MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si x 0. si x si x 0. Szorzattá alakítás utá: si x 0 potosa akkor, ha x k, k. si x potosa akkor, ha x l, l. Elleőrzés. b) Ha x 0, akkor x x. Ekkor 0 x, ahoa x, de ez x 0 miatt em megoldás. Ha x 0, akkor x x, és az egyelet x x. Mivel x 0 ezért x x, azaz Elleőrzés. x 4 Összese: pot ) Egy televíziókészülék termékleírásába szereplő 6:9-es típus azt adja meg, hogy meyi a téglalap alakú tv-képeryő két szomszédos oldalhosszáak aráya, a 40 colos jellemző pedig a képeryő átlójáak a hosszát adja meg col-ba col,54 cm. a) Számítsa ki a 40 colos, 6:9-es képeryő oldalaiak hosszát! Válaszát cm-be, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (6 pot) b) Két 6:9-es képeryő közül az elsőek 69%-kal agyobb a területe, mit a másodikak. Háy százalékkal agyobb az első képeryő átlója mit a másodiké? (5 pot)

2 a) A képeryő oldalaiak hosszát (cm-be) jelölje 6x és 9x. 40 col = 0,6 cm A Pitagorasz-tétel szerit: x x 6 9 0,6 7x 0,56 Ebből mivel x 0 x 5,55 (cm). A képeryő oldalaiak hossza tehát 6x 88,6 cm és 9x 49,8 cm. b) Az első képeryő területe a második területéek,69-szerese. A két (téglalap alakú) képeryő hasoló, ezért a területük aráya a hasolóságuk aráyáak égyzetével egyelő. A képeryők hasolóságáak (és így átlóik hosszáak) aráya,69,. Az első képeryő átlója 0%-kal agyobb, mit a másodiké Összese: pot ) Egy kisvárosba hét agyobb üzlet található. A tavalyi évbe elért, millió foritra kerekített árbevételeikről tudjuk, hogy az átlaguk 0 millió Ft, és ez megegyezik a mediájukkal. A hét adat egyetle módusza 00 millió Ft. Két üzletbe éppe átlagos, azaz 0 millió foritos a kerekített bevétel, a legagyobb bevétel pedig 60 millió forit volt. a) Számítsa ki a kerekített bevételek szórását! (6 pot) A városba az egyik ruhakereskedéssel foglalkozó kisvállalkozás 80%-os haszokulccsal dolgozik. Ez azt jeleti, hogy például egy Ft-os beszerzési értékű terméket Ft-ért árulak az üzletükbe. Amikor akciós időszak va, akkor a redes eladási árból 50%-os áregedméyt adak mide eladott termékre. b) Mekkora volt az eladásból származó árbevételek és az eladott áru beszerzési értékéek a külöbsége (vagyis az áryereség ) a tavalyi évbe, ha összese 54 millió Ft volt az éves árbevétel, és ebből 9 millió Ft-ot az akciós időszakba értek el? (4 pot) A kisvállalkozás üzletébe az egyik fajta férfizakóból égyféle méretet árusítaak (S, M, L, XL). Nyitáskor egy rögzített állváy egyees rúdjára midegyik méretből 4-4 darabot helyeztek el (mide zakót külö vállfára akasztva, egymás mellett). A ap folyamá ezek közül megvettek 4 darab S-es, darab M-es, és darab L-es méretűt, a megmaradt zakók pedig összekeveredtek. c) Az üzlet zárásakor háyféle sorredbe lehetek (balról jobbra ézve) a rúdra akasztva a megmaradt zakók, ha az azoos méretű zakókat em külöböztetjük meg egymástól? ( pot)

3 a) A kerekített bevételek összege (millió Ft). A mediá 0 millió forit, és két 0 millió foritos árbevétel volt, ezért legfeljebb három 0 millió foritál kisebb bevétel lehet. Mivel a módusz 00 millió forit, ezért három 00 millió foritos árbevétel volt. A 60 millió Ft-os árbevétel figyelembevételével a hetedik árbevétel millió foritak adódik. A (kerekített) bevételek szórása: , 4 millió (Ft). b) A redes eladási ár áregedméy élkül millió Ft lett vola. Tehát az eladott áru beszerzési értéke 6 5 millió Ft,,8 ( pot) az áryereség pedig millió Ft volt. c) Megmaradt darab M-es, darab L-es és 4 darab XL-es zakó. 7! Ezek lehetséges sorredjeiek száma! 4! =05. Összese: pot A 6; 0, 4) Adott a derékszögű koordiáta-redszerbe három pot: B ; 4, C 0;. a) Számítsa ki az ABC háromszög B csúcsáál fekvő belső szögét! (6 pot) K pot egyelő távolságra va A -tól, B -től, és C -től. b) Határozza meg K pot koordiátáit! (8 pot) a) AB AC BC ( pot) Kosziusztétellel: cos ( pot) cos 0, ,6

4 b) Az ABC háromszög két (tetszőlegese választott) oldalfelező merőlegeséek metszéspotját kell megkeresük (ez a háromszög körülírt köréek középpotja). 7; 7 AB 8; 6. F és AB f AB Az AB szakasz felezőmerőlegeséek egyelete: x y 8. F 6; és BC 8; BC f BC. A BC szakasz felezőmerőlegeséek egyelete: 4x y. A két egyees egyeletéből alkotott egyeletredszer megoldása: x 49 és y 75. ( pot) Tehát K 49; 75. Összese: 4 pot II. 5) Adott az f és g függvéy: f : ; f x x ; g : ; g x x. a) Számítsa ki a f g függvéy zérushelyeit! ( pot) b) Számítsa ki az f és g függvéyek grafikoja által közbezárt területet! (7 pot) c) Számítással igazolja, hogy a h : ; 0,5 gx ; h x f x szigorúa mooto övekedő! f g x x x x 4x a) 4 0 x x A f g függvéy zérushelyei x és x 4. 0 b) A kérdéses területet itegrálással számítjuk ki. Az f x g x (6 pot) egyelet megoldásai adják az itegrálás határait. A x x egyelet megoldásai, illetve. Mivel a ; zárt itervallumo f x g x (a metszéspotok első koordiátái által meghatározott itervallumo a g grafikoja egy felfelé yíló parabolaív, amely felett va az f grafikoja), ezért a kérdéses terület f x g x dx. f x g x dx x x dx x x dx x x x 5 9 0,67. ( pot)

5 c) A hx függvéy a megadott itervallumo differeciálható. x x x g x x hx f x x x x 0,5,5 x ( pot) A tört számlálója és evezője is pozitív (a h értelmezési tartomáyá), így a tört értéke is pozitív. Tehát a függvéy valóba szigorúa mooto övekvő. Összese: 6 pot 6) Szétgurult 0 darab tojás az asztalo. Közülük 6 tojás ép maradt, de 4 tojásak alig észrevehetőe megrepedt a héja. Bori ezt em vette észre, így visszarakosgatja a tojásokat a két tojástartóba. Először a sárga tartóba tesz tízet, majd a fehérbe a többit. a) Mekkora aak a valószíűsége, hogy mid a 4 hibás tojás ugyaabba a tartóba kerül? (5 pot) Csege sokszor vásárol tojásokat a sarki üzletbe. Megfigyelése szerit a tojások közül átlagosa mide ötveedik törött. (Ezt úgy tekitjük, hogy a tojások midegyike 0,0 valószíűséggel törött.) b) Mekkora aak a valószíűsége, hogy egy 0 tojást tartalmazó dobozba egyél több törött tojást talál Csege? (5 pot) Egy csomagolóüzembe két termelő szállít tojásokat: az összes tojás 60%- a származik az A, 40%-a a B termelőtől. Az A termelő árujáak 60%-a első osztályú, 40%-a másodosztályú, a B termelő árujáak 0%-a első osztályú és 70%-a másodosztályú. Az összes beszállított tojás közül véletleszerűe kiválasztuk egyet, és azt első osztályúak találjuk. c) Mekkora a valószíűsége, hogy az A termelő árujából való a kiválasztott tojás? (6 pot) 4 6 a) A 4 hibás és 6 ép tojás a sárga tojástartóba féleképpe kerülhet. Az összes eset száma: Aak a valószíűsége, hogy mid a 4 tojás a sárga dobozba kerül: p 0, Mivel a 4 hibás tojás a fehér tojástartóba is kerülhet, ezért a kérdéses valószíűség eek kétszerese, azaz közelítőleg 0,087.

6 b) Aak a valószíűsége, hogy egy tojás ép: 0,98. Aak a valószíűsége, hogy Csege em talál törött tojást a dobozba: 0 0,98 0,87. Aak a valószíűsége, hogy Csege egy darab törött tojást talál a dobozba: 0 0,98 9 0,0 0, Így a kérdéses valószíűség: p 0,98 0 0,98 0,0 0,06. c) Az A beszállítótól származó első osztályú tojások száma az összesek 6%-a. A B beszállítótól származó első osztályú tojások száma az összesek %-a. Az összes beszállított tojásak a 48%-a első osztályú. Az első osztályú tojások 0,6 00% 75% -a származik az A beszállítótól. 0,48 ( pot) A kérdezett valószíűség tehát 0,75. Összese: 6 pot 7) Egy pézitézet a tőle felvett H forit összegű hitel visszafizetésekor havi % p 0, ezért az adós havi p -os kamattal számol q q törlesztőrészletét a t H képlettel számítja ki (mide q p hóapba ekkora összeget kell visszafizeti). A képletbe q, az 00 pedig azt jeleti, hogy összese háy hóapig fizetjük a törlesztőrészletet (ez a hitel futamideje). a) Fogyasztási cikkek vásárlására,6 millió forit hitelt vettük fel a pézitézettől; a havi kamat %. Összese háy foritot fizetük vissza, ha 7 hóap alatt törlesztjük a felvett hitelt? Válaszát ezer foritra kerekítve adja meg! (4 pot) b) Legkevesebb háy hóapos futamidőre vehetük fel egy millió foritos hitelt, ha legfeljebb 60 ezer foritot tuduk havota törlesztei, és a havi kamat %-os? (8 pot) c) Számítsa ki a limt határértékét, ha q, 0 és H (4 pot) a) A havi törlesztés összege (Ft-ba): 7 6,0 0,0 t7, ( pot) 7,0 A 7 hóap alatt összese 7 t foritot fizetük vissza, ami ezer foritra kerekítve Ft.

7 b) Azt a legkisebb pozitív egész számot keressük, amelyre 6,0 0, ( pot),0 Mivel,0 0, ezért 0,0,0 0,0,0.,0 Az,0 alapú logaritmusfüggvéy szigorúa mooto övekedő. ezért log,0. lg A logaritmus azoosságát haszálva: 55,48 lg,0 Tehát a törlesztőrészletek száma legalább 56 azaz legalább 56 hóapos futamidőt kell választauk.,0 t H q q q,0 Egyszerűsítés utá: t 40000,0 c) A megadott számokkal 8) Mivel lim lim 0,0,0, ezért limt Összese: 6 pot a) Igazolja a következő állítást: ha egy égyszög szögei valamilye sorredbe egy számtai sorozat egymást követő tagjai, akkor a égyszög húrégyszög vagy trapéz! (6 pot) b) Fogalmazza meg az előző állítás megfordítását, és dötse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát idokolja! ( pot) Egy geometriai építőkészletbe csak olya pálcikák vaak, amelyek hossza cetiméterbe mérve egész szám, és mideféle lehetséges hosszúság előfordul cm-től cm-ig. (Midegyik fajta pálcikából elegedőe sok va a készletbe.) c) Háy külöböző módo választhatuk ki 4 pálcikát a készletből úgy, hogy belőlük egy 4 cm kerületű éritőégyszöget lehesse építei? (Két kiválasztást külöbözőek tekitük, ha az egyik kiválasztás 4 pálcikája em állítható párba a másik kiválasztás 4 pálcikájával úgy, hogy mid a 4 párba egyelő hosszú legye a két pálcika. Tudjuk továbbá, hogy ha a, b, c, d pozitív számok, és a c b d, akkor az a, b, c, d hosszúságú szakaszokból szerkeszthető égyszög.) (7 pot)

8 a) Legye a égyszög legkisebb szöge fok, a sorozat differeciája pedig d fok d 0. Ekkor a égyszög szögei (valamilye sorredbe), d, d és d fok agyságúak. A égyszög belső szögeiek összege 60, ezért 4 6d 60, vagyis d 80. d d d, ami azt jeleti, hogy a égyszög két-két szögéek összege 80. Ha a két szög szomszédos, akkor a égyszög trapéz, ha pedig szemközti, akkor húrégyszög. Tehát az állítást igazoltuk. b) A megfordítás: Ha egy égyszög trapéz vagy húrégyszög, akkor a szögei (valamilye sorredbe) egy számtai sorozat szomszédos tagjai. A megfordítás hamis. Egy ellepélda. Például: egy trapéz, amelyek szögei 50, 70, 0 és 0 agyságúak. c) A égy kiválasztott pálcikából potosa akkor készíthető éritőégyszög, ha a két-két szemközti pálcika hosszáak összege egyelő. A készlet égy pálcikájából tehát potosa akkor építhető 4 cm kerületű éritőégyszög, ha a égyszögbe egymással szembe elhelyezkedő két-két ;, ; 0, ; 9, 4; 8, 5; 7, 6; 6 9) oldal (cetiméterbe mért) hossza az számpárok valamelyike. ( pot) Ayiféleképpe választható ki égy megfelelő pálcika a készletből, aháyféleképpe a hat számpárból kettő (sorredre való tekitet élkül) kiválasztható úgy, hogy egy számpárt kétszer is választhatuk. Ez a szám 6 külöböző objektum másodosztályú ismétléses kombiációiak számával egyezik meg. Az összes külöböző lehetőségek száma tehát 6 7 =. Összese: 6 pot a) Egy kocka és egy gömb felszíe egyelő. Bizoyítsa be, hogy a gömb térfogata agyobb, mit a kockáé! (6 pot) Két fémkocka összeolvasztásával egy agyobb kockát készítük. Az egyik beolvasztott kocka egy éléek hossza p, a másiké pedig q p 0, q 0. (Feltesszük, hogy az összeolvasztással kapott kocka térfogata egyelő a két összeolvasztott kocka térfogatáak összegével.) b) Igazolja, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíe 6 p g. ( pot) c) Bizoyítsa be, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíe kisebb, mit a két összeolvasztott kocka felszíéek összege! (8 pot)

9 A a) Ha a két test felszíe egyarát A, akkor Vkocka, 6 ( pot) A Vgömb 6 Mivel 6 6, ezért a gömb térfogata valóba agyobb a kocka térfogatáál. b) Az összeolvasztással kapott kocka térfogata p q, ezért éléek hossza p q, felszíe tehát 6 p q, ami valóba 6 p q c) A bizoyítadó állítás: 6 p q 6 p q -el egyelő. Midkét oldalt 6-tal osztva és köbre emelve (az mootoitása miatt): p q p q Elvégezve a hatváyozásokat: Redezve és a pozitív 0 x függvéy szigorú p p q q p p q p q q. ( pot) pq szorzattal osztva: 0 p q pq. p q p q, ez pedig midig igaz (hisze a jobb oldalo két pozitív és egy emegatív szám összege áll). Mivel mide átalakítás ekvivales volt, ezért a bizoyítadó állítás is igaz. Összese: 6 pot