MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Átírás

1 MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE

2 A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetecia alapú képzés és oktatás feladataira) keretébe készült. Szakmai vezetők Pála Károly szakmai igazgató Puskás Aurél fejlesztési igazgatóhelyettes Rápli Györgyi, a programfejlesztési közpot vezetője Matematika szakmai vezető Oláh Vera Szakmai taácsadók Csatár Katali, Árváé Doba Mária Szakmai lektor Urbá Jáos Alkotószerkesztő Oláh Judit Felelős szerkesztő Teszár Edit Educatio Társadalmi Szolgáltató Közhaszú Társaság A kiadváy igyees, kizárólag zárt körbe, az NFT HEFOP 3.-es és..-es itézkedés pályázati kompoesébe yertes itézméyek körébe haszálható fel. Kereskedelmi forgalomba em kerülhet. Másolása, terjesztése szigorúa tilos! Kiadja az Educatio Társadalmi Szolgáltató Közhaszú Társaság 34 Budapest, Váci út 37. A kiadásért felel: Kerekes Gábor ügyvezető igazgató Nyomdai mukák: Pátria Nyomda Zrt.

3 tartalom. modul: Sorozatok (Lövey Éva) modul: Gazdasági matematika (Lövey Éva) modul: Síkidomok kerülete, területe (Lövey Éva) modul: Poliéderek felszíe, térfogata (Vidra Gábor) modul: Térfogat és felszíszámítás (Vidra Gábor) modul: Statisztika és valószíűség (Lövey Éva) Mellékletek... 8 A köyvbe kidolgozott MINTAPÉLDÁK segíteek a taayag megértésébe. A FELADATOK szitjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszitű feladatok: középszitű feladatok: emelt szitű feladatok: Ahol ics ilye jelzés, azt a példát midekiek ajáljuk.

4

5 . MODUL sorozatok Készítette: Lövey Éva

6

7 . modul: SOROZATOK 7 I. Sorozatok fogalma és megadása Logikai feladváyokba gyakra szerepelek olya kérdések, mi lee egy megkezdett számsor vagy ábrasor 00. tagja. Ilyekor bizoyos törvéyszerűséget kell felfedezi az első éháy tag alapjá. Hasoló témával már az általáos iskolába is foglalkoztatok, sőt már taultatok sorozatokról. Idézzük fel ezt! Keressük a felsorolt elemek tulajdoságai között szabályszerűséget, és aak megfelelőe folytassuk még 5 taggal! I II. III. IV. C D E F G V. Bizoyára midekiek támadt ötlete, hogya lehete ezeket az elemeket folytati. Matematikailag ezek egyikét sem lehet sorozatak evezi, ugyais ha ezek jól megadott valódi sorozatok leéek, csak egyféleképpe lehete folytati őket. Ezeket viszot többféleképpe is lehet: és ettől kezdve mide tag 3-mal agyobb az előzőél, vagy és ettől kezdve mide tag 0. és ettől kezdve midig az első égy tag ismétlőde, vagy és ettől kezdve mide tag zöld kör.

8 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE és ettől kezdve midig ebbe az aráyba őéek a babák. Vagy akár folytatódhata így is: majd ismét övekedek, és újabb 5 baba utá megit csökke a méretük. A következő 5 betűbe felfedezhetjük a zeei hagok sorát, amit akár folytathatuk így is: C D E F G A H C D E és így folytatva ez a hét betű ismétlődik a végteleségig, vagy felfoghatjuk az öt leírt agybetű egy lehetséges permutációjáak, melyet követhet a többi 9 permutáció, majd vége a sorozatak. C D E F G C D E G F A égyzeteket is folytathaták több módo, a legkézefekvőbb, hogy a égyzet oldalai midig egy egységgel őek: de az is elképzelhető, hogy ettől kezdve csupa egységégyzettel folytatódak: Az I V. feladatokál többféleképpe is folytathattuk a hiáyzó elemek keresését, ezért kell potosítauk a sorozat fogalmát:

9 . modul: SOROZATOK 9 egy sorozatot csak akkor tekitük megadottak, ha elemei egyértelműe meghatározottak. Ilye esetekbe meg tudjuk azt is modai, hogy mi lesz a sorozat 5., 00., 000., -edik tagja. Azt is modhatjuk, hogy mide pozitív egész számhoz egyértelműe hozzáredelük valamit. Valójába tehát függvéyről va szó, ami két halmaz közti egyértelmű hozzáredelés. Sorozat eseté a függvéy értelmezési tartomáya: a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete pedig: a sorozat tagjai. Amit úgy íruk a függvéyekél, hogy x a f ( x), azt most pl. a II. sorozatál úgy tekitjük, hogy Például a II. sorozat esetébe ezt így írjuk: a, a, a 3, a 4, a 5,. Összefoglalva tehát: Sorozatak evezük egy olya függvéyt, melyek értelmezési tartomáya a pozitív egész számok halmaza, értékkészletéek elemei pedig a sorozat tagjai. A sorozat -edik tagját általába a jelöli. Mitapélda Adjuk meg a következő sorozatok első öt, illetve 00. tagját, és vizsgáljuk meg, hogy a megadott szám beletartozik-e a sorozatba! I. a + 5, a 007, II. b 6, b 770, III. 5 c, + 3 c 0, IV. d a tört tízedestört alakjáak tizedesvessző utái -edik számjegye, 7 d 6. Megoldás: I. ha, a + 5 6; ha, a + 5 7; ha 3, a ; ha 4, a ; ha 5, a ; ha 00, a

10 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Nézzük meg, va-e olya pozitív egész szám, amelyre a ? 00 eseté a 007, azaz 007 eek a sorozatak a 00. tagja. 00 II. ha, b 6 6; ha, b 6 ; ha 3, b ; ha 4, b ; ha 5, b ; ha 00, b Oldjuk meg a egyeletet! 385, ami em pozitív egész szám, tehát 3 ics olya, hogy b 770 legye, a 770 em tagja a sorozatak. 5 5 III. ha, c ; ha, c ; ha 3, c3 ; ha 4, c4 ; ha 5, c5 ; ha 00, c Az 0 egyelet megoldása 4, ami egész ugya, de em pozitív, így a sem tagja a sorozatak. IV. Írjuk fel a törtet tizedestört alakba, azaz végezzük el a : 7 osztást! 7 : 7 0, mit a 4. tag, mivel , így d 7. Látható, hogy amit újra megjeleik a mit maradék, a háyadosba szereplő számjegyek ismétlődi fogak, ismét, 8, 5, 7,, 4, majd ismét ez a 6 hosszúságú szakasz következik. Így d, d 8, d 5, d 7, d A századik tag kiszámításához em kell az előtte levő 99 tagot felíri, elég, ha észrevesszük, hogy mide 6. tag azoos, és a 00. tag ezek szerit ugyaayi lesz, 00 Mivel az osztás eredméyébe csak az,, 4, 5, 7, 8 számjegyek ismétlődek, így a 6 em tagja a sorozatak.

11 . modul: SOROZATOK Mitapélda Adjuk meg a következő sorozatok első öt, illetve 00. elemét ( )! V. e, e e VI. f, f, f f + f Fiboacci-sorozat Megoldás: Eél a két sorozatál az egyes elemeket az őt megelőző elemek segítségével kell meghatározi. V. A sorozat mide eleme -vel kevesebb az őt megelőző elemél. e e e 4 e3 e 4 6 e e 6 8 e e A 00. tag kiszámításához a képlet utasítása szerit ismerük kellee az előtte levő tagot, az a99 -et. Ha em ügyeskedük, ez hosszú számolást igéyel. Ha egy sorozat tagjait úgy adjuk meg, hogy az -edik tag meghatározásához szükség va a sorozat előző tagjaira is, akkor a sorozatot rekurzív defiícióval adtuk meg. Példákba észrevehetjük, hogy a egatív páros számok csökkeő sorozatához jutuk, a sorozat -edik tagja ( ) e. Tehát e VI. Ez a sorozat a leghíresebb rekurzív sorozat, melyet Leoardo Pisao fedezett fel. Leoardo Pisao (70 50?), azaz FIBONACCI Itáliai matematikus; a középkor legagyobb európai matematikusa. BONACCIO pisai kereskedő fia, ie a Fiboacci (Boaccio fia) év. Egy észak-afrikai városba őtt fel, majd kereskedelmi utazásokat tett Egyiptomba, Szíriába, Görögországba és Szicíliába. Röviddel hazatérte utá publikálta híres Liber Abaci című művét. A köyv agymértékbe elősegítette az arab algebra és a hidu-arab számírás elterjedését Európába. Nevét őrzi a Fiboaccisorozat.

12 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A sorozat tagjai közül megadtuk az első két tag értékét, és mide további tagot az őt megelőző két tag összegekét számolhatuk ki. f, f, f 3 f + f +, f 4 f + f 3 + 3, f f + f A sorozat 00. tagját most hiába töpregük csak az előző 99 tag ismeretébe tudjuk meghatározi. Eek a tagak közelítő értéke: Mitapélda 3 Megadtuk a következő sorozatokat: a) ; 0; 003; 0 004; ; b) 3; 6; ; 8; 7; f , 54 0 Keress képletet vagy rekurzív defiíciót, amellyel meghatározható a sorozat -edik tagja! Add meg a sorozat 30. tagját is! Megoldás: a) a 0 + a , ahol az -es és a 3-as között 8 darab 0 va. b) Az egymást követő számok külöbsége a páratla számok részsorozata, tehát b b +, b b + 5, b b + 7, b b 9, általáosa: b , b b + ( ). Ha valaki ezt a rekurzív defiíciót követve akarja 3 megadi a 30. tagot, aak ki kell számolia a sorozat összes előbbi tagját is. Észrevehetjük azoba, hogy b +, b +, b 3,..., azaz általáosa: +. Ezzel az 3 + összefüggéssel köyedé kiszámítható a sorozat 30. tagja is: b b 30 Az utóbbi megadással azt kapjuk, hogy a két egymást követő tag külöbsége midig a páratla számok övekvő sorozata: ( ) ( ) + + ( ) ( + ) + + ( ) + b b +. Láttuk, hogy sorozatokat többféle módo is megadhatuk: képlettel, utasítással vagy rekurzív defiícióval (azaz visszavezető lépésekkel).

13 . modul: SOROZATOK 3 Feladatok. Add meg az alábbi sorozatok első 0 elemét: a) a 5 4, ( N + ); b) a 7-re végződő pozitív egész számok övekvő sorozata; c) P( ; ) c ahol P a derékszögű koordiáta-redszer egy potja;, (,, 3,..., 0) d) d ; e) a prímszámok övekvő sorozata; f) origó középpotú egység sugarú kör, ( N + ); g) g ( ), ( N + ); h) h, h 8, h h h, ( 3 egész szám). 7. Válaszd ki azokat a sorozatokat, amelyekek tagjai között a következő számok valamelyike megtalálható: 7, a e ; ; b e + ; e ; c + 5 ; f, d f f 3 ; Adj meg egy képletet vagy rekurzív defiíciót, amellyel ki lehet számítai a sorozat - edik tagját! Add meg a sorozat 0. tagját is! a) 3; 6; 9; ; 5; b) ; ; 3; 5; 7; c) 6; 3;,5; 0,75; d) ; 4; 9; 6; 5; e) 00; ; 44; 69; 5; 3 4 f) ; ; ; ;

14 4 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Jelöljük a sorozat első eleméek összegét S -el. Például S a S a + a, S a + a +,..., 3 a3 Mit ad meg S 4 S3, S6 S5, illetve általába az S S külöbség? Add meg a sorozat első 5 elemét, ha a) S 5 ; b) S ; c) 3 S.

15 . modul: SOROZATOK 5 II. Sorozatok grafikoja, tulajdoságai Tudjuk, hogy a sorozatok olya speciális függvéyek, melyek értelmezési tartomáya a pozitív egész számok halmaza. A függvéyek tulajdoságaival sokat foglalkoztuk. Eze tulajdoságok közül éháy a sorozatokál is érdekes lehet. Mitapélda 4 Tekitsük a következő sorozatokat, és írjuk fel éháy elemüket! ( ) a. a ; a ; a ; a ; 3 4 b π si. 3 π 3 b si ; 3 π 3 b si ; b 3 siπ 0 3 b 4π si b 5π si b si π 6 0 b 7π π si si b c a tört tizedestört-alakjáak -edik számjegye a tizedesvessző utá ,50 & & 0, , tehát c 5 ; c ; c 4 5 c ; c 5 c ; c 6 0 c3. v a v(;3) helyvektor elforgatottja az origó körül o 90 -kal. v ( 3;); v ( ; 3); v 3 (3; ); v 4 (;3), és ie újra ismétlődek a vektorok. A tárgyalt sorozatok közös tulajdosága, hogy tagjaik periodikusa ismétlődek. Az a sorozat periódusa p, azaz a a A +. b sorozat periódusa p 6, azaz b b +6.

16 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE c sorozat periódusa p 3, azaz c c A +3. A v sorozat periódusa p 4, azaz v +4 v. Periodikusak evezzük azt a sorozatot, amelyhez va olya p pozitív egész szám, hogy a sorozat bármely -edik elemére a a + p. Mitapélda 5 Állapítsuk meg a következő sorozatok periódusát: a) a húrtrapéz +90 -os elforgatásai az átlók metszéspotja körül. b) b az pozitív egész szám 5-tel való osztási maradékai. c) c az 3 szám utolsó számjegye. o o d) si( 30 ) cos( 30 ) Megoldás: d. a) 4 külöböző helyzet lehetséges, így a a +4. b) Írjuk fel a sorozat első éháy elemét: b b b 3 b 4 b 0 b A sorozat elemei ettől kezdve ismétlődek, tehát a periódus 5, azaz b +5 b. Azt kell belátuk, hogy + 5 ugyaayi maradékot ad 5-tel osztva, mit az. Ez akkor következik be, ha a két szám külöbsége osztható 5-tel. És valóba: ( + 5 ) 5 c) Írjuk fel a sorozat első éháy elemét:. c c 8 c 7 c 4 c 5 c 6 c 3 c c 9 c 0 c Sejtésük szerit az ismétlődés most már bekövetkezik. Sejtésüket igazoljuk is, azaz megmutatjuk, hogy a sorozat periódusa 0, azaz mide eseté c +0 c. Két szám utolsó számjegye akkor és csak akkor egyelő, ha a két szám külöbsége 0- ra végződik, azaz a két szám külöbsége osztható 0-zel. Vizsgáljuk meg azt a két számot, melyekek utolsó számjegye adja a sorozat megfelelő tagjait: 3 3 ( + 0) valamit A két szám külöbsége: ( + 0) ( ) osztható 0-zel, tehát a két szám utolsó számjegye megegyezik, a periódus 0.

17 . modul: SOROZATOK 7 d) Abba biztosak lehetük, hogy a p jó periódus lee, hisze a sorozat mide. tagjába olya szögek szerepelek, melyekek midkét szögfüggvéye azoos, hisze a szögek eltérése 360º. De va-e vajo eél kisebb lehetséges periódus? Írjuk fel a sorozat első éháy elemét: o o o o d si30 cos30 0,8660, d si 60 cos60 0, Itt juthaták arra az elhamarkodott következtetésre, hogy a sorozat periódusa, azaz d + d, átredezve d + d 0, de ez csak bizoyos -ekre lee igaz. Ha a sorozat éháy további tagját felírjuk: o o o o d si 90 cos 90 0 d si0 cos0 0, o o o o d si50 cos50 0,8660 d si80 cos o o d si 0 cos 0 0,8660, tehát d d A továbbiakba csak számsorozatokat (rövide: sorozatokat) tekitük, azaz olya függvéyeket, melyekek értelmezési tartomáya a pozitív egész számok halmaza, értékkészletük pedig a valós számok egy részhalmaza. E függvéyek grafikojai tehát midig potsorozatok. A most következő sorozat-tulajdoságokat csak számsorozatokra értelmezzük. Az alábbi R + R függvéyekről tudjuk, hogy szigorúa mooto övekedők: f ( x) x g ( x) x 3 h ( x) x

18 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Ha leszűkítjük az értelmezési tartomáyukat a pozitív egész számokra, akkor a Z + R függvéyek által megadott sorozat tagjai is övekedek (piros potok): f, g 3, h. Egy sorozat mooto ő, ha mide tagja legalább akkora, mit az előző tag: a a. Hasolóképp defiiálhatjuk a mooto csökkeő sorozatokat is: Egy sorozat mooto csökke, ha mide tagja legfeljebb akkora, mit az előző tag: a a. Mitapélda 6 Válaszd ki az alábbi sorozatokból a mooto csökkeőket és a mooto övekedőket ( N + )! Sejtésedet bizoyítsd! a) a ; b) b 0, b b + 3; c) c 0, c c 4 ; d) d 0, d d ( ).. Megoldás: Először számítsuk ki a sorozat éháy tagját, hogy megsejtsük, mooto sorozatok-e. melyik sorozat a b c d Az a sorozat tagjai egyre közelebb kerülek a 0-hoz, sejtésük szerit csökkeő sorozat. És valóba: ha, A 4 a a < 0, azaz a < a. 5 ( ) ( ) b sorozat tagjai övekedek, mivel b b b + b + 3 0, azaz b. > b 3 > 6

19 . modul: SOROZATOK 9 A c sorozat csökkeő, mivel c c c 4 c 3 c. Eek előjele attól függ, hogy c pozitív, vagy egatív. Látható, hogy a sorozat mide eleme (köztük a c is) egatív, mivel a második elemtől kezdve midig egy egatív szám háromszorosát számítjuk ki. A d sorozat se em csökkeő, se em övekvő sorozat. Ha valaki mégis megpróbálá bebizoyítai, hogy csökkeő, vagy övekvő, a d d külöbséget kellee vizsgália. Most próbakét tegyük ezt meg! d d ( ) d 3 d Eek előjele d előjelétől függ, az viszot váltakozó. d. A sorozatok mootoitásáak vizsgálatát megköyíti, ha ismerjük aak a függvéyek a grafikoját, amelyből a sorozat elemeit képezzük. x x a x a 3 x x x x a x a 0 ( ) a()/ b() sorozat c() sorozat d() sorozat, ,8 0, ,4 0, Feladat 5. Írd fel a sorozatok első 0 elemét! Válaszd ki az alábbi sorozatok közül a periodikus sorozatokat. Add meg a periódusukat! Határozd meg a mooto övőket és a mooto csökkeőket ( N + )! a 7 3 ; ( ) b ; c az szám utolsó számjegye; ( 5) d ; o ( ) e si 0 ; f ; + g az szám osztóiak száma.

20 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. A számtai sorozat Vizsgáljuk meg, mi a közös az alábbi sorozatokba: a, b , b b 3, c az -edik olya pozitív egész, melyek utolsó számjegye Valameyi sorozat közös tulajdosága, hogy az egymás utái tagokat megkaphatjuk úgy is, ha az előző taghoz midig ugyaazt a számot adjuk, tehát az egymást követő tagok külöbsége (differeciája) álladó. Az ilye sorozatokat számtai sorozatak evezzük. Számtai sorozatak evezzük az olya sorozatot, amelybe az egymást követő tagok külöbsége álladó. Ezt az álladót differeciáak (lati: külöbség) evezzük, jele: d. A számtai sorozatba a második tagtól kezdve mide tagot úgy kapuk meg, hogy a sorozat előző tagjához hozzáadjuk a differeciát. A számtai sorozatot általába úgy adjuk meg, hogy megadjuk az első tagját és a differeciát. Nézzük meg, eek segítségével hogya lehet meghatározi a sorozat többi tagját! a a + d ; a3 a + d a + d ; a4 a3 + d a + 3d a +d a +d a 3 +d a +d +d A sorozat -edik tagjához úgy jutuk el, hogy a sorozat első tagjához -szer hozzáadjuk a d-t.

21 . modul: SOROZATOK A számtai sorozat -edik tagját így számoljuk ki: a a + ( ) d Mitapélda 7 Ismerjük egy számtai sorozat első tagját és differeciáját: a) a 7, d 3 ; b) b 5, d 0, 64 ; c) c 4, d., Számítsuk ki a számtai sorozatok tizedik, huszadik, századik tagját! Megoldás: 0 + d + a) a ( 0 ) a ; ( 0 ) a + d a ; ( 00 ) a + d a. b) b b + 9d , ; 0, ( 0 ) d , b + ; 0 b, ( 00 ) d , b b, + + ; c) c c 9d, 4 9 ( ) 5 6 0, c c ( 0 ) d, ( ) ; 0 c, ( 00 ) d, ( ) c, Észrevehetjük, hogy a számtai sorozat mooto csökke, ha d < 0, mooto ő, ha d > 0. Ha a differecia ulla, a sorozat mide tagja azoos. Az ilye sorozatot kostas sorozatak evezzük. Mitapélda 8 Számítsd ki a sorozat tizedik elemét, ha tudjuk, hogy a9 4 és a 9. Megoldás:. módszer: Alkalmazzuk a számtai sorozat midkét tagjára az ismert képletet, majd megoldjuk a kapott egyeletredszert: 4 a + 8d a a + ( ) d, tehát 9 a + 0d Ezt behelyettesítve az első egyeletbe:. Ie (kivoással): d 7, 5.

22 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4 a + 8 7, 5 a 4 8 7, Alkalmazva képletüket a 0. elemre a , ,. módszer: Tudjuk, hogy a 0 a 9 + d, átredezve a 9 a 0 d, valamit a a 0 + d tehát a 9 + a a0 d + a0 + d a0., a9 + a a0 -et megkaphatjuk tehát a, 5 számítás eredméyekét. Az első módszer midig alkalmazható, ha adott a számtai sorozat két tagja, és meg akarjuk határozi az első tagot és a differeciát. A második módszerből az derült ki számukra, hogy a számtai sorozat tizedik eleme a kilecedik és tizeegyedik elem számtai közepe. (Ie származik az ilye tulajdoságú sorozatok számtai jelzője.) Ez általába is érvéyes: Az első tag kivételével a számtai sorozat bármely tagja a hozzá képest szimmetrikusa elhelyezkedő tagok számtai közepe. Képlettel: a a k + a+ k, ha >k >0 egészek. Feladat 6. Mutasd meg az alábbi sorozatokról, hogy számtai sorozatot alkotak, és add meg a differeciájukat! a) a 5 ; b) b 0 ; c) ( ) c. 7. Néháy számtai sorozat első tagját és differeciáját adtuk meg. Számítsd ki a keresett tagokat! a) a, d 3, a? a? 37 8 b) b 5, d, b8? b34? 3 c) c 03,9, d 0,4, c0? c5?

23 . modul: SOROZATOK 3 8. Egy agyo erős doháyos szilveszterkor megfogadja, hogy leszokik a doháyzásról. Jauár elsejé még elszívja az addig szokásos két doboz (40 szál) cigarettáját, majd ettől kezdve mide ap 3 szállal csökketi az adagját. Ha tartja magát elhatározásához, sikerül-e a születésapjáig (jauár 0-ig) leszokia a doháyzásról? 9. Add meg a számtai sorozat jellemzőit ( a -et és d-t), ha elemei között feáll a következő algebrai kapcsolat: a 5 a a a Egy háromszög szögei egy számtai sorozat egymást követő tagjai. Leghosszabb és legrövidebb oldala 4, illetve cm. a) Számítsd ki a háromszög területét! b) Számítsd ki a háromszög harmadik oldalát!

24 4 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE IV. A számtai sorozat első tagjáak összege Egy trapéz alakú ézőtére 0 sor va. Mide sorba SZÍNPAD kettővel több szék va, mit az előtte levőbe. Háy éző fér el a szíházba, ha az első sorba tíze ülhetek le? A sorokba levő székek száma számtai sorozatot alkot, melyek első tagja 0, differeciája pedig. Ha arra vagyuk kívácsiak, háya férek el a ézőtére, az S összeget kell kiszámítauk, és 0 a a... a0 ehhez a számtai sorozat mid a 0 tagját meg kell állapítauk, és azokat összegezi kell. Vajo ics eél egyszerűbb módszer? Egy sorozat tagjaiak összegére gyakra va szükségük. Egy sorozat első eleméek összegé következőt értjük: S a + a a. (Az S kifejezés S betűje a summaösszeg lati szóból ered.) Az ilye típusú összegeket szokás rövide így is íri: agy szigma betű.) a + a a a i. (Σ a görög A számtai sorozat első eleméek összegéek meghatározásához Gauss ötletét alkalmazzuk. i Gauss, Karl Friedrich ( ) émet matematikus, fizikus és csillagász. A matematikusok fejedelme. Koráak legagyobb matematikusa volt, aki megújította szite az egész matematikát. A szászországi Brauschweigbe született szegéy családból. Tehetségét taítója fedezte fel. A több osztállyal foglalkozó taító a tizeévesekek gyakorlásul feladta a számok összeadását -től 00-ig. Palatáblájá Gauss rögtö megmutatta az eredméyt: A csodálkozó taítóak elmagyarázta, hogy em a szokásos módo számolt, haem az összeget vette 50-szer. Két külöböző sorredbe adjuk össze a tagokat, először az első, majd az utolsó (-edik) tagtól kezdve: S S a a + a + a a a + a + a Adjuk össze a két sort úgy, hogy az egymás alatt álló tagokat összepárosítjuk: ( a + a ) + ( a + a ) ( a + a ) ( a + a ) + ( a ) S a k k + Vizsgáljuk meg, hogy milye összefüggés va az egy zárójelbe szereplő tagok között!

25 . modul: SOROZATOK 5 a + a felírható a + d + a d a + a alakba, de ez igaz lesz mide zárójelbe szereplő kifejezésre, hisze ( k ) ( k ) ak a + d ak + a k a + a k a d Így egyeletük jobb oldalá mide zárójelbe levő kifejezés helyettesíthető tehát S ( a + ) ( k ) d + a ( k ) d a + a. a + a -el, a + a a, tehát S. Gyakra előfordul, hogy a számtai sorozatot első elemével és a differeciával adják meg, így + kifejezés behelyettesítése utá kapott következő képlettel is célszerű az a a ( ) d a + ( ) megbarátkozi: S d. Ha egy számtai sorozat első tagja a, -edik tagja a és differeciája d, akkor a sorozat első eleméek összegét a következő képlettel tudjuk kiszámítai: a + a a + ( ) d S. Oldjuk most meg a fejezet elejé felvetett problémát! Mitapélda 9 Egy trapéz alakú ézőtére 0 sor va. Mide sorba kettővel több szék va, mit az előtte levőbe. Háy éző fér el a szíházba, ha az első sorba tíze ülhetek le? Megoldás: a 0, d. Képletüket alkalmazva 0 + ( 0 ) S Mitapélda 0 Háy sor va abba a kör alakú aréába, amelyről tudjuk, hogy az első sorba 00 ülőhely va, majd mide sorba 4-gyel több a helyek száma, mit az eggyel alacsoyabba levő sorba? Az egész aréába 3700 éző fér el.

26 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megoldás: Jelöljük a sorok számát -el! Az egyes sorokba levő ülőhelyek száma számtai sorozatot alkot, melyek differeciája 4. Ismerjük még a számtai sorozat első tagját: a 00, valamit az első elem összegét: S Ha az ismert adatokat beírjuk képletükbe, egyetle ismeretleük marad, az. Redezés utá a ( ) / [ 00 + ( ) ] másodfokú egyelethez jutuk. A megoldóképletet alkalmazva: ( 850) 49 ± ± 99, 74; 5. A egatív eredméy em jöhet szóba, így 5, tehát az aréába 5 sor va Elleőrzés: S Mitapélda Egy számtai sorozat 3. tagja 3. Meyi az első 5 tag összege? Megoldás: a3 3 a + d. Látható, hogy kevés az adatuk ahhoz, hogy megállapítsuk a számtai sorozat első elemét és differeciáját, ugyais végtele sok ilye számtai sorozat va. Szerecsére az összeg megállapításához ics szükségük a feti adatokra, ugyais az olya sorozatokba, melyekek 3. tagja 3, mid azoos az első 5 tag összege. Haszáljuk most az S a + a képletet az összeg kiszámítására: a + a5 S 5 5. Mivel a 3. taghoz képest az első és a 5. tag szimmetrikusa helyezkedik el, a + a 5 a 3. Így S a

27 . modul: SOROZATOK 7 Ha egy számtai sorozatak páratla sok tagját adjuk össze, midig megtehetjük, hogy a középső tagot szorozzuk meg a tagok számával. Feladatok. Számítsd ki a hiáyzó adatokat! a) a ; d,5. S? b) b ; d,5. S? 0 c) c,3; S 9. d? 4 5 d) d,; S 66. a? 0 e) d,; S 57. e? 0 5 f) S ; S 34. f? f? Valaki összeadta az összes olya legfeljebb 4 jegyű pozitív egész számot, amelyre igaz, hogy a számjegyek összege osztható 9-cel. Meyi lett ez az összeg? 3. Egyforitosokból az ábrá látható alakzatokat raktuk ki. Háy forit szükséges a 00. ilye alakzat megformálásához? 4. Egy sorozatot az ( + 5) a képlettel adtak meg. a) Számítsd ki a sorozat első 0 eleméek összegét! b) Milye képlet adja meg a sorozat első eleméek összegét? 5. Nagymama vastag foalból babakocsiba való lábzsákot köt a kisuokájáak. A szabásmita szerit a zsák hátsó része trapéz alakú. Ezt a formát úgy alakította ki, hogy az első sorba 40 szemet kötött, majd mide ötödik sorba szemet szaporított. Az utolsó 5 sorba 80 szemet kötött. Milye hosszú lesz a lábzsák, ha mide kötéssor 0,5 cm-ek felel meg? Összese háy szemet kötött, míg elkészült a mukával?

28 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE V. A mértai sorozat Vizsgáljuk meg, mi a közös az alábbi sorozatokba: a) a ; a a b). b c) c c 3;. c Az a közös a sorozatokba, hogy mid a háromál úgy kapjuk meg a sorozat tagjait az előzőből, hogy ugyaazzal a számmal megszorozzuk. Mértai sorozatak evezzük az olya sorozatot, amelybe a szomszédos tagok háyadosa a sorozatra jellemző ullától külöböző álladó. Ezt az álladót háyadosak (kvóciesek) evezzük, jele q. A kvócies elevezés a lati quoties háyados szóból származik, ezért szoktuk q-val jelöli. A mértai sorozatokba a második tagtól kezdve mide tagot úgy kapuk meg, hogy a sorozat előző tagját q-val (a kvóciessel) megszorozzuk. Az ( a ) ( b ), ( c ), sorozatok tehát mértai sorozatok.

29 . modul: SOROZATOK 9 Mitapélda Mutassuk meg, hogy az előző három sorozat midkét defiícióak megfelel! Megoldás: Az ( a ) sorozat tagjai úgy keletkezek, hogy mide tag az őt megelőző 3-szorosa, tehát az egy 3 kvóciesű sorozat. Ha a ( b ) sorozat bármely tagját -vel szorozzuk, a következő tagot kapjuk: b. + b+ A ( c ) sorozat képletét átredezve c c, tehát ez egy sorozat. q kvóciesű mértai Látható, hogy az ( a ) és ( ) b sorozatokál álladó az egymást követő tagok háyadosa: a a, a a 3, 3; 9 a b, b b,. b A harmadik sorozat megadása eleve olya volt, hogy az egymást követő tagok háyadosa legye. A mértai sorozatok esetébe gyakra megadjuk az első tagot és a q-t. Hogya tudjuk meghatározi a és q ismeretébe a sorozat tagjait aélkül, hogy az összes előzőt ki kellee számoluk? a q a q a 3 q a q q A sorozat -edik tagját úgy kapjuk meg, hogy az első tagot -szer megszorozzuk q-val, tehát a a q. A mértai sorozat -edik tagját így számoljuk ki: a a q -.

30 30 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda 3 Számítsuk ki a bevezetésbe szereplő sorozatok hatodik tagjait! Megoldás: a 6 ; 3; 3 6 a q a 43 7; 9 a 9 9 b 6 6 b ; q ; b6 64; b c c 3; q ; c c 3 6 Mitapélda 4 Egy mértai sorozat két tagját ismerjük: a, a 000. Számítsuk ki a sorozat. tagját! Megoldás:. módszer: Az 0 0 a a q egyelet segítségével állítsuk fel egyeletredszert 0 a q kiszámítására: 000 a q 9. A két egyelet megfelelő oldalait elosztjuk egymással (másodikat az elsővel): q 00 ie q 0 vagy q 0. A két értéket behelyettesítve az első egyeletbe azt kapjuk, hogy a a q ( 0) 8 q a 8 a a q , vagy ( 0 ) ( 0) ( 0 ) a és q.

31 . modul: SOROZATOK 3. módszer: a 0 értékét megkaphatjuk úgy, hogy a -et elosztjuk q-val, vagy a 9 -et megszorozzuk q-val: a a 0 0 a q a 9 q a a 9 a 0 a q 0 q a. q 0 Tehát a a ( a q) ( ) 9 0 a Így ( ) a 00 vagy a 00 a.. Az első módszer alkalmazható mide olya esetbe, amikor adott a mértai sorozat két tagja, és meg akarjuk határozi az első tagot és a kvóciest. A második módszerbe kapott összefüggés általáosa is igaz: Az első tag kivételével a mértai sorozat bármely tagjáak égyzete megegyezik a hozzá képest szimmetrikusa elhelyezkedő tagok szorzatával, azaz ( a ) a k a+ k. Ha kikötjük, hogy a mértai sorozat összes tagja pozitív, akkor a feti összefüggésből következik. Kimodhatuk a számtai sorozatba megismerthez hasoló a a k a+ k jellegű tételt: A pozitív tagú mértai sorozat bármely tagja a hozzá képest szimmetrikusa elhelyezkedő tagok mértai közepe. Képlettel: ha >k és mide a i >0, i N +. a a k a+ k (Ezért evezik az ilye tulajdoságú számsorozatokat mértai sorozatak.)

32 3 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 6. Írd fel a következő mértai sorozatok első 5 elemét! Állapítsd meg a sorozatok mootoitását! Sejtésedet igazold! a) a 00; q 0,5. b) b 64; q 0,5. c) c,; q 3. d) d 7; q,5. e) e 36; q. 7. Számítsd ki a megadott mértai sorozatok hiáyzó adatait: a) a ; q 3; a? b) b ; q 3; a? c) c ; c4 ; q? d) d ; d5 ; q? e) e ; e 6; q? 5 8. Adott egy mértai sorozat az első elemével és a kvóciesével. Dötsd el, hogy tagja-e a sorozatak a t-vel jelölt szám, és ha ige, akkor háyadik tagja ez a sorozatak? a) a 56; q 0,5; t 6 ; b) b 5; q 0,4; t 0, 447 ; c) c 800; q 0,3; t 0000.

33 . modul: SOROZATOK 33 VI. Kamatos kamat Először ismételjük át a százalékszámításról taultakat! p Egy A meyiség p százaléka az adott összeg -ad része, tehát ha ki akarjuk számítai az 00 p A meyiség p százalékát, meg kell szorozuk A-t -zal. 00 Az A meyiség p %-a: p 00 A. p Ha az A meyiséget p %-kal öveljük, akkor az A-hoz hozzá kell adi az A meyiség - 00 szorosát: Az A meyiség p %-kal övelve: p p A + A + A Hasolóa, ha most p%-kal csökketei akarjuk A-t: Az A meyiség p %-kal csökketve: p p A A A Mitapélda 5 A havi kötelező felelősségbiztosítás összege 494 Ft-ról 55 Ft-ra változott. Háy százalékkal őtt a havi díj? Megoldás:. módszer: Először számítsuk ki, háyszorosa az új díj az eredetiek: 55, 037. Ez 03,7 494 századrészt, azaz 03,7 százalékot jelet. Tehát a övekedés (00%-ról) 3,7%.. módszer: Azt ézzük meg, hogy a övekedés háyadrésze az eredeti összegek! ,037. Ez az eredeti összeg 3,7 századrésze, tehát 3,7%-a.

34 34 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mitapélda 6 Egy üzlet forgalma az előző hóaphoz képest 7%-kal őtt. Ebbe a hóapba Ft volt. Mekkora volt az elmúlt hóapba? Megoldás: Jelölje x az eredeti forgalom értékét. Ez 7%-kal övekedett, vagyis 7 x + x ,07x x, Tehát az elmúlt hóap forgalma Ft volt. Mitapélda 7 Magyarországo a halálozások száma 005-be 3573 volt, 006-ba pedig 3500 (KSH adat). Háy százalékkal csökket a halálozások száma 005-ről 006-ra? Megoldás:. módszer: Először megvizsgáljuk, háyadrésze (háyszorosa) a 006. évi halálozások száma a 005. évihez képest: , 969, százalékba megadva 96,9%, tehát a csökkeés ,%-os.. módszer: Vizsgáljuk meg, hogy a csökkeés háyadrésze (háyszososa) a 005. évi adatak: ,03. Ez 3, századrészek, azaz 3,%-ak felel meg. 3573