A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A Venn-Euler- diagram és a logikai szita"

Átírás

1 A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak emcsak a geometriába va fotos szerepük, haem a legkülöbözőbb feladatok megoldásába is segíthetik a kiidulási adatok elredezését, összefüggések felismerését, megköyíthetik a feltárt összefüggések későbbi felidézését és elleőrzését. A matematika külöböző területei már régóta haszálatosak az úgyevezett Ve- és Ve-Euler-diagramok, a halmazok közötti kapcsolatok, viszoyok tükrözésére, adott tulajdosággal redelkező halmazok és azok számosságáak (elemei számáak) meghatározására, valamit egyes állítások logikai értékéek megállapítására, logikai következtetések vizsgálatára (ezért is evezik ezeket még halmazábrákak is). Egy Ve-diagramot körökkel, vagy más zárt görbékkel, vagy eél általáosabb alakzatokkal, például egyszerű zárt görbével aduk meg a síko. Mide görbe belseje valamilye halmazt ábrázol, a zárt görbé kívül eső rész pedig aak komplemeterét. Az {A, A 2,..., A } görbecsaládot Ve-diagramak evezzük, ha a görbék a síkot potosa 2 diszjukt tartomáyra botják, és a tartomáyok megegyezek az összes lehetséges X X 2... X k alakú halmazzal, k {, 2,..., }, ahol mide X i helyére az A i egyszerű, zárt görbe belsejét vagy külsejét írhatjuk, i {, 2,..., }. A körvoalakról az egyszerű zárt görbékre törtéő általáosítás okára yomba rávilágít az alábbi észrevétel, mely már Ve 880-as dolgozatába megtalálható: Bármely diagramba legfeljebb három körvoal fordulhat elő. A bizoyítás léyege: darab körvoal a síkot legfeljebb részre osztja. Ezért a Ve-diagram értelmezése alapjá következik: 3. Az =, = 2 és = 3 esetekek megfelelő diagramok a síkot redre 2, 2 2, 2 3 részre osztják, lásd a következő ábrákat: Másfajta görbékkel bármely értékre lehet görbét tartalmazó Ve-diagramot készítei (lásd ugyaott). A probléma ellebe ott va, hogy az >3 szám övekedésével az ábrák egyre boyolultabbak, eheze haszálhatók feladatok megoldására. Nézzük éháyat = 4 eseté:

2 Mid a égy ábra a síkot 6 diszjuk tartomáyra osztja, mid a égy eset általáosítható > 4 eseté is, a második talá a legegyszerűbb és a legközelebb áll a körrel alkotott diagramokhoz, hisze ez ellipszisekkel készült. A harmadik a kifli alak miatt általáosítható, a mellékelt ábrá látható az =5 eset. A egyediket téglalapokból készítettük. Említésre méltók Edwards kostrukciói, aki a Vediagramot gömbfelszíe készíti el, majd kivetíti a síkba. Az első három halmazt három egymást metsző főkör határolja, a egyediké meg úgy kayarog, mit teiszlabdá a varrat. A visszavetítés utá fogaskerék alakú halmazok keletkezek, ahol mide egyes további halmazak egyre több foga va. Íme éháy kostrukció: Köye belátható, hogy > 3 eseté az egyes tartomáyok azoosítása már körülméyes. Térjük vissza a Ve-diagramok beidított taulmáyozásához. Az X X 2... X k alakú halmazokat atomokak evezzük. Ha a síkot görbe p síkdarabra vágja és a létrejövő atomok száma a, akkor yilvávalóa a p. A Ve-diagramokra teljesül: a = p = 2. Ezekívül az a p 2 esetekbe is haszált diagramokkal is gyakra találkozhatuk. Íme éháy példa: Az első esetbe a p 2 (a = 7, hisze a 6-os számmal jelölt síkdarabok ugyaahhoz az atomhoz tartozak), a második esetbe 5 = a = p 2. Az ilye típusú diagramot általába Ve Euler-diagramak evezik. Ez a megevezés ikább hazákba hoosodott meg, más országokba ikább tágabb értelembe vett, ugyacsak Ve-diagramokak evezik. Érdemes megjegyezi, hogy az értelmezés szeriti Ve-diagram görbéje által határolt síkbeli részek között mide lehetséges atom létezik. Más szóval a Ve-diagram eseté midegyik X X 2... X k alakú halmaz létezik, míg a Ve Euler-diagram eseté ez em föltétleül igaz. Tehát a Ve-diagramok az úgyevezett Ve Euler-diagramok részhalmazát képezik. Az elkövetkezőkbe bemutatjuk e diagramok éháy alkalmazási lehetőségét. Egyik azoali alkalmazását az úgyevezett logikai szita-formulák képezik. A továbbiakba jelöljük X vagy card( X ) az X halmaz elemeiek a számát (számosságát). A kétkörös Ve-Euler diagramról leolvasható, hogy két halmaz eseté igaz, hogy A B = A + B A B (). Továbbá, ha X S, akkor yilvávaló, hogy S X = S X, és most az X = A B választással, az A, B S feltételekkel, az () alapjá kapjuk, hogy S ( A B) = S A B + A B ( ). Az () és ( ) összefüggéseket 2

3 másodredű szita-formuláak, vagy egyszerűe logikai szitáak hívjuk (a logikai szitára még haszálatos a befoglalás-kizárás formula elevezés is). Hasoló összefüggést állapíthatuk meg három halmaz eseté is, ha a három körös Vediagramot követjük. Ez alapjá felírható, hogy A B C = A + B + C A B B C C A + A B C (2). Az előbbiek mitájára, az A, B, C S feltételek mellett levezethető a következő összefüggés is: S ( A B C) = S A B C + A B + B C + C A A B C (2 ). A (2) és a (2 ) képezik a harmadredű szita-formulákat. Természetese a szita-formula érvéyes marad háromál több tag eseté is. Eek az általáos alakja: Ai = Ai Ai Aj + Ai Aj Ak ( ) Ai i= i= j< j j< j< k i= U (3) és továbbá + S U Ai = S Ai + Ai Aj Ai Aj Ak ( ) Ai (3 ). i= i= j< j j< j< k i= A (3) és a (3 ) -ed redű szita-formulákat a matematikai idukcióval is bizoyíthatjuk. A továbbiakba olya alkalmazásokat mutatuk be, amelyekek a megoldása Ve- Euler diagrammal és a szita-formulával egyarát elvégezhetők, de mutatuk be olya feladatokat is, amelyekél az egyik vagy a másik módszer előyösebb.. feladat: Egy fagyisál kétféle fagyiból lehet választai: csoki és vaília. -e állak sorba a fagyisál 5-e kértek csokis fagyit. Vaíliát 3-mal többe kértek mit csak csokist. Háya kértek csokis és vaíliás fagyit is? Megoldás: Jelölje Cs illetve V azok halmazát akik csokis illetve vaíliás fagyit vásároltak. Készítsük el a mellékelt ábrá látható Ve-Euler diagramot. Jelölje Cs V = x akkor Cs V = 5 x és V Cs = 8 x, ezért az (5-x)+x+(8-x)= egyeletből x=2. 2. feladat: Háy darab olya kétjegyű pozitív egész szám va, amely osztható 5-tel, vagy 6-tal, esetleg mid a kettővel? Megoldás: Összese 99-9=90 kétjegyű szám va, ebből kiszámoljuk, hogy háy 5-tel és 6-tal osztható kétjegyű szám va. Legye A= {0,5,,95} az 5-tel osztható kétjegyű számok halmaza és B= {2,8,24,,96} a 6-tal osztható kétjegyű számok halmaza. Tehát A B = {30, 60,90} a 30-cal osztható kétjegyű számok halmaza. 99 Ekkor A 99 = = 9 = 8 5, 6 5 B = = = 6 (ki kellett veük az 5 és a 6 99 egyjegyű számokat), továbbá A B = = Az ()-es szita-formula alapjá felírható, hogy A B = A + B A B = = 30. Tehát 30 kétjegyű szám osztható 5-tel vagy 6-tal. 3. feladat: Háy darab olya kétjegyű pozitív egész szám va, amely em osztható sem 5-tel, sem 6-tal? Megoldás: Erre a kérdésre úgy is válaszolhatuk, hogy figyelembe vesszük, hogy az előbbi feladat alapjá 30 szám osztható 5-tel vagy 6-tal, tehát 90-30=60 em osztható egyikkel sem. Ellebe a feladat megoldható a komplemeter szita-formulával: 3

4 99 S ( A B) = S A B + A B, ahol A = = 9 = 8 5, B 99 = = 6 = 5 6, A B = 3, és a kétjegyű számok száma S = 90. Tehát S ( A B) = = feladat: Háyféle képpe alakíthatuk ki 6 betűs szavakat az a, e, m, o, u, y betűkkel úgy, hogy e tartalmazzák a me és you szavakat? Megoldás: Legyeek S= az összes szó, A= a me-t tartalmazó szavak, B= a you-t tartalmazó szavak. A komplemeter szitaképlet: S ( A B) = S A B + A B. De S =6!, A =5! (mert me, a, o, u, y száma 5), B =4! (mert you, a, m, e száma 4), A B =3! (mert a me, you, a száma 3). Tehát a válasz: = feladat: Az egyeteme 200-a taulak agolt, 50-e spayolt és 40-e fraciát. 80-a agolt és fraciát, 20-a agolt és spayolt, 0-e spayolt és fraciát, 5-e pedig midhárom yelvet taulják. Háya taulak összese yelvet? Megoldás: Betről kifele haladva töltjük ki a halmazábrát. Először a belső 5- öt írjuk be. Ezutá a 80-5= 75-öt, a 20-5= 5-öt, végül a 80-5= 75-öt. Ezutá kitöltjük a legkülső tartomáyokat: 200- (5+5+75)= 05, 50- (5+5+5)=25, 40- (5+5+75)= 55. Ezutá összeadva a tartomáyokba levő számokat 385 adódik. A feladatot a szita-formulával is megoldhatjuk: legyeek A={agolul tudók}, S={spayolul tudók}, F={fraciául tudók}. Tehát: A S F = A + S + F A S S F F A + A S F = = = 385. Tehát eyie taulják valamelyik yelvet. 6. feladat: Egy osztály 32 taulója közül 6-a taulak agolul, 3-a fraciául, 3-a émetül. Az említett yelvek közül 5-e émetül és fraciául is, 7-e émetül és agolul is, 6-a agolul és fraciául is taulak. Négye midhárom yelvet taulják. Háya em taulják az említett yelvek egyikét sem? Megoldás: Betről kifele haladva töltjük ki a halmazábrát. Először a belső 4-est írtuk be, azutá 5-4=, 7-4=3, 6-4=2, majd 6-(3+4+2)= 7, 3- (+4+2)= 6, )= 5. Az ábrá látható összes számok összege 28, és mivel 32-28= 4, ezért ez a válasz. A szita-formulával S ( A F N) = = S A F N + A F + F N + N A A F N = = = 4, vagyis eyi tauló em taulja a három yelv közül egyiket sem. 7. feladat: Az osztályba 38 tauló va. Mideki űzi a következő sportágak valamelyikét: atlétika, röplabda, úszás. 9-e atletizálak, 2-e röplabdázak, 2 tauló úszik; 7 tauló atletizál és röplabdázik, 6 tauló atletizál és úszik, 3 tauló röplabdázik és úszik. Háy tauló űzi midhárom sportot? Megoldás: Legye A B C = x és betről kifele haladva töltjük ki a halmazábrát, majd összegezzük a bee látható kifejezéseket: + x x + 3+ x + 7 x + 3 x + 6 x + x = 38 x=2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Szita-formulával is dolgozhatuk. Legyeek: A={atletizálók}, R={röplabdázók}, U={úszók}. Tehát felírható, hogy: 4

5 A R U = A + R + U A R R U U A + A R U. Beírva a számosságokat kapjuk, hogy: 38 = A R U, vagyis A R U = 2 tauló űzi midhárom sportot. 8. feladat: Egy osztály létszáma 30. Az osztályba három yelvet taulak: agolt, oroszt és fraciát, és mide diák taulja legalább az egyik yelvet. Agolul 4-e, oroszul 5-e, fraciául 25-e taulak. Potosa két yelvet összese 6 diák taul. Háya taulják midhárom yelvet? Megoldás: Legye redre Fr, A, Or a fraciául, agolul, illetve oroszul beszélő taulók halmaza; F, A, O a csak fraciául, csak agolul, csak oroszul beszélő taulók száma. Az x, y, z, t számok jeletése a diagramról leolvasható. A feltételek alapjá: F + A + O + x + y + z +t = 30; x + y + z = 6; F + x + y + t = 25; A + x + z + t = 4; O + y + z + t = 5. Ezért F + A + O = 30 6, F + A + O t = 54, ahoa t = 9. Tehát eyie taulják midhárom yelvet. 9. feladat: Egy 29 fős osztályak három kérdést tettek fel, mideki igeel vagy emmel válaszolhatott. A szereted-e a mateket kérdésre 22 ige, a szereted-e a fagyit kérdésre 8 ige, a szereted a palacsitát kérdésre 8 ige érkezett. Tudva azt, hogy azok közül akik szeretika mateket 7-e em szeretik a fagyit és 8-a em szeretik a palacsitát, valamit 2-e szeretik a fagyit és a palacsitát, de közülük 2 em szereti a mateket. Háya modtak emet midhárom kérdésre? Megoldás: Jelölje: S= az osztály taulói, M= {szeretik a mateket}, F= {szeretik a fagyit}, P= {szeretik a palacsitát}. Tehát S = 29, M = 22, F = 8, P = 8. Vegyük észre, hogy: M F = 22 7 = 5, M P = 22 8 = 4, F P = 2 és F P M = 2 2 = 0. A szita-formula alapjá S ( M F P) S= M F P M + F F P+ P M + M F P ahoa kapjuk, hogy S ( A B C) = 29 ( ) + ( ) 0 = 2 vagyis eyie modtak emet midhárom kérdésre. A feladatot a Ve-diagrammal is megoldhatjuk, ha először a 0-et írjuk be, aztá a 4-0=4, 5-0=5, 2-0=2, majd sorra a 22-(4+0+5)=3, 8-(2+0+5)=, és végül a 8-(4+0+2)=2 értékeket. Ez összese 27, így 29-27=2 a felelet. 0. feladat: A matematika dolgozatba 4 feladatot kellett megoldai. a) Az. feladatot 30, a 2.-at 32, a 3.-at 34, a 4.-et 32 oldotta meg jól. b) Az. és 2.-at 2, az. és a 3.-at 2, az. és a 4.-et 2, a 2. és a 3.-at 5, a 2. és a 4.-et, a 3. és 4.-et 0-e oldották meg helyese. c) Az., 2., 3. feladatokat 6-o, az., 2., 4. feladatokat 5-e, az., 3., 4. feladatokat 3-a, a 2., 3., 4. feladatokat 4-e oldották meg helyese. d) Az összes feladatot 3-a oldották meg hibátlaul. e) Voltak 0-e akikek egyetle feladatot sem sikerült megoldai. Háya írtak dolgozatot matematikából? Megoldás: A szita formulát alkalmazzuk 4 tagra, miszerit 4 4 U i i= i= A = A A A + A A A A A A A = i i j i j k = ( ) ( ) + ( ) 3 = 7. Tehát 7+0=8 tauló írt dolgozatot matematikából. A feladatot 5

6 Ve-Euler diagrammal is megoldhatjuk, ha belülről kifele haladva töltjük ki a halmazábrát, de hamar rájövük, hogy ez sokkal körülméyesebb mit a három kör eseté.. feladat: Egy 24-es létszámú sportosztály taulói égy sportágba szerepelek: kézilabdázak, focizak, jégkorogozak és kosárlabdázak. Mide tauló sportol, de seki sem szerepel kettőél több sportágba. Tudjuk, hogy 9-e em kézilabdázak, -e em focizak, 6-a em jégkorogozak, 2-e pedig em kosárlabdázak. Tudjuk még, hogy 0-e focizak, de em kosarazak, -e pedig kézilabdázak, de ők sem kosarazak. Háya, és milye összetételbe űzek két-két sportágat? Megoldás: A feltevésből azt kapjuk, hogy 24 9 = 5-e kézilabdázak, 24 = 3-a focizak, 24 6 = 8-a jégkorogozak, 24 2 = 2-e pedig kosárlabdázak. Mivel = 48, és ez az összes taulók számáak a 2-szerese, következik, hogy mideki potosa két sportágba vesz részt, mert seki sem szerepel 2-él több sportágba. Az ábrá látható halmazok az egyes sportágakba szereplő taulókat jelölik, a betűk pedig a két-két sportágat űzők számát jeletik, a következőképpe: a kézilabda-foci; b kézilabda-jégkorog; c foci-jégkorog; d kézilabda-kosárlabda; e jégkorog-kosárlabda; f foci-kosárlabda. a + b + d = 5 (), a + c + f = 3 (2), b + c + e = 8 (3), d + e + f = 2 (4), a + c = 0 (5), a + b = (6). Az. és 6. egyelőségből azt kapjuk, hogy d = 4, a 2. és 5. alapjá f = 3, a 4. alapjá e = 5. De 2-e em kosarazak, tehát a + b + c = 2, de a + c = 0 b = 2, a = 9 és c =. 6

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

1.1. Halmazok. 2. Minta - 5. feladat (2 pont) Adott két halmaz:

1.1. Halmazok. 2. Minta - 5. feladat (2 pont) Adott két halmaz: 1.1. Halmazok 2009. május id. - 11. feladat (3 pont) A H halmaz elemei legyenek a KATALINKA szó betűi, a G halmaz elemei pedig a BICEBÓCA szó betűi. Írja fel a H U G halmaz elemeit! 2010. október - 1.

Részletesebben

Halmazműveletek feladatok

Halmazműveletek feladatok Halmazműveletek feladatok Soroljuk fel a {a; b; c} halmaz összes részhalmazát! Határozza meg az A és B halmazokat, ha tudja, hogy A B ={1;2;3;4;5}; A B ={3;5}; A\B={1}; B\A={2;4 A={-1; 0; 1; 2; 5; 7; 8}

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK MEGOLDÁSI KÖZÉP SZINT Halmazok szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

3.Példa. Megoldás 4. Példa: Megoldás

3.Példa. Megoldás 4. Példa: Megoldás Megoldott feladatok 3.Példa. Egy osztályban 30 tanuló van. Ezek háromféle sportkörre járnak: futballozni, kosarazni és úszni. 20 tanuló futballozik, 6 tanuló kosarazik, 0 tanuló úszik, -en futballoznak

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek:

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek: Az araymetszés és a Fiboacci számok mideütt Tuzso Zoltá Araymetszésrl beszélük, amikor egy meyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aráylik a agyobbikhoz, mit

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

HALMAZOK 2. Feladat Év Kész Nem ment. 1) Egy osztály tanulói valamennyien vettek. 2) Egy 10 tagú csoportban mindenki beszéli az

HALMAZOK 2. Feladat Év Kész Nem ment. 1) Egy osztály tanulói valamennyien vettek. 2) Egy 10 tagú csoportban mindenki beszéli az HALMAZOK 2 Feladat Év Kész Nem ment 1) Egy osztály tanulói valamennyien vettek színházjegyet. Kétféle előadásra rendeltek jegyeket: az elsőre 18-at, a másodikra 24-et. 16 tanuló csak a második előadásra

Részletesebben

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK I. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő IX.TÉMAKÖR I.TÉMAKÖR HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK Téma A halmaz fogalma, alapfogalmak, elemek száma, üres halmaz, egyenlő halmazok, ábrázolás Venn-diagrammal

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Csernicskó István Hires Kornélia A kárpátaljai magyarok lokális, regionális és nemzeti identitásáról

Csernicskó István Hires Kornélia A kárpátaljai magyarok lokális, regionális és nemzeti identitásáról 8 Sztakó Péter 00 Eticitás Körösszakálo. Szakdolgozat. DENIA (Debrecei Néprajzi Itézet Adattára) Vermeule, Has Govers, Cora (ed.) 99 The Atropology of Ethicity. Beyod Ethic Groups ad Boudaries. Amsterdam:

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Általáosított mitavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Dr. Földvári Rudolf BME Híradástechikai Elektroika Itézet ÖSSZEFOGLALÁS Az általáosított mitavétel külöböző esteiek bemutatása

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez)

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez) iíiíi á HlftADÁSfCCHNIKAI TUOOHANfOS EGYíSBLIT (APJA KULCSÁR GÁBOR Híradástechikai Ipari Kutató Itézet Algoritmus poligook lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógép adatelőkészítés patter

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

KIMONDHATÓ.?! Magyar Máltai Szeretetszolgálat F o g a d ó P s z i c h o s z o c i á l i s S z o l g á l a t

KIMONDHATÓ.?! Magyar Máltai Szeretetszolgálat F o g a d ó P s z i c h o s z o c i á l i s S z o l g á l a t Az egészséges evelés KIMONDHATÓ.?! Magyar Máltai Szeretetszolgálat F o g a d ó P s z i c h o s z o c i á l i s S z o l g á l a t 8. Előszó Tartalom Mide felőtt volt egyszer gyerek És felő majd az új gyereksereg:

Részletesebben

JUMO. Megjelenítõ a mérési adatok vizualizálásához, tárolásához és kiértékeléséhez. Rövid leírás. Sajátságok. Blokkvázlat

JUMO. Megjelenítõ a mérési adatok vizualizálásához, tárolásához és kiértékeléséhez. Rövid leírás. Sajátságok. Blokkvázlat JUMO Meß- ud Regelgeräte GmbH A-1232 Wie, Pfarrgasse 48 Magyarországi Kereskedelmi Képviselet Telefo: 00-43-1 / 61-061-0 H-1147 Budapest Öv u. 143. Fax: 00-43-1 / 61-061-59 Telefo/fax: 00-36-1 / 467-0835,

Részletesebben

Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó

Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó Előszó A Pézügyi számítások I. a Miskolci Egyetem közgazdász appali, kiegészítő levelező és posztgraduális kurzusai oktatott pézügyi tárgyak feladatgyűjteméyéek az első darabja. Tematikája elsősorba a

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

27.B 27.B. Alapfogalmak, logikai függvények és leírásmódjaik

27.B 27.B. Alapfogalmak, logikai függvények és leírásmódjaik 7.B 7.B 7.B Digitális alapáramkörök Logikai alapfogalmak Mutassa be a logikai függvéyek leírási módjait: a szövegeset, az igazság táblázatosat, a logikai vázlatosat és az algebrai alakkal törtéı leírást!

Részletesebben

Kontra József A pedagógiai kutatások módszertana

Kontra József A pedagógiai kutatások módszertana Kotra József A pedagógiai kutatások módszertaa egyetemi jegyzet A kiadváyt A kompetecia-alapú pedagógusképzés regioális szervezeti, tartalmi és módszertai fejlesztése (TÁMOP - 4.1..-08/1/B-009-0003) című

Részletesebben

Napjainkban többféle álláspont támasztja alá, vagy vonja kétségbe a kvalitatív

Napjainkban többféle álláspont támasztja alá, vagy vonja kétségbe a kvalitatív Iskolakultúra 202/3 Sátha Kálmá Kodoláyi Jáos Főiskola Neveléstudomáyi Taszék Numerikus problémák a kvalitatív megbízhatósági mutatók meghatározásáál A taulmáy a kvalitatív vizsgálatok megbízhatósági problémáiak

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I

AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu

Részletesebben

Δ x Δ px 2. V elektromos. nukleáris. neutron proton

Δ x Δ px 2. V elektromos. nukleáris. neutron proton Nukleáris kölcsöhatás: az atommagba számú proto, és N = számú eutro va, és stabil képződméy Mi tartja össze az atommagot? Heiseberg-féle határozatlasági reláció alapjá egy ukleo becsült kietikus eergiája

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Anyagok a föld mélyérôl

Anyagok a föld mélyérôl Ayagok a föld mélyérôl 2. Földgázból műayag Középpotba az acetilé 2.1. Az acetilé (eti) molekulájába a széatomok között háromszoros kovales kötés va Molekula eve Molekula szerkezete 2.3. Az acetilé l-addíciója

Részletesebben

Módszertani kísérlet az életpálya fogalmának formalizálására Előtanulmány a fiatal biológusok életpályakutatását célzó támogatott projekthez

Módszertani kísérlet az életpálya fogalmának formalizálására Előtanulmány a fiatal biológusok életpályakutatását célzó támogatott projekthez [ξ ] Módszertai kísérlet az életpálya fogalmáak formalizálására Előtaulmáy a fiatal biológusok életpályakutatását célzó támogatott projekthez Soós Sádor ssoos@colbud.hu; 2009/9 http://www.mtakszi.hu/kszi_aktak/

Részletesebben

A rekurzív módszer Erdős Gábor, Nagykanizsa

A rekurzív módszer Erdős Gábor, Nagykanizsa Maga zitű matematikai tehetéggodozá A rekurzív módzer Erdő Gábor, Nagykaiza Gyakra találkozuk olya feladatokkal, amelyekbe agy zámok zerepelek: pot, zámkártya, tb. Az ilye eetekbe kézefekvő ötlet, hogy

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

ÁTTEKINTÉS DÁNIA, NORVÉGIA ÉS SVÉDORSZÁG

ÁTTEKINTÉS DÁNIA, NORVÉGIA ÉS SVÉDORSZÁG csz12 skadi.qxd 2007. 06. 13. 15:05 Page 207 ÁTTEKINTÉS DÁNIA, NORVÉGIA ÉS SVÉDORSZÁG NONPROFIT SZEKTORÁRÓL Csaba László Gyula Tévesek bizoyult az a széles körökbe elterjedt feltevés, hogy a moder jóléti

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ MATEMATIKA ÉRETTSÉGI FELADATOK GYŰJTEMÉNYE

KÖZÉPSZINTŰ MATEMATIKA ÉRETTSÉGI FELADATOK GYŰJTEMÉNYE KÖZÉPSZINTŰ MATEMATIKA ÉRETTSÉGI FELADATOK GYŰJTEMÉNYE KÉSZÍTETTE BRÓSCH ZOLTÁN 2015.08.29. Előszó,,Önmagáért szeretem a matematikát, s szeretem mindmáig, mert nem tűri a képmutatást és a homályt, azt

Részletesebben

1. Halmazok. I. Elméleti összefoglaló. Halmazok. Számhalmazok

1. Halmazok. I. Elméleti összefoglaló. Halmazok. Számhalmazok 1. Halmazok I. Elméleti összefoglaló Halmazok A halmaz és a halmaz eleme matematikai alapfogalmak, amelyeket külön nem definiálunk. A halmazokat általában latin nagybetűvel jelöljük, elemeiket kapcsos

Részletesebben

ü É Í ü ü ü Í ü ű ü ü ü ű ü ű ű ű ü ü ü ű ü Í ü ű ü ü ü Ű Í É É Á Ő Á Ó Á Á Á Á É Á Á Á Á É Á Í Á Á Í Í ű Á É É Á Á Ö Í Á Á Á Á Á É Á Á Ó ű Í ü ü ü ű ű ü ü ű ü Á ü ű ü Í Í Í ü Í Í ű ű ü ü ü ü ű ü ű ü ü

Részletesebben

Í Á Á É ö ö ö ö ö ű ü ö ű ű ű ö ö ö ü ö ü í ü í í í ü í ü Á ü ö ö ü ö ü ö ö ü ö í ö ö ü ö ü í ö ü ű ö ü ö ü í ö í ö ű ű ö ö ú ö ü ö ű ű ű í ö ű í ű ö ű ü ö í ű í í ö í ö ö Ó Í ö ű ű ű ű í í ű ű í í Ü ö

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

CIVIL VERDIKT. ELMÉLETILEGnn. Elõzmények. CIVIL SZEMLE n 2007/1 n n n n n n n19. Márkus Eszter. Az egyesületek nyilvántartásba vétele

CIVIL VERDIKT. ELMÉLETILEGnn. Elõzmények. CIVIL SZEMLE n 2007/1 n n n n n n n19. Márkus Eszter. Az egyesületek nyilvántartásba vétele csz10 elm 2 birosag.qxd 2007. 02. 25. 17:56 Page 19 ELMÉLETILEG CIVIL VERDIKT Az egyesületek yilvátartásba vétele Márkus Eszter Ilye eddig még em volt. A megyei bíróságok, ítélõtáblák és fõügyészségek

Részletesebben

KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK HATÁRTALANUL

KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK HATÁRTALANUL csz10 visszhat.qxd 2007. 02. 25. 18:23 Page 141 KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK HATÁRTALANUL Civil Fórum, az erdélyi civil társadalom lapja Nyitrai Imre Civil szervezetkét létezi, civilek lei még ma sem köyû Kelet-Európába.

Részletesebben

Nemzetközi részvény befektetési lehetõségek Közép- és Kelet-Európa új európai uniós tagállamainak szemszögébõl

Nemzetközi részvény befektetési lehetõségek Közép- és Kelet-Európa új európai uniós tagállamainak szemszögébõl Közgazdasági Szemle, LII. évf., 2005. júius (576 598. o.) BUGÁR GYÖNGYI UZSOKI MÁTÉ Nemzetközi részvéy befektetési lehetõségek Közép- és Kelet-Európa új európai uiós tagállamaiak szemszögébõl Taulmáyuk

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Vác Város Önkormányzat 11 /2004. (IV.30.) számú rendelet az önkormányzati beruházások és felújítások rendjéről

Vác Város Önkormányzat 11 /2004. (IV.30.) számú rendelet az önkormányzati beruházások és felújítások rendjéről Vác Város Ökormáyzat 11 /2004. (IV.30.) számú redelet az ökormáyzati beruházások és felújítások redjéről Vác Város Képviselőtestülete az ökormáyzati beruházások és felújítások egységes szemléletű gyors

Részletesebben

MŰSZAKI ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI SZEKCIÓ

MŰSZAKI ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI SZEKCIÓ MŰSZAKI ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI SZEKCIÓ 127 128 Műszaki és Természettudomáyi Szekció Kiterjedéssel redelkező autoóm robotok gyülekezése Bolla Kálmá 1, Kovács Tamás 2, Fazekas Gábor 2 1 Iformatika Taszék,

Részletesebben

HÚSZÉVES A MENHELY ALAPÍTVÁNY

HÚSZÉVES A MENHELY ALAPÍTVÁNY csz25_csz12 skadi.qxd 2011.02.21. 13:07 Page 28 HÚSZÉVES A MENHELY ALAPÍTVÁNY Beszélgetés Győri Péterrel, a Mehely alapítváy kuratóriumi elökével Csogor Aa Az első hóapok CSZ: Hogya jött létre a Mehely

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése A közpotos furérhámozás éháy alapösszfüggés 1. ábra: A hámozás jllmző myiségi Az 1. ábra forrása: Dr. Lugosi Armad ( szrk. ) : Faipari szrszámok és gépk kéziköyv Műszaki Köyvkiadó, Budapst, 1987, 57. oldal.

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

Év végi ismétlés 9. - Érettségi feladatok

Év végi ismétlés 9. - Érettségi feladatok Halmazok, logika Év végi ismétlés 9. - Érettségi feladatok 1. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először

Részletesebben

INTERSTÚDIUM ALAPÍTVÁNY

INTERSTÚDIUM ALAPÍTVÁNY Adószám: 19660011-1-41 Bejegyzı szerv: Fıvárosi Bíróság Nyilvátartási szám: 1261 Közhaszú szervezet yilvátartásba vételi száma: 14.Pk65.072/12. Közhaszú tevékeységéek cél szeriti tevékeysége: evelés és

Részletesebben

VALÓS IDEJŰ MULTILATERÁCIÓ WAMLAT PILOTRENDSZER 3 MULTILATERÁCIÓ [4]

VALÓS IDEJŰ MULTILATERÁCIÓ WAMLAT PILOTRENDSZER 3 MULTILATERÁCIÓ [4] Szüllő Ádám Seller Rudolf VALÓS IDEJŰ MULILAERÁCIÓ WAMLA PILORENDSZER 3 A ikkbe bemutatott passzív radarredszer a multilateráiós tehika segítségével képes mide olya légi jármű valós idejű detekiójára és

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Matematika (alsó tagozat)

Matematika (alsó tagozat) Matematika (alsó tagozat) Az értékelés elvei és eszközei A tanév során az értékelés alapja a tanulók állandó megfigyelése. Folyamatos fejlesztő célzatú szóbeli értékelés visszajelzést ad a tanuló számára

Részletesebben

Hódi Éva DOHÁNYZÁS ÉS ALKOHOLFOGYASZTÁS A FIATALKORÚAK KÖRÉBEN*

Hódi Éva DOHÁNYZÁS ÉS ALKOHOLFOGYASZTÁS A FIATALKORÚAK KÖRÉBEN* Origial scietific paper Hódi Éva DOHÁNYZÁS ÉS ALKOHOLFOGYASZTÁS A FIATALKORÚAK KÖRÉBEN* Egy körkérdés alkalmával az amerikai középiskolák mide ötödik diákja bevallotta, hogy hetete egyszer leissza magát,

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

XVIII. évfolyam 12. szám, 2014. december. 195 Ft KÖZÉLETI LAP

XVIII. évfolyam 12. szám, 2014. december. 195 Ft KÖZÉLETI LAP XVIII. évfolyam 12. szám, 2014. december 195 Ft KÖZÉLETI LAP A katolikus temetõ üzemeltetésérõl tárgyaltak Horváth Zsolt polgármester tárgyalt a katolikus temetõ üzemeltetésérõl a tulajdoos katolikus egyházközség

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. Jelenítsük meg Venn-diagrammon az alábbi halmazokat: a) b) c) 2. Milyen halmazokat határoznak meg az alábbi Venn-diagrammok?

Halmazelmélet. 1. Jelenítsük meg Venn-diagrammon az alábbi halmazokat: a) b) c) 2. Milyen halmazokat határoznak meg az alábbi Venn-diagrammok? Halmazelmélet Alapfogalmak Unió: ; metszet: ; különbség: ; komplementer: (itt U egy univerzum halmaz). Egyenlőség: két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. Ezzel ekvivalens, hogy. Tartalmazás: ; valódi

Részletesebben

ÖNÉRTÉKELŐ TESZT a Bibliográfiai adatfeldolgozás tantárgy ismeretanyagának elsajátításához

ÖNÉRTÉKELŐ TESZT a Bibliográfiai adatfeldolgozás tantárgy ismeretanyagának elsajátításához ÖNÉRTÉKELŐ TESZT a Bibliográfiai adatfeldolgozás tantárgy ismeretanyagának elsajátításához 1 Készült a Bibliográfiai adatfeldolgozás című felsőoktatási tankönyv 1. és 3. kötetének anyagához Összeállította:

Részletesebben

Ki a Köz és mi a haszon és Ki szerint? a Közhasznúság fogalmi és tartalmi deilemmái. a magyar civil crowdsourcing és crowdfunding jó gyakorlatai

Ki a Köz és mi a haszon és Ki szerint? a Közhasznúság fogalmi és tartalmi deilemmái. a magyar civil crowdsourcing és crowdfunding jó gyakorlatai c ivil szemle www.civilszemle.hu X. évfolyam 3. szám ElmélEtilEg Ki a Köz és mi a haszo és Ki szerit? a Közhaszúság fogalmi és tartalmi deilemmái (Sebestéy Istvá) KözösségEK és civil társadalom a magyar

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Reálbérek és kereseti egyenlõtlenségek, 1986 1996

Reálbérek és kereseti egyenlõtlenségek, 1986 1996 62 Kertesi Gábor Köllõ Jáos Közgazdasági Szemle, XLIV. évf., 997. július augusztus (62 634. o.) Kertesi Gábor Köllõ Jáos Reálbérek és kereseti egyelõtleségek, 986 996 A bérszerkezet átalakulása Magyarországo,

Részletesebben

FELNŐTTKÉPZÉSSEL FOGLALKOZÓ EGYHÁZKÖZELI

FELNŐTTKÉPZÉSSEL FOGLALKOZÓ EGYHÁZKÖZELI csz24_csz12 skadi.qxd 2010.10.05. 19:57 Page 21 FELNŐTTKÉPZÉSSEL FOGLALKOZÓ EGYHÁZKÖZELI CIVIL SZERVEZETEK VIZSGÁLATA EGY ERNYŐSZERVEZETRŐL KÉSZÜLT ESETTANULMÁNY ALAPJÁN 1 Gyorgyovich Miklós A felőttképzés

Részletesebben

Instrumente Structurale 2007-2013 FELNŐTTKÉPZÉSI TÉRKÉP

Instrumente Structurale 2007-2013 FELNŐTTKÉPZÉSI TÉRKÉP UNIUNEA EUROPEANĂ GUVERNUL ROMÂNIEI MINISTERUL MUNCII, FAMILIEI ŞI PROTECŢIEI SOCIALE AMPOSDRU Fodul Social Europea POSDRU 2007-2013 Istrumete Structurale 2007-2013 GUVERNUL ROMÂNIEI MINISTERUL MUNCII,

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. MODUL SZÁMELMÉLET Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. Számelmélet Közös osztók, közös többszörösök Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

MATEMATIKA VERSENY --------------------

MATEMATIKA VERSENY -------------------- Eötvös Károly Közös Fenntartású Általános Iskola 2013. és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény 831 Vonyarcvashegy, Fő u. 8/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen,

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

Szerkesztõbizottság/Editorial Board. Szer kesz tõ ség/editors

Szerkesztõbizottság/Editorial Board. Szer kesz tõ ség/editors CIVIL SZEMLE WWW. CIVILSZEMLE.HU VII. ÉVFOLYAM 1. SZÁM Szerkesztõbizottság/Editorial Board Bíró Edre, Belia Aa, Harsáyi László, Kirscher Péter, Kuti Éva, Marschall Miklós, Miszlivetz Ferec, Nagy Ádám,

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők

Részletesebben

A MOMCOLOR színmérők története

A MOMCOLOR színmérők története A MOMCOLOR szímérők törtéete Dr. Lukács Gyula A Magyar Optikai Művek az 960-as évekbe az ország egyik jeletős ipari agyvállalata volt. Az ország 30 legagyobb feldolgozóipari vállalata között létszámba

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

M A T EMATIKA 9. év fo ly am

M A T EMATIKA 9. év fo ly am Fővárosi Pedagógiai és Pályaválasztási Tanácsadó Intézet 1088 Budapest, Vas utca 8-10. Az iskola kódja: Az osztály kódja: A tanuló kódja: A tanuló neme: Kompetenciaalapú mérés 2008/2009. M A T EMATIKA

Részletesebben

1 pont Az eredmény bármilyen formában elfogadható. Pl.: 100 perc b) 640 cl 1 pont

1 pont Az eredmény bármilyen formában elfogadható. Pl.: 100 perc b) 640 cl 1 pont 2012. január 28. 8. évfolyam TMat1 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat1 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

Folyadékkal mûködõ áramlástechnikai gépek

Folyadékkal mûködõ áramlástechnikai gépek 3. ÖRVÉNYSZIVATTYÚK A folyadékkal működő gépeket több szempot szerit lehet csoportokba osztai. Az egyik fő csoportjuk a folyadékba rejlő mukavégző képességet haszálja fel, és alakítja át a folyadék eergiáját,

Részletesebben

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző

Részletesebben

EGY SPECIÁLIS SZEGMENS:

EGY SPECIÁLIS SZEGMENS: csz25_csz12 skadi.qxd 2011.02.21. 13:07 Page 74 EGY SPECIÁLIS SZEGMENS: A VÁLLALKOZÓI SZEKTOR SEGÍTÉSE CIVIL OLDALRÓL Kiyik Margit A magyar oprofit szektor egyik ige sajátos és szűk (szektoro belüli aráyuk

Részletesebben

A természetes számok halmaza (N)

A természetes számok halmaza (N) A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 1. modul Sorban, egymás után

MATEMATIKA C 12. évfolyam 1. modul Sorban, egymás után MATEMATIKA C. évflyam. mdul Srba, egymás utá Készítette: Kvács Kárlyé Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató A mdul célja Időkeret Ajáltt krsztály Mdulkapcslódási ptk Srzat fgalma,

Részletesebben

Pressley Ridge Magyarország Alapítvány Közhasznúsági jelentés 2008

Pressley Ridge Magyarország Alapítvány Közhasznúsági jelentés 2008 Közhaszúsági jeletés 2008 Pressley Ridge Magyarország Alapítváy Pressley Ridge Magyarország Alapítváy Közhaszúsági jeletés 2008 A szervezet megevezése: Pressley Ridge Magyarország Alapítváy A szervezet

Részletesebben