A figurális számokról (III.)

Átírás

1 A figurális számokról (III.) Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Az el részekben megismerkedhettünk a gnómonszámokkal is, amelyek a következ alakúak voltak: Ezeknek általános alakjuk Gn. Ezután megismerkedtünk a téglalapszámokkal is: Ezeknek az általános alakjuk Tn n( n k), ahol k N adott szám. Az ábrán k=. Ugyancsak az el részekben írtunk a négyzetszámokról is, vagyis olyan számok amelyek figuráslisan négyzettel szemléltethetk: Ezeknek általános alakjuk Nn köbszámok, amelyek általános képlete n. A négyzetszámok térbeli általánosításai pedig a Kn n. Mindazon kívül, hogy a figurális számok jól szemléltetnek bizonyos számokat, a f tulajdonságuk az, hogy számos összefüggés szemléltetésére is alkalmasak. Ebben a dolgozatban azt mutatjuk meg, hogy az ókori Görögök hogyan vontak gyököt, és hogyan oldottak meg másodfokú egyenletet figurális számok segítségével. A négyzetgyök kett (a ), más néven Püthagorasz-állandó, egy pozitív, valós szám, melyet önmagával szorozva -t kapunk. A négyzetgyök kett valószínleg az elsként megismert irracionális szám. A geometriai jelentsége az, hogy ez a hossza az egységnyi oldalú négyzet átlójának, ami levezethet a Pitagorasz-tételbl. Számos módszer van a közelít értékének számolására, melyek a kifejezéseket egész számok arányaként, vagy tizedestörtként közelítik meg. Erre a legegyszerbb algoritmus, amely sok számítógép és számológép alapja, a babiloni módszer a négyzetgyök számolására. Ez a következképp mködik: Elször vegyünk egy tetszleges becslést. A becslés pontossága nem számít, csak azt befolyásolja, hányszor kell megismételni a lépéseket, hogy elérjünk egy bizonyos pontosságú közelítést. Ezután használhatjuk a becslésünket a következ rekurzív számításban:

2 Minél több ismétlés van az algoritmusban (egyre több számolást kell elvégezni, egyre nagyobb n-el), annál jobb becslést kapunk a közelít értékére. Az ókori Görögök, az általuk bevezetett figurális számokkal roppant ötletesen vontak négyzetgyököt is! Nézzük a következ példákat:. feladat: Számítsuk ki a figurálisan a 8,, számok megközelít értékeit! Megoldás: Az ókori Görögök a következképpen jártak el: ) Keressük meg például azt a két egymásutáni n és ( n ) négyzetszámot, amelyek közrefogják a szóbanforgó számot. Esetünkben 8, 8, 5. ) Ábrázoljuk figuratívan az n négyzetszámot, majd bvítsük ki a (n+) gnómonszámmal úgy, hogy megkapjuk az ( n ) négyzetszámot. ) Ezután színezzük sötétre a 8, illetve, illetve pöttyöt, a többit hagyjuk világosan, ahogy az alábbi ábrák mutatják: ) Az eredmény egészrésze az n -bl az n lesz, esetünkben rendre,, illetve, ami éppen annak a legnagyobb négyzetszámnak a mérete amely fekete jelekbl áll. (az ábrákon sorra leválasztottuk a gnómonszámokat, ezek száma is ugyanaz mint az n) 5) Ezután képeztük a törtrészt alkotó közönséges törteket: a nevezjük a gnómonszám pöttyeinek a száma, a n+ és a számláló a gnómon számban szerepl fekete jelek száma, esetünkben rendre 5, 7 illetve 6 9. Ezzel meg is volnánk, és máris megkaptuk a 8,, számok megközelít értékeit, ahogyan az el ábrákon is látható. Els kérdésünk ami felmerülhet: vajon mennyire pontosak ezek a megközelítések? Nézzük csak: 6 7,8 8,79, Mondhatni, hogy valóban jó megközelítéseket kaptunk! Érdemes felfigyeljünk arra, hogy az elbbi Görög-módszerrel tulajdonképpen az m egyenletnek a pozitív gyökét határoztuk meg, ha m N nem négyzetszám. Nézzük ellenben mai szemmel, hogy mi is történt az elbbiekben, az m egyenlet pozitív gyökének a meghatározása során? Láttuk tehát, hogy olyan n N számot kerestünk, amelyre n m( n ). Legyen a m megközelít értéke. Az egész része éppen n. A törtrészének a nevezjébe az ( n) n gnómonszám kerül, a számlálóba pedig ( m n ), vagyis mn n. Az ókori Görögök szerint tehát mn m. Nézzük csak meg, hogy n mennyire is pontos ez a megközelítés. Az elbbiekben láttuk, hogy a megközelít értékek hiánnyal közelítették meg a gyökmennyiséget. Éppen ezért, ha mn k, akkor 6 9

3 k n, ahol k,,...,n k. Becsüljük fel a következ eltérést: m n k k k. Tekintsük most a következ n (n) (n) másodfokú függvényt: f ( k ) ( ) k n (n) k. Látható, hogy a függvénynek (n ) maimuma van, mégpedig a kma értékre, tehát (n) f( k) f, 5. Tehát m, 5, vagyis a megközelítés pontossága nem több, mint,5! És ez meglepnek számíthat, hiszen a Görögök csupán a figurális számokat használták! Elgondolkodtató eredmény, nem de? Az ókori Görögök ellenben nem álltak meg itt. Megpróbálták megkeresni az megyenlet pozitív megoldásának a megközelít értékét is. Ezúttal nem a négyzetszámokat, hanem a téglalapszámokat használták, és az algoritmusuk ugyan azokból a lépésekbl állt.. feladat: Keressük meg figurálisan az gyökének a megközelít értékeit 9 és egyenletek pozitív Megoldás: Az ókori Görögök a következképpen jártak el: mivel az egyenlet baloldala, ezért elkezdték ábrázolni az n nn ( ) alakú téglalapszámokat: ) Keressük meg például azt a két egymásutáni nn ( ) és ( n)( n ) téglalapszámot, amelyek közrefogják a szóbanforgó számot. Esetünkben 9, illetve ) Ábrázoljuk figuratívan az n( n ) téglalapszámot, majd bvítsük ki a ( n)( n) n( n) gnómonszámmal úgy, hogy megkapjuk a ( n)( n ) téglalapszámot. ) Ezután színezzük sötétre a 9, illetve pöttyöt, a többit hagyjuk világosan, ahogy az alábbi ábrák mutatják: 9 6

4 ) Az eredmény egészrésze az nn ( ) -bl az n lesz, esetünkben rendre, illetve, ami éppen annak a legnagyobb nn ( ) típusú téglalapszám a mérete amely fekete jelekbl áll. (az ábrákon sorra leválasztottuk a gnómonszámokat, ezek száma is ugyanaz mint az n) 5) Ezután képeztük a törtrészt alkotó közönséges törteket: a nevezjük a gnómonszám pöttyeinek a száma, a ( n)( n) n( n) és a számláló a gnómon számban szerepl fekete jelek száma, esetünkben rendre 6, illetve. Ezzel meg is volnánk, és máris megkaptuk a 9 és egyenletek pozitív gyökének a megközelít értékeit, ahogyan az elbbi ábrán is láthatók. Els kérdésünk ami felmerülhet: vajon mennyire pontosak ezek a megközelítések? Nézzük csak: 8,75 9 illetve 6 6 meglepen pontosak a megközelítések!,8. Ezúttal is Nézzük ellenben mai szemmel, hogy mi is történt az elbbiekben, az m egyenlet pozitív gyökének a meghatározása során? Láttuk tehát, hogy olyan n N számot kerestünk, amelyre n( n) m( n)( n ). Legyen az m megközelít megoldásának értéke. Az egész része éppen n. A törtrészének a nevezjébe az ( n)( n) n( n) mnn ( ) gnómonszám kerül, a számlálóba pedig ( mnn ( )), vagyis. Az ókori n mnn ( ) Görögök szerint tehát m. Nézzük csak meg, hogy mennyire is pontos ez a n megközelítés. Az elbbiekben láttuk, hogy a megközelít értékek hiánnyal közelítették meg a k gyökmennyiséget. Éppen ezért, ha mn k, akkor, ahol n k,,...,n. Becsüljük fel a következ eltérést: k k ( ) m n n k k k. Tekintsük n n (n) (n) most a következ másodfokú függvényt: f ( k ) ( ) k n (n) k. Látható, hogy a (n ) függvénynek maimuma van, mégpedig a kma értékre, tehát (n ) f( k) f,5. Tehát m, 5, vagyis a megközelítés pontossága ezúttal sem több, mint,5! És ez meglepnek számíthat, hiszen a Görögök csupán a figurális számokat használták! Elgondolkodtató ez az eredmény is, nem de? Az ókori Görögök ellenben nem álltak meg itt. Megpróbálták megkeresni az egyenlet pozitív megoldásának a megközelít értékét is. m

5 . feladat: Keressük meg figurálisan az egyenletek pozitív gyökének a megközelít értékét! Megoldás: Az ókori Görögök a következképpen jártak el: mivel az egyenlet baloldala, ezért elkezdték ábrázolni az n nnn ( ) alakú téglalapszámokat: ) Keressük meg például azt a két egymásutáni nn ( ) és ( n)( n ) téglalapszámot, amelyek közrefogják a szóbanforgó számot. Esetünkben 5 6. ) Ábrázoljuk figuratívan az n( n ) téglalapszámot, majd bvítsük ki a ( n)( n) n( n) gnómonszámmal úgy, hogy megkapjuk a ( n)( n ) téglalapszámot. ) Ezután színezzük sötétre a pöttyöt, a többit hagyjuk világosan, ahogy az elbbii ábra mutatja. ) Az eredmény egészrésze az nn ( ) -bl az n lesz, esetünkben, ami éppen annak a legnagyobb nn ( ) típusú téglalapszám a mérete amely fekete jelekbl áll. (az ábrákon sorra leválasztottuk a gnómonszámokat, ezek száma is ugyanaz mint az n) 5) Ezután képeztük a törtrészt alkotó közönséges törteket: a nevezjük a gnómonszám pöttyeinek a száma, a ( n)( n) n( n) és a számláló a gnómon számban szerepl fekete jelek száma, esetünkben 7 9. Ezzel meg is volnánk, és máris megkaptuk az egyenletek pozitív gyökének a megközelít értékeit, ahogyan az elbbi ábrán is látható. Els kérdésünk ami felmerülhet: vajon mennyire pontosak ezek a megközelítések? Nézzük csak: 7 7,76. Ezúttal is meglepen pontos a megközelítés! 9 9 Nézzük ellenben mai szemmel, hogy mi is történt az elbbiekben, az m egyenlet pozitív gyökének a meghatározása során? Nézzük ellenben mai szemmel, hogy mi is történt az elbbiekben, az m egyenlet pozitív gyökének a meghatározása során? Láttuk tehát, hogy olyan n N számot kerestünk, amelyre n( n) m( n)( n ). Legyen az m megközelít megoldásának értéke. Az egész része éppen n. A törtrészének a nevezjébe az ( n)( n) n( n) mnn ( ) gnómonszám kerül, a számlálóba pedig ( mnn ( )), vagyis. Az ókori n mnn ( ) Görögök szerint tehát m. Nézzük csak meg, hogy mennyire is pontos ez a n megközelítés. Az elbbiekben láttuk, hogy a megközelít értékek hiánnyal közelítették meg a 5

6 gyökmennyiséget. Éppen ezért, ha mn k, akkor k,,...,n. Becsüljük fel a következ eltérést: k n, ahol k k ( ) m n n k n k k. n n (n) (n) Tekintsük most a következ másodfokú függvényt: f ( k ) ( ) k n (n) k. (n ) Látható, hogy a függvénynek maimuma van, mégpedig a kma (n) értékre, tehát f( k) f, 5. Tehát m, 5, vagyis a megközelítés pontossága ezúttal sem több, mint,5! Könnyen belátható, hogy a Görög módszerrel minden k m egyenlet megoldható, ahol k, m pozitív egész számok.. feladat: Számítsuk ki a figurálisan a szám megközelít értékét! Megoldás: Ez tulajdonképpen az. feladat térbeli megfelelje, most a köbszámokat használjuk, a gnómonszámok helyett a térbeli gnómonszámokat: Ezek képlete ( n ) n nn ( ), és az az m számot keressük, amelyre n m( n ). Az elbbi gondolatmenetet követve feladatban pedig n= és m=, ezért. 9 mn m nn ( ) adódik, a 5. feladat: Keressük meg figurálisan az a megközelít értékét! egyenletek egyetlen pozitív gyökének Megoldás: Ezúttal is az elbbieket követjük, itt ezúttal téglatestszámokról van szó. Most tehát az m egyenlet megoldásáról van szó, n( n ) m( n)( n ), továbbá ( n )( n n ) nn ( ) nn ( ) és m= esetben kapjuk, hogy, ami az megoldásának a megközelít értéke. mnn ( ). Az n= és nn ( ) egyenletnek egyetlen valós 6