MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A"

Átírás

1 MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE

2 A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetecia alapú képzés és oktatás feladataira) keretébe készült. Szakmai vezetők Pála Károly szakmai igazgató Puskás Aurél fejlesztési igazgatóhelyettes Rápli Györgyi, a programfejlesztési közpot vezetője Matematika szakmai vezető Oláh Vera Szakmai taácsadók Csatár Katali, Árváé Doba Mária Szakmai lektor Urbá Jáos Alkotószerkesztő Oláh Judit Felelős szerkesztő Teszár Edit Educatio Társadalmi Szolgáltató Közhaszú Társaság A kiadváy igyees, kizárólag zárt körbe, az NFT HEFOP 3.-es és..-es itézkedés pályázati kompoesébe yertes itézméyek körébe haszálható fel. Kereskedelmi forgalomba em kerülhet. Másolása, terjesztése szigorúa tilos! Kiadja az Educatio Társadalmi Szolgáltató Közhaszú Társaság 34 Budapest, Váci út 37. A kiadásért felel: Kerekes Gábor ügyvezető igazgató Nyomdai mukák: Pátria Nyomda Zrt.

3 tartalom. modul: Sorozatok (Lövey Éva) modul: Gazdasági matematika (Lövey Éva) modul: Síkidomok kerülete, területe (Lövey Éva) modul: Poliéderek felszíe, térfogata (Vidra Gábor) modul: Térfogat és felszíszámítás (Vidra Gábor) modul: Statisztika és valószíűség (Lövey Éva) Mellékletek... 8 A köyvbe kidolgozott MINTAPÉLDÁK segíteek a taayag megértésébe. A FELADATOK szitjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszitű feladatok: középszitű feladatok: emelt szitű feladatok: Ahol ics ilye jelzés, azt a példát midekiek ajáljuk.

4

5 . MODUL sorozatok Készítette: Lövey Éva

6

7 . modul: SOROZATOK 7 I. Sorozatok fogalma és megadása Logikai feladváyokba gyakra szerepelek olya kérdések, mi lee egy megkezdett számsor vagy ábrasor 00. tagja. Ilyekor bizoyos törvéyszerűséget kell felfedezi az első éháy tag alapjá. Hasoló témával már az általáos iskolába is foglalkoztatok, sőt már taultatok sorozatokról. Idézzük fel ezt! Keressük a felsorolt elemek tulajdoságai között szabályszerűséget, és aak megfelelőe folytassuk még 5 taggal! I II. III. IV. C D E F G V. Bizoyára midekiek támadt ötlete, hogya lehete ezeket az elemeket folytati. Matematikailag ezek egyikét sem lehet sorozatak evezi, ugyais ha ezek jól megadott valódi sorozatok leéek, csak egyféleképpe lehete folytati őket. Ezeket viszot többféleképpe is lehet: és ettől kezdve mide tag 3-mal agyobb az előzőél, vagy és ettől kezdve mide tag 0. és ettől kezdve midig az első égy tag ismétlőde, vagy és ettől kezdve mide tag zöld kör.

8 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE és ettől kezdve midig ebbe az aráyba őéek a babák. Vagy akár folytatódhata így is: majd ismét övekedek, és újabb 5 baba utá megit csökke a méretük. A következő 5 betűbe felfedezhetjük a zeei hagok sorát, amit akár folytathatuk így is: C D E F G A H C D E és így folytatva ez a hét betű ismétlődik a végteleségig, vagy felfoghatjuk az öt leírt agybetű egy lehetséges permutációjáak, melyet követhet a többi 9 permutáció, majd vége a sorozatak. C D E F G C D E G F A égyzeteket is folytathaták több módo, a legkézefekvőbb, hogy a égyzet oldalai midig egy egységgel őek: de az is elképzelhető, hogy ettől kezdve csupa egységégyzettel folytatódak: Az I V. feladatokál többféleképpe is folytathattuk a hiáyzó elemek keresését, ezért kell potosítauk a sorozat fogalmát:

9 . modul: SOROZATOK 9 egy sorozatot csak akkor tekitük megadottak, ha elemei egyértelműe meghatározottak. Ilye esetekbe meg tudjuk azt is modai, hogy mi lesz a sorozat 5., 00., 000., -edik tagja. Azt is modhatjuk, hogy mide pozitív egész számhoz egyértelműe hozzáredelük valamit. Valójába tehát függvéyről va szó, ami két halmaz közti egyértelmű hozzáredelés. Sorozat eseté a függvéy értelmezési tartomáya: a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete pedig: a sorozat tagjai. Amit úgy íruk a függvéyekél, hogy x a f ( x), azt most pl. a II. sorozatál úgy tekitjük, hogy Például a II. sorozat esetébe ezt így írjuk: a, a, a 3, a 4, a 5,. Összefoglalva tehát: Sorozatak evezük egy olya függvéyt, melyek értelmezési tartomáya a pozitív egész számok halmaza, értékkészletéek elemei pedig a sorozat tagjai. A sorozat -edik tagját általába a jelöli. Mitapélda Adjuk meg a következő sorozatok első öt, illetve 00. tagját, és vizsgáljuk meg, hogy a megadott szám beletartozik-e a sorozatba! I. a + 5, a 007, II. b 6, b 770, III. 5 c, + 3 c 0, IV. d a tört tízedestört alakjáak tizedesvessző utái -edik számjegye, 7 d 6. Megoldás: I. ha, a + 5 6; ha, a + 5 7; ha 3, a ; ha 4, a ; ha 5, a ; ha 00, a

10 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Nézzük meg, va-e olya pozitív egész szám, amelyre a ? 00 eseté a 007, azaz 007 eek a sorozatak a 00. tagja. 00 II. ha, b 6 6; ha, b 6 ; ha 3, b ; ha 4, b ; ha 5, b ; ha 00, b Oldjuk meg a egyeletet! 385, ami em pozitív egész szám, tehát 3 ics olya, hogy b 770 legye, a 770 em tagja a sorozatak. 5 5 III. ha, c ; ha, c ; ha 3, c3 ; ha 4, c4 ; ha 5, c5 ; ha 00, c Az 0 egyelet megoldása 4, ami egész ugya, de em pozitív, így a sem tagja a sorozatak. IV. Írjuk fel a törtet tizedestört alakba, azaz végezzük el a : 7 osztást! 7 : 7 0, mit a 4. tag, mivel , így d 7. Látható, hogy amit újra megjeleik a mit maradék, a háyadosba szereplő számjegyek ismétlődi fogak, ismét, 8, 5, 7,, 4, majd ismét ez a 6 hosszúságú szakasz következik. Így d, d 8, d 5, d 7, d A századik tag kiszámításához em kell az előtte levő 99 tagot felíri, elég, ha észrevesszük, hogy mide 6. tag azoos, és a 00. tag ezek szerit ugyaayi lesz, 00 Mivel az osztás eredméyébe csak az,, 4, 5, 7, 8 számjegyek ismétlődek, így a 6 em tagja a sorozatak.

11 . modul: SOROZATOK Mitapélda Adjuk meg a következő sorozatok első öt, illetve 00. elemét ( )! V. e, e e VI. f, f, f f + f Fiboacci-sorozat Megoldás: Eél a két sorozatál az egyes elemeket az őt megelőző elemek segítségével kell meghatározi. V. A sorozat mide eleme -vel kevesebb az őt megelőző elemél. e e e 4 e3 e 4 6 e e 6 8 e e A 00. tag kiszámításához a képlet utasítása szerit ismerük kellee az előtte levő tagot, az a99 -et. Ha em ügyeskedük, ez hosszú számolást igéyel. Ha egy sorozat tagjait úgy adjuk meg, hogy az -edik tag meghatározásához szükség va a sorozat előző tagjaira is, akkor a sorozatot rekurzív defiícióval adtuk meg. Példákba észrevehetjük, hogy a egatív páros számok csökkeő sorozatához jutuk, a sorozat -edik tagja ( ) e. Tehát e VI. Ez a sorozat a leghíresebb rekurzív sorozat, melyet Leoardo Pisao fedezett fel. Leoardo Pisao (70 50?), azaz FIBONACCI Itáliai matematikus; a középkor legagyobb európai matematikusa. BONACCIO pisai kereskedő fia, ie a Fiboacci (Boaccio fia) év. Egy észak-afrikai városba őtt fel, majd kereskedelmi utazásokat tett Egyiptomba, Szíriába, Görögországba és Szicíliába. Röviddel hazatérte utá publikálta híres Liber Abaci című művét. A köyv agymértékbe elősegítette az arab algebra és a hidu-arab számírás elterjedését Európába. Nevét őrzi a Fiboaccisorozat.

12 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A sorozat tagjai közül megadtuk az első két tag értékét, és mide további tagot az őt megelőző két tag összegekét számolhatuk ki. f, f, f 3 f + f +, f 4 f + f 3 + 3, f f + f A sorozat 00. tagját most hiába töpregük csak az előző 99 tag ismeretébe tudjuk meghatározi. Eek a tagak közelítő értéke: Mitapélda 3 Megadtuk a következő sorozatokat: a) ; 0; 003; 0 004; ; b) 3; 6; ; 8; 7; f , 54 0 Keress képletet vagy rekurzív defiíciót, amellyel meghatározható a sorozat -edik tagja! Add meg a sorozat 30. tagját is! Megoldás: a) a 0 + a , ahol az -es és a 3-as között 8 darab 0 va. b) Az egymást követő számok külöbsége a páratla számok részsorozata, tehát b b +, b b + 5, b b + 7, b b 9, általáosa: b , b b + ( ). Ha valaki ezt a rekurzív defiíciót követve akarja 3 megadi a 30. tagot, aak ki kell számolia a sorozat összes előbbi tagját is. Észrevehetjük azoba, hogy b +, b +, b 3,..., azaz általáosa: +. Ezzel az 3 + összefüggéssel köyedé kiszámítható a sorozat 30. tagja is: b b 30 Az utóbbi megadással azt kapjuk, hogy a két egymást követő tag külöbsége midig a páratla számok övekvő sorozata: ( ) ( ) + + ( ) ( + ) + + ( ) + b b +. Láttuk, hogy sorozatokat többféle módo is megadhatuk: képlettel, utasítással vagy rekurzív defiícióval (azaz visszavezető lépésekkel).

13 . modul: SOROZATOK 3 Feladatok. Add meg az alábbi sorozatok első 0 elemét: a) a 5 4, ( N + ); b) a 7-re végződő pozitív egész számok övekvő sorozata; c) P( ; ) c ahol P a derékszögű koordiáta-redszer egy potja;, (,, 3,..., 0) d) d ; e) a prímszámok övekvő sorozata; f) origó középpotú egység sugarú kör, ( N + ); g) g ( ), ( N + ); h) h, h 8, h h h, ( 3 egész szám). 7. Válaszd ki azokat a sorozatokat, amelyekek tagjai között a következő számok valamelyike megtalálható: 7, a e ; ; b e + ; e ; c + 5 ; f, d f f 3 ; Adj meg egy képletet vagy rekurzív defiíciót, amellyel ki lehet számítai a sorozat - edik tagját! Add meg a sorozat 0. tagját is! a) 3; 6; 9; ; 5; b) ; ; 3; 5; 7; c) 6; 3;,5; 0,75; d) ; 4; 9; 6; 5; e) 00; ; 44; 69; 5; 3 4 f) ; ; ; ;

14 4 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Jelöljük a sorozat első eleméek összegét S -el. Például S a S a + a, S a + a +,..., 3 a3 Mit ad meg S 4 S3, S6 S5, illetve általába az S S külöbség? Add meg a sorozat első 5 elemét, ha a) S 5 ; b) S ; c) 3 S.

15 . modul: SOROZATOK 5 II. Sorozatok grafikoja, tulajdoságai Tudjuk, hogy a sorozatok olya speciális függvéyek, melyek értelmezési tartomáya a pozitív egész számok halmaza. A függvéyek tulajdoságaival sokat foglalkoztuk. Eze tulajdoságok közül éháy a sorozatokál is érdekes lehet. Mitapélda 4 Tekitsük a következő sorozatokat, és írjuk fel éháy elemüket! ( ) a. a ; a ; a ; a ; 3 4 b π si. 3 π 3 b si ; 3 π 3 b si ; b 3 siπ 0 3 b 4π si b 5π si b si π 6 0 b 7π π si si b c a tört tizedestört-alakjáak -edik számjegye a tizedesvessző utá ,50 & & 0, , tehát c 5 ; c ; c 4 5 c ; c 5 c ; c 6 0 c3. v a v(;3) helyvektor elforgatottja az origó körül o 90 -kal. v ( 3;); v ( ; 3); v 3 (3; ); v 4 (;3), és ie újra ismétlődek a vektorok. A tárgyalt sorozatok közös tulajdosága, hogy tagjaik periodikusa ismétlődek. Az a sorozat periódusa p, azaz a a A +. b sorozat periódusa p 6, azaz b b +6.

16 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE c sorozat periódusa p 3, azaz c c A +3. A v sorozat periódusa p 4, azaz v +4 v. Periodikusak evezzük azt a sorozatot, amelyhez va olya p pozitív egész szám, hogy a sorozat bármely -edik elemére a a + p. Mitapélda 5 Állapítsuk meg a következő sorozatok periódusát: a) a húrtrapéz +90 -os elforgatásai az átlók metszéspotja körül. b) b az pozitív egész szám 5-tel való osztási maradékai. c) c az 3 szám utolsó számjegye. o o d) si( 30 ) cos( 30 ) Megoldás: d. a) 4 külöböző helyzet lehetséges, így a a +4. b) Írjuk fel a sorozat első éháy elemét: b b b 3 b 4 b 0 b A sorozat elemei ettől kezdve ismétlődek, tehát a periódus 5, azaz b +5 b. Azt kell belátuk, hogy + 5 ugyaayi maradékot ad 5-tel osztva, mit az. Ez akkor következik be, ha a két szám külöbsége osztható 5-tel. És valóba: ( + 5 ) 5 c) Írjuk fel a sorozat első éháy elemét:. c c 8 c 7 c 4 c 5 c 6 c 3 c c 9 c 0 c Sejtésük szerit az ismétlődés most már bekövetkezik. Sejtésüket igazoljuk is, azaz megmutatjuk, hogy a sorozat periódusa 0, azaz mide eseté c +0 c. Két szám utolsó számjegye akkor és csak akkor egyelő, ha a két szám külöbsége 0- ra végződik, azaz a két szám külöbsége osztható 0-zel. Vizsgáljuk meg azt a két számot, melyekek utolsó számjegye adja a sorozat megfelelő tagjait: 3 3 ( + 0) valamit A két szám külöbsége: ( + 0) ( ) osztható 0-zel, tehát a két szám utolsó számjegye megegyezik, a periódus 0.

17 . modul: SOROZATOK 7 d) Abba biztosak lehetük, hogy a p jó periódus lee, hisze a sorozat mide. tagjába olya szögek szerepelek, melyekek midkét szögfüggvéye azoos, hisze a szögek eltérése 360º. De va-e vajo eél kisebb lehetséges periódus? Írjuk fel a sorozat első éháy elemét: o o o o d si30 cos30 0,8660, d si 60 cos60 0, Itt juthaták arra az elhamarkodott következtetésre, hogy a sorozat periódusa, azaz d + d, átredezve d + d 0, de ez csak bizoyos -ekre lee igaz. Ha a sorozat éháy további tagját felírjuk: o o o o d si 90 cos 90 0 d si0 cos0 0, o o o o d si50 cos50 0,8660 d si80 cos o o d si 0 cos 0 0,8660, tehát d d A továbbiakba csak számsorozatokat (rövide: sorozatokat) tekitük, azaz olya függvéyeket, melyekek értelmezési tartomáya a pozitív egész számok halmaza, értékkészletük pedig a valós számok egy részhalmaza. E függvéyek grafikojai tehát midig potsorozatok. A most következő sorozat-tulajdoságokat csak számsorozatokra értelmezzük. Az alábbi R + R függvéyekről tudjuk, hogy szigorúa mooto övekedők: f ( x) x g ( x) x 3 h ( x) x

18 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Ha leszűkítjük az értelmezési tartomáyukat a pozitív egész számokra, akkor a Z + R függvéyek által megadott sorozat tagjai is övekedek (piros potok): f, g 3, h. Egy sorozat mooto ő, ha mide tagja legalább akkora, mit az előző tag: a a. Hasolóképp defiiálhatjuk a mooto csökkeő sorozatokat is: Egy sorozat mooto csökke, ha mide tagja legfeljebb akkora, mit az előző tag: a a. Mitapélda 6 Válaszd ki az alábbi sorozatokból a mooto csökkeőket és a mooto övekedőket ( N + )! Sejtésedet bizoyítsd! a) a ; b) b 0, b b + 3; c) c 0, c c 4 ; d) d 0, d d ( ).. Megoldás: Először számítsuk ki a sorozat éháy tagját, hogy megsejtsük, mooto sorozatok-e. melyik sorozat a b c d Az a sorozat tagjai egyre közelebb kerülek a 0-hoz, sejtésük szerit csökkeő sorozat. És valóba: ha, A 4 a a < 0, azaz a < a. 5 ( ) ( ) b sorozat tagjai övekedek, mivel b b b + b + 3 0, azaz b. > b 3 > 6

19 . modul: SOROZATOK 9 A c sorozat csökkeő, mivel c c c 4 c 3 c. Eek előjele attól függ, hogy c pozitív, vagy egatív. Látható, hogy a sorozat mide eleme (köztük a c is) egatív, mivel a második elemtől kezdve midig egy egatív szám háromszorosát számítjuk ki. A d sorozat se em csökkeő, se em övekvő sorozat. Ha valaki mégis megpróbálá bebizoyítai, hogy csökkeő, vagy övekvő, a d d külöbséget kellee vizsgália. Most próbakét tegyük ezt meg! d d ( ) d 3 d Eek előjele d előjelétől függ, az viszot váltakozó. d. A sorozatok mootoitásáak vizsgálatát megköyíti, ha ismerjük aak a függvéyek a grafikoját, amelyből a sorozat elemeit képezzük. x x a x a 3 x x x x a x a 0 ( ) a()/ b() sorozat c() sorozat d() sorozat, ,8 0, ,4 0, Feladat 5. Írd fel a sorozatok első 0 elemét! Válaszd ki az alábbi sorozatok közül a periodikus sorozatokat. Add meg a periódusukat! Határozd meg a mooto övőket és a mooto csökkeőket ( N + )! a 7 3 ; ( ) b ; c az szám utolsó számjegye; ( 5) d ; o ( ) e si 0 ; f ; + g az szám osztóiak száma.

20 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. A számtai sorozat Vizsgáljuk meg, mi a közös az alábbi sorozatokba: a, b , b b 3, c az -edik olya pozitív egész, melyek utolsó számjegye Valameyi sorozat közös tulajdosága, hogy az egymás utái tagokat megkaphatjuk úgy is, ha az előző taghoz midig ugyaazt a számot adjuk, tehát az egymást követő tagok külöbsége (differeciája) álladó. Az ilye sorozatokat számtai sorozatak evezzük. Számtai sorozatak evezzük az olya sorozatot, amelybe az egymást követő tagok külöbsége álladó. Ezt az álladót differeciáak (lati: külöbség) evezzük, jele: d. A számtai sorozatba a második tagtól kezdve mide tagot úgy kapuk meg, hogy a sorozat előző tagjához hozzáadjuk a differeciát. A számtai sorozatot általába úgy adjuk meg, hogy megadjuk az első tagját és a differeciát. Nézzük meg, eek segítségével hogya lehet meghatározi a sorozat többi tagját! a a + d ; a3 a + d a + d ; a4 a3 + d a + 3d a +d a +d a 3 +d a +d +d A sorozat -edik tagjához úgy jutuk el, hogy a sorozat első tagjához -szer hozzáadjuk a d-t.

21 . modul: SOROZATOK A számtai sorozat -edik tagját így számoljuk ki: a a + ( ) d Mitapélda 7 Ismerjük egy számtai sorozat első tagját és differeciáját: a) a 7, d 3 ; b) b 5, d 0, 64 ; c) c 4, d., Számítsuk ki a számtai sorozatok tizedik, huszadik, századik tagját! Megoldás: 0 + d + a) a ( 0 ) a ; ( 0 ) a + d a ; ( 00 ) a + d a. b) b b + 9d , ; 0, ( 0 ) d , b + ; 0 b, ( 00 ) d , b b, + + ; c) c c 9d, 4 9 ( ) 5 6 0, c c ( 0 ) d, ( ) ; 0 c, ( 00 ) d, ( ) c, Észrevehetjük, hogy a számtai sorozat mooto csökke, ha d < 0, mooto ő, ha d > 0. Ha a differecia ulla, a sorozat mide tagja azoos. Az ilye sorozatot kostas sorozatak evezzük. Mitapélda 8 Számítsd ki a sorozat tizedik elemét, ha tudjuk, hogy a9 4 és a 9. Megoldás:. módszer: Alkalmazzuk a számtai sorozat midkét tagjára az ismert képletet, majd megoldjuk a kapott egyeletredszert: 4 a + 8d a a + ( ) d, tehát 9 a + 0d Ezt behelyettesítve az első egyeletbe:. Ie (kivoással): d 7, 5.

22 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4 a + 8 7, 5 a 4 8 7, Alkalmazva képletüket a 0. elemre a , ,. módszer: Tudjuk, hogy a 0 a 9 + d, átredezve a 9 a 0 d, valamit a a 0 + d tehát a 9 + a a0 d + a0 + d a0., a9 + a a0 -et megkaphatjuk tehát a, 5 számítás eredméyekét. Az első módszer midig alkalmazható, ha adott a számtai sorozat két tagja, és meg akarjuk határozi az első tagot és a differeciát. A második módszerből az derült ki számukra, hogy a számtai sorozat tizedik eleme a kilecedik és tizeegyedik elem számtai közepe. (Ie származik az ilye tulajdoságú sorozatok számtai jelzője.) Ez általába is érvéyes: Az első tag kivételével a számtai sorozat bármely tagja a hozzá képest szimmetrikusa elhelyezkedő tagok számtai közepe. Képlettel: a a k + a+ k, ha >k >0 egészek. Feladat 6. Mutasd meg az alábbi sorozatokról, hogy számtai sorozatot alkotak, és add meg a differeciájukat! a) a 5 ; b) b 0 ; c) ( ) c. 7. Néháy számtai sorozat első tagját és differeciáját adtuk meg. Számítsd ki a keresett tagokat! a) a, d 3, a? a? 37 8 b) b 5, d, b8? b34? 3 c) c 03,9, d 0,4, c0? c5?

23 . modul: SOROZATOK 3 8. Egy agyo erős doháyos szilveszterkor megfogadja, hogy leszokik a doháyzásról. Jauár elsejé még elszívja az addig szokásos két doboz (40 szál) cigarettáját, majd ettől kezdve mide ap 3 szállal csökketi az adagját. Ha tartja magát elhatározásához, sikerül-e a születésapjáig (jauár 0-ig) leszokia a doháyzásról? 9. Add meg a számtai sorozat jellemzőit ( a -et és d-t), ha elemei között feáll a következő algebrai kapcsolat: a 5 a a a Egy háromszög szögei egy számtai sorozat egymást követő tagjai. Leghosszabb és legrövidebb oldala 4, illetve cm. a) Számítsd ki a háromszög területét! b) Számítsd ki a háromszög harmadik oldalát!

24 4 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE IV. A számtai sorozat első tagjáak összege Egy trapéz alakú ézőtére 0 sor va. Mide sorba SZÍNPAD kettővel több szék va, mit az előtte levőbe. Háy éző fér el a szíházba, ha az első sorba tíze ülhetek le? A sorokba levő székek száma számtai sorozatot alkot, melyek első tagja 0, differeciája pedig. Ha arra vagyuk kívácsiak, háya férek el a ézőtére, az S összeget kell kiszámítauk, és 0 a a... a0 ehhez a számtai sorozat mid a 0 tagját meg kell állapítauk, és azokat összegezi kell. Vajo ics eél egyszerűbb módszer? Egy sorozat tagjaiak összegére gyakra va szükségük. Egy sorozat első eleméek összegé következőt értjük: S a + a a. (Az S kifejezés S betűje a summaösszeg lati szóból ered.) Az ilye típusú összegeket szokás rövide így is íri: agy szigma betű.) a + a a a i. (Σ a görög A számtai sorozat első eleméek összegéek meghatározásához Gauss ötletét alkalmazzuk. i Gauss, Karl Friedrich ( ) émet matematikus, fizikus és csillagász. A matematikusok fejedelme. Koráak legagyobb matematikusa volt, aki megújította szite az egész matematikát. A szászországi Brauschweigbe született szegéy családból. Tehetségét taítója fedezte fel. A több osztállyal foglalkozó taító a tizeévesekek gyakorlásul feladta a számok összeadását -től 00-ig. Palatáblájá Gauss rögtö megmutatta az eredméyt: A csodálkozó taítóak elmagyarázta, hogy em a szokásos módo számolt, haem az összeget vette 50-szer. Két külöböző sorredbe adjuk össze a tagokat, először az első, majd az utolsó (-edik) tagtól kezdve: S S a a + a + a a a + a + a Adjuk össze a két sort úgy, hogy az egymás alatt álló tagokat összepárosítjuk: ( a + a ) + ( a + a ) ( a + a ) ( a + a ) + ( a ) S a k k + Vizsgáljuk meg, hogy milye összefüggés va az egy zárójelbe szereplő tagok között!

25 . modul: SOROZATOK 5 a + a felírható a + d + a d a + a alakba, de ez igaz lesz mide zárójelbe szereplő kifejezésre, hisze ( k ) ( k ) ak a + d ak + a k a + a k a d Így egyeletük jobb oldalá mide zárójelbe levő kifejezés helyettesíthető tehát S ( a + ) ( k ) d + a ( k ) d a + a. a + a -el, a + a a, tehát S. Gyakra előfordul, hogy a számtai sorozatot első elemével és a differeciával adják meg, így + kifejezés behelyettesítése utá kapott következő képlettel is célszerű az a a ( ) d a + ( ) megbarátkozi: S d. Ha egy számtai sorozat első tagja a, -edik tagja a és differeciája d, akkor a sorozat első eleméek összegét a következő képlettel tudjuk kiszámítai: a + a a + ( ) d S. Oldjuk most meg a fejezet elejé felvetett problémát! Mitapélda 9 Egy trapéz alakú ézőtére 0 sor va. Mide sorba kettővel több szék va, mit az előtte levőbe. Háy éző fér el a szíházba, ha az első sorba tíze ülhetek le? Megoldás: a 0, d. Képletüket alkalmazva 0 + ( 0 ) S Mitapélda 0 Háy sor va abba a kör alakú aréába, amelyről tudjuk, hogy az első sorba 00 ülőhely va, majd mide sorba 4-gyel több a helyek száma, mit az eggyel alacsoyabba levő sorba? Az egész aréába 3700 éző fér el.

26 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megoldás: Jelöljük a sorok számát -el! Az egyes sorokba levő ülőhelyek száma számtai sorozatot alkot, melyek differeciája 4. Ismerjük még a számtai sorozat első tagját: a 00, valamit az első elem összegét: S Ha az ismert adatokat beírjuk képletükbe, egyetle ismeretleük marad, az. Redezés utá a ( ) / [ 00 + ( ) ] másodfokú egyelethez jutuk. A megoldóképletet alkalmazva: ( 850) 49 ± ± 99, 74; 5. A egatív eredméy em jöhet szóba, így 5, tehát az aréába 5 sor va Elleőrzés: S Mitapélda Egy számtai sorozat 3. tagja 3. Meyi az első 5 tag összege? Megoldás: a3 3 a + d. Látható, hogy kevés az adatuk ahhoz, hogy megállapítsuk a számtai sorozat első elemét és differeciáját, ugyais végtele sok ilye számtai sorozat va. Szerecsére az összeg megállapításához ics szükségük a feti adatokra, ugyais az olya sorozatokba, melyekek 3. tagja 3, mid azoos az első 5 tag összege. Haszáljuk most az S a + a képletet az összeg kiszámítására: a + a5 S 5 5. Mivel a 3. taghoz képest az első és a 5. tag szimmetrikusa helyezkedik el, a + a 5 a 3. Így S a

27 . modul: SOROZATOK 7 Ha egy számtai sorozatak páratla sok tagját adjuk össze, midig megtehetjük, hogy a középső tagot szorozzuk meg a tagok számával. Feladatok. Számítsd ki a hiáyzó adatokat! a) a ; d,5. S? b) b ; d,5. S? 0 c) c,3; S 9. d? 4 5 d) d,; S 66. a? 0 e) d,; S 57. e? 0 5 f) S ; S 34. f? f? Valaki összeadta az összes olya legfeljebb 4 jegyű pozitív egész számot, amelyre igaz, hogy a számjegyek összege osztható 9-cel. Meyi lett ez az összeg? 3. Egyforitosokból az ábrá látható alakzatokat raktuk ki. Háy forit szükséges a 00. ilye alakzat megformálásához? 4. Egy sorozatot az ( + 5) a képlettel adtak meg. a) Számítsd ki a sorozat első 0 eleméek összegét! b) Milye képlet adja meg a sorozat első eleméek összegét? 5. Nagymama vastag foalból babakocsiba való lábzsákot köt a kisuokájáak. A szabásmita szerit a zsák hátsó része trapéz alakú. Ezt a formát úgy alakította ki, hogy az első sorba 40 szemet kötött, majd mide ötödik sorba szemet szaporított. Az utolsó 5 sorba 80 szemet kötött. Milye hosszú lesz a lábzsák, ha mide kötéssor 0,5 cm-ek felel meg? Összese háy szemet kötött, míg elkészült a mukával?

28 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE V. A mértai sorozat Vizsgáljuk meg, mi a közös az alábbi sorozatokba: a) a ; a a b). b c) c c 3;. c Az a közös a sorozatokba, hogy mid a háromál úgy kapjuk meg a sorozat tagjait az előzőből, hogy ugyaazzal a számmal megszorozzuk. Mértai sorozatak evezzük az olya sorozatot, amelybe a szomszédos tagok háyadosa a sorozatra jellemző ullától külöböző álladó. Ezt az álladót háyadosak (kvóciesek) evezzük, jele q. A kvócies elevezés a lati quoties háyados szóból származik, ezért szoktuk q-val jelöli. A mértai sorozatokba a második tagtól kezdve mide tagot úgy kapuk meg, hogy a sorozat előző tagját q-val (a kvóciessel) megszorozzuk. Az ( a ) ( b ), ( c ), sorozatok tehát mértai sorozatok.

29 . modul: SOROZATOK 9 Mitapélda Mutassuk meg, hogy az előző három sorozat midkét defiícióak megfelel! Megoldás: Az ( a ) sorozat tagjai úgy keletkezek, hogy mide tag az őt megelőző 3-szorosa, tehát az egy 3 kvóciesű sorozat. Ha a ( b ) sorozat bármely tagját -vel szorozzuk, a következő tagot kapjuk: b. + b+ A ( c ) sorozat képletét átredezve c c, tehát ez egy sorozat. q kvóciesű mértai Látható, hogy az ( a ) és ( ) b sorozatokál álladó az egymást követő tagok háyadosa: a a, a a 3, 3; 9 a b, b b,. b A harmadik sorozat megadása eleve olya volt, hogy az egymást követő tagok háyadosa legye. A mértai sorozatok esetébe gyakra megadjuk az első tagot és a q-t. Hogya tudjuk meghatározi a és q ismeretébe a sorozat tagjait aélkül, hogy az összes előzőt ki kellee számoluk? a q a q a 3 q a q q A sorozat -edik tagját úgy kapjuk meg, hogy az első tagot -szer megszorozzuk q-val, tehát a a q. A mértai sorozat -edik tagját így számoljuk ki: a a q -.

30 30 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda 3 Számítsuk ki a bevezetésbe szereplő sorozatok hatodik tagjait! Megoldás: a 6 ; 3; 3 6 a q a 43 7; 9 a 9 9 b 6 6 b ; q ; b6 64; b c c 3; q ; c c 3 6 Mitapélda 4 Egy mértai sorozat két tagját ismerjük: a, a 000. Számítsuk ki a sorozat. tagját! Megoldás:. módszer: Az 0 0 a a q egyelet segítségével állítsuk fel egyeletredszert 0 a q kiszámítására: 000 a q 9. A két egyelet megfelelő oldalait elosztjuk egymással (másodikat az elsővel): q 00 ie q 0 vagy q 0. A két értéket behelyettesítve az első egyeletbe azt kapjuk, hogy a a q ( 0) 8 q a 8 a a q , vagy ( 0 ) ( 0) ( 0 ) a és q.

31 . modul: SOROZATOK 3. módszer: a 0 értékét megkaphatjuk úgy, hogy a -et elosztjuk q-val, vagy a 9 -et megszorozzuk q-val: a a 0 0 a q a 9 q a a 9 a 0 a q 0 q a. q 0 Tehát a a ( a q) ( ) 9 0 a Így ( ) a 00 vagy a 00 a.. Az első módszer alkalmazható mide olya esetbe, amikor adott a mértai sorozat két tagja, és meg akarjuk határozi az első tagot és a kvóciest. A második módszerbe kapott összefüggés általáosa is igaz: Az első tag kivételével a mértai sorozat bármely tagjáak égyzete megegyezik a hozzá képest szimmetrikusa elhelyezkedő tagok szorzatával, azaz ( a ) a k a+ k. Ha kikötjük, hogy a mértai sorozat összes tagja pozitív, akkor a feti összefüggésből következik. Kimodhatuk a számtai sorozatba megismerthez hasoló a a k a+ k jellegű tételt: A pozitív tagú mértai sorozat bármely tagja a hozzá képest szimmetrikusa elhelyezkedő tagok mértai közepe. Képlettel: ha >k és mide a i >0, i N +. a a k a+ k (Ezért evezik az ilye tulajdoságú számsorozatokat mértai sorozatak.)

32 3 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 6. Írd fel a következő mértai sorozatok első 5 elemét! Állapítsd meg a sorozatok mootoitását! Sejtésedet igazold! a) a 00; q 0,5. b) b 64; q 0,5. c) c,; q 3. d) d 7; q,5. e) e 36; q. 7. Számítsd ki a megadott mértai sorozatok hiáyzó adatait: a) a ; q 3; a? b) b ; q 3; a? c) c ; c4 ; q? d) d ; d5 ; q? e) e ; e 6; q? 5 8. Adott egy mértai sorozat az első elemével és a kvóciesével. Dötsd el, hogy tagja-e a sorozatak a t-vel jelölt szám, és ha ige, akkor háyadik tagja ez a sorozatak? a) a 56; q 0,5; t 6 ; b) b 5; q 0,4; t 0, 447 ; c) c 800; q 0,3; t 0000.

33 . modul: SOROZATOK 33 VI. Kamatos kamat Először ismételjük át a százalékszámításról taultakat! p Egy A meyiség p százaléka az adott összeg -ad része, tehát ha ki akarjuk számítai az 00 p A meyiség p százalékát, meg kell szorozuk A-t -zal. 00 Az A meyiség p %-a: p 00 A. p Ha az A meyiséget p %-kal öveljük, akkor az A-hoz hozzá kell adi az A meyiség - 00 szorosát: Az A meyiség p %-kal övelve: p p A + A + A Hasolóa, ha most p%-kal csökketei akarjuk A-t: Az A meyiség p %-kal csökketve: p p A A A Mitapélda 5 A havi kötelező felelősségbiztosítás összege 494 Ft-ról 55 Ft-ra változott. Háy százalékkal őtt a havi díj? Megoldás:. módszer: Először számítsuk ki, háyszorosa az új díj az eredetiek: 55, 037. Ez 03,7 494 századrészt, azaz 03,7 százalékot jelet. Tehát a övekedés (00%-ról) 3,7%.. módszer: Azt ézzük meg, hogy a övekedés háyadrésze az eredeti összegek! ,037. Ez az eredeti összeg 3,7 századrésze, tehát 3,7%-a.

34 34 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda 6 Egy üzlet forgalma az előző hóaphoz képest 7%-kal őtt. Ebbe a hóapba Ft volt. Mekkora volt az elmúlt hóapba? Megoldás: Jelölje x az eredeti forgalom értékét. Ez 7%-kal övekedett, vagyis 7 x + x ,07x x, Tehát az elmúlt hóap forgalma Ft volt. Mitapélda 7 Magyarországo a halálozások száma 005-be 3573 volt, 006-ba pedig 3500 (KSH adat). Háy százalékkal csökket a halálozások száma 005-ről 006-ra? Megoldás:. módszer: Először megvizsgáljuk, háyadrésze (háyszorosa) a 006. évi halálozások száma a 005. évihez képest: , 969, százalékba megadva 96,9%, tehát a csökkeés ,%-os.. módszer: Vizsgáljuk meg, hogy a csökkeés háyadrésze (háyszososa) a 005. évi adatak: ,03. Ez 3, századrészek, azaz 3,%-ak felel meg. 3573

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

2. modul Gazdasági matematika

2. modul Gazdasági matematika Matematika A. évfolyam. modul Gazdasági matematika Készítette: Lövey Éva Matematika A. évfolyam. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA Taári útmutató A modul célja Időkeret Ajálott korosztály Modulkapcsolódási potok

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2.

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2. Pénzügyi számítások 2015. december 2. 1. ÁFA Nettó ár= Tiszta ár, adót nem tartalmaz, Bruttó ár=fogyasztói ár=adóval terhelt érték= Nettó ár+ ÁFA A jelenlegi ÁFA a nettó ár 27%-a. Összefüggések: bruttó

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

A Kormány 82/2010. (III. 25.) Korm. rendelete a betéti kamat és az értékpapírok hozama számításáról és közzétételérõl

A Kormány 82/2010. (III. 25.) Korm. rendelete a betéti kamat és az értékpapírok hozama számításáról és közzétételérõl M A G Y A R K Ö Z L Ö N Y 200. évi 43. szám 809 A Kormáy 82/200. (III. 25.) Korm. redelete a betéti kamat és az értékpapírok hozama számításáról és közzétételérõl A Kormáy a hitelitézetekrõl és a pézügyi

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák 1. oldal, összesen: 8 oldal Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet: Számtani sorozat: a 1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a 1 és d segítségével: a n =

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont)

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont) Mtemtik A. évfolym I. egyedév témzáró A csoport. Egy utci futóversey eredméyhirdetésé összese 60 csokoládét osztk ki z első 0 helyezett között, úgy, hogy kiosztott csokoládék szám helyezettről-helyezettre

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

a legjobb kezekben K&H Csoport

a legjobb kezekben K&H Csoport a legjobb kezekbe A K&H Biztosító 1992 óta működik Magyarországo, és közel félmillió ügyfelet szolgál ki. A K&H Biztosító a magyar piac sajátosságait figyelembe véve alakította ki szolgáltatási palettáját,

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

RÁBAKÖZI TAKARÉKSZÖVETKEZET

RÁBAKÖZI TAKARÉKSZÖVETKEZET Vállalkozások és egyéi vállalkozók részére vezetett pézforgalmi számlák kamatairól, valamit a voatkozó betétbiztosítási feltételekről Érvéyes: 2013. szeptember 11-től I. KAMATMÉRTÉKEK Éves kamatláb EBKM

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó

Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó Előszó A Pézügyi számítások I. a Miskolci Egyetem közgazdász appali, kiegészítő levelező és posztgraduális kurzusai oktatott pézügyi tárgyak feladatgyűjteméyéek az első darabja. Tematikája elsősorba a

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben