Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Átírás

1 Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor elforgatása 90 -kal Egy vektort úgy forgatuk el 90 -kal, hogy a koordiátáit felcseréljük, és valamelyiket szorozzuk míusz eggyel. Vektorműveletek koordiátákkal Két vektor összegét megkapjuk, ha megfelelő koordiátákat összeadjuk. a b x x ; y y A vektorok kivoását úgy végezzük el, hogy a kisebbítedő vektor végpotjából kivojuk a kivoadó a b x x ; y y koordiátáit. A külöbségvektort helyvektorkét kapjuk meg! Vektort úgy szorzuk számmal, hogy a koordiátákat szorozzuk. R a x ; y A felezőpot koordiátái A szakasz felezőpotjáak a koordiátáit megkapjuk, ha képezzük a végpotok megfelelő x x y y koordiátáiak a számtai közepét. F AB ; A harmadoló potok koordiátái A (x ;y ) x x y y H ; 3 3 B(x ;y ) A (x ;y ) x x y y H ; 3 3 B(x ;y )

2 A háromszög súlypotjáak koordiátái A háromszög súlypotjáak a koordiátáit megkapjuk, ha kiszámoljuk a csúcsok megfelelő koordiátáiak számtai közepét. a b c a b c Ss ;s s ; s 3 3 Gyakorló feladatok:. Egy szabályos hatszög C csúcsából a szomszédos két csúcsba az a, illetve b vektor mutat. Fejezze ki ezek segítségével a többi hatszögcsúcsba mutató vektort!. Egy szabályos hatszög két szomszédos csúcsába a hatszög középpotjából az a, illetve a b vektor mutat. Állítsa elő ezek segítségével a középpotból a hatszög többi csúcsába mutató vektort! 3. Egy A pot helyvektora a, a B poté b. Fejezze ki ezek segítségével a.) az AB szakasz felezőpotjáak; b.) az A potak a B potra voatkozó tükörképéek; c.) a B potak az A potra voatkozó tükörképéek a helyvektorát! 4. Egy szabályos háromszög egyik csúcsából a másik két csúcshoz mutató vektorok a és b. Szerkessze meg az a b a b ; vektorokat, és bizoyítsa be, hogy ezek merőlegesek egymásra! 5. Mutassa meg, hogy a háromszög súlypotjából a csúcsokhoz vezető vektorok összege a zérusvektor! 6. Egy kocka A csúcsából kiiduló élvektorok: a, b, c. Fejezze ki ezek segítségével a kocka testátló vektorait! 7. Egy kocka A csúcsából kiiduló élvektorok: a, b, c. Fejezze ki ezek segítségével az A-ból a kocka középpotjába vezető vektort! Egyeesek Egyeesekkel kapcsolatos alapfogalmak Az egyees iráyszöge az x tegelyjel pozitív forgásiráyba bezárt szöge Jele: α P 0 (x 0 ;y 0 )-lal jelöljük az egyees egy ismert potját (másképpe fix pot). Futópot: az egyees bármely potja lehet. Jele: P( x; y) (Azért hívjuk futópotak, mert ha x végigfut a valós számoko, akkor a P pot végigfut az egyeese) Az egyees iráyvektoráak evezük mide olya vektort, amelyik párhuzamos vele. Jele: v = (v ; v ) Az egyees ormálvektoráak evezük mide olya vektort, amelyik merőleges az egyeesre. Jele: = ( ; ) m = tg α az egyees meredeksége

3 v m tg v tg 90 vv ;v v ;v Az iráyvektoros egyees egyelet: vx vy vx0 vy0 A ormálvektoros egyees egyelet: x y x 0 y0 y y m x x y mx b Az iráytéyezős egyees egyeletek: Az egyeesek egymáshoz viszoyított helyzete Két egyees akkor és csak akkor párhuzamos, ha meredekségük ugyaakkora. o Két egyees akkor és csak akkor merőleges, ha meredekségük szorzata míusz egy. Két egyees akkor esik egybe, ha ugyaakkora a meredekségük, és ugyaaz az y tegely metszetük. Gyakorló feladatok:. Egy egyees iráyvektora v (3; ). Az egyees egy potja (; 4). Add meg az egyeletét! Ábrázold az egyeest koordiáta redszerbe. Add meg az egyees meredekségét és iráyszögét! Add meg az egyees 3 abszcisszájú potját!. Írja fel aak az egyeesek az egyeletét, amely átmegy A( 3;) és a B(6;4) potoko! 3. Adott három pot: P( ;3) Q(5;4) R(9; 5). Egy egyeesbe esek-e? Állítását számítással igazolja! 4. Egy egyees ormálvektora (4;). Az egyees egy potja (3; ). Add meg az egyeletét! Ábrázold az egyeest koordiáta redszerbe. Add meg az egyees meredekségét és iráyszögét! Add meg az egyees 7 ordiátájú potját! 5. Adott három pot: P(5; ) Q(,3) R(3;4). Adja meg a PQ poto átmeő e egyees egyeletét, az R poto átmeő PQ-val párhuzamos f egyees egyeletét! Írja fel h egyees egyeletét, ha átmegy R-e és merőleges e-re! 6. A háromszög csúcspotjai: A; 3 B5; C;8 Adja meg az s a és az m c egyees egyeletét! Adja meg az AB-vel párhuzamos középvoal egyeeséek egyeletét! 7. Adott egy pot Q(5;7) és egy egyees 3x 5y = 8. Adja meg a Q poto átmeő és az adott egyeessel párhuzamos egyees egyeletét! 8. Egy háromszög csúcspotjai: A(;) B(8;3) C(4;7). Számítsd ki az egyees a.) A csúcso átmeő magasságvoaláak egyeletét, b.) C csúcso átmeő súlyvoaláak egyeletét, c.) AB oldallal párhuzamos középvoal egyeeséek egyeletét, d.) AB oldallal oldal felezőmerőleges egyeeséek egyeletét! 9. Egy háromszög csúcspotjaiak koordiátái A( ; ), B(4; 3) és C(4; 5). Számítsa ki a B csúcsból iduló magasságvoal és az AC oldal metszéspotjáak koordiátáit! o

4 0. Írja fel aak az egyeesek aak az egyeletét, amely átmegy ap4; x 3y 4 egyeletű egyeessel!. Írja fel aak az egyeesek az egyeletét, amely átmegy az origó és merőleges a egyeletű egyeesre! poto és párhuzamos a 3x y 0. Számítsa ki az y x 3 és a 4x y 9 0 egyeletű egyeesek metszéspotjáak koordiátáit! 3. Számítsa ki ap;3 pot és a 4x 3y egyeletű egyees távolságát!. Írja fel ap;5 és Q6;7 potok által meghatározott szakasz felezőmerőlegeséek egyeletét! 4. Mi aak az egyeesek az egyelete, amely átmegy a 3;7 poto, és egyelő távolságra va a 4; és a ;4 potoktól? 5. Egy háromszög két csúcspotjáak koordiátái: A 5; és B3;. Súlypotja, C csúcs koordiátáit! 6. Az a és b mely értékeire lesz a x ay 0 és a 4x y b 0egyeletű egyees egymással párhuzamos; egymásra merőleges; azoos? A kör A köregyelet: x u y v r C(u;v) S Két alakzat metszéspotját megkapjuk, ha megoldjuk az egyeletükből álló egyeletredszert.. Adja meg a kör egyeletét, ha a középpotja C, és a sugara r! a) C( 3; 5) r = 4 b) C( 3; 5) r = 6. Adott a kör átmérőjéek két végpotja: A( ;), B(3; 8). Határozza meg a kör egyeletét! 3. Adja meg a kör középpotját, és sugarát, ha az egyelete x + y 6x + 0y 0 = 0! 4 ;. Írja fel a 4. Köregyeletet alkotak-e a következő egyeletek? Ha ige, akkor adja meg a kör középpotját és a sugarát! a) x + y 6x + 0y +40 = 0 b) x + y 6x + 0y +40 = 0 c) x + y 8x + 0y 0 = 0 d) x + y + 8x + 0y 0 = 0 e) x + y 6x + 0y +xy 40 = 0 5. Egy kör egyelete (x + ) + (y ) = 5. a) Adja meg a kör abcisszájú, ill. a 6 ordiátájú potjaiak a koordiátáit! / (;6), (; ), ill.( 5;6), (3;6) / b) Adja meg a kör legagyobb, illetve legkisebb ordiátájú potjait! / ( ;7), ( ; 3) / c) Adja meg a kör legagyobb, illetve legkisebb abcisszájú potjait! /(4;), ( 6;) / d) Adja meg azt az itervallumot, amit a kör potjaiak az első koordiátái alkotak! /x[ 6;4] / e) Adja meg azt az itervallumot, amit a kör potjaiak a második koordiátái alkotak! /y [ 3;7] f) Adja meg a b) és az c) részbe kapott potokba húzható éritők egyeletét! g) Adja meg a kör 3 abszcisszájú potjaiba húzható éritőiek az egyeletét!

5 6. Számítsa ki az (x ) + (y + ) = 6 egyeletű kör és az y = x 7 egyeletű egyees metszéspotjaiak koordiátáit! A parabola Az origó tegelypotú az y szimmetriategelyű parabolák egyelete a.) A parabola felfelé yílik. Az origó tegelypotú az y szimmetriategelyű parabola egyelete: A fókuszpot koordiátái: F(0; p/) y x p A vezéregyees egyelete: p y b.) A parabola lefelé yílik. Az origó tegelypotú az y szimmetriategelyű parabola egyelete: y x p A fókuszpot koordiátái: F(0; p/) A vezéregyees egyelete: p y