festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek:

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek:"

Átírás

1 Az araymetszés és a Fiboacci számok mideütt Tuzso Zoltá Araymetszésrl beszélük, amikor egy meyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aráylik a agyobbikhoz, mit a agyobbik rész az egészhez. a b a a Tehát és legye x a b b, így x x 0 ahoa x. Az egyelet pozitív gyöke, (agy Phi, magyarul fi ). Haszálatos még a aráy is, vagyis 0, és a két számra teljesül, hogy. Tehát a b illetve b a ugyaazt fejezik ki, így ezért emlegetik midkét számot arayszámak. Mi a továbbiakba az araymetszés száma alatt az a számot értjük. Az araymetszés külöböz szerkesztésérl a []-be és a [6]-ba b olvashatuk. Az arayszám végtele láctört formájába, illetve végtele gyök formájába is elállítható, ézzük a következket:,,, és végül illetve...,, és végül... A két összefüggés alapjá a következ rekurziós képleteket állapíthatjuk meg: x, és x x, illetve y, és y y, és láttuk, hogy lim x lim y. Az ötágú csillagot, az araymetszés jellegébl adódóa fotos jelképkét haszálták. A Petagramma szó a görög petagrammo szóból származik, amely öt voal szót jeletett. A petagramma sidk óta fotos szimbólum, amelyek mágikus voásokat tulajdoítottak, a Pitagoreusok is ezt haszálták szimbólumkét. A petagrammába számos araymetszési szakasz, és arayháromszögek is megtalálhatók. (lásd késbb). A 6-ik századba Heirich Agrippa filozófus, egy széttárt karú embert rajzolt a körbe, kezei és lábai széttárva, és a feje meg a két keze éppe egy szabályos ötszög csúcsait alkották. Midez a petagrammal és a bee lev araymetszetekkel kapcsolatos. Az araymetszés egy olya matematikai aráy, amely egyarát megtalálható az építészetbe, a festészetbe, a zeébe, de em csak az emberi alkotásokba, haem a természetbe is. Fellelhet a övéyek részeiek bizoyos aráyaiba, állatok testrészeiek aráyaiba, építészeti remekmvek aráyaiba,

2 festméyeke és em utolsó sorba az emberi test külöböz aráyaiba. A következ képek magukért beszélek:

3 Az araymetszés fogalmával szoros kapcsolatba va az úgyevezett araytéglalap. Ez egy olya téglalap, amelyek az oldalaiak az aráya éppe az araymetszés szám, hisze ab a. Eek a téglalapak érdekes tulajdosága az, a b hogy ha levágjuk a maximális oldalú égyzetet, szité araytéglalap adódik. Ezt megismételve, ismét araytéglalap adódik, és így tovább. Potosa ez a szerkesztési eljárás segít hozzá az úgyevezett arayspirál megszerkesztéséhez. A mellékelt ábrá látható, hogy a levágott legagyobb égyzetbe egy egyed körívet húzhatuk. Ezutá a következ levágott égyzetbe húzuk ismét egy egyedkört, és az eljárást a végteleségig folytathatjuk. Az így kapott arayspirált evezik még Fiboacci-spirálak is, oha a kett em éppe ugyaaz. Az arayspirál egy sajátos logaritmikus spirál, amiek a tágulási faktora az arayszámhoz kötdik. Egyedi módo, egy aray spirál a faktorával szélesedik, vagy kerül távolabb kezdpotjától mide egyedkör utá, amit megtesz. A poláris egyelete rac, ahol a egy tetszleges pozitív álladó, és b c,..... a logaritmikus spirál eseté pedig c e ([], [4]). Ugyacsak az araymetszéshez kapcsolódik az úgyevezett arayháromszög. Ez olya egyel szárú háromszög, amelyek a csúcsáál lev szög 6 -os, az alapo fekv szögei pedig 7 -osak. Az arayháromszög elevezése abból adódik, hogy ha meghúzzuk az egyik alapo fekv szögéek a szögfelezjét, akkor ez, az egyik szárat araymetszési aráyba ossza. És még va egy érdekes tulajdoság, ugyais, a meghúzott szögfelez az eredeti háromszögbl egy olya háromszöget vág le, ami az eredetivel hasoló, tehát az is arayháromszög. Éppe ez teszi lehetvé, az el mitájára, egy újabb spirál szerkesztését, ami egybe logaritmikus spirál. Eek a szerkesztési folyamata a mellékelt ábrá látható. Úgy az arayspirál mit a kapott logaritmikus spirál mideütt jele va a természetbe. Megfigyelték az egyes virágok lapiiak az elredezdésébe, a virágok szirmaiak az elredezdésébe, a apraforgó magjaiak az elhelyezkedésébe, a feytobozoko, brokkoli, kaktuszféléke, meg egyéb övéye is, de jele va az Nautilus csigaházo, a légrvéyekbe, a fraktálokba, a galaxis redszerbe, és még sok sok más helye. Ezekbl éháy képes ízelítt mutatuk:

4 Az araymetszés aráya valamit az araytéglalap jele va olya építészeti remekmvekbe mit a Római Patheo, de számos mvészeti alkotásba mit például a Leoardo da Vici MoaLisa-ja, vagy Csotváry Kosztka Tivadar, Baalbek festméye, az arayspirál pedig a mai moder épületek külsejé és belsejébe, például a csigalépcskbe. 4

5 Az araymetszés fogalmához szorosa kapcsolódik az úgyevezett arayszög is. A megszerkesztése érdekébe itt is az araymetszési a b a eljárásából iduluk ki. Az aráypár alapjá: a b ahoa 60 7,0. A 60 szakirodalom zömébe ezt a szöget evezik arayszögek, lásd például a [7]-be. Ez a szög külöös fotossággal bír a övéyek levélállásáak a taulmáyozásába, amivel a phillotaxis foglalkozik (lásd például az []-be és a [4]-be). A szakemberek megfigyelték, hogy az egyes levelek a törzsö úgy helyezkedek el egy spirál meté, hogy az egymás utái levelek 7, -os szöget zárak be egymással. Ez gyakra érvéyes a virágszirmok elhelyezkedésére is. Az arayszöget illete, egyes források szerit másképpe is értelmezek (lásd például a []-ba) úgyevezett arayszöget. Arayszögek evezik azt a szöget, melyek kosziusza az araymetszés háyadosa, vagyis cos 0, Ez is szorosa kapcsolódik az araymetszéshez, és a szerkesztése például így törtéik: tekitsük két kocetrikus kört, amelyek sugaraiak az aráya legye éppe az araymetszési háyados. Legye Ab egy olya húr a agykörbe, r amelyik a kiskört a C potba ériti. Ekkor cos, ahoa azt kapjuk, hogy R co s 0, és ez akkor teljesül, ha 49'4". Látható, hogy az így értelmezett arayszög icse semmilye kapcsolatba az elbbi módo értelmezett arayszöggel, de a yomait eek is fellelhetjük a természetbe és a mvészetbe is. Az így értelmezett arayszöggel számos egyéb, jelképet hordozó relikviá, emléke találkozuk. Arayszöget zárak be az ismert Krisztus-moogram X jeléek szárai a P bet szárával, és arayszöget fedezhetük fel Szet Istvá királyuk REX ST (Rex Stephaus) betjeleket tartalmazó ligatúrás kézjegyé is Az araymetszéssel kapcsolatosa még értelmezek úgyevezett arayrombuszt is. Ez olya rombusz, amelyek az átlóiak az aráya éppe az araymetszés háyadosa. (lásd [0]). A további roko fogalmak közül külöös helyet foglal el az araygúla. Ez olya égyzet alapú egyees gúla, amelybe az apotéma az alap hosszáak a feléek a -szerese, vagyis a b (lásd például a [9]-ba).

6 Legye az alaplap és az oldallap lapszöge, így cos vagyis éppe az arayszög, ami 49'". Nagyo meglep egyezés, hogy az egyiptomi Gízai Nagy piramis eseté a= 9,; b=,, 9; h= 6,4 és így a, ezért a piramis aray gúla b és az oldallap és az alaplap szöge 0' - ' között va, ami agy potossággal közelíti meg az arayszöget. Az araymetszéshez szorosa kapcsolódak a Fiboacci számok is, ezek elválaszthatatlaok egymástól. Leoardo Pisao (70-0) olasz keresked-matematikus, a századforduló egyike volt azokak, akik a tízes alapú, helyi értékes redszerre épül számírási módot Európába meghoosították. Leoardo, ismertebb evé Fiboacci kora matematikai ismereteit Liber Abaci címe ismert mukájába foglalta össze. E híres mukájába található a következ probléma, amit Fiboacci yulaikét is gyakra emlegetek: Tegyük fel, hogy egy mez él egy újszülött yúl pár, egy hím és egy stéy. A yulak egy hóapos korukra leszek ivarérettek, így a második hóap végé már megszülethetek az els kicsiyek. Tegyük fel, hogy a mi yulaik soha em halak meg és hogy a stéyek midig új párt elleek ( hímet és stéyt) mide hóapba, a második hóaptól kezdve. Fiboacci problémája: háy pár yúl lesz egy éve belül?. Az els hóap végé még csak pár va.. A második hóap végé születik új pár, így most már pár va.. A harmadik hóap végé az eredeti stéyek születik a második pár yula, így már pár lesz. 4. A egyedik hóap végé az eredeti stéyek lesz újabb kicsiye, a második hóapba született stéy most elli az els kicsiyeit, így összese már pár yúl va, és így tovább. Az egyes hóapok végé lev yulpárok számát a következ sorozat tagjai adják:,,,,,,,,4,,9, Ez az úgyevezett Fiboacci-sorozat, ami valószíleg a legismertebb matematikai sorozat. (Sok más iformációt is lásd például a []-ba). 6

7 Észrevehet, hogy a sorozat tagjaira feállak a következ összefüggések: =+, =+, =+, =+, = +, ezért érvéyes a következ rekurziós összefüggés: * f 0 =, f = és f + = f + f - mide N eseté Számos más olya probléma va, amelyek ugyacsak a Fiboacci-sorozathoz vezet. Például, a mellékelt ábrá ha az A potból iduluk, és csak a yilak meté haladhatuk, akkor háyféle képe juthatuk el redre a B, C, D, E, F, G, H és I potokba. Belátható, hogy akkor ismét a Fiboacci-számokat kapjuk, ugyais a B potba csak az A-ból juthatuk, a C potba akár az A-ból, akár a B-bl eljuthatuk, a D potba a B potból egy úto, a C-bl pedig két úto juthatuk el, az E potba a D potból egy úto és a C potból két úto, és így tovább A yulak problémájával és az elbbi problémával is roko a következ probléma is: Tegyük fel, hogy egy fa úgy övekszik, hogy mide ág, a létrejöttét követ évbe csak övekszik, ezutá mide évbe egy új ágat hajt. Háy ága lesz a fáak,,, 4,, 6, év múlva, amit éppe most ültettük. Az ültetéskor egy ága va a fáak, és ez az is igaz, hisze ekkor még em hajt új ágat. A második évbe hajt egy új ágat, ekkor két ága lesz. A harmadik évbe az új ág még em, de a régi ág hajt egy új ágat, így három ága lesz. Mide évbe a legalább kétéves ágak hajtaak új ágat, az egyévesek em. Így az -edik évbe a fáak ayival lesz több ága, mit ameyi az (-)-edik évbe volt, aháy ága kétéves, vagyis aháy ága az (-)-ik évbe volt. Belátható, hogy az egyes évekbe az ágak száma megit a Fiboacci-sorozat tagjai. Az ábrá a hatodok eszted végé az ágak végére egy-egy virágot rajzoltuk. Az elbbiekbe láttuk, hogy a Fiboacci-sorozatot eddig csak rekurziós összefüggéssel adtuk meg. Számos próbálkozás született arra, hogy a Fiboacci számokat képlettel adják meg. Ebbl a célból írjuk fel a rekurziós összefüggés karakterisztikus egyeletét, ami em más, mit 0, ahoa megkapjuk az általáos tag képletét: f mide N eseté Az összefüggés matematikai idukcióval is bizoyíthatjuk. Ez a formula összefüggést teremt az arayszám és a Fiboacci-számok között, ugyais ( ) f A Fiboacci-sorozat egy másik fotos tulajdosága a következ: 0946 ;,;,666..;,6;...,6...; vagyis 676 7

8 f lim ahol, éppe az araymetszés száma. Eek f az aráyak a természetbe való elfordulásáról a következkbe beszélük. Érdekes megfigyeli külöböz övéyekél a közös ágo elhelyezked levelek helyzetét. Ezek a levelek általába em potosa egymás felett vaak, tehát em egy egyees meté helyezkedek el, haem kicsit elcsavarodva, egy szabályos csigavoal meté. A botaikusok úgy találták, hogy létezik egy az egyes övéyfajtákra jellemz + tört, melyek a számlálóját úgy kapjuk, hogy megézzük, egy levél és egy potosa felette elhelyezked másik levél közé a csigavoal háy periódusa esik (háyszor csavarodik körül a száro), evezjét pedig úgy, hogy megszámoljuk, a csigavoal vizsgált részét az eze belül elhelyezked levelek háy részre osztják. Ez, a tört a hársfa és a szilfa eseté, az éger és bükk eseté, a tölgy, sárgabarack és csereszyefa eseté, a jegeye, yár és a körtefa eseté, a fz és madula eseté. Szembeötl, f hogy ezek em más mit az aráy tagjai. Egy másik szép példa a Fiboacci-számok f felbukkaására a feytoboz vagy aaász pikkelyeiek, a apraforgó magjaiak elredezdése, amelyhez hasoló termésszerkezet egy egész csomó övéye megfigyelhet (bogácsok, fészkesek, kelfélék, krózsafélék, kaktuszok, kalászok, stb.). Ezeke a terméseke a magok (vagy pikkelyek) külöböz spirálvoalak meté helyezkedek el, és ha megszámoljuk, hogy egyfajta spirálból háy darab va, akkor Fiboacci-számokat kapuk. Ezt szemlélteti az alábbi ábra, melye egy feytoboz felülézetét látjuk, mellette pedig a szerkezetét meghatározó spirálvoalak összességét. A rajzról leolvasható, hogy a legkisebb görbület spirálisból (szaggatott voal) darab va, a következ legkisebb görbületl (folytoos voal), a következl (folytoos voal) és a legagyobb görbületl (potozott voal). Más tobozfajtáko,,, spirált találhatuk, a apraforgó táyérjá pedig,, 4,, 9 darabot. A természet formavilágába még sok helye rábukkahatuk a Fiboacci-számokra, ellebe a példázattal megálluk itt, és visszatérük a matematika területére.

9 A matematikába az ( ab), ( ab),..., ( a b) biomok kiszámolásáál fotos szerepet tölt be az úgyevezett Pascal-háromszög, ezek tagjai adják a kifejtésbe az együtthatókat. Érdekességkét megjegyezhet, hogy a Fiboacci-számok szoros kapcsolatba vaak a Pascal-hárimszög számaival, ugyais ahogya a mellékelt ábrá látható, a Fiboacci-számok megjeleek a Pascalháromszögbe, éspedig átlósa. És végül ézzük a Fiboacci-számokkal kapcsolatos érdekes geometriai paradoxot. A mellékelt ábrá látható módo feldarboltuk egy égyzetet az ott látható alakzatokra, amelyek méretei között szerepelek a,, Fiboacci számok. Ezekbl az alakzatokból rakjuk ki az ábrá látható ABCD téglalapot, amelyek a méretei szité Fiboacci számok. Számítsuk most ki a két alakzat területét. Látható, hogy a égyzet területe 64 egység, míg a téglalapé 6. Vajo hol a hiba? Ha alaposa szemügyre vesszük a problémát, akkor rájöhetük, hogy a téglalap egyik átlója meté éppe egy egységyi rés található, ami szabad szemmel em érzékelhet, tehát a darabok em illeszkedek egymáshoz potosa. Ezt úgy modjuk, hogy az adott égyzetük em darabolható át a téglalapba, mert a területeik em egyformák (bvebbe lásd például a [6]-ba). Érdemes megjegyezük, hogy ha a,, Fiboacci-számok helyett három egymásutái Fiboacci-számot veszük, vagyis az f, f, f számokat, akkor is érvéyes az elbbiekbe megállapított paradoxo. Ugyacsak a Fiboacci-számokkal kapcsolatos egy másik érdekes paradoxo, a Curry paradoxoak a Marti Garder-féle változata. Az ábrá látható módo daraboljuk fel az,, oldalhosszú derékszög háromszöget a látható módo. Figyeljük meg a Fiboacci számokat, a legkisebb háromszög befogói és, a középsé és, és a kirakott legagyobbé pedig és, az L alakú alakzat hosszúsága illetve szélessége és, tehát mid-mid Fiboacci-számok. Ezutá redezzük át az alakzatokat az ábra szerit. Meglepetésükre most egy kis ézetyi üres részt kapuk. Hova tt el egységyi terület? A paradoxo kulcsa ezúttal is ugyaaz mit az elbbiekbe vagyis, az els háromszög em hézagmetese va összerakva. (lásd például a [7]-be). Befejezésül megjegyezzük, hogy a Fiboacci-sorozatról csak ízelítt adtuk, ugyais a téma jellegébl adódóa, gomba módra szaporodak az idevágó cikkek, dolgozatot, weboldalak, publikációk, köyvek hisze ez a témakör kimeríthetelül sok érdekességet és meglepetést tartalmaz úgy a matematikába mit azo kívül. D A M C B 9

10 Szakirodalom [] Alfred S. Posametier, Igmar Lehma: The Fabulous Fiboacci Numbers Prometheus Books, 007 [] Búzás Ferec: Az araymetszés vizuális világa, 00 [] Dr Ro Kott : Fiboacci Numbers ad the Golde Sectio,00 [4] Falus Róbert: Az araymetszés legedája, Magvet Kiadó, Budapest, 9 [] H.S.M. Coxeter: A geometriák alapjai, Mszaki Köyvkiadó, Budapest, 97, 6-79 old [6] Kobilárcsik György: Az araymetszés taításáak egyik lehetsége a szakközépiskolába, A Matematika Taítása /9, 9- old [7] Mario Livio: The Golde Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astoishig Number, Broadway 00 [] Michael Jardie: New Frotiers i Fiboacci Tradig: Chartig Techiques, Strategies&Simple Applicatios, Marketplace Books, 00 [9] Nikolai N Vorobev: Fiboacci Numbers, Probus Publishig Co. 96 [0] R. A. Dulap: The Golde Ratio ad Fiboacci Numbers, World Scietific Publishig Compay, 99 [] Selyem Edit: Araymetszés matematikaórá, MatLap /009, 9-94 old [] Székely J. Gábor: Araymetszés, Természet Világa 7/9, - old [] Steve Vajda: Fiboacci ad Lucas Numbers, ad the Golde Sectio, Dover Publicatios, 007 [4] Tél Tamás: Miért Fiboacci-számok? (A övéyi szimmetriákról), Természet Világa /9, -60 old [] Török Judit: A Fiboacci-orozat, Taköyvkiadó, Budapest, 94 [6] Tuzso Zoltá: Hogya oldjuk meg aritmetikai feladatokat? Ábel Kiadó, old [7] [] [9] [0] [ ] [] [] [4] [] [6] [7] 0

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

A figurális számokról (II.)

A figurális számokról (II.) A figurális számokról (II.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A figurális számok jelölése em egységes, ugyais mide yelve más-más féle képpe jelölik, legtöbb esetbe a megevez szó els betjével. A továbbiakba

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III.

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III. ombiatorika A kombiatorikába csak redezett halmazokkal foglalkozuk. Azt modjuk, hogy az A ( a, a,..., a ) halmaz egy redezett halmaz, ha az elemek bármely sorredcseréjére új halmazt kapuk (úgy modjuk:

Részletesebben

A figurális számokról (I.)

A figurális számokról (I.) A figurális számokról (I.) Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely A figurális számok felfedezését a pitagoreusoknak tulajdonítják, mert k a számokat kavicsokkal, magokkal szemléltették. Sok esetben így jelképezték

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése

3.1.1. Rugalmas elektronszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése 3.1.1. Rugalmas elektroszórás 45 3.1.1. Rugalmas elektroszórás; Recoil- és Doppler-effektus megfigyelése Aray, ikkel, szilícium és grafit mitákról rugalmasa visszaszórt elektrook eergiaeloszlását mértem

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11.

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11. ARANYMETSZÉS - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka 2014. június 11. Zenta TARTALMI ÁTTEKINTÉS Az aranymetszés fogalma eredete és előfordulása

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

2002. március A Magyar Máltai Szeretetszolgálat Játszótereinek lapja II.évf. 3. szám

2002. március A Magyar Máltai Szeretetszolgálat Játszótereinek lapja II.évf. 3. szám 2002. március A Magyar Máltai Szeretetszolgálat Játszótereiek lapja II.évf. 3. szám Kaledárium árcius - Tavaszelő, Böjtmás hava Ébredj, új tavasz jégtörő, sugaras, gallyat gombosító, rügyet rojtosító,

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Tangramcsodák. Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

Tangramcsodák. Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Tangramcsodák Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely A tangramok si kirakójátékok. A játék célja az, hogy a tangramkövek maradéktalan felhasználásával kirakjunk különböz alakzatokat, illetve megfejteni, hogy

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464

Részletesebben

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1 A települési hősziget-itezitás Kárpátalja alföldi részé Molár József, Kakas Móika, Marguca Viola A települési hőszigetek kifejlődéséek vizsgálata az urbaizáció folyamatáak előrehaladásával párhuzamosa

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők

Részletesebben

Perigal négyzete. oldalhosszúságú négyzetet. A három négyzetet úgy

Perigal négyzete. oldalhosszúságú négyzetet. A három négyzetet úgy Perigal négyzete Tuzson Zoltán tanár, Székelyudvarhely Henry Perigal (101-19) matematikus 17-an egy nagyon szemléletes izonyítást mutatott e a Pitagorasz-tételre. Een két kise négyzetet átdaraol egy nagyoá,

Részletesebben

ÍRÁSBELI VIZSGA május 5. 8:00 II. Idtartam: 135 perc. ÉRETTSÉGI VIZSGA május 5. dátum javító tanár. II. rész 70

ÍRÁSBELI VIZSGA május 5. 8:00 II. Idtartam: 135 perc. ÉRETTSÉGI VIZSGA május 5. dátum javító tanár. II. rész 70 a feladat sorszáma maximális elért összesen II./A rész 13. 1 14. 1 15. 1 II./B rész 17 17 m nem választott feladat ÖSSZESEN 70 maximális elért I. rész 30 II. rész 70 Az írásbeli vizsgarész a 100 dátum

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA KÖZÉPSZINT% II. ÉRETTSÉGI VIZSGA október október 25. 8:00 MINISZTÉRIUM. Idtartam: 135 perc.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA KÖZÉPSZINT% II. ÉRETTSÉGI VIZSGA október október 25. 8:00 MINISZTÉRIUM. Idtartam: 135 perc. a feladat sorszáma elért összesen maximális II./A rész 13. 12 14. 12 15. 12 II./ B rész m nem választott feladat 17 17 ÖSSZESEN 70 maximáli s elért I. rész 30 II. rész 70 MINDÖSSZESEN 100 dátum javító

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben