A Cauchy függvényegyenlet és néhány rokon probléma
|
|
- Regina Takácsné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A Cauchy függvéyegyelet és éháy roko probléma Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A függvéyegyeletek egyik alapegyelete a Cauchy függvéyegyelet, amely a következő: Melyek azok az f : R R folytoos függvéyek, amelyek teljesítik az f ()()() + y = f + f y egyeletet, mide, y R eseté? (*) Noha a függvéyegyeletet Cauchy már 82-be megoldotta, és azóta számos megoldása látott apvilágot, mégis haszosak tartjuk, hogy bemutassuk egy kostruktív megoldását, ugyais ez a techika számos más függvéyegyelet megoldásáál alkalmazható. A Cauchy függvéyegyelet megoldása kostruktív módo jól meghatározott lépésekbe törtéi, ezek a következők: ) A (*) egyeletbe legye =y=t, ekkor kapjuk, hogy f(2t)=f(t)+f(t)=2f(t). Ha most az =t és y=2t értékeket adjuk, akkor f(3t)=f(t)+f(2t)=3f(t). Ezek alapjá kialakul az a sejtés, hogy f(t)= f(t) ahol N. Ezt idukcióval bizoyíthatjuk is. Valóba, ha a (*) egyeletbe =t és y=t, akkor f(t+t)=f(t)+f(t)=f(t)+f(t)=(+)f(t). Tehát f(t)=f(t) N és t R. (**) 2) Bizoyítai fogjuk, hogy f()=a mide N eseté. Ha most a (**)-ba t=, és f()=a, akkor f()=a, vagyis f()=a mide N eseté. 3) Bizoyítai fogjuk, hogy f()=a mide Z eseté. Ha a (*) -ba =y=0, akkor f(0)=f(0)+f(0), ezért f(0)=0. Ha pedig =t és y= -t, akkor f(0)=f(t)+f(-t) vagyis 0=f(t)+f(-t), ahoa f(-t)= -f(t). Ha a (**) -ba t helyett t értéket veszük, akkor f(-t)=f(-t)= -f(t) adódik, és a t= értékre kapjuk, hogy f(-)= a(-), vagyis f()=a mide Z eseté. 4) Bizoyítai fogjuk, hogy f()=a mide Q eseté. Ha a (**)-ba t =, akkor f () = f, ahoa f = a. Ha a (**)-ba most t =, akkor f = f = a = a, vagyis f()=a Q. m m m m m 5) Bizoyítai fogjuk, hogy f()=a mide R \ Q eseté. Legye R \ Q és Q úgy, hogy. Mivel Q ezért f () = a. Ezért a határértékre térve felírható, hogy lim() f lim= a, ellebe az f folytoossága miatt ( ) lim() f = lim() f = f, így f()=a adódik mide R eseté. Tehát bizoyítottuk, hogy a (*) függvéyegyeletet csak az f()=a függvéy teljesíti, ahol a= f(). A továbbiakba éháy olya folytoos függvéyegyeletet mutatuk be, amelyek visszavezethetők a (*) alapegyeletre.. Példa: Melyek azok az f : R R folytoos függvéyek, amelyek teljesítik az f ()()() + y = f + f y +b egyeletet, mide, y R eseté, ha b R adott szám? Megoldás: Az egyelet midkét oldalához adjuk hozzá b-t, így ha bevezetjük az f()+b=g() változócserét, akkor a függvéyegyelet alapjá g(+y)=g()+g(y) adódik, amiek a megoldása g()=a, ezért f()+b=a, így f()=a- b és a= f()+b. A következő függvéyegyelet Peider-féle additív függvéyegyelet evet viseli. 2. Példa: Melyek azok az f, g, h : R R folytoos függvéyek, amelyek teljesítik az f ()()() + y = g + h y egyeletet, mide, y R eseté?
2 Megoldás: Legye =y=0, ezért f(0)=g(0)+h(0). Ha most csak =0, akkor f(y)=g(0)+h(y) (), Ha pedig csak y=0, akkor f()=g()+h(0) (2). Összegezve az () és (2) összefüggéseket f()+f(y)= g()+h(y)+g(0)+h(0) adódik, vagyis f()+f(y)=f(+y)+f(0). Észrevehető, hogy az f(0)= -b jelöléssel éppe az előző függvéyegyeletet kaptuk, ezért f()=a b. Így az () alapjá h(y)= ay b g(0) és a (2) alapjá g()= a b h(0). A következő példa a Peider egyelet általáosabb formája, 3 függvéy helyett 4 függvéyre, és a bizoyításból kiderül, hogy tovább általáosítható több tag eseté is. 3. Példa: Melyek azok az, f, g, h : R R folytoos függvéyek, amelyek teljesítik az ()()()() + y + z = f + g y + h z egyeletet, mide, y, z R eseté? Megoldás: Legye =y=z=0, azért (0)(0)(0)(0) = f + g + h. Most legyeek redre csak y=z=0, majd =z=0, majd =y=0. Ekkor redre kapjuk, hogy: ()()(0)(0) = f + g + h ; ()()(0)(0) y = g y + f + h ; ()()(0)(0) z = h z + f + g. (i) Ha most ezeket összegezzük kapjuk, hogy ()()()()()() + y + 2(0)(0)(0) z = f + g + h + f + g + h vagyis [ ] ()()()() + y2(0) + z = + y + z +, ahol ha z=0, akkor ()()()(0) + y = + y így az. Példa alapjá () = a + b ahol b = (0). Ha bevezetjük az f (0) = b, (0) g = b, 2 (0) h = b3 jelöléseket, akkor az (i) egyeletek alapjá kapjuk, hogy f () = a + b, g() = a + b2, h() = a + b3 és b + b 2 + b 3 = b. A következő függvéyegyelet Peider-féle multiplikatív függvéyegyelet evet viseli. 4. Példa: Melyek azok az f, g, h :(0,) R folytoos függvéyek, amelyek teljesítik az f ()()() + y = g h y egyeletet, mide, y R eseté? Megoldás: Logaritmáljuk az egyelet midkét oldalát a természetes alapú logaritmussal. Ekkor l() f l() + y = l() g + h y adódik, ami F()()() + y = G + H y alakú additív típusú Peider egyelet, eek megoldását már láttuk a 2. Példába, amiek alapjá azoal adódik, hogy a megoldások f () c = ab e, () g c = a, e() h c = b e alakúak. Belátható, hogy a multiplikatív Peider egyelet is általáosítható 3-ál több függvéy eseté is. A következő három példa függvéyegyelete külalakra és tartalmilag is agy rokoságot mutatak a Cauchy függvéyegyelettel. 5. Példa: Melyek azok az f :(0,) R folytoos függvéyek, amelyek teljesítik az f ()()() + y = f f y egyeletet, mide, y R eseté? Megoldás: Logaritmáljuk az egyelet midkét oldalát a természetes alapú logaritmussal. Ekkor l() f l() + y = l() f + g y adódik, és ha g()=lf(), akkor g()()() + y = g + g y, a tehát g()=a, ezért f () = e. 6. Példa: Melyek azok az f :(0,) R folytoos függvéyek, amelyek teljesítik az f ()()() y = f + f y egyeletet, mide, y R eseté? y y Megoldás: Az epoeciális függvéy e e = e + tulajdoságára godolva vezessük be a y következő változócserét: g()() = f e. Ekkor g()() + y = f e + és y y y g()()()()()() + g = f e + f e = f e e = f e + vagyis g(+y)= g()+g(y) ezért g()=a vagyis f () e = a és ha most helyett l -et íruk, f()= a l adódik. 7. Példa: Melyek azok az f :(0,)(0,) folytoos függvéyek, amelyek teljesítik az f ()()() y = f f y egyeletet, mide, y R eseté? 2
3 Megoldás: Most a logaritmus függvéy l+ly=ly tulajdoságára godolva, vezessük be a y g() = l() f e változócserét. Ekkor g() + l() y = f e + és y y y y g()() + gl() y = l() f el()() + l() f e = l() f e f e = f e e = f e + ami alapjá g()()() + y = g + g y, tehát g() = a, ezért l() f e a =. = a ahoa f () e = e a és most az e helyett -et írva kapjuk, hogy f () 8. Példa: Melyek azok az f :(0,) R folytoos függvéyek, amelyek teljesítik az f ()()() y = f y + yf egyeletet, mide, y R eseté? Megoldás: Vegyük észre, hogy ha az egyelet midkét oldalát elosztjuk y-al, akkor bevezethető a g() f () = változócsere, és g(y)= g()+g(y) adódik, amiek a megoldása a 6. Példa alapjá g()= a l, tehát f () = a l ahoa f () = al. 9. Példa: Határozzuk meg azokat az f : R R függvéyeket, amelyekre teljesülek a következő feltételek: a) f folytoos az R-e lim() f t t = b) [ ] t c) f ()()()()() + y = f f y f y yf + y + + y mide valós, y értékre, és f()=e +. Megoldás: Köye észrevehető, hogy ha bevezetjük a g()= f() változócserét, akkor g(+y)= g()g(y) ezért az 5. példa alapjá g()= e a ahoa f () a = e +. A b) feltételből k 0 és az f()=e + alapjá k=, tehát f () = e Példa: Határozzuk meg azokat az f : R R folytoos függvéyeket, amelyekre teljesülek a következő feltételek: f () a ) lim = e, ahol a=álladó a a 2) ()()()()()() a y a f + y = + y a f f y mide valós, y értékre. f () a Megoldás: Vezessük be a következő segédfüggvéyt: g() = a. Az ) alapjá ez a e = a folytoos, és a 2) alapjá teljesül a g(+y)=g()g(y) függvéyegyelet, így az 5. példa alapjá a g() = e, és g(a)=, ezért a változócsere alapjá f ()() = a e. A következő függvéyegyelet a Jese-féle függvéyegyelet evet viseli.. Példa: Melyek azok az f : R R folytoos függvéyek, amelyek teljesítik az + y f ()() + f y f = egyeletet, mide, y R eseté? 2 Megoldás: Végezzük ez az helyett az +y helyettesítést, így kapjuk, hogy + 2()() y f + y + f y f ()(0) + f f =. Legye most y=0, ezért f = adódik. Most y f ()(0) + y + f helyettesítsük az -et (+y) -al, ezért f =, és az eredeti 2 függvéyegyelet alapjá kapjuk, hogy f ()(0) + y + f = f ()() + f y és az. Példa alapjá kapjuk, hogy f()=a+b ahol a= f()+ f(0) és b=f(0). 3
4 2. Példa: Melyek azok az f :(0,) R folytoos függvéyek, amelyek teljesítik az + y f = f ()() f y egyeletet, mide, y R eseté? Megoldás: Végezzük ez az helyett az +y helyettesítést, így kapjuk, hogy + 2y f = f ()() + y f y. Legye most y=0, ezért f = f ()(0) f adódik. Most + y helyettesítsük az -et (+y) -al, ezért f = f ()(0) + y f ahoa felírható, hogy 2 + y f = f ()(0)()() + y f = f f y és logaritmálva kapjuk, hogy l()(0) f + yl()() f = f f y vagyis l() f l(0) + y + l() f l() = f + f y ahol bevezetve a g()=lf()-lf(0) változócserét a g(+y)=g()+g(y) adódik, így g()=a ezért f () a a () = e ahoa f () = e, ahol = f (0) és f (0) l f a =. f (0) 3. Példa: Melyek azok az f :(0,)(0,) folytoos függvéyek, amelyek teljesítik az f ()()() f y f + = + y egyeletet, mide, y R +, N eseté? Megoldás: Az = eseté visszakapjuk a Cauchy függvéyegyeletet, amelyek a megoldása f()=a. Legye most 2. Helyettesítsük -et -el és az y-t y -al. Ekkor felírható, hogy f ()()() f y f + = + y. Vezessük be most a g()() = f változócserét. Ekkor kapjuk, hogy g(+y)= g()+g(y), amiek a megoldása g()=a, ezért f () = a ahoa f () = a adódik, ahol a= f(). 4. Példa: Melyek azok az f :( R,) folytoos függvéyek, amelyek teljesítik az f()= -, f(+y)= f() + f(y) f()f(y) függvéyegyeletet, mide valós, y eseté? Megoldás: Vezessük be a g()= l(-f()) változócserét. Számolással azoal adódik, hogy a g(+y)=g()+g(y), ezért g()=a, így f () = e. Az f()= - alapjá a=l2, így f () = Példa: Melyek azok az f :(,) R folytoos függvéyek, amelyek teljesítik az + y f ()() + f y = f mide, y (,) + y eseté? th + th e e Megoldás: Emlékeztetük arra, hogy th( + ) =, ahol th =. + th th e + e Ezért végezzük el az = th és y = th helyettesítéseket. Ekkor az eredeti függvéyegyeletből, az említett számolási képlet alapjá f ()()(()) th + f th = f th + adódik, így ésszerű a g()() = f th változócsere midek alapjá g(+y)=g()+g(y) adódik, amiek a megoldása g()=a, ezért f(th)=a, ahoa f()=a (arcth). Befejezésül megjegyezzük, hogy külöféle változócserékkel, a Cauchy függvéyegyeletből bárki szerkeszthet az előbbire visszavezethető függvéyegyeletet. Szakirodalom [] C. Ioesci-Tiu, Liviu Parsa: Calcul diferetial si itegral petru admitere i facultate, Editura Albatros, 975 4
5 [2] Mihai Oucu Drimbe: 200 de ecuatii fuctioale pe N, Z, Q, Editura Gil,
A figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
RészletesebbenMAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA
1 MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA Tuzso Zoltá Akár a régebbi, akár az alteratív XI. osztályos algebra taköyveket lapozva, akár példatárakba vagy matematikai verseyeke gyakra találkozuk egyél magasabb
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenFüggvények határértéke 69. III. Függvények határértéke
Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenVariációk egy egyenlőtlenség kapcsán
Variációk egy egyelőtleség kapcsá Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely Mit a régebbi, mit az újabb alteratív taköyvekbe valamit számos feladatgyűjteméybe, a matematikai idukció taítása fejezetbe megtalálható
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenII. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
RészletesebbenFüggvényegyenletek 1. feladat megoldása
Függvényegyenletek 1. feladat megoldása Először is vegyük észre, hogy f(x) = x megoldás, hiszen x y = (x y)(x + y). (Triviális megoldás.) Másodszor vegyük észre, hogy f(x) = cx is megoldás, hiszen c(x
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenAlgebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest
Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenKitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
Részletesebben18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenTARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...
TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
Részletesebben90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények
9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenA fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására
A fogótétel alalmazása sorozato határértéée iszámolására Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Mide izoyal ics más olya matematiai tétel amelye olya so megevezése lee, mit az úgyevezett fogótétele, amelye gyaori
RészletesebbenA Venn-Euler- diagram és a logikai szita
A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenFourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)
RészletesebbenA primitív függvény és a határozatlan integrál 7
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11
RészletesebbenMetrikus terek. továbbra is.
Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d
Részletesebben3 1, ( ) sorozat általános tagjának képletét, ha
Gyakolatok és feladatok. Hatáozd eg a kvetkező, ekuzíva ételezett soozatok általáos tagját: a), = = " ³, ; (felvételi feladat,99., Teesvá), b),, =, = " ³ ; (felvételi feladat, 99., Teesvá) c) =, = 4 =
Részletesebbenfogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és
A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,
Részletesebben1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1
. feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000
RészletesebbenTaylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
RészletesebbenA teveszabály és alkalmazásai
A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is
Részletesebben9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában
9. tétel: Elsı- és másodfoú egyelıtlesége, pozitív számo evezetes özepei, és eze felhaszálása szélsıérté-feladato megoldásáa Egyelıtleség: Két relációsjellel összeapcsolt ifejezés vagy függvéy. Az egyelıtleséget
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q
RészletesebbenBSc Analízis I. előadásjegyzet
BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
Részletesebbenf(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x
Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenEgyenl otlens egek Boros Zolt an
Egyelőtleségek Boros Zoltá Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Matematikai Itézet Köszöetyilváítás: A jegyzet a témakör szakirodalmára, eze belül részbe a szerző kutatási eredméyeire
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenIntegrálás sokaságokon
Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenA figurális számokról (II.)
A figurális számokról (II.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A figurális számok jelölése em egységes, ugyais mide yelve más-más féle képpe jelölik, legtöbb esetbe a megevez szó els betjével. A továbbiakba
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorokkal kapcsolatos tételek és ellepéldák Szakdolgozat Készítette: Csala Mátyás Matematika Bsc Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Gémes Margit
RészletesebbenA Sturm-módszer és alkalmazása
A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenÁltalános taggal megadott sorozatok összegzési képletei
Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás
RészletesebbenTuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása
Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta
RészletesebbenA1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014
A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenDr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?
Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége
Részletesebben= +, n + n + n... + n 3 6n = + = n + n (n 1) n(n 1)(2n 1)
MATEMATIKAI INDUKCIÓ Michael Lambrou. Fejezet. Matematikatörtéeti bevezető A filozófiába és az alkalmazott tudomáyokba az idukció fogalma azt jeleti, hogy egyedi esetekből általáos következtetésre jutuk.
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
Részletesebbenhidrodinamikai határátmenet
Véletle közegű kizárási folyamat, hidrodiamikai határátmeet Diplomamuka Írta Horváth Aja Alkalmazott matematikus szak Témavezető: Nagy Katali Egyetemi doces Differeciálegyeletek Taszék Budapesti Műszaki
RészletesebbenVegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π
Matematika Ac gyakorlat Vegyzméröki, Bioméröki, Köryezetméröki szakok, 7/8 ősz 4. feladatsor: Fourier-sorok megoldás. Legye fx = ha x, ], fx = ha x, π]. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja
RészletesebbenAZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I
BARABÁS BÉLA FÜLÖP OTTÍLIA AZ ÉPÍTÉSZEK MATEMATIKÁJA, I Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Godozó Szakmai vezető Lektor Techikai szerkesztő Copyright Barabás Béla, Fülöp Ottília, BME takoyvtar.math.bme.hu
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenTranziens káosz nyitott biliárdasztalokon
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenHanka László. Fejezetek a matematikából
Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet
RészletesebbenHálózati transzformátorok méretezése
KÁLMÁN Telefogyár ISTVÁN Hálózati traszformátorok méretezése ETO 62.34.2.00.2 dolgozat célja olya számítási eljárás megadása, amelyek segítségével gyorsa és a gyakorlat igéyeit kielégítő potossággal lehet
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő
SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p
RészletesebbenFolytonos idejű rendszerek stabilitása
Folytoos idejű redszerek stabilitása Összeállította: dr. Gerzso Miklós egyetemi doces PTE MIK Műszaki Iformatika Taszék 205.2.06. Itelliges redszerek I. PTE MIK Mérök iformatikus BSc szak Stabilitás egyszerűsített
Részletesebben2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is
Részletesebben