min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

Átírás

1 . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: 2. Archimédeszi tulajdoság. Idirekt) teljességi = ξ R : a ξ K a A, K B) axióma K B ξ K a > 0, b R, N : b < a a > 0, b R N : b a Legye H = { a N}. Ekkor H felülr l korlátos suph =: ξ ξ a legkisebb fels korlátja H-ak ξ a már em fels korlát 0 N : ξ a < 0 a ξ ξ < 0 + ) a Elletmodás, mert ξ fels korlát, azaz 0 + ) a ξ. 3. Cator-tulajdoság. N : [a, b ] R korlátos és zárt itervallum úgy, hogy [a +, b + ] [a, b ] N) akkor [a, b ] N Legye A = {a N} és B = {b N}. Ekkor a b m, m N) Két eset lehetséges: ha m, akkor a a m b m ha m <, akkor a b b m A teljességi axióma miatt: ξ R : a ξ b m, m N) =m a b N) ξ [a, b ] ξ N[a, b ]

2 4. Koverges sorozat határértéke egyértelm. Az a ) sorozat koverges, ha A R, ε > 0, 0 N, 0, N : a A < ε ) Ha az a ) sorozat koverges a deícióbeli A szám egyértelm. Ezt az A számot az a ) sorozat határértékéek evezzük. idirekt) Tegyük fel, hogy A A 2 és teljesül rájuk ) feltétel. 0 < ε < A A 2 2 ε > 0-hoz: N, : a A < ε 2 N, 2 : a A 2 < ε Legye 0 := max{, 2 }, 0 0 < A A 2 = A a )+a A 2 ) a A + a A 2 < 2 ε < A A 2 5. Közrefogási elv. Tegyük fel, hogy a ), b ) és c ) valós sorozatok úgy, hogy N N, N : a b c Továbbá Ekkor limb ) is és limb ) = A A R véges a határérték) lima ) = limc ) =: A R a ) : ε > 0, N, : A ε < a < A + ε c ) : ε > 0, 2 N, 2 : A ε < c < A + ε Legye 0 := max{a, a 2 } 0 : A ε < a b c < A + ε azaz b k ε A) limb ) = A 2

3 A = +, tekitsük a )-et lima ) = + P R, N, : a > P Legye 0 := max{, N}, ekkor: 0 : b a > P limb ) = + A =, tekitsük c )-et limc ) = P R, N, : c < P Legye 0 := max{, N}, ekkor: 0 : b c < P limb ) = 6. M veletek ullsorozatokkal. Tegyük fel, hogy lima ) = 0 és limb ) = 0, ekkor:. a + b ) is ullsorozat 2. ha c ) korlátos sorozat, akkor a c ) ullsorozat 3. a b ) is ullsorozat Bizoyítás. a ) : ε > 0, N, N) : a < ε 2 b ) : ε > 0, 2 N, 2 N) : b < ε 2 ε > 0, 0 := max{, 2 }, 0 : a + b ) 0 = a + b a + b < ε 2 + ε 2 = ε lima + b ) = 0 2. c ) korlátos K > 0, N : c < K lima ) ε > 0, N, : a < ε K ε > 0, 0 =, 0 : a c ) 0 = a c a c < ε K K = ε lima c ) = 0 3. limb ) = 0 b ) korlátos lima b ) = 0 3

4 7. A koverges sorozatok szorzatára voatkozó tétel. Legye a ), b ) koverges sorozatok és lima ) =: A R, limb ) =: B R, akkor a b ) sorozat is koverges és lima b ) = A B. Igazoljuk, hogy a b A B) ullsorozat. a b AB = a b Ab + Ab AB = b a A) + b b B) b a A korlátos ullsorozat + A b B korlátos ullsorozat } {{ } ullsorozat lima b ) = A B 8. Mooto sorozatok határértékére voatkozó tétel.. Ha az a ) sorozat mooto öveked és felülr l korlátos [mooto csökke és alulról korlátos], akkor koverges és lima ) = sup{a N} R [lima ) = if{a N} R] 2. Ha az a ) sorozat mooto övekv és felülr l em korlátos [mooto csökke és alulról em korlátos], akkor lima ) = + [lima ) = ]. Tegyük fel, hogy a ) felülr l korlátos sup{a N} =: A R Mivel A a sorozat legkisebb fels korlátja, ezért: N : a A ε > 0, 0 N : A ε < a 0 A De az a ) [fogyás eseté hasoló] 0 : A ε < a 0 a A lima ) = A 2. Tegyük fel, hogy a ) felülr l em korlátos De az a ) [lima ) = hasoló] P R, 0 N : a 0 > P 0 : a a 0 > P lima ) = + 4

5 9. A geometriai sorozat határértékére voatkozó tétel. lim q = = 0 ha q < = ha q = = + ha q > = határérték ha q q R q < : Ha q = 0, akkor az állítás yílvávaló. Ha 0 < q <, akkor az q > számot írjuk fel q = +h h > 0) alakba. A Beroulli-egyel tleséget alkalmazva azt kapjuk, hogy 0 0 < q = ) = q Közrefogási elv alapjá limq ) = 0. q = : triviális q > : Legye q = + h h > 0) + h) + h } h {{ } 0 q = + h) Beroulli + h > h N) Ekkor: P R, 0 N, 0 : q h > P [ ] Ha 0 = P h + limq ) = + N) q : Ekkor a páros idex részsorozatok + + ) és a páratla idex részsorozatok + ) határértéke q ) sorozatak az itervallumba. 0. Az e szám bevezetése az + ) =, 2,... ) sorozattal. Az a = + ) =, 2,... ) sorozat mooto öv felülr l korlátos Jelölés: } a ) koverges Az a ) sorozat mooto öv a = e := lim + ) + ) = + )... + ) < )) + = + 2 ) + = a+ + 5

6 Az a ) sorozat felülr l korlátos + 4 ) = )... + ) számtai 2 < ) + +2 ) = mértai + 2 a = + ) < 4 N) a ) sorozat koverges. sor ko-. A teleszkópikus sor kovergeciája és összege. A vergeciája.. A +) sor koverges és + = +) = 2 2. A 2 Bizoyítás sor koverges.. s = ) Ötlet: k k+) = k k+ s = + 2) 2 + 3) ) ) = = + ) = lims ) = 2. s = ) = + = 2 s 2 =, 2,... ) s ) korlátos és s ) s ) koverges 2 koverges. 2. A Cauchy-féle gyökkritérium. Tekitsük a sort és tegyük fel, hogy létezik az A := lim a ) R határérték, ekkor. 0 A < eseté a a sor abszolút koverges, tehát koverges is; 2. A > eseté a a sor diverges; 3. A = eseté a a sor lehet koverges és diverges is. 6

7 0 A < : Vegyük egy q A, ) számot, ekkor q-hoz 0 N, 0 : a q a q 0 ) Mivel 0 q < q koverges majorás = a koverges a koverges krit. miatt A > : Vegyük egy q, A) számot, ekkor q-hoz 0 N, 0 : a q a q 0 ) Mivel q > q + a ) em ullsorozat a ) em ullsorozat a diverges. A = : Például: A sor diverges és lim A 2 ) ) = lim = ) sor koverges és lim = lim 2 ) 2 = 3. A D'Alembert féle háyadoskritérium. Tekitsük a a sort, ) és tegyük fel, hogy a ) 0 N), továbbá létezik az A := lim a+ a R. Ekkor. 0 A <, akkor a sor abszolút koverges, tehát koverges is; 2. A >, akkor a sor diverges; 3. A =, akkor a sor lehet koverges és diverges is. 0 A < : Vegyük egy q A, ) számot, ekkor q-hoz 0 N, 0 : a + a < q Legye 0 tetsz leges a + < q a q 2 a q + 0 a 0 = a 0 q q 0 c a + c q 0 ) Mivel q < q koverges 7

8 A > : Vegyük egy q, A) számot, ekkor q-hoz: 0 N, 0 : a + a q Legye 0 tetsz leges a + > q a q 2 a q + 0 a 0 lim a + ) = + ugyais q lima ) 0 a diverges A = : Például: A ) sor diverges és lim + A 2 sor koverges és lim ) = lim + = lim 2 ) = lim ) 2 = 4. Függvéy határértékére voatkozó átviteli elv. Legye f R R, a D f és A R. Ekkor lim a f = A x ) : N D f \{a}, limx ) = a eseté lim + fx )) = A : lim a f = A + ε > 0, δ > 0, x D f k δ a)\{a}) : fx) k ε A) 3) Legye x ) : N D f \{a}, limx ) = a tetsz leges sorozat. Igazoli kell, hogy lim + fx ) = A. Legye ε > 0 tetsz leges rögzített szám, ekkor δ amire 3) teljesül. De limx ) = 0 0 N, 0 : x k δ a) 3) = 0 : fx ) k ε A) fx ) + A : idirekt) Tegyük fel, hogy 2) teljesül, de lim a f A. Ekkor ε > 0, δ > 0, x D f k δ a)\{a}) : fx) k ε A) Legye δ = N), x : k a) x a + ) ), amire fx ) / k ε A) fx ) A 2) ) 2) 8