Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha"

Átírás

1 . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = =, a mértai sor összegéplete szerit. Ha agy, aor már elhayagolhatóa icsi, s =, emiatt természetes azt modai, hogy A továbbiaba =. a + a + + a +... alaú ú. végtele soroat vizsgálu, ahol az a -e valós számo. Ezt a végtele mértai sort a övetezőéppe jelöljü: a.. defiíció Végtele sor overgeciája. A a végtele sor -edi részletösszege: s = a + a + + a. Ha a részletösszege sorozata az L számhoz overgál, s = L, aor azt modju, hogy a a végtele sor overges és összege L. Egyébét a végtele sort divergese modju. Példa:. Mutassa meg, hogy az végtele sor overges és összege. Megoldás: Legye s = Mivel + = +, s = = Ie. Az s = + = + q + q + + q +... q < eseté overges, egyébét diverges, mert s = + q + q + + q = q q, ha q és q aor és csa aor, ha q <. Megjegyzés: A overgecia difiíciójából látszi, hogy a a végtele sor overgeciájá em változtat az, ha véges számú tagot hozzáadu vagy ha elveszü.. tétel Művelete soroal. Ha a és b overges soro, továbbá a = A és b = B, aor. a + b is overges és a + b = A + B. a b is overges és a b = A B 3. a is overges és a = A, ahol tetszőleges valós szám. Bizoyítás: Csa.-et bizoyítju. A a + b - edi részletösszege: s = a + b + a + b + + a + b = a + a + + a + b + b + + b = A + B. Mivel A A és B B, s A + B. Példa: Határozza meg a Megoldás: = = = = +3 6 sorozat összegét! = = = 3, 6 a mértai sor összegéplete alapjá.. Kovergeciaritériumo A a végtele sorral apcsolatba ét érdés fogalmazható meg:. Koverges-e a a végtele sor?. Ha a a végtele sor overges, aor mi az összege? Az alábbi tétel egy szüséges feltételt ad a a végtele sor overgeciájára:

2 . tétel. Ha a a végtele sor overges, aor Bizoyítás: Nyilvá a =. a = a + a + + a + a a + a + + a = s s Mivel a a végtele sor overges, s = s = L valamely valós L szám eseté. Így a = s s = s s = L L = Követezméy: Ha a a em létezi vagy em véges, aor a a végtele sor diverges. Példá:. végtele sor diverges, mert =. = végtele sor diverges, mert em létezi a =. Ha a a végtele sor eseté a =, aor lehet, hogy a a végtele sor overges, de lehet, hogy diverges. Példá:. A = végtele sor overges és =.. A = végtele sor diverges, mert s = = +, a részletösszege sorozata a + -hez tart. A sorozatoál taultu, hogy egy mooto övő sorozat potosa aor overges, ha orlátos. Ee a tétele a övetezméye az alábbi: 3. tétel. Legye a mide pozitív egész eseté. Eor a a végtele sor potosa aor overges, ha az s részletösszege sorozata orlátos. A övetező ritérium azt mutatja, hogy gyara a végtele sort egy alalmas improprius itegrállal összehasolítva megválaszolhatju a overgecia érdését. 4. tétel Itegráritérium. Legye a csupa pozitív tagból álló sorozat. Tegyü fel, hogy va olya pozitív egész N és az [N, félegyeese csöeő fx függvéy, amelyre a = f mide N eseté. Eor a a végtele sor és az fxdx improprius itegrál vagy egyszerre overges vagy egyszerre diverges. N Bizoyítás: A bizoyításba az N = esetre szorítozu az általáos eset bizoyítása hasolóa törtéi. Mivel fx csöeő, fxdx a + fxdx, ha. Ezért egyrészt a +a + +a másrészt a + fxdx+ + 3 fxdx fxdx+ + a + a + a a fxdx a + fxdx + + fxdx fxdx s a + fxdx + fxdx = fxdx = Ebből látszi, hogy ha az fxdx overges, ami most azt jeleti, hogy fxdx felülről orlátos, aor s is felülről orlátos lesz, tehát overges. Másrészt, ha + fxdx diverges, aor fxdx em lesz alulról orlátos, s sem, tehát a is diverges.

3 Példa: A = p ha p, mivel fx = x p ha x ; f = p overges, ha p > és diverges, függvéy mooto csöeő és az x dx improprius itegrál a p p-szabály alapjá overges, ha p > és diverges, ha < p. 5. tétel Összehasolító ritérium. Legye a olya végtele mértai sor, ahol a.. Ha va olya overges c sor és N pozitív egész, hogy mide > N eseté a c, aor a végtele sor is overges. Majorás ritérium. Ha va csupa emegatív tagból álló diverges d végtele sor és N pozitív egész szám, hogy mide > N eseté a d, aor a sor diverges. Miorás ritérium Bizoyítás:. Az s = a + + a, N részletösszegre felső orlát a a + a + + a N + =N+ overges végtele sor.. A a végtele sora ics felső orlátja, mert ha lee, aor a d + d + + d N + =N+ felső orlátja lee d részletösszegeie, tehát d is overges lee, ami elletmodás. Példa. A sor overges, mert + + < és. a = = végtele sor overges. végtele mértai sor diverges, mert + = + és a végtele sor diverges. = 6. tétel Limeszes összehasolító ritériumo. Tegyü fel, hogy valamely pozitív egész N-re igaz, hogy a > és b >, ha > N. Eor a. ha = c >, aor a és b egyszerre b overgese vagy egyszerre divergese. c a a. ha b overges. a 3. ha b diverges. = és b overges, aor a is = és b diverges, aor a is Bizoyítás. Csa.-et bizoyítju. A feltétel miatt létezi egy M egész, hogy > M eseté a b c < c, c < a c < c b, c < a b < 3c, c b < a < 3c b. Ha b overges, aor 3c b is az, az összehasolító ritérium alapjá a sor is az. Ha b sor diverges, aor c b is az, emiatt az összehasolító ritérium alapjá a is diverges. Példá. A l = és. A = overges. + 3 = + 3 sor overges, mert = és a l = végtele sor diverges, mert = végtele sor diverges. 7. tétel Háyadosritérium. Legye a csupa pozitív tagból álló végtele sor. Tegyü fel, hogy Eor a + = ρ. a. ha ρ <, aor a overgese;. ha ρ >, aor a diverges; 3. ha ρ =, aor a ritérium em alalmazható. Bizoyítás.. Tegyü fel, hogy ρ <. Eor létezi r, amelyre ρ < r < és N pozitív egész, hogy a+ a < r, ha N. Eor a N+ a N < r a N+ < ra N 3

4 a N+ a N+ < r a N+ < ra N+ < r a N és általába pozitív egész m eseté a N+m < r m a N. Eor az s részletösszeg felülről becsülhető a a + a + + a N + a N + ra N + r a N + = a + a + + a N + a N + r + r +... overges sorral, így a is overges.. Ha ρ >, aor létezi N, hogy N eseté 3. A a + a >, a N < a N+ < a N+ <... a sorozat tagjai em tartaa a -hoz, így a a végtele sor diverges. és = a + a = sorora teljesül, hogy ρ = = és az első egy diverges, a másodi pedig egy overges sor. Példá. A!. A = a + = + +!, = végtele sor overges, mert a =! és + +!! = + = <. végtele sor diverges, mert a = a + = + + és így + + = >. 8. tétel Györitérium. Legye a csupa pozitív tagból álló végtele sor. Tegyü fel, hogy Eor a = ρ.. ha ρ <, aor a overgese;. ha ρ >, aor a diverges; és 3. ha ρ =, aor a ritérium em alalmazható. Bizoyítás:. Ha a = ρ <, aor egy rögzített ρ < r < eseté létezi N, hogy a < r, a < r, ha N, alalmas pozitív egész N eseté. Meg ell mutatu, hogy az s, N részletösszege felülről orlátosa. Nyilvá:. Ha s = a + + a N + a N + a N+ + + a < a + + a N + r N + r N+ + + r a + + a N + r N + r N+ + a + + a N + rn r. a = ρ >, aor létezi N, hogy a >, ha N, a >, ha N és így a, a a végtele sor diverges. Példa: A végtele sor overges, mert = = <. A övetező tételbe ú. alteráló soroal foglalozu. Legyee a >. Eor az a a + a 3 a 4 + váltaozó előjelű végtele sort alteráló sora modju. 9. tétel Leibiz-ritérium. A feti alteráló sor overges, ha a mooto csöeő és a =. Bizoyítás. A m-edi részletösszeg: Eor s m = a a + a 3 a a m a m. s m+ = s m + a m+ a m+, ahol a mooto csöeés miatt a m+ a m+. Igy az s m sorozat mooto övő. Másrészt s m = a a a 3 a 4 a 5 a m a m a m a, megit csa a mooto csöeés miatt. Mivel s m mooto ő és felülről orlátos, emiatt létezi a s m. De m s m+ = s m + a m+ = m m 4

5 s m + a m+ = m m létezi a véges s. m s m, Példa: A = = alteráló sor overges, mert a = mooto csöeve tart a -hoz.. defiíció. A a végtele sor abszolút overges, ha a overges. Példa A = = végtele sor a Leibiz ritérium szerit overges, és a tago abszolút értéét véve a = = is overges sor lesz az itegrál ritérium szerit, tehát az eredeti sor abszolút overges. 3. defiíció. A a overges végtele sor feltételese overges, ha a diverges. Példa A = = sor a Leibiz-ritérium szerit overges, de a tago abszolút értéét véve a = = ú. harmoius sor már diverges lesz az itegrálritérium alapjá.. tétel. Ha a a végtele sor abszolút overges, aor overges is. Bizoyítás. Legye Eor c = a + a. c a Mivel a overges, emiatt a is overges és így az összehasolító ritérium alapjá c is overges végtele sor. De a = a + a a = c a és mivel ét overges végtele sor ülöbsége is overges, emiatt a is overges. 5

6 . Függvéysoro. Bevezetés és defiíció A végtele soroál taultu, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté overges. A feti végtele összegre úgy is godolhatu, hogy végtele so függvéyt adu össze és ezt vizsgálju. Ez vezet el a övetező fogalomhoz:. defiíció. Legyee f x, =,,... olya függvéye, amelye özös értelmezési tartomáya I. Eor a belőlü épzett függvéysoro az f x + f x + + f x +... ifejezést értjü, ahol x I. Egy orét x I értéet behelyettesítve a övetező végtele sort apju: Ha cos x <, aor a vizsgált függvéysor abszolút overges, tehát oveges. Tudju, hogy cos x. Külö meg ell vizsgáli a cos x = és a cos x = eseteet. Ha cos x =, aor a függvéysor a övetező végtele sort adja: , ami egy diverges sor. A cos x = egyelet potosa az x = eseté teljesül egész szám. Ha cos x =, aor a függvéysor a övetező alteráló sort adja: , ami egy overges sor a Leibiz-ritérium alapjá. A cos x = egyelet potosa az x = + eseté teljesül egész szám. Összefoglalva apju, hogy a overgeciatartomáy a valós számo halmaza ivéve a alaú számoat. f x + f x + + f x Ez vagy overges vagy diverges.. defiíció. Azo x I számo halmazát, amelyere overges sor, az f x + f x + + f x f x + f x + + f x +... függvéysor overgeciatartomáyáa modju. Példá:. Határozza meg az e x = e x + e x + e 3x + + e x +... = függvéysor overgeciatartomáyát! Megoldás: A feti függvéysor egy e x háyadosú mértai sor, ami potosa aor overges, ha e x <. Ez pedig potosa aor teljesül, ha x <, tehát a overgeciatartomáy a egatív számo halmaza.. Határozza meg az = cos x = cos x+ cos x + cos3 x 3 függvéysor overgeciatartomáyát! Megoldás: A györitériumot alalmazzu: cos x = cos x + cos x Hatváysoro Ebbe a fejezetbe egy speciális, de alalmazás szempotjából alapvető fotosságú függvéysort tárgyalu. 3. defiíció. Az x = hely örüli hatváysora evezzü a c x = c + c x + c x + + c x +... = alaú függvéysort. Az x = a örüli hatváysor: c x a = = c + c x a + c x a + + c x a Itt az a számot a hatváysor özéppotjáa, a c, c, c valós számoat pedig a hatváysor együtthatóia evezzü. Példa. Határozza meg az 3 x 3+ 9 x x hatváysor overgeciatartomáyát és adja meg a feti sor által defiiált függvéyt a overgeciatartomáyba! Megoldás: A feti hatváysor egy olya mértai sor,

7 amelye első eleme és háyadosa x 3 3. Ez potosa aor overges, ha x 3 3 < < x < 6. Eor az előállított függvéy a mértai sor összegéplete szerit: x 3 = 3 x. 3. Határozza meg a = x! hatváysor overgeciatartomáyát! Megoldás: Az x valós szám aor lesz bee a overgeciatartomáyba, ha a = x! végtele sor overges. Alalmazzu a háyados ritériumot a overgecia eldötésére: x + = x + = <, +! x! mide valós x eseté overges sort apu, tehát a overgeciatartomáy a valós számo halmaza. 3. Határozza meg a = x hatváysor overgeciaratomáyát! Megoldás: Az x valós szám aor lesz bee a overgeciatartomáyba, ha a x = végtele sor overges. Alalmazzu a györitériumot a overgecia eldötésére: x = x = +, ha x, mide x eseté diverges sort apu, tehát a overgeciatartomáy a {} halmaz. Az alábbiaba azt mutatju meg, hogy éz i egy overgeciatartomáy és hogya lehet egyszerűe meghatározi azt.. tétel Hatváysoro overgeciatétele.. Ha a = a x hatváysor overges valamely x = c szám eseté, aor abszolút overges mide x eseté, ha x < c.. Ha a = a x hatváysor diverges valamely x = d szám eseté, aor diverges mide x eseté, ha x > d. Bizoyítás:. Ha = a c overges, aor tudju, hogy a c =, létezi N egész, hogy N eseté a c <, a < c. Ie apju, hogy ha x < c, aor N eseté a x < x. c Ezért a = a x végtele sorból formált s részletösszegre felső becslés feltehető, hogy N: a + a x + a x + + a N x N + a N x N + a N+ x N+ + + a x a + a x + a x + + a N x N + x N + x N c c overges végtele sor.. Ha valamely x eseté x > d és = a x overges lee, aor a Tétel első már bizoyított fele szerit = a d is overges lee, ami elletmodás. A feti tétel alapjá már öyű leíri a = a x hatváysor overgeciatartomáyát: Ha létezi olya c valós szám, amelyre = a c overges végtele sor és létezi d valós szám, amelyre = a d diverges végtele sor, aor R-rel jelölve a { c : a c = overges} halmaz legisebb felső orlátját apju, hogy olya x-re, amelyre x < R a a x = overges lesz, mivel R defiíciója szerit va olya c valós szám, amelyre x < c < R és = a c overges végtele sor, de eor az előző tétel. szerit = a x is overges lesz. Másrészt, ha valamely d valós szám eseté x > R, aor R defiíciója miatt = a x diverges lesz.

8 Ha em létezi olya c, amelyre = a c overges, aor ez azt jeleti, hogy a overgeciatartomáy a {} halmaz; míg ha olya d em létezi, amelyre = a d diverges, aor a overgeciatartomáy a valós számo halmaza. Összefoglalva és most már a özéppotú hatváysorora imodva apju, hogy:. tétel. A a x a = hatváysor overgeciatartomáya övetezőéppe ézhet i:. Létezi R >, hogy ha x a < R, aor overges a hatváysor, míg ha x a > R, aor overges. Külö ell meggodoli az x = a±r számo eseté a overgeciát; eszerit a overgeciatartomáy egy yílt vagy félig yílt, félig zárt vagy egy zárt itervallum lehet.. A sor csa az x = a eseté overges, egyébét diverges. 3. A sor mide valós szám eseté overges. A feti tételbe szereplő R-et overgeciasugára hívju. Ha létezi a a határérté, aor a overgeciasugarat öyű meghatározi: 3. tétel.. Ha létezi a < harérérté, aor. Ha R = a. a < a =, aor a overgeciatartomáy a valós számo halmaza. 3. Ha a =, aor a overgeciatartomáy az {a}, a hatváysor csa x = a eseté overges. Bizoyítás: Csa.-et bizoyítju: Ha a = a x a overges, aor a x a = x a a, x a a. Ha a = a x a diverges, aor a x a = x a a, Ie apju, hogy x a x a < a. a eseté overges a = a x a végetele sor, míg ha x a > a, aor diverges. Ez mutatja, hogy a overgeciasugár Az előző tétel mitájára meg lehet mu- Megjegyzés: tati, hogy R = a. R = a a +, ha ez a határérté létezi végtele is lehet. Összefoglalva: A a x a = hatváysor overgeciatartomáyáa meghatározása a övetezőéppe törtéi: Kiszámolju a R overgeciasugarat: Ez alapjá R = a = a a +. ha R =, aor a overgeciartamáy a {a} halmaz, csa x = a-ba overges a sor;. ha R = +, aor a overgeciartamáy a valós számo halmaza mideütt overges a hatváysor; 3. ha R pozitív valós szám, aor a hatváysor overges az ]a R, a + R[ yílt itervallumba és diverges a ], a R[ és ]a + R, [ yílt félegyeesee. Az x = a R potról a a R végtele sor overgeciája, míg az x = = a + R potról a döt. a R végtele sor overgeciája = 3

9 Példa: Határozza meg a = x = x + x + x hatváysor overgeciatartomáyát! Megoldás: Nyilvá a özéppot a = és az együttható a =. Emiatt R = =, a hatváysor overges a ], [ yílt itervallumba és diverges a ], [ és ], [ félegyeesee. Ha x =, aor a = = harmoius sort apju, amiről tudju, hogy diverges. Ha x =, aor a = = alteráló sort apju, ami a Leibiz-ritérium alapjá overges. Így a overgeciatartomáy a [, [ balról zárt, jobbról yílt itervallum. A övetező tétel azt modja, hogy egy hatváysor által megadott függvéy deriválása és itegrálása a hatváysor tagjaia deriválását és itegrálását jeleti. 4. tétel.. Ha a c x a = hatváysor a R < x < a + R eseté overges, aor meghatároz egy ]a R, a+r[ yílt itervallumo lévő fx függvéyt, amelyre fx = c x a. = Ee a függvéye mide -re létezi a deriváltja, amit az eredeti sor tagjaia deriválásával apu meg: f x = c x a stb. f x = = c x a =. A ]a R, a + R[ yílt itervallumo a = c x a + + hatváysor szité overges lesz és mide a R < x < a + R egyelőtlesége eleget tevő x eseté fxdx = = c x a + + Példa: fx = arctgx hatváysora: + C. f x = + x = x = x + x 4 x , de így f xdx = x + x dx x x3 3 + x5 5 x C, = arctg = C = C, arctx = x x3 3 + x5 5 x , ha x <, < x <. 3. Taylor-soro Az fx függvéyt aarju hatváysorét felíri, rögzített a mellett olya a -eet eresü, amelyere fx = a x a = = a + a x a + a x a + + a x a +... Tegyü fel, hogy fx végtele soszor differeciálható az a egy öryezetébe. Eor f x = f x = f x = a x a = a x a = a x a 3 =3 stb. Behelyettesítve a-t apju, hogy fa = a 4

10 és általába f a = a f a = a f a = 3a 3 f a =!a, a = f a.! és ez aor teljesül, ha x <, < x < 4. A övetezőbe arra eressü a választ, hogy a Taylorsor mior állítja elő a függvéyt. Ehhez az. félévbe tault Taylor-tétel yújtja az alapot: 4. defiíció. Legye fx egy olya függvéy, amelyi végtele soszor differeciálható egy olya itervallumba, amelye belső potja a. Az fx függvéy által geerált Taylor-sor az x = a helye: = f a x a =! fa + f ax a + f a x a + +! f a x a +....! Az fx függvéy által geerált Maclauri-sor az x = helye vett Taylor-sor: = f + f x + f! f x =! x + + f x +....! Példa: Határozza meg az fx = x függvéy a = -beli Taylor-sorát! Megoldás: Nyilvá és általába f x = x f x = x 3 f x = 3x 4 f x =!x +. Ezért f =! +!! tehát a Taylor-sor: = +, x x x , ami egy egy x első tagú, háyadosú mértai sor. Ez yilvá megfelelő, mivel x = x, 5. tétel Taylor-tétel. Ha az fx függvéy az a I itervallumo aárháyszor differeciálható, aor mide pozitív egész és x A eseté ahol fx = fa + f ax a + f a x a +...! egy a és x özötti c-vel. + f a x a + R x,! R x = f + c x a+ +! Példa: Bizoyítsu be, hogy mide valós x eseté e x = = x! = + x + x! + x3 3! + + x! +... Megoldás: Írju fel az fx = ex függvéy Maclaurisorát! Eor a Taylor-tétel szerit ahol f x = e x f =, e x = + x + x! + + x! + R x, R x = egy és x özötti c-vel. Ezért, ha x <, aor Ha x >, aor R x x + +! R x e x x + +! Ezért tetszőleges valós x eseté e c +! x R x =,, ha, ha. 5

11 ahoa már övetezi az állítás. Követezméy: Ha x = az előző példába, aor azt apju, hogy e = e = + +! + 3! + +! + = =! A feti godolatmeetből adódó állítás a övetező tételbe fogalmazható meg: 6. tétel. Ha létezi M ostas, amellyel x és a özötti valameyi t eseté f + t M, aor a Taylor-tételbe szereplő R x maradétag ielégíti az x a + R x M +! egyelőtleséget. Ameyibe ez a feltétel teljesül mide -re, aor fx Taylor-sora fx-et állítja elő. Példa:. Mide valós x eseté Megoldás: Legye si x = x x3 3! x5 5! + x7 7! fx = si x f = f x = cos x f = f x = si x f = f x = cos x f = f 4 x = si x f 4 = f 5 x = cos x f 5 = stb. Ie a Taylor sor: Mivel x x3 3! x5 5! + x7 7! f + x = ± si x vagy ± cos x, ami bizoyítja az állítást. f + t,. Hasolóa bebizyítható, hogy mide valós x eseté cos x = x! + x4 4! x6 6! x8 8! +..., de úgyaez övetezi abból is, hogy és si x = cos x x x3 3! x5 5! + x7 7! +... = x! + x4 4! x6 6! +..., 3. A cos x Taylor-sorából, már a cos x Taylor-sorát öyű meghatározi, csa a cos x Taylor-sorába az x-et x-re ell cseréli: cos x = x! + x4 4! x6 6! Határozzu meg az fx = +x m Taylor-sorát, ahol m valós szám. Megoldás: Köye igazolható, hogy tetszőleges pozitív egész eseté f x = mm... m + + x m, f = mm... m +, ahoa a Taylor sor + mx + mm x + + mm... m + x +....! Ha m emegatív egész, aor a Taylor-sor m + darab emulla tagot tartalmaz és biomiális tételt apju vissza. Ha m em emegatív egész, aor végtele so tagja va a Taylor-sora. Igazolható, hogy x < eseté overges a sor és előállítja + x m -et. Alalmazáso:. Határozza meg 3 potossággal az határozott itegrált! Megoldás: Az e x Taylor sorából apju, hogy e x e x dx = = x + x4! x6 3! + x8 4! +..., e x dx x + x4! x6 3! + x8 4! x +... dx = 5! 6

12 [x x3 3 + x5 x7 4 + x9 6 x ] = , ahoa apju, hogy egy megfelelő özelítés a Valójába a hibát potosa meg ellee becsüli de ez a övetező ét tagra ráézve hihető.. Határozza meg a határértéet! Megoldás: Mivel si x x x x 3 si x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +..., si x x x x 3 = x x x3 3! + x5 5! x7 7! +... x x 3 = x3 3! + x5 5! x7 7! +... x x 3 = x 3! + x 5! x4 7! + = 6. 7

13 . Fourier-soro. Bevezetés és defiíció Ee a fejezete a célja, hogy egy szerit periodius függvéyt felírju mit trigoometrius függvéyeből épzett függvéysorét. Nyilvá a cos x és a si x függvéye szerit periodius függvéye és általába tetszőleges egész szám eseté a cos x és a si x függvéye szité szerit periodius függvéye, továbbá az ezeből formált a + a cos x + si x = ú. trigoometrius poliomo is tetszőleges a, a, b valós számo eseté szerit periodius függvéyt ada. Ee a fejezete a célja a szerit periodius függvéyt felíri függvéysorét. a + a cos x + si x = A továbbiaba feltesszü, hogy a szerit peiodius fx Riema-itegrálható a [, ] itervallumba. Először az fx-et a a + a cos x + b si x = trigoometrius poliommal özelítjü. Az együtthatóat úgy válaszju, hogy a övetező, összese + feltétel teljesüljö:.. 3. fxdx = fx cos xdx = fx si xdx = f xdx f x cos xdx, f x si xdx, Az első feltételből a övetezőt apju: [ a x + fxdx = f xdx = a + = a cos x + b si xdx = = a si x =,,... =,,... ] cos x b = a, a = fxdx. Az a, b együttható meghatározásához szüségü lesz a övetező itegrálora:. Ha l pozitív egésze, aor a b c. Ha = l, aor a b c cos x cos lxdx = [ si + lx + + l si x si lxdx = [ si lx l si x cos lxdx = cos+lx+cos ldx = si lx l ] = cos lx cos+ldx = si + lx + l [ cos + lx + l cos xdx = [ si x x + 4 si xdx = [ si x x 4 si x cos xdx = [ cos x ] = si+lx+si ldx = ] cos lx = l + cos x dx = ] = ; cos x dx = ] ] =. si xdx = =

14 A fetieet haszálva már meg tudju határozi az a és b együtthatóat: fx cos xdx = f x cos xdx = a + a cos x+ a l cos lx + b l si lx cos xdx = l= a l cos lx cos x+b l si lx cos xdx = a, l= a = fx cos xdx Hasolóa apju a b együtthatóat: fx si xdx = f x si xdx = a + a si x+ a l cos lx + b l si lx si xdx = l= a l cos lx si x+b l si lx si xdx = b, l= b = fx si xdx. Az előbb apott együttható em függe -től, emiatt természetes a övetező szerit periodius függvéyel özelítei a szerit periodius fx-et:. defiíció. A szerit periodius fx Fourier-sora: ahol és a + a cos x + b si x, = a = a = b = fxdx, fx cos xdx fx si xdx. Példa: Fejtsü Fourier-sorba az {, < x <, fx =, < x függvéyt! Megoldás: Nyilvá és a = fxdx = a = dx + dx = 3 ; fx cos xdx = cos xdx + cos xdx = [si x b = [ ] [ si x + ] fx si xdx = = si xdx + si xdx = ] [ cos x + cos Így a emulla együttható: a = 3, b = a Fourier sor: 3 cos x ] =. =, =,,..., si 3x si 5x si x Fourier-sor részletösszegei. A övetező tétel azt modja i, hogy a Fouriersor részletösszege a legisebb átlagos hibaégyzet tulajdoságú.

15 . tétel. Legye az fx szerit periodius függvéy, az -edi részletösszege: s x. Legye t x = α + α cos x + β si x = tetszőleges α, α, β valós együtthatóal. Eor mide eseté fx s x dx fx t x dx és egyelőség csa aor teljesül, ha α = a, α = a, β = b. De Bizoyítás: Nyilvá fx t x dx = f xdx + t xdx fxt xdx. = fx α α + fxt xdx = α cos x + β si x dx = = α fxdx+ fx cos xdx + β α a + α a + β b. = fx si xdx = A t x defiíciójából öyű elleőrizi, hogy: t xdx = α + α + β. = Ezért fx t x dx = f xdx+α+ α a + α+β = α a + β b = = f xdx+α a + a + α a + β b = a + b, = amie a miimuma α = a, α = a, β = b eseté lesz, ahoa már övetezi a tétel. A miimum eseté: fx s x dx = f xdx ahoa apju, hogy a + fx dx a + a + b, = a + b. = Mivel ez mide eseté igaz, fx dx a + a + b. = A övetező, itt em bizoyított állítás azt modja i, hogy itt egyelőség áll:. tétel Parseval-formula. Ha a szerit periodius fx Riema-itegrálható a [, ] itervallumba, aor fx dx = a + a + b. = Ebből már övetezi, hogy égyzetes átlagba a részletösszeg özel va az fx függvéyhez: fx s x dx =. Példa: A Parseval formulát haszálju az {, < x <, fx =, < x függvéy eseté! Megoldás: Tudju, hogy a em-ulla Fourieregyüttható: a = 3, b =, =,,.... 3

16 Ezért 5 = fx dx = a + a + b = ahoa redezés utá = 4, , 8 = Fourier-sor potoéti overgeciája A övetezőbe arra eressü választ, hogy a fet apott Fourier-sor milye feltétele eseté állítja elő az fx periodius függvéyt. Ehhez szüség va a övetező defiicióra:. defiíció. Az fx függvéy szaaszosa folytoos az I itervallumo, ha véges so pot ivételével az fx folytoos és ahol szaadása va, ott létezi a bal és jobboldali határérté. A feti defiícióra támaszodva már megadhatju, hogy a Fourier-sor milye apcsolatba va az fx-szel. 3. tétel. Tegyü fel, hogy az fx és f x függvéye szaaszosa folytoosa a [, ]-be. Eor a Fouriersor értée az fx folytoossági potjaiba megegyezi fx-szel, míg szaadási potoba a bal és jobboldali határérté átlagát veszi fel. A feti, em bizoyított tétel övetezméye: Követezméy: Ha a szerit peiodius fx függvéy olya, hogy a [, ] itervallum felbotható véges so itervallumra úgy, hogy egy részitervallumo a függvéy mooto és folytoos, a szaadási potoba létezi a bal ill. jobboldali határérté, aor a Fourier-sor előállítja a függvéyt az fx folytoossági potjaiba és a szaadási helyee a Fourier-sor az fx ottai bal és jobboldali határérté átlagát veszi fel. Példá:. a Fejtsü Fourier-sorba az fx = x, ha < x < szerit periodius függvéyt! b Határozza meg f értéleit úgy, hogy fx midehol folytoos legye! Megoldás: A határozott itegrál defiíciója alapjá: továbbá és [ x [ x a = a = ] si x b = [ cos x ] cos x cos + xdx =, x cos xdx = ] si x =, x si xdx = [ si x cos x ] dx = dx = =. Így a Fourier-sor: si x si 3x si x A overgeciáról szóló tétel alapjá az f = választás ell ahhoz, hogy a Fourier-sor előállítsa a függvéyt a szaadási helye. Megjegyezzü, hogy az x = helyettesítés a övetezőt adja: = f si si 3 = si = , 4 = , ami em olya meglepő, mivel taultu, hogy arctgx = x x3 3 + x ha < x <, 5 ami a fetie alapjá x = és x = eseté is igaz. 4

17 . Fejtsü Fourier-sorba az függvéyt! fx = si 3 x Olya a, a, b valós számoat ell találu, amelyeel si 3 x = a + a cos x + b si x. = A liearizációs formulá szerit: si 3 x = si x si x = cos x si x = si x si x cos x = si x 4 si 3x + si x = 3 4 si x si 3x, 4 a emulla Fourier-együtthatóá: b = 3 4 és b 3 = Páros és páratla függvéye Az alábbiaba azt godolju meg, hogy páros és páratla függvéye eseté hogya egyszerűsödi le az együttható iszámítása. A továbbiaba felhaszálju, hogy ha gx egy szerit periodius függvéy, aor a [, ] itervallumo vett itegrál megegyezi a [, ] itervallumo vett itegrállal, gxdx = gxdx.. Legye fx egy páros függvéy. Eor fx párossága miatt a = fxdx = fxdx = továbbá fx cos x párossága miatt a = fx cos xdx = fx cos xdx. Mivel fx si x páratla, b = fx si xdx = fxdx, fx cos xdx = fx si xdx =., tehát a Fourier-sor em tartalmaz sziuszos tagoat, emiatt ezt a Fourier-sort tiszta osziuszos Fouriersora modju.. Most legye fx egy páratla függvéy. Eor fx páratlasága miatt a = fxdx = fxdx =, továbbá fx cos x páratlasága miatt a = fx cos xdx = fx cos xdx = Mivel fx si x páros, b = fx si xdx = fx si xdx, fx si xdx = emiatt ez a Fourier-sor csa sziuszos tagoat tartalmaz, ezt tiszta sziuszos Fourier-sora modju. Példá:. Fejtsü tiszta sziuszos Fourier-sorba az függvéyt! fx = x x x Megoldás: A függvéyt a [, ] itervallumo úgy egészítjü i, hogy a [, ] itervallumba páratla legye. Erre a függvéyre már alalmazhatom a feti épleteet. A részleteet mellőzve a övetezőt apju b = b = fx = 8 x x si xdx = 8 3, si 3x si 5x si x Magyarázza meg, hogy a orábba iszámolt fx = x, < x < szerit periodius függvéy Fourier-sora miért em tartalmaz osziuszos tagot! Megoldás: Teitsü a gx = fx függvéyt. Ez már páratla lesz, emiatt az ő Fourier-sora csa sziuszos tagoat tartalmaz. Ehhez a Fourier-sorhoz hozzáadva -et megapju fx Fourier-sorát. 5

18 5. T szerit periodius függvéye Fourier-sora Tegyü fel, hogy fx egy T szerit periodius, a [, T ]-be Riema itegrálható függvéy. Eor őt a övetező alaú Fourier-sorba fejthetjü: ahol és a + = a = T b = T a cos T x + b si T x, a = T T T T fxdx, fx cos T xdx fx si T xdx. A overgeciára hasoló tétel modható i, mit ami a szrit periodius függvéyere voatozi. A részleteet mellőzzü. 6

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Valószínûség számítás

Valószínûség számítás Valószíûség számítás Adrea Glashütter Feller Diáa Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása:

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként. A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább

Részletesebben

Járatszerkesztési feladatok

Járatszerkesztési feladatok Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást

Részletesebben

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok Soozato 5 I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK I.. Soozato A legtöbb embe szóicsébe szeepel a soozat szó. Ez azt jeleti, hog edelezi valamile soozatfogalommal. Megéti, ha a miet sújtó

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

A természetes számok halmaza (N)

A természetes számok halmaza (N) A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Surányi János VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL FAREY-TÖRTEK. Egy a alós számot racionális számoal, azaz törteel aarun megözelíteni. A törteet az alábbiaban mindig

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

6. Bizonyítási módszerek

6. Bizonyítási módszerek 6. Bizonyítási módszere I. Feladato. Egy 00 00 -as táblázat minden mezőjébe beírju az,, 3 számo valamelyiét és iszámítju soronént is, oszloponént is, és a ét átlóban is az ott lévő 00-00 szám öszszegét.

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgakérdések (BSc. 2011. tavaszi félév)

VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgakérdések (BSc. 2011. tavaszi félév) 1 VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgaérdése (BSc. 2011. tavaszi félév) 1. Isertesse a villaoseergia-hálózat feladatr szeriti felosztását a jellegzetes feszültségsziteet és az azohoz tartozó átvihető teljesítéye

Részletesebben

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. Sersámg mgépe 5. előad adás Misolc - Egyetemváros /.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. A sabályohatósági tartomáy övelésée módserei Előetes megfotoláso: S mi mi M S φ,

Részletesebben

BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3

BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3 Balogh Zsuzsanna Hana László BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3 Ebben a dolgozatban a Bayes-féle módszer alalmazási lehetőségét mutatju be a ocázatelemzés

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

é ö é Ö é ü é é ö ö ö ü é é ö ú ö é é é Ő ö é ü é ö é é ü é é ü é é é ű é ö é é é é é é é ö ö í é ü é ö ü ö ö é í é é é ö ü é é é é ü ö é é é é é é é é é é é é é é é ö é Í ö í ö é Í í ö é Í é í é é é é

Részletesebben

Feladatok megoldással

Feladatok megoldással Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

1. Az Általános Szerződési Feltételek hatálya

1. Az Általános Szerződési Feltételek hatálya A PANNONLÍZING PÉNZÜGYI SZOLGÁLTATÓ RT. ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEI FORINT (HUF ALAPON KAMATOZÓ KÖLCSÖNSZERZŐDÉSEKHEZ ÉRVÉNYES A 2002. MÁRCIUS 18-TÓL A VISSZAVONÁSÁIG KÖTÖTT SZERZŐDÉSEKRE A Paolízig

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projet eretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszéén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Mechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése

Mechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése echanzmuso vegyes dnamáána elemzése ntonya Csaba ranslvana Egyetem, nyagsmeret Kar, Brassó. Bevezetés Komple mechanzmuso nemata és dnama mozgásvszonyana elemzése nélülözhetetlen a termétervezés első szaaszaban.

Részletesebben

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben