Sorozatok Megoldások. - a harmadik tagtól kezdve minden tag kiszámítható a következő rekurzív képlet segítségével: an = an

Átírás

1 00-0XX Emelt szit Sorozatok Megoldások ) Egy ( a ) számsorozatról a következőket tudjuk: - a harmadik tagtól kezdve mide tag kiszámítható a következő rekurzív képlet segítségével: a = a + a ; - az a, a és a 9a ebbe a sorredbe egy számtai sorozat egymást követő tagja; a sorozat első öt tagjáak összege az Mekkora eek a számsorozatak a hatodik tagja? ) A megadott feltételeket a következő alakba haszáljuk: () a = a + a, ha a = a + a 9a () (6 pot) () a + a + a + a4 + a = 68 (4 pot) A sorozat harmadik tagja az () alapjá: a = a + a Behelyettesítve a () összefüggésbe ezt az a helyére, redezés utá kapjuk, hogy a = 4a Ebből a = a + a = 4a = a = 6a A egyedik tagot felírva az () alapjá: a = a + a 4 A jobb oldalo behelyettesítve az a és az a az a -gyel kifejezett értéket a = 6a + 4a = 64a ( pot) kapjuk, hogy 4 Hasolóa fejezhetjük ki a értékét a segítségével: a = a + a = 64a + 6a = 6a ( pot) 4 Összevoás utá 4a = 68 Ebből a = A hatodik tagot felírva () alapjá: a6 = a + a 4. Az a és az a 4 értékét a -gyel kifejezve kapjuk, hogy a = 6a + 64a = 04a = 04 = 048 ( pot) 6 A kapott ; 8; ; 8; ; 048; számsorozat elemei kielégítik az ( a ) sorozat elemiről megadott összes feltételt. A sorozat hatodik tagja 048 Összese: 6 pot a) Legye ( a ) egy mértai sorozat, melyek első tagja, háyadosa. Meyi a valószíűsége, hogy ha eek a mértai sorozatak az első 0 tagjából egyet véletleszerűe kiválasztuk, akkor a kiválasztott tag -gyel osztva maradékot ad? (6 pot)

2 Sorozatok - megoldások b) Legye ( b ) egy számtai sorozat, amelyek az első tagja, és differeciája. Mekkora a valószíűsége, hogy ha eek a számtai sorozatak az első 0 tagjából egye kiválasztuk, akkor a kiválasztott tag -gyel osztva maradékot ad? (7 pot) a) Az első sorozatba az első tagtól kezdve felírjuk a tagok -gyel való osztás maradékát: ; 4; ; ; 9; ; A maradékok ciklikusa ismétlődek (midig -mal szorzuk) Mide ötödik tag -es maradékot ad ( pot) tehát a valószíűség ( pot) b) A számtai sorozatba az első tagtól kezdve felírjuk a tagok -gyel való osztás maradékát: ; 8; 0; ; 6; 9; ; 4; 7; 0; ; Ettől kezdve ismétlődik: ; 8; 0; tehát a ciklushossz Egy ciklusba egy kedvező eset va Mivel 0 ciklus va a 0. tagig, és midegyikbe egy darab -es va így a keresett valószíűség 0 0 = ( pot) Összese: pot ) Egy pozitív tagokból álló mértai sorozat első három tagjáak összege 6. Ha az első taghoz egyet, a másodikhoz hatot, a harmadikhoz hármat aduk, akkor ebbe a sorredbe egy számtai sorozat első három tagját kapjuk. Adja meg eek a számtai sorozatak az első három tagját! (4 pot) A számtai sorozat első három tagjáak összege: 6 + ( ) = 6 Számtai közép miatt a második tagja. ( pot) jelöljük a számtai sorozat külöbségét d-vel, ekkor a sorozat első három tagja d; ; + d A mértai sorozat tagjai: d; 6; + d ( pot) Mértai közép miatt 6 ( d) ( 9 d) = + ( pot) ahoa d d 6 = 0 d = 9 vagy d = 7 Tehát a keresett számtai sorozat első három tagja ; ; illetve 9; ; Ezek megfelelek a feladat feltételeiek, a mértai sorozat megfelelő tagjai: ;6;8 illetve 8;6; ( pot) Összese: 4 pot

3 00-0XX Emelt szit 4) Legye pozitív egész. Adottak az alábbi sorozatok: ( a ), ahol ( ) a = + ; b, ahol b = 0 ; ( c ), ahol c si cos = +. Vizsgálja meg midhárom sorozat korlátosság és mootoitás szempotjából! Válaszoljo midhárom esetbe, hogy a sorozat korlátos vagy em, illetve mooto vagy em! (Válaszát idokolja!) Korlátos esetbe adjo meg egy alsó és egy felső korlátot! (6 pot) a, ahol a = + ; Ha páros, akkor a = + = Ha páratla, akkor a = + = 0 Az a sorozat tehát em korlátos, em mooto A b sorozatot itervallumo kell vizsgáli 0; 0 ; b, ahol b = 0 Az abszolútérték értelmezése alapjá, Ha 0 b = 0 =, akkor, akkor Ha 0 b = 0 = + Eze a tartomáyo b Ha, akkor b = ( ) ( 0) = A b sorozat tehát korlátos és mooto csökkeő, alsó korlátja:, felső korlátja: c, ahol c si cos = + Haszáljuk az = jelölést! Ekkor a égyzetre emelés, Pitagoraszi összefüggés és a kétszeres szögfüggvéy képletéek alkalmazásával: c = si + cos = si + si cos + cos = + si ( pot) Visszaírva eredeti jeletését kapjuk, hogy c si( ) = + si =, mivel értéke mide egész eseté 0 A c sorozat mooto, és korlátos Alsó korlátja felső korlátja is Összese: 6 pot

4 Sorozatok - megoldások ) Egy bak a Godoskodás evű megtakarítási formáját ajálja újszülöttek családjáak. A megtakarításra vállalkozó családok a gyermek születését követő év első baki apjá számlát yithatak forit összeggel. Mide következő év első baki apjá szité foritot kell befizetiük a számlára. Az utolsó befizetés aak az évek az első apjá törtéhet, amely évbe a gyermekük betölti 8. életévét. A bak év végé a számlá lévő összeg utá évi 8%-os kamatot ad, amit a következő év első baki apjá ír jóvá. A gyermek a 8. születésapját követő év első baki apjá férhet hozzá a számlához. a) Mekkora összeg va ekkor a számlá? A válaszát egész foritra kerekítse! (8 pot) A gyermek a 8. születésapját követő év első baki apjá felveheti a számlájá lévő teljes összeget. Ha em veszi, választhatja a következő lehetőséget is: Hat éve keresztül mide év első baki apjá azoos összeget vehet fel. Az első részletet a 8. születésapját követő év első baki apjá veheti fel. A hatodik pézfelvétellel a számla kiürül. Ha ezt a lehetőséget választja, akkor a bak az első pézfelvételtől számítva mide év végé a számlá lévő összeg utá évi %-os kamatot garatál, amit a következő év első baki apjá jóváír. b) Ebbe az esetbe mekkora összeget vehet fel alkalmakét? A válaszát egész foritra kerekítse! (8 pot) a) A számlayitás összege: a = A következő év első baki apjá a számlá lévő péz a = a,08 + a = A következő év első baki apjá a számlá lévő péz: a = a,08 + a = a,08 +,08 + = 4640 Összese 8 alkalommal fizettek be a számlára, így az utolsó befizetéskor a 7 6 a8 = a,08 +, ,08 + ( pot) számlá lévő összeg: Ez az összeg még egy évig kamatozik, így a számlához való hozzáférés c = a 8 7,08 +, ,08 időpotjába a számlá lévő összeg A zárójelbe lévő összeg egy mértai sorozat első 8 tagjáak összege. A sorozat első tagja,08 és a háyadosa is,08. 8,08 c = a, ,08 A számlá lévő összeg kerekítve Ft. b) Az iduló tőke c = Ft Jelölje y az évekét felvehető összeget. Az első kivét utá a számlá lévő péz b = c y A második kivét utá a számlá lévő péz: b = b,0 y = c,0 y,0 + A harmadik kivét utá a számlá lévő péz: b = b,0 y = c,0 y,0 +,0 + b b y c y 6 =,0 =,0, ,0 + Ugyaekkor a számla kiürül: b 6 = 0-9 -

5 00-0XX Emelt szit A zárójelbe lévő összeg egy mértai sorozat első 6 tagjáak összege. A sorozat első tagja és a háyadosa,0,0 Így y = c 6,0,0 Az alkalmakét felvehető összeg kerekítve 7896 Ft. Összese: 6 pot 6) Az ( a ) mértai és ( ) b számtai sorozatak is az első tagja, és midkét orozat hatodik tagja ( ). a) Sorolja fel midkét sorozat első öt tagját! (4 pot) b) Milye pozitív egész -ekre lesz a két sorozat első tagjáak összege ugyaakkora? (9 pot) a) Felírva a hatodik elemeket az első elem és a kvócies (q), illetve a differecia (d) segítségével kapjuk, hogy q =. d = A mértai sorozat első öt eleme: ; ;; ; A számtai sorozat első öt eleme: ; ; ; ; b) A mértai sorozat első tagjáak összege: 0, ha páros S = =, ha páratla ( pot) A számtai sorozat -edik tagja: b = ( ) A számtai sorozat első tagjáak összege: ( ) s =, azaz 6 s = 6 s = 0, azaz a = 0 egyeletek potosa egy pozitív egész megoldása va, az = 6 ( pot) 6 s =, tehát =, azaz 6 + = 0 egyelet megoldásai = és =. ( pot) Tehát a két sorozat első, vagy első, vagy első 6 tagjáak összege ugyaakkora Összese: pot 7) Egy mértai sorozat első három tagjáak összege 9. A hatodik, hetedik és a yolcadik tag összege 9. Háy tizehárom-jegyű tagja va a sorozatak? ( pot) - 9 -

6 Sorozatok - megoldások Legye a sorozat első tagja a, háyadosa q. a + aq + aq = aq + aq + aq = 9 q a + aq + aq = 9 q = = 9 Ebből q = Visszahelyettesítve az első egyeletbe: 7a = 9, ahoa a =, ezek szerit a mértai sorozat: a, q, a = = = A kérdés: háy -re igaz, hogy 0 0 ( pot) Az lg x függvéyszigorú mooto ő 9 ( ) ( ) lg + lg 7,6 40,48 Eek egész megoldása a 8, a 9 és a 40. A sorozat tagja jegyű Összese: pot 8) A főiskolások műveltségi vetélkedője a következő eredméyel zárult. A verseye iduló égy csapatból a győztes csapat potszáma 4 -szorosa a második helye végzett csapat potszámáak. A egyedik, harmadik és második helyezett potjaiak száma egy mértai sorozat három egymást követő tagja, és a egyedik helyezettek potja va. A égy csapat között kiosztott potszámok összege 9. a) Határozza meg az egyes csapatok által elért potszámot! (8 pot) Mid a égy csapatak öt-öt tagja va. A vetélkedő utá az iduló csapatok tagjai között három egyforma értékű köyvutalváyt sorsolak ki (mideki legfeljebb egy utalváyt yerhet). b) Mekkora a valószíűsége aak, hogy az utalváyokat három olya főiskolás yeri, akik midhárma más-más csapat tagjai? ( pot) a) második helyezett x, az első 4 x potot ért el. A második x, a egyedik potot ért el, így a mértai sorozat miatt a harmadik helyezett potszáma x. A szöveg szerit: 4 9 x + x + x + = Redezve x -re másodfokú: ( x) 7 + x 4 = 0 Két gyöke x = 6és 7 x =, ebből a egatív gyök em lehetséges 7 így x = 6 Tehát a. helyezett potszáma 6, a harmadiké 0, az első helyezetté pedig 48. Elleőrzés - 9 -

7 00-0XX Emelt szit Alteratív megoldás: a) (Legye q a mértai sorozat háyadosa.) A egyedik helyezett, a harmadik q, a második q potot ért el. 4 00q Az első helyezett potszáma q + 7q = 00q Szöveg szerit + q + q + = 9 Redezés utá: 7q + 7q 4 = Két megoldása: q = és q = Ebből az utóbbi em felel meg a szövegek tehát a harmadik helyezett potszáma 0, másodiké 6, az első helyezetté pedig 48. Elleőrzés b) Lehetséges (egyelő valószíű) kimeetelek száma 0 = 40 ( pot) Kedvező kimeetelek száma: 4 00 = ( pot) A kérdezett valószíűség: 00 0,49 40 Összese: pot 9) Két egyees hasábot építük, H-et és H-t. Az építéshez haszált égyzetes oszlopok (égyzet alapú egyees hasábok) egybevágok, magasságuk kétszer akkora, mit az alapélük. A H hasáb építésekor a szomszédos égyzetes oszlopokat az oldallapjukkal illesztjük össze, a H hasáb építésekor pedig a égyzet alaplapjukkal- az ábra szerit. a) A H és H egyees hasábok felszíéek háyadosa AH = 08,. Háy égyzetes oszlopot haszáltuk az A H egyes hasábok építéséhez, ha H-et és H-t ugyaayi égyzetes oszlopból építettük fel? (8 pot) sorozat szigorú mooto csökkeő és korlátos! (8 pot) b) Igazolja, hogy a) Ha a jelöli a égyzetes oszlop alapéléek hosszát, és k darabból készítjük a hasábokat, akkor H felszíe: A = a + k a + k a = a k + ( pot) H ( ) H felszíe: A a 4 k a a ( 4k ) H H = + = + ( pot) AH Az 0,8 A = feltételből k + = 0,8 ( 4k + ) ( pot) Az egyelet megoldása k = 6

8 b) tehát 6-6 égyzetes oszlopot haszáltuk fel az építéshez a ( + ) ( ) = = a Sorozatok - megoldások + + = A feti háyados mide pozitív egész eseté -él kisebb a sorozat mide tagja pozitív ezért a sorozat szigorú mooto csökkeő Ebből következik, hogy a sorozat felülről korlátos Mivel a sorozat mide tagja pozitív, így alulról is korlátos tehát a sorozat korlátos Összese 6 pot 0) a) Egy derékszögű háromszög oldalhosszai egy számtai sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú. Számítsa ki a háromszög másik két oldaláak hosszát! ( pot) b) Egy háromszög oldalhosszai egy számtai sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú. Tudjuk, hogy a háromszög em szabályos. Igazolja, hogy a háromszögek ics 60 -os szöge! ( pot) a) Ha d a számtai sorozat differeciája, akkor a háromszög oldalhosszai 4 4 d 4+ d (és 0 d ) ( + ), A háromszög derékszögű, így 4 ( 4 d) ( 4 d) + + = + Négyzetre emelve, redezve: d + 8d 6 = 0 4 A gyökök d = 4 és d = 6 0 A egatív gyök em megoldás, a háromszög oldalai tehát 4,, egység hosszúak b) Idirekt módo bizoyítuk. Tegyük fel, hogy va 60 -os szöge a háromszögek. Mivel az oldalak párokét külöböző hosszúságúak, és a agyobb oldallal szembe agyobb szög va, ezért ha va 60 -os szöge, akkor az a 4 + d hosszúságú oldallal szembe va ( pot) Erre az oldalra felírva a kosziusztételt: ( d ) ( d ) ( d ) 4 + = cos 60 ( pot) Ebből 6 + 8d + d = 6 + 8d + 4d Ebből d = 0, tehát d = 0 Ez viszot elletmod aak, hogy a háromszög em szabályos ( pot) Az eredeti feltételezésük tehát hamis, azaz a háromszögek valóba ics 60 -os szöge. Összese 6 pot - 9 -

9 00-0XX Emelt szit ) Egy övekvő számtai sorozat első három tagjáak összege 60. Az első tagot 64-gyel övelve, a másik két tagot változatlaul hagyva, egy mértai sorozat első három tagjához jutuk. Meyi a két sorozat első három tagja? ( pot) Ha a számtai sorozat második tagja a és differeciája d, akkor a d + a + a + d = 60 ( pot) ahoa a = 0 A mértai sorozat első három tagja: 84 d; 0; 0 + d A mértai közép miatt ( d) ( d) = 400 ( pot) Redezve az egyeletet d 64d 80 = 0 ( pot) Ie d = 6 vagy d = 80 ( pot) d = 6 em megoldás, mert a számtai sorozat övekvő. d = 80 eseté a számtai sorozat első három tagja 60; 0; 00, ami valóba megoldás Ekkor a mértai sorozat 4; 0; 00 Összese: pot ) Péter agypapája mide évbe félretett émi pézösszeget egy perselybe uokája számára. 000 Ft-tal kezdte a takarékoskodást 996. jauár -jé. Ezutá mide év első apjá hozzátett az addig összegyűlt összeghez, mégpedig az előző évbe félretettél 000 Ft-tal többet jauár -jé a agypapa bele tette a perselybe a megfelelő összeget, majd úgy dötött, hogy a perselyt most uokájáak most adja át. a) Mekkora összeget kapott Péter? ( pot) b) Péter agypapája ajádékából vett éháy apróságot, de elhatározta, hogy a kapott összeg agyobb részét 00. jauár -jé bakszámlára teszi. Be is tett Ft-ot évi 4%-os kamatos kamatra (a kamatok mide évbe, év végé hozzáadódak a tőkéhez). Legalább háy évig kell Péterek vária, hogy a számlájá legalább Ft legye úgy, hogy közbe em fizet be erre a számlára? (9 pot) a) A agypapa kilec alkalommal tett pézt a perselybe. A Péter által kapott összeg egy olya számtai sorozat első kilec eleméek összege, amelyek első eleme 000, differeciája 000. ( pot) 9 A kérdéses összeg: ( 000 ( 9 ) 000 ) = Péter 8000 Ft-ot kapott ( pot) + t = 60000, t = t,04 = 60000,04, ahol ( pot) b) 0 0 A feltétel szerit 60000, ( pot) Osszuk midkét oldalt rel, majd vegyük midkét oldal 0-es alapú logaritmusát: lg,04 lg ( pot)

10 Sorozatok - megoldások lg Ie,04, ami azt jeleti, hogy 4 évet kell vária lg,04 Péterek ( pot) Összese: 4 pot ) A Robotvezérelt Elektromos Kisautók Nemzetközi Verseyé a verseyzők akkumulátorral hajtott modellekkel idulak. A magyar verseyautó az első órába 4 kilométert tesz meg. Az akkumulátor teljesítméyéek csökkeése miatt az autó a második órába kevesebb utat tesz meg, mit az első órába, a harmadik órába kevesebbet, mit a másodikba, és így tovább: az idulás utái -edik órába megtett útja -edik órába megtett útjáak ( és ). midig 9,%-a az a) Háy kilométert tesz meg a 0. órába a magyarok verseyautója? Válaszát egész kilométerre kerekítve adja meg! (4 pot) A verseye több kategóriába lehet iduli. Az egyik kategória verseyszabályai lehetővé teszik az akkumulátorcserét versey közbe is. A magyar csapat mérökei kiszámították, hogy abba az órába még em érdemes akkumulátort cseréli, amelyikbe az autó legalább 0 kmt megtesz. b) Az idulástól számítva legkorábba háyadik órába érdemes akkumulátort cseréli? (6 pot) A Végkimerülés kategóriába a résztvevők azo verseyezek, hogy akkumulátorcsere és feltöltés élkül mekkora utat tudak megtei az autók. A világrekordot egy japá csapat járműve tartja 00 km-rel. c) Képes-e megdötei a magyar verseyautó a világrekordot a Végkimerülés kategóriába? (6 pot) a) Egy óra alatt megtett úthosszak km-be mérve egy olya mértai soroz egymást követő tagjai, amelyek első tagja 4, háyadosa pedig 0,9 9 a0 = a q = 9,7 A magyar autó 0. órába megtett útja kb 0 km b) Addig em érdemes akkumulátort cseréli, amíg 4 0,9 0 teljesül és Mivel a tízes alapú logaritmus függvéy szigorú mooto ő, ezért 0 ( ) lg 0,9 lg 4 lg 0,9 0, ebből adódik, hogy 0 lg 4 + 8,6 lg 0,9 Legkorábba a 9. órába érdemes akkumulátort cseréli. c) Ha a versey kezdetétől eltelt egész órák száma, akkor eyi idő alatt a magyar autó által megtett út a mértai sorozat első tagjáak összege S ( ) 4 0,9 = 00 0,9-97 -

11 00-0XX Emelt szit 4) Megoldadó a ( ) 4 0,9 0,9 00 egyelőtleség Redezve a 0,9 0, egyelőtleséget kapjuk Eek icse megoldása Tehát a világrekordot em dötheti meg a magyar autó Összese: 6 pot a) Egy bak olya hitelkostrukciót ajál, amelybe api kamatlábat számolak úgy, hogy az adott hitelre megállapított éves kamatlábat 6-tel elosztják. Egy adott évbe a hitelfelvételt követőe mide apra kiszámolják a api kamat értékét, majd ezeket december - é összeadják, és csak ekkor tőkésítik (azaz a felvett hitel értékéhez adják). Ez a bak egy adott évbe évi 8%-os kamatlábat állapított meg. Éva abba az évbe a március -jé felvett Ft utá október -jé újabb Ft hitelt vett fel. A két kölcsö felvétele utá meyi kamatot tőkésít a bak december -é? (A hitelfelvétel apjá és az év utolsó apjá is számítaak api kamatot.) ( pot) b) Ádám is vett fel hiteleket ettől a baktól évi 8%-os kamatos kamatra. Az egyik év jauár -jé éppe Ft tartozása volt. Több hitelt em vett fel, és attól kezdve 0 éve keresztül mide év végé befizette az azoos összegű törlesztőrészletet. (A törlesztőrészlet összegét a bak már az éves kamattal megövelt tartozásból voja le.) Mekkora volt ez a törlesztőrészlet, ha Ádám a 0 befizetés utá teljese visszafizette a felvett hitelt? Válaszát ezer foritra kerekítve adja meg! (9 pot) a) A március -jé felvett hitel 6 8 = 06 apig, Az október -jé felvett hitel pedig = 9 apig kamatozik 8 A api kamatláb % 6 8 Az első hitel kamata Ft A második hitel kamata pedig Ft 6 00 Összese 490 Ft kamatot tőkésít a bak december -é b) Ha x Ft volt az évi törlesztőrészlet, akkor (( ) ) ,08 x,08 x...,08 x = 0 ( pot) Redezve 0 x ( 9 8 ) ,08,08 +, = 0 ( pot) A zárójelbe egy mértai sorozat első 0 tagjáak összege va 0,08 S0 = 4,487, ,08 Az egyeletből x = S0 x 490 Tehát ezresekre kerekítve az éves törlesztőrészlet Összese: 4 pot

12 Sorozatok - megoldások ) Egy méter oldalú égyzetbe egy második égyzetet rajzoltuk úgy, hogy a belsőégyzet mide csúcsa illeszkedje a külső égyzet egy-egy oldalára. A belső és a külső égyzet oldalaiak aráya :7. a) Milye aráyba osztja két részre a belső égyzet csúcsa a külső égyzet oldalát? Az aráy potos értékét adja meg! (0 pot) A belső égyzetbe egy újabb, harmadik égyzetet rajzoluk úgy, hogy a harmadik és a második égyzet oldalaiak aráya is :7. Ezt az eljárást aztá godolatba végtele sokszor megismételjük. b) Mekkora lesz a kapott égyzetek kerületeiek az összege, ha a kiidulási égyzet kerülete is tagja a (végtele sok tagú) összegek? (6 pot) a) Jó ábra felrajzolása A belső égyzet oldala /7 méter A belső égyzet a külső égyzet oldalait x és x-re botja A felosztás mid a 4 oldalo ismétlődik Pitagorasz-tétel szerit x + ( x) = 7 4 Ahoa x x + = Eek megoldásai x = x = 7 7 ( pot) 4 Ahoa x = x = 7 7 A belső égyzet a külső égyzet oldalait :4 aráyba osztja b) Jó ábra felrajzolása K = 4, K = 4 7 mide további égyzet /7 szerese a megelőzőek A égyzetek kerületéek összege egy végtele mértai sor összege, melyek háyadosa q = 7 Mivel q ezért a sor koverges A végtele mértai sor összege: S = K + K +... = K q = 4 4 = 7 Tehát a égyzetek kerületéek összege 4 méter. Összese: 6 pot

13 00-0XX Emelt szit 6) Az ABCDEF szabályos hatszögbe a rövidebb átló hossza. a) Számolja ki a hatszög területéek potos értékét! (6 pot) b) Az ABCDEF hatszög oldalfelező potjai által meghatározott szabályos hatszög területét jelölje t, a t területű hatszög oldalfelező potjai által meghatározott szabályos hatszög területét t, és így tovább, képezve ezzel a t sorozatot. Számítsa ki a ( t + t + + t ) határértékét! (Potos értékkel számoljo!) lim... (0 pot) a) Ha a hatszög oldaláak hossza a, a rövidebb átló az a oldalú szabályos háromszög magasságáak kétszerese, így a =, 6 ahoa a = =. A szabályos hatszög területe 6 darab a oldalú szabályos háromszög területéek összege, a így T = 6 = ( pot) 4 b) A t területű szabályos hatszög oldala az ABC háromszög AC oldalához (mely az eredeti hatszög rövidebb átlója) tartozó középvoala, hossza a =, a 7 t = 6 = 4 4 A következő szabályos hatszög t területét megkaphatjuk például úgy, hogy a t területű hatszög szomszédos oldalfelező potjait összekötő szakaszok által a hatszögből levágott háromszögek területéek összegét levojuk t -ből. t a si0 = t 7 6 = =. 6 6 ( pot) t sorozat mértai sorozat, A t amelyek háyadosa q = =. t 4 A kérdéses határérték aak a mértai sorak az összege, amelyek első 7 tagja t =, háyadosa pedig q =. 4 4 t Így lim ( t + t t ) = = q 7 =. Összese: 6 pot

14 - 0 - Sorozatok - megoldások 7) Kiga 0. születésapja óta kap havi zsebpézt a szüleitől. Az első összeget a 0. születésapjá adták a szülők, és mide hóapba 0 Fttal többet adak, mit az azt megelőző hóapba. Egy bizoyos hóapba, amikor éppe 80 Ft volt a havi zsebpéze, összeadta az addig kapott összes zsebpézét. Az összeg 00 Ft lett. Meyi volt Kiga iduló zsebpéze, és háy hóap telt el a 0. születésapja óta? ( pot) A havi zsebpézek értékei egy számtai sorozat tagja ahol d = 0, a = 80, S = 00 ( ) 80 = a + 0 azaz a = a + a S = 00 = = ( pot) 7000 = 70 0 redezve: = 0 ( pot) Megoldva: = 6 vagy 9 = 9 em megoldás mert akkor a egatív Ha = 6, akkor a = = 00 Kiga iduló zsebpéze 00 Ft volt, és a 0. születésapja óta hóap telt el. Összese: pot 8) Egy dolgozó az év végi prémiumkét kapott Ft-ját akarja kamatoztati a következő yárig, hat hóapo át. Két kedvező ajálatot kapott. Vagy kéthavi lekötést választ kéthavi,7%-os kamatra, kéthavokéti tőkésítés mellett, vagy foritot átváltja euróra, és az összeget havi 0,%-os kamattal köti le hat hóapra, havi tőkésítés mellett. a) Meyi péze lee hat hóap utá a foritszámlá az első esetbe? (Az eredméyt Ft-ra kerekítve adja meg!) ( pot) b) Ha ekkor éppe foritot ért egy euró, akkor háy eurót vehete fel hat hóap múlva a második ajálat választása eseté? (Az eredméyt két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (4 pot) c) Legalább háy százalékkal kellee változia a forit/euró árfolyamak a félév alatt, hogy a második választás legye kedvezőbb? (Az eredméyt két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) ( pot) a) Kéthavota,7 %-kal lesz több péze, ami három ciklusba,07 -es szorzót jelet. ( pot) Hat hóap utá tehát a péze ,07 =087 Ft lee. b) A megadott árfolyamo foritért = 968, eurót kap. Ez az összeg hat hóap alatt, havi tőkésítés mellett hatszor kamatozik, tehát 6,00 -szorosára övekszik. ( pot) Hat hóap múlva 6 968,,00 408, eurója lee.

15 00-0XX Emelt szit c) Legye euró a yáro x Ft. Ha jobba jár, az azt jeleti, hogy 408, x 087 ( pot) amiből x 6, Ebből az árfolyamaráy 6, =,06, tehát legalább kb.,6%-kal kellee őie a forit/euró árfolyamak. ( pot) Összese: pot 9) Adrás edzőtáborba készül egy úszóverseyre, 0 apo át. Azt tervezte, apota 0000 métert úszik. De az első apo a tervezettél 0%-kal többet, a második apo pedig az előző apiál 0%-kal kevesebbet teljesített. A. apo ismét 0%-kal övelte előző api adagját, a 4. apo 0%-kal kevesebbet edzett, mit az előző apo és így folytatta, páratla sorszámú apo 0%-kal többet, pároso 0%-kal kevesebbet teljesített, mit a megelőző apo. a) Háy métert úszott le Adrás a 6. apo? (4 pot) b) Háy métert úszott le összese a 0 ap alatt? (6 pot) c) Az edzőtáborozás 0 apjából véletleszerűe kiválasztuk két szomszédos apot. Mekkora a valószíűsége, hogy Adrás e két apo együttese legalább 0000 métert teljesített? (6 pot) a) Jelölje a az -edik apo leúszott hosszat, méterbe mérve. a = 0000, = 000 a a a = a 0,9 = 0000, 0,9 = 9900 = a = = 4, 0000, 0, = a = = 0,9 0000, 0,9 980 a = a4, = 0000, 0,9 078 a4 = a 0,9 = 0000, 0,9 970 A hatodik apo tehát kb. 970 métert úszott b) A páratla és páros sorszámú apoko leúszott hosszak is egy-egy mértai sorozat első 0 tagját alkotják. A páratla sorszámúakak az elő tagja 000, háyadosa 0,99, a páros sorszámúak első tagja 9900, háyadosa 0,99. A páratla sorszámú apoko: S = a + a a 9 = , ,99 = ptl 9 0 0,99 = ,7 0,99 A páros sorszámú apoko: 9 S = a + a a = , ,99 = ps ,99 = ,7 0,99 Az első húsz apo kb métert úszott összese - 0 -

16 - 0 - Sorozatok - megoldások c) Az edzések 0 apja közül két szomszédos ap 9-féleképpe választható ki Ha két szomszédos ap sorá összességébe em teljesül a tervezett 0000 méter, később se fog, mert az összteljesítméy csökke apok száma () apota leúszott táv a méterbe kétapi össztáv ( b = a + a + ) a táblázat ( pot) kedvező esetek száma 9 9 A keresett valószíűség P = 0,474 9 Összese: 6 pot 0) Egy övekvő számtai sorozat első három tagjából álló adathalmaz szóráségyzete 6. a) Igazolja, hogy a sorozat differeciája -mal egyelő! (4 pot) Adrás, Barbara, Cili, Dezső és Edit rokook. Cili évvel idősebb Barbaráál, Dezső 6 évvel fiatalabb Barbaráál, Edit pedig 9 évvel idősebb Ciliél. Dezső, Barbara és Edit életkora (ebbe a sorredbe) egy mértai sorozat három egymást követő tagja, Adrás, Barbara és Cili életkora (ebbe a sorredbe) egy számtai sorozat három szomszédos tagja. b) Háy éves Adrás? (6 pot) Adrás, Barbara, Cili, Dezső, Edit és Feri moziba meek. c) Háyféleképpe foglalhatak helyet hat egymás melletti széke úgy, hogy a három láy e három egymás melletti széke üljö? (6 pot) a) Ha a sorozat második tagját a-ek jelöljük, akkor az első három tag átlaga is a. Ha a számtai sorozat differeciáját d-ek jelöljük, akkor a szóráségyzet: ( a d a ) ( a + d a ) = 6. Ie adódik, hogy d = 9, azaz, mivel a sorozatuk övekedő d =. Ezzel az állítást beláttuk. b) Ha Barbara x éves, akkor Cili x + éves, és így Dezső, Barbara és Edit életkora redre x 6, x, illetve x + év. Mivel ez a három szám egy mértai sorozat három szomszédos tagja, ezért: x 6 x + = x. A zárójeleket felbotva:

17 00-0XX Emelt szit x + 6x 7 = x, ahoa x =. Elleőrzés: Dezső, Barbara és Edit életkora 6,, illetve 4 év, ez a három szám pedig valóba egy mértai sorozat három szomszédos tagja. Adrás tehát 9 éves. c) Komplemeter eseméyt felhaszálva: em felelek meg azok az esetek, amelyekbe a három láy három egymás melletti széke ül. A három egymás melletti széket égyféleképpe lehet kiválasztai a hat közül. A három egymás melletti széke!, azaz hatféleképpe foglalhat helyet a három láy, a megmaradt három helye szité hatféleképpe foglalhat helyet a három fiú. A em megfelelő elhelyezkedések száma tehát: = 44. Hata a hat egymás melletti székre 6!, azaz 70-féleképpe ülhetéek le. A megfelelő elhelyezkedések száma tehát: =76. Összese: 6 pot ) Állítsuk a pozitív egész számokat övekvő sorredbe, majd botsuk redre -gyel övekvő elemszámú csoportokra, az alábbi módo kezdve:, ;, 4;;6, 7;8; 9;0,... a) A 00-adik csoportak melyik szám az első eleme? ( pot) b) Az 8 háyadik csoport háyadik eleme? (9 pot) a) A csoportokba lévő számok számát megadó sorozat: ;;;4;...; ;... A 99-edik csoportba lévő utolsó szám: ( pot) amely = 490 ( pot) Tehát a 00. csoport első eleme 49 b) Ha az 8 az +-edik csoportba va, akkor + + ( + ) 8 ( + ), ahol pozitív egész ( pot) Tehát azt a pozitív egész -t keressük, amelyre és Az első egyelőtleség pozitív egész megoldásai a 60-ál em agyobb pozitív egész számok A második egyelőtleség pozitív megoldásai a 60-ál em kisebb pozitív egész számok Az egyeletredszerek egyetle egész megoldása va, a 60 A 60-adik csoport utolsó eleme = 80 A 6. csoport első eleme 8. Mivel eek a csoportak 6 eleme va, így eek eleme az 8 is, mégpedig a -edik eleme. Tehát az 8 a 6. csoport. eleme. Összese: 4 pot

18 - 0 - Sorozatok - megoldások ) Éva egy 7 7-es táblázat bal felső mezőjétől kezdve, balról jobbra haladva, sorról sorra beírta egy számtai sorozat első 49 tagját úgy, hogy a tagok sorredjét em változtatta meg. (A sorozat. tagja a bal felső sarokba került, a 8. tag a második sor első mezőjébe, a 49. tag pedig a jobb alsó sarokba áll.) a) Meyi a táblázatba írt 49 szám összege, ha Éva a harmadik sor harmadik mezőjébe 9-et, az ötödik sor ötödik mezőjébe pedig a -et írta? ( pot) Péter a táblázat mide sorából kiválasztja a számtai sorozat egy-egy tagját úgy, hogy a hét kiválasztott szám közül semelyik kettő e legye egy oszlopba. b) Igazolja, hogy akárhogya is választja ki Péter így a számokat, a hét szám összege mide esetbe ugyaayi lesz! (6 pot) c) Határozza meg aak a valószíűségét, hogy a 9 és a is a Péter által kiválasztott számok között lesz! ( pot) a) a 7 = 9 és a = Ebből d =, majd a = S49 = = = 499 b) Adjuk össze a sorozat főátlóba álló tagjait! (Ezek összege 7.) Ha a táblázat két kiválasztott sorába felcseréljük, hogy melyik sorba melyik oszlopból választottuk ki a sorozat tagját, akkor (ha az éritett oszlop sorszáma között k a külöbség) az egyik oszlopba kd -vel ő, a másik oszlopba kd -vel csökke a kiválasztott tag értéke. ( pot) Tehát a sorozat hét kiválasztott tagjáak összege a két tag cseréje utá ugyaayi marad, mit ameyi a csere előtt volt. Mivel a sorozat főátlóba álló tagjaiból kiidulva, két-két tag cserélgetésével bármelyik kiválasztott számheteshez eljuthatuk, a tagok összege bármely hét tag (leírtak szeriti) kiválasztása eseté ugyaayi (7). c) Péter összese 7! = 040 -féleképpe választhat ki a táblázatból számokat a megadott szabály szerit. Ha a 9 és a is a kiválasztott számok közt va, akkor az első sorból - féleképpe választhat, ezutá a másodikból 4-féleképpe, a egyedikből - féleképpe, a hatodikból -féleképpe, a hetedikből pedig-féleképpe. Ez! = 0 lehetőség. A kérdéses valószíűség így ,04 Összese: 6 pot

19 00-0XX Emelt szit ) Egy pézitézet a tőle felvett H forit összegű hitel visszafizetésekor havi % p 0, ezért az adós havi p -os kamattal számol q ( q ) törlesztőrészletét a t = H képlettel számítja ki (mide q p hóapba ekkora összeget kell visszafizeti). A képletbe q = +, az 00 pedig azt jeleti, hogy összese háy hóapig fizetjük a törlesztőrészletet (ez a hitel futamideje). a) Fogyasztási cikkek vásárlására,6 millió forit hitelt vettük fel a pézitézettől; a havi kamat %. Összese háy foritot fizetük vissza, ha 7 hóap alatt törlesztjük a felvett hitelt? Válaszát ezer foritra kerekítve adja meg! (4 pot) b) Legkevesebb háy hóapos futamidőre vehetük fel egy millió foritos hitelt, ha legfeljebb 60 ezer foritot tuduk havota törlesztei, és a havi kamat %-os? (8 pot) c) Számítsa ki a lim t határértékét, ha q =, 0 és H = a) A havi törlesztés összege (Ft-ba): 7 6,0 0,0 7 7 (4 pot) t =, ( pot),0 A 7 hóap alatt összese 7 t7 086 foritot fizetük vissza, ami ezer foritra kerekítve Ft. b) Azt a legkisebb pozitív egész számot keressük, amelyre 6,0 0, ( pot),0 Mivel,0 0, ezért 0,0,0 0,0 (,0 ).,0 Az,0 alapú logaritmusfüggvéy szigorúa mooto övekedő. ezért log,0. lg A logaritmus azoosságát haszálva:,48 lg,0 Tehát a törlesztőrészletek száma legalább 6 azaz legalább 6 hóapos futamidőt kell választauk. q,0 t = H q = q,0 c) A megadott számokkal Egyszerűsítés utá: t = 40000,0 Mivel lim = lim 0,0 =,0,

20 ezért Sorozatok - megoldások limt = = Összese: 6 pot 4) Egy olajkút meghibásodása miatt a teger felületé összefüggő olajfolt keletkezett. A szakemberek műholdak segítségével percekét megmérték a folyamatosa övekvő olajfolt területét, és úgy tapasztalták, hogy az mide alkalommal %-kal agyobb, mit az előző érték volt. a) Ha az első megfigyeléskor 400 m volt az olajfolt kiterjedése, akkor mekkora lesz a területe egy ap múlva? (4 pot) A sérült olajkutat végül sikerült elzári, így az olajfolt területéek övekedése megállt. Ekkor kezdték meg az olajszeyezés eltávolítását. A köryezetvédelmi hatóság a 400 m területű olajfolt megszütetésére apos határidőt szabott meg. Az első apo még csak 0 m -ről sikerült eltávolítai az olajfoltot (így a területe 70 m lett), de a teljesítméyt öveli tudták: az egy ap alatt megtisztított terület mérete mide ap ugyaakkora értékkel őtt. b) Mekkora ez a api övekedés, ha potosa az előírt határidőre sikerült a 400 m -es olajfolt teljes eltávolítása? (6 pot) a) Órákét 4, egy ap alatt tehát ( 4 4 = ) 96 alkalommal törtéik meg a %- os övekedés. Az olajfolt területe perc alatt,0-szorosára ő, tehát egy ap múlva 400, m lett. b) A apota eltávolított olajfoltterületek (m -be mérve) egy olya számtai sorozat szomszédos tagjai, amelyek első tagja 0, az első tagjáak összege pedig 400 ( pot) A api övekedés legye d (m ). Ekkor szórása ( + 0 d ) = 400. Ebből d = 8 (m ). A api övekedés tehát 8 m volt. Elleőrzés Összese 0 pot ) a) Egy számtai sorozat differeciája,6. A sorozat első, harmadik és hetedik tagját (az adott sorredbe) tekithetjük egy mértai sorozat első három tagjáak is. Határozza meg ezt a három számot! (6 pot) Tekitsük a következő állítást: Ha az a számsorozat koverges, akkor az a sorozat értékkészlete véges számhalmaz. (Véges halmaz: elemeiek száma megadható egy természetes számmal.) b) Dötse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát idokolja! ( pot) c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását, és dötse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát idokolja! (4 pot)

21 00-0XX Emelt szit a) Ha a számtai sorozat első tagja a, akkor a. tagja a +,. A 7. tag a + 9,6. A mértai sorozat tulajdosága miatt ( + ) = ( + ) a, a a 9,6. a + 6,4a + 0,4 = a + 9,6a,a = 0,4 a =, A három szám:,; 6,4;,8. Elleőrzés b) Az állítás hamis. Például az számsorozat (pot) koverges, az értékkészlete azoba végtele szám-halmaz. c) Megfordítás: Ha az a számsorozat értékkészlete véges számhalmaz, akkor az a sorozat koverges. A megfordított állítás hamis. Például a ( ) sorozat értékkészlete véges ;, de a sorozat em koverges. Összese pot