Matematika A2 tételek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika A2 tételek"

Átírás

1 Matematika A2 tételek. Tétel Csoport: Defiíció: Legye A olya halamaz, amelye értelmezve va egy * művelet. Akkor modjuk, hogy A csoportot akkor a * műveletre ézve, ha Gyűrű: - a * művelet asszociatív - ( A)( a A) *a = a* = a - ( A)( a A) a*a = a *a = pl. a térbeli vektorok csoportot alkotak az összeadásra ézve Defiíció: Legye R egy olya halmaz, amelybe két művelet va értelmezve. Legyeek ezek: +, x Akkor modjuk, hogy R gyűrű az + és x műveleteire ézve, ha az összeadás: - asszociatív - kommutatív - ( R)( a R) + r = r + = r - ( r R)( r R) r + ( r) = r + r = R az összeadásra ézve kommutatív csoportot alkot. A szorzás: - asszociatív A szorzás midkét oldalról disztributív az összeadásra ézve. Test: - a(b + c) = ab + ac - (b + c)a = ba + ca Defiíció: Legye F egy olya halmaz, amely két műveletre (+ és x) ézve gyűrűt alkot! Akkor modjuk, hogy F testet akkor a két műveletre ézve, ha teljesülek még az alábbiak: - a szorzás művelet kommutatív - ( ef ), hogy ( a F) e a = a e = a - ( a F)( a 1 F) a a 1 = a 1 a = e 1

2 1. Tétel Vektortér lieáris tér: Defiíció: Legye (v, +) egy kommutatív csoport, (F+) pedig egy test. Akkor modjuk, hogy (v+) vektorteret akkor (F+) test felett, ha (α, a) F v elempárhoz hozzá va redelve egyértelműe egy αa-val jelölt (v, +)-beli elem úgy hogy az alábbiak teljesülek: Lieárisa függetle vektorredszer: - α(a + b) = αa + αb - (α + β)a = αa + βa - (αβ)a = α(βa) - ea = a e az F test egységeleme. Defiíció: Akkor modjuk, hogy az a 1; a 2; ; a vektorredszer lieárisa függetle, ha Geerátorredszer: - α 1a 1; α 2a 2; ; α a = ból - α 1 = ; α 2 = α = következik. Defiíció: Az {a 1; a 2 ; ; a } vektorredszert a vektortér geerátorredszeréek, ha a vektorrét mide vektora előállítható az a 1; a 2 ; ; a vektorok lieáris kombiációjakét. Kicserélési tétel: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Ha f 1 ; f 2 ; ; f egy lieárisa függetle vektorredszere, g 1 ; g 2 ; ; g pedig egy geerátorredszere egy F test feletti vektortérek, akkor tetszőleges f i vektorhoz létezik olya g j vektor, hogy: f 1 ; f 2 ; ; f i 1, g j, f i+1 ; ; f lieárisa függetle. Bizoyítás: Va olya f i vektor (pl i = 1) hogy Ekkor: g 1 ; f 2 ; ; f lieárisa függők { g 2 ; f 2 ; ; f g m ; f 2 ; ; f β 1 g 1 + α 2 f α f és β 1 + g 1 = α 2 β 1 f α f β így 1 f 1 = γ 1 g γ m g m = γ 1 ( α 2 β 1 f α f β ) + γ 2 ( ) + γ m ( ) = ξ 1 f 1 ξ f 1 2

3 Bázis: Defiíció: Egy F test feletti V vektortér {a 1,..., a } vektorredszerét a V vektortér egy bázisáak evezzük, ha V mide vektora előáll egyértelműe az a 1,..., a vektorok lieáris kombiációjakét. Dimezió: Defiíció: Valamely pozitív egész szám eseté, egy F test feletti vektorteret dimeziós vektortérek evezük, ha V-be va -elemű bázis. Az egyetle vektorból (csak a ullvektorból) álló vektortér dimeziójá -át érük. Legalább két vektorból álló vektortérről azt modjuk, hogy végtele dimeziós, ha ics véges bázisa. Lieárisa függetle vektorredszer és bázis kapcsolata: Tétel: Egy F test feletti V vektortér valamely em üres vektorredszere akkor és csak akkor bázis, ha függetle geerátorredszer. A valós illetve komplex redezett szám -esek vektortere: C /R Descartes-szorzat defiíciója alapjá az C/R elemeiből képzett redezett szám -esek halmazát jelöli. Ugya ezt a jelölést haszáljuk az -dimeziós vektorok halmazára is. Ha a vektorok halmazát ellátjuk az összeadás és a valós skalárral való szorzás műveletével is, akkor C /R -ről, mit vektortérről beszélük. 3

4 Altér: 2. tétel Defiíció: Egy V vektortér W részhalmazát a V vektortér egy alteréek evezzük, ha W a V- értelmezett összeadásra és skalárral való szorzásra ézve is vektorteret alkot. Vektorredszer ragja: Defiíció: Egy F feletti test V vektortér a 1,..., a vektoraiból álló vektorredszer ragjá az általuk geerált <a 1,..., a > altér dimezióját értjük. Egy {a 1,..., a }=A vektorredszer ragját raga-val jelöljök. Tétel: [Az (x,y,z) egyeletredszer megoldhatósága] Gauss-módszer: [Kötelező bizoyítás] a 11 feltehetjük 1) lépés: az i-edik (i 2) egyeletből kivojuk az első egyeletet a i1 -szeresét. Így a következő a11 egyeletet kapjuk. 2) lépés: i-dik (1=1,3, m) egyeletből kivojuk a második egyelet a i2 a 22 -szeresét 1) Gauss módszer befejeződik, ha elfogyak az egyeletek. 2) Ha vaak egyeletek, de a jobb oldalo midehol -va. Ha a Gauss-módszer r lépés utá befejeződik, akkor a következő alakú egyeletredszert kapjuk: a 11 x 1 a r+1 x r+1 + a 1 x = b 1 a 22 x 2 a 2r+1 x r+1 + a 2 x = b 2 } a rr x r a rr+1 x r+1 + a m x = b r 1 eset: = b r + 1 = b m I. } II. elfogytak az egyeletek a) b r+1 b valamelyike, ekkor a lieáris egyeletredszer em oldható meg. b) b r+1 b = ekkor az r+1-dik,, -dik egyelet elhagyható mert midegyik = alakú. 2 eset: (elfogyott egyeletek) a) r= az egyeletredszer egyértelműe oldható meg: x r = b r a rr x r 1 = b r 1 a r 1 r 1 x 1 = b 1 a 11 } x j = b j a jj j = 1,2,, r = b) r< több megoldás létezik: b j 1 (b a j a jr+1 x r+1 a j x j = 1,2 jj értékét tetszőlegese választhatjuk, így végtele sok megoldást kapuk. x r+1 x 4

5 3. tétel A mátrix fogalma: Defiíció: Egy R gyűrű elemeiből képezett, m sorba és oszlopba elredezett m elemű sorozatokat az R gyűrű feletti m -típusú mátrixokak evezzük. Egy -típusú mátrixot égyzetes mátrixak is evezzük. Műveletek gyűrű elemeiből képzett mátrixokkal: Defiíció: (Összeadás): Azo típusú (mx-es típusú) A és B mátrixok összegé azt az A-val ( és B-vel) azoos típusú A+B-vel jelölt mátrixot értjük, melyek i-edik sorába és j-edik oszlopába lévő elem megegyezik az a ij+b ij-vel. Defiíció: (Szorzás): Egy R gyűrű elemeiből A mátrixak R valamely r elemével képzett szorzatá azt az ra módo jelölt, A-val azoos típusú mátrixot értük, melyek elemei redre egyelőek A elemeiek r-szeresével. Egységmátrix: Defiíció: Az -es 1 I := diag(1,1,...,1) =[ ] 1 mátrixot egységmátrixak evezzük. Mátrix iverzéek fogalma: Defiíció: Egy egységelemes R gyűrű feletti A M (R) égyzetes mátrix iverzé azt az A 1 M (R) mátrixot értjük, amelyre AA 1 = A 1 A = E teljesül. Ekkor azt is modjuk, hogy A ivertálható mátrix. Négyzetes mátrix lehetséges iverzeiek száma: Tétel: Az M (R) tetszőleges mátrixak legfeljebb egy iverze va. Test feletti lieáris egyeletredszer mátrixszorzatos alakja és megoldhatóságáak, valamit egyértelmű megoldásáak mátrixragos feltétele: a 11 a 1 x 1 b A: [ ] x: = [ x1 1 ] b [ ] mx1 xm a m1 a m x b m a 11 x 1 + +a 1 x b 1 Ax [ ] = [ ] = b a m1 x 1 a m x b m Tehát lieáris szorzat átírható az Ax=b mátrixszorzatos alakba. A-t a lieáris egyeletredszer mátrixáak az a 11 a 1 b 1 (A; b) [ ] a m1 a m b m mátrixot pedig a lieáris egyeletredszer kibővített mátrixáak evezzük. 5

6 Mátrix ragja: Defiíció: Mátrix ragjá az oszlopvektorai között lévő lieárisa függetle oszlopok számát értjük. Jelölése: r(a); rag(a) Tétel: Egy Ax=b lieáris egyeletredszer akkor és csak akkor oldható meg ha raga= rag(a;b). Egy Ax=b lieáris egyeletredszerek akkor és csak akkor va egyértelmű megoldása, ha rag(a)=rag(a;b)=. ( az ismeretleek száma) A mátrix szorzás asszociativitása: [Kötelező bizoyítás] Tétel: - Tetszőleges A, B, és C mátrixok eseté az (AB)C szorzat akkor és csak akkor létezik, ha létezik az A(BC) szorzat. Ekkor: (AB)C A(BC) -> (asszociatív, ha létezik) Bizoyítás: - Tegyük fel hogy létezik (AB)C szorzat. Akkor A mx, B xk -> C (kxl) -> létezik A(BC) Hasolóa adódik, hogy létezik A(BC) -> létezik (AB)C k t 1 k [(AB)C] = [AB] t [c] j = ( [A] s [B] t ) [C] j = {([A] s [B] t )[C] j } k t=1 s=1 t k t=1 s=1 k = {[A]([B] t [C] j )} = [A] s ([B] t [C] j )} = ( i [A] ss [BC] j ) = [A(BC)] j t=1 s=1 s=1 t 1 s=1 6

7 4. tétel Kommutatív gyűrű elemeiből képzett égyzetes mátrix determiásáak fogalma: Defiíció: Legye egy kommutatív R gyűrű feletti mátrix. a 11 a 1 A: [ ] a m1 a m Az [a ] mátrix (=1) eset determiásá az R gyűrű a 11 elemét értjük. Az [ a 11 a 12 a 21 a ] mátrix (=2) eset 22 determiásá az R gyűrű (a 11a 22-a 12a 21) elemét értjük. Általába az ( 2) az a 11 a 1 A: [ ] a m1 a m mátrix determiásá az R gyűrű deta:=a 11A 11+a 12A 12+.+a 1A 1; ahol A 1k=(-1) 1+k D 1k (k=1,2,,) amely kifejezésbe D 1k jelöli az A mátrixból az első sor és a k-adik oszlop elhagyásával keletkezett (-1)x(-1) típusú mátrix determiását. Mátrix és traszpoáltja determiásáak kapcsolata: Tétel: Tetszőleges égyzetes A mátrix eseté deta=deta T, ahol A T az A mátrix traszpoáltja. Kifejtési tétel és ferde kifejtési tétel: Tétel: (Kifejtési): Tetszőleges kommutatív gyűrű feletti, legalább két sort tartalmazó égyzetes mátrix bármely sora, illetve bármely oszlopa szeriti kifejtése megegyezik a mátrix determiásával (azaz az első sor szeriti kifejtésével). Tétel: (Ferde kifejtési) Tetszőleges kommutatív gyűrű feletti, legalább két sort tartalmazó égyzetes mátrix eseté, egymástól külöböző i, j és k idexekre a i1a k1 + a i2a k2 + + a ia k =, és a 1jA 1k + a 2jA 2k + + a ja k = teljesül. Determiás egy illetve két sorával kapcsolatos alaptulajdoságai: Tétel: (egy sorral kapcsolatos): Ha egy A mátrix valamelyik sorába vagy oszlopába mide elem, akkor a deta=. Ha egy mátrix valamelyik sorába álló elemek midegyikét szorozzuk egy r elemmel, akkor az így kapott mátrix determiása egyelő r*deta-val. Tétel: (két sorral kapcsolatos): Egy A mátrix két külöböző sorába (vagy oszlopába) elemek redre megegyezek, akkor deta=. Ha egy mátrixba két külöböző sort egymással felcserélük, akkor a determiás előjelet vált. Ha egy mátrix valamelyik sorához hozzáaduk egy tőle külöböző sort, vagy valamilye r-szeresét, akkor a determiás értéke em változik. 7

8 Determiások szorzástétele: Tétel: Tetszőleges azoos típusú égyzetes A és B mátrixok eseté deta*detb=det(a*b) Reguláris mátrix iverze: [Kötelező bizoyítás] Tehát AA =E Tétel: - Reguláris A mátrixak létezik egy és csak egy iverze. Sziguláris mátrixakics iverze Bizoyítás: - Legye A reguláris mátrix. Legye A 1 1 ( 1) i+j D ij DefA [A 11 A 1 A 1 A ] T ahol A ij = - AA 1 = [ A 11 A 1 A 1 A ] 1 DefA [ A ii A ji A i A i A j A ] = 1 DefA [a i1a j1 + a i2 A j2 + + defa a ij A j ] = 1 ( deta ) = 1 (a DefA defa i1a j1 + a i2 A j2 + + a i A j ) = deta 1 ha i = j { ha i j Hasolóa igazolható, hogy A -1 A=E így A -1 az A reguláris mátrix iverze. 8

9 5. tétel Kommutatív gyűrű elemeiből képzett mátrix ragja: Defiíció: Egy kommutatív gyűrű elemeiből képzett mátrix ragjá, a mátrix em zérus értékű determiásaihoz tartozó redszámok maximumát értjük. A kétféle mátrixrag fogalmáak kapcsolata test elemeiből képzett mátrixok eseté: Ragszámtétel: Tétel: Test elemeiből képzett mátrix eseté a rag kétféle defiíciója egymással ekvivales. Tétel: Test elemeiből képzett mátrix oszlopvektoraiból álló vektorredszer ragja megegyezik a sorvektoraiból álló vektorredszer ragjával. Cramer-szabály [Kötelező bizoyítás]: Tétel: - Ha az egyeletből álló, ismeretlet tartalmazó Ax=b lieáris egyeletredszer A mátrixa reguláris akkor Ax=b lieáris egyeletredszer egyértelműe megoldható, úgy hogy x k = deta k deta (k=1, 2,, ) ahol Ak azt a mátrixot jelöli, amelyek az A mátrixból úgy is megkaphatuk, ha az A k-adik oszlopa helyére a b oszlopvektort írjuk. Bizoyítás: (a betűk alá vaak húzva) x 1 - A x = b létezik A 1 A 1 (A x ) = A 1 b (A 1 A)x = A 1 b x = [ x 2 ] = x A 1 A 11 A 1 b = 1 [ A deta 1k A k A 1 A ]x adik koordiáta. - x k = 1 (A deta 1kb 1 + A 2k b A k b ) b 1 [ b k = b ]x1 1 [A deta ikb i + + A k b ] k - deta k = [ a 11a 1k 1 b 1 a 1 a 1 a 2k 1 b a ] b 1 A 1k + b 2 A 2k + + b A k - így x k = detak deta 9

10 6. tétel Mátrixok sajátértékei, sajátvektorai: Defiíció: Egy F test valamely λ elemét az F test feletti -típusú A mátrix sajátértékéek evezzük, ha megadható olya x F vektor, amelyre teljesül az Ax = λx egyelőség. A feltételek eleget tevő x vektorokat az A mátrix sajátvektoraiak (potosabba, a λ sajátértékhez tartozó sajátvektorokak) evezzük. Szimmetrikus és ferdé szimmetrikus mátrixok: Defiíció: Egy valós számokból álló A égyzetes mátrixot szimmetrikus mátrixak evezük, ha A = A T. Az A mátrixot ferdé szimmetrikus mátrixak evezzük, ha A = A T. A főtegelytétel: Tétel: Tetszőleges A M (R) szimmetrikus mátrix eseté az R vektortérek midig va olya bázisa, amelyhez tartozó vektorok az A mátrix sajátvektorai. A mátrix karakterisztikus egyelete: [Kötelező bizoyítás] Tétel: - Egy F test valamely x eleme akkor és csak akkor sajátértéke egy F test feletti A mátrixak, ha x egyike az A mátrix karakterisztikus egyeletéek, azaz teljesül rá az A xe = egyelőség. Bizoyítás: - x F akkor és csak akkor sajátértéke egy A M (F) mátrixak, ha va olya x F vektor, hogy Ax = λx = λex azaz [A λe]x = - Eze utóbbi egy homogé lieáris egyeletredszer mátrixszorzatos alakja λ tehát akkor és csak akkor sajátértéke A-ak, ha eek az egyeletredszerek va emtriviális megoldása. Ilye megoldás akkor és csak akkor létezik, ha A λe =. 1

11 7. tétel Lieáris leképzések: Defiíció: Legyeek V 1 és V 2 ugyaazo F test feletti vektorterek. V 1-ek V 2-be való ϕ leképezését a V 1 vektortérek a V 2-vektortérbe való lieáris leképezéséek evezzük, ha tetszőleges a, b V1 és tetszőleges α F eseté teljesülek az alábbi egyelőségek: ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), ϕ(αa) = αϕ(a). A V 1-ből V 2-be törtéő összes lieáris leképezés halmazát Hom(V 1, V 2)-vel fogjuk jelöli. Lieáris traszformációk, tezorok: Defiíció: Az R vektortér lieáris traszformációit -dimeziós tezorokak evezzük. Bázistraszformáció: Defiíció: Egy V vektortér ömagába való ϕ lieáris leképezéseit lieáris traszformációkak evezzük. Ha B a V egy bázisa, akkor ϕ eze bázis szeriti mátrixát [ϕ]b módo fogjuk jelöli. Vektor és lieáris traszformáció mátrixa új bázisba: Tétel: Legye V egy F test feletti -dimeziós vektortér, és legye B = {e 1,..., e }, illetve B = {e 1,..., e } a V két bázisa. Legye τ a V vektortér azo bázistraszformációja, amelyre teljesül. Akkor tetszőleges a V vektor eseté e i = τ (e i), i = 1,..., [a] B = [τ ] B 1 [a] B. 11

12 Lieáris leképezések és mátrixok kapcsolata: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Legyeek v 1, illetve v 2 ugyaazo F test feletti illetve m dimeziós vektorterek. Akkor v 1-ek v 2-be való tetszőleges p lieáris leképzésekhez és v 1, v 2 egy-egy rögzített β 1 illetve β 2 bázishoz va egy és csak egy olya mx típusú F feletti [ϕ] β 1/β 2 mátrix, hogy v 1 tetszőleges a vektora eseté: [φ(a)] β2 = [φ] β 2 β 1 [a] β1 teljesül. Bizoyítás: Legye β 1 = {b 1, b 2 b } jelölje [ϕ]β 2/β 1 azt az mx típusú mátrixot melyek j- dik oszlopvektora egyelő a φ(b j ) v 2 akkor β 2 bázis szerit koordiátás alakjával. Legye a = j=1 a j b j a v 1 vektortér tetszőlege vektora. Akkor [φ(a)] β2 = [p( j=1 a j b j )] = [( a β2 j=1 j δ(b j ))] = a β2 j=1 j (δb j ) β2 = [δ]β2[a] β1 β1 Ha egy mx típusú C=[c ij] mátrixa is teljesül, hogy v 1 tetszőleges a vektora eseté [ϕ(a)] β1 akkor mide b j β 1 vektorra is teljesül, és ezért mide j=1, 2,, idexre 1 c ij [φ(b j )] β2 = C[b j ] β1 = c [ ] = [ ] c mj azaz a [φ] β 2 β 1 mátrix j-dik oszlopba mide j idexre megegyezik a C mátrix j-dik oszlopával, amiből következik, hogy C = [φ] β 2 β 1 Tehát csak egy olya mátrix létezik, amelyik teljesíti a feltételeket; ez a mátrix a [φ] β 2 β 1 mátrix. 12

13 8. tétel Mátrixok hasolóságáak fogalma: Defiíció: Legyeek A ás B egy F test elemiből képezett, azoos típusú égyzetes mátrixok! Akkor modjuk, hogy A hasoló B-hez, ha megadható olya F elemeiből képezett reguláris C mátrix, hogy A = C 1 BC teljesül. Hasoló mátrixok karakterisztikus egyeletek kapcsolata: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Hasoló mátrixok sajátértékei megegyezek. Bizoyítás: Legyeek A és B egy F test elemeiből képzett hasoló mátrixok. Akkor va olya F feletti reguláris C mátrix, hogy A=C -1 BC. Ezért az F tetszőleges λ elemére. A λe = C 1 BC λe = C 1 BC C 1 (λe)c = C 1 (B λe)c = C 1 B λe C = C 1 C B λe = C 1 C B λe = E B λe = B λe Így k A (x) = k B (x) azaz az A és B mátrixok karakterisztikus poliomja megegyezek. Ebből már következik, hogy az A és B mátrixok spektruma közös. Lieáris traszformációk (tezorok) sajátértékei, sajátvektorai: Defiíció: Legye V egy F egy test feletti vektortér, és ϕ a V egy lieáris traszformációja. Az F valamely λ elemét a ϕ egy sajátértékéek evezzük, ha megadható olya x V vektor, hogy ϕ(x) = λx. A feti egyelőségbe szereplő x vektorokat a ϕ lieáris traszformáció λ sajátértékéhez tartozó sajátvektoráak evezzük. Szimmetrikus lieáris traszformációk (tezorok) sajátértékei, sajátvektorai: Defiíció: Egy A tezort szimmetrikusak evezük akkor, ha A=A. Egy A tezor eseté A=-A teljesül, ferdé szimmetrikus tezorról beszélük. Tétel: Szimmetrikus tezor sajátértékei valós számok, ferdé szimmetrikus tezorak csak lehet a sajátértéke. 13

14 9. tétel Sor és sor összege: Defiíció: Egy a 1,a 2,.,a számsorból képzett a 1+a 2+.+a + ( számsorak evezzük. =1 a Egy =1 a számsor k-dik részletösszegé az s k=a 1+a 2+.+a k számot értjük. (k=1,2,.) Sorok általáos kovergeciatételei: ) formális összeget Defiíció: Egy =1 a számsort kovergesek evezük, ha a k-dik részletösszegéből álló [s k] sorozat koverges, lim s k határérték a =1 a számsor összege. Ha, lim s k em létezik, akkor k k a =1 a számsort divergesek evezzük. Tétel: Ha a =1 a koverges, akkor a lim a =. Nem egatív tagú sorok: Defiíció: Egy =1 a valós számsort em egatív tagú sorak evezük, ha a teljesül mide idex eseté. Tétel: Egy em egatív tagú sor akkor és csak akkor koverges, ha a k-dik részletösszegből álló s k sorozat felülről korlátos. Kovergecia kritériumok: Majorás kritérium: Legyeek =1 a és =1 b olya valós számsorok, hogy létezik olya idex, hogy bármely > eseté a b teljesül. Ha a =1 b sor koverges, akkor a =1 a sor is koverge. Háyados kritérium: Ha a =1 a számsorhoz megadható egy olya < q < 1 valós szám és egy idex, hogy bármely > eseté a > és a +1 q teljesül., akkor a a =1 számsor koverges. =1 a Gyökkritérium: Ha va olya idex, hogy mide > eseté a =1 sor abszolút koverges. q<1, akkor a Ha va olya idex, hogy mide > eseté a q>1, akkor a =1 a =1 sor diverges. Itegrál kritérium: Tegyük fel va egy olya f függvéy, amely egy adott 1-től kezdve +ig szigorúa mooto csökkeőleg tart ullához, és f()=a. Ha az f(x)dx improprius itegrál koverges, akkor a sor koverges, ha ez az itegrál diverges, akkor a sor is diverges, valamit. f(x)dx a = a + f(x)dx Gyökkritérium: [Kötelező bizoyítás] Ha a =1 a valós számsor eseté létezik idex, hogy bármely > -ra a >, tövábbá létezik <q<1 valós szám, hogy a q, akkor a =1 a számsor koverges. Bizoyítás: Legye >. Akkor a q, amiből a q következik. Így =1 a -reés q koverges mértai sorokra alkalmazva a majorás kritériumot azt kapjuk, hogy =1 a sor koverges. =1 14

15 1. tétel Leibiz-sorok Defiíció: Egy valós számokból álló =1 a m sort Leibiz sorak evezzük, ha váltakozó előjelű, és a tagok abszolút értékéből álló sorozat mooto csökkeő és -hoz kovergál. A Leibiz-sor kovergeciájára voatkozó tétel: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Mide Leibiz-sor koverges Bizoyítás: Legye a 1 a 2 + a 3 a 4 egy Leibiz-sor a 1 ; a 2 S 1 = a 1 S 2 = a 1 a 2 S 3 = a 1 a 2 + a 3 S 4 = a 1 a 2 + a 3 a 4 S 1 S 3 S 5 mooto csökkeő sorozat S 2 S 4 S 6 mooto övekvő sorozat S 2k+1 = S 2k + a 2k+1 S 2k+1 S k S 2 S 2 alsó korlátja az S 1 S 3 S 5 sorozatak. Mivel a mooto csökkeő S 1 S 3 S 5 sorozat alulról korlátos (S 2 egy ilye alsó korlát) ezért [S 2k+1 ] sorozat koverges. Hasolóa igazolható, hogy az [S 2k ] sorozat koverges. Legye a = lim k S 2k b = lim k S 2k+1 a b = lim k S 2k lim k S 2k+1 = lim k (S 2k S 2k+1 ) lim k ( a 2k+1 ) = a = b lim S k létezik, a Leibiz-sor koverges. k Abszolút és feltételes kovergecia: Defiició: - Egy számsort abszolút kovergesek evezük, ha a tagok abszolút értékéből álló sor koverges. - Egy számsort feltételese kovergesek evezük, ha koverges, de em abszolút koverges. 15

16 Defiíció: - Műveletek sorokkal: - A =1 a és =1 b sorok összegé a =1(a + b ) sort értjük. - A =1 a sorak egy α számmal vett szorzatá a =1 (αa ) sort értjük. - A =1 a és =1 b sorok szorzatá azt a sort értjük, melyek -dik tagja egyelő az a 1 b + a 2 b a 2 b 2 + a b 1 sorozat összeggel azaz ( a ) ( b ) = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + =1 =1 Tétel: - Koverges sorok összege és külöbsége is koverges, összegük pedig egyelő a tagok összegéek összegével, illetve külöbségével. - Abszolút koverges sorok külöbsége és összege is abszolút koverges. - Abszolút koverges számsorok, sorok, szorzata is abszolút koverges. 16

17 11. tétel Taylor-sorok: Defiíció: Legye f(x) olya egyváltozós valós értékű függvéy, amely egy x potba akárháyszor differeciálható. f(x ) + f (x ) (x x ) + f (x ) (x x ) f (x ) (x x ) + = f(i) (x ) (x x ) i 1! 2! függvéysor az f(x) függvéyt x pothoz tartozó Taylor-soráak evezzük. Hatváysorok: A =1 a! Defiíció: Legye a, a 1, a 2 valamit z tetszőleges rögzített komplex számok. (z z ) függvéysort egy z pot körüli hatváysorak evezzük. Ábel-tétele: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Ha a =1 a (z z ) hatváysor koverges egy z 1 z potba, akkor abszolút koverges mide olya z potba, amelyre z z < z 1 z teljesül. =1 a Bizoyítás: Mivel z 1-be a hatváyok koverges, ezért a behelyettesítésével keletkezett (z z ) számsor koverges így lim a (z 1 z ) =, ez a sorozat koverges. S ezért az a (z 1 z ) sorozat korlátos v- tehát egy olya k emegatív valós szám, amelyre a (z 1 z ) k teljesül mide idex eseté. Legye z olya pot, amelyre z z < z 1 z teljesül. Akkor z z z 1 z < 1 =1 a (z z ) = a (z z ) ( z z ) = a z 1 z (z z ) z z z 1 z =1 =1 a (z 1 z ) z z < k z z z z z 1 z z 1 z z 1 z A koverges mértai sor majorálja a =1 a (z z ) sort így a majorás. =1 i= i! q = z z z 1 z koverges. Kritérium miatt a =1 a (z z ) sor koverges. Tehát =1 a (z z ) sor abszolút koverges. 17

18 12. tétel Fourier-sorok: Defiíció: A 2π szerit periodikus egyváltozós valós f(x) függvéy Fourer-sorá azt az a + =1 (a cos x + b si x) végtele sort értjük, amelybe szereplő együtthatók a következők: a = 1 2π 2π f(x)dx a = 1 π 2π f(x) cos x dx b = 1 π 2π f(x) si dx = 1, 2.. Bármely f:r->rp szerit periodikus függvéy itegrálja a-tól a+p-ig egyelő -tól p-ig vett itegráljával: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Ha az egyváltozós valós értékű f(x) függvéy p szerit periodikus, akkor tetszőleges a R eseté: Bizoyítás: p a+p f(x)dx = f(x)dx p a p a+p p a+p a f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx a f(x)dx a+p = f(t p)1dt p a+p = f(t)dt p p a a+p = f(x)dx p Megmutatható, hogy 2π 2π cos x dx cos x dx = 2π 2π si xdx si x dx = 2π f(x)dx π 2π = a 1 dx = a [x] 2π = a 2π a = 1 2π 2π f(x) dx a = 1 π 2π f(x) cos x dx; b = 1 π 2π f(x) si x dx; = 1,2, 18

19 13. tétel Többváltozós valós függvéyek határértéke, folytoossága, parciális differeciálhatósága Defiíció: [Határérték] - Akkor modjuk, hogy egy f(x,y) kétváltozós valós függvéyek valamely p =(x, y ) potjába va határértéke, és az l szám, ha P potak va olya E köryezetbe, amelybe az f(x,y) függvéy értelmezve va, és mide E-beli p kovergáló p (x, y ) potsorozat eseté az [f(p )] = [(x, y )] függvéyértékek sorozata r-hez tart. Defiíció: [Folytoosság] - Akkor modjuk, hogy egy f: R R m függvéy az R m tér valamely p potjába folytoos, ha 1) az f függvéy P -ba értelmezve va (P Domf) 2) az f függvéyek P -ba va határértéke 3) az f függvéy P potbeli határértéke egyelő a P potbeli helyettesítési értékével ( lim P P f(p) = f( P )) Defiíció: [Parciális differeciálhatóság] - Legye P (x 1, x 2 x ) az R tér egy rögzített potja. Az f: R R -változós valós függvéy 1-dik változója szerit P potbeli parciális differeciálháyadosá az f f(x 1, f i + h, x ) f(x 1, x i, x ) (xi)(p ) = lim h h határértéket értjük ha létezik. Magasabb redű parciális deriváltak: Defiíció: - Egy többváltozós valós függvéyek -eredetű ( 1) parciális deriváltja az (-1)- edredű parciális deriváltak perciális deriváltjait értjük, azzal a megjegyzéssel, hogy egy f függvéy -adredű parciális deriváltjai magát az f függvéyt értjük. Skalár vektor függvéyek és a többváltozás valós függvéyek differeciálhatósága: Defiíció: - Egy a(r) skalár-vektor függvéyről akkor modjuk, hogy egy r helye differeciálható, ha megadható egy olya d vektor és r -ak olya teljes köryezete, hogy az eze teljes köryezethez tartozó tetszőleges r vektor u(r) = u(r ) = d(r r ) + ε(r)(r r ) teljesül, ahol ε(r) olya vektor-vektor függvéy, hogy lim r r ε(r) =. Kapcsolat a parciális differeciálhatósággal: Tétel: Ha egy többváltozós valós f függvéy differeciálható egy P potba, akkor P -ba létezik tetszőlege e egységvektor szerit iráymeti differeciálháyadosa, és f e(p )=e gradf(p ). 19

20 A skalár-vektorfüggvéy gradieséek egyértelműsége: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Ha egy u(r) skalár-vektor függvéy differeciálható egy r helye, akkor egy és csak egy olya d vektor va amelybe a defiicióbeli feltétel teljesül. Bizoyítás: Tegyük fel hogy, u(r):r ->R skalár vektor függvéy eseté egy d 1 és egy d 2 (R vektortérbeli) vektorra teljesül a differeciálhatóság defiíciójába szereplő feltétel. Ekkor r -ak létezik olya teljes köryezete, hogy a bee lévő v vektor midegyikére u(r) u(r ) = d 1 (r r ) + ε 1 (r)(r r ) u(r) u(r ) = d 2 (r r ) + ε 2 (r)(r r ) lim ε 1 (r) = ; r r lim ε 2 (r) = r r (d 1 d 2 )(r r ) = (ε 2 (r) ε 1 (r))(r r ) Legye e R tetszőleges egységvektor. A továbbiakba r a teljes köryezethez tartozó olya vektor legye, hogy (r r ) e és (r r ) (d 1 d 2 ) r r r r = ε 2(r) r r r r (d 1 d 2 )e = (ε 2 (r) ε 1 (r))e lim (d 1 d 2 )e r r = lim (ε 2 (r) ε 1 (r))e = e d 1 d 2 e (d 1 d 2 )e r r d 1 d 2 mide egységvektorra merőleges d 1 d 2 = d 1 = d 2 2

21 14. tétel Iráymeti differeciálháyados: Defiíció: Legye f egy egyváltozós függvéy, e pedig az R vektortérbeli egységvektor. A f(p) f(p lim ) (PP II e) határértéket, ha létezik az f függvéy P potbeli e szeriti iráymeti P P e PP differeciálháyadosak evezzük, és f e (P ) módo jelöljük. Összetett függvéy és parciális differeciálhatósága: Defiíció: Az változós f valós külső függvéyből és az változós valós u 1, u 2,, u belső függvéyekből összetett függvéyekek evezzük azt a függvéyt: 1. melyek értelmezési tartomáya azokból (és csak azokból) a P =(x 1, x 2,, x ) potokból áll melyekbe az u 11, u 21,, u 1 függvéyek valameyie értelmezve vaak, és ugyaakkor a P -ak megfelelő u =[u 1(P ), u 2(P ),., u (P )] potba f is értelmezve va. 2. és melyek értéke mide ilye P -ba f(u ). Jelölése: f(u 1, u 2,, u ) Tétel: Ha f függvéy differeciálható az u potba, u és v függvéyek pedig midkét változójuk szerit parciálisa differeciálhatók a P potba, akkor a z=f (u,v) függvéy is parciális differeciálható a P potba. Teljes differeciál: Defiíció: Egy változós f függvéy P beli teljes differeciáljá a df(p,h 1,h 2,.,h ) := h 1f x 1(P )+ h 2f x 2(P )+..+ h f x (P ) -változós valós függvéyt értük. Lieáris közelítés: Defiíció: f: R R P -ba differeciálható, ha P -ak va olya k teljes köryezete, hogy ha P k akkor, f(p)-f(p ) = gradf(p )* P P + E(P) * P P, ahol lim P P E(P) = Ha P -ak,,elég kis teljes köryezetébe f(p) - f(p ) gradf(p ) * P P, akkor f(p) f(p ) + gradf(p ) * P P. Az éritősík: Defiíció: Tegyük fel, hogy az F felülete va olya P -o átmeő két görbe, melyekek P - ba va éritője és ezek külöböző állásúak. Eze éritők által kifeszített síkot az F felület P potbeli éritősíkjáak evezzük. 21

22 Az iráymeti differeciálháyados kiszámítására voatkozó tétel: [Kötelező bizoyítás] Tétel: Ha egy f R R függvéy differeciálható egy P potba, akkor tetszőleges e R egységvektor eseté létezik az f e(p ) iráymeti differeciálháyados, és f e(p ) = e gradf(p ) Bizoyítás: Tegyük fel hogy, f differeciálható P -ba. Létezik gradf(p ) = [f x, (P ) f x, (P )]. Létezik P -ak E teljes köryezete, hogy mide P Ere. Tegyük fel hogy P P e Ekkor P P = e (e P P) Így f(p) f(p ) e P P f(p) f(p ) = P P gradf(p ) + P P ε(p) lim ε(p) = p P = e gradf(p ) + e(ε(p), ezért f f(p) f(p ) e(p ) = lim = e gradf(p p P e P ) P 22

23 15. tétel A kétváltozós Taylor-formula: Legye f(x, y) R λ R kétváltozós valós függvéy. P (x, y ); P(x, y); P(x + k, y + k); Q(x + tk, y + tk) t 1 F(t) = f(q) = f(x + tk, y + tk) t 1 F (t) = f(x)( x + tk, y + tk)k + f y(x + tk, y + tk)k F"(t) = k 2 f " xx (x + tk, y + tk) + kk f " xy (x + tk, y + tk) + kkf " yx (x + tk, y + tk) + k 2 f " yy (x + tk, y + tk) = k 2 f " xx (x + tk, y + tk) + 2kkf " xy (x + tk, y + tk) + k 2 f " yy (x + tk, y + tk) Két és többváltozós függvéyek szélsőértékei: Defiíció: Akkor modjuk, hogy egy f: R R változós valós függvéyek az R halmaz egy P potjába miimuma va, ha a P potak megoldató olya E köryezete, hogy mide E-beli potra f(p) > f(p ) teljesül. Ha mide P E f(p) < f(p ) teljesül, akkor P -ba a függvéyek maximuma va. Feltételes szélsőérték: Defiíció: Azt modjuk, hogy az f függvéyek a g 1 =, g 2 = g q = feltétel mellett feltételes szélsőértéke va az a H potba, ha az a potba az f 1H függvéyke lokális szélsőértéke va. Feltételes szélsőérték egy szükséges feltételét adja a következő tétel. Kötelező bizoyítás A Lagrage-féle multiplikátoros módszer: Tétel: Tegyük fel, hogy f(x, y, z)és g(x, y, z) differeciálható függvéyek. Az f függvéy a g(x, y, z) = feltételek eleget tevő potokba akkor vehet fel lokális maximumot vagy miimumot, ha x, y, z és λ kielégíti a f = λ g és g(x, y, z) = egyeleteket. Kétváltozós függvéy a feltétel hasoló, csupá a harmadik koordiátától kell eltekitei. 23

24 16. tétel A kettős és hármas itegrál fogalma és alaptulajdoságai: Defiíció: [kettős itegrál] - Az itegrálközelítő összegek közös határértékét az F függvéy v tartomáyához tartozó itegráljáak (kettős itegráljáak evezzük, és f dv vagy v (x, y) dx dy v módo jelöljük. Defiíció: [Hármas itegrál] Alaptulajdoságok: - Legye F a térbeli v tartomáyo legfeljebb ullmértékű halmaz potjaiból eltekitve mideütt értelmezett háromváltozós korlátos függvéy. Akkor modjuk, hogy az f függvéy itegrálható v-, ha az f függvéyhez és a v bármely mide határo túl fiomodó beosztássorozatához tartozó l itegrálközelítő összegek sörözata koverges. - (f g) v - αf v dv = f v dv dv = α f v - f v 1 v 2 dv = f - f(x, y) v dv + v g dv dv + v f dv 1 b a v 2 d c Folytoos függvéyek kettős és hármas itegrálja: Tétel: (α valós kostas) dx dy = ( f(x, y) dy) dx = ( f(x, y) dx) dy - Ha a két vagy háromváltozós valós f függvéy folyamatos a síkbeli vagy térbeli v tartomáyba, akkor f függvéy itegrálható v-. d c b a 24

25 Kötelező bizoyítás: Az itegrálközépérték-tétel: Tétel: - Ha egy kétváltozós (vagy háromváltozós) valós f függvéy folytoos agy v síkbeli (vagy térbeli) tartomáyo, és m=if(f), M=sup(f), akkor va olya C v, hogy f (c) = I v v f dv ( v + ). Bizoyítás: Az itegrál korlátja tétel miatt m v d dv M v v m 1 v v f dv M 1 v v f dv az fe függvéy v-hez tartozó ifimuma és suprémuma közötti valós szám, így a Weierstrass-tétel miatt va olya c v hogy f(c) = 1 v v f dv. Tétel: [Az itegrál korlátja] - Ha a két vagy háromváltozós valós f függvéy itegrálható egy v síkbeli vagy térbeli tartomáyo és m valamit M at f egy alsó valamit felső korlátja v-, akkor m v d dv M v. v 25

26 17. tétel Sík és térbeli polárkoordiáta-redszer, hegerkoordiátaredszer: - Síkbeli polárkoordiáták: Síkbeli polárkoordiátaredszer: rögzített félegyees v OP φ e, OP P(r, p) p pot síkbéli polárkoordiátái x = r cos φ r y = r si φ φ π - Térbeli koordiáták: r OP θ = opf} a P pot térbeli polárkoordiátái φ = opf x = r si θ cos φ y = r si θ si φ z = r cos θ - Hegerkoordiáták: m: pp előjeles hossza = pp ha p p vektor egyállású a ormálvektorral m: pp előjeles hossza = pp ha pp elletétes iráyú a ormálvektorral r, φ a P síkbéli polárkoordiátái m, r, φ: a P pot hegerkoordiátái z = m P(x, y, z) P(r, δ, m) x = r cos δ} átfedés a hegerkoordiátára y = r si δ A kettős és hármas itegrál traszformációja: Tétel: Legye v az xy síkbeli derékszögű koordiátaredszerbe megadott tartomáy, f a V tartomáyo itegrálható függvéy az x = x(u, v) y = y(u, v) } pedig a v tartomáy és az (u, v) számpárok bizoyos w halmaza közötti olya leképezés, amely a vv külöböző belső potjához redeli. H az x és y az u-ak és v-ek a vv halmaza folytoos parciális deriváltakkal redelkező függvéyei, akkor az f függvéy v tartomáyo vett kettős itegrálja kifejezhető a következőképpe: (Jacobi determiás vagy traszformációs függvéydetermiás) f(x, y) v (x, y) dx dy = f(x(u, v), y(u, v) = (u, v) vv dvv ahol x (x, y) (u, v) = u y u x v y v 26

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

A2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015

A2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015 A2 Vektorfüggvéyek miimumkérdések szóbelire 215 Lieáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás)

Részletesebben

Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális

Részletesebben

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1. Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

1. Sajátérték és sajátvektor

1. Sajátérték és sajátvektor 1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok . gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt

Részletesebben

Matematika szigorlat (A1-A2-A3)

Matematika szigorlat (A1-A2-A3) Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, 2014-2016 Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika

Részletesebben

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014 A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:

Részletesebben

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel? 1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1

Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1 Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor.

Részletesebben

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1 . feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Matematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA

Matematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA 20160515 Tartalomjegyzék 1 Algebrai struktúrák 5 2 Lineáris tér (vektortér) 13 21 A vektortér fogalma 14 22 Vektorok lineáris függetlensége és függősége 18 23 Generátorrendszer,

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

Matematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA

Matematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA 20160515 Tartalomjegyzék 1 Algebrai struktúrák 5 2 Lineáris tér (vektortér) 13 21 A vektortér fogalma 14 22 Vektorok lineáris függetlensége és függősége 18 23 Generátorrendszer,

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k. 8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései Mtemtik A2 - Vektorfüggvéyek elméleti kérdései (műszki meedzser szk, 2018. tvsz) Első típusú improprius itegrál: Végtele trtomáyo korlátos függvéy Legye f itegrálhtó mide β > eseté z [, β]-. H β β és véges,

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Kétváltozós függvények

Kétváltozós függvények Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.

(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3. . feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi

Részletesebben

1. gyakorlat - Végtelen sorok

1. gyakorlat - Végtelen sorok . gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )

Részletesebben

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Haladó lineáris algebra

Haladó lineáris algebra B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Am = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x m: sorok szám : oszlopok szám

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Draft version. Use at your own risk!

Draft version. Use at your own risk! BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

I. Koordinátarendszerek a síkban és a térben, mátrixok

I. Koordinátarendszerek a síkban és a térben, mátrixok Koordiátaredszerek mátrixok 0 I Koordiátaredszerek a síkba és a térbe mátrixok Koordiátaredszerek A korábbi taulmáyaitok sorá megismerkedhettetek a sík aalitikus geometriájáak éháy alapfogalmával (koordiátaredszerek

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

I. rész. Valós számok

I. rész. Valós számok I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Matematika elméleti összefoglaló

Matematika elméleti összefoglaló 1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Kétváltozós függvények

Kétváltozós függvények Kétváltozós üggvéek Tartalomjegzék Többváltozós üggvéek... Kétváltozós üggvéek... Nevezetes elületek... 3 Forgáselületek... 3 Kétváltozós üggvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós üggvéek... 6 A parciális

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben