IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése"

Átírás

1 Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú feladatok ige épszerûek a külöbözô rejtvéyújságokba, társasjátékokba, televíziós vetélkedôkö Sajos, ezek hivatalos megoldása matematikailag midig hibás, ugyais véges sok kezdôtag sohasem határozza meg egyértelmûe a sorozatot A feladatba kitûzött sorozatot is számtala módo folytathatjuk, éháy lehetôség: lehetséges, hogy az elsô égy tag periodikusa ismétlôdik; a egyedik tag utá a második és harmadik ismétlôdik periodikusa; az ötödik tagtól kezdve mide tag egy 9es számjegy; egyáltalá bármilye alakzat lehet az ötödik tag (A sorozatokat még végtele sok tagjuk sem határozza meg) Az alábbi feladatok émelyikébe a sorozatok képzési szabályáak meghatározása a feladat A fetiek értelmébe tehát fotos kihagsúlyozi, hogy ezek a sorozatok bárhogya folytathatók; egy esetleges csúya szabály matematikailag éppe olya helyes, mit egy elegás vagy frappás formula egfeljebb arra törekedhetük, hogy a legvalószíûbb vagy legkevésbé ökéyes szabályt próbáljuk megtaláli 8 a) Többféle szabály adható ehetséges pl, hogy a háromszögek az óramutató járásával megegyezô iráyba kerigeek, s váltakozó szíûek Ekkor a háromszög lépésekét visszatér a kiidulási helyére, s lépésekét ugyaolya szíel E szabály szerit az ábrasorozat lépésekét ismétlôdik elöljük a el az ábrát ( N + )! Ekkor a 0 a, a a, a 778 a Egy másik lehetséges szabály szerit pl az ábrasorozat ötösével ismétlôdik Ekkor a 0 a, a a, a 778 a b) Egy lehetséges szabály, hogy a háromszögek az óramutató járásával megegyezô iráyba kerigeek és forogak Ekkor a kezdôhelyére, azoos állásba lépésekét kerül vissza a háromszög Ha b el jelöljük az ábrát, akkor b 0 b 8, b b, b 778 b 0 A három ábra látható a 8/I ábrá c) Egy lehetséges szabály, hogy a égyzetek az óramutató járásával meg 8 8/I

2 Sorozatok 8/II 8/III egyezô iráyba kerigeek és elletétes iráyba forogak A periódus hosszú, c 0 c 8, c c, c 778 c 0 A három ábra látható a 8/II ábrá d) Egy lehetséges szabály, hogy a égyzetek az óramutató járásával megegyezô iráyba, a háromszögek pedig elletétes iráyba forogak, váltakozó szíel A periódus hosszú, d 0 d 8, d d, d 778 d 0 (8/III ábra) 8 a) Elsô megoldás: A következô tagot úgy kapjuk, hogy az elôzô tagot megöveljük számjegyeiek összegével Ekkor a folytatás:, 7, 7, 8, 7, 79, 9, 09, 9, 0,,, 9,, 7 stb A 0 tag 7 Második megoldás: A tagok közötti külöbség kétszeresre ô Ekkor a folytatás:, 7, 7, stb A 0 tagot úgy kaphatjuk meg, hogy a 0 kezdôtaghoz hozzáaduk t, eek értéke Harmadik megoldás: Egy lehetséges szabály, hogy pl midig periodikusa ez az öt szám ismétlôdik Ekkor tehát a folytatás 0,,, 7,, 0 stb, a 0 tag Megjegyzés: Nem mide szabály eseté sikerül a sorozat további tagjait valamilye haszálható képlettel megadi Ha pl az elsô megoldás szabályát alkalmazva a 00 tag értéke lett vola a kérdés, em lett vola más lehetôségük, mit egyesével kiszámoli a sorozat tagjait Ebbe és a hasoló helyzetekbe esetleg érdemes egy rövid számítógépes programot készítei, amellyel tetszôleges sorszámú tagot meghatározhatuk b) Egy lehetséges szabály szerit a következô tagot úgy kaphatjuk meg, hogy az aktuális szám számjegyeiek égyzetösszegét képezzük A folytatás 89,,, 0, stb Észrevehetjük, hogy a továbbiakba ismétlôdek a tagok (hisze újra megkaptuk a et, s bármely tag csak az ôt közvetleül megelôzô tagtól függ), így a 0 tag c) Elsô megoldás: Egy lehetséges szabály, hogy tekitjük az elôzô tag kétszeresét, s eze szám számjegyeiek összege lesz a sorozat következô tagja A folytatás ekkor,,, 8 stb, a 0 tag Második megoldás: Egy másik lehetôség, hogy az elôzô tag kétszereséek 9es maradéka lesz a sorozat következô tagja A szabályok külöbözek, de a két sorozat megegyezik

3 Sorozatok bevezetése 7 87 (87/I II ábra) A sorozatok elsô hat tagja s egy lehetséges képzési szabály (! N + ): a),,,,, ; a b),,, 7, 8, 9; b + c),,, 7, 9, ; c d), 0,, 0,, ; d u u e), 0,,,, 0; e 8 + f),, 8,,, ; f g),, 9, 7, 8, ; g 88 a) 0; b) 00; c) 00; d) k; e) k + ; f) k 89 a) ; b) 98; c) 008; d) k ; e) (k +) k + ; f) k 80 a) 9; b) 99; c) 009; d) k ; e) (k + ) k + ; f) k 8 a) A sorozat tagja a (! N + ) A számok közül mal osztva maradékot ad a 7, 0 és 00, ezek redre a, és tagok b) A sorozat tagja b ( ),! N + b 7, b 00 c) A tíztagú sorozat tagja c ( ) + c c 8 d) Az elsô tag 7 A sorozat mide tagja 7 re vagy re végzôdik, így a többi szám em szerepel a sorozatba 8 Több megoldás va ehetséges képletek (! N + ): a) A szomszédos tagok közötti külöbség váltakozva, illetve Ha k (k! N + ) alakú, akkor a a k k ; ha k alakú, akkor a a k k b) A sorozat tagjai váltakozó elôjelûek: b () 87/I 87/II 0 c) A számokat közöséges tört alakba felírva,,,,, stb sorozatot kapjuk, ie c d) d $ e) e () + $ + f) A szomszédos tagok közötti külöbség ; f + 8 Az a, b +, c (! N + ) sorozatok egymás eltoltjai a 00 b 9 c 0 ; hasolóa b 00 a 0 c 07 ; illetve c 00 b 07 a 0

4 8 Sorozatok 8 Az értékkészletek: a) {0; }; b) {0; }; c) { ; 0; }; d) { ; }; e) {0; ; ; ; ; ; ; 0; 0}; f) *,,,,, Az utolsó számjegyek sorozatai: x x 9 9 x x x A táblázatból látható, hogy az utolsó számjegyek periodikusa ismétlôdek (x utolsó számjegye csak x utolsó számjegyétôl függ); a periódus hossza lehet, vagy a) A sorozat 00 tagja x b) A tag megegyezik x utolsó számjegyével c) Az értékkészlet, vagy elemû lehet ( + ) r r 8 a) Nem; si si ( ) b) Nem; pl eseté si + r 0 c) Ige d) Nem e) Ige f) Nem g) Ige si x cos x r N N mide xd re h) Ige (si x si (x + r) mide xre) 87 a) a 7 ; b) b ; c) egyeletbôl ( + ), tehát c Másik megoldási lehetôség: az ( + + ) átalakításból osztója ak d) d ; e) e ; f) 9 $ () + $ () + $ (), így f k, ahol k! N + 88 A mal osztva maradékot adó (pozitív) számok sorozatát az a képlettel adhatjuk meg a) a 7; b) a 00 99; c) a 00 0; d) a ; e) a ( ) 0 89 Ha a + a + a a + (a + a + )(a a + ) mide pozitív egész re, akkor két lehetôség adódik: a + a + 0 Ekkor a sorozat tagjai váltakozó elôjellel egymás elletettjei: k, k, k, k,

5 Sorozatok bevezetése 9 a + a +! 0 Ekkor a a +, a sorozat tagjai egyesével csökkeek: k, (k ), (k ),, viszot ez a sorozat em állhat végtele sok természetes számból Ha a + a a + a, akkor a fetiekhez hasoló megfotolásokkal a k, (k + ), (k + ), további sorozatot kapjuk 870 A sorozat elsô tíz tagja közül egyik sem lehet ulla, hisze az elsô és második elem szorzata em ulla A feltételt általáosa felírva a $ a + $ a + a a + (,,, 9), s mivel a +! 0 és a! 0, ie a + + adódik a egye a sorozat elsô két tagja a a és a b, ekkor a képlet alapjá a továb b a bi tagok a, a, a, a, a7 a, a a a b b 8 b Ezutá a tagok ismétlôdek, a 9 a a, a 0 a stb, hisze az a + + képlet alapjá bármely a tag csak az ôt közvetleül megelôzô két tagtól függ b b Az elsô öt tag szorzata a $ a $ a $ a $ a a $ b $ $ $, a második öt a a b a a b tag szorzata a $ a 7 $ a 8 $ a 9 $ a 0 $ a $ b $ $ b Tehát b, a, a sorozat:,,,,,,,, b a a A tagok os periódussal ismétlôdek 00 tal osztva maradékot ad, tehát a sorozat 00 tagja 87 elöljük a sorozat elsô két tagját aval és bvel, és írjuk fel segítségükkel a további tagokat, felhaszálva, hogy bármely szomszédos tag összege! A sorozat: a, b, a b, a, b, és ietôl a tagok ismétlôdi fogak (bármely tag csak az ôt közvetleül megelôzô két tagtól függ) A sorozat mide harmadik tagja megegyezik Mivel 0 maradéka mal osztva, a 0; 00 maradéka mal osztva, b 8; a mal osztható sorszámú tagok értéke 0 8 a 87 a)öye belátható, hogy a sorozat mide tagja kisebb 00ál Mivel végtele számú tagból áll a számsorozat, és bármely tag értéke csak az ôt közvetleül megelôzô tagtól függ, elôbbutóbb fellép az ismétlôdés b) A számítások meggyorsítására érdemes egy egyszerû programot íri, de mauálisa is célt érhetük 9 elöljük az,,,, 9cel kezdôdô sorozatokat `aj, `aj, `aj,, `aj el (! N + )! Ha a kezdôtag, a sorozat további tagjai,, ; vagyis a `a j:,,, 7, 8, 89,,, 0,, s ie ismétlôdés lép fel a a0, a periódus hossza p 8 `a j:, 9, 8,,, 7, a a, p 8 `a j: a a, p 8

6 0 Sorozatok `a j:,, 9, 8, 89, a a, p 8 `a j:,,,, 7, 0,, a7 a 7 7 `a j: 7, 9, 97, 0, 0,, a a 8 8 `a j: 8,,, 9, a a 9 9 `a j: 9, a a, p 8, p 8, p 8, p Vagyis a,,,,, 8, 9cel kezdôdô sorozatok periódusa a leghosszabb, 8 87 Az alábbi táblázat mutatja Béla egy lehetséges stratégiáját rossz tippek száma 0 feltevés a kezdeti golyószámra 0 tipp tippelés sorszáma Eszerit Béláak a páros számokat érdemes tippelie Ha a dobozba kezdetbe x golyó volt, (x + ) próbálkozásra a x tippel talál Számtai sorozatok 87 Számtai sorozatok: a), b), c), d), j), l), m) Meg kell mutatuk, hogy a szomszédos tagok külöbsége álladó l a + a ( + ) 8 ( 8), s ez valóba álladó érték Hasolóa járhatuk el a többi számtai sorozat eseté is; míg ez a feltétel a em számtai sorozatokra em teljesül ( + )( ) A(j ) sorozatra, hisze! ; a (k ) sorozat pedig eseté em értelmezett Igaz, a tagok közötti külöbség álladó (éppe d) 87 Ha egy (a ) számtai sorozat kezdôtagja a, külöbsége d, akkor az edik tagra a a + ( )d, s ez éppe a kívát alakra alakítható át: a a d + d 877 a) d > 0; b) d < 0; c) d 0 Itt d éppe a számtai sorozat differeciája (külöbsége) 878 Néháy lehetséges módszer: épezzük az a + a (! N + ) általáos tagok külöbségét; ha ez em álladó (vagyis tôl függ), a sorozat em számtai A számtai sorozat explicit alakja d + b (! N + ), s ez lieáris függvéye az változóak Ha az (a ) sorozat em hozható ilye alakra, akkor a sorozat em számtai Elég keresi szomszédos tagot, melyek külöbsége em egyforma (egegyszerûbb pl az elsô tag két külöbségét megvizsgáli)

7 Számtai sorozatok 879 éldául: a) A szomszédos tagok külöbsége +, em álladó ( + ) b) A kifejezés másodfokú, em lieáris c) Az elsô három tag,, 8; a külöbségek, illetve d) Az elsô égy tag, 0,, 0; a külöbségek em álladók 880 (ábra) A függvéyértékek egyegy számtai sorozat hat szomszédos tagját alkotják 88 (ábra) Az elôzô megoldához hasoló grafikookat kaptuk Az 7 a + b (! Z + ) függvéyek az x 7 ax + b lieáris függvéyek leszûkítései; a képpotok ezért egy egyeese helyezkedek el 88 Az állítások igazak Általába is igaz, hogy a számtai sorozat bármely tagjától számított mide kadik tagja (k! N + ) számtai sorozatot alkot Ha az eredeti sorozat differeciája d, akkor a kadik tagok által alkotott sorozat differeciája kd (Ha k, akkor az eredeti sorozat valamely késôbbi tagjával kezdôdô részsorozatát kapjuk) 88 Ha a sorozat szigorúa övekvô vagy csökkeô, akkor az értékkészlet végtele halmaz; ha a sorozat álladó, akkor az értékkészlet egyetle elembôl áll 88 a a d, ie d, d Mivel a a + d, a a d 7 $ Asorozat kezdôtagja a, differeciája d A számtai sorozat edik tagját az a a + + ( )d képlet segítségével számolhatjuk ki, így a kezdôtag és a külöbség már egyértelmûe meghatározza a sorozatot 88 a a 7d, ie d a 00 a + 99d

8 Sorozatok 88 7d, d, a a a + ( )d ( ) + Ugyaezt az eredméyt kapjuk akkor is, ha az a a + ( )d összefüggést alkalmazzuk 887 A sorozat elsô tagja a a 8 7d, az edik tagja a + ( ) Az 00 < < 700 egyelôtleségeket az 7, 7,, 8 számok elégítik ki, tehát a sorozatak tagja esik 00 és 700 közé 888 a) a ; a 00 98, a k k b) b ; b 00 9, b k k c) c 0,7; c 00 99,, c k k 0,7 d) d + ; d 00, d k k + k e) e ; e00 7, e k 889 Csak páros számú gyerek eseté lehetek egymással szembe állók, így jelöljük kval a gyerekek számát (k,! N + ) Észrevehetjük, hogy az es sorszámú gyerekkel szembe a (k + )edik, a essel szembe a (k + )edik, általába az iedik gyerekkel szembe az (i + k)adik gyerek áll Ie k 0, vagyis gyerek va a körbe 890 Az et és t is számolva számot kapuk Mivel ezek számtai sorozatot alkotak, a differecia, a keresett számok:,,,, 89 A számtai sorozat elsô tagjáak összege ( a a ) a ( ) d S + + $ ( ) a) Az explicit alak: a S + ( 00) $ 00, S b) b + 9 ( 0 9) ( 9 ) S ( ) $ 00, S00 90 c) c ( ) ( ) S + ( 00 ) $ 00, S00 90 d) d ( ) ( ) S + ( 00 ) $ 00, S00 970

9 Számtai sorozatok e) e 0,7; (, 0 07,) ( 0,) S + ( 00 0, ) $ 00, S f) f ; N + ( ) S ( 00) $ 00, S00 89 a) A összeg 0 tagból áll, ezért ( ) $ 0 S b) A összeg 0 tagból áll, ezért ( ) $ 0 S c) A legfeljebb háromjegyû páros számok összege ( ) $ , a legfeljebb háromjegyû páratla számok összege ( ) $ Megjegyzés: A b) eredméyhez más úto is eljuthatuk A 0 darab páratla szám midegyike gyel agyobb, mit az a) feladatbeli páros számok, így összegük 0 el több Hasolóa a c) feladatba tól 999ig 99cel agyobb a páratla számok összege, s ehhez jö még a kezdeti + 89 a) A kadik páratla szám k, a ( + 7)edik ( + 7) + + Az összeg ( + + )( + 7 ) ( + 7) Megjegyzés: Hasoló okoskodással evezetes eredméyt kapuk: az elsô páratla természetes szám összege ( + ) b) ( + + )( + ) ( + )( + ) c) ( ) ( + ) ( + ) ( ) $ ( + 97 ) $ 0

10 Sorozatok 89 elöljük el az összeg utolsó tagját (! N + )! Ekkor 000 # < ( + ), így a megoldadó egyelôtleségredszer: $ 0, illetve < 0 Az elsô egyelôtleség megoldása #, vagy, # ; a másodiké,9 < < 0,9 A megfelelô értékek:,,, Az elsô tag összege Az összegképlet alapjá ( ) $, ie 7 8 A sorozat differeciája 7, az elemek: 0, 7,, 9, 8,, 8 A közbülsô tagok száma 898 $ $ $ $ Ha ez a szám k jegyû (k! N + ), akkor 0 k # 00 < 0 k A 0es alapú expoeciális függvéy (és a 0es alapú logaritmus függvéy) szigorúa mooto ô; midkét oldalt logaritmizálva k # lg ( 00 ) < k lg ( 00 ) 00 $ lg 0,, vagyis a szám jegyû 899 A defiícióból közvetleül következik, hogy a sorozat bármelyik (él a + a agyobb idexû) tagja a szomszédos tagok számtai közepe: a + Megjegyzés: Csak pozitív számok hatváyközepeit értelmeztük (számtai közép, mértai közép, harmoikus közép stb) A számtai sorozat tagjai egatív számok is lehetek, így ebbe az esetbe helyesebb lee a számtai közép helyett az átlag kifejezést haszáluk Hibát azoba em követük el, mivel a számtai közép fogalmát egatív számokra is köye kiterjeszthetjük 900 elöljük dvel a sorozat külöbségét! Ekkor a kp a k pd és a k+p a k + pd, így a k p+ a k + p a k pd a k + + pd ak valóba teljesül 90 Az a)e) esetekbe megmutathatjuk, hogy a számtai sorozatba bármely a k taghoz képest szimmetrikusa elhelyezkedô tagok átlaga a k a) Az a 8 tagra szimmetrikus tagok átlaga a 8 Ugyais a 7 a 8 d, a 9 a 8 + d, így a 7+ a 9 a 8 d + a 8+ d a8 b) a + a + a + a + a a d + a d + a + a + d + a + d a c) a 0 d) a 7 e) a f) Ebbe az esetbe is a tagok átlagát kapjuk: a a + A szimmetriatulajdoságot pl a d t helyettesítéssel a + a + a + a 7 a + t alakba is felírhatjuk

11 Számtai sorozatok 90 A szimmetriatulajdoság miatt az elsô kilec tag átlaga 0, így az elsô kilec tag összege (Az elsô tag pozitív) 90 elöljük aval a középsô számot, dvel a sorozat külöbségét! Ekkor a három szám a d, a, a + d Az a d + a + a + d 8 feltételbôl a, az (a d) $ a $ (a + d) 9 feltételbôl d, d! A három szám,, 8 (ét megfelelô háromtagú sorozat va:,, 8, illetve 8,, ) 90 A égy szám átlaga Alkalmazzuk a sorozat külöbségére a d t helyettesítést! Ekkor a égy szám t, t, + t, + t, s mivel szorzatuk, ie 9t 0t + 0 A t be másodfokú egyelet gyökei, illetve 9 I e t!, illetve t! Négy megfelelô sorozatot találtuk:,,, ; 9,, +, + ; valamit ezek fordítottjai 90 elöljük a sorozat második tagját aval, a differeciát dvel! Ekkor (a d) + a 0, a + (a + d) 0 Az egyeletek összeadása és kivoása utá az ad 8, a + d egyeletredszert kapjuk A d a 8 helyettesítéssel a 8a + 0, ie a!9 (d!), illetve a! bd! 9 l Négy sorozatot kapuk: a + ; b ; c 9 7 ; d a) 0 hét elteltével b) Feltételezve, hogy a termelés egyik héte sem szüetel, az héte 00 + $ terméket gyártaak ( 00 + ) $ a) $ ( ) $ ( ) darab b) $ ( ) ( + ) darab 909 A sorba szék va, így összese ( 0 + ) $ 7 a férôhelyek száma 90 Ha sor szék va a ézôtére (! N + ), akkor az ülôhelyek száma ( ) $ ( + 9), ie ( hamis gyök) 9 A kiosztott részek számtai sorozatot alkotak elöljük aval a legkisebb részt, dvel a külöbséget, ekkor: ( a+ a+ d) $ 00 és 7(a + a + d) a + d + a + d + a + d

12 Sorozatok A kapott egyeletredszer: a + d 0 és a d, eek megoldása a és d 7 Arészek:,, 0,, 9 elöljük tvel a második kerékpáros idulásától a találkozásig eltelt idôt! Ekkor az elsô kerékpáros (8 t) utat tett meg, a második (7 + t) utat A megtett utak összege 9 km, ie ( t) $ ( t+ ) ( t) $ t + 9 A t + t 0 egyelet megoldása t, t Elfogadható megoldás t, a két kerékpáros a második idulása utá órával (az elsô idulása utá órával) találkozik Megjegyzés: Természetese ezt az értéket rövid próbálgatás utá is meghatározhatjuk Ekkor azoba meg kell idokoli, hogy miért em lehetséges több megoldás 9 elöljük uval az utolsó mukás mukaóráiak számát, mmel a mukába részt vevô mukások számát! Az egyes mukások mukaideje számtai sorozatot alkot, ezért az összes mukaidô ( u + u) $ m Ie ( u + u) $ m m, u, u Az elsô mukás órát dolgozott, de a mukások számát em tudjuk meghatározi A bûvös álladó értéke A ös összeg lehetséges $ elôállításai: + + 9, + + 8, + + 9, + + 8, + + 7, + + 8, + + 7, + + Észrevehetjük, hogy csak az ös szerepel égy összegbe is, így a középsô mezôre kerül A,,, 8 számok kétkét összegbe szerepelek, ezek leszek a bûvös égyzet csúcsaiba stb Egy lehetséges megoldás (ez található az Icsig (Változások köyve) c ôsi kíai jósköyvbe is): Elsô megoldás: Az elôzô feladat megoldáshoz hasolóa megmutathatjuk, hogy ha a sorozat tagjai a d, a d,, a + d, akkor a középsô mezôre szükségképpe a kerül; a csúcsokba a d, a d, a + d, a + d; végül az élközép mezôkre a d, a d, a + d, a + d Ie már köye szerkeszthetô bûvös égyzet Második megoldás: Észrevehetjük, hogy ha a bûvös égyzet mide eleméhez ugyaazt a számot adjuk, vagy mide elemét ugyaazzal a számmal megszorozzuk, akkor továbbra is bûvös marad Így az,,, 9 számokat a tetszô

13 Számtai sorozatok 7 leges a, a + d, a + d,, a + 8d számtai sorozatra traszformáljuk: a sorozat tagjait dvel szorozva a d, d,, 9d sorozatot kapjuk, majd itt mide taghoz (a d)t aduk A bûvös égyzet bûvös tulajdosága megmarad, például az alábbi égyzetbôl kiidulva: d " 7d d d " d d 9d 8d d a + d a + d a + d a a + d a + 8d a + 7d a + d a + d 9 Tegyük fel, hogy az eredeti tervek szerit t hétre volt elegedô a takarmáy, ekkor a meyisége t A valóságba t ideig tartott ki a takarmáy, a fogyasztás ( t) volt Ie ( + t) $ t t, t 8, t 0 Összese 0 liter takarmáyt tároltak, eredetileg 8 hétre száták Amikorra a takarmáy elfogyott, a tyúkok is elfogytak $ 7 97 Összese mérkôzésre került sor Eyi a játékosok potszámaiak összege is, ezért a helyezett verseyzô potot szerzett Ha a szám tai sorozat külöbsége 0, akkor midekiek potja volt; ha a számtai sorozat külöbsége 0,, akkor a potszámok:,; ;,; ;,; ;,; ha a számtai sorozat külöbsége, akkor a potszámok: 0,,,,,, (Ez utóbbi esetbe em volt dötetle, mide játékos legyôzte a ála gyegébbet) Több lehetôség ics 98 Az elsô ágyás megötözéséhez , a másodikhoz + +, a harmadikhoz + +,, az utolsóhoz méteryi utat kell megteie A számtai sorozat összege ( + 0) $ 0 0 (m) 99 elöljük a +, a +,, a + el a szomszédos természetes számokat (a! N)! Ezek összege a + ( + ), s ez potosa akkor osztható el, ha páratla k( + ) 90 Az a + kifejezés osztható el, ha páratla vagy k páros (Csak akkor em osztható el, ha páros és k páratla) 9 Sokféle megoldás adható l csoportosítsuk hármasával a számokat, az egyes csoportokba 0,,, 9, a számok összege (Az összeg midig hármasával ô, ugyais a megfelelô tagokat párosítva + + a változás) Így a 00 tagig a tagok összege, ehhez jö még +00 Eredméy: 70 9 Más megoldási lehetôségek: Összegezhetjük külö az,, 7,, 00, valamit,, 8,, 00, illetve,, 9, 00 sorozatokat; vagy az összegbôl levohatjuk a összeg kétszeresét

14 8 Sorozatok 9 Az elsô egy tag összege a S 8, az elsô két tag összege a + a S stb Ha $, általába is teljesül, hogy S S + a a S S + d_ i + _ i +, vagyis az (a ) sorozat valóba számtai 9 elöljük az oldalakat a, b, cvel, s legye pl a # b # c Ekkor a számtai sorozat számtaiközéptulajdosága miatt b 0, s az (a, c) párra öt megoldást kapuk: (a, c) (, ), (7, ), (8, ), (9, ), (0, 0) Több em lehet a háromszögegyelôtleség miatt 9 elöljük a szögeket a, b, cval, s legye pl a # b # c! Ekkor a szimmetriatulajdoság miatt b 0, a! {,,, 0 }, s mide ahoz egyetle c tartozik Összese 0 megoldás va 9 elöljük a sokszög oldalszámát el (! N + ), ekkor szögei 0,, 0,, + $ Bármely szög belsô szögeiek összeg ( ) $ 80, így a mértékegységeket elhagyva ( + ) ( ) $ 80 Ie ( ) ( ) $ 80, átalakítva + 0 A másodfokú egyelet gyökei 9, A feladatak csak az 9 a megoldása; az esetbe a sokszögek 80 os szöge is vola 9 egye a három oldal hossza a d, a, a + d (a > d; a, d! N + ), a legkisebb szöge a! Ekkor itagorasz tételébôl (a + d) a + (a d), ie ad a Mivel a! 0, a háromszög oldalai d, d, d si a, a,9, a másik két szög, és 90 Megjegyzés: A megoldásba em haszáltuk ki, hogy az oldalak egész számok Ha tehát egy tetszôleges derékszögû háromszög oldalai számtai sorozatot alkotak, szögei,9,, és a) Az elsô 99 sorba szám va, így a 00 sor kezdôszáma 9, a helye álló szám 9 ( ) b) Az elsô ( ) sorba szám va, az sor k helyé álló ( ) szám + k ( ) c) Az # 000 egyelôtleségbôl, # #,, tehát az $ 000 a sorba található Az elsô sorba 990 szám va, az 000 a sor 0 száma 98 a) Az elsô 9 sorba az elsô páratla szám található A 0 sor elsô eleme a páratla szám, + $ 9 A keresett összeg ( ) $ 0 99

15 Számtai sorozatok 9 b) A sor az páratla számmal kezdôdik, közepé a páratla szám va, a $ ( ) c) Az + k sorszámú páratla szám áll itt, eek értéke ( ) + k ( + ) 99 Az elsô sorba lévô számok összege, a második soré ( + ) ( + ) +, a harmadiké + és így tovább; az utolsó sorba az ( + ) összeg + ( ) Eze számok összege ( + ) ( + ) N + + ( ) ( + ) 90 A feltételek szerit S b, S c, keresedô S Észrevehetjük, hogy a második elem mide egyes tagja éppe a differeciával agyobb, mit az elsô elem megfelelô tagjai Ha a sorozat differeciáját dvel jelöljük, akkor c b + d, hasolóa S b + d Ie S b + (c b) c b 9 Tegyük fel, hogy kezdetbe tagú volt a sorozat; ekkor tagjai 7, 8,, + (! N + )! Észrevehetjük a következôket: páratla számú szomszédos egész szám átlaga egész szám; páros számú szomszédos egész szám átlaga egész szám és fél; ha kiveszük egy tagot a sorozatból, a megmaradt számok átlaga az eredeti átlagtól legfeljebb 0,del tér el Ez alapjá két lehetôséget vizsgáluk meg: a szám kivétele elôtt az átlag lehetett vagy, Ha az átlag volt (vagyis páratla), akkor ( ), ie 7 Az eredeti sorozat 7, 8,, 87, a tagok összege ( ) $ 7 9 A kivétel utá a maradék 70 szám átlaga,, ekkor a számok összege, $ 70 8ra módosult A kivett szám a Ha az átlag, volt (vagyis páros), akkor ( ),, ie 7 Az eredeti sorozat 7, 8,, 88, a tagok összege ( ) $ A kivétel utá a maradék 7 szám átlaga,, ekkor a számok összege, $ 7 Ez em egész, ekkor ics megoldás

16 0 Sorozatok Mértai sorozatok 97/II 9 Mértai sorozatok: b), c), e), g), h), k), l) Meg kell mutatuk, hogy a szomszédos tagok háyadosa álladó (ha a sorozat semelyik tagja sem 0); vagy, kicsit potosabba, meg kell mutatuk, hogy bármelyik tag az elôzô tag qszorosa, ahol q a sorozat háyadosa (kvóciese) l b + $ b mide re, így a (b ) sorozat mértai; míg pl az (a ) sorozat elsô három tagja,,, s mivel!, a 97/I sorozat em mértai 9 Igaz; bármely tag az elôzô qszorosa 9 A sorozat tagjai a, aq, aq stb éldául: a) a > 0, q > ; vagy a < 0, 0 < q < b) a > 0, 0 < q < ; vagy a < 0, q > c) q d) a, q 9 Több lehetôségük va Egyrészt a mértai sorozat explicit alakja a aq ; ha a vizsgált (a ) sorozat explicit alakja más, és em is hozható erre az alakra, akkor em mértai sorozat Másrészt megmutathatjuk, hogy a szomszédos tagok háyadosa em álladó (ha a tagok egyike sem zérus); egyes esetekbe az általáos eset helyett már kétkét szomszédos tag háyadosáak vizsgálata is elletmodásra vezethet a+ 9 a)! álladó, függ tôl a + b) A sorozat elsô három tagja, 0, ; a szomszédos tagok em ugyaayiszorosai egymásak c) Az elsô tag, a második ; de a harma dik tag (9) em szorosa a másodikak d) A sorozat tagjai, 0, stb; ezek ismét em alkotak mértai sorozatot 97 A függvéyértékek egyegy mértai sorozat tagjait adják (97/I II ábra) 98 Az állítások igazak Általába is igaz, hogy a mértai sorozat bármely tagjától számított mide kadik tagja (k! N + ) mértai sorozatot alkot Ha az eredeti sorozat há

17 Mértai sorozatok yadosa q, akkor a kadik tagok által alkotott sorozat háyadosa q k (Ha k, akkor az eredeti sorozat valamely késôbbi tagjával kezdôdô részsorozatát kapjuk) 99 Az értékkészlet lehet elemû (ha a sorozat álladó), elemû (ha a kvócies és em ulla az elsô tag), vagy végtele sok elemû 90 a, a 7 9 Mivel a 7 a $ q, q, q! a q ét megoldás va: a kezdôtag, a háyados pedig + vagy Az explicit alak a $ vagy a $ () a 7 a 7 9 q 8$, ie q a a $ q a $ $ $ + ; a a) Nem szerepelhet, hisze mide tag 7ek többszöröse b) Ha egy egész szám em osztható mal, akkor a kétszerese sem, ezért a sorozatba ics mal osztható szám c) A0 9 # 7 $ <0 0 egyelôtleségredszer megoldásszámát keressük Az x7 log x függvéy szigorúa övô, így log 0 9 # log (7 $ ) < <log 0 0, 9 log 0 log 7 + # <0log 0 log 7 +, ie 8,09 # <, Három megoldás va 9 a)c): Nicseek ilye sorozatok d) A hetedik tag q szerese a harmadik tagak, ezért a két tag em lehet elletétes elôjelû Nics ilye sorozat Általába is igaz, hogy a mértai sorozat páratla sorszámú tagjai em lehetek külöbözô elôjelûek (és természetese ugyaez teljesül a páros sorszámú tagokra is) e) q 8, q!, tehát két ilye sorozat va 9 A sorozatra q, a $, így a $ 000 < $ < 000, ie, < <, ét tag esik a megadott itervallumba: a és a 9 a) a, így a 00 99, a 8k 8k N b) b 8 $, így b 00 8 N 00 $, b 8k 8 8k N $ c) c $ (), így c 00 $ () 99, c 8k $ () 8k d) d (0,), így d 00 (0,) 00, d 8k (0,) 8k e) e $ ( ), így e 00, e 8k 9 Az (a ) mértai sorozatba a és a, ie q A tíz szám:,,,, 0

18 Sorozatok 97 elöljük Tvel a gyáregység kezdeti termelését! Ekkor az elsô hóap végé,0 $ T, a második hóap végé,0 $ T, az edik hóap végé,0 $ T a termelés a) Egy év alatt a termelés,0 $ T,7Tre emelkedik, a övekedés,7%os b),0 $ T T, ie 9, Álladó ütemû övekedés mellett 70 hóap alatt kétszerezôdik meg a termelés 98 A háyados lehet vagy, az összeg 0 vagy 0 99 elöljük a keresett összeget Ssel: S Ie S , a kettô külöbségébôl S 0 90 Hasolóa járhatuk el, mit az elôzô feladat megoldásába egye S a + aq + aq + + aq ; ekkor qs aq + aq + + aq + aq, s a kettô külöbségébôl (q )S aq a q Ha q!, akkor a mértai sorozat elsô tagjáak összege S a $ q Ha q, akkor ez a képlet em haszálható Mivel q eseté a mértai sorozat mide tagja a, S a $ 9 a) b) + c) 9 9 $ 0, ezért $ ( ) 9 $ ( ) d) 8 $ ( ) 8 $ 8 ( ) $ $ () e) ( 7) $ () 9 Az (a ) mértai sorozatba q(a + a + a + a ) (a + a + a + a ), így q a + a + 9a + 7a 0, ie a a (! N) 9 q $ (a + a + a ) (a + a + a 7 ), így q! Ha q, akkor a, a, az összeg ; ha q, akkor a, 7 7 $ a ( 7) $, az összeg + 0 0, Ha a sorozat tagjai pozitívok, akkor bármely tag a szomszédos tagok mértai közepe Ha a szomszédos tagok között egatívok is vaak, akkor helyesebb úgy fogalmazuk, hogy bármely tag égyzete egyelô a szomszédos tagok szorzatával (Csak pozitív számok mértai közepét értelmezzük) a 9 a k p k a, a q p k + p a k q p k, p aq p $ k a k valóba (Ha a tagok között egatívok is vaak, akkor a ak pak + p q ak összefüggés helyett az a k p a k + p a k képletet alkalmazhatjuk)

19 Mértai sorozatok 9 Megmutatható, hogy a pozitív tagú mértai sorozatba bármely a k taghoz képest szimmetrikusa elhelyezkedô tagok mértai közepe a k ; ha pedig a tagok között egatívok is vaak, az elôzô feladat megoldásához hasolóa hatváyalakba fogalmazhatjuk meg a kapcsolatot a a) a 8 ; b) ua u; c) aaa aaq a q ; d) a ; e) ua 0 u; f) a 7 ; g) ua u h) Ha a tagok pozitívok, aaaa 7 aa, a szomszédos tagok mértai közepét kapjuk a a 98 egye a három szám, a, aq (q! 0)! Ekkor + a + aq, q q a N a + a + a q q Átalakítva az egyeleteket: + aq a, q a N a N + aq + a q + a q q, ezért ( a) + a Ie a, s az elsô 0 egyeletbôl + q, q vagy q q ét megfelelô sorozat va:,, 8, illetve 8,, 0 99 A szimmetriatulajdoság miatt a középsô szám 0; az elsô szám, a q 0 harmadik 0q (q! 0)! Ekkor + 0q, q, q q 0, A sorozat:, 0, 0, illetve 0, 0, 90 A búzaszemek száma , irdatla agy szám Eyi búza többszöröse befedé a Föld teljes felszíét (Egy másik hasolat: ha a búzatároló raktár alapterülete 0 m, akkor magasságáak éppe a Napig kellee emelkedie, hogy eyi búza beleférje) $ 0, (Ft) 9 Az elsô hajtogatás utá hajtásvoal keletkezik A második hajtogatás utá új hajtásvoal lesz (összese ), a harmadik utá új hajtásvoal (összese 7),, az hajtogatás utá új hajtásvoal keletkezik Összese a keletkezett hajtásvoalak száma Megjegyzés: A kapott hajtásvoalak száma elvi érték, a gyakorlatba csak éháy hajtogatást végezhetük Érdemes kipróbáli! 9 a) Midkét méret részére csökke Az összehajtogatott papír mérete, cm #,7 cm b) vízszites és ugyaeyi függôleges hajtásvoal keletkezik c), cm, illetve,7 cm Megjegyzés: A gyakorlatba a yolc hajtogatás ige eheze hajtható végre

20 Sorozatok 9 a) A jelelegi termelések: T I 00 $,0 0 80,; T II 80 $,0 0, A II vállalat már megelôzte az Iest a termelésbe b) Az össztermelések: S I 00 $, $, $, , 00 $, 0 $ 77,; 0, 0 0, S II 80 $, $, $, $, 0 $ 0, 777, Az eltelt 0 év alatt a II vállalat termelt többet 9 a) egye a vállalatok termelése kezdetbe 00 egységyi! Az I vállalatál az egyes évekbe 0, 0,, 00 a termelés agysága Az össztermelés ( ) $ 0 0 A II vállalatál jelölje x a övekedés ütemét! 00 $ x 0 00, ie x 0,07, vagyis a övekedés 7,%os Az össztermelés c m $ c m 00 $ 0 0 9, b) Ha évet tekitük, a két össztermelés: T I ( ) $ 0 + 0, illetve T II 00 $ 0 9, $ 0 b l 0 eseté T I 0, T II 7,; re T I 700, míg T II 70 A évbe a II vállalat össztermelése agyobb lesz; s mivel övekedéséek üteme gyorsabb, a külöbség ôi fog 9 A hat hajtogatás utá darab réteg kerül egymásra a) b) $ 9 97 Elsô megoldás: koskodjuk visszafelé! Mivel a hetedik vevô a maradék almák felét és még egy fél almát kapott, s ekkor elfogytak az almák, a hatodik vevô utá összese alma maradt Hasoló okoskodással az ötödik vevô utá maradt (ebbôl kapott meg a hatodik vevô, + 0, almát), a egyedik utá 7, a harmadik utá, a második utá, az elsô utá ; s kezdetbe 7 volt (Elleôrizzük!) Második megoldás: elöljük xszel az almák kezdeti számát! Az elsô vevô x x + + almát kapott, maradt x A második vevô x x+ x x+ x + almát kapott, maradt Tovább

21 Mértai sorozatok folytatva az eljárást, a harmadik vevô x x + +,, a hetedik vevô 8 x+ x+ x+ x+ x+ 7 almát kapott + x , ie x 7 98 Az r sugarú félkör hossza rr a) Az egyes félkörök hossza mértai sorozatot alkot: r, r, r, N Ezek együttes hossza 0 lépés utá r N 0 N r r 9 b) Az elôzô átalakításhoz hasolóa megmutatható, hogy lépés utá N (! N + ) a spirális hossza r Ez az érték midig kisebb, mit r; a kör kerülete soha em érhetô el c) r( ) r( 0 ) 99 Vegyük fel az ábra szerit két éritkezô kört! elöljük a körök középpotjait Bvel és Cvel, 99 a középpotokból az egyik szárra bocsátott merôlegesek talppotjait redre Evel és Ffel; legye továbbá a B középpotú kör sugara x, a C középpotúé y Mivel a körközéppotoko átmeô egyees szimmetriaokok miatt felezi az A csúcsál lévô 0 os szöget, ezért az ABE derékszögû háromszög szögei 0 és 0 Ie AB BE x, hasolóa AC CF y Mivel BC x + y, így y x x + y, ahoa x y A kapott eredméy a többi éritkezô körre is igaz; a körök sugaraiak hosszai olya mértai sorozatot alkotak, melyek háyadosa A sugarak övekvô r r sorredbe:,, r, r, 9r Alkalmazzuk a 0 0 becslést! 0 km 0 m 70 m (Valójába 9,90 $ 0 0, 70,8 $ 0 ) A 0 geerációak még 70szer kellee osztódia, hogy térfogatuk elérje a Föld térfogatát A 0 osztódás idôtartama valamivel kevesebb, mit ap 97 Mide egyes hajtogatásál a felület felére csökke, a vastagság kétszerezôdik a) 0 b) Ha jelöli a hajtogatások számát (! N + ), akkor $ 0, $,8 $ 0, ie $,8 hajtogatásra vola szükség

22 Sorozatok 97 a) a 0 ; 0 b) b $ + ; ( 0 )( 0 + ) c) c 0 $ + $ g 97 a) + g + g + + g ; g _ + gi` g j b) _ + gi`+ g + g +fg j ; g g g ( g + )( g ) c) $ $ g + $ g g g 97 a) 8 cm # 8,8 cm; T , cm b) cm #,9 cm; T T 0,9 cm c), cm #,7 cm; T 0 T 0 0 9,7 cm 97 Az elsô kiötés utá az g só 80%a marad meg; a második utá már csak eek a 80%a stb $ 0,8 0 0, (g), eyi só marad 97 Az elsô kiötés utá 9 liter víz marad; a második utá eek a 9%a; a harmadik utá már csak a maradék 9%a stb A megmaradt víz: 0 $ 0,9 9,7 (l), tehát 0,7 liter alkohol marad az edéybe 977 a) Az elsô év végé tartozásuk 0 $,08 Ft Ebbôl 0 Ftot az év végé törlesztettük, így a második év elejé tartozásuk 0 $,08 0 Ft, ez fog kamatozódi A második év végi törlesztés utá tartozásuk 0 $,08 0 $,08 0 Ft, általába az év végé (! N + ) 0 $,08 0 $,08 0 $,08 0 Ft 0 $,08 0 $,08 0 $, , 0 $,08 0 $ Ha az év végé ics tartozásuk, 08, akkor 0 $,08, $ 0 $,08 +, $ 0 # 0 Eek megoldása $ 0,9, vagyis a év végé fizetjük vissza a tartozásukat (Az utolsó évbe kevesebbet fizetük vissza, mit Ft) b) 0 éve keresztül $ 0 Ftot fizetük vissza A 0 év végé tartozásuk, $ 0 0, $ 0 $, Ft; a teljes visszafizetett összeg 08 7 Ft 978 Az félhag frekveciája a 0 Hz alapérték szerese Így a frekveciák kerekített értékei: hag frekvecia (Hz) a b h c cisz d disz e f fisz g gisz a

23 Mértai sorozatok egye a mértai sorozatot alkotó három szám a, aq, aq Ha egyúttal számtai sorozatot is alkotak, akkor a + aq aq, ie a(q q + ) 0 Az a 0 vagy a q lehetôségek azt mutatják, hogy a három szám egyelô Megjegyzés: Az ilye típusú feladatokba kiidulhatuk az a d, a, a + d számtai sorozatból is Ha ezek a számok mértai sorozatot alkotak, akkor (a d)(a + d) a, d Elsô megoldás: egye a számtai sorozatot alkotó három szám a d, a, a + d Ha a reciprokaik mértai sorozatot alkotak, akkor $ a d a + d a, ie d 0 A három szám egyelô, de a! 0 Második megoldás: Ha az a, aq, aq mértai sorozatból iduluk ki, akkor az + egyeletbôl q (a! 0) a aq aq 98 Elsô megoldás: egye a számtai sorozat három eleme a, a + d, a + d; ekkor a mértai sorozat három eleme a, a + d, a + d + Ie a(a + d + ) (a + d), valamit a + d + a Az egyeletredszer megoldása d, a A számtai sorozat tagjai:,, ; a mértai sorozaté,, Második megoldás: Ha az a, aq, aq mértai sorozatból iduluk ki, akkor a, aq, aq számtai sorozatot alkot (a + aq aq) és a + aq 98 egye a számtai sorozat három eleme d,, + d; ekkor d,, + d mértai sorozatot alkot, tehát ( d)( + d) Ie d!, a három szám,, 8 98 Iduljuk ki a számtai sorozatból! A három szám összege 0, így tagjai 0 d, 0, 0 + d; az eredeti mértai sorozat tagjai pedig 0 d,, 0 + d Ie (0 d)(0 + d), d!8 A három szám,, 8 98 Elsô megoldás: egye a három szám a, a + d, a + d! Ie a + a + d + a + d, valamit a(a + d) (a + d) A második egyeletbôl ad d Ha d 0, a 8, 8, 8 sorozatot kapjuk; ha d! 0, akkor d a Az elsô egyeletbe visszahelyettesítve a, d adódik; ekkor a három szám,, 98 Második megoldás: egye a három szám a, aq, aq! Ekkor a + aq + aq, valamit 8(aq a) aq a Mivel a! 0, a második egyeletbôl 8(q ) q ; ie q és q 7 adódik stb 98 Elsô megoldás: egye a három szám a, aq, aq! Ekkor a + aq + aq, valamit (a + ) + (aq + ) (aq + ) A két egyelet külöbségébôl aq, visszahelyettesítve az elsô egyeletbe q 0q + 0 A két gyök q, q ; a kezdôtag a, a 8 A három szám,, 8 (vagy 8,, sorredbe) Második megoldás: A számtai sorozat három tagjáak összege + + +, így a számok d,, + d A d,, 9 + d számok mértai sorozatot alkotak, ie ( d)(9 + d), d d 0 Eek gyökei

24 8 Sorozatok d 9, d 7; a számtai sorozat,, vagy 9,, ; a hozzájuk tartozó mértai sorozatok,, 8, illetve 8,, 98 Ha a számtai sorozat három tagja a d, a, a + d, akkor a kezdeti a d, a, a + d és a végsô a d, a, a + d + számok is mértai sorozatot alkotak Ie (a d)(a + d) (a ), valamit (a d)(a + d + ) a Az 8 N egyeletredszer megoldása (d; a) (8; 0) vagy (d; a) ; 9 ; a három 0 0 szám lehet,, 8 vagy,, egye a égy szám a d, a, a + d, ( a+ d )! Ekkor a d + ( a+ d ) a a, a + a + d 0 Az egyeletredszer megoldása (d; a) (; 8), illetve (d; a) (;,) A égy szám, 8,, 8; vagy 7,,,, 7,,, 988 egye a d + c (! N +, d! 0)! a) a + a + d + c + d( + ) + c d + c + d szité számtai sorozat (a differecia d) b) a + a d, álladó számtai sorozat c) a d + c számtai sorozat d) a d + dc + c ; ez ú másodredû számtai sorozat (a szomszédos tagok külöbsége alkot em álladó számtai sorozatot) a c d e) $ ( ) mértai sorozat (q d ) 989 Számtai sorozatokat kapuk 990 Az a)f) esetekbe mértai sorozatokat kapuk egye a a q (a, q > 0,! N + )! a) a + a + a q + a q a ( + q)q mértai sorozat (a kvócies q) b) a q a q a (q )q (Ha q, a kostas 0 sorozat adódik) c) a a q d) a a $ `q j, a háyados q e) aq a $ b ql N f) $ a a q g) lg a lg (a q ) lg a + ( ) lg q, számtai sorozat (lg q a külöbség) 99 Ha a páratla sorszámú tagok összegét Aval jelöljük, akkor a páros sorszámú tagok összege qa (q a sorozat háyadosa) A + qa A, ie q (A 0 em lehet, a tagok pozitívok) 99 egye A a + a + a + a 8 és B a + a + a + a 7! Ekkor A + B 0, 8 A B 0; ie A 00, B 0, s mivel A qb, q a $ 0, 0 ie a A sorozat: a 0 $ 9

25 Mértai sorozatok 9 99 a) egye a háromszög három oldala a # aq # aq (q $ ) A háromszögegyelôtleségek teljesülie kell, ezért a + aq > aq ; ie aq aq a < 0 Az egyelôtleség megoldása + + < q < Háromszöget # q <, eseté kapuk Ha em tesszük fel, hogy q $, akkor 0, + N + az alsó korlát: < q < b) Ha a háromszög derékszögû, akkor a + a q a q + Ie q q 0, a pozitív gyök q Ebbôl a pozitív q + értéke,7; ekkor a derékszögû háromszög oldalai mértai sorozatot alkotak ehetséges a reciprok megoldás is, ekkor N q 079, ( ) 99 a) S $ ( ); $ ; N $ ( ); N N R $ $ q b) Ha a sorozat em álladó (q! ), akkor S b $ ; q ( ) q b $ q ; N b $ ; q N q q N R b $ b ( q ) $ q q Ha a sorozat álladó, akkor S $ b, b, N $ b, R b 99 Ha a mértai sorozat mide tagja, akkor elem összege 9; ekkor azoba $! 8

26 0 Sorozatok Ha a mértai sorozat a a $ q (! N +, q! ) alakú, akkor az elsô tagjáak összege S q a $, az elsô tag reciprokáak összege q q N R $ a ( q ) q q q N Ie S $ 9, R $ q ( q ) q Az elsô egyeletbôl (q ) (q ), a másodikból (q ) q (q ); ie q, 8 vagyis q q Visszahelyettesítve q,, a tagok:,,,, 8 99 A 0 év végé a faállomáy $,0 0, majd ritkítás utá 9000 $,0 0 m lesz Ugyaígy a év végé 9000 $,0 0 $,, illetve 800 $,0 0 $, m, a év végé 800 $,0 0 $,, illetve 790 $,0 0 $ $, m, vagyis 079 m a faállomáy A kitermelt fa meyisége,0 0 $ ( $, + 80 $, ) m, vagyis 00 m fát vágak ki N 997 a + + q q, a N + q q 0 egye z + q, ekkor q a (z ), a z 0 A két egyelet háyadosából 0(z ) z, ie 0z z 0 0 z, vagy z 0,; az elsô esetbe q vagy q 0, (a ), míg a második esetbe ics megoldás ét lehetséges sorozatot kaptuk: a $, illetve a 8 $ 0, Rekurzív sorozatok Explicit és rekurzív alakok 998 A sorozatok kezdôtagját tôl idexeljük, így pozitív egész szám a) Explicit alak: a Rekurzív alak: ha $, akkor a a ; a Egy másik rekurzív megadás pl a a ( $ ), a a b) Explicit alak: b + ; Rekurzív alak: b b + ( $ ), b c) Explicit alak: c ; Rekurzív alak: c c + ( $ ), c d) Explicit alak: d + ; Rekurzív alak: d d ( $ ), d 8 N e) Explicit alak: e 8 $ ; Rekurzív alak: e e ( $ ), e

27 Rekurzív sorozatok f) Explicit alak: f ( ) $ ; Rekurzív alak: f f ( $ ), f g) Explicit alak: ha páratla, g ; ha páros, g 7 Másik lehetôség: g $ () + Rekurzív alak: g g + $ () ( $ ), g h) Explicit alak: h ( ) + ( ) +0 Rekurzív alak: h h + ( $ ), h i) Explicit alak: i ( + ) ( 7+ + ) + Rekurzív alak: i i + ( + ) ( $ ), i 7 j) Explicit alak: j! Rekurzív alak: j $ j ( $ ), j k) Explicit alak: k k Rekurzív alak:, ie k k k $ ( $ ), k Egyéb lehetôségek: k k ( + ) így k k ; ( + ) vagy k $ k ( +, ie k ) $ ( + ) k l) Explicit alak: l Rekurzív alak: l l $ + + ( $ ), l a) a a + ( $ ), a b) b b + ( $ ), b c) c c ( $ ), c d) d d ( $ ), d e) e e ( $ ), e f) f f ( ) ( $ ), f g) g g ( $ ), g

28 Sorozatok Rekurziók osztályozása 000 a) Ez a számtai sorozat rekurzív alakja; álladó együtthatós, elsôredû, d 0 eseté homogé, egyébkét ihomogé, lieáris rekurzió (Az explicit formula: a c + ( )d, ( $ )) b) Ez a mértai sorozat: álladó együtthatós, elsôredû, homogé, lieáris rekurzió A mértai sorozat explicit alakja b cq ( $ ) c) Nem álladó együtthatós, elsôredû, homogé, lieáris rekurzió Megoldása c! ( $ 0) a 0! megállapodással d) Elsôredû, másodfokú (emlieáris) rekurzió e) Másodredû, törtes (emlieáris) rekurzió f) A jól ismert Fiboaccisorozat: álladó együtthatós, másodredû, homogé, lieáris rekurzió (eoardo isao (70) itáliai matematikus vizsgálta elôször ezt a sorozatot) g) Negyedredû homogé emlieáris rekurzió 00 A sorozat explicit alakja a (! N + ) a) a a + ( $ ), a b) a a + ( $ ), a, a Egy másik lehetôség: mivel bármely közbülsô tag a szomszédos tagok a + a számtai közepe, $ eseté a +, vagyis a + a a Ie idexeltolással a a a ( $ ), a és a c) a a + 8 ( $ ), a, a, a, a 8 a+ a + a+ a+ + a+ Másik lehetôség: az a összefüggést átalakítva a + a + + a a a ( $ ), a, a, a, a 8 ( a+ )( a+ ) d) l a, a a, a Teljes idukció 00 a) Az a, a, a behelyettesítések alapjá az explicit alakra az a összefüggést sejthetjük meg Teljes idukcióval bizoyítuk: feltesszük, hogy ak k, s kérdés, hogy ak + k + teljesüle A rekurziós összefüggés és az idukciós feltevés alapjá ak + + ak + k + k, vagyis sejtésük igaz a 00 0 b) Sejtés: a + 99 Teljes idukcióval bizoyíthatuk Az öröklôdés az ak + + ak + k+ 99 k+ 00 átalakításból következik a 00 99

29 Rekurzív sorozatok N 00 A sorozat éháy kezdôtagja alapjá a, a, a az a + sejtést próbálhatjuk bebizoyítai az a k k k idukciós feltevésbôl kiidulva Mivel ak a + + k +, így az explicit képlet valóba a + k k k + k + 00 Elsô megoldás: A sorozat tagjaiak hárommal való osztási maradékai (, 0,, 0, ) periodikusa ismétlôdek, mert a sorozat bármely tagja csak az ôt közvetleül megelôzô tagtól függ Így a sorozat páros idexû tagjai és csak azok oszthatók mal Megjegyzés: A periodicitás egyébkét a skatulyaelv miatt bármely redû rekurzív összefüggés és a as helyett tetszôleges modulus esetébe is feáll, ha a sorozat elemei egészek Második megoldás: A sorozat kezdôelemei,,, 9, 7 stb Észrevehetjük, hogy midegyik tag eggyel agyobb egy kettôhatváyál, így az a + ( $ ) explicit alakot sejthetjük meg Az idukciós feltevés a k k +, ebbôl kell belátuk, hogy a k+ k +, ez pedig az a k+ a k ( k + ) k + átalakításból már következik + ugyaazt a maradákot adja mal osztva, mit () +, tehát a sorozat páros idexû tagjai oszthatók mal Elsôredû lieáris rekurziók 00 Írjuk fel az i tag rekurziós alakját redre az i,,,, esetekbe: a c, a a + f, a a + f, a i a i + f i, a a + f Az egyeleteket összeadva a c + f + f + + f N rqvidebbe: a c+! f i Vagyis mide olya esetbe felírhatjuk a et zárt i alakba, amikor az f + f + + f összeg zárt alakra hozható

30 Sorozatok 00 a) Az a a + + (! N +, $, a 0) összefüggésbôl a 0, a a +, a a +, a a + + Az egyeleteket összeadva a ( + ) ( )( ) , s így 00 + $ 00 + a b) A mal való oszthatóság szempotjából elég vizsgáli az a + + explicit alak számlálóját, hisze és relatív prímek Ha maradéka 0, vagy, akkor + + maradéka redre,, Vagyis ebbe a sorozatba ics mal osztható tag 007 Elsô megoldás: Az elsô csúcsból ( ) darab szakaszt húzhatuk (kimarad ömaga); a második csúcsból már csak ( )t, hisze az elsô csúccsal már összekötöttük egyszer; a harmadikból ( )at stb; végül az utolsó, ( ) csúcsból már csak egy szakasz húzható A behúzott szakaszok száma ( ) ( ), az átlók száma ( ) ( ) tehát Második megoldás: Mide csúcsból átlót húzhatuk; ez ( ) átlót jelet Mivel mide átlót kétszer számoltuk, az összes átló száma ( ) Harmadik megoldás (rekurzióval): Ha a kovex ( )szög átlóiak száma A, akkor az csúcs felvételekor új átló keletkezik, valamit egy korábbi oldalélbôl is átló lesz Vagyis az A A + ( $, A 0) rekurzió explicit alakját kell elôállítauk Eek megoldása a hagyomáyos módo A ( ) ( ) 008 Adott számú egyees eseté a legtöbb síkrészt akkor kaphatjuk, ha az egyeesek között icseek párhuzamosak, és semelyik poto em megy át kettôél több egyees (Véges számú egyeest így midig felvehetük) Az alábbi táblázatba feltütettük, hogy 0,,,, egyees felvételekor háy tartomáy keletkezett egyeesek száma: tartomáyok száma: külöbség: 0 7

31 Rekurzív sorozatok Észrevehetjük, hogy a szomszédos tartomáyszámok külöbsége eggyel ô A sejtés bizoyításához tegyük fel, hogy egyees S részre osztja a síkot Az egyees elmetszi a korábba felvett egyeest, ekkor új tartomáy keletkezik; valamit az utolsó metszéspot utá szité kapuk egy további (em korlátos) síkrészt Vagyis egyees legfeljebb S + részre osztja fel a síkot, mit azt sejthettük Az S S + ( $, S 0 ) rekurzió megoldása: S ( ) ; legfeljebb eyi részre oszthatja egyees a síkot 009 Adott számú kör felvételekor a legtöbb síkbeli tartomáyt akkor kaphatjuk, ha bármely két kör két potba metszi egymást és semelyik metszéspoto em megy át kettôél több kör (Ellekezô esetbe a tartomáyok számát övelheték) A továbbiakba tehát csak az ilye helyzetû körökkel foglalkozuk Tegyük fel, hogy darab kör k részre osztja a síkot Az kör felvételekor ( ) metszéspotot kapuk, s midegyikhez tartozik egy új tartomáy Így a k k + ( ) ( $, k ) rekurzív összefüggést kapjuk, eek megoldása k + ( ( )) + ( ) + A maximális helyzet el is érhetô Tetszôleges eseté megadhatuk darab kört úgy, hogy bármely kettôek két metszéspotja legye l egy adott kört rögzített iráyba ( )szer kissé eltoluk; ha az elsô és utolsó kör középpotjáak távolsága kisebb, mit a kör sugara, akkor midegyik kör metszi midegyik kört, külöbözô potokba 00 Az alábbi táblázatba az,,, téglalaphoz tartozó maximális tartomáyú síkfelosztás adatai láthatók téglalapok száma: tartomáyok száma: külöbség: 8 egtöbb síkrészt akkor kapuk, ha bármely két téglalap égy potba metszi egymást (Ez a helyzet el is érhetô) Tegyük fel, hogy ( ) darab téglalap t részre osztotta fel a síkot! Az téglalapak a korábbi téglalapokkal ( ) metszéspotja va, s midegyik metszéspothoz egyegy új tartomáy tartozik Ie t t + ( ) ( $, t ) A rekurzió megoldása: ( ) + $ `+ + + f + _ ij + 0 Írjuk fel a sorozat éháy kezdôtagját és vizsgáljuk a szomszédos tagok külöbségét: a e, a b $ a + c, a b $ a + c, a b $ a + c, Akülöbségek: a a b $ a + c e, a a b(a a ), a a b(a a ), Defiiáljuk a (d ) külöbségsorozatot d i a i a i (i $ ) formába, ekkor

32 Sorozatok d b $ a + c e ( álladó), d b $ d, d b $ d Vagyis (d ) egy b háyadosú mértai sorozat, d b $ d Mivel a d + a, a d + a, a d + a, a (d ) sorozat ismeretével egy olya elsôredû rekurziót kaptuk (a ) re, melybe a együtthatója Eek megoldása már korábba láttuk: a a + d + d + d + + d, ie b b a a+ d e + _ be + c ei b b 0 Elsô megoldás: A sorozat kezdôtagjai: a, a a + 7, a a +, a a + A külöbségsorozat d, d 8, d,, d Így a a + d + d + + d Második megoldás: Behelyettesíthetük az elôzô feladat megoldásába levezetett a b e + _ be + c ei formulába: a b e, b, c, így a + _ $ + i + Harmadik megoldás: Az explicit alak köye megsejthetô, dolgozhatuk teljes idukcióval is Megjegyzés: A külöbségsorozat haszálata miatt kissé kéyelmesebb az (a ) sorozatot 0tól idexeli 0 a) a 0 b) a c) a + 0 Ha c 0, akkor a rekurzió homogé, egyébkét ihomogé Az általáos megoldást a speciális homogé rekurzió megoldása segítségével állítjuk elô A továbbiakba feltesszük, hogy b! 0 (egyébkét a rekurzió elfajul) egye a c 0 esethez tartozó homogé rekurzió megoldása (h ): h b $ h ( $, a N h 0 értéke egyelôre szabado választható); majd tekitsük a (q ) h sorozatot: + c c + Az így kapott q h a ba c a h h h q +, ( $, q h h 0 c c c késôbb meghatározadó) rekurzió megoldása q q h h h c N i vagy rqvidebbe q0+! i h Ie a a 0 ci +!, vagyis i h h0 i hi a 0 ci a h h h +! 0 i hi A homogé rekurzió megoldása h h 0 b b b (Ha b álladó, akkor speciális esetkét a mértai sorozatot kapjuk meg) átható, hogy a h 0 választás ci a legkéyelmesebb; ekkor h b b b, és a a 0 h +h! h i i

33 Rekurzív sorozatok 7 0 Elsô megoldás: A sorozat éháy kezdôtagja a 0, a, a, a 8 8 stb Megsejthetjük, hogy ha a sorozat egyik tagja y x, akkor a követke x + zô tag ; így a olya tört alakba írható, melyek evezôje, számlálója pedig az x y x +, x 0 rekurzív összefüggésbôl határozható meg Ez utóbbi megoldási képletét már korábba levezettük, most vagy idexeltolást alkalmazuk, vagy x kezdôtaggal számoluk: + x + _ $ + i + Sejtésük alapjá a, ezt teljes idukcióval bizoyíthatjuk Az állítás 0ra igaz Ha a k $ k N k (k! N + ), akkor a k k a k + $ k k k N + k+ $ k + k + k $, tehát valóba feáll az $ $ k $ öröklôdés Második megoldás: Helyettesítsük be az általáos képletbe A h $ h N ( $, h 0 ) homogé rekurzió megoldása h Mivel b, c, N N N N így a N ` j + N + $ 0 A sorozat éháy kezdôtagja: a 0, a, a 8, a 9 stb Elsô megoldás: Alkalmazzuk az elôzô feladat megoldási módszerét (b, c ) A h $ h ( $, h 0 ) homogé rekurzió megoldása h, így N a $ + $ + $ + + $ ( ) + $ A tag utái összeget felfoghatjuk, mit darab mértai sorozat összegét:

34 8 Sorozatok (): ; (): ; ( ): + ; (): Ezek összege +, így a $ Második megoldás: Tekitsük az (a ) sorozat külöbségsorozatát d a a a + (a + ) d + d, a (d ) sorozat explicit alakja d + $ ( ) $ ( $ ) Ie a a 0 + d + d + + d + $ ( ) + $ $ 07 a) A sorozat éháy kezdôtagja: a 0, a, a 9, a A h h, (! N +, h 0 ) homogé lieáris rekurzió megoldása h A összeg értéke N N + N $ ; végül + N N + + a + Az explicit alak a + + (! N + ) + b) Az elsô elem összege S + + c) A + + kifejezés tel való osztási maradékait vizsgáljuk Az oszthatósági szempotból egyeértékû () + + kifejezés páratla értékekre ulla maradékot ad, páros ek eseté $ + a maradék Tehát az a a + (! N +, a 0 ) sorozatba csak a páratla sorszámú tagok oszthatók tel Megjegyzés: Egyes esetekbe speciális megoldási módszereket is alkalmazhatuk Az a 0, a a 0 +, a a +, a a +, a a + egyeletek összeadása elôtt azoos együtthatókat állítuk elô midkét oldalo

35 Rekurzív sorozatok 9 Az (utolsó elôtti) egyeletet megszorozzuk mal; az ( ) egyeletet al, az ( )et al,, végül az elsô egyeletet el Az így kapott egyeleteket összeadva a + $ + $ + + $ + Ezt tekithet jük egy kezdôtagú és kvóciesû mértai sorak, amit a hagyomáyos képlettel összegezhetük; vagy megszorozhatjuk a ( )es téyezôvel, s így e vezetes azoosságot kapuk: + + ( $ 0) 08 eletse a az év végé meglévô összeget, ekkor tulajdoképpe az a $,0, a (a ) $,0,0a $,0 rekurziót kell megoldauk ( $ ) Az elsô év végé a $,0 az összeg; a második év végé ez tovább kamatozik, értéke $,0 lesz; s az újoa betett Ft további $,0 értéket ad A harmadik év végére (0 000 $, $,0) $, $, $, $, $,0 a kamatozott összeg Észrevéve a szabályosságot, az év végére $, $, $,0 a teljes összeg, ami agyobb vagy egyelô, mit Ezutá alkalmazhatjuk a mértai sorozat összegképletét Eredméy: $,97, vagyis év Másodredû rekurziók 09 A sorozat kezdôtagjai 0,,, 7,,,, Az (a ) sorozat megoldását a x alakba keressük; ekkor az x x + x átalakítás utá x (x x ) 0 Mivel x! 0, az x x 0 ú karakterisztikus egyelet gyökei b és c Ez azt jeleti, hogy az a a + a összefüggést az a b () és az a c mértai sorozatok is kielégítik Sôt az általáos megoldást b és c lieáris kombiációjakét kaphatjuk meg (Egyszerû behelyettesítéssel meggyôzôdhetük arról, hogy a mértai sorozatok lieáris kombiációja valóba megoldása az eredeti rekurzióak) Az a ub + vc általáos megoldásba az u, v értékeket az a 0 0, a kezdeti értékek illesztésével határozhatjuk meg Az a 0 0 feltételbôl u + v 0, az a feltétel miatt u + v Az egyeletredszer megoldása u, v ; tehát a sorozat explicit alakja a ( ) + $ Hasolóa járhatuk el mide a b $ a + c $ a rekurzió megoldásakor, ha a karakterisztikus egyeletek két valós gyöke va; sôt akkor is, ha a két gyök komplex

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák

Sorozatok - kidolgozott típuspéldák 1. oldal, összesen: 8 oldal Sorozatok - kidolgozott típuspéldák Elmélet: Számtani sorozat: a 1 a sorozat első tagja, d a különbsége a sorozat bármelyik tagját kifejezhetjük a 1 és d segítségével: a n =

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:

SZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban: SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I. 1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Matematika levelezős verseny általános iskolásoknak II. forduló megoldásai

Matematika levelezős verseny általános iskolásoknak II. forduló megoldásai Matematika levelezős verseny általános iskolásoknak II. forduló megoldásai 1. Hány olyan téglalap van, amelynek csúcsai az alábbi négyzetrács rácspontjaira esnek? A téglalapok oldalai vagy,,függőlegesek"

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Folytonos idejű rendszerek stabilitása

Folytonos idejű rendszerek stabilitása Folytoos idejű redszerek stabilitása Összeállította: dr. Gerzso Miklós egyetemi doces PTE MIK Műszaki Iformatika Taszék 205.2.06. Itelliges redszerek I. PTE MIK Mérök iformatikus BSc szak Stabilitás egyszerűsített

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1 Stabilitás 2008.03.4. Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben