I. rész. Valós számok

Átírás

1 I. rész Valós számok

2

3 Feladatok 3

4 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ) (3 + ) = ( + ) a) b) ( + ) = +. k ( ) = k. k= k=2.4.! + 2 2! + +! = ( + )! ( + )( + 2) =.6. cos x cos 2x cos 2 2 x... cos 2 x = si(2+ x) 2 + si x osztható 33-mal osztható 9-cel (2 ) = 2. ( + )( + 2)( + 3). 4 Egyel tleségek Oldja meg a következ egyel tleségeket! x 3.. 8x 4x 2 < x x 2 + 5x x 2 3x (x 3 )(x ) 0.

5 x 5 x + 3 > 0. 3x x >..7. 2x 3 < x +.9. x + 2 x l x < si 2x 4 < 3 2.

6 6

7 Megoldások 7

8 8 Teljes idukció.6 = 0-ra az egyel ség egy ismert trigoometrikus azoosság átredezése. Az idukciós lépés: cos x cos 2x cos 2 2 x... cos 2 x cos 2 + x = si 2+ x cos 2 + x 2 + si x =.7 = si 2+2 x 2 +2 si x. Az els egyel ség az idukciós feltételb l, a második a 2 cos y si y = si 2y azoosságból (y = 2 + x helyettesítéssel) adódik = (2 + 2) 0 (mod33) Az els kogruecia 44 (mod 33) miatt adódik. Egyel tleségek.0. x 56.. x < 2, x > x 7, x 2.3. x 4.4. < x <.5. x > 5, x < 3.6. x <, < x < < x < 5.8. x 0 vagy x 2.9. x /3 < x < π 6 + kπ < x < 2 + π 6 + k

9 II. rész Sorozatok, végtele sorok 9

10

11 Feladatok

12 2 Számsorozat megadása Írja fel az alábbi sorozatok -dik elemét! Vizsgálja meg, hogy a sorozat korlátos-e, mooto-e, illetve koverges-e! 2.., 4, 9, 6, , 2 9, 3 6, 4 25, , 2, 5, 8, , 2, 3, 4, ,,,,, , 9; 0, 99; 0, 999; 0, 9999, , 3 2, 5 3, 7 4, , 2 3,, 3 4,, 4 5,... Írja fel az alábbi sorozatok els éháy elemét. Vizsgálja meg, hogy a sorozat korlátos-e, mooto-e, koverges-e! ( ) Számsorozat határértéke Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét!

13 Határozza meg az alábbi sorozatok határértékét! ( + ) ( + )3 ( ) 3 ( + ) 2 + ( ) ( + 2)! + ( + )! ( + 3)! 2.33 ( 2 )

14 ( + )( + 2) (2 ) ( + ) (2 )(2 + ) Vizsgálja meg, hogy kovergesek-e az alábbi sorozatok. Ha ige, akkor határozza meg azt az N(ε) küszöbidexeket, melyél agyobb idex elemek a számsorozatba az el írt ε-ál kisebb hibával közelítik meg a sorozat határértékét ε = ε = ε = ε = ( + ) 2 ε = ε = 0 6

15 ε = ε = ε = 0 3 Vizsgálja meg, hogy alábbi sorozatokba milye N(K) küszöbidext l kezdve leszek a sorozat elemei az adott K számál agyobbak! K = K = K = K = 0 20 Határozza meg az alábbi határértékeket! ( + 3 ) 2.62 ( + 2 ( ) 2.64 ) ( + ) ( ) ( 2 ) ( ) + ( ) ( )3 ( )

16 ( + 2 ) ( ) [ + ( 2 ) ] ( + ) ( + 2 ) ( 2 ) ( + ) ( + ) 3 Határozza meg az alábbi rekurzív sorozatok határértékét! a2, a 0 = a, a 0 = 0 a + = 2 + a, a 0 = 2 a + = a2 + 4, a 0 = 4

17 Számsorok 7 Kovergesek-e az alábbi végtele sorok? = = ( ) 0.5 = = = = = =0 si 2 ( + ) = ( + ) = = = = 5! ( ) = si = = = = =2 =3 l ( ) 2 ( ) 3

18 =2 l 2 ( + = + 2 ) = k= (!) 2 (2)! si 2 k k(k + ) = = ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( + 2)(2 + ) k=0 si kπ 2 k 2.2 ( ) 2 ( ) 4 = ha k =, a k ahol a k = k= k + 2 k ha k páratla ha k páros = ( + 3) = 2 + ( 2) ( 2 + ). 2.6 = ( ( ) + )

19 9 2.7 = ( 2) (2 + )! Abszolút kovergesek-e az alábbi végtele sorok? 2.8 = ( ) =0 ( ) =0 2.2 ( ) 3 + = ( ) =2 ( ) l 2.24 = si π = si π = ( ) Számítsa ki a következ sorok összegét! ( k 2 =0 ( ) 2 3 ), k 0 rögzített. =0 k = =

20 = = = = ( + ) 2.35 Írja fel közöséges tört alakba az alábbi tizedestörteket! a,, b, 0, Képezzük sokszöget egy szabályos a oldalú, T terület háromszögb l a következ rekurzív eljárással:. Osszuk mide oldalt 3 egyel részre. 2. Mide középs oldal szakaszra illesszük szabályos háromszöget. 3. Ismételjük meg az el z lépéseket. Az így kapott sokszög az úgyevezett Koch-görbe. Meyi a Koch görbe kerülete és területe? 2.37 Egységyi terület szabályos háromszögbe beírjuk a középvoalai által alkotott háromszöget. Ezutá vesszük az eredetivel egyállású részeket es azokba is beírjuk a kozépvoalai által alkotott háromszögeket. Ezt rekurzíva ismételjük. A kapott alakzat a SIERPINSKI háromszög. A középvoalak által alkotott háromszögek összterülete háyadik iteráció utá haladja meg a 75/256 értéket?

21 Megoldások 2

22 22 Számsorozat megadása 2. 2, a sorozat diverges , a sorozat koverges. ( + ) , a sorozat diverges. 2.4 ( ) +, a sorozat koverges. 2.5 ( ), a sorozat diverges ( ), a sorozat koverges ( ), a sorozat diverges. 2.8 ( + ( ) (+) ), a sorozat koverges. Számsorozat határértéke lim = lim 3 4 lim 5 + = lim = 0 = lim ( + ) = lim ( ) = = lim = 0 + +

23 ( + 2)! + ( + )! lim ( + 3)! = lim ( + )!(( + 2) + ) ( + )!( + 2)( + 3) = = lim = lim = lim ( + ) 2 = lim + 2 = Teljes idukcióval belátható, hogy Ezért ( + ) = lim a = lim + = ha = 2 = < 0 5, < azaz N = 74999

24 N = N = = 2 < 0, azaz 2 <.. Midkét oldal 2-es alapú logaritmusát véve kapjuk, - a logaritmusfüggvéy szigorú mootoitása miatt - hogy azaz N = 7. < log N = N = N = N = > 0 6 > 0 3, így ez a szám jó lesz N küszöbidexek N = N = N = e e lim ( + 2 ) ( ( = lim + ) e e e e e e e e e ) = e ( ) + ( lim lim ( + ) = lim ( + ) ) + = + + lim a k= k(k + ) = lim 3 = lim 3 ( + )( + 2) 3 = 3

25 2.79 Teljes idukcióval belátható, hogy a sorozat mooto öv, és korlátos. Ebb l következik, hogy koverges, vagyis létezik a lim lim a + = A 25 határérték. Amib l eek megoldása A = A2 = A,

26 26 Számsorok 2.83 Diverges Pozitív tagú sor, és a = ( 2.85 lim ) = e diverges A sor diverges, ugyais = koverges geometriai sor majorálja, tehát koverges. 2, tehát a kovergecia szükséges feltétele em teljesül: a sor > = ( + ) = 2 2 +, a sort tehát a harmoikus sor miorálja, amely diverges Diverges Koverges Diverges, mert 3 lim = 9, s így a kovergecia szükséges feltétele em teljesül. ( ) Pozitív tagú sor, melyet majorál a koverges geometriai sor, tehát koverges. 4 =0 2.9 Diverges Diverges Diverges Diverges Koverges Diverges Koverges. A pozitív tagú sort majorálja a ( = mert pl. a gyök-kritériumot alkalmazva lim ( + ) 2 = + ) 2 = lim ( ) + = e < 2.98 Diverges Diverges Diverges. 2.0 Koverges. sor, amely koverges,

27 Diverges. Ugyais ( ) 2 ( ) = 3 2, 3 s így ( ( 2) = 3) =3 Ez a harmoikus sor viszot diverges. =3 3 2 = Diverges Koverges Koverges Koverges Diverges Koverges Koverges. 2.0 Koverges. 2. Koverges. 2.2 Koverges. 2.3 Koverges. 2.4 Koverges. = 2.5 Koverges. 2.6 Diverges. 2.7 Koverges. 2.8 Feltételese koverges. 2.9 Abszolut koverges Abszolut koverges. 2.2 Feltételese koverges Diverges Feltételese koverges Feltételese koverges Abszolut koverges Feltételese koverges Koverges geometriai sor: q = k2 + k 2 < a, ; b,

28 K =, T = 2 3a = 4. 5