Segédanyag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához
|
|
- Attila Borbély
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Segédayag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához Sáfár Orsolya Komplex számok fogalma A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, aak érdekébe, hogy a gyökvoás mûvelete elvégezhetõ legye a egatív számok körébe is. Vegyük tehát hozzá az eddig megszokott valós számokhoz a -et, és jelöljük el ezt az új számot i-vel.a komplex számok igazából a valós számok és eze i valaháyszorosáak összegei. A komplex számokat legegyszerûbbe a komplex számsíko képzelhetjük el, mit vektorokat. Mide komplex szám megfelel egy az origóból az adott potba mutató vektorak. A komplex számsík két tegelyét valós, illetve tegelyek evezzük, egy z komplex szám koordiátáit pedig a komplex szám valós illetve képzetes részéek (jelölésük: Rz = a, illetve Iz = b). Ezek alapjá mide szám megegyezik a tegelyekre esõ vetületeiek összegével: z = a + ib. (Hasolóa mit ahogy síkvektorokál megszoktuk az xi + yj jelölést, ahol i, j a két tegelye lévõ egység hosszú vektorok. Itt ayi a külöbség, hogy a valós tegely egységvektoráak ics külö jele, a képzetes tegelyé pedig i). Im b r z ϕ a Re Egy komplex szám origótól vett távolságát evezzük a szám abszolútértékéek (jele r), a valós tegely pozitív felével bezárt szögét pedig a komplex szám szögéek (jele: φ). Eze meyiség segítségével a feti z = a+ib alak helyett haszálhatjuk az
2 z = r(cos φ + i si φ) trigoometrikus alakot is (mivel cos φ = a r, si φ = b r defiíció szerit). Végül a trigoometrikus alakot rövidíthetjük: z = re iφ Euler-alakra. Aak idoklása, hogy ez utóbbi két alak ugyaaz, Taylorsorfejtés segítségével törtéik. Ugyais e iz = (iz) k. k! k=0 Figyelembe véve, hogy i 4k =, i 4k+ = i, i 4k+2 =, i 4k+3 = i, kapjuk, hogy a feti sor megegyezik a, sorok összegével.) i si z = i cos z = ( ) k z 2k+ (2k + )! k=0 k=0 ( ) k z2k (2k)! 2 Alapmûveletek a komplex számok körébe Köye értelmezhetjük egy komplex szám és egy valós szám szorzatát, és összegét, legye z = a + ib, c R. Ekkor c + z = (c + a) + ib c z = c a + ic b A komplex számok körébe értelmezett a égy alapmûvelet. Legyeek z = a + ib, illetve z 2 = a 2 + ib 2 két tetszõleges komplex szám. Ekkor defiíció szerit: z + z 2 = a + ib + a 2 + ib 2 = (a + a 2 ) + i(b + b 2 ) z z 2 = a + ib a 2 ib 2 = (a a 2 ) + i(b b 2 ) z z 2 = (a + ib ) (a 2 + ib 2 ) = a a 2 + i 2 b b 2 + ia b 2 + ia 2 b = (a a 2 b b 2 ) + i(a b 2 + a 2 b ) Az osztás kicsit trükkösebb, de ki lehet szedi a evezõbõl a képzetes számot a következõ trükkel: 2
3 a + ib a 2 + ib 2 = a + ib a 2 + ib 2 a2 ib 2 a 2 ib 2 = a a 2 i 2 b b 2 + ia b 2 + ib a 2 a 2 2 (ib 2 ) 2 = a a 2 + b b 2 + i( a b 2 + b a 2 ) a 2 2 = a a 2 + b b b 2 a i a b 2 + b a b 2 a b 2 A szorzás és osztás mûvelete sokkal egyszerûbbe elvégezhetõ az Euleralak segítségével, ugyais: továbbá z z 2 = r e iφ r 2 e iφ 2 = r r 2 e i(φ +φ 2 ), z z 2 = r e iφ r 2 e iφ 2 = r r 2 e φ φ 2. A hatváyozás és gyökvoást em szokás a + ib alakba végezi, ugyais míg a z = (a + ib) kifejezés csak a biomiáls tétellel botható ki, addig z = (re iφ ) = r e iφ ige köye számolható. A gyökvoás pedig em is végezhetõ el a trigoometrikus vagy Euler-alak élkül: z = re φ + 2kπ, ahol k = 0,,.... Ezt a képletet úgy kell értei, hogy mide komplex számak darab -edik gyöke va, és ezeket úgy kell kiszámoli, hogy a feti képletbe be kell helyettesítei a k értékeket (mid az darabot), és ami kijö, az az db -edik gyök. Kidolgozott mitapéldák Végezzük el a kijelölt mûveleteket!. (2 + i)( i) 2. (3 + 6i)(4 + 7i) i 4 2i 4. ( i) Megoldások:. (2 + i)( i) = 2 i 2 2i + i = 2 + i = 3 i 3
4 2. (3 + 6i)(4 + 7i) = i i + 2i = i i 4 2i = 2+3i 4 2i 4+2i 4+2i = 8 6+i(4+2) = 2+6i 20 = 0 + i ( i) 25 = ( e i 7π 4 ) 25 = 2 25 e i 25 π 3 4 = 2 25 e i 3π = e iπ = e i π 2kπ +i 4 4 = e i π 4 +i kπ 2, azaz e i π 4, e i π 4 +i π 2, e i π 4 +iπ, a égy keresett gyök. e i π 4 +i 3π 2 3 Komplex elemû számsorozatok és számsorok 3. A kovergecia defiíciója Komplex számsorozat kovergeciájá ugyaazt kell érteük, mit valós számsorozatok eseté: az elemek egy bizoyos küszöbidex utá egyre közelebb kerülek a határértékhez (amely egy komplex szám). A távolságot ebbe az esetbe a két szám külöbségéek abszolútértékével mérjük. Ebbõl a defiícióból következik, hogy egy komplex számsorozat potosa akkor koverges, ha az elemeiek valós része és képzetes része is koverges. Kidolgozott mitapélda Mi az alábbi sorozat határértéke? z = i2 + Ebbe az esetbe külö megvizsgáljuk a valós részt, ami: + 3 = 3 3 illetve a képzetes részt, amire: = 0, 2 = = 2. Ezek alapjá a keresett határérték: 0 + 2i. 3.2 A Cauchy-tulajdoság Haszos fogalom a számsorozatok vizsgálatáál a Cauchy-sorozat. Akkor modjuk egy sorozatról, hogy az Cauchy-sorozat, ha mide ε > 0-hoz létezik N(ε), hogy mide, m > N(ε) eseté z z m < ε. Magyará szólva elég agy idexû tagjai a sorozatak tetszõlegese közel vaak egymáshoz. Ha z egy komplex számsorozat, akkor a kovergecia ekvivales a Cauchy-tulajdosággal, azaz egy sorozat koverges akkor és csak akkor, 4
5 ha Cauchy-sorozat. Ezt a téyt felhaszálhatjuk, hogy bebizoyítsuk egy sorozat koverges vagy diverges voltát. Kidolgozott mitapélda Koverges-e az alábbi sorozat? z = cos(φ) + i si(φ) Nem koverges, mert em Cauchy. Euler-alakba felírva: z = cos(φ) + i si(φ) = e i. Ebbõl látszik, hogy a sorozat elemei a komplex egységkörö helyezkedek el, és a szögük fix meyiséget, -et változik mide lépésbe (radiába számolva). Ez azt jeleti, hogy bármely két szomszédos elem távolsága álladó, pozitív meyiség. Így em teljesülhet a Cauchy-feltétel olya ε-ra, amely eél a fix távolságál kisebb, emiatt a sorozat em lehet koverges hoz tartó sorozatok A kovergecia feti defiíciójából az is következik, hogyha egy z sorozat koverges, és z = r e iφ, akkor az r és φ sorozatok is kovergesek, és ha z z = re iφ, akkor r r és φ mod2π φ, kivéve, ha r = 0. Ha 0-hoz tartó sorozatról va szó, akkor r általába köye becsülhetõ, és ha r 0, akkor a szöget em kell vizsgáluk (ez köye belátható pl. a Cauchy-tulajdoság segítségével). Kidolgozott mitapélda Koverges-e az alábbi sozozat? z = e i Ige, mert z = r = , így az egész sozozat tart a 0 (komplex) számhoz. 3.4 Végtelehez tartó sorozatok Itt va a legagyobb külöség a valós számokál megszokott defiícióhoz képest. Akkor modjuk, hogy egy komplex számsorozat tart a végtelebe, ha az abszolútértéke tart a végtelebe. A szög itt egyáltalá em érdekes. Így például míg a valós számokál a ( ) sorozatot divergesek eveztük, a komplex számok körébe ez a végtelebe tart. Érdemes úgy godoli, hogy a komplex számokál csak egy va, em úgy mit a valósokál, ahol volt + és. 5
6 Kidolgozott mitapéldák Bizoyítsuk be, hogy az alábbi sorozatok a végtelebe tartaak: a, z = ( 4 )e i + 2 b, z = i(cos( 3 )) Megoldások: a, r = z = 4, így a defiíció alapjá z. b, r = z = ( 2 0) 2 + (cos( 3 )) 2 ( 2 0) , a elég agy -re teljesül. Ezzel bebizoyítottuk, hogy a második sorozat is végtelebe tart. Gyakorló példák Vizsgáljuk meg az alábbi komplex elemû sorozatokat kovergecia szempotjából! a, z = 5 e i b, z = + + i e +! 3e 2(!) c, 3 3 e i d, 3 3 e i e, e iπ Megoldások: a, 0-hoz tart b, - 2i-hez tart c, 0-hoz tart d, -hez tart e, em koverges, mert em Cauchy 6
7 3.5 Komplex számsorok A komplex számsorok összegét hasolóa defiiálhatjuk a valós esethez, azaz i=0 z = lim N N z. Emiatt igaz marad a komplex számsorozatokra kimodott tulajdoság: a részösszegek valós és képzetes része tart az összeg valós illetve képzetes részéhez. Igaz továbbá két fotos tétel, amelyekkel már találkoztuk a valós számokál is: ha a sor koverges (létezik az összeg), akkor z 0 (vigyázat, ez fordítva em igaz, ha z 0, attól még em feltétle koverges a sor). A másik pedig: ha z -ból képzett sor koverges, akkor a z -ekbõl képzett sor is koverges, ezt eveztük abszolút kovergeciáak. Vigyázat, ez az állítás sem igaz fordítva, z kovergeciájából em következik z kovergeciája. i=0 Kidolgozott mitapéldák Kovergesek-e az alábbi végtele összegek? a, ( =0! + i ) 3 b, = 2 e i2 c, =0 ( ( + ) ) + i 2 + d, =0 (z ), ahol z egy tetszõleges komplex szám a, Koverges, és ebbe az esetbe a sorösszeget is meg tudjuk határozi: a valós részé: =0! = e. Ezt az ex függvéy Taylor-sorfejtésébõl tudjuk, ha behelyettesítük x = -et. Másrészt a képzetes rész: = i=0 = ,a geometriai sor összegképlete miatt. Így kérdezett sorösszeg: e + i 3 2. b, Koverges, mert abszolút koverges. Ugyais z = = i= 2 < c, Nem koverges, mert az általáos tag em tart 0-hoz, mivel ( z = + ) 2 ( ) = 0 7
8 d, A válasz most z értékétõl függ. Ha z <, akkor haszálhatjuk azt a tételt, amely szerit abszolút koverges sor koverges. Tehát ilye z-kre a sor koverges. Ha viszot z, akkor az általáos tag em tart 0-hoz, mivel az abszolútértéke em tart 0-hoz (hisze egy egyél agyobb szám hatváyai a végtelehez tartaak, míg ha z =, akkor z hatváyaiak abszolútértéke ). Eze z-kre tehát a sor diverges. Összefoglalva: eze sor kovergeciatartomáya, azaz azo z-k halmaza, amelyekre a sor koverges, az + 0i középpotú, sugarú yílt körlap. Gyakorló feladatok Vizsgáljuk meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a, ( = b, =0 c, = 9 + i 2 (( ei2 3 ) ) + i ) d, =0 (2z 3i), ahol z egy tetszõleges komplex szám Megoldások: a, a sor koverges, a sorösszeg 8 + 2i b, a sor diverges az általáos tag e 3 + 0i-hez tart, em 0-hoz c, a sor koverges, mert abszolút koverges d, a sor kovergeciatartomáya a i középpotú, 2 sugarú yílt körlap 4 Komplex számoko értelmezett komplex értékû függvéyek 4. Függvéyek határértéke Egy komplex számoko értelmezett komplex függvéyt f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) alakba elõállítva a z 0 potba a függvéy határértéke: lim f(z) = z z 0 lim u(x, y) + i lim v(x, y). x x 0,y y 0 x x 0,y y 0 Ha egy függvéyek mide potba létezik határértéke, akkor a függvéyt folytoosak evezzük. Folytoos függvéyekre igaz, hogy a határértékük egy z 0 potba egyszerûe f(z 0 ). Ha viszot a függvéy em folytoos 8
9 (például 0-val osztás miatt), akkor a kétváltozós függvéyek tault módo kell eljáruk. A megoldást a legtöbb esetbe úgy célszerû kezdei, hogy felírjuk az z = x + iy összefüggést. Néha célszerû az f(x, y) függvéyt is két részre botai (u + iv), de em mide esetbe. Általába köyebb azt beláti, hogy em létezik a határérték. Erre az az általáos módszer, hogy megmutatjuk, hogy a függvéy határértéke függ az iráytól, amelybõl közelítjük z 0 -t. Viszot ez em lehetséges, mivel a határérték egyértelmû, azaz ebbe az esetbe em létezhet. A másik lehetõség, ha belátjuk, hogy a határérték valamilye iráyból. Kidolgozott mitapéldák Határozzuk meg a következõ határértékeket! a, lim z 0 e z z b, lim z 0 z 2 z c, lim z 0 z z Megoldások: a, A kérdéses határérték em létezik. Legegyszerûbbe ezt úgy láthatjuk be, ha megvizsgáljuk, hogy mi törtéik ha a valós tegely pozitív fele meté közelítjük meg az origót. Ekkor a keresett határérték a következõ alakot ölti: e x lim x 0+ x = +, ugyais e 0 =, amit egy agyo kicsi pozitív meyiséggel osztuk. Mivel va olya iráy, amelybõl em létezik, így biztos em létezik a függvéy határétéke. b, Eek a függvéyek létezik a határértéke az origóba. Alakítsuk át a függvéyt! z 2 lim z 0 z = lim x 2 + y 2 x 0,y 0 x + iy = lim x 2 + y 2 x iy x 0,y 0 x + iy x iy = (x 2 + y 2 )(x iy) = lim x 0,y 0 x 2 + y 2 = x iy, amiek a határértéke az origóba 0 + 0i. c, Eze függvéyek em létezik határtértéke az origóba, mert z lim z 0 z = lim x 0,y 0 x 2 + y 2 x + iy = lim x 0,y 0 x 2 + y 2 x + iy x iy x iy = 9
10 lim x 0,y 0 (x 2 + y 2 )(x iy) x 2 + y 2 = lim x 0,y 0 lim x 0,y 0 x x 2 + y + i y 2 x 2 + y 2 x iy x 2 + y 2 = az utolsó alakot felhaszálva közelítsük az origót a valós illetve a képzetes tegely pozitív fele meté. Elsõ esetbe x 0+, y = 0: lim x 0+ A második esetbe x = 0, y 0+: lim y 0+ x + i 0 =. x 2 x i y = i. y 2 y 2 Mivel i, így a határérték függ a közelítés iráyától, ami em lehetséges. Így beláttuk, hogy a függvéyek em létezik határértéke az origóba. Gyakorló feladatok a, lim z 0 z 4 z 2 b, lim z 0 z c, Számoljuk ki a feti c, feladatba a tegelyeke egatív iráyból közelítés eseté a határértéket. a, 0 Megoldások: b, em létezik c, illetve i 4.2 A komplex derivált fogalma, Cauchy Riema egyeletek, harmoikus függvéyek A komplex függvéyek adott potbeli deriválhatóságához két dolog kell (ez egy szükséges és elégséges feltétel): egyrészt az u(x, y) és v(x, y) mit valós kétváltozós függvéyek totálisa deriválhatóak legyeek, másrészrõl teljesíteiük kell a Cauchy Riema egyeleteket: u x(x, y) = v y(x, y) 0
11 u y(x, y) = v x(x, y) Ha egy függvéy egy pot kis köryezetébe mideütt deriválható, akkor regulárisak evezzük az adott potba. A Cauchy Riema egyeletekbõl következik, hogyha egy komplex függvéy deriválható, akkor a valós és képzetes része is harmoikus, azaz u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0 v xx (x, y) + v yy (x, y) = 0. Egy u(x, y) harmoikus függvéy harmoikus társáak evezzük azt a v(x, y) függvéyt, amivel együtt kielégíti a Cauchy Riema egyeleteket. Eek meghatározásához magukat az egyeleteket kell felhaszáluk. Kidolgozott mitapéldák a, Milye c eseté reguláris az f(x, y) = c(2x 3y) + i(6x + 4y) függvéy? b, Lehet-e x 3 y egy reguláris függvéy valós része? c, Bizoyítsuk be, hogy a u(x, y) = 2x 3 6xy 2 + 5x 2y függvéy harmoikus, és keressük meg a harmoikus társát! a, Akkor reguláris, ha valós deriválható (ami itt teljesül), továbbá eleget tesz a Cauchy Riema egyeletekek, azaz c(2x 3y) x = (6x + 4y) y, és c(2x 3y) y = (6x + 4y) x. Elvégezve a deriválásokat, kapjuk: 2c = 4, illetve 3c = 6. Ezek alapjá az egyetle megoldás c = 2. b, Csakis akkor lehet, ha harmoikus, azaz (x 3 y) xx + (x 3 y) yy-ek kell 0-ak leie. Viszot elvégezve a deriválásokat 6x-et kapuk, ami em azoosa 0, így ez em lehet egy egész síko reguláris függvéy valós része (egyébkét képzetes része sem). c, Mivel (2x 3 6xy 2 +5x 2y) xx +(2x 3 6xy 2 +5x 2y) yy = 2x 2x = 0, így ez a függvéy harmoikus. Jelöljük a harmoikus társát v(x, y)-al. Ekkor teljesülie kell, hogy u x = v y, és u y = v x, azaz: (2x 3 6xy 2 + 5x 2y) x = 6x 2 6y = v y(x, y) (2x 3 6xy 2 + 5x 2y) y = 2xy 2 = v x. Eze egyeletekbõl a megfelelõ változó szeriti itegrálással kapjuk: v(x, y) = v(x, y) = 6x 2 6y 2 + 5dy = 6x 2 y 2y 3 + 5y + c (x) 2xy + 2dx = 6x 2 y + 2x + c 2 (y).
12 c (x) egy olya kostast jelöl, amely még függhet x-tõl, de y-tól már em. Ez azért jeleik meg, mert ha v(x, y)-t y szerit deriváljuk, akkor azo tagok, amelyek csak x-tõl függek eltûek, és õket em hozza vissza az y szeriti itegrálás. A két egyeletet összevetve kapjuk: v(x, y) = 6x 2 y 2y 3 + 5y + 2x + c, ahol a c téylegese kostas, em függ egyik változótól sem. Gyakorló feladatok a, Milye c eseté lesz reguláris a c(x y) + i(x 2 + y) függvéy? b, Milye c eseté lesz reguláris a 3c(2yx y) + i(cx + cy 2 ) függvéy? c, Lehet-e az u(x, y) = 3x 2 y y 3 egy reguláris függvéy képzetes része? Ha ige, határozzuk meg a harmoikus társát. Megoldások: a, semmilye c-re sem b, mide c-re c, ige, a harmoikus társa: 3xy 2 x 3 + c. 4.3 Elemi függvéyek kiterjesztése, azoosságok Az elemi függvéyek közül legköyebbe az expoeciális függvéyt tudjuk komplex számokra értelmezi az Euler-alak segítségével: e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos(y) + i si(y)). A függvéy defiíciójából következõ tulajdoságai: reguláris az egész komplex számsíko (e z ) = e z e z 0, semmilye z-re, de mide más értéket felvesz (pl. egatív valós számokat is) e z +z 2 = e z e z 2 A trigoometrikus és hiperbolikus függvéyek defiíciója: si(z) = eiz e iz, cos(z) = eiz + e iz 2i 2 sih(z) = ez e z, cosh(z) = ez + e z. 2 2 Eze defiíciókból következek az alábbi tulajdoságok: 2
13 valameyi függvéy reguláris az egész komplex számsíko si(z) = cos(z) cos(z) = si(z) sih(z) = cosh(z) cosh(z) = sih(z) si(iz) = i sih(z) cos(iz) = cosh(z) si(x + iy) = si(x) cosh(y) + i cos(x) sih(y) cos(x + iy) = cos(x) cosh(y) i si(x) sih(y) si(z) 2 + cos(z) 2 = cosh(z) 2 sih(z) 2 = A logaritmus függvéy: egy szám logaritmusa a komplex számok körébe sajos em egyértelmû. Mi lee például l() komplex értelembe? Mide olya szám, amelyre e l() =. Na de ilye számból végtele sok va, hisze mide i2kπ alakú szám jó, ahol k Z tetszõleges. Eek oka az, hogy a komplex számok szöge csak mod2π egyértelmû. Ezért a logaritmust komplex értelembe a következõképpe kell defiiáli: l(z) = l z + i(arc(z) + 2kπ), ha z C \ (, 0], ahol k Z tetszõleges. Ez azt jeleti, hogy a empozitív valós számokak em értelmezett a logaritmusa (ez késõbb amúgyis godot okoza). Eze defiícióval elveszik a logaritmus azoosságaiak agy része. Midig legyük óvatosak, ha logaritmus függvéyt kell átalakítai! Kidolgozott mitapéldák a, Bizoyítsuk be a defiíció alapjá, hogy si(iz) = i sih(z). b, Bizoyítsuk be a regularitás felhaszálása élkül, hogy cos(z) valós része harmoikus. c, Bizoyítsuk be, hogy si(x + iy) = si 2 (x) + sih 2 (y) d, Bizoyítsuk be, hogy si(z) em korlátos. e, Igaz-e, hogy l(z 2 ) = 2 l(z)? f, Hozzuk x + iy alakra: si(3 + 4i) 3
14 g, ta( + i) =? h, l(0i) =? i, Oldjuk meg az alábbi egyeleteket a komplex számok körébe: si(z) = 5. j, cosh(iz) = 3 k, e z = + i Megoldások a, si(iz) = eiiz e iiz 2i = e z e z 2i = i e z e z 2 = i ez e z 2 = i sih(z) b, R(cos(z)) = cos(x) cosh(y) alapjá, (cos(x) cosh(y)) xx+(cos(x) cosh(y)) yy = cos(x) cosh(y) + cos(x) cosh(y) = 0, azaz a függvéy harmoikus. c, si(x + iy) = (si(x) cosh(y)) 2 + (cos(x) sih(y)) 2 = si(x) 2 cosh(y) 2 + ( si(x)) 2 sih(y) 2 = si(x) 2 cosh(y) 2 + sih(y) 2 si 2 (x) sih(y) 2 = si(x) 2 (cosh(y) 2 sih(y) 2 ) + sih(y) 2 = si 2 (x) + sih 2 (y) d, Az elõzõ feladat eredméyét felhaszálva láthatjuk, hogy a si(z) függvéy abszolútértéke a szám komplex részétõl egy végtelebe tartó módo függ, ha y tart a végtelebe, így em lehet korlátos. e, Ez em igaz, mivel defiíció szerit l(z 2 ) = l(r 2 e i2φ ) = l(r 2 ) + i(2φ + 2kπ) = 2 l(r) + i(2φ + 2kπ) 2 l(z) = 2(l(re iφ )) = 2(l(r) + i(φ + 2kπ)) = 2 l(r) + i(2φ + 4kπ) f, si(3 + 4i) = si(3) cosh(4) + i cos(3) sih(4) g, ta( + i) = si( ) cosh() + i cos( ) sih() cos( ) cosh() i si( ) sih() = si() cosh() + i cos() sih() cos() cosh() + i si() sih() si() cosh() + i cos() sih() cos() cosh() + i si() sih() = cos() cosh() i si() sih() cos() cosh() i si() sih() = 4
15 si() cos() cosh() 2 + si() cos() sih() 2 cos() 2 cosh() 2 + si() 2 sih() 2 + +i (cos()2 cosh() sih()) + si() 2 cosh() sih() cos() 2 cosh() 2 + si() 2 sih() 2 = si() cos() + i sih() cosh() h, l(0i) = l(0) + i( π 2 + 2kπ), k Z i, si(z) = 5 megoldásához írjuk át a si-t! si(x + iy) = si(x) + cosh(y) + i cos(x) sih(y) = 5 + 0i, ami két egyelet: si(x) cosh(y) = 5 cos(x) sih(y) = 0 A második egyelet miatt vagy cos(x) vagy sih(y) = 0. Ha ez utóbbi lee, akkor y = 0 miatt cosh(y) = cosh(0) = miatt si(x) = 5 kée legye, de ez a valós számok körébe elletmodás. Emiatt csak cos(x) = 0 lehet. Ekkor x = π 2 + kπ, ami miatt si(x) = si( π 2 + kπ) = vagy k paritásától függõe. De ha lee akkor az elsõ szorzat csak úgy lehete 5, ha cosh(y) = 5 lee, ami elletmodás a valós számok körébe, így cos(x) = lehet csak, azaz x = π 2 + 2kπ. Emiatt az elsõ egyeletbõl y = arcosh(5). j, cosh(iz) = cos(iiz) = cos( z). Azaz z = x + y-re kell megoldauk egy teljese hasoló egyeletredszert, jelesül: cos(x) cosh(y) = 3 si(x) sih(y) = 0 Az sih(y) = 0 itt is elletmodáshoz vezet, mert akkor cos(x) = 3 kée legye, így itt is si(x) = 0 miatt x = kπ. Hasolóa a feti esethez, cos(x) csak + lehet a cosh(y) miatt, így x-re 2kπ adódik, y-ra pedig areacosh(3). Így az egyelet megoldásai a 2kπ arcosh(3) alakú számok. k, e z = + i, midkét oldal logaritmusát véve: z = l( + i) = l( 2) + i( 3π 4 + 2kπ). 5
16 4.4 A komplex voalitegrál Egy f(z) komplex értékû függvéy az L iráyított görbe meti itegráljá a következõ meyiséget értjük: L f(z)dz = t2 t f(z(t))ż(t)dt, ahol a z(t) az L görbe paraméterezése t kezdõpottal és t 2 végpottal, f(z(t)) pedig azt jeleti, hogy az f(z) függvéy változója helyébe be kell íruk a görbe paraméteres egyeletét (ez a függvéy lokalizáltja). Az alábbi görbék paraméterezését kell mideképpe ismerük: A z kezdõpotú, z 2 végpotú iráyított szakasz paraméteres egyelete: z(t) = (z 2 z )t+z, t [0, ]. Ezt kell majd behelyettesítei a függvéybe, illetve ż(t) = z 2 z, ezzel kell majd a függvéy lokalizáltját szorozi. Az origó középpotú, r 0 sugarú teljes körvoal paraméteres alakja (pozitív iráyítással): z(t) = r 0 e it, t [0, 2π]. Eek a deriváltja t szerit: r 0 ie it. Ameyibe az itegráladó f(z) függvéy reguláris, akkor az z kezdõpotú, z 2 végpotú iráyított L görbe meté vett itegráljáak kiszámításakor haszálhatjuk a Newto-Leibiz formulát. A formula szerit ha F (z) = f(z), (azaz az itegradus primitív függvéye F ), akkor f(z)dz = F (z 2 ) F (z ) L Nem reguláris függvéy eseté viszot csak a paraméterezéssel tudjuk meghatározi az itgrált. Kidolgozott mitapélda Számoljuk ki az L f(z)dz itegrált, ha a, L: origó középpotú, 2 sugarú, elsõ síkegyedbe esõ egyedkörív, f(z) = z b, L: az 2 potból az 2i potba mutató szakasz, f(z) = z c, L origó középpotú, 2 sugarú, elsõ síkegyedbe esõ egyedkörív, f(z) = si(z) d, L: az 2 potból az 2i potba mutató szakasz, f(z) = si(z) Megoldások: a, Jele esetbe mivel z em reguláris, ezért csak paraméterezéssel dolgozhatuk. Ekkor z(t) = 2e it, t [0, π 2 ], továbbá f(z(t)) = z(t) = 2e it = 2e it így π 2 f(z)dz = 2e it 2ie it dt = [4it] π 2 0 = 2πi. L 0 6
17 b, Most z(t) = (2i 2)t+2, t [0, ], továbbá f(z(t)) = z(t) = (2i 2)t + 2 = ( 2i 2)t + 2 így L f(z)dz = 0 (( 2i 2)t+2)(2i 2)dt = 2(2i 2) [ (i + )t 2 /2 t ] 0 = 4i Érdemes megfigyeli, hogy oha a két görbe kezdõ és végpotja azoos, az itegrálok értéke mégis külöbözik (em reguláris függvéyekre em érvéyes a Newto-Leibiz formula). c, Mivel most f(z) = si(z) reguláris függvéy, ezért si(z)dz = [ cos(z)] 2i 2 = cos(2i) cos(2) = cosh(2) cos(2) L d, Mivel reguláris függvéy eseté az itegrál értéke em függ a görbe alakjától, csak a kezdõ és végpotjától, ezért most is az elõzõ eredméyt kapjuk. Elõadáso szerepelt a Newto-Leibiz formula triviális következméye Cauchy-Goursat tétel éve: ha f(z) reguláris fügvvéy, akkor az õ zárt görbe meti itegrálja ulla (zárt görbe azt jeleti, hogy a kezdõpotja megegyezik a végpotjával). Ha a függvéy em reguláris, egy speciális esetbe mégis ki tudjuk számoli az itegrálját. Erre valóak a Cauchy itegrálformulák, amely szerit ha L egy egyszerû zárt görbe amely egyszer kerüli meg pozitív iráyítással a z 0 potot, akkor f(z) dz = 2πif(z 0 ) z z 0 illetve L példák jöek késõbb 4.5 A Lauret-sorfejtés L f(z) 2πif() (z z 0 ) + dz = (z 0 ).! Egy f(z): C C függvéy z 0 körüli Lauret-sorá a következõ végtele összeget értjük: = a (z z 0 ) = a (z z 0 ) + a (z z 0 ) =0 Ez egy két iráyba végtele összeg, két részre botva kapjuk a pozitív hatváykitevõket tartalmazó részt (reguláris rész), illetve a egatív kitevõket tartalmazó részt (fõrész). = 7
18 Eze Lauret-sorról ismert, hogy egy körgyûrû belsejébe abszolút koverges, külsõ potokba pedig diverges. A körgyûrû belsõ sugarát r-el, a külsõ sugarát R-el jelöljük, és az alábbi képlettel számíthatjuk ki: r = lim sup a = lim sup a R Ha a függvéy reguláris a z 0 középpotú R sugarú kör belsejébe, akkor ott a Lauret-sora megegyezik a Taylor-sorával. Általába ezt a téyt haszáljuk a Lauret-sor kiszámításához, de ehhez ismeri kell a evezetes függvéyek Taylor-sorát, ezek a következõk: f(x) 0 körüli Taylor-sor si(x) k=0 ( )k (2k+)! (x2k+ ) cos(x) k=0 ( )k (2k)! (x2k ) e x k=0 k! xk -edfokú poliom ömaga sih(x) k=0 (2k+)! x2k+ cosh(x) k=0 (2k)! x2k x k=0 xk Illetve általáos esetbe a Taylor-sorba (ami ugyaaz mit a Lauret-sor reguláris része) az a együttható képlete: a = f () (x 0 ).! Lauret sor együtthatóiak ismerete segít az alábbi problémák megoldásába:. Milye típusú szigularitása va a függvéyek a 0-ba? 8
19 2. Bizoyos típusú itegrálok kiszámítása 3. függvéyek magasabbredû deriváltjáak meghatározása Az f(z) függvéyek izolát szigularitása va z 0 -ba, ha z 0 -ba em reguláris ugya (pl mert em értelmezett 0-val osztás miatt), de va z 0 -ak egy olya kis köryezete (azaz z 0 középpotú kis sugarú potozott (azaz z 0 -t kiveszem a körlapból, a többi pot marad) körlap amibe reguláris). Eze izolált szigularitás három típusú lehet:. A függvéyek megszütethetõ szakadása va z 0 -ba, ha létezik a lim z z0 f(z) határérték. Ez a Lauret-sorból oa látszik, hogy mide a = 0, =, 2,... (azaz a fõrész 0). 2. A függvéyek k-edredû pólusa va z 0 -ba, ha f(z) = g(z) (z z 0 ) k alakba felírható, ahol g(z) reguláris z 0 -ba, és ott em 0. Ez a Lauret-sorból úgy állápítható meg, hogy a egatív idexû tagok közül (a fõrészbe) va egy legutolsó (a k-adik) ami 0 a agyobb idexûek már mid 0-k. 3. Mide egyéb esetbe léyeges szigularitása va a függvéyek, ekkor a Lauret-sorba végtele sok 0 egatív idexû tag va. Az itegrálok kiszámításához, pedig azt a tétel haszálhatjuk fel, hogy a = f(z) dz, 2πi (z z 0 ) + L ahol az L görbe a körgyûrû belsejébe haladva egyszer kerüli meg pozitív iráyból a z 0 -t. Kidolgozott mitapélda Számítsuk ki az alábbi függvéyek Lauret sorát a megadott z 0 körül! Hol lesz koverges a sor? Állapítsuk meg a sor együtthatóiból, hogy va-e f(z)-ek szigularitása z 0 -ba, és ha ige, akkor milye típusú? a, f(z) = +z, z 0 = 0 b, f(z) = +z, z 0 = c, f(z) = ez z, z 0 = 0 d, f(z) = l( + z), z 0 = e, f(z) = cos(z) z 4, z 0 = 0 9
20 a, Ebbe az esetbe egy geometria sor sorösszegére hasolít a függvéyük, így + z = ( z) = ( z) = ( ) z =0 ekkor a = ( ) ha pozitív, a = 0. Emiatt csak megszütethetõ szakadás lehete, de mivel ez a függvéy reguláris függvéyek háyadosa, és a evezõ z = -be em 0, így még az sics, a függvéy reguláris z 0 = 0-ba. Kovergeciatartomáy: r = lim sup =0 a = lim sup 0 = 0 = lim sup a = lim sup R = ezért a Lauret-sor (ami egybe Taylor-sor is, hisze a függvéy reguláris z 0 -ba) a 0 körüli egy sugarú körlapo koverges. b, Azt szereték, hogy a hatváysor e z, haem z hatváyai szerit haladjo, ezért átalakítjuk a függvéyüket: f(z) = + z = 2 + (z ) = 2 z = z ( ) = (z ) 2 ( 2) 2 2 ( 2) itt szité illetve r = lim sup = lim sup a = lim sup R a = lim sup ( 2 =0 0 = 0 =0 ) + = 2 2 = 2, Így a Lauret-sor az körüli, kettõ sugarú körlapo lesz koverges, a fv pedig reguláris z 0 -ba. c, Felhaszálva az e x Taylor-sorát ( e z k=0 k! = zk) = z z k= k! zk = =0 ( + )! z emiatt a függvéyek megszütethetõ szakadása va 0-ba, hisze icse egatív hatváykitevõs tag. A kovergeciasugár pedig: r = lim sup a = lim sup 0 = 0 = lim sup a = lim sup R ( + )! = 0, emiatt a Lauret-sor az egész komplex számsíko koverges. 20
21 d, Eze Lauret-sor legegyszerûbbe deriválással határozhatjuk meg: f (z) = + z = ( ) z ekkor itegrálva midkét oldalt =0 f(z) = f(z 0 ) + ( ) z dz = =0 =0 ( ) z dz = =0 ( ) z+ + f(z) reguláris 0-ba, hisze reguláris függvéyek háyadosa, a evezõ pedig em 0. A kovergeciasugarak: r = lim sup = lim sup R a = lim sup a = lim sup 0 = 0 =, így a 0 körüli sugarú körlapo koverges a Lauret-sor. e, Felhaszálva a cos(z) Taylor-sorát: cos(z) z 4 = ( k=0 ( )k (2k)! x2k ) z 4 = ( ) k (2k)! x2k 4 = z 2 2! + 4! z2 6! +... azaz f(z)-ek másodredû pólusa va a 0-ba. Itt mivel csak egy darab emulla tag va az a -ek között, ezért: k= illetve r = lim sup a = 0 = lim sup a = lim sup R (2 + 4)! = 0, így a Lauret-sor koverges lesz a 0 kivételével a teljes komplex számsíko. 2
22 4.6 Residuum-tétel A Lauret-sorba az z tag együtthatóját, azaz a -et evezzük a függvéy z 0 potbeli residuumáak, és Res(z 0 )-al jelöljük. A residuum-tétel azt modja ki, hogyha egy L pozitív iráyítású egyszerû görbe körbevesz végessok izolált szigularitást (z, z 2,..., z k ), akkor f(z)dz = 2πi(Res(z ) + Res(z 2 ) + + Res(z k )) L Ez em más, mit a Cauhy-tétel általáosítása. A residuumot kiszámíthatjuk a Lauret-sor együtthatójából, illetve. ha a függvéy reguláris vagy megszütethetõ szakadása va z 0 -ba, akkor Res(z 0 ) = ha f(z)-ek elsõredû pólusa va z 0 -ba, akkor Res(z 0 ) = lim z z0 (z zo)f(z) 3. ha f(z)-ek k-adredû redû pólusa va z 0 -ba, akkor Res(z 0 ) = (k )! lim z z 0 ((z zo) k f(z)) (k ) 4. ha f(z) = g(z) h(z), ahol g(z), h(z) regulárisak, g(z 0) 0, h (z 0 ) 0, akkor. Res(z 0 ) = g(z 0) h (z 0 ) 22
2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenAnalízis I. gyakorlat
Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................
RészletesebbenKalkulus. Komplex számok
Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
Részletesebben6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai
6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenHatárértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.
Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos
RészletesebbenTaylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenFourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
Részletesebben(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.
. feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
RészletesebbenA1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014
A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenAndai Attila: november 13.
Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter
Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
Részletesebben1. gyakorlat - Végtelen sorok
. gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenAnalízis feladatgy jtemény II.
Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenÁltalános taggal megadott sorozatok összegzési képletei
Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás
Részletesebben1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
RészletesebbenKomplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:
6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum
RészletesebbenMetrikus terek. továbbra is.
Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
Részletesebben1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1
. feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000
RészletesebbenII. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
RészletesebbenSorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán
Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai
RészletesebbenMatematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz
Matematka M. zárthely megoldások, 7 tavasz A csoport Pontozás: + 7 + 7 + 7) + 3 + 6 5 pont.. Lehet-e az ux, y) e 3x cos3y) kétváltozós valós függvény egy regulárs komplex függvény valós része? Ha gen,
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenA primitív függvény és a határozatlan integrál 7
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
Részletesebbenforgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden
Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenFeladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal
Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenIntegrálás sokaságokon
Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
RészletesebbenI. FEJEZET: ANALÍZIS... 3
Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai
RészletesebbenDraft version. Use at your own risk!
BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
Részletesebbenképzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal
5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenN - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenMinta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
Részletesebben