MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok"

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához! 1) Egy mértai sorozat első tagja 8, háyadosa 0,5. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! ( pot) ,5 5 a q a 1 ( pot) ) Egy számtai sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pot) Kiszámoltuk ebbe a sorozatba az első 111 tag összegét: b) Igaz-e, hogy számjegyeit tetszőleges sorredbe felírva midig hárommal osztható számot kapuk? (Válaszát idokolja!) (3 pot) c) Gábor olya sorredbe írja fel számjegyeit, hogy a kapott szám éggyel osztható legye. Milye számjegy állhat a tízes helyiértéke? (Válaszát idokolja!) (4 pot) a) a 17 a d 1 d 4 a1 13 és a150 a1 149d 609 S a 1 a d 3 1 S b) Alkalmazzuk a hárommal való oszthatóság szabályát számjegyeiek összege 4, így osztható 3-mal. Tetszőleges sorred eseté az összeg em változik, tehát az állítás igaz. c) Alkalmazzuk a éggyel való oszthatóság szabályát. Ebbe az esetbe ez akkor teljesül, ha az utolsó két számjegy: 8; 3; 36; 5; 56; 68. ( pot) A tízes helyiértéke tehát ; 3; 5; vagy 6 állhat. Összese: 1 pot

2 3) Egy kultúrpalota szíházterméek a ézőtere szimmetrikus trapéz alaprajzú, a széksorok a szípadtól távolodva rövidülek. A leghátsó sorba 0 szék va, és mide megelőző sorba -vel több, mit a mögötte lévőbe. 500 diák és 10 kísérő taár pot megtöltik a ézőteret. Háy széksor va a ézőtére? (1 pot) Legye a széksorok száma:. A sorokba levő székek száma egy egymást követő elemeit adja. a1 0 d differeciájú számtai sorozat Az -edik (első) sorba a 0 ( 1) szék va. Az összes helyre az S a és a alkalmazható. ( pot) ( pot) em ad megoldást. 15 széksor va a ézőtére. Összese: 1 pot 4) Meyi aak a mértai sorozatak a háyadosa, amelyek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pot) a a q a a q Ie q Összese: pot 5) Összeadtuk ötveöt egymást követő pozitív páratla számot, az összeg értéke a) Melyik volt az összegbe az első, illetve az ötveötödik páratla szám? (8 pot) b) Melyik az összeadottak között a legkisebb olya szám, amelyek a prímtéyezős felbotásába két külöböző prímszám szerepel, és a égyzete ötre végződik? (4 pot) a) Az összeadott páratla számok egy d differeciájú számtai sorozat szomszédos tagjai. Legye az összeg legkisebb tagja a a A számtai sorozat első eleméek összegére voatkozó képletet alkalmazva: a 1 54 S a1 54 ( pot) a 1 17 a 1, ekkor

3 a Tehát a keresett páratla számok a 17 és a 15. Elleőrzés: az összes valóba b) A keresett számak 5-re kell végződie. A 17 utá a legkisebb ilye szám a 5, de ez em felel meg. A következő szám 35, és ez jó, mert Tehát a keresett szám a 35. Összese: 1 pot 6) Egy számtai sorozat első eleme 8, differeciája. Mekkora a sorozat 3 egyedik eleme? ( pot) A sorozat egyedik eleme 6. Összese: pot 7) Egy útépítő vállalkozás egy muka elkezdésekor az első apo 0 méteryi utat aszfaltoz le. A rákövetkező apo 30 métert, az azutái 40 métert és így tovább: a mukások létszámát apota övelve mide következő mukaapo 10 méterrel többet, mit az azt megelőző apo. a) Háy méter utat aszfaltozak le a 11-edik mukaapo? (3 pot) b) Az összes aszfaltozadó út hossza ebbe a mukába 7,1 km. Háyadik mukaapo készülek el vele? (8 pot) c) Háy méter utat aszfaltozak le az utolsó mukaapo? (3 pot) d) A 1-edik apo kétszer ayia dolgoztak, mit az első apo. Igaze az a feltételezés, hogy a apota elkészült út hossza egyeese aráyos a mukások létszámával? (Válaszát idokolja!) (3 pot) a) Számtai sorozatról va szó: b) a1 0, d=10 A11 a1 10d ( pot) métert aszfaltozak le a 11. mukaapo. ; S 7100?, ahol pozitív egész szám. a 1 1 d S ( pot) ( pot) Egyetle pozitív megoldás va 1,88, de ez em egész. Az aszfaltozással a. mukaapo készülek el.

4 c) S S1 670 a Az utolsó mukaapo d) Egyees aráyosság eseté 440 métert kellee aszfaltozi a 1. apo. Nem teljesül az egyees aráyosság. Összese: 1 pot 380 méter utat aszfaltoztak le. 8) Egy mértai sorozat második eleme 3, hatodik eleme. Mekkora a sorozat háyadosa? Írja le a megoldás meetét! (3 pot) 9) A feltételből 4 3q 1 q1 4 0, 065 q 1, ahoa Összese: 3 pot a) Határozza meg azt a háromjegyű számot, amelyről a következőket tudjuk: számjegyei a felírás sorredjébe egy számtai sorozat egymást követő tagjai; a szám értéke 53,5-szerese a számjegyei összegéek; ha kivojuk belőle az első és utolsó jegy felcserélésével kapott háromjegyű számot, akkor 594 az eredméy. (10 pot) b) Sorolja fel azokat a 00-ál agyobb háromjegyű számokat, amelyekek számjegyei a felírás sorredjébe övekvő számtai sorozat tagjai! (4 pot) c) Számítsa ki aak a valószíűségét, hogy a b) kérdésbe szereplő számok közül véletleszerűe egyet kiválasztva, a kiválasztott szám osztható 9-cel! (3 pot) a) A háromjegyű szám számjegyei: a d; a; a d, ahol a a számtai sorozat középső tagja, d a differecia. Felírható: (1) ( pot) 100 a d 10a a d 53,5 3a és 100 a d 10a a d 100 a d 10a a d 594 () ( pot) A () egyeletből: ahoa d 3 Az (1) egyeletből: 111a 99d 53,5 3a ahoa a d a 3 6 a középső számjegy, a háromjegyű szám: d 594

5 A feladat úgy is megoldható, ha a számtai sorozat első tagját jelöljük a-val. b) A megfelelő számok: 34; 345; 456; 567; 678; 789; 46; 357; 468; 579; 58; 369. (4 pot) c) Közülük 9-cel osztható: 34; 369; 468; 567. A jó esetek száma 4; az összes eset A keresett valószíűség: p Összese: 17 pot 10) Egy számtai sorozat első és ötödik tagjáak összege 60. Meyi a sorozat első öt tagjáak összege? Válaszát idokolja! (3 pot) S 5 a1 a 60 S5 5 S5 150 Összese: 3 pot 11) Szabó agymamáak öt uokája va, közülük egy láy és égy fiú. Nem szeret levelet íri, de mide héte ír egy-egy uokájáak, így öt hét alatt midegyik uoka kap levelet. a) Háyféle sorredbe kaphatják meg az uokák a levelüket az öt hét alatt? (3 pot) b) Ha a agymama véletleszerűe dötötte el, hogy melyik héte melyik uokájáak írt levél következik, akkor meyi aak a valószíűsége, hogy láyuokája levelét az ötödik héte írta meg? (3 pot) Szabó agymama sálat kötött egyetle láyuokájáak. Az első apo 8 cm készült el a sálból, és a agymama elhatározta, hogy a további apoko mide ap 0 százalékkal többet köt meg, mit az előző apo. Ezt az elhatározását tartai tudta. c) Háy ap alatt készült-el a méter hosszúra tervezett sál? (11 pot) a) A lehetséges sorredek száma: 5! ( pot) Az uokák 10-féle sorredbe kaphatják meg a levelet. b) Az utolsó hétre az 5 uoka bármelyike egyelő valószíűséggel kerül. ( pot) A keresett valószíűség tehát: 1 5 c) Az egyes apoko kötött darabok hosszúságai mértai sorozatot alkotak. A mértai sorozatba a1 8, q 1, ( pot) A sál teljes hossza a mértai sorozat első eleméek összegekét adódik. q 1 S a1 q 1

6 1, , 5 1 1, lg 6 lg1, 9,83 A sál a tizedik apo készül el. ( pot) Összese: 17 pot 1) Egy számtai sorozat első tagja 3, differeciája 17. Számítsa ki a sorozat 100-adik tagját! Számítását részletezze! (3 pot) a1 3 d 17 a ( pot) A sorozat 100-adik tagja: Összese: 3 pot 13) Egy mértai sorozat első tagja 3, a háyadosa. Adja meg a sorozat ötödik tagját! Írja le a megoldás meetét! (3 pot) 1 a a q 1 a A sorozat ötödik tagja: 48. Összese: 3 pot 14) Egy mértai sorozat első tagja 5, háyadosa. Számítsa ki a sorozat tizeegyedik tagját! Idokolja a válaszát! 10 a11 5 a11 510

7 15) Agéla a piheőkertjük egy részére járólapokat fektetett le. Az első sorba 8 járólap került, mide további sorba kettővel több, mit az azt megelőzőbe. Összese 858 járólapot haszált fel. a) Háy sort rakott le Agéla? (6 pot) A járólapokat 5-ös csomagolásba árusítják. Mide csomagba bordó szíű a járólapok 16 %-a, a többi szürke. Agéla 4 csomag járólapot vásárolt. Csak bordó szíű lapokat rakott le az első és az utolsó sorba. Eze kívül a többi sor két szélé levő 1 1 járólap is bordó, az összes többi lerakott járólap szürke. b) Adja meg, hogy háy szürke és háy bordó járólap maradt ki a lerakás utá! (6 pot) a) (A sorokét elhelyezett járólapok számát aak a számtai sorozatak egymást követő tagjai adják, amelyre:) 1 a1 d a1 8, d és 33 (A megfelelő pozitív egész szám 6.) Agéla 6 teljes sort rakott le (ez a megoldás a feltételekek megfelel). b) A bordó járólapok száma 144. ( pot) A huszohatodik sorba járólap került. A burkolt rész peremére bordó szíű került. 30 bordó járólap maradt ki. Összese járólap maradt ki, ezek közül 1 szürke és 30 bordó. Összese: 1 pot 16) a6 a1 5d a) Egy számtai sorozat első tagja 7, a yolcadik tagja 14. Adja meg lehetséges értékeit, ha a sorozat első tagjáak összege legfeljebb 660. (9 pot) b) Egy mértai sorozat első tagja ugyacsak 7, a egyedik tagja 189. Mekkora az, ha az első tag összege 68887? (8 pot) a) a a d, ahol d a sorozat differeciája d d S a 1 1 d S

8 b) Az egyelőtleség bal oldalához kapcsolható másodfokú függvéyek miimuma va (, vagy grafikora hivatkozás stb.), zérushelyei: a és (ami egatív). Mivel a feladatukba pozitív egész, lehetséges értékei: 1,,, 3, 4, ahol q a sorozat differeciája. a a q q q 3 q S a1 7 q ( pot) Az expoeciális függvéy kölcsööse egyértelmű (szigorúa mooto), 9 Összese: 17 pot 17) Melyik a 01-edik pozitív páros szám? Válaszát idokolja! (3 pot) Az a 1 első tagú, a d differeciájú számtai sorozat felismerése. Összese: 3 pot 18) Egy számtai sorozat ötveedik tagja 9, az ötveegyedik tagja 6. Számítsa ki a sorozat első tagját! (3 pot) d 3 a50 a1 49d 176 Összese: 3 pot a 1 19) Egy mértai sorozat első tagja 3, háyadosa első hat tagjáak összegét!. Adja meg a sorozat ( pot) 1 S a1 d, ebből: S6 63 ( pot)

9 0) Az újkori olimpiai játékok megredezésére 1896 óta kerül sor, ebbe az évbe tartották az első (yári) olimpiát Athéba. Azóta mide egyedik évbe tartaak yári olimpiát, és ezeket sorszámmal látják el. Három yári olimpiát (az első és a második világháború miatt) em tartottak meg, de ezek az elmaradt játékok is kaptak sorszámot. a) Melyik évbe tartották a 0. yári olimpiai játékokat? ( pot) b) Számítsa ki, hogy a 008-ba Pekigbe tartott yári olimpiáak mi volt a sorszáma! ( pot) A yári olimpiák szervezőiek egyik fő bevételi forrása a televíziós jogok értékesítéséből származó bevétel. Redelkezésükre állak a következő adatok (millió dollárba számolva): Olimpia sorszáma 0.. Bevétel a televíziós jogok értékesítéséből Eszter úgy véli, hogy a televíziós jogok értékesítéséből származó bevételek a 0. olimpiától kezdve az egymás utái yári olimpiáko egy számtai sorozat egymást követő tagjait alkotják. Marci szerit ugyaezek a számok egy mértai sorozat egymást követő tagjai. A saját modelljük alapjá midkette kiszámolják, hogy meyi lehetett a televíziós jogok értékesítéséből származó bevétel a 7. yári olimpiá. Ezutá megkeresik a téyleges adatot, amely egy iteretes holap szerit 1383 (millió dollár). c) Számítsa ki, hogy Eszter vagy Marci becslése tér el kisebb mértékbe a 7. yári olimpia téyleges adatától! (8 pot) a) A yári olimpiák évszámai egy olya számtai sorozatot alkotak, melyek első tagja 1896, külöbsége pedig 4. vagyis 197-be tartották a 0. yári olimpiát , tehát 9. yári olimpiát tartották 008-ba. a b) ( pot) c) (A megadott két adatot egy számtai sorozat első, illetve harmadik tagjáak tekitve:) 75 19, amiből d 85 ( pot) Így, Eszter becslése a sorozat yolcadik tagjára: 75 7d 484,5 millió dollár d (A megadott két adatot egy mértai sorozat első illetve harmadik tagjáak tekitve:), amiből ( pot) 75q 19 q 0 miatt 1,6 Így Marci becslése a sorozat yolcadik tagjára: 75q 013 millió dollár és , vagyis Marci becslése tér el kevésbé a téyleges adattól. ( pot) Összese: 1 pot q

10 1) a) Egy számtai sorozat első tagja, első hét tagjáak összege 45,5. Adja meg a sorozat hatodik tagját! (5 pot) b) Egy mértai sorozat első tagja 5, második és harmadik tagjáak összege 10. Adja meg a sorozat első hét tagjáak az összegét! (7 pot) a) A sorozat differeciáját d-vel jelölve: d 7 1 d 45,5 7 d 1,5 a 6 5 1,5 A sorozat 6. tagja 9,5. b) A sorozat háyadosát q-val jelölve: ; q 1 ( pot) Ha a háyados, akkor a sorozat első hét tagjáak ) Az q1 összege: S q 5q ( pot) Ha a háyados 1, akkor a sorozat tagjai megegyezek, így ebbe az esetbe az első hét tag összege a sorozat 6. tagját! 3) A ( pot) Összese: 1 pot számtai sorozat első tagja és differeciája is 4. Adja meg a ( pot) a6 104 ( pot) b mértai sorozat háyadosa, első hat tagjáak összege 94,5. Számítsa ki a sorozat első tagját! Válaszát idokolja! 94,5 b (3 pot) 94,5 b 63 b1 15, Összese: 3 pot

11 4) Egy számtai sorozat első tagja 5, második tagja 8. a) Adja meg a sorozat 80. tagját! ( pot) b) Tagja-e a feti sorozatak a 005? (Válaszát számítással idokolja!) (3 pot) c) A sorozat első tagját összeadva az összeg Határozza meg értékét! (7 pot) a) a1 5 és d a a a a a d a80 4. b) Ha 005 a sorozat -edik tagja, akkor Mivel azaz c) Az első tag összege: 5) Ebből 1, 1 31 Mivel , a 005 em tagja a sorozatak. S , , azaz lehet csak a válasz ( pot) Elleőrzés: , tehát 31 tagot kell összeadi. Összese: 1 pot a) Iktasso be a 6 és az 163 közé két számot úgy, hogy azok a megadottakkal együtt egy számtai sorozat szomszédos tagjai legyeek! (5 pot) b) Számítsa ki a 6 és az 163 közötti éggyel osztható számok összegét! (7 pot) a) A sorozat tagjai: 6; 6 + d; 6 + d; d = 163 d = 539 Az első beiktatott szám: 545 A második beiktatott szám: 1084

12 b) A feltételekek megfelelő számok: 8; 1; 16; ; 160 ( pot) Ezek a számok egy számtai sorozat egymást követő tagjai S S Összese: 1 pot 6) Egy számtai sorozat hatodik tagja 15, kilecedik tagja 0. Számítsa ki a sorozat első tagját! Válaszát idokolja! (3 pot) A számtai sorozat külöbségét d-vel jelölve adódik: 3d 15 amiből A sorozat első tagja 40. d 5. Összese: 3 pot 7) A kólibaktérium (hegeres) pálcika alakú, hossza átlagosa mikrométer, átmérője 0,5 mikrométer. a) Számítsa ki egy mikrométer magas és 0,5 mikrométer átmérőjű forgásheger térfogatát és felszíét! Számításaiak eredméyét m 3 - be, illetve m -be, ormálalakba adja meg! (5 pot) Ideális laboratóriumi körülméyek között a kólibaktériumok gyorsa és folyamatosa osztódak, számuk 15 percekét megduplázódik. Egy tápoldat kezdetbe megközelítőleg 3 millió kólibaktériumot tartalmaz. b) Háy baktérium lesz a tápoldatba 1,5 óra elteltével? (4 pot) A baktériumok számát a tápoldatba t perc elteltével a 6 10 m B t t összefüggés adja meg m c) Háy perc alatt éri el a kólibaktériumok száma a tápoldatba a 600 milliót? Válaszát egészre kerekítve adja meg! (8 pot) a) A heger alapköréek sugara térfogata ormálalakba A heger felszíe: V, V 3, 9 10 m 7,5 10 m 19 3 A, ormálalakba 3,5 10 m,,., A. b) A kólibaktériumok száma 1,5 óra alatt 6-szor duplázódott, ( pot) 6 ezért 1,5 óra utá millió lesz a baktériumok száma.

13 c) A baktériumok száma x perc múlva lesz 600 millió. Meg kell oldauk a x x Átalakítva: x 15 log 00 lg 00 x 15 lg egyeletet. ( pot) ( pot) amiből adódik, tehát 115 perc múlva lesz a baktériumok száma 600 millió. Összese: 17 pot x 115 8) a) Egy számtai sorozat első tagja 5, differeciája 3. A sorozat első tagjáak összege 440. Adja meg értékét! (5 pot) b) Egy mértai sorozat első tagja 5, háyadosa 1,. Az első tagtól kezdve legalább háy tagot kell összeadi ebbe a sorozatba, hogy az összege elérje az 500-at? (7 pot) a) A szöveg alapjá felírható egyelet: Ebből A egatív gyök ( pot) a feladatak em megoldása. 16 b) Keressük a következő egyelet megoldását: 1, , 1 1 1,. (midkét oldal 10-es alapú logaritmusát véve) lg 1 lg1, lg 1 lg1, ( pot) 16,7 Ez azt jeleti, hogy a sorozatak legalább 17 tagját kell összeadi, hogy az összeg elérje az 500-at. Összese: 1 pot

14 9) A vízi élőhelyek egyik agy problémája az algásodás. Megfelelő féy- és hőmérsékleti viszoyok mellett az algával borított terület agysága akár 1- ap alatt megduplázódhat. a) Egy kerti tóba mide ap (az előző api meyiséghez képest) ugyaayi-szorosára övekedett az algával borított terület agysága. A kezdetbe -e észlelhető alga hét api övekedés m 1,5 m utá borította be teljese a -es tavat. Számítsa ki, hogy apota háyszorosára övekedett az algás terület! (4 pot) Egy parkbeli szökőkút medecéjéek alakja szabályos hatszög alapú egyees hasáb. A szabályos hatszög egy oldala,4 m hosszú, a medece mélysége 0,4 m. A medece alját és oldalfalait csempével burkolták, majd a medecét teljese feltöltötték vízzel. b) Háy területű a csempével burkolt felület, és legfeljebb háy liter víz fér el a medecébe? (8 pot) A szökőkútba hat egymás mellett, egy voalba elhelyezett kiömlő yíláso keresztül törhet a magasba a víz. Mide vízsugarat egy-egy szíes lámpa világít meg. Midegyik vízsugár megvilágítása háromféle szíű lehet: kék, piros vagy sárga. Az egyik látváyprogram úgy változtatja a vízsugarak megvilágítását, hogy egy adott pillaatba három-három vízsugár szíe azoos legye, de mid a hat e legye azoos szíű (például kék-sárga-sárga-kék-sárga-kék). c) Háyféle külöböző látváyt yújthat ez a program, ha vízsugarakak csak a szíe változik? (5 pot) 7 m a) Ha apota x-szeresére őtt az algás terület, akkor:. 7 1,5 x 7 x ,5 Az algás terület apota körülbelül a másfélszeresére övekedett. b) A medece alaplapja egy,4 m oldalhosszúságú szabályos hatszög, eek területe,4 3 T alaplap 6 ( pot) 4 14,96 m A medece oldalfalaiak összterülete Toldalfal 6,4 0,4 5,76 m. Így összese körülbelül A medece térfogata,4 3 0,7 m V Talaplap m 6 0,4 4 5, 986 m 3 felületet burkoltak csempével.. Körülbelül 5986 liter víz fér el a medecébe.

15 6 3 c) Ha például a kék és a sárga szít választották ki, akkor 0 külöböző módo választható ki az a három vízsugár, amelyet a kék szíel világítaak meg (a másik három féysugarat ugyaekkor sárga szíel világítják meg). ( pot) A megvilágításhoz két szít háromféleképpe választhatak ki (kék-sárga, kék-piros, piros-sárga) Azaz 60 külöböző megvilágítás lehetséges. Összese: 17 pot 30) Péter lekötött egy bakba foritot egy évre, évi 4%-os kamatra. Meyi pézt vehet fel egy év elteltével, ha év közbe em változtatott a lekötése? ( pot) Ft-ot vehet fel Péter egy év elteltével. ( pot) 31) A Kis család Ft megtakarított pézét éves lekötésű takarékba helyezte el az A Bakba, kamatos kamatra. A péz két évig kamatozott, évi 6%-os kamatos kamattal. (A kamatláb tehát ebbe a bakba 6% volt.) a) Legfeljebb mekkora összeget vehettek fel a két év elteltével, ha a kamatláb a két év sorá em változott? (3 pot) A Nagy család a B Bakba Ft-ot helyezett el, szité két évre, kamatos kamatra. b) Háy százalékos volt a B Bakba az első év folyamá a kamatláb, ha a bak ezt a kamatlábat a második évre 3%-kal övelte, és így a második év végé a Nagy család Ft-ot vehetett fel? (10 pot) c) A Nagy család a bakból felvett Ft-ért külöféle tartós fogyasztási cikkeket vásárolt. Háy foritot kellett vola fizetiük ugyaezekért a fogyasztási cikkekért két évvel korábba, ha a vásárolt termékek ára az eltelt két év sorá csak a 4%-os átlagos éves iflációak megfelelőe változott? (A 4%-os átlagos éves ifláció szemléletese azt jeleti, hogy az előző évbe 100 Ft-ért vásárolt javakért idé 104 Ft-ot kell fizeti.) (4 pot) ,06 a) A felvehető összeg: ( pot) ami Ft.

16 b) (Az első évbe x %-os volt a kamat.) Az első év végé a számlá lévő összeg: x ( pot) A második év végé a felvehető összeg: x x ( pot) x 03x (3 pot) a másik gyök egatív ( 08), em felel meg. Az első évbe 5%-os volt a kamat. A feladat megoldható mértai sorozat felhaszálásával is. c) Ha a két évvel ezelőtti ár y forit, akkor egy év múlva 1,04 y, x 1 5 két év múlva y 1,04 1,04 y Két évvel korábba forit az ár Ft -ot kellett vola fizetiük. Összese: 17 pot 3) Csilla és Csogor ikrek, és születésükkor midkettőjük részére takarékköyvet yitottak a agyszülők. 18 éves korukig egyikőjük számlájáról sem vettek fel pézt. Csilla számlájára a születésekor Ft-ot helyeztek el. Ez az összeg évi 8 %-kal kamatozik. a) Legfeljebb mekkora összeget vehet fel Csilla a 18. születésapjá a számlájáról, ha a kamat midvégig 8 %? (A pézt foritra kerekített értékbe fizeti ki a bak.) (5 pot) Csogor számlájára a születésekor Ft-ot helyeztek el. Ez az összeg félévete kamatozik, midig azoos kamatlábbal. b) Mekkora ez a félévekéti kamatláb, ha tudjuk, hogy Csogor a számlájáról a 18. születésapjá millió foritot vehet fel? (A kamatláb midvégig álladó.) A kamatlábat két tizedesjegyre kerekítve adja meg! (7 pot) a) Csilla számlájá a 8%-os évi kamat a yitótőke évi 1,08-szoros övekedését jeleti. A 18. születésapo 18. alkalommal övekszik így a tőke, ezért Csilla 18. születésapjára a yitótőke -ra változa. ( pot) Csilla 18. születésapjá Ft-ot kaphata. S , ,75 Csilla 18

17 b) Csogor számlájá a p %-os kamat évete p szeres évi övekedést eredméyez 18 éve keresztül A 18. születésapjá Csogor betétjé összese p SCsogor Ft 100 Ie 36 va p p , vagyis 1 5 1, A keresett kamatláb tehát 4,57%. ( pot). ( pot) Összese: 1 pot 33) Statisztikai adatok szerit az 1997-es év utái évekbe 003-mal bezárólag a világo évete átlagosa 1,1%-kal több autót gyártottak, mit a megelőző évbe. A 003-at követő évekbe, egésze 007-tel bezárólag évete átlagosa már 5,4 %-kal gyártottak többet, mit a megelőző évbe. 003-ba összese 41,9 millió autó készült. a) Háy autót gyártottak a világo 007-be? (4 pot) b) Háy autót gyártottak a világo 1997-be? (4 pot) Válaszait százezerre kerekítve adja meg! 008-ba az előző évhez képest csökket a gyártott autók száma, ekkor a világo összese 48,8 millió új autó hagyta el a gyárakat. 008-ba előrejelzés készült a következő 5 évre voatkozóa. Eszerit 013-ba 38 millió autót fogak gyártai. Az előrejelzés úgy számolt, hogy mide évbe az előző éviek ugyaakkora százalékával csökke a termelés. c) Háy százalékkal csökke az előrejelzés szerit az évekéti termelés a 008-at követő 5 év sorá? Az eredméyt egy tizedes jegyre kerekítve adja meg! (4 pot) d) Elfogadjuk az előrejelzés adatát, majd azt feltételezzük, hogy 013 utá évete 3 %-kal csökke a gyártott autók száma. Melyik évbe lesz így az abba az évbe gyártott autók száma a 013-ba gyártottakak a 76 %-a? (4 pot) a) Az évekéti övekedés szorzószáma (övekedési ráta) 1, at követőe a 007-es évvel bezárólag 4 év telik el. 4 41,9 1,054 51,71 A 007-es évbe kb. 51,7 millió autót gyártottak. b) A 003-at megelőző évekre évekét 1,011-del kell osztai utá a 003-as évvel bezárólag 6 év telik el. 41,9 39,4 millió 6 1, be kb. 39, millió autót gyártottak.

18 c) Az évekéti csökkeés szorzószáma legye x. 008 utá a 013-as évvel bezárólag 5 év telik el., 5 48,8 x 38 x 5 0,779 x 5 0,779 0,951 Az évekéti százalékos csökkeés kb. 4,9 %. d) Ha 013 utá y év múlva lesz 76 %-a az éves autószám, akkor Midkét oldal tízes alapú logaritmusa is egyelő. y. 0,97 0,76 y lg 0,97 lg 0,76 Kb. 9 év múlva, tehát 0-be csökkee az évi termelés a 013-as éviek a 76 %-ára. Összese: 17 pot y 9,01 34) Egy autó ára újoa millió 15 ezer forit, a megvásárlása utá öt évvel eek az autóak az értéke 900 ezer forit. a) A megvásárolt autó tulajdoosáak a vezetési biztoságát a vásárláskor 90 pottal jellemezhetjük. Ez a vezetési biztoság évete az előző éviek 6 %-ával ő. (4 pot) Háy potos lesz 5 év elteltével az autótulajdoos vezetési biztosága? Válaszát egész potra kerekítve adja meg! b) Az első öt év sorá eek az autóak az értéke mide évbe az előző évi értékéek ugyaayi százalékával csökke. Háy százalék ez az éves csökkeés? (8 pot) Válaszát egész százalékra kerekítve adja meg! a) A vezetési biztoság potjai egy t 0 90, tagjai. (Ebbe a sorozatba) (pot). 5 t ,06 5 q 1,6 háyadosú mértai sorozat 90 1,06 10,44 tehát 5 év utá a vezetési biztoság 10 potos. b) Legye a csökkeési ráta x. Ekkor ( pot) x 0,418, 15 amiből x , x 0,84 5,15 x 0,9 10,84 0,16, tehát évete 16 %-kal csökke az autó értéke. A feladat megoldható úgy is, ha a kamatos kamatszámításhoz hasoló képletet haszáluk. Összese: 1 pot

19 35) Egy sejtteyészetbe apota kétszereződik meg a sejtek száma. Az első ap kezdeté 5000 sejtből állt a teyészet. Háy sejt lesz a teyészetbe 8 ap elteltével? Számításait részletezze! (3 pot) A 8 ap alatt 4-szer kétszereződött meg a sejtek száma (s), s s Összese: 3 pot 36) A 000 eurós tőke évi 6 %-os kamatos kamat mellett háy teljes év elteltével őe 404 euróra? Megoldását részletezze! (4 pot) 000 1, x x kiszámítása. lg 000 x lg1,06 lg 404 lg 404 lg 000 x 11,998 lg1,06 1 teljes év alatt... ( pot) Összese: 4 pot

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok 1/7

Érettségi feladatok: Sorozatok 1/7 Érettségi feladatok: Sorozatok 1/7 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a)

Részletesebben

2006. május 2. Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája -2/3. Mekkora a sorozat negyedik eleme?

2006. május 2. Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája -2/3. Mekkora a sorozat negyedik eleme? Érettségi feladatok: Sorozatok_ rendszerezve 1/8 Számtani sorozat 2005. május 10. 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora az első 150 tag összege? Kiszámoltuk ebben a sorozatban

Részletesebben

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint)

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) (KSZÉV Minta (2) 2004.05/II/16) a) Egy számtani sorozat első tagja 9, különbsége pedig 4. Adja meg e számtani sorozat első 5 tagjának az összegét!

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2014. május 6. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2014. május 6. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 014. május 6. KÖZÉPSZINT I. 1) Legyen A halmaz a 8-nál nem nagyobb pozitív egész számok halmaza, B pedig a 3-mal osztható egyjegyű pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1414 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

(8/1) Sorozatok 1) Egy számtani sorozat első tagja -3, differenciája -17. Számítsa ki a sorozat 100-adik tagját! Számítását részletezze!

(8/1) Sorozatok 1) Egy számtani sorozat első tagja -3, differenciája -17. Számítsa ki a sorozat 100-adik tagját! Számítását részletezze! (8/1) Sorozatok 1) Egy számtani sorozat első tagja -3, differenciája -17. Számítsa ki a sorozat 100-adik tagját! Számítását részletezze! 2) Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája eleme? 2 3.Mekkora

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 20. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 20. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. KÖZÉPSZINT I. 1) Számítsa ki 5 és 11 számtani és mértani közepét! A számtani közép értéke: 7. A mértani közép értéke: 55. Összesen: pont ) Legyen az A halmaz a 10-nél

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. KÖZÉPSZINT I. 1) Az A halmaz elemei a MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. október 15. KÖZÉPSZINT I. 5 -nél nagyobb, de -nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az halmazt! A\

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2014. május 6. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák 1. oldal, összesen: 8 oldal Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet: Számtani sorozat: a 1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a 1 és d segítségével: a n =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Térgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Térgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Térgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. KÖZÉPSZINT I. 1) Egy háromszög belső szögeinek aránya :5:11. Hány fokos a legkisebb szög? A legkisebb szög o 0. Összesen: pont ) Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája.

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonan szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Kombinatorika feladatok

Kombinatorika feladatok Kombiatorika feladatok 1. Tüdérországba csak 2 magáhagzót és 2 mássalhagzót haszálak. A szavakba legalább 1 mássalhagzó és legalább 1 magáhagzó va. Háy külöböző hárombetűs szó létezik Tüdérországba, ha

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

RÁBAKÖZI TAKARÉKSZÖVETKEZET

RÁBAKÖZI TAKARÉKSZÖVETKEZET Vállalkozások és egyéi vállalkozók részére vezetett pézforgalmi számlák kamatairól, valamit a voatkozó betétbiztosítási feltételekről Érvéyes: 2013. szeptember 11-től I. KAMATMÉRTÉKEK Éves kamatláb EBKM

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 18. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 18. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 011. október 18. KÖZÉPSZINT I. 1) Írja fel prímszámok szorzataként a 40-at! ( pont) 40 3 5 7 3 5 7 ( pont) ) Bontsa fel a 36000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5:4 legyen!

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont)

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont) Mtemtik A. évfolym I. egyedév témzáró A csoport. Egy utci futóversey eredméyhirdetésé összese 60 csokoládét osztk ki z első 0 helyezett között, úgy, hogy kiosztott csokoládék szám helyezettről-helyezettre

Részletesebben

Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli

Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli I. rész 1. Mivel egyenlő ( x 3) 2, ha x tetszőleges valós számot jelöl? A) x 3 B) 3 x C) x 3 2. Mekkora az a és b szöge az ábrán látható

Részletesebben