2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
|
|
- Irma Hegedűsné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk össze és ezt vizsgáljuk. Ez vezet el a következő fogalomhoz:. defiíció. Legyeek f (x), =,,... olya függvéyek, amelyek közös értelmezési tartomáya I. Ekkor a belőlük képzett függvéysoro az f (x) + f (x) + + f (x) +... kifejezést értjük, ahol x I. Egy kokrét x I értéket behelyettesítve a következő végtele sort kapjuk: Ha cos x <, akkor a vizsgált függvéysor abszolút koverges, tehát koveges. Tudjuk, hogy cos x. Külö meg kell vizsgáli a cos x = és a cos x = eseteket. Ha cos x =, akkor a függvéysor a következő végtele sort adja: , ami egy diverges sor. A cos x = egyelet potosa az x = kπ eseté teljesül (k egész szám). Ha cos x =, akkor a függvéysor a következő alteráló sort adja: ( ) +..., ami egy koverges sor a Leibiz-kritérium alapjá. A cos x = egyelet potosa az x = π + kπ eseté teljesül (k egész szám). Összefoglalva kapjuk, hogy a kovergeciatartomáy a valós számok halmaza kivéve a kπ alakú számokat. f (x ) + f (x ) + + f (x ) Ez vagy koverges vagy diverges.. defiíció. Azo x I számok halmazát, amelyekre koverges sor, az f (x ) + f (x ) + + f (x ) f (x) + f (x) + + f (x) +... függvéysor kovergeciatartomáyáak modjuk. Példák:. Határozza meg az e x = e x + e x + e 3x + + e x +... = függvéysor kovergeciatartomáyát! Megoldás: A feti függvéysor egy e x háyadosú mértai sor, ami potosa akkor koverges, ha e x <. Ez pedig potosa akkor teljesül, ha x <, tehát a kovergeciatartomáy a egatív számok halmaza.. Határozza meg az = cos x = cos x+ cos x + cos3 x 3 függvéysor kovergeciatartomáyát! Megoldás: A gyökkritériumot alkalmazzuk: cos x = cos x + cos x Hatváysorok Ebbe a fejezetbe egy speciális, de alkalmazás szempotjából alapvető fotosságú függvéysort tárgyaluk. 3. defiíció. Az x = hely körüli hatváysorak evezzük a c x = c + c x + c x + + c x +... = alakú függvéysort. Az x = a körüli hatváysor: c (x a) = = c + c (x a) + c (x a) + + c (x a) Itt az a számot a hatváysor középpotjáak, a c, c, c valós számokat pedig a hatváysor együtthatóiak evezzük. Példa. Határozza meg az 3 (x 3)+ 9 (x 3) + + ( 3) (x 3) +... hatváysor kovergeciatartomáyát és adja meg a feti sor által defiiált függvéyt a kovergeciatartomáyba! Megoldás: A feti hatváysor egy olya mértai sor,
2 amelyek első eleme és háyadosa x 3 3. Ez potosa akkor koverges, ha x 3 3 < < x < 6. Ekkor az előállított függvéy a mértai sor összegképlete szerit: ( ) x 3 = 3 x. 3. Határozza meg a = x! hatváysor kovergeciatartomáyát! Megoldás: Az x valós szám akkor lesz bee a kovergeciatartomáyba, ha a = x! végtele sor koverges. Alkalmazzuk a háyados kritériumot a kovergecia eldötésére: x + = x + = <, (+)! x! mide valós x eseté koverges sort kapuk, tehát a kovergeciatartomáy a valós számok halmaza. 3. Határozza meg a = x hatváysor kovergeciaratomáyát! Megoldás: Az x valós szám akkor lesz bee a kovergeciatartomáyba, ha a x = végtele sor koverges. Alkalmazzuk a gyökkritériumot a kovergecia eldötésére: x = x = +, ha x, mide x eseté diverges sort kapuk, tehát a kovergeciatartomáy a {} halmaz. Az alábbiakba azt mutatjuk meg, hogy éz ki egy kovergeciatartomáy és hogya lehet egyszerűe meghatározi azt.. tétel (Hatváysorok kovergeciatétele).. Ha a = a x hatváysor koverges valamely x = c szám eseté, akkor abszolút koverges mide x eseté, ha x < c.. Ha a = a x hatváysor diverges valamely x = d szám eseté, akkor diverges mide x eseté, ha x > d. Bizoyítás:. Ha = a c koverges, akkor tudjuk, hogy a c =, létezik N egész, hogy N eseté a c <, a < c. Ie kapjuk, hogy ha x < c, akkor N eseté a x < x. c Ezért a = a x végtele sorból formált s részletösszegre felső becslés (feltehető, hogy N): a + a x + a x + + a N x N + a N x N + a N+ x N+ + + a x a + a x + a x + + a N x N + x N + x N c c koverges végtele sor.. Ha valamely x eseté x > d és = a x koverges lee, akkor a Tétel első (már bizoyított fele) szerit = a d is koverges lee, ami elletmodás. A feti tétel alapjá már köyű leíri a = a x hatváysor kovergeciatartomáyát: Ha létezik olya c valós szám, amelyre = a c koverges végtele sor és létezik d valós szám, amelyre = a d diverges végtele sor, akkor R-rel jelölve a { c : a c = koverges} halmaz legkisebb felső korlátját kapjuk, hogy olya x-re, amelyre x < R a a x = koverges lesz, mivel R defiíciója szerit va olya c valós szám, amelyre x < c < R és = a c koverges végtele sor, de ekkor az előző tétel. szerit = a x is koverges lesz. Másrészt, ha valamely d valós szám eseté x > R, akkor R defiíciója miatt = a x diverges lesz.
3 Ha em létezik olya c, amelyre = a c koverges, akkor ez azt jeleti, hogy a kovergeciatartomáy a {} halmaz; míg ha olya d em létezik, amelyre = a d diverges, akkor a kovergeciatartomáy a valós számok halmaza. Összefoglalva és most már a középpotú hatváysorokra kimodva kapjuk, hogy:. tétel. A a (x a) = hatváysor kovergeciatartomáya következőképpe ézhet ki:. Létezik R >, hogy ha x a < R, akkor koverges a hatváysor, míg ha x a > R, akkor koverges. Külö kell meggodoli az x = a±r számok eseté a kovergeciát; eszerit a kovergeciatartomáy egy yílt vagy félig yílt, félig zárt vagy egy zárt itervallum lehet.. A sor csak az x = a eseté koverges, egyébkét diverges. 3. A sor mide valós szám eseté koverges. A feti tételbe szereplő R-et kovergeciasugárak hívjuk. Ha létezik a a határérték, akkor a kovergeciasugarat köyű meghatározi: 3. tétel.. Ha létezik a < harérérték, akkor. Ha R = a. a < a =, akkor a kovergeciatartomáy a valós számok halmaza. 3. Ha a =, akkor a kovergeciatartomáy az {a}, a hatváysor csak x = a eseté koverges. Bizoyítás: Csak.-et bizoyítjuk: Ha a = a (x a) koverges, akkor a x a = x a a, x a a. Ha a = a (x a) diverges, akkor a x a = x a a, Ie kapjuk, hogy x a x a < a. a eseté koverges a = a (x a) végetele sor, míg ha x a > a, akkor diverges. Ez mutatja, hogy a kovergeciasugár Az előző tétel mitájára meg lehet mu- Megjegyzés: tati, hogy R = a. R = a a +, ha ez a határérték létezik (végtele is lehet). Összefoglalva: A a (x a) = hatváysor kovergeciatartomáyáak meghatározása a következőképpe törtéik: Kiszámoljuk a R kovergeciasugarat: Ez alapjá R = a = a a +. ha R =, akkor a kovergeciartamáy a {a} halmaz, csak x = a-ba koverges a sor;. ha R = +, akkor a kovergeciartamáy a valós számok halmaza (mideütt koverges a hatváysor); 3. ha R pozitív valós szám, akkor a hatváysor koverges az ]a R, a + R[ yílt itervallumba és diverges a ], a R[ és ]a + R, [ yílt félegyeeseke. Az x = a R potról a a ( R) végtele sor kovergeciája, míg az x = = a + R potról a döt. a R végtele sor kovergeciája = 3
4 Példa: Határozza meg a = x = x + x + x hatváysor kovergeciatartomáyát! Megoldás: Nyilvá a középpot a = és az együtthatók a =. Emiatt R = =, a hatváysor koverges a ], [ yílt itervallumba és diverges a ], [ és ], [ félegyeeseke. Ha x =, akkor a = = harmoikus sort kapjuk, amiről tudjuk, hogy diverges. Ha x =, akkor a ( ) = = alteráló sort kapjuk, ami a Leibiz-kritérium alapjá koverges. Így a kovergeciatartomáy a [, [ balról zárt, jobbról yílt itervallum. A következő tétel azt modja, hogy egy hatváysor által megadott függvéy deriválása és itegrálása a hatváysor tagjaiak deriválását és itegrálását jeleti. 4. tétel.. Ha a c (x a) = hatváysor a R < x < a + R eseté koverges, akkor meghatároz egy ]a R, a+r[ yílt itervallumo lévő f(x) függvéyt, amelyre f(x) = c (x a). = Eek a függvéyek mide -re létezik a deriváltja, amit az eredeti sor tagjaiak deriválásával kapuk meg: f (x) = c (x a) stb. f (x) = = c ( )(x a) =. A ]a R, a + R[ yílt itervallumo a = c (x a) + + hatváysor szité koverges lesz és mide a R < x < a + R egyelőtleségek eleget tevő x eseté f(x)dx = = c (x a) + + Példa: f(x) = arctgx hatváysora: + C. f (x) = + x = ( x ) = x + x 4 x , de így f (x)dx = x + x dx x x3 3 + x5 5 x C, = arctg = C = C, arctx = x x3 3 + x5 5 x , ha x <, < x <. 3. Taylor-sorok Az f(x) függvéyt akarjuk hatváysorkét felíri, rögzített a mellett olya a -eket keresük, amelyekre f(x) = a (x a) = = a + a (x a) + a (x a) + + a (x a) +... Tegyük fel, hogy f(x) végtele sokszor differeciálható az a egy köryezetébe. Ekkor f (x) = f (x) = f (x) = a (x a) = ( )a (x a) = ( )( )a (x a) 3 =3 stb. Behelyettesítve a-t kapjuk, hogy f(a) = a 4
5 és általába f (a) = a f (a) = a f (a) = 3a 3 f () (a) =!a, a = f () (a).! és ez akkor teljesül, ha x <, < x < 4. A következőkbe arra keressük a választ, hogy a Taylorsor mikor állítja elő a függvéyt. Ehhez az. félévbe tault Taylor-tétel yújtja az alapot: 4. defiíció. Legye f(x) egy olya függvéy, amelyik végtele sokszor differeciálható egy olya itervallumba, amelyek belső potja a. Az f(x) függvéy által geerált Taylor-sor az x = a helye: k= f (k) (a) (x a) k = k! f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + +! f () (a) (x a) +....! Az f(x) függvéy által geerált Maclauri-sor az x = helye vett Taylor-sor: k= f() + f ()x + f ()! f (k) () x k = k! x + + f () () x +....! Példa: Határozza meg az f(x) = x függvéy a = -beli Taylor-sorát! Megoldás: Nyilvá és általába f (x) = x f (x) = ( )( )x 3 f (x) = ( )( )( 3)x 4 f () (x) = ( )!x (+). Ezért f () () = ( )! (+)!! tehát a Taylor-sor: = ( ) +, x (x ) (x ) , ami egy egy x első tagú, háyadosú mértai sor. Ez yilvá megfelelő, mivel ( x ) = x, 5. tétel (Taylor-tétel). Ha az f(x) függvéy az a I itervallumo akárháyszor differeciálható, akkor mide pozitív egész és x A eseté ahol f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) +...! egy a és x közötti c-vel. + f () (a) (x a) + R (x),! R (x) = f (+) (c) (x a)+ ( + )! Példa: Bizoyítsuk be, hogy mide valós x eseté e x = = x! = + x + x! + x3 3! + + x! +... Megoldás: Írjuk fel az f(x) = ex függvéy Maclaurisorát! Ekkor a Taylor-tétel szerit ahol f () (x) = e x f () () =, e x = + x + x! + + x! + R (x), R (x) = egy és x közötti c-vel. Ezért, ha x <, akkor Ha x >, akkor R (x) x + ( + )! R (x) e x x + ( + )! Ezért tetszőleges valós x eseté e c ( + )! x R (x) =,, ha, ha. 5
6 ahoa már következik az állítás. Következméy: Ha x = az előző példába, akkor azt kapjuk, hogy e = e = + +! + 3! + +! + = =! A feti godolatmeetből adódó állítás a következő tételbe fogalmazható meg: 6. tétel. Ha létezik M kostas, amellyel x és a közötti valameyi t eseté f (+) (t) M, akkor a Taylor-tételbe szereplő R (x) maradéktag kielégíti az x a + R (x) M ( + )! egyelőtleséget. Ameyibe ez a feltétel teljesül mide -re, akkor f(x) Taylor-sora f(x)-et állítja elő. Példa:. Mide valós x eseté Megoldás: Legye si x = x x3 3! x5 5! + x7 7! f(x) = si x f() = f (x) = cos x f () = f (x) = si x f () = f (x) = cos x f () = f (4) (x) = si x f (4) () = f (5) (x) = cos x f (5) () = stb. Ie a Taylor sor: Mivel x x3 3! x5 5! + x7 7! f (+) (x) = ± si x vagy ± cos x, ami bizoyítja az állítást. f (+) (t),. Hasolóa bebizyítható, hogy mide valós x eseté cos x = x! + x4 4! x6 6! x8 8! +..., de úgyaez következik abból is, hogy és (si x) = cos x (x x3 3! x5 5! + x7 7! +... ) = x! + x4 4! x6 6! +..., 3. A cos x Taylor-sorából, már a cos x Taylor-sorát köyű meghatározi, csak a cos x Taylor-sorába az x-et x-re kell cseréli: cos x = (x)! + (x)4 4! (x)6 6! Határozzuk meg az f(x) = (+x) m Taylor-sorát, ahol m valós szám. Megoldás: Köye igazolható, hogy tetszőleges pozitív egész eseté f () (x) = m(m )... (m + )( + x) m, f () () = m(m )... (m + ), ahoa a Taylor sor + mx + m(m ) x + + m(m )... (m + ) x +....! Ha m emegatív egész, akkor a Taylor-sor m + darab emulla tagot tartalmaz és biomiális tételt kapjuk vissza. Ha m em emegatív egész, akkor végtele sok tagja va a Taylor-sorak. Igazolható, hogy x < eseté koverges a sor és előállítja ( + x) m -et. Alkalmazások:. Határozza meg 3 potossággal az határozott itegrált! Megoldás: Az e x Taylor sorából kapjuk, hogy e x e x dx = = x + x4! x6 3! + x8 4! +..., e x dx x + x4! x6 3! + x8 4! x +... dx = 5! 6
7 [x x3 3 + x5 x7 4 + x9 6 x ] = , ahoa kapjuk, hogy egy megfelelő közelítés a (Valójába a hibát potosa meg kellee becsüli de ez a következő két tagra ráézve hihető.). Határozza meg a határértéket! Megoldás: Mivel si x x x x 3 si x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +..., si x x x x 3 = x ( ) x x3 3! + x5 5! x7 7! +... x x 3 = x3 3! + x5 5! x7 7! +... x x 3 = x 3! + x 5! x4 7! + = 6. 7
Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenAnalízis I. gyakorlat
Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
Részletesebben1. gyakorlat - Végtelen sorok
. gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebben1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1
. feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
RészletesebbenTaylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenFourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)
RészletesebbenHatárértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.
Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter
Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
Részletesebben( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés
FELADATOK Taylor- (Maclauri- soro, hibabecslés Határozzu meg az e üggvéy -örüli Taylor-sorát! Adju meg a hatváysor overgecia sugarát, ill. overgecia halmazát! Számítsu i a deriváltaat a -helye: e, e, e,
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenDraft version. Use at your own risk!
BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós
RészletesebbenSorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán
Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai
Részletesebben1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenA1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014
A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorokkal kapcsolatos tételek és ellepéldák Szakdolgozat Készítette: Csala Mátyás Matematika Bsc Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Gémes Margit
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához
Segédayag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához Sáfár Orsolya Komplex számok fogalma A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, aak érdekébe, hogy a gyökvoás mûvelete elvégezhetõ legye
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenBevezető analízis II. példatár
Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..
RészletesebbenMeghökkentő és hihetetlen barangolás a matematikai végtelen birodalmában (Végtelen sorokról) július 6.
Meghökkető és hihetetle baragolás a matematikai végtele birodalmába (Végtele sorokról) 59. Rátz László vádorgyűlés (spec.mat. szekció) Gödöllő 09. július 6. Dr. Németh József c. egyetemi taár SZTE TTIK
RészletesebbenVÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK
VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
RészletesebbenI. FEJEZET: ANALÍZIS... 3
Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenFüggvények határértéke 69. III. Függvények határértéke
Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú
RészletesebbenAndai Attila: november 13.
Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenVégtelen sorok konvergencia kritériumai
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorok kovergecia kritériumai BSc Szakdolgozat Készítette: Gyebár Tüde Matematika BSc, Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Bátkai Adrás Alkalmazott
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
RészletesebbenVégtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8
Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenA felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u
Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {
Részletesebben26 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007
6 Győri Istvá, Hartug Ferec: MA4f és MA66a előadásjegyet, 006/007. A -trasformált.. Egy iformációátviteli probléma Legye adott egy üeetátviteli redserük, amelybe a üeeteket két alapjel modjuk a és b segítségével
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
RészletesebbenAnalízis feladatgy jtemény II.
Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenII. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
Részletesebben6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai
6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla
RészletesebbenMatematika szigorlat (A1-A2-A3)
Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, 2014-2016 Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenBSc Analízis I. előadásjegyzet
BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenAZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I
BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu
RészletesebbenVegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π
Matematika Ac gyakorlat Vegyzméröki, Bioméröki, Köryezetméröki szakok, 7/8 ősz 4. feladatsor: Fourier-sorok megoldás. Legye fx = ha x, ], fx = ha x, π]. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja
Részletesebbenfogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és
A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
Részletesebben(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.
. feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi
Részletesebben18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenA statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenMetrikus terek. továbbra is.
Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d
RészletesebbenA matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
Részletesebben