MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 16. EMELT SZINT I.

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. október 16. EMELT SZINT I. 1) Egy új típusú sorsjegyből 5 millió darab készült, egy sorsjegy ára 00 Ft. Minden egyes sorsjegyen vagy a Nyert vagy a Nem nyert felirat található, és a nyertes sorsjegyen feltüntetik a nyertes szelvény tulajdonosa által felvehető összeget is. A gyártás során a mellékelt táblázat szerinti eloszlásban készült el az 5 millió sorsjegy. a) Ha minden sorsjegyet eladnának és a nyertesek minden nyereményt felvennének, akkor mekkora lenne a sorsjegyek eladásából származó bevétel és a kifizetett nyeremény különbözete? (3 pont) b) Aki a kibocsátás után az első sorsjegyet megveszi, mekkora a) A bevétel: valószínűséggel nyer a sorsjegy áránál többet? (4 pont) c) Számítsa ki, hogy ebben a szerencsejátékban az első sorsjegyet megvásárló személy nyereségének mennyi a várható értéke! (A nyereség várható értékének kiszámításához nemcsak a megnyerhető összeget, hanem a sorsjegy árát is figyelembe kell venni.) (4 pont) Ft A kifizetett nyeremény: , Ft Tehát a különbözet 400 millió Ft b) Az 5 millió sorsjegy bármelyikét egyenlő valószínűséggel húzhatjuk A kedvező esetek száma ( pont) Tehát a keresett valószínűség: p 0,11 ( pont) c) A felvehető nyeremény várható értéke: , A nyereség várható értéke tehát Ft 80 Ft (3 pont) Összesen: 11 pont

2 ) Két valós szám összege 9. Ha az egyikből elveszünk 15-öt, a másikhoz pedig hozzáadunk 15-öt, az így kapott két szám szorzata éppen ötszöröse lesz az eredeti két szám szorzatának. Melyik lehet ez a két szám? (13 pont) Jelölje azt a számot, amelyet 15-tel csökkentünk, y pedig a másikat y 9 15 y 15 5y ( pont) Az első egyenletből például y-t kifejezve és a második egyenletbe (9 ) behelyettesítve: A műveleteket elvégezve: (3 pont) Rendezve: Az egyenlet megoldásai a -6 és a 7,5 ( pont) Ha a 15-tel csökkentendő szám a -6, akkor a másik szám a 35 Ha a 15-tel csökkentendő szám a 7,5, akkor a másik szám a 1,5 Ellenőrzés a szöveg alapján: Ha a két szám a -6 és a 35, akkor az összegük 9, a szorzatuk -10 A megváltoztatott számok a -1 és az 50, ezek szorzata -1050, ami valóban az 5-szöröse a -10-nek Ha a két szám a 7,5 és az 1,5, akkor az összegük 9, a szorzatuk 41,5 A megváltoztatott számok a 1,5 és a 16,5, ezek szorzata 06,5, ami valóban 5-szöröse a 41,5-nek, Összesen: 13 pont

3 3) Az alábbi három kifejezés mindegyike esetén adja meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a kifejezés értelmezhető! a) b) c) cos log log cos log cos a) A négyzetgyök miatt A logaritmus miatt A keresett halmaz: 0;+ b) A logaritmus miatt cos 0 A négyzetgyök miatt (3 pont) (5 pont) (5 pont) 0 0 log cos 0 azaz cos 1 A koszinusz függvény értékkészlete miatt cos 1 Az értelmezési tartomány tehát c) A logaritmus alapjai miatt A logaritmus miatt Tehát cos 0 k ahol k cos 0 0 és Az értelmezési tartomány tehát \ 1 ahol k k R k, k 1 Összesen: 13 pont

4 4) A Csendes-óceán egyik kis szigetétől keletre, a szigettől 16 km távolságban elsüllyedt egy föld körüli úton járó vitorlás. A legénység egy mentőcsónakban segítségre vár, a náluk lévő jeladó készülék hatósugara mindössze 6 km. Amikor a vitorlás elsüllyedt, akkor a szigettől délre, a szigettől 4 km távolságra volt egy tengerjáró hajó. Ez a hajó állandóan északkeleti irányba halad, a hajótöröttek pedig a vitorlás elsüllyedésének helyéről folyamatosan küldik a vészjeleket. a) Igazolja, hogy a tengerjáró legénysége észlelheti a segélykérő jelzést! (7 pont) Egy 1,5 km magasságban haladó repülőgép éppen a sziget felett van, amikor a repülőgép fedélzeti műszerei észlelik a tengerjáró hajót, amely a vitorlás elsüllyedése óta 0 km-t tett meg. b) Mekkora depresszió szög (lehajlási szög) alatt észlelik a műszerek a tengerjárót? Válaszát fokban, egészre kerekítve adja meg! Számításai során a Föld görbületétől tekintsen el! (7 pont) a) A feladat feltételeit feltüntető jó ábra. A sziget az S, a metőcsónakot az M, a tengerjáró hajót a H pont jelöli. A hajó útjának és az SM egyenesnek a metszéspontját jelölje A. ( pont) A HSA háromszög derékszögű, egyenlő szárú, ezért AS = 4 km MA = 8 km Valamint az APM háromszög derékszögű és van 45 os szöge Ezért MP = 4 5,7 Mivel MP < 6 km, ezért a hajó legénysége észlelheti a jelzéseket. b) A feladat feltételeit feltüntető jó ábra A repülőgép (R), a sziget (S) és a tengerjáró hajó (T) egy S-nél derékszögű háromszög három csúcsában helyezkedik el. Az ST távolságot koszinusztétellel számolhatjuk ki ST cos 45 ( pont) ST 17, km A depresszió szög nagysága megegyezik a TRS derékszögű háromszög RTS szögének nagyságával (váltószögek). RS 1,5 tgrts TS 17, A depresszió szög kb 5 nagyságú Összesen: 14 pont

5 5) Adott két párhuzamos egyenes, e és f. Kijelölünk e-n 5, f-en pedig 4 különböző pontot. a) Hány (e-től és f-től is különböző) egyenest határoz meg ez a 9 pont? Hány olyan háromszög van, amelynek mindhárom csúcsa a megadott 9 pont közül kerül ki? Hány olyan négyszög van, amelynek mindegyik csúcsa a megadott 9 pont közül kerül ki? (11 pont) b) A 9 pont mindegyikét véletlenszerűen kékre vagy pirosra színezzük. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az e egyenes 5 pontja is azonos színű és az f egyenes 4 pontja is azonos színű lesz? (5 pont) a) Az e egyenesen kijelölt 5 pont bármelyikét az f egyenesen kijelölt 4 pont bármelyikével összekötve megfelelő egyenest kapunk Így a megadott feltételnek megfelelően az egyenesek száma Az adott feltételnek megfelelő háromszög két csúcsa az egyik, harmadik csúcsa a másik egyenesen van. Ha az e egyenesen a háromszögnek két csúcsa van, akkor az a két csúcs 5 féleképpen választható ki II. Így az ilyen háromszögek száma 30 A megfelelő háromszögek száma tehát 70 Az adott feltételnek megfelelő négyszögek két csúcsa az e, két csúcsa az f egyenesen van. Az e egyenesen két pontot 5, az f egyenesen két pontot 4 különböző módon lehet kiválasztani Így a megfelelő négyszögek száma b) Az egyenlően valószínű színezések száma: 9 ( pont) Az e egyenesen és az f egyenesen is kétféleképpen lehet egyforma színű az összes megjelölt pont Tehát 4 kedvező eset van A kérdezett valószínűség így: 4 9 0, 0078 Összesen: 16 pont

6 6) A Robotvezérelt Elektromos Kisautók Nemzetközi Versenyén a versenyzők akkumulátorral hajtott modellekkel indulnak. A magyar versenyautó az első órában 45 kilométert tesz meg. Az akkumulátor teljesítményének csökkenése miatt az autó a második órában kevesebb utat tesz meg, mint az első órában, a harmadik órában kevesebbet, mint a másodikban, és így tovább: az indulás utáni n-edik órában megtett útja -edik órában megtett útjának (n és n 1). mindig 95,5%-a az n 1 a) Hány kilométert tesz meg a 10. órában a magyarok versenyautója? Válaszát egész kilométerre kerekítve adja meg! (4 pont) A versenyen több kategóriában lehet indulni. Az egyik kategória versenyszabályai lehetővé teszik az akkumulátorcserét verseny közben is. A magyar csapat mérnökei kiszámították, hogy abban az órában még nem érdemes akkumulátort cserélni, amelyikben az autó legalább 0 kmt megtesz. b) Az indulástól számítva legkorábban hányadik órában érdemes akkumulátort cserélni? (6 pont) A Végkimerülés kategóriában a résztvevők azon versenyeznek, hogy akkumulátorcsere és feltöltés nélkül mekkora utat tudnak megtenni az autók. A világrekordot egy japán csapat járműve tartja 1100 km-rel. c) Képes-e megdönteni a magyar versenyautó a világrekordot a Végkimerülés kategóriában? (6 pont) a) Egy óra alatt megtett úthosszak km-ben mérve egy olyan mértani soroz egymást követő tagjai, amelynek első tagja 45, hányadosa pedig 0,955 9 a10 a1 q 9,733 A magyar autó 10. órában megtett útja kb 30 km b) Addig nem érdemes akkumulátort cserélni, amíg n ,955 0 teljesül n és n 1 Mivel a tízes alapú logaritmus függvény szigorú monoton nő, ezért 0 n 1 lg 0,955 lg 45, ebből adódik, hogy 0 lg n ,61 lg 0,955 Legkorábban a 19. órában érdemes akkumulátort cserélni. lg 0,955 0

7 c) Ha a verseny kezdetétől eltelt egész órák száma n, akkor ennyi idő alatt a magyar autó által megtett út a mértani sorozat első n tagjának összege S n n 45 0, ,955 1 Megoldandó a n egyenlőtlenség 0,955 1 Rendezve a 0,955 0,1 egyenlőtlenséget kapjuk Ennek nincsen megoldása Tehát a világrekordot nem döntheti meg a magyar autó Összesen: 16 pont n 1100

8 7) Egy üzemben 4000 cm 3 -es, négyzet alapú, egyenes hasáb alakú, felül nyitott sütőedények gyártását tervezik. Az edények külső felületét tűzálló zománcfestékkel vonják be. (A belső felülethez más anyagot használnak.) a) Számítsa ki, mekkora felületre kellene tűzálló zománcfesték egy olyan edény esetén, amelynek oldallapjai 6,4 cm magasak! (3 pont) b) Az üzemben végül úgy határozták meg az edények méretét, hogy a gyártásukhoz a lehető legkevesebb zománcfestékre legyen szükség. Számítsa ki a gyártott edények alapélének hosszát! (9 pont) c) Minőségellenőrzési statisztikák alapján ismert: 0,0 annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott edény selejtes. Egy áruházláncnak szállított 50 darabos tételben mekkora valószínűséggel lesz pontosan darab selejtes? (4 pont) a) Az edény alapéle legyen cm hosszú ,4 5 A zománccal bevonható felület területe tehát ,4 165cm b) Ha az edény magassága m cm, akkor és a zománccal bevonandó felület területe cm - ben Az m-et a térfogatra felírt összefüggésből kifejezve és behelyettesítve T-be T Tekintsük a + T 4m T : ; T T-nek ott lehet szélsőértéke, ahol a deriváltja 0 ' T ' 3 T Mivel T " pozitív az 4000 m függvényt 0 helyen ezért a T függvénynek az A gyártott edények alapéle 0 cm c) Egy edényt véletlenszerűen kiválasztva az 0,0 valószínűséggel lesz selejtes, tehát 0,98 valószínűséggel jó. A kérdéses valószínűség a binomiális eloszlás alapján számolható P selejtes 0,00 0,98 0 helyen abszolút minimuma van P selejtes 0,186 Összesen: 16 pont

9 8) A derékszögű koordináta-rendszerben az ABC háromszög csúcsai:,,. Határozza meg a p paraméter pontos értékét, ha a háromszög B csúcsánál levő belső szöge 60 -os. (16 pont) A 1 ; B 7; 4 C 11; p Az ABC háromszög AC oldalára felírva a koszinusz tételt: AC AB BC AB BC 0,5 ( pont) AB 50 BC p AC p p 3 p 81 1 p p 8 A kapott értékeket visszahelyettesítve a koszinusztételbe a következőt kapjuk: p p 8 p 8p 3 50 p 8p 1 Rendezve: 50 p 8p 3 10p Mivel a baloldalon pozitív szám áll ezért Négyzetre emelve és egyszerűsírve: p 8p 3 p Amiből adódik Ebbek az egyenletnek a gyökei: p p 1 Mivel 8p p p 0, ezért csak a p p 0 megoldás lesz jó. ( pont) ( pont) Összesen: 16 pont

10 9) a) A következő két állításról döntse el, hogy igaz vagy hamis. Válaszait indokolja! (6 pont) Van olyan ötpontú egyszerű gráf, amelynek 11 éle van. Ha egy ötpontú egyszerű gráf minden csúcsa legalább harmadfokú, akkor biztosan van negyedfokú csúcsa is. b) Az A, B, C, D és E pontok egy ötpontú teljes gráf csúcsai. A gráf élei közül véletlenszerűen beszínezünk hatot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az A, B, C, D, E pontokból és a színezett élekből álló gráf nem lesz összefüggő? (10 pont) a) Az első állítás hamis Egy ötpontú egyszerű gráfban legfeljebb 10 él húzható ( pont) A második állítás igaz Ha a gráf minden csúcsa harmadfokú volna, akkor a gráfban a fokszámok összege páratlan lenne, ami lehetetlen ( pont) b) Ha úgy színeztünk be 6 élt, hogy kaptunk egy négypontú teljes részgráfot és egy izolált pontot, akkor ez a gráf nem összefüggő, tehát jó. ( pont) Másképp nem kaphattunk nem összefüggő gráfot, hiszen ha egy két- és egy hárompontú komponense lenne, akkor legfeljebb 4 él lehetne. ( pont) Az első típushoz ötféleképpen választhatjuk ki az izolált pontot, és ez már meghatározza a 6 beszínezhető élt, tehát az ilyen gráfok száma 5. ( pont) Az ötpontú teljes gráfnak 10 éle van Ezek közül 10 6 A keresett valószínűség tehát féleképpen választhatjuk ki a 6 kiszínezendő élt. ( pont) 5 p 0,04 (10 pont) 0