I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3"

Átírás

1 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS NUMERIKUS SOROZATOK Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium Sorozatok közgazdaságtai alkalmazásai. Kamatozási sémák Pézügyi alapfogalmak Egyszerű kamatozás Kamatos kamatozás Összehasolítás Vegyes kamatozás Sorozatok mootoitásáak vizsgálata Sorozatok korlátosságáak vizsgálata SZÁMSOROK Számsorok. Részlet összeg sorozat A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium számsorokra Pozitív tagú számsorok. Kovergecia kritériumok Az összehasolítási kritériumok A Cauchy-féle gyökkritérium A D Alambert-féle háyados kritérium Raabe -Duhamel-féle kritérium Váltakozó előjelű (alteratív) számsorok Leibitz-féle kritérium FÜGGVÉNYSOROZATOK ÉS FÜGGVÉNYSOROK Függvéysorozatok. Kovergecia tartomáy. Egyeletes kovergecia Függvéysorok Függvéysor. Kovergecia tartomáy. Weierstrasse-féle kritérium Hatváysor. Ábel-tétel. Kovergecia sugár Taylor -sor. Elemi függvéyek hatváysorba való kifejtése Elemi függvéyek hatváysorba való kifejtése II. FEJEZET: DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS TÖBBVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNY. PARCIÁLIS DERIVÁLTAK dimeziós tér A többváltozós valós függvéy meghatározása... 32

2 2..3. Parciális deriváltak. Differeciáltak Az elsőredű parciális deriváltak Másodredű parciális deriváltak Differeciáltak Alkalmazások. Az összetett függvéyek parciális deriváltja Taylor- képlet kétváltozós valós függvéyre Kétváltozós valós függvéyek szélsőértékpotjai Egyváltozós valós függvéyek szélsőértékpotjaiak meghatározása Kétváltozós valós függvéyek szélsőértékpotjaiak meghatározása A Lagrage- szorzók módszere. Feltételes szélsőértékpotok A differeciálháyados közgazdasági megközelítésbe III. FEJEZET: LINEÁRIS ALGEBRA VEKTORTÉR (LINEÁRIS TÉR). BÁZIS. BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ Vektorok. Műveletek vektorokkal LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG. BÁZIS A VEKTORTÉRBEN. BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ ORTOGONALIZÁLÁS. A GRAM- SCHMIDT-FÉLE ORTOGONALIZÁLÁSI MÓDSZER Skaláris szorzat a vektortérbe Ortogoalizálás LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK. LINEÁRIS OPERÁTOROK Lieáris traszformációk a vektorterek között. Lieáris traszformációs mátrix Traszformációs mátrix Lieáris operátor. Sajátvektor és sajátérték Sajátvektorok és sajátértékek Sajátértékek, sajátvektorok kiszámítása Összegzés Sajátértékek, sajátvektorok, diagoizálás

3 I. Fejezet: Aalízis.. Numerikus sorozatok... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság Értelmezés: Numerikus sorozatak evezzük az f() valós függvéyt, melyek értelmezési tartomáya a természetes számok halmaza N, értéktartomáya pedig a valós számok halmaza R. (Tehát a sorozatok a függvéyekek egy speciális csoportja.) U : N R, U = f() () (U ) : U, U 2, U,. U = f() - általáos tagak evezzük Megjegyzés: Egy sorozatot három külöböző módo adhatuk meg: ) felsorolással: pl.,3,5,7,9,... 2) rekurzív defiicióval: pl. a =, a 2 = 3, a = a +a +, > 2 eseté. 2 3) általáos képlet segítségével: a = 2 ( ) +,. Példák sorozatokra: ) Számtai sorozatok: a = a + r, ahol r R ráció. Mide számtai sorozat eseté igaz a következő: a = a + ( )r, illetve a = a +a +,. 2 Az első tag összege: S = (a +a ) = (2a +( )r), ) Mértai sorozatok: a = a q, ahol q R + kvócies (háyados). Mide mértai sorozat eseté igaz a következő: a = a q 2, illetve a = a a +,. ( q Az első tag összege: S = a ),. q 3) Harmoikus sorozat:, 2, 3, 4, 5.., a = 2 a + a+, N. 4) Zéo, egy ókori görög filozófus egyik híres apóriája szólt hasolóról Akhilleusz és a tekősbéka verseyfutása kapcsá: Egy tekősbéka megszökik az állatkertből és elidul a teger felé. Első apo 280 métert megy, de mivel öreg, mide további apo csak az előző api útjáak a felét tudja megtei. Háyadik ap ér el a tegerhez, ha az 2559 méterre va az állatkerttől? És ha 2560 méterre? a = 280, a 2 = 920, a = a + a a 2, > 2 eseté. 2 Meyi utat tett meg az. apig: S = = 280( ), egy mértai sorozat összegét kell számítauk, ahol 3

4 S =280 ( ( 2 ) )=280 = 2560 ( ) = Ha a távolság 2559 méter, akkor keressük azt az értéket, amelyre a megtett távolság több, mit 2559, azaz: > 2559, 2 2 > Ha 2, akkor ez az egyelőtleség teljesül, azaz a tekős a 2. apo eléri a tegert. Ha a távolság 2560 méter, akkor keressük azt az értéket, amelyre > 2560, de ez az egyelőtleség sosem teljesül, azaz a tekős sose éri el a tegert, csak tart a teger felé. Értelmezés..: Az (U ) számsorozat határértéke az a R valós szám, ha ε > 0 eseté létezik egy olya N ε küszöbszám úgy, hogy > N ε eseté feáll a következő: U a < ε (2), ami egyeértékű a következő egyelőtleségek bármelyikével: ε < U a < ε, a ε < U < a + ε (2 ) Következtetések:. Ha létezik az a R valós szám, akkor a következőképpe jelöljük: lim U = a (3) 2. Ha létezik az a R valós szám, akkor U sorozatot koverges sorozatak evezzük. Ha em létezik az a R valós szám, akkor U sorozatot diverges sorozatak evezzük. 3. Az U sorozatak létezik határértéke, ha bármely V ε (a) köryezetébe az a valós számak a sorozatak végtele sok tagja va. Értelmezés..2: az (U ) számsorozat: Mooto övekvő, ha U U 2 U U +, N Mooto csökkeő, ha U U 2 U U +, N Szigorúa mooto övekvő, ha U < U 2 < < U < U +, N Szigorúa mooto csökkeő, ha U > U 2 > > U > U +, N eseté. Értelmezés..3: Az (U ) számsorozat felülről korlátos, ha létezik egy olya M valós szám, amelyél egyik sorozattag sem agyobb. Az (U ) számsorozat alulról korlátos, ha létezik egy olya m valós szám, amelyél egyik sorozattag sem kisebb. Az (U ) számsorozat korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos. Másképp: az (U ) számsorozat korlátos, ha létezik egy [m, M] itervallum, úgy, hogy a sorozat mide tagja ebbe az itervallumba található: m U M, N. (4). Példa (Euler, XVIII. század): legye U = ( + ) sorozat. 4

5 A sorozat tagjai: a = 2 az alsó korlát, a 2 = 2,59; a 00 = 2,70; a 000 = 2,7; a 0000 = 2,78; a = 2,7828 a sorozat szigorúa mooto övekvő, felülről is korlátos (egyik felső korlát M=2,8) tehát koverges is: lim ( + ) = e. 2. Példa (Fiboacci, 70? - 240) Fiboacci, más éve Leoardo Pisao 202- be mutatta be ezt a számsorozatot, amely a legegyszerűbb az egész számokból álló sorozatok közül, még máig is újabb és újabb tulajdoságait fedezik fel, sok zeeszerző művéek alapjául szolgált, szépsége a matematikából fakad. Felsorolással:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, 377, 60,... Rekurzióval: a =, a 2 =, a = a + a 2, > 2 eseté (a sorozat harmadik tagjától kezdődőe mide tag az őt megelőző két tag összegével egyelő.) Képlettel: a = 5 [(+ 5) ( 5 ) ] 2 2 A sorozat csak alulról korlátos és mooto övekvő. 3. Példa: A Fiboacci sorozat segítségével alkotható egy másik sorozat, amelyek köze va az araymetszés φ számához. Eek tagjai a Fiboacci- sorozat valamely tagjáak és az azt megelőző tag háyadosakét képezhetők. Felsorolással:, 2, 3, 5, 8, 3, 2,., tizedes törtekkel felírva : ; 2;,666;,600;,625;,65;,69; Ebbe a sorozatba a tagok hol kisebbek, hol agyobbak az araymetszést jellemző φ = + 5 =,68033.arayszámál, miél több tagot veszük, közelebb jutuk a 2 φ potos értékéhez. (A sorozat korlátos, tagjai az [, 2] itervallumba találhatóak, em mooto, koverges és határértéke a φ szám.) Az aray téglalap oldalaráya ez a φ szám, és az jellemző rá, hogy ha kiváguk belőle egy, rövidebb oldaláak hosszúságával megegyező oldalú égyzetet, a femaradó téglalap is aray téglalap lesz. Ha összekötjük az araytéglalapba írt égyzetek közös csúcspotjait, csigavoalat kapuk, a logaritmikus spirál közelítését, és az aray téglalap szép geometriai tulajdoságát észlelhetjük. Az araymetszés aráyszáma fotos potja a yugati kultúráak, istei aráyak is evezik, megtalálható az emberi test aráyaiba, Leoardo da Vici, Salvator Dali mukái, valamit az építészetbe (pl. Partheó) sűrű előforduló aráy...2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium Tétel: Az U sorozat koverges, akkor és csak akkor, ha ( ) ε > 0, ( ) N ε úgy, hogy ( ) > N ε és p eseté feáll: Koverges sorozatok tulajdoságai: U +p U < ε (5) ) Ha (U ) sorozat koverges, akkor (U ) korlátos (a korlátosság szükséges feltétele a kovergeciáak, de em elégséges: például: U : 2, 2,2, 2, ez em koverges, de korlátos sorozat.) 2) Ha az (U ) sorozat korlátos és mooto, akkor az (U ) sorozat koverges (Bolzao- féle kritérium). 5

6 3) Ha az (U ) és (V ) sorozatok kovergesek és határértékük megegyezik (a = l R), valamit ( )(W ) sorozat úgy, hogy: U W V, N, akkor lim W = lim U = lim V = l (fogó-kritérium vagy redőr- elv, olló- tétel). 4) Ha az (U ) és (V ) sorozatok kovergesek és U V, N, akkor lim U lim V. 5) Legye (U ) és (V ) két koverges sorozat. Ekkor érvéyesek a következők: a) lim (U + V ) = lim U + lim V b) lim (U V ) = lim U lim V c) lim (U V ) = lim U lim V d) lim ( U ) = lim U V lim k U e) lim V k = lim U, ahol U 0, N f) lim a V = a lim V, ahol a R tetszőleges kostas.... Feladat: Határozza meg a következő sorozat határértékét: U = Megoldás: lim = lim = 2 = 0,5. (Kiemeltük a számlálóba is és a 4 4 evezőbe is az legmagasabb ott előforduló hatváyát, egyszerűsítettük, illetve felhaszáltuk a következő határértéket: lim = 0, k R k + eseté.)..2. Feladat: Határozza meg a következő sorozat határértékét: U = Megoldás: lim = lim = lim lim Feladat: Határozza meg a következő sorozat határértékét: U = Megoldás: lim = lim Határozza meg a következő sorozat határértékét: = lim lim = = 0. = 5 2 =...4. U = U =

7 ..6. U = U = U = Határozza meg a következő sorozat határértékét: U = Megoldás: lim = lim ( 2 ) + 4 ( 2 ) 8 = lim = (Kiemeltük a számlálóba is és a evezőbe is a agyobbik alap - edik hatváyát, illetve, ha q = felhaszáltuk a következő határértéket: lim q = { 0, ha q <, illetve em létezik, ha, ha q > q esetbe.)..0. U = Megoldás: lim U = Megoldás: +3 = lim = lim ( 3 ) +( 2 3 ) 4 +3( 3 4 ) 8( 2 4 ) = 0 = lim = lim = lim + 8( 2 25 ) + ( 2 25 ) ( ) 8( 2 6 ) = =. Határozza meg a következő sorozatok határértékét:..2. U = U = E: 27 + E: Határozza meg a következő sorozat határértékét: U = ( 3 4 ) Megoldás: felhaszáljuk a következő határértékeket: lim ( 3 4 ) =..5 U = ( ) lim ( + ) = e, illetve lim ( + k ) = e k. 3/4 lim ( + ) =e 3 4. Megoldás: lim ( ) = lim ( )+ + 2 = e = e2. 7

8 ..6 U = ( ) Megoldás: lim (3+2 3 ) = lim ( ) = lim ( + 3 ) ( ) = e...7. U = ( ) Megoldás: lim..8. U = ( ) Megoldás: lim (3+ 5+ ) = ( ) = lim lim (+ 3 ) [3 5(+ )] = lim 5 4 (+ 3 ) [3 2(+ )] = lim 2 Határozza meg a következő sorozatok határértékét:..9. U = ( )2 E: e U = (2 + 4 ) E:..2. U = ( 2 2 )2 E: 0 (3 5 ) (+ /3 ) (3 2 ) (+ 4/3 /5 =0. = 0 e/3 (+ /5 ) e ) = e4/3 (+ /2 ) e /2 = U = ( )2 E: e 4 3 Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok mootoítását, korlátosságát és határértékét!..23. a = +2 +5, (i) Mootoítás vizsgálatakor az a + a előjelét vizsgáljuk meg vagy az a + a kiszámítva, megézzük, hogy kisebb vagy agyobb, mit az egység: háyadost a + a = övekvő. (másképpe: a + a = 3 +5 (+6)(+5) > 0, N eseté, így a sorozat szigorúa mooto = >, N eseté, a sorozat szigorúa mooto övekvő.) (ii) Korlátosság vizsgálata: a sorozat mooto övekvő, tehát a legkisebb tagja, a = 3 6 = 2 alsó korlátja a sorozatak, és a lekisebb felső korlátja pedig ( a sorozat mide tagja kisebb eél). Tehát a = 2 a. (iii) A sorozat határértéke: lim =. 8

9 ..24. a = 2+ +5, Útmutatás: a mootoítást hasolóa bizoyítjuk, a sorozat mooto övekvő, így a sorozat legkisebb tagja a = az alsó korlát, a 2 = 2+ = így a sorozat felülről is korlátos, lim = a = , = 2 9 < 2, N eseté, +5 Útmutatás: a mootoítást hasolóa bizoyítjuk, a sorozat mooto övekvő, így a sorozat legkisebb tagja a = az alsó korlát, a 2 2 = 9 =,286, a 7 3 = 9 = 2,375, a 8 00 = 90,48; a 000 = 990,05; a 0000 = 9990 ;. a sorozat felülről em korlátos, csak alulról, tehát em is koverges a = ( ) 2, Felsorolva a sorozat tagjait: -; em mooto, de koverges, határértéke a ulla a = 3 + 2,..28. a = 4 + 5,..29. a = ,..30. a = ,..3. a =,..32. a = 2,..33. a = 2 2 +, a = si, a = 2, a = 3 2, a = 2,..38. a = ( 3),..39. a = 0, 0 ; 4 -,, - ;. Korlátos sorozat, a [, ] N, 4 9

10 ..40. a =,..4. a = ( 2), a = ( 2 ), a = cos, a = 5!, a =! 0, 0 Vizsgáld meg, hogy az alábbi sorozatok eseté háyadik tagtól kezdődőe esek a sorozat elemei a határérték ε sugarú köryezetébe:..46. a = 2+,, ε = Megoldás: lim = 2 3, és keressük azt az 0 küszöbszámot, amelyre igaz, hogy bármely 0 eseté a a < ε, azaz < < 3(3+) , megoldva: ekvivales 3(3 + ) > 000, > = 0,77. Tehát a. tagtól kezdődőe mide sorozattag ebbe az ε sugarú köryezetbe esik a = 3+ 5+,, ε = 0 3 E: 0 = a = 6 +2,, ε = 0 2 E: 0 = a = 4 3 4, ε = 0 5 E: 0 = Sorozatok közgazdaságtai alkalmazásai. Kamatozási sémák..3.. Pézügyi alapfogalmak Kamat: a jövőbeli és a jelebeli pézösszeg közötti külöbözet. Kamatláb: időegység alatt (például év) realizált kamat és tőke aráya. Egyszerű kamat: csak az alaptőke kamatozik, a kamatokat em adjuk hozzá az alaptőkéhez. Egy adott időegységbe az alaptőke kamatlábbal ő a tőke. Kamatos kamatozás: mide időegységbe az épp aktuális tőke kamatozik, a kamatokat is hozzáadjuk az alaptőkéhez. Egy adott időegységbe az aktuális tőke kamatlábbal ő a tőke. Tőkésítés: a kamatak az alaptőkéhez való hozzáadását jeleti. Tehát egyszerű kamatozás eseté ics tőkésítés, kamatos kamatozás eseté mide időegység végé tőkésítük.

11 Egyszerű kamatozás.. Feladat: Helyezzük letétbe 000 lejt a bakba egyszerű kamatozásra. Az éves kamatláb 0%. Meyi pézt vehetük ki a) év utá b) 2 év utá c) 3 év utá d) 0 év utá e) 20 év utá? Mit vesztek észre? Fogalmazzatok meg egy általáosítást! M: a) év utá: ,0=00 b) 2 év utá: ,0=200 c) 3 év utá: ,0=300 d) 0 év utá: ,0=2000 e) 20 év utá: ,0=3000 pézük va. Tehát az egyszerű kamat lieáris, ha a befektetett összeg S, az éves kamatláb p, akkor év utá a kivehető összeg S = S( + p). 2. Feladat: Mekkora összegre gyarapodik fel az lejes kezdőtőke 6,8%-os éves kamatláb eseté 7 hóap alatt egyszerű kamatozás mellett? M: (+0,068 7 )=59 833,(3) Feladat: Egy lejes, 4 hóap múlva esedékes tőke meyit ér most, ha a havi kamatláb 4,5%, és egyszerű kamatozással számoluk? M: 70800=S ( + 0,045 4), ahoa S = 70800: ( + 0,045 4) = Feladat: Háy hóap alatt övekszik fel a lejes tőke lejre egyszerű kamatozás mellett, ha a havi kamatláb 5%? M: = (+0,05 ), ie kapjuk, hogy = 8, Kamatos kamatozás 5. Feladat: Helyezzük letétbe 000 lejt a bakba kamatos kamattal (mide év végé tőkésítük). Az éves kamatláb 0%. Meyi pézt vehetük ki a) év utá b) 2 év utá c) 3 év utá d) 0 év utá e) 20 év utá? Mit vesztek észre? Fogalmazzatok meg egy általáosítást!

12 M: a) év utá: ,0= 000 (+0,)=00 b) 2 év utá: ,0= 00(+0,)= 000 (+0,)(+0,)= 000 ( + 0,) 2 =20 c) 3 év utá: 000 ( + 0,) 3 =33 d) 0 év utá: 000 ( + 0,) 0 =2586 e) 20 év utá: 000 ( + 0,) 20 =6686 pézük va. Tehát kamatos kamat eseté, ha a befektetett összeg S, az éves kamatláb p, akkor év utá a kivehető összeg S = S( + p). 6. Feladat: Hasolítsátok össze az. és 5. feladat eredméyeit! Mit vesztek észre? M: Ugyaolya kamatláb mellett kamatos kamattal jobba megéri befekteti. 7. Feladat: Meyi kamatot hoz a lejes tőke évi 0%-os kamatláb mellett 6 év alatt, ha kamatos kamattal számoluk? M: S =60 000( + 0,) 6 =283449,76. Tehát a kamat , =23 449,76 lej. 8. Feladat: Mekkora évi kamatláb mellett övekszik fel a lejes tőke 4 év alatt lejre, ha kamatos kamattal számoluk? M: = ( + p) 4, ahoa p = 5 %. 9. Feladat: Mekkora összegre gyarapodik fel az lejes kezdőtőke 6 év alatt 5,3%-os éves kamatláb mellett, ha kamatos kamattal számoluk? M: S =55 000( + 0,053) 6 =25665, Összehasolítás 0. Feladat: Vizsgáljátok meg, hogya változik befektetett tőkék értéke a következő 0 év sorá, ha az éves kamatláb 0% és ics tőkésítés, illetve ha az éves kamatláb 7% és mide év végé tőkésítük. M: év p = 0%, ics tőkésítés (egyszerű kamat) p = 7%, évete tőkésítés (kamatos kamat) ,0=0 00 ( + 0,07) = ,0=20 00 ( + 0,07) 2 =4, ,0=30 00 ( + 0,07) 3 =22, ,0=40 00 ( + 0,07) 4 =3, ,0=50 00 ( + 0,07) 5 =40, ,0=60 00 ( + 0,07) 6 =50, ,0=70 00 ( + 0,07) 7 =60, ,0=80 00 ( + 0,07) 8 =7, ,0=90 00 ( + 0,07) 9 =83, ,0= ( + 0,07) 0 =96, ,0=20 00 ( + 0,07) =20, ,0= ( + 0,07) 2 =225,2 2

13 Ha az egyszerű kamat eseté agyobb a kamatláb, mit a kamatos kamat eseté, akkor rövidtávo jobba megéri az egyszerű kamattal befekteti, de hosszú távo a kamatos kamat éri meg jobba Vegyes kamatozás A mideapi életbe gyakra találkozhatuk olya befektetésekkel, amelyekél a kamatozási periódus egy évél rövidebb, vagyis lehetőség va gyakoribb tőkésítésre. Ilyekor midig kiszámítjuk a kamatozási periódusra voatkozó kamatlábat és azt haszáljuk. Empirikusa számításokat végeztük, megéztük, hogy ugyaazt az összeget letétbe helyezve, hogya változik a kamat, aak függvéyébe, hogy havota, félévete, egyedévete vagy akár hetete tőkésítük. Észrevették, hogy a kamat több dologtól is függ: az alaptőkétől, a kamatlábtól, a tőkésítések számától és azok ütemezésétől.. Feladat: Mekkora összegre gyarapodik fel az 000 euro kezdőtőke 2,5%-os éves kamatláb mellett 8 év és 3 hóap alatt? M: S =000( + 0,25) 8 ( + 0,25 3 )=2645,965 euro Feladat: Mekkora kezdőtőke gyarapodik fel 4,5%-os éves kamatláb mellett lejre, 6 és fél év alatt? M: =S ( + 0,45) 6 ( + 0,45 6 ), ahoa S=473778, Feladat: Egy lejes kezdőtőke 8%-os éves kamatláb mellett mekkora összegre gyarapodik fel 5 év és 0 hóap alatt? M: S =00 000( + 0,08) 5 ( + 0,08 0 )=56725,32 lej 2 4. Feladat: Egy Ft-os kezdőtőke 5 év alatt Ft-ra emelkedett fel havi kamatozás mellett. Meyi volt az éves omiális kamat? M: = ( + p 00 2 )2 5, ahoa p=3,9. 5. Feladat: Háy év alatt gyarapodik fel Ft-os kezdőtőke 9,5%-os éves évleges kamat eseté Ft-ra heti kamatozás mellett? M: 9 927=3 000 ( + 0, )52 t, ahol t az évek száma és t=4,5. 6. Feladat: Tegyük fel, hogy a pézük havota kamatozik és legye az éves omiális kamatláb 0%. Ha Ft-os kezdőtőkék va, mekkora pézösszeghez jutuk 3 év múlva? Mekkora az éves effektív kamatláb? M: S = ( + 0, 2 )3 2 =87638 pézük lesz 3 év múlva. Az effektív kamatláb p = 00 ( + 0, 2 )2 00 = 0, Sorozatok mootoitásáak vizsgálata Kísérlet: Helyezzük el a bakba pézegységet évi 00%-os kamattal, és tőkésítsük - szer egy évbe, egyelő időközökét, úgy, hogy az utolsó tőkésítés az év végé legye. Meyi pézük lesz egy év múlva a számláko? Mit tapasztaltok? 3

14 tőkésítések száma: Eyi lesz egy év múlva a számláko = ( + ) =2 =2 ( + 2 )2 =2,25 =3 ( + 3 )3 =2,37 =4 ( + 4 )4 =2,44 =5 ( + 5 )5 =2,48 =6 ( + 6 )6 =2,52 =k ( + k ) k ( + ) Azt tapasztaljuk, hogy többszöri tőkésítés eseté több pézük lesz, vagyis ( + ) < ( + + )+. Ezt az általáosítást matematikai idukcióval bizoyíthatjuk. A feladat tulajdoképpe az e = ( + ) sorozat mootoításáak vizsgálata volt, csakhogy a mootoitást ituitív módo figyeltük meg, sejtettük meg, majd bizoyítottuk be Sorozatok korlátosságáak vizsgálata Kísérlet: Hasolítsuk össze az pézegységből iduló évi 00%-os kamatlábbal és -szeri tőkésítéssel járó kamatozási sémát a 200% éves egyszerű kamatra alapozott kamatozási sémával. Meyi pézük lesz egy év múlva a számláko? Mit tapasztaltok? Az egy éve belüli tőkésítések számáak övekedésével legfeljebb meyi pézre tehetük szert? Idő p=00%, évete -szeri tőkésítés (kamatos kamat) p=200%, ics tőkésítés (egyszerű kamat) ( + ) =( + ) + 2 = ( + ) 2 ( + ) 3 ( + ) = = = + 8 4

15 5... k... = Észrevesszük, hogy ( + )< + 2, ( + ) 5 ( + ) k ( + ) = k = + 2k + 2 = + 2 = 3 ( + )2 < + 4,... általáosítva, matematikai idukció segítségével bizoyítható, hogy ( + ) < 3. Ez azt jeleti, hogy az e = ( + ) sorozat felülről korlátos. Itt a korlátosság kérdése természetes módo merült fel, hisz az volt a kérdés, hogy az egy éve belüli tőkésítések számáak övekedésével legfeljebb meyi pézre tehetük szert. Azt már láttuk, hogy e e = 2, bármely. Tehát a sorozat összes tagja 2 és 3 között található, azaz a sorozat korlátos. Ha azt a kérdést tesszük fel, hogy folyamatos tőkésítéssel maximálisa mekkora pézösszeget kaphatuk egy év alatt pézegységből kiidulva, ha az éves kamatláb 00%, ez gyakorlatilag a sorozat határértékét (limit of the sequece) fogja jeletei. Ha számítógép segítségével kiszámoltatjuk a sorozat miél több elemét, láti fogjuk a kovergecia gyorsaságát, illetve potosabb becslését, miél több tizedesyi potossággal való megközelítését kapjuk az e számak..2. Számsorok.2.. Számsorok. Részlet összeg sorozat Az (U ): U, U 2, U, () számsorozathoz redelt végtele összeget számsorak evezzük. Jelölése: = U = U + U 2 + U 3 + U +... (2) Értelmezés: a) A (2) számsor koverges, ha = U véges. b) A (2) számsor diverges, ha U = ± vagy em létezik. = Értelmezés: = U számsor (S ) részletösszeg sorozatá a következőt értjük: (S ): S, S 2,, S ahol S = U, S 2 = U + U 2,, S = U + U U (3) Tétel: a) A = U számsor akkor és csak akkor koverges, ha S részletösszeg 5

16 sorozat koverges, azaz ( ) lim S = S = = U (4). b) = U akkor és csak akkor diverges, ha S részletösszeg sorozat diverges. Példa: A mértai haladváy típusú számsor =0 a q = a + a q + a q + (5) ahol q háyados vagy kvócies (S ) : S, S 2, S 3,, S, S = a + a q + + a q = a ( q ) ; lim S q = a lim q S = lim S = a q a q lim q = { a q ha q < ± ha q ha q a q (6) q Tehát a mértai haladváy típusú számsor akkor és csakis akkor koverges, ha q <, ekkor a sor összege S = =0 U = a q. Határozzuk meg a következő végtele számsorok összegét: ( =0 2 ) E: ( =0 2 ) E: ( =2 3 ) E: ( =2 5 ) E: =0 E: =0 3 E:.2.7. =0 ( 4) E: em létezik, mert q = ( 5 =0 6 ) E: A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium számsorokra Tétel: Az = U számsor akkor és csakis akkor koverges, ha ( )ε > 0 ( )N ε N küszöbszám úgy, hogy ( ) > N ε és p eseté feáll: U + + U U +p < ε (7) Következtetés: ) A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium elégséges feltétel a kovergeciára. 2) A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium szükséges feltétel a kovergeciára: a (7) összefüggésből p = eseté azt kapjuk, hogy U + < ε (7 ). Tehát a sorozat általáos tagjáak tartaia kell ullához, ahhoz, hogy a sor koverges lehesse. (A szükséges feltétel em midig elégséges!) Példák:.Harmoikus számsor: = = (8) 2 3 U =, lim U = lim = 0, a szükséges feltétel teljesül. Eek elleére a harmoikus számsor diverges:

17 U U +p = = > ε p =, > 2. Lehet olya ε értéket választai, amely eseté em teljesül a kritérium Mivel lim, a sor em koverges, mert az általáos tag em tart ullához. = 2+ + = Pozitív tagú számsorok. Kovergecia kritériumok Legye adott egy számsor: = U = U + U U () Ha U > 0 ( ) N eseté, akkor = U pozitív tagú számsorak evezzük. Ebbe az esetbe (S ) részletösszeg sorozat szigorúa mooto övekvő sorozat: S + = S + U + > S Az összehasolítási kritériumok Legye adott = U és = V két pozitív tagú számsor. Az összehasolítás első kritériuma: Ha létezik egy olya N idex, amelytől kezdődőe U V, N eseté, akkor: = V koverges, akkor = U is koverges. = U diverges, akkor = V is diverges. Az összehasolítás második kritériuma Ha létezik egy olya N idex, amelytől kezdődőe U + U = V koverges, akkor = U is koverges. = U diverges, akkor = V is diverges. V +, N eseté, akkor: V Gyakorlatba az összehasolítási kritérium: U Meghatározzuk a következő határértéket: ( ) lim = l (2) V Ha l véges szám: l (0, ), akkor U és V természete megegyezik. Ha l = 0 és V koverges, akkor U is koverges. Ha l = és U diverges, akkkor V is diverges. Megjegyzés: Akkor alkalmazható ez a kritérium, ha ismerjük az egyik számsor kovergeciáját. Példa:. = = a harmoikus sor diverges = = + sor koverges =, α R (*) Riema-féle általáos harmoikus sor: α Ha α >, akkor (*) koverges. Ha α, akkor (*) diverges. Példa: Vizsgáljuk meg a következő számsor kovergeciáját: = (U 2 = ). 2 Összehasolítjuk a harmoikus sorral: V, V =, amelyről tudjuk, hogy diverges. 7

18 U l = lim = lim V 2 = lim 2 2 = l = (0, ), tehát a kritérium értelmébe a két sor azoos természetű, U is diverges A Cauchy-féle gyökkritérium Legye adott = U pozitív tagú számsor (U > 0, ( ) N ). Tétel: Ha létezik egy olya N idex, amelytől kezdődőe: a. U b. U l <, > N, akkor U koverges. > l > > N, akkor U diverges. Gyakorlatba a Cauchy - féle gyökkritériumot a következőképe haszáljuk: Meghatározzuk a következő határértéket: ( ) lim U = l (3) Ha l <, akkor U koverges. Ha l >, akkor U diverges. Ha l =, akkor a kritérium em döti el a számsor természetét. Példa: Vizsgáljuk meg a következő számsor természetét: = U, U = [ +] α β, α, β R. [ +2] lim U = lim [ α +] [ +2] β α [+ ] [+ 2 β ] = lim l = 0 <, ha α < β, a sor koverges α β, { l >, ha α > β, a sor diverges l =, ha α = β (? ) Azoba a számsor diverges, mivel U, az általáos tag em tart ullához A D Alambert-féle háyados kritérium Legye adott = U pozitív tagú számsor (U > 0, ( ) N ). Tétel: Ha létezik egy olya N idex, amelytől kezdődőe: a) U + U b) U + U l <, ( ) > N, akkor U koverges számsor. l >, ( ) > N, akkor U diverges számsor. Gyakorlatba a háyados kritériumot a következőképe haszáljuk: Meghatározzuk a következő határértéket: U ( ) lim + = l és { U ha l <, akkor U koverges ha l >, akkor U diverges ha l =, Raabe Duhamel féle kritérium (4) Raabe -Duhamel-féle kritérium Tétel: Ha létezik egy olya N idex, amelytől kezdődőe: 8

19 a) ( U ) l >, akkor U U = koverges. + b) ( U ) l <, akkor U + = U Gyakorlatba a Raabe -Duhamel-féle kritérium: diverges. ha l >, akkor U koverges ( ) lim ( U ) = l { ha l <, akkor U U diverges + ha l = (? ) (5) Példa: = U, U = 3 5 (2 3) (2 2) 2 U + = 3 5 (2 3)(2 ) (2 2) 2 2+ Alkalmazzuk a D Alambert-féle háyados kritériumot: 3 5 (2 3)(2 ) (2 2) 2 lim = lim (2 2) (2 3) 2+ A Raabe- Duhamel-féle kritérium: (2 ) 2 2(2+) =, a kritérium em dötötte el. l = lim ( U ) = lim [ 2(2+) U + (2 ) 2 ] = lim = 6 4 = 3 2 >, tehát a számsor koverges. Vizsgáljuk meg a következő számsorok kovergeciáját: = = + 25!! 2! !! Útmutatás: alkalmazzuk a D Alambert-féle kritériumot: a = 5! a + = (+)5 (+)! l = lim! a + a (+) = lim 5 (+)!! = lim (+) 4 = lim = 0 <, a sor koverges = E: D Alambert-féle kritérium, l = <, a sor koverges e.2.3. ( = 2+ ) E: Cauchy - féle gyökkritérium, l = <, a sor koverges = = E: D Alambert-féle kritérium, l = 0 <, a sor koverges!.2.6. ( = 3+ ) E: Cauchy - féle gyökkritérium, l = <, a sor koverges = a Útmutatás: alkalmazzuk a D Alambert-féle kritériumot: l = lim U + U = a. 9

20 Tárgyalás: ha a >, akkor l <, a sor koverges. Ha a <, akkor l >, a sor diverges. Ha a =, a sor = diverges ( 3+2 = 2+ ) E: Cauchy - féle gyökkritérium, l = 3 >, a sor diverges ( 2 4 = 5+2 ) E: Cauchy - féle gyökkritérium, l = 2 <, a sor koverges (2 + 3 = E: Cauchy - féle gyökkritérium, l = 2 >, a sor diverges ).2.. ( = 6 3 ) E: Cauchy - féle gyökkritérium, l = <, a sor koverges = E: D Alambert-féle kritérium, l = 0 <, a sor koverges.!! = E: D Alambert-féle kritérium, l, a sor diverges ( + = 2+ ) E: Cauchy - féle gyökkritérium, l = <, a sor koverges ( + = ) E: diverges, mert az általáos tag ( + ) = ( + ) e = E: D Alambert-féle kritérium, l = 0 <, a sor koverges.! Számítsuk ki a következő sorok összegét:.2.7. Útmutatás: = + + = (+) = + + = (+) = 3 4 (+) (+) (+) + = (+) (+).2.8. Útmutatás: = = (+) (+) + = = =. 2 = < < < (+) 2 (+) Tehát az összegükre igaz: = < (+) 2 = =, az összehasolítási kritérium (+) alapjá tehát a sor koverges ( ) + = 3 =

21 Útmutatás: a feti egy mértai sor, ahol q =, a részletösszeg sorozat általáos tagja: 3 S = a q ( q = 3 ) 3 ( 3 ), ha, q = 4 3 (,), a sor koverges, összege. 4 = (+)(+2) Útmutatás: 3 = 3[ =2 (+)(+2) =2 ) = 3 =. (+2) =2 E: S=. ( ) Tárgyaljuk a következő sorok természetét! (a ) =, ahol a > 0.! (+) ] = (+2) 3( U Útmutatás: alkalmazzuk a D Alambert-féle kritériumot: l = lim + = a e. U Tárgyalás: ha a >, akkor l >, a sor diverges. Ha a <,, akkor l <, a sor koverges. e e (+) Ha a =, a sor e = ( e )!, a II. összehasolítási kritériumot alkalmazzuk: legye U = = = ( e )! és = V = =, a harmoikus sor. U + U = ( + e ), ha és V + = <. Tehát V + U +, N, V + V U V = diverges, tehát a = U is diverges ( ( + )( + a) ) =, ahol a > 0. Útmutatás: alkalmazzuk a Cauchy - féle gyökkritériumot, l = lim ( ( + )( + a) ) = lim ( + )( + a) = = lim (+)(+a) 2 (+)(+a)+ akkor l = a+ 2 = a+ a+. Tárgyalás: ha a >, akkor l = 2 2 <, a sor koverges. >, a sor diverges. Ha a <, Ha a =, ( ( + )( + ) ) = = = =, a sor diverges.! =, ahol a > 0. (a+)(a+2) (a+) Útmutatás: alkalmazzuk a D Alambert-féle kritériumot, U + U = + a++ = l, ha, a sor természetét ez a kritérium em dötötte el. 2

22 A Raabe- Duhamel-féle kritérium: l = lim ( U U + ) = lim [ a++ + ] = lim a = a. + Ha a >, akkor l >, a sor koverges. Ha a <, akkor l <, a sor diverges. Ha a =, a sor = = (+)(+2) (+) az első tagjáak hiáyával, tehát diverges. Határozzuk meg az alábbi sorok határértékét: =0 3 E: S=3 (+)(+2) = E: S= 3 (+2) = E: S= 3. 4 (+2)!! = = (+)! = Váltakozó előjelű (alteratív) számsorok Legye adott egy számsor: = U = U + U 2 + U + () amelyek végtele sok pozitív és végtele sok egatív tagja va. Az () számsorhoz redelük egy pozitív tagú számsort: = U = U + U 2 + U + (2), ez a harmoikus sor, aak Értelmezés: Ha a (2) pozitív tagú számsor koverges, akkor az () számsort abszolút koverges számsorak evezzük. Megjegyzés: Ha az () számsor abszolút koverges, akkor az () egyszerűe is koverges. Fordítottja em midig igaz! Példa: = ( ) + = + + koverges számsor, míg 2 3 = U = = = a harmoikus sor diverges számsor. 2 3 Értelmezés: ha egy számsorak végtele sok pozitív és végtele sok egatív tagja va, és ezek váltakozak, váltakozó (alteráló) előjelű számsorak evezzük. = ( ) U = U U 2 + U 3 U ( ) U + (3) Leibitz-féle kritérium Tétel: Az alteráló = ( ) U számsor koverges, ha a számsor tagjaiból alkotott (U ) számsorozat mooto csökkeő és kovergál zéróhoz: (U ): U, U 2,, U, (4) eseté (U ) mooto csökkeő és lim U = 0. Példa: = ( ) + = ( )+ +, N 22

23 Útmutatás: (U ):,,,,, Az (U 2 3 ) mooto csökkeő és lim U = lim sor koverges a Leibitz-féle kritérium alapjá. Vizsgáljuk meg a következő váltakozó számsorok kovergeciáját:.2. = ( ) 2 = 2.3. ( ) +.4. = ( ) + E: Leibitz - féle kritérium, a sor koverges E: Leibitz - féle kritérium, a sor koverges 2 abszolút koverges-e? = 0, tehát a Útmutatás: = U = =. A D Alambert-féle kritérium alapjá l = <, a sor 2 koverges, tehát az eredeti sor abszolút koverges, em csak egyszerűe koverges = ( ) + abszolút koverges-e? Egyszerűe koverges-e? Útmutatás: = U = = =, az első összehasolítási kritérium alapjá mivel a harmoikus sor diverges, így = U is diverges, tehát az eredeti sor em abszolút koverges. Az egyszerű kovergecia vizsgálata: a Leibitz - féle kritérium segítségével, a = szigorúa mooto csökkeő sorozat és tart a ullához, tehát a sor egyszerűe koverges..6. = ( ) + 5 Útmutatás: váltakozó előjelű sor, ugyaakkor mértai sor is: q = 5 (,), a sor koverges és a részletösszeg sorozat általáos tagja: S = a q ( q = 5 ) 5 ( 5 ), ha, a sor 6 összege Függvéysorozatok és függvéysorok..3.. Függvéysorozatok. Kovergecia tartomáy. Egyeletes kovergecia. Értelmezés: Függvéysorozatak evezük egy olya sorozatot, amelyek mide tagja egy valós függvéy. (U (x)) > U (x), U 2 (x),, U (x), () U I R, ( ) N eseté egy valós függvéy. Értelmezés: Ha létezik egy olya x 0 pot, amelyre a függvéysorozat X 0 I (U (x 0 )) > : U (x 0 ), U 2 (x 0 ),, U (x 0 ), (2) koverges számsorozatot alkot, akkor x 0 kovergecia potja a föggvéysorozatak. Ha A I a kovergecia potok halmaza, akkor kovergecia tartomáyak evezzük. 23

24 Értelmezés: Az (U (x)) függvéysorozatak U(x) határértékfüggvéye, ha ( ) ε > 0 ( ) N(ε, x) küszöbszám, úgy, hogy ( ) >N (ε, x) U (x) U(x) < ε (3). Két lehetőség va, aak függvéyébe, hogy ez a küszöbszám függ x-től vagy sem, ha em függ, akkor egyeletes kovergeciák va, ha pedig függ, akkor egyszerű kovergeciák. N (ε, x) = { N (ε, x) = N (ε) U (x) U(x) egyeletes kovergecia N (ε, x) U (x) U(x) egyszerű kovergecia Függvéysorok Függvéysor. Kovergecia tartomáy. Weierstrasse-féle kritérium Adott egy U (x): A R, ( ) függvéysorozat, amelyek A I a kovergecia tartomáya: (U (x)) : U (x), U 2 (x),, U (x), () Értelmezés: függvéysorak evezzük a következő végtele összeget: = U (x) = U (x) + U 2 (x) + + U (x) + (2) Értelmezés: az x 0 A kovergecia potja a függvéysorak, ha = U (x 0 ) = U (x 0 ) + U 2 (x 0 ) + + U (x 0 ) + koverges számsort alkot erre az értékre. A kovergecia potok halmazát a függvéysor kovergecia tartomáyáak evezzük: ( )x A ( ) = U (x) koverges függvéysor. Értelmezés: ( )x A eseté létezik a részletösszeg függvéysorozat: ( ) (S (x)) : S (x), S 2 (x),, S (x),, amelyek általáos tagja: S (x) = U (x) + U 2 (x) + + U (x). Ha (S (x)) koverges függvéysorozat, azaz létezik lim S (x) = S(x), akkor ez a határérték összegfüggvéy a függvéysor összege: (3) Tétel: (Cauchy-féle általáos kritérium) = U (x) = S(x). = U (x) függvéysor koverges, ha ( )ε > 0 ( )N(ε, x) küszöbszám úgy, hogy ( ) > N(ε, x) és p eseté feáll: U + (x) + U +2 (x) + + U +p (x) < ε (4) Két lehetőség va, aak függvéyébe, hogy ez a küszöbszám függ x- től vagy sem: ha em függ, akkor a sor egyeletese koverges, ha pedig függ, akkor egyszerűe koverges. N (ε, x) = N (ε) = N (ε, x) = { U (x) S(x) egyeletes kovergecia N (ε, x) = U (x) S(x) egyszerű kovergecia Tétel: (Weierstrasse-féle kritérium)

25 Egy = U (x) függvéysor egyeletese és abszolút koverges egy I itervallumo, ha létezik egy = U pozitív tagú koverges számsor úgy, hogy feálljo: U (x) a, N, x I (5) Tulajdoság (Az egyeletese koverges függvéysorok tulajdoságai). Ha = U (x) S(x) (egyeletese koverges) és U (x), ( ) folytoos függvéyek, akkor az S(x) határértékfüggvéy is folytoos függvéy. 2. Ha = U (x) S(x) (egyeletese koverges) és U (x), ( ) itegrálható függvéyek, akkor az S(x) határértékfüggvéy is itegrálható függvéy. b S(x)dx = a b a b a U (x)dx + U 2 (x)dx b + + U (x)dx (6) a 3. Ha = U (x) S(x) (egyeletese koverges) és U (x), ( ) deriválható függvéyek, akkor az S(x) határértékfüggvéy is deriválható függvéy. Példák: S (x) = U (x) + U 2(x) + + U (x) + (7) 2... Vizsgáljuk meg a következő függvéysor kovergeciáját: Megoldás: U (x) = ahol = a = si x 2 si x 2 2 si x =. 2. A Weierstrasse-féle kritériumot alkalmazva: si x U (x) = 2 2 = a, = a Riema-féle harmoikus sor (α = 2 > ) koverges pozitív tagú sor, így a = sor egyeletese és abszolút koverges ( + = ) ( x 2x ), x R { }. Határozzuk meg a kovergecia tartomáyt! 2 Útmutatás: megvizsgáljuk, hogy a sor abszolút koverges-e, mert ha ige, akkor egyszerűe is koverges. Legye = pozitív tagú sor. A Cauchy - féle gyökkritériumot alkalmazzuk: ( + ) x 2x ) lim ( + x 2x = lim ( + ) x 2x = x 2x A sor abszolút koverges, ahol x <. Megoldva az egyelőtleséget kapjuk a 2x kovergecia tartomáyt:(, 0) ( 2, ), ahol a sor abszolút koverges, tehát egyszerűe 3 is koverges = x 2+ 2 Útmutatás: a Weierstrasse-féle kritériumot alkalmazva: 25

26 U (x) = x 2+ 2 = x = a, pozitív tagú sorozat, ahol = a = = mértai sor, amelyek összege. A kritérium szerit a sor egyeletese és 2 abszolút koverges a teljes értelmezési tartomáyo, R-e a si =, x 0, a < 3 3 x 2 x + 2 x 2 ( )x = [ +( ) 2 x 2], x [0,]. Útmutatás: U (x) = x + 2 ( )x x 2 +( ) 2 x 2 S (x) = U (x) + U 2 (x) + + U (x) = = x + x x + 4x 2 x + x x + 2 x 2 ( )x + ( ) 2 x 2 = x + 2 x 2 lim S (x) = lim x + 2 x 2 = 0, x [0,]. Tehát a sor (egyszerűe) koverges és az összege ulla. Az egyeletes kovergecia vizsgálata: legye x =, x [0,] sorozat. S (x ) = x + 2 = x 2 2, em tart a ullához, a sor em egyeletese koverges Hatváysor. Ábel-tétel. Kovergecia sugár Értelmezés: Hatváysorak evezzük azt a függvéysort, amelyet hatváyfüggvéyek végtele összege alkot, () vagy ( ) alakú: a x = a 0 + a x + a 2 x a x + = a (x x 0 ) = a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a (x x 0 ) + ( ) { = Helyettesítéssel: y = x x 0 eseté az ( ) összefüggést kapjuk az ()-ből. Tétel (Ábel): A = a x hatváysor eseté létezik ( )R > 0 kovergeciasugár, amelyre:. Ha x < R azaz x ( R, R), akkor az () sor abszolút koverges 2. Ha x < r < R azaz x ( r, r), akkor az () sor egyeletese koverges 3. Ha x > R azaz x (, R) (R, +), akkor az () sor diverges függvéysor. Megjegyzés: Ábel tétele alapjá meghatározzuk a sor A=D kovergecia = ( R, R) kovergecia tartomáyát és mivel Ábel tétel em állapítja meg az () hatváysor kovergeciáját az x = ±R határpotokba, ezt utólag a számsorok kovergeciáak segítségével külö megvizsgáljuk. () 26

27 Tétel (Cauchy Hadamard) A = a x hatváysor R kovergecia sugarát a következőképpe határozhatjuk meg: a a.) R= lim a + (2) b.) R = lim (2 ) a Példák: Határozzuk meg a következő hatváysorok kovergecia tartomáyát: x = 2 Megoldás: Az a =, a 2 + = (+) 2, a Cauchy-Hadamard tételt alkalmazva a kovergecia sugár: R = lim a = lim ( + 2 a + ) = tehát a kovergecia tartomáy miimum D kovergecia = ( R, R) = (,). Leelleőrizzük a határpotokat is: 2 x = : = Riema-féle harmoikus sor úgy,hogy α = 2 >, koverges ( ) x = : = = + + váltakozó előjelű számsor, a Leibitz-féle 2 kritériumot alkalmazva kapjuk, 4 hogy 9 koverges, mivel: (U ):,,, mooto csökkeő sorozat 4 9 { lim U. = lim 2 = 0, kovergál zéróhoz Tehát D max kovergecia = [,] a kovergecia tartomáy ! = x 2 Az a =!, a 2 + = (+)! (+) 2, a Cauchy- Hadamard tételt alkalmazva: R = lim + lim = 0 tehát a kovergecia tartomáy D 2 max kovergecia ={0} = x a a + = Megoldás: Az a =, a + =, a Cauchy-Hadamard tételt alkalmazva: R = lim a = + a + + lim = (kovergecia sugár), tehát a kovergecia tartomáy miimum D kovergecia =( R,R)=(,). Leelleőrizzük a határpotokat is: x = : = a harmoikus sor diverges. 27

28 ( ) x = = = + + váltakozó előjelű számsor, a Leibitz-féle 2 3 kritériumot alkalmazva kapjuk, hogy koverges, mivel: a = szigorúa mooto csökkeő sorozat és tart ullához a végtelebe. Tehát D max kovergecia = [,) a kovergecia tartomáy ( ) = x! Megoldás: A Cauchy- Hadamard tételt alkalmazva: R = lim a (+)! = lim =. a +! Tehát D max kovergecia = (, ) = R a kovergecia tartomáy = 4 7 (3 2)! x Megoldás: Az a = 4 7 (3 2), a! + = 4 7 (3 2)(3+), a Cauchy- Hadamard tételt (+)! alkalmazva: R = lim a + = lim = (kovergecia sugár), tehát a kovergecia a tartomáy miimum D kovergecia = ( R, R) = (, ). Leelleőrizzük a határpotokat is: (3 2) x = : 3 = ( 3 ), a Raabe-Duhamel kritérium alapjá l= 2 <, a sor diverges. 3! 4 7 (3 2) x = : 3 = ( 3 ) váltakozó előjelű számsor, a Leibitz-féle kritériumot! alkalmazva kapjuk, hogy koverges. Tehát D max kovergecia = [ 3, 3 ) a kovergecia tartomáy Taylor -sor. Elemi függvéyek hatváysorba való kifejtése Adott egy valós függvéy f: I R, y = f(x) () és egy hatváysor: =0 a x = a 0 + a x + + a x + (2) Határozzuk meg a = a x hatváysor a együtthatóit f(x) segítségével úgy, hogy f(x) a határösszeg függvéye legye a (2) hatváysorak. Az a együtthatók meghatározása az f = f(x) segítségével (Taylor módszere): f(x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x a x + (3) Deriváljuk a feti összefüggést: (3) f (x) = a x + 2a 2 x + 3a 3 x a x + (4) Deriválva kapjuk: (4) f (x) = 2a a 3 x + + ( ) a x 2 + (5) (5) f (x) = 2 3 a ( 2 )( ) a x 3 + (6) A fet kapott összefüggésekbe x=0-t helyettesítve: 28

29 (3),(4),(5),(6) x = 0: f(0) = a 0 a 0 = f(0) f (0) = a a = f (0)! f (0) = 2 a 2 a 2 = f (0) 2! { f (0) = 2 3 a 3 a 3 = f (0) 3! (7) Általáosítva kapjuk: a = f() (0). Ezeket a kapott összefüggéseket visszahelyettesítve a (3)-! ba kapjuk a Mac- Lauri sort: f(x) = f(0) + f (0)! x + f (0) 2! x 2 + f (0) 3! x f() (0) x + (3*)! Ha x = x 0 0 tetszőleges (a ulla köryezetébe lévő emulla érték) eseté a Taylor-sor: f(x) = f (x 0 ) + f (x 0)! (x x 0 ) + f (x 0) 2! (x x 0 ) f() (x 0 )! (x x 0 ) + (3**) Az f(x) = P (x) + r (x) Taylor- sor akkor és csak akkor koverges, ha a maradékfüggvéy tart ullához: lim r (x) = 0 és így az f: I R, y = f(x) függvéy megközelíthető egy poliomfüggvéyel: f(x) P (x). Tétel: Az y = f(x) függvéy Taylor-sora egyeletese koverges, ha f(x) mide redű deriváltja az x 0 potba egy pozitív M > 0 számtól korlátos: M > 0 úgy, hogy f () (x) M, ( ) =,2, x 0 V(0) (6) Elemi függvéyek hatváysorba való kifejtése. Az expoeciális függvéy hatváysora f(x) = e x, f (x) = e x,... f () (x) = e x f () (0) = ( ) f () (x) e ε ( ) x V(0) x 0 = 0 pot köryezetébe a hatváysoruk egyeletese koverges: e x = + x! + x2 2! + + x! + ( ) x V(0) e x = x + x2 x + + ( ) +! 2!! ( ) x V(0) 2. Trigoometrikus függvéyek hatváysora f(x) = si x, f () (x) = si (x + π 2 ), f() (x) 29

30 g(x) = cos x, g () (x) = cos (x + π 2 ) g() (x) f(x) = si x f(0) = 0 g(x) = cos x g(0) = f (x) = cos x f (0) = g (x) = si x g (0) = 0 f (x) = si x f (0) = 0 g (x) = cos x g (0) = { f (x) = cos x f (0) = { g (x) = si x g (0) = 0 x 0 = 0 pot köryezetébe a hatváysorok egyeletese kovergesek: si x = x! x3 3! + + ( ) Euler képletei levezethetők a fetiekből: cos x = x2 2! + x4 4! + + ( ) e a x = + A (*) egyeletbe helyettesítéssel kapjuk: x 2+ (2 + )! + x 2 (2)! + a x (a x)2 (a x) (*)! 2!! a = i = a 2 = i 2 =, a 3 = i 3 = i, a 4 = i 4 = e ix = ( x2 + x4 + ) + i ( x x3 2! 4!! 3! + ) = cosx + i six e ix = ( x2 + x4 + ) i ( x x3 + ) = cosx - i six 2! 4!! 3! { eix = cosx + i six e ix = cosx i six Összeadva, illetve kivova a feti egyeleteket kapjuk Euler-képleteit: cosx = eix + e ix 2 { six = eix e ix 2i 30

31 II. Fejezet: Differeciálszámítás 2.. Többváltozós valós függvéy. Parciális deriváltak 2... dimeziós tér Létezek a következő megfeleltetések:. Az OX tegely potjai és R, a valós számok halmaza között: x R f M(x) 0x R = {x R x R} = {M(X) 0x x R} az dimeziós tér 2. A sík: RxR = R 2 potjai között és az (x, y) valós számpárok között: (x, y) P f {(x, y) R 2 x R, y R } R 2 = {(x, y) R 2 x R, y R } = {M(x, y) P x R, y R} a két dimeziós tér Értelmezés: -dimeziós térek evezzük az valós számból képezett számcsoportokat (x, x 2,, x ), ahol x i R, i =, : R = {(x, x 2,, x ) R x R, x 2 R,, x R} az dimeziós valós tér Műveletek értelmezése az dimeziós valós térbe:. Összeadás: x R, x = (x, x 2, x ) R y R, y = (y, y 2, y ) R Az x és y összegé értjük a: z = x + y = (x + y, x 2 + y 2,, x + y ) R. 2. Távolság (metrika) R 2 be a távolság (d) két pot között: M(x, x 2 ), M (y, y 2 ) R 2 eseté d(m, M ) = (y x ) 2 +(y 2 x 2 ) 2 () R be a távolság (metrika) egy művelet: d: R xr R, tetszőleges M, M R eseté: d(m, M ) = (y x ) 2 + (y 2 x 2 ) (y x ) 2 ( ) A d metrikával felruházott az dimeziós valós teret: (R, d) euklideszi térek evezzük. 3

32 Értelmezés: Az M 0 A R pot V(M 0 ) köryezete alatt egy yitott gömb halmaz elemeit értjük, melyek bármely M potjára feáll a következő: d(m 0, M) = {S r (M 0 ) d(m 0, M) r} (2) A többváltozós valós függvéy meghatározása A kétváltozós valós függvéy meghatározása Értelmezés: Ha az A halmaz ( )(x, y) elemére létezik egy megfeleltetés f: A R 2 R z = f(x, y), (x, y) f z B, akkor azt modjuk, hogy az A halmazo meghatároztuk egy kétváltozós valós függvéyt. Az -változós valós függvéy meghatározása: Legye A = {(x, x 2,, x ) R x i R, i =, } és B = { z B/z R}. Értelmezés: Ha létezik egy olya f függvéy, amely az A halmaz ( )(x, x 2,, x ) eleméek megfeleltet egy z B elemet: ( )(x, x 2,, x ) A f z B akkor az az A halmazo értelmezett -változós valós függvéyt: f: A R R, z = f(x, x 2,, x ) () Határérték és folytoosság Legye adott egy kétváltozós valós függvéy: f: A R 2 R, z = f(x, y) (2) amelyek M 0 (x 0, y 0 ) A egy belső potja. Értelmezés: A z = f(x, y) függvéy határértéke az M 0 (x 0, y 0 ) potba egy l érték, amelyre feáll: ( )ε > 0 ( )μ (ε) úgy, hogy ( ) M(x, y) V(M 0 ): { x x 0 < μ (ε), akkor f(x, y) l < ε (3) y y 0 < μ (ε) Jelölés: lim x x0 y y 0 f(x, y) = l (3 ) Példa: az f(x) = x 2 + 3x + 4y függvéy határértéke az M 0 (,) potba: lim(x 2 + 3x + 4y) = = 8. x y Értelmezés: A z = f(x, y) függvéy folytoos az M 0 (x 0, y 0 ) potba, ha ( )ε > 0 ( )μ(ε) úgy, hogy ( )M(x, y) V(M 0 ): { x x 0 < μ (ε) y y 0 < μ (ε), akkor f(x, y) f(x 0, y 0 ) < ε (4) 32

33 lim f(x, y) = f(x x x 0, y 0 ) (4 ) 0 y y 0 Megjegyzés: Többváltozós valós függvéy esetébe létezik a részleges (parciális) folytoosság fogalma is, és természetese a két fogalom külöbözik egymástól. Értelmezés: z = f(x, y) parciálisa folytoos az x változóra ézve, ha f(x, y 0 ) függvéy folytoos: lim f(x, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) (5) x x 0 Hasolóa értelmezzük a parciális folytoosságot az y változóra ézve: ha feáll lim f(x 0, y) = f(x 0, y 0 ) (5 ) y y Parciális deriváltak. Differeciáltak Az elsőredű parciális deriváltak A derivált fogalma az egyváltozós függvéy eseté: f : I R, y = f(x), x 0 I () Értelmezés: Az y = f(x) függvéy deriválható az x 0 I potba, ha létezik ( ) lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = f (x 0 ) = df (x) (2). dx Hasolóa értelmezzük a kétváltozós függvéy parciális deriváltját: Legye adott egy kétváltozós függvéy: f: D R 2 R, z = f(x, y), és M 0 (x 0, y 0 ) D ( ) Értelmezés: A z = f(x, y) kétváltozós függvéy parciálisa deriválható az x változóra ézve, f(x,y ha: ( ) lim 0 ) f(x 0,y 0 ) = f x x0 x x x (x 0, y 0 ) = df (x 0 dx 0, y 0 ) (2 ), ez az elsőredű parciális derivált az x változóra ézve. Hasolóa értelmezzük a z = f(x, y) kétváltozós függvéy parciális deriváltját az y változóra f(x ézve: ( ) lim 0,y) f(x 0,y 0 ) = f y y0 y y y (x 0, y 0 ) = df (x 0 dy 0, y 0 ) (2 ) ez az elsőredű parciális derivált az y változóra ézve. Megjegyzés: z = f(x, y) függvéy deriválására haszálhatjuk az ismert deriválási képleteket, figyelembe véve a következőket: ha x utá parciálisa deriváluk, az y paramétert kostasak ézzük, illetve fordítva. Példa: Deriváljuk az f(x, y) = x 3 y 2 + x y kétváltozós függvéyt az M 0 (,) potba! Megoldás: df dx = f x = 3x2 y 2 + yx y, f x (,) = 3 + = 4, df dy = f y = 2x3 y + x y l x, f y (,) = = 2. 33

34 Másodredű parciális deriváltak Legye adott egy kétváltozós függvéy: f: D R 2 R, z = f(x, y), M(x 0, y 0 ) D. Ha létezek az f függvéy elsőredű parciális deriváltjai: z = f(x, y), ( ) df = f df, ( ) dx x = dy f y, akkor ezek parciális deriváltjait x és y-ra ézve, az f függvéy másodredű parciális deriváltjaiak evezzük. (f x ) x = f x 2 = df dx 2 () (f x ) y = f xy = d2 f dxdy (2) (f y ) x = f yx = d2 f dydx (3) (f y ) y = f y 2 = d2 f dy 2 (4) (), (2), (3), (4) az f másodredű parciális deriváltjai, (2), (3) a másodredű vegyes parciális deriváltak. Tétel (Schwartz-tétel) A z = f(x, y) függvéyek, ha létezek a másodredű vegyes parciális deriváltjai és ezek folytoos függvéyek, akkor ezekre feáll: d 2 f = d2 f dxdy dydx (5) Megjegyzés: Igaz a Schwartz-tétel magasabbredű vegyes parciális deriváltak eseté is, pl. 34 d 3 f dx 2 dy = d3 f dydx 2 Példa: Számítsuk ki az f(x, y) = x 3 y 2 + x y kétváltozós függvéy másodredű parciális deriváltjait az M 0 (,) potba! d 2 f dx 2 = d dx (df dx ) = (3x2 y 2 + yx y ) x = 6xy 2 + y(y )x y 2 ; d2 f dx 2 (,) = 6 d 2 f dy 2 = d dy (df dy ) = (2x3 y + x y l x) y = 2x 3 + x y (l x) 2 ; d2 f dy 2 (,) = 2 d 2 f dxdy = d2 f dydx = d dy (df dx ) = 6x2 y + x y + yx y l x ; d2 f dxdy Differeciáltak (,) = 5. Ismert a differeciál fogalma az egyváltozós függvéy eseté: f : I R y = f(x) () Ha létezik a függvéy deriváltja: ( )f (x) = df ; df = dx f (x)dx = df dx (2). dx

35 Hasolóa fogalmazzuk meg a differeciál fogalmát a kétváltozós függvéy eseté: f: D R 2 R, z = f(x, y) ( ), z = f(x, y), Ha létezek az elsőredű parciális deriváltak: f x = df, f dx y = df, értelmezhetjük a függvéy dy elsőredű differeciálját. Értelmezés: z = f(x, y) kétváltozós függvéy elsőredű differeciálja a következőképpe értelmezett: df = df df dx + dy vagy df = ( d dx + d dy) f dx dy dx dy Az elsőredű differeciál operátor: d = d dx dx + d dy dy Ha z = f(x, y) kétváltozós függvéyek létezek a másodredű parciális deriváltjai: ( ) d2 f, d 2 f, d2 f dx 2 dxdy dy2, akkor értelmezhetjük a függvéy másodredű differeciálját. Értelmezés: z = f(x, y) kétváltozós függvéy másodredű differeciálja a következőképpe értelmezett: d 2 f = d2 f dx 2 dx2 + 2 d2 f dxdy + d2 f dyz dy2 vagy d 2 f = ( d dx dx + d dy dy)(2) f Az másodredű differeciál operátor: d 2 = d2 dx 2 dx2 + 2 d2 dxdy dxdy + d2 dy 2 dy2 = ( d dx dx + d dy dy) (2) Hasolóa godolkodva létezik az -ed redű differeciálja ( )-ek: d f = ( d dx dx + d dy dy) () f Példa: a feti példa eseté: df = df df df df dx + dy = (,)dx + (,)dy = 4dx + 2dy = dx dy dx dy 2(2dx + dy) az f függvéy elsőredű differeciálja az M 0 (,) potba. A másodredű differeciálja az M 0 (,) potba: d 2 f = ( d dx dx + d dy dy)(2) f =8. Példák:. a) Határozzuk meg a következő függvéy első- és másodredű parciális deriváltjait: f(x, y) = x 3 + 5xy y 2 Megoldás: f x = 3x 2 + 5y, f y = 5x 2y, f xx = 6x, f xy = 5, f yx = 5, f yy = 2 Azt tapasztaljuk, hogy f xy = f yx. b) Írjuk fel a függvéy első- és másodredű differeciál operátorát: df = f x dx + f y dy=(3x 2 + 5y)dx + (5x 2y)dy df 2 = f xx dx 2 + 2f xy dxdy+ f yy dy 2 = 6xdx 2 + 0dxdy-2dy 2 35

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Matematika szigorlat (A1-A2-A3)

Matematika szigorlat (A1-A2-A3) Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, 2014-2016 Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1 Stabilitás 2008.03.4. Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben