A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A Venn-Euler- diagram és a logikai szita"

Átírás

1 A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak emcsak a geometriába va fotos szerepük, haem a legkülöbözőbb feladatok megoldásába is segíthetik a kiidulási adatok elredezését, összefüggések felismerését, megköyíthetik a feltárt összefüggések későbbi felidézését és elleőrzését. A matematika külöböző területei már régóta haszálatosak az úgyevezett Ve- és Ve-Euler-diagramok, a halmazok közötti kapcsolatok, viszoyok tükrözésére, adott tulajdosággal redelkező halmazok és azok számosságáak (elemei számáak) meghatározására, valamit egyes állítások logikai értékéek megállapítására, logikai következtetések vizsgálatára (ezért is evezik ezeket még halmazábrákak is). Egy Ve-diagramot körökkel, vagy más zárt görbékkel, vagy eél általáosabb alakzatokkal, például egyszerű zárt görbével aduk meg a síko. Mide görbe belseje valamilye halmazt ábrázol, a zárt görbé kívül eső rész pedig aak komplemeterét. Az {A, A 2,..., A } görbecsaládot Ve-diagramak evezzük, ha a görbék a síkot potosa 2 diszjukt tartomáyra botják, és a tartomáyok megegyezek az összes lehetséges X X 2... X k alakú halmazzal, k {, 2,..., }, ahol mide X i helyére az A i egyszerű, zárt görbe belsejét vagy külsejét írhatjuk, i {, 2,..., }. A körvoalakról az egyszerű zárt görbékre törtéő általáosítás okára yomba rávilágít az alábbi észrevétel, mely már Ve 880-as dolgozatába megtalálható: Bármely diagramba legfeljebb három körvoal fordulhat elő. A bizoyítás léyege: darab körvoal a síkot legfeljebb részre osztja. Ezért a Ve-diagram értelmezése alapjá következik: 3. Az =, = 2 és = 3 esetekek megfelelő diagramok a síkot redre 2, 2 2, 2 3 részre osztják, lásd a következő ábrákat: Másfajta görbékkel bármely értékre lehet görbét tartalmazó Ve-diagramot készítei (lásd ugyaott). A probléma ellebe ott va, hogy az >3 szám övekedésével az ábrák egyre boyolultabbak, eheze haszálhatók feladatok megoldására. Nézzük éháyat = 4 eseté:

2 Mid a égy ábra a síkot 6 diszjuk tartomáyra osztja, mid a égy eset általáosítható > 4 eseté is, a második talá a legegyszerűbb és a legközelebb áll a körrel alkotott diagramokhoz, hisze ez ellipszisekkel készült. A harmadik a kifli alak miatt általáosítható, a mellékelt ábrá látható az =5 eset. A egyediket téglalapokból készítettük. Említésre méltók Edwards kostrukciói, aki a Vediagramot gömbfelszíe készíti el, majd kivetíti a síkba. Az első három halmazt három egymást metsző főkör határolja, a egyediké meg úgy kayarog, mit teiszlabdá a varrat. A visszavetítés utá fogaskerék alakú halmazok keletkezek, ahol mide egyes további halmazak egyre több foga va. Íme éháy kostrukció: Köye belátható, hogy > 3 eseté az egyes tartomáyok azoosítása már körülméyes. Térjük vissza a Ve-diagramok beidított taulmáyozásához. Az X X 2... X k alakú halmazokat atomokak evezzük. Ha a síkot görbe p síkdarabra vágja és a létrejövő atomok száma a, akkor yilvávalóa a p. A Ve-diagramokra teljesül: a = p = 2. Ezekívül az a p 2 esetekbe is haszált diagramokkal is gyakra találkozhatuk. Íme éháy példa: Az első esetbe a p 2 (a = 7, hisze a 6-os számmal jelölt síkdarabok ugyaahhoz az atomhoz tartozak), a második esetbe 5 = a = p 2. Az ilye típusú diagramot általába Ve Euler-diagramak evezik. Ez a megevezés ikább hazákba hoosodott meg, más országokba ikább tágabb értelembe vett, ugyacsak Ve-diagramokak evezik. Érdemes megjegyezi, hogy az értelmezés szeriti Ve-diagram görbéje által határolt síkbeli részek között mide lehetséges atom létezik. Más szóval a Ve-diagram eseté midegyik X X 2... X k alakú halmaz létezik, míg a Ve Euler-diagram eseté ez em föltétleül igaz. Tehát a Ve-diagramok az úgyevezett Ve Euler-diagramok részhalmazát képezik. Az elkövetkezőkbe bemutatjuk e diagramok éháy alkalmazási lehetőségét. Egyik azoali alkalmazását az úgyevezett logikai szita-formulák képezik. A továbbiakba jelöljük X vagy card( X ) az X halmaz elemeiek a számát (számosságát). A kétkörös Ve-Euler diagramról leolvasható, hogy két halmaz eseté igaz, hogy A B = A + B A B (). Továbbá, ha X S, akkor yilvávaló, hogy S X = S X, és most az X = A B választással, az A, B S feltételekkel, az () alapjá kapjuk, hogy S ( A B) = S A B + A B ( ). Az () és ( ) összefüggéseket 2

3 másodredű szita-formuláak, vagy egyszerűe logikai szitáak hívjuk (a logikai szitára még haszálatos a befoglalás-kizárás formula elevezés is). Hasoló összefüggést állapíthatuk meg három halmaz eseté is, ha a három körös Vediagramot követjük. Ez alapjá felírható, hogy A B C = A + B + C A B B C C A + A B C (2). Az előbbiek mitájára, az A, B, C S feltételek mellett levezethető a következő összefüggés is: S ( A B C) = S A B C + A B + B C + C A A B C (2 ). A (2) és a (2 ) képezik a harmadredű szita-formulákat. Természetese a szita-formula érvéyes marad háromál több tag eseté is. Eek az általáos alakja: Ai = Ai Ai Aj + Ai Aj Ak ( ) Ai i= i= j< j j< j< k i= U (3) és továbbá + S U Ai = S Ai + Ai Aj Ai Aj Ak ( ) Ai (3 ). i= i= j< j j< j< k i= A (3) és a (3 ) -ed redű szita-formulákat a matematikai idukcióval is bizoyíthatjuk. A továbbiakba olya alkalmazásokat mutatuk be, amelyekek a megoldása Ve- Euler diagrammal és a szita-formulával egyarát elvégezhetők, de mutatuk be olya feladatokat is, amelyekél az egyik vagy a másik módszer előyösebb.. feladat: Egy fagyisál kétféle fagyiból lehet választai: csoki és vaília. -e állak sorba a fagyisál 5-e kértek csokis fagyit. Vaíliát 3-mal többe kértek mit csak csokist. Háya kértek csokis és vaíliás fagyit is? Megoldás: Jelölje Cs illetve V azok halmazát akik csokis illetve vaíliás fagyit vásároltak. Készítsük el a mellékelt ábrá látható Ve-Euler diagramot. Jelölje Cs V = x akkor Cs V = 5 x és V Cs = 8 x, ezért az (5-x)+x+(8-x)= egyeletből x=2. 2. feladat: Háy darab olya kétjegyű pozitív egész szám va, amely osztható 5-tel, vagy 6-tal, esetleg mid a kettővel? Megoldás: Összese 99-9=90 kétjegyű szám va, ebből kiszámoljuk, hogy háy 5-tel és 6-tal osztható kétjegyű szám va. Legye A= {0,5,,95} az 5-tel osztható kétjegyű számok halmaza és B= {2,8,24,,96} a 6-tal osztható kétjegyű számok halmaza. Tehát A B = {30, 60,90} a 30-cal osztható kétjegyű számok halmaza. 99 Ekkor A 99 = = 9 = 8 5, 6 5 B = = = 6 (ki kellett veük az 5 és a 6 99 egyjegyű számokat), továbbá A B = = Az ()-es szita-formula alapjá felírható, hogy A B = A + B A B = = 30. Tehát 30 kétjegyű szám osztható 5-tel vagy 6-tal. 3. feladat: Háy darab olya kétjegyű pozitív egész szám va, amely em osztható sem 5-tel, sem 6-tal? Megoldás: Erre a kérdésre úgy is válaszolhatuk, hogy figyelembe vesszük, hogy az előbbi feladat alapjá 30 szám osztható 5-tel vagy 6-tal, tehát 90-30=60 em osztható egyikkel sem. Ellebe a feladat megoldható a komplemeter szita-formulával: 3

4 99 S ( A B) = S A B + A B, ahol A = = 9 = 8 5, B 99 = = 6 = 5 6, A B = 3, és a kétjegyű számok száma S = 90. Tehát S ( A B) = = feladat: Háyféle képpe alakíthatuk ki 6 betűs szavakat az a, e, m, o, u, y betűkkel úgy, hogy e tartalmazzák a me és you szavakat? Megoldás: Legyeek S= az összes szó, A= a me-t tartalmazó szavak, B= a you-t tartalmazó szavak. A komplemeter szitaképlet: S ( A B) = S A B + A B. De S =6!, A =5! (mert me, a, o, u, y száma 5), B =4! (mert you, a, m, e száma 4), A B =3! (mert a me, you, a száma 3). Tehát a válasz: = feladat: Az egyeteme 200-a taulak agolt, 50-e spayolt és 40-e fraciát. 80-a agolt és fraciát, 20-a agolt és spayolt, 0-e spayolt és fraciát, 5-e pedig midhárom yelvet taulják. Háya taulak összese yelvet? Megoldás: Betről kifele haladva töltjük ki a halmazábrát. Először a belső 5- öt írjuk be. Ezutá a 80-5= 75-öt, a 20-5= 5-öt, végül a 80-5= 75-öt. Ezutá kitöltjük a legkülső tartomáyokat: 200- (5+5+75)= 05, 50- (5+5+5)=25, 40- (5+5+75)= 55. Ezutá összeadva a tartomáyokba levő számokat 385 adódik. A feladatot a szita-formulával is megoldhatjuk: legyeek A={agolul tudók}, S={spayolul tudók}, F={fraciául tudók}. Tehát: A S F = A + S + F A S S F F A + A S F = = = 385. Tehát eyie taulják valamelyik yelvet. 6. feladat: Egy osztály 32 taulója közül 6-a taulak agolul, 3-a fraciául, 3-a émetül. Az említett yelvek közül 5-e émetül és fraciául is, 7-e émetül és agolul is, 6-a agolul és fraciául is taulak. Négye midhárom yelvet taulják. Háya em taulják az említett yelvek egyikét sem? Megoldás: Betről kifele haladva töltjük ki a halmazábrát. Először a belső 4-est írtuk be, azutá 5-4=, 7-4=3, 6-4=2, majd 6-(3+4+2)= 7, 3- (+4+2)= 6, )= 5. Az ábrá látható összes számok összege 28, és mivel 32-28= 4, ezért ez a válasz. A szita-formulával S ( A F N) = = S A F N + A F + F N + N A A F N = = = 4, vagyis eyi tauló em taulja a három yelv közül egyiket sem. 7. feladat: Az osztályba 38 tauló va. Mideki űzi a következő sportágak valamelyikét: atlétika, röplabda, úszás. 9-e atletizálak, 2-e röplabdázak, 2 tauló úszik; 7 tauló atletizál és röplabdázik, 6 tauló atletizál és úszik, 3 tauló röplabdázik és úszik. Háy tauló űzi midhárom sportot? Megoldás: Legye A B C = x és betről kifele haladva töltjük ki a halmazábrát, majd összegezzük a bee látható kifejezéseket: + x x + 3+ x + 7 x + 3 x + 6 x + x = 38 x=2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Szita-formulával is dolgozhatuk. Legyeek: A={atletizálók}, R={röplabdázók}, U={úszók}. Tehát felírható, hogy: 4

5 A R U = A + R + U A R R U U A + A R U. Beírva a számosságokat kapjuk, hogy: 38 = A R U, vagyis A R U = 2 tauló űzi midhárom sportot. 8. feladat: Egy osztály létszáma 30. Az osztályba három yelvet taulak: agolt, oroszt és fraciát, és mide diák taulja legalább az egyik yelvet. Agolul 4-e, oroszul 5-e, fraciául 25-e taulak. Potosa két yelvet összese 6 diák taul. Háya taulják midhárom yelvet? Megoldás: Legye redre Fr, A, Or a fraciául, agolul, illetve oroszul beszélő taulók halmaza; F, A, O a csak fraciául, csak agolul, csak oroszul beszélő taulók száma. Az x, y, z, t számok jeletése a diagramról leolvasható. A feltételek alapjá: F + A + O + x + y + z +t = 30; x + y + z = 6; F + x + y + t = 25; A + x + z + t = 4; O + y + z + t = 5. Ezért F + A + O = 30 6, F + A + O t = 54, ahoa t = 9. Tehát eyie taulják midhárom yelvet. 9. feladat: Egy 29 fős osztályak három kérdést tettek fel, mideki igeel vagy emmel válaszolhatott. A szereted-e a mateket kérdésre 22 ige, a szereted-e a fagyit kérdésre 8 ige, a szereted a palacsitát kérdésre 8 ige érkezett. Tudva azt, hogy azok közül akik szeretika mateket 7-e em szeretik a fagyit és 8-a em szeretik a palacsitát, valamit 2-e szeretik a fagyit és a palacsitát, de közülük 2 em szereti a mateket. Háya modtak emet midhárom kérdésre? Megoldás: Jelölje: S= az osztály taulói, M= {szeretik a mateket}, F= {szeretik a fagyit}, P= {szeretik a palacsitát}. Tehát S = 29, M = 22, F = 8, P = 8. Vegyük észre, hogy: M F = 22 7 = 5, M P = 22 8 = 4, F P = 2 és F P M = 2 2 = 0. A szita-formula alapjá S ( M F P) S= M F P M + F F P+ P M + M F P ahoa kapjuk, hogy S ( A B C) = 29 ( ) + ( ) 0 = 2 vagyis eyie modtak emet midhárom kérdésre. A feladatot a Ve-diagrammal is megoldhatjuk, ha először a 0-et írjuk be, aztá a 4-0=4, 5-0=5, 2-0=2, majd sorra a 22-(4+0+5)=3, 8-(2+0+5)=, és végül a 8-(4+0+2)=2 értékeket. Ez összese 27, így 29-27=2 a felelet. 0. feladat: A matematika dolgozatba 4 feladatot kellett megoldai. a) Az. feladatot 30, a 2.-at 32, a 3.-at 34, a 4.-et 32 oldotta meg jól. b) Az. és 2.-at 2, az. és a 3.-at 2, az. és a 4.-et 2, a 2. és a 3.-at 5, a 2. és a 4.-et, a 3. és 4.-et 0-e oldották meg helyese. c) Az., 2., 3. feladatokat 6-o, az., 2., 4. feladatokat 5-e, az., 3., 4. feladatokat 3-a, a 2., 3., 4. feladatokat 4-e oldották meg helyese. d) Az összes feladatot 3-a oldották meg hibátlaul. e) Voltak 0-e akikek egyetle feladatot sem sikerült megoldai. Háya írtak dolgozatot matematikából? Megoldás: A szita formulát alkalmazzuk 4 tagra, miszerit 4 4 U i i= i= A = A A A + A A A A A A A = i i j i j k = ( ) ( ) + ( ) 3 = 7. Tehát 7+0=8 tauló írt dolgozatot matematikából. A feladatot 5

6 Ve-Euler diagrammal is megoldhatjuk, ha belülről kifele haladva töltjük ki a halmazábrát, de hamar rájövük, hogy ez sokkal körülméyesebb mit a három kör eseté.. feladat: Egy 24-es létszámú sportosztály taulói égy sportágba szerepelek: kézilabdázak, focizak, jégkorogozak és kosárlabdázak. Mide tauló sportol, de seki sem szerepel kettőél több sportágba. Tudjuk, hogy 9-e em kézilabdázak, -e em focizak, 6-a em jégkorogozak, 2-e pedig em kosárlabdázak. Tudjuk még, hogy 0-e focizak, de em kosarazak, -e pedig kézilabdázak, de ők sem kosarazak. Háya, és milye összetételbe űzek két-két sportágat? Megoldás: A feltevésből azt kapjuk, hogy 24 9 = 5-e kézilabdázak, 24 = 3-a focizak, 24 6 = 8-a jégkorogozak, 24 2 = 2-e pedig kosárlabdázak. Mivel = 48, és ez az összes taulók számáak a 2-szerese, következik, hogy mideki potosa két sportágba vesz részt, mert seki sem szerepel 2-él több sportágba. Az ábrá látható halmazok az egyes sportágakba szereplő taulókat jelölik, a betűk pedig a két-két sportágat űzők számát jeletik, a következőképpe: a kézilabda-foci; b kézilabda-jégkorog; c foci-jégkorog; d kézilabda-kosárlabda; e jégkorog-kosárlabda; f foci-kosárlabda. a + b + d = 5 (), a + c + f = 3 (2), b + c + e = 8 (3), d + e + f = 2 (4), a + c = 0 (5), a + b = (6). Az. és 6. egyelőségből azt kapjuk, hogy d = 4, a 2. és 5. alapjá f = 3, a 4. alapjá e = 5. De 2-e em kosarazak, tehát a + b + c = 2, de a + c = 0 b = 2, a = 9 és c =. 6

EGY ÖTLET. A Venn-diagram és a logikai szita alkalmazásai

EGY ÖTLET. A Venn-diagram és a logikai szita alkalmazásai XXII/1 2. szám, 2014. máj. EGY ÖTLET A Venn-diagram és a logikai szita alkalmazásai Tuzson Zoltán Az ábráknak nemcsak a geometriában van fontos szerepük, hanem a legkülönbözőbb feladatok megoldásában is

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok 1) Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat.

Részletesebben

1.1. Halmazok. 2. Minta - 5. feladat (2 pont) Adott két halmaz:

1.1. Halmazok. 2. Minta - 5. feladat (2 pont) Adott két halmaz: 1.1. Halmazok 2009. május id. - 11. feladat (3 pont) A H halmaz elemei legyenek a KATALINKA szó betűi, a G halmaz elemei pedig a BICEBÓCA szó betűi. Írja fel a H U G halmaz elemeit! 2010. október - 1.

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Halmazok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Halmazok 1) Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először

Részletesebben

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével,

Részletesebben

3.Példa. Megoldás 4. Példa: Megoldás

3.Példa. Megoldás 4. Példa: Megoldás Megoldott feladatok 3.Példa. Egy osztályban 30 tanuló van. Ezek háromféle sportkörre járnak: futballozni, kosarazni és úszni. 20 tanuló futballozik, 6 tanuló kosarazik, 0 tanuló úszik, -en futballoznak

Részletesebben

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára ; halmaz összes részhalmazát!

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára ; halmaz összes részhalmazát! 1. témakör: HALMAZELMÉLET A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Halmazok: 8-9. oldal 1. Sorold fel az a b x y halmaz összes részhalmazát!. AdottU alaphalmaz, és annak két

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK MEGOLDÁSI KÖZÉP SZINT Halmazok szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Halmazműveletek feladatok

Halmazműveletek feladatok Halmazműveletek feladatok Soroljuk fel a {a; b; c} halmaz összes részhalmazát! Határozza meg az A és B halmazokat, ha tudja, hogy A B ={1;2;3;4;5}; A B ={3;5}; A\B={1}; B\A={2;4 A={-1; 0; 1; 2; 5; 7; 8}

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Halmazok MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK KÖZÉP SZINT Halmazok szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Kombinatorika feladatok

Kombinatorika feladatok Kombiatorika feladatok 1. Tüdérországba csak 2 magáhagzót és 2 mássalhagzót haszálak. A szavakba legalább 1 mássalhagzó és legalább 1 magáhagzó va. Háy külöböző hárombetűs szó létezik Tüdérországba, ha

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek:

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek: Az araymetszés és a Fiboacci számok mideütt Tuzso Zoltá Araymetszésrl beszélük, amikor egy meyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aráylik a agyobbikhoz, mit

Részletesebben

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK I. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő IX.TÉMAKÖR I.TÉMAKÖR HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK Téma A halmaz fogalma, alapfogalmak, elemek száma, üres halmaz, egyenlő halmazok, ábrázolás Venn-diagrammal

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

HALMAZOK 2. Feladat Év Kész Nem ment. 1) Egy osztály tanulói valamennyien vettek. 2) Egy 10 tagú csoportban mindenki beszéli az

HALMAZOK 2. Feladat Év Kész Nem ment. 1) Egy osztály tanulói valamennyien vettek. 2) Egy 10 tagú csoportban mindenki beszéli az HALMAZOK 2 Feladat Év Kész Nem ment 1) Egy osztály tanulói valamennyien vettek színházjegyet. Kétféle előadásra rendeltek jegyeket: az elsőre 18-at, a másodikra 24-et. 16 tanuló csak a második előadásra

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

ALGORITMUSOK A MATEMATIKAOKTATÁSBAN

ALGORITMUSOK A MATEMATIKAOKTATÁSBAN Eötvös Lorád Tudomáyegyetem, Természettudomáyi Kar Matematikataítási és Módszertai Közpot ALGORITMUSOK A MATEMATIKAOKTATÁSBAN Készítette: Varga Viktória Matematika Bsc taári szakiráy Témavezető: Fried

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika 1/5

Érettségi feladatok: Halmazok, logika 1/5 Érettségi feladatok: Halmazok, logika 1/5 I. Halmazműveletek 2006. február/12. Az A és a B halmazokról a következőket tudjuk: A B = {1; 2}, A U B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, A \ B = {5; 7}. Adja meg az A

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása JUMO Meß- ud Regelgeräte GmbH A-1232 Wie, Pfarrgasse 48 Magyarországi Kereskedelmi Képviselet Telefo: 00-43-1 / 61-061-0 H-1147 Budapest Öv u. 143. Fax: 00-43-1 / 61-061-59 Telefo/fax: 00-36-1 / 467-0835,

Részletesebben

Egyszerő kémiai számítások

Egyszerő kémiai számítások Egyszerő kéiai száítások z egyes fizikai, illetve kéiai eyiségek közötti összefüggéseket éréssel állapítjuk eg. hhoz, hogy egy eyiséget éri tudjuk, a eyiségek valaely rögzített értékét (értékegység) kell

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

Kombinatorika és Gráfelmélet

Kombinatorika és Gráfelmélet Kombiatorika és Gráfelmélet Ez az előadásvázlat remélhetőe segíti a vizsgára való felkészülést, de em pótolja az előadást. Vizsgá lehetek olya kérdések, amelyekről ez a jegyzet em szól. Nyíregyháza, 2008.

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Halmazelméleti feladatok (középszint)

Halmazelméleti feladatok (középszint) Halmazelméleti feladatok (középszint) (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/9) Adott két intervallum: ] 1; 3[ és [0; 4]. a) Ábrázolja számegyenesen a két intervallum metszetét! b) Adja meg a metszetintervallumot!

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT

ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT ANDRÁS SZILÁRD, CSAPÓ HAJNALKA, NAGY ÖRS SIPOS KINGA, SOÓS ANNA, SZILÁGYI JUDIT KÍVÁNCSISÁGVEZÉRELT MATEMATIKA TANÍTÁS STÁTUS KIADÓ CSÍKSZEREDA, 010 c PRIMAS projekt c Adrás Szilárd Descrierea CIP a Bibliotecii

Részletesebben

X = 9,477 10 3 mol. ph = 4,07 [H + ] = 8,51138 10 5 mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet):

X = 9,477 10 3 mol. ph = 4,07 [H + ] = 8,51138 10 5 mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet): . Egy átrium-hidroxidot és átrium-acetátot tartalmazó mita 50,00 cm 3 -es részletée megmérjük a ph-t, ami,65-ek adódott. 8,65 cm 3 0, mol/dm 3 kocetrációjú sósavat adva a mitához, a mért ph 5,065. Meyi

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Dunaföldváron a régió legnagyobb máltai ünnepi rendezvénye

Dunaföldváron a régió legnagyobb máltai ünnepi rendezvénye XIX. évfolyam 11. szám, 2015. ovember 195 Ft KÖZÉLETI LAP Duaföldváro a régió legagyobb máltai üepi redezvéye Október 10-é Duaföldvár adott otthot a Magyar Máltai Szeretetszolgálat legagyobb dél-duátúli

Részletesebben

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL

AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL 36 MIXCONTROL AZ ÖSSZETÉTEL OPTIMALIZÁLÁSA A VOLUMETRIKUS ASZFALTKEVERÉK- ELLENÕRZÉS MÓDSZERÉVEL Subert Istvá deformáció-elleálló keverékvázat lehet létrehozi. Kiidulási feltétel az alkalmazás helyéek

Részletesebben

Rádiókommunikációs hálózatok

Rádiókommunikációs hálózatok Rádiókommuikációs hálózatok Készült az NJSZT Számítógéphálózat modellek Tavaszi Iskola elöadás-sorozataihoz. 977-980. Gyarmati Péter IBM Research, USA; Budapest Föváros Taácsa. I this paper we show a somewhat

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Logika-Gráfok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Logika-Gráfok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Logika-Gráfok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Gráfok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Gráfok MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK MEGOLDÁSI KÖZÉP SZINT Gráfok 1) Egy gráfban 4 csúcs van. z egyes csúcsokból 3; 2; 2; 1 él indul. Hány éle van a gráfnak? Egy lehetséges ábrázolás: gráfnak 4 éle van. (ábra

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Csernicskó István Hires Kornélia A kárpátaljai magyarok lokális, regionális és nemzeti identitásáról

Csernicskó István Hires Kornélia A kárpátaljai magyarok lokális, regionális és nemzeti identitásáról 8 Sztakó Péter 00 Eticitás Körösszakálo. Szakdolgozat. DENIA (Debrecei Néprajzi Itézet Adattára) Vermeule, Has Govers, Cora (ed.) 99 The Atropology of Ethicity. Beyod Ethic Groups ad Boudaries. Amsterdam:

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Általáosított mitavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Dr. Földvári Rudolf BME Híradástechikai Elektroika Itézet ÖSSZEFOGLALÁS Az általáosított mitavétel külöböző esteiek bemutatása

Részletesebben

KIMONDHATÓ.?! Magyar Máltai Szeretetszolgálat F o g a d ó P s z i c h o s z o c i á l i s S z o l g á l a t

KIMONDHATÓ.?! Magyar Máltai Szeretetszolgálat F o g a d ó P s z i c h o s z o c i á l i s S z o l g á l a t Az egészséges evelés KIMONDHATÓ.?! Magyar Máltai Szeretetszolgálat F o g a d ó P s z i c h o s z o c i á l i s S z o l g á l a t 8. Előszó Tartalom Mide felőtt volt egyszer gyerek És felő majd az új gyereksereg:

Részletesebben