlődek (midig -mal szorzuk) Mide ötödik tag -es maradékot ad ( pot) tehát a valószíűség 5 ( pot) b) A számtai sorozatba az első tagtól kezdve felírjuk a tagok -gyel való osztás maradékát: 5; 8; 0; ; 6; 9; ; 4; 7; 0; ; Ettől kezdve ismétlődik: 5; 8; 0; tehát a ciklushossz Egy ciklusba egy kedvező eset va Mivel 0 ciklus va a 0. tagig, és midegyikbe egy darab -es va így a keresett valószíűség 0 0 ( pot) Összese: pot ) Egy pozitív tagokból álló mértai sorozat első három tagjáak összege 6. Ha az első taghoz egyet, a másodikhoz hatot, a harmadikhoz hármat aduk, akkor ebbe a sorredbe egy számtai sorozat első három tagját kapjuk. Adja meg eek a számtai sorozatak az első három tagját! (4 pot) A számtai sorozat első három tagjáak összege: Számtai közép miatt a második tagja. ( pot) jelöljük a számtai sorozat külöbségét d-vel, ekkor a sorozat első három tagja d; ; d A mértai sorozat tagjai: ; 6; ( pot) d d Mértai közép miatt 6 d 9 d ( pot) ahoa d d 6 0 d 9 vagy Tehát a keresett számtai sorozat első három tagja ; ; illetve 9; ; 5 Ezek megfelelek a feladat feltételeiek, a mértai sorozat megfelelő tagjai: ;6;8 illetve 8;6; ( pot) Összese: 4 pot d 7

3 4) Legye pozitív egész. Adottak az alábbi sorozatok: a b c, ahol a, ahol b 0 ;, ahol c si cos ; Vizsgálja meg midhárom sorozat korlátosság és mootoitás szempotjából! Válaszoljo midhárom esetbe, hogy a sorozat korlátos vagy em, illetve mooto vagy em! (Válaszát idokolja!) Korlátos esetbe adjo meg egy alsó és egy felső korlátot! (6 pot) a, ahol a Ha páros, akkor Ha páratla, akkor a Az A b ; a a 0 sorozat tehát em korlátos, em mooto sorozatot itervallumo kell vizsgáli 0; 0 ; b, ahol b 0 Az abszolútérték értelmezése alapjá, Ha 0, akkor Ha 0, akkor Eze a tartomáyo b 0 b 0 b. Ha b 0 A b sorozat tehát korlátos és mooto csökkeő Alsó korlátja:, felső korlátja:, akkor c, ahol c si cos Haszáljuk az jelölést! Ekkor a égyzetre emelés, Pitagoraszi összefüggés és a kétszeres szögfüggvéy képletéek alkalmazásával: c si cos si si cos cos si Visszaírva si c A eredeti jeletését kapjuk, hogy értéke mide egész eseté 0 sorozat mooto, és korlátos Alsó korlátja felső korlátja is c si ( pot), mivel Összese: 6 pot

4 5) Egy bak a Godoskodás evű megtakarítási formáját ajálja újszülöttek családjáak. A megtakarításra vállalkozó családok a gyermek születését követő év első baki apjá számlát yithatak forit összeggel. Mide következő év első baki apjá szité foritot kell befizetiük a számlára. Az utolsó befizetés aak az évek az első apjá törtéhet, amely évbe a gyermekük betölti 8. életévét. A bak év végé a számlá lévő összeg utá évi 8%-os kamatot ad, amit a következő év első baki apjá ír jóvá. A gyermek a 8. születésapját követő év első baki apjá férhet hozzá a számlához. a) Mekkora összeg va ekkor a számlá? A válaszát egész foritra kerekítse! (8 pot) A gyermek a 8. születésapját követő év első baki apjá felveheti a számlájá lévő teljes összeget. Ha em veszi, választhatja a következő lehetőséget is: Hat éve keresztül mide év első baki apjá azoos összeget vehet fel. Az első részletet a 8. születésapját követő év első baki apjá veheti fel. A hatodik pézfelvétellel a számla kiürül. Ha ezt a lehetőséget választja, akkor a bak az első pézfelvételtől számítva mide év végé a számlá lévő összeg utá évi 5%-os kamatot garatál, amit a következő év első baki apjá jóváír. b) Ebbe az esetbe mekkora összeget vehet fel alkalmakét? A válaszát egész foritra kerekítse! (8 pot) a) A számlayitás összege: a A következő év első baki apjá a számlá lévő péz a a,08 a A következő év első baki apjá a számlá lévő péz: a a a a,08,08, Összese 8 alkalommal fizettek be a számlára, így az utolsó befizetéskor a számlá lévő összeg: ( pot) a a 7 6 8,08,08...,08 Ez az összeg még egy évig kamatozik, így a számlához való hozzáférés időpotjába a számlá lévő összeg c a 8 7,08,08...,08 A zárójelbe lévő összeg egy mértai sorozat első 8 tagjáak összege. A sorozat első tagja,08 és a háyadosa is,08. 8,08 c a, ,08 A számlá lévő összeg kerekítve Ft.

5 b) Az iduló tőke Jelölje y az évekét felvehető összeget. Az első kivét utá a számlá lévő péz A második kivét utá a számlá lévő péz: b b,05 y c,05 y,05 b c y c Ft A harmadik kivét utá a számlá lévő péz: b b,05 y c,05 y,05,05 b b y c y ,05,05,05...,05 Ugyaekkor a számla kiürül: A zárójelbe lévő összeg egy mértai sorozat első 6 tagjáak összege. A sorozat első tagja és a háyadosa,05 Így 6) Az y c,05 5 6,05,05 b6 0 Az alkalmakét felvehető összeg kerekítve Ft. a mértai és b midkét orozat hatodik tagja Összese: 6 pot számtai sorozatak is az első tagja, és. a) Sorolja fel midkét sorozat első öt tagját! (4 pot) b) Milye pozitív egész -ekre lesz a két sorozat első tagjáak összege ugyaakkora? (9 pot) a) Felírva a hatodik elemeket az első elem és a kvócies (q), illetve a differecia (d) segítségével kapjuk, hogy d 5 A mértai sorozat első öt eleme: A számtai sorozat első öt eleme: q. ; ;; ; ; ; ; ; b) A mértai sorozat első tagjáak összege: 0, ha páros S, ha páratla ( pot) A számtai sorozat -edik tagja: b 5 A számtai sorozat első tagjáak összege: s 5, azaz 6 s 5 5

6 s 0, azaz a megoldása va, az 6 s, tehát, azaz 5 5 egyeletek potosa egy pozitív egész 6 ( pot) egyelet megoldásai és 5. ( pot) Tehát a két sorozat első, vagy első 5, vagy első 6 tagjáak összege ugyaakkora Összese: pot 7) Egy mértai sorozat első három tagjáak összege 9. A hatodik, hetedik és a yolcadik tag összege 9. Háy tizehárom-jegyű tagja va a sorozatak? ( pot) Legye a sorozat első tagja a, háyadosa q. a aq aq aq aq aq 9 q 5 a aq aq 9 q Ebből q Visszahelyettesítve az első egyeletbe: 7 9, ahoa a mértai sorozat: a, q, a A kérdés: háy -re igaz, hogy Az lg x függvéyszigorú mooto ő lg lg 7,6 40,48 a 0 0 Eek egész megoldása a 8, a 9 és a 40. A sorozat tagja jegyű a, ezek szerit ( pot) Összese: pot 8) A főiskolások műveltségi vetélkedője a következő eredméyel zárult. A verseye iduló égy csapatból a győztes csapat potszáma 4 -szorosa a második helye végzett csapat potszámáak. A egyedik, harmadik és második helyezett potjaiak száma egy mértai sorozat három egymást követő tagja, és a egyedik helyezettek 5 potja va. A égy csapat között kiosztott potszámok összege 9. a) Határozza meg az egyes csapatok által elért potszámot! (8 pot) Mid a égy csapatak öt-öt tagja va. A vetélkedő utá az iduló csapatok tagjai között három egyforma értékű köyvutalváyt sorsolak ki(mideki legfeljebb egy utalváyt yerhet). b) Mekkora a valószíűsége aak, hogy az utalváyokat három olya főiskolás yeri, akik midhárma más-más csapat tagjai? (5 pot)

7 a) második helyezett x, az első x 4 x potot ért el. A második, a egyedik 5 potot ért el, így a mértai sorozat miatt a harmadik helyezett potszáma. A szöveg szerit: Redezve 5x x x x x -re másodfokú: x 6 és x 7 5 x 4 0 Két gyöke 57 x, ebből a egatív gyök em lehetséges 7 így Tehát a. helyezett potszáma 6, a harmadiké 0, az első helyezetté pedig 48. Elleőrzés Alteratív megoldás: x 6 a) (Legye q a mértai sorozat háyadosa.) A egyedik helyezett 5, a harmadik, a második potot ért el. 5q 5q Az első helyezett potszáma Szöveg szerit Redezés utá: Két megoldása: 00q 4 00q 5q 75q 5q 5q q 75q q 5 és 57 q 5 Ebből az utóbbi em felel meg a szövegek tehát a harmadik helyezett potszáma 0, másodiké 6, az első helyezetté pedig 48. Elleőrzés b) Lehetséges (egyelő valószíű) kimeetelek száma Kedvező kimeetelek száma: ( pot) ( pot) A kérdezett valószíűség: ,49 Összese: pot

8 9) Két egyees hasábot építük, H-et és H-t. AZ építéshez haszált égyzetes oszlopok (égyzet alapú egyees hasábok) egybevágok, magasságuk kétszer akkora, mit az alapélük. A H hasáb építésekor a szomszédos égyzetes oszlopokat az oldallapjukkal illesztjük össze, a H hasáb építésekor pedig a égyzet alaplapjukkal- az ábra szerit. a) A H és H egyees hasábok felszíéek háyadosa A A H H 08,. Háy égyzetes oszlopot haszáltuk az egyes hasábok építéséhez, ha H- et és H-t ugyaayi égyzetes oszlopból építettük fel? (8 pot) b) Igazolja, hogy korlátos! 4 sorozat szigorú mooto övekvő és (8 pot) a) Ha a jelöli a égyzetes oszlop alapéléek hosszát, és k darabból készítjük a hasábokat, akkor H felszíe: ( pot) b) A a k a k a a k H H felszíe: Az A A H H 0,8 A a k a a k H 4 4 feltételből k 0,8 4k Az egyelet megoldása tehát 6-6 égyzetes oszlopot haszáltuk fel az építéshez a 5 4 a ( pot) ( pot) k 6 A feti háyados mide pozitív egész eseté -él kisebb a sorozat mide tagja pozitív ezért a sorozat szigorú mooto csökkeő Ebből következik, hogy a sorozat felülről korlátos Mivel a sorozat mide tagja pozitív, így alulról is korlátos tehát a sorozat korlátos Összese 6 pot

9 0) a) Egy derékszögű háromszög oldalhosszai egy számtai sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú. Számítsa ki a háromszög másik két oldaláak hosszát! (5 pot) b) Egy háromszög oldalhosszai egy számtai sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú. Tudjuk, hogy a háromszög em szabályos. Igazolja, hogy a háromszögek ics 60 os szöge! ( pot) a) Ha d a számtai sorozat differeciája, akkor a háromszög oldalhosszai 4 (és 0 d ) 4 d 4 d, A háromszög derékszögű, így Négyzetre emelve, redezve: A gyökök d 4 és d d 4 d d 8d 6 0 A egatív gyök em megoldás, a háromszög oldalai tehát 6 0 4,, egység hosszúak b) Idirekt módo bizoyítuk. Tegyük fel, hogy va 60 -os szöge a háromszögek. Mivel az oldalak párokét külöböző hosszúságúak, és a agyobb oldallal szembe agyobb szög va, ezért ha va 60 -os szöge, akkor az a 4+d hosszúságú oldallal szembe va ( pot) Erre az oldalra felírva a kosziusztételt: 4 d 4 4 d 4 4 d cos 60 ( pot) Ebből Ebből Ez viszot elletmod aak, hogy a háromszög em szabályos ( pot) Az eredeti feltételezésük tehát hamis, azaz a háromszögek valóba ics 60 -os szöge. Összese 6 pot 6 8d d 6 8d 4d d 0, tehát d 0

10 ) Egy övekvő számtai sorozat első három tagjáak összege 60. Az első tagot 64-gyel övelve, a másik két tagot változatlaul hagyva, egy mértai sorozat első három tagjához jutuk. Meyi a két sorozat első három tagja? ( pot) Ha a számtai sorozat második tagja a d a a d 60 ahoa A mértai sorozat első három tagja: 84 ; 0; 0 a 0 A mértai közép miatt d d Redezve az egyeletet Ie vagy d 6 d 80 d 6 d a és differeciája d, akkor d ( pot) ( pot) d d 80 64d 80 0 em megoldás, mert a számtai sorozat övekvő. 60; 0; 00 ( pot) ( pot) eseté a számtai sorozat első három tagja, ami valóba megoldás Ekkor a mértai sorozat 4; 0; 00 Összese: pot

11 ) Péter agypapája mide évbe félretett émi pézösszeget egy perselybe uokája számára Ft-tal kezdte a takarékoskodást 996. jauár -jé. Ezutá mide év első apjá hozzátett az addig összegyűlt összeghez, mégpedig az előző évbe félretettél 000 Ft-tal többet jauár -jé a agypapa bele tette a perselybe a megfelelő összeget, majd úgy dötött, hogy a perselyt most uokájáak most adja át. a) Mekkora összeget kapott Péter? (5 pot) b) Péter agypapája ajádékából vett éháy apróságot, de elhatározta, hogy a kapott összeg agyobb részét 005. jauár -jé bakszámlára teszi. Be is tett Ft-ot évi 4%-os kamatos kamatra (a kamatok mide évbe, év végé hozzáadódak a tőkéhez). Legalább háy évig kell Péterek vária, hogy a számlájá legalább Ft legye úgy, hogy közbe em fizet be erre a számlára? (9 pot) a) A agypapa kilec alkalommal tett pézt a perselybe. A Péter által kapott összeg egy olya számtai sorozat első kilec eleméek összege, amelyek első eleme 5000, differeciája 000. ( pot) b) A kérdéses összeg: Péter 8000 Ft-ot kapott t 60000, t t, ,04, ahol ( pot) ( pot) A feltétel szerit 60000, ( pot) Osszuk midkét oldalt rel, majd vegyük midkét oldal 0-es alapú logaritmusát: Ie Péterek 5 lg,04 lg 5 lg,04 lg,04 ( pot), ami azt jeleti, hogy 4 évet kell vária ( pot) Összese: 4 pot

12 ) A Robotvezérelt Elektromos Kisautók Nemzetközi Verseyé a verseyzők akkumulátorral hajtott modellekkel idulak. A magyar verseyautó az első órába 45 kilométert tesz meg. Az akkumulátor teljesítméyéek csökkeése miatt az autó a második órába kevesebb utat tesz meg, mit az első órába, a harmadik órába kevesebbet, mit a másodikba, és így tovább: az idulás utái -edik órába megtett útja -edik órába megtett útjáak ( ). midig 95,5%-a az és a) Háy kilométert tesz meg a 0. órába a magyarok verseyautója? Válaszát egész kilométerre kerekítve adja meg! (4 pot) A verseye több kategóriába lehet iduli. Az egyik kategória verseyszabályai lehetővé teszik az akkumulátorcserét versey közbe is. A magyar csapat mérökei kiszámították, hogy abba az órába még em érdemes akkumulátort cseréli, amelyikbe az autó legalább 0 kmt megtesz. b) Az idulástól számítva legkorábba háyadik órába érdemes akkumulátort cseréli? (6 pot) A Végkimerülés kategóriába a résztvevők azo verseyezek, hogy akkumulátorcsere és feltöltés élkül mekkora utat tudak megtei az autók. A világrekordot egy japá csapat járműve tartja 00 km-rel. c) Képes-e megdötei a magyar verseyautó a világrekordot a Végkimerülés kategóriába? (6 pot) a) Egy óra alatt megtett úthosszak km-be mérve egy olya mértai soroz egymást követő tagjai, amelyek első tagja 45, háyadosa pedig 0,955 A magyar autó 0. órába megtett útja kb 0 km b) Addig em érdemes akkumulátort cseréli, amíg a0 a q 9, ,955 0 teljesül és Mivel a tízes alapú logaritmus függvéy szigorú mooto ő, ezért 0 lg 0,955 lg 45 lg 0, lg 45 8,6 lg 0,955, ebből adódik, hogy Legkorábba a 9. órába érdemes akkumulátort cseréli.

13 c) Ha a versey kezdetétől eltelt egész órák száma, akkor eyi idő alatt a magyar autó által megtett út a mértai sorozat első tagjáak összege S 45 0,955 0,955 Megoldadó a ,955 0, egyelőtleség Redezve a 0,955 0, egyelőtleséget kapjuk Eek icse megoldása Tehát a világrekordot em dötheti meg a magyar autó Összese: 6 pot 4) a) Egy bak olya hitelkostrukciót ajál, amelybe api kamatlábat számolak úgy, hogy az adott hitelre megállapított éves kamatlábat 65-tel elosztják. Egy adott évbe a hitelfelvételt követőe mide apra kiszámolják a api kamat értékét, majd ezeket december - é összeadják, és csak ekkor tőkésítik (azaz a felvett hitel értékéhez adják). Ez a bak egy adott évbe évi 8%-os kamatlábat állapított meg. Éva abba az évbe a március -jé felvett Ft utá október -jé újabb Ft hitelt vett fel. A két kölcsö felvétele utá meyi kamatot tőkésít a bak december -é? (A hitelfelvétel apjá és az év utolsó apjá is számítaak api kamatot.) (5 pot) b) Ádám is vett fel hiteleket ettől a baktól évi 8%-os kamatos kamatra. Az egyik év jauár -jé éppe Ft tartozása volt. Több hitelt em vett fel, és attól kezdve 0 éve keresztül mide év végé befizette az azoos összegű törlesztőrészletet. (A törlesztőrészlet összegét a bak már az éves kamattal megövelt tartozásból voja le.) Mekkora volt ez a törlesztőrészlet, ha Ádám a 0 befizetés utá teljese visszafizette a felvett hitelt? Válaszát ezer foritra kerekítve adja meg! (9 pot) a) A március -jé felvett hitel 65--8=06 apig, Az október -jé felvett hitel pedig +0+=9 apig kamatozik A api kamatláb Az első hitel kamata 8 % 65 A második hitel kamata pedig Ft Ft Összese 490 Ft kamatot tőkésít a bak december -é

14 b) Ha x Ft volt az évi törlesztőrészlet, akkor ,08 x,08 x...,08 x 0 Redezve ,08 x,08, A zárójelbe egy mértai sorozat első 0 tagjáak összege va S 0 0,08 4,487,08 Az egyeletből ,08 x S 0 0 ( pot) ( pot) x 4905 Tehát ezresekre kerekítve az éves törlesztőrészlet Összese: 4 pot 5) Egy méter oldalú égyzetbe egy második égyzetet rajzoltuk úgy, hogy a belsőégyzet mide csúcsa illeszkedje a külső égyzet egy-egy oldalára. A belső és a külső égyzet oldalaiak aráya 5:7. a) Milye aráyba osztja két részre a belső égyzet csúcsa a külső égyzet oldalát? Az aráy potos értékét adja meg! (0 pot) A belső égyzetbe egy újabb, harmadik égyzetet rajzoluk úgy, hogy a harmadik és a második égyzet oldalaiak aráya is 5:7. Ezt az eljárást aztá godolatba végtele sokszor megismételjük. b) Mekkora lesz a kapott égyzetek kerületeiek az összege, ha a kiidulási égyzet kerülete is tagja a (végtele sok tagú) összegek? (6 pot) a) Jó ábra felrajzolása A belső égyzet oldala 5/7 méter A belső égyzet a külső égyzet oldalait x és x-re botja A felosztás mid a 4 oldalo ismétlődik Pitagorasz-tétel szerit Ahoa x 4 x x 0 49 Eek megoldásai Ahoa x 5 x 7 4 x x x 7 7 A belső égyzet a külső égyzet oldalait :4 aráyba osztja ( pot)

15 b) Jó ábra felrajzolása K 5 4, K 4 7 mide további égyzet 5/7 szerese a megelőzőek A égyzetek kerületéek összege egy végtele mértai sor összege, melyek háyadosa Mivel 5 q 7 q ezért a sor koverges A végtele mértai sor összege: S K K... K q Tehát a égyzetek kerületéek összege 4 méter Összese: 6 pot 6) Az ABCDEF szabályos hatszögbe a rövidebb átló hossza 5. a) Számolja ki a hatszög területéek potos értékét! (6 pot) b) Az ABCDEF hatszög oldalfelező potjai által meghatározott szabályos hatszög területét jelölje, a területű hatszög oldalfelező potjai által meghatározott szabályos hatszög területét képezve ezzel a t t t sorozatot. Számítsa ki a határértékét! (Potos értékkel számoljo!) t, és így tovább, lim t t... t (0 pot) a) Ha a hatszög oldaláak hossza a, a rövidebb átló az a oldalú szabályos háromszög magasságáak kétszerese, így a 5, ahoa a. A szabályos hatszög területe 6 darab a oldalú szabályos háromszög területéek összege, így a T ( pot) b) A t területű szabályos hatszög oldala az ABC háromszög AC oldalához (mely az eredeti hatszög rövidebb átlója) tartozó középvoala, 5 hossza a, a 75 t 6 4 4

16 A következő szabályos hatszög t t területét megkaphatjuk például úgy, hogy a területű hatszög szomszédos oldalfelező potjait összekötő szakaszok által a hatszögből levágott háromszögek területéek összegét levojuk t a si t A t sorozat mértai sorozat, t -ből.. ( pot) t amelyek háyadosa q. t 4 A kérdéses határérték aak a mértai sorak az összege, amelyek első tagja Így t 75 4, háyadosa pedig t lim t t... t q 75 q 4.. Összese: 6 pot 7) Kiga 0. születésapja óta kap havi zsebpézt a szüleitől. Az első összeget a 0. születésapjá adták a szülők, és mide hóapba 50 Fttal többet adak, mit az azt megelőző hóapba. Egy bizoyos hóapba, amikor éppe 850 Ft volt a havi zsebpéze, összeadta az addig kapott összes zsebpézét. Az összeg 500 Ft lett. Meyi volt Kiga iduló zsebpéze, és háy hóap telt el a 0. születésapja óta? ( pot) A havi zsebpézek értékei egy számtai sorozat tagja ahol d 50, a 850, S a 50 azaz a a a S 500 ( pot) redezve: ( pot) Megoldva: =6 vagy 9 =9 em megoldás mert akkor a egatív Ha =6, akkor a Kiga iduló zsebpéze 00 Ft volt, és a 0. születésapja óta 5 hóap telt el Összese: pot

17 8) Egy dolgozó az év végi prémiumkét kapott kamatoztati a következő yárig, hat hóapo át. Két kedvező ajálatot kapott. Vagy kéthavi lekötést választ kéthavi,7%-os kamatra, kéthavokéti tőkésítés mellett, vagy foritot átváltja euróra, és az összeget havi 0,5%-os kamattal köti le hat hóapra, havi tőkésítés mellett. a) Meyi péze lee hat hóap utá a foritszámlá az első esetbe? (Az eredméyt Ft-ra kerekítve adja meg!) ( pot) b) Ha ekkor éppe 5 foritot ért egy euró, akkor háy eurót vehete fel hat hóap múlva a második ajálat választása eseté? (Az eredméyt két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (4 pot) c) Legalább háy százalékkal kellee változia a 5 forit/euró árfolyamak a félév alatt, hogy a második választás legye kedvezőbb? (Az eredméyt két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (5 pot) a) Kéthavota,7 %-kal lesz több péze, ami három ciklusba jelet. Hat hóap utá tehát a péze , Ft-ját akarja,07 -es szorzót ( pot) 0587 Ft lee b) A megadott árfolyamo foritért ,5 eurót kap. 5 Ez az összeg hat hóap alatt, havi tőkésítés mellett hatszor kamatozik, tehát -szorosára övekszik. ( pot), Hat hóap múlva 968,5, ,5 eurója lee. c) Legye euró a yáro x Ft. Ha jobba jár, az azt jeleti, hogy ( pot) amiből 408,5 x 0587 x 6, Ebből az árfolyamaráy 6,,06, tehát legalább kb.,6%-kal 5 kellee őie a forit/euró árfolyamak. ( pot) Összese: pot

18 9) Adrás edzőtáborba készül egy úszóverseyre, 0 apo át. Azt tervezte, apota 0000 métert úszik. De az első apo a tervezettél 0%-kal többet, a második apo pedig az előző apiál 0%-kal kevesebbet teljesített. A. apo ismét 0%-kal övelte előző api adagját, a 4. apo 0%-kal kevesebbet edzett, mit az előző apo és így folytatta, páratla sorszámú apo 0%-kal többet, pároso 0%-kal kevesebbet teljesített, mit a megelőző apo. a) Háy métert úszott le Adrás a 6. apo? (4 pot) b) Háy métert úszott le összese a 0 ap alatt? (6 pot) c) Az edzőtáborozás 0 apjából véletleszerűe kiválasztuk két szomszédos apot. Mekkora a valószíűsége, hogy Adrás e két apo együttese legalább 0000 métert teljesített? (6 pot) a) Jelölje a a a a a a a az -edik apo leúszott hosszat, méterbe mérve. 0000, 000 a 0,9 0000, 0, a 4, 0000, 0, a ,9 0000, 0,9 980 a, 0000, 0,9 078 a 0,9 0000, 0,9 970 A hatodik apo tehát kb. 970 métert úszott b) A páratla és páros sorszámú apoko leúszott hosszak is egy-egy mértai sorozat első 0 tagját alkotják. A páratla sorszámúakak az elő tagja 000, háyadosa 0,99, a páros sorszámúak első tagja 9900, háyadosa 0,99. A páratla sorszámú apoko: S a a a 9 ptl , ,99 0 0, ,7 0,99 A páros sorszámú apoko: 9 S a a... a , ,99 ps , ,7 0,99 Az első húsz apo kb métert úszott összese

19 c) Az edzések 0 apja közül két szomszédos ap 9-féleképpe választható ki Ha két szomszédos ap sorá összességébe em teljesül a tervezett 0000 méter, később se fog, mert az összteljesítméy csökke apok száma () apota leúszott táv kétapi össztáv a méterbe b a a a táblázat kedvező esetek száma 9 A keresett valószíűség ( pot) 9 P 0,474 9 Összese: 6 pot 0) Egy övekvő számtai sorozat első három tagjából álló adathalmaz szóráségyzete 6. a) Igazolja, hogy a sorozat differeciája -mal egyelő! (4 pot) Adrás, Barbara, Cili, Dezső és Edit rokook. Cili évvel idősebb Barbaráál, Dezső 6 évvel fiatalabb Barbaráál, Edit pedig 9 évvel idősebb Ciliél. Dezső, Barbara és Edit életkora (ebbe a sorredbe) egy mértai sorozat három egymást követő tagja, Adrás, Barbara és Cili életkora (ebbe a sorredbe) egy számtai sorozat három szomszédos tagja. b) Háy éves Adrás? (6 pot) Adrás, Barbara, Cili, Dezső, Edit és Feri moziba meek. c) Háyféleképpe foglalhatak helyet hat egymás melletti széke úgy, hogy a három láy e három egymás melletti széke üljö? (6 pot) a) Ha a sorozat második tagját a-ek jelöljük, akkor az első három tag átlaga is a. Ha a számtai sorozat differeciáját d-ek jelöljük, akkor a szóráségyzet: a d a 0 a d a 6. Ie adódik, hogy d 9, azaz, mivel a sorozatuk övekedő d. Ezzel az állítást beláttuk. b) Ha Barbara x éves, akkor Cili x éves, és így Dezső, Barbara és Edit életkora redre x 6, x, illetve x év.

20 Mivel ez a három szám egy mértai sorozat három szomszédos tagja, ezért: x 6 x x. A zárójeleket felbotva:, ahoa. Elleőrzés: Dezső, Barbara és Edit életkora 6,, illetve 4 év, ez a három szám pedig valóba egy mértai sorozat három szomszédos tagja. Adrás tehát 9 éves. c) Komplemeter eseméyt felhaszálva: em felelek meg azok az esetek, amelyekbe a három láy három egymás melletti széke ül. A három egymás melletti széket égyféleképpe lehet kiválasztai a hat közül. A három egymás melletti széke!, azaz hatféleképpe foglalhat helyet a három láy, a megmaradt három helye szité hatféleképpe foglalhat helyet a három fiú. A em megfelelő elhelyezkedések száma tehát: Hata a hat egymás melletti székre 6!, azaz 70-féleképpe ülhetéek le. A megfelelő elhelyezkedések száma tehát:. Összese: 6 pot x 6x 7 x x ) Állítsuk a pozitív egész számokat övekvő sorredbe, majd botsuk redre -gyel övekvő elemszámú csoportokra, az alábbi módo kezdve:, ;, 4;5;6, 7;8;9;0,... a) A 00-adik csoportak melyik szám az első eleme? (5 pot) b) Az 85 háyadik csoport háyadik eleme? (9 pot) a) A csoportokba lévő számok számát megadó sorozat: ;;;4;...; ;... A 99-edik csoportba lévő utolsó szám: ( pot) amely ( pot) Tehát a 00. csoport első eleme 495 b) Ha az 85 az 85, ahol pozitív egész ( pot) Tehát azt a pozitív egész -t keressük, amelyre és Az első egyelőtleség pozitív egész megoldásai a 60-ál em agyobb pozitív egész számok A második egyelőtleség pozitív megoldásai a 60-ál em kisebb pozitív egész számok Az egyeletredszerek egyetle egész megoldása va, a 60 A 60-adik csoport utolsó eleme edik csoportba va, akkor 70 0

21 A 6. csoport első eleme 8. Mivel eek a csoportak 6 eleme va, így eek eleme az 85 is, mégpedig a -edik eleme. Tehát az 85 a 6. csoport. eleme. Összese: 4 pot

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (emelt szint)

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (emelt szint) Számtani- és mértani sorozatos feladatok (emelt szint) (ESZÉV Minta (2) 2004.05/5) Egy trópusi lián hajtása egyre lassabban növekszik, ahogy övény egyre hosszabb lesz. A kicsírázó magból övény az első

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. EMELT SZINT 1) Jelölje A az pedig az x 4 0 x 3 x 3 4 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 013. május 7. EMELT SZINT Elemei felsorolásával adja meg az A B I. egyenlőtlenség egész megoldásainak a halmazát, B egyenlőtlenség egész megoldásainak

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont)

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont) Mtemtik A. évfolym I. egyedév témzáró A csoport. Egy utci futóversey eredméyhirdetésé összese 60 csokoládét osztk ki z első 0 helyezett között, úgy, hogy kiosztott csokoládék szám helyezettről-helyezettre

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák 1. oldal, összesen: 8 oldal Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet: Számtani sorozat: a 1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a 1 és d segítségével: a n =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. október 16. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. október 16. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. október 16. EMELT SZINT I. 1) Egy új típusú sorsjegyből 5 millió darab készült, egy sorsjegy ára 00 Ft. Minden egyes sorsjegyen vagy a Nyert vagy a Nem nyert felirat található,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 5 ÉRETTSÉGI VIZSGA 05. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika emelt szit Fotos tudivalók

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. május 5. EMELT SZINT I. 1) Egy négyzet alapú egyenes hasáb alapéle 18 egység, testátlója 6 egység. a) Mekkora szöget zár be a testátló az alaplap síkjával? (4 pont) b) Hány területegység

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2005. október 25., 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2005. október 25., 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM É RETTSÉGI VIZSGA 2005. október 25. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2005. október 25., 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. KÖZÉPSZINT I. 1) Egy háromszög belső szögeinek aránya :5:11. Hány fokos a legkisebb szög? A legkisebb szög o 0. Összesen: pont ) Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája.

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2012. október 16. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2012. október 16. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. október 16. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben