= Itt a jobb oldalon föllelhető az először az Egyiptomi Középbirodalomban használt

Átírás

1 2 Átmenet az analitikus számelmélet felé: Lánctörtek 2 Történeti bevezetés Az általános vélekedéssel szemben nem Diofantosz volt az első, aki egész együtthatós határozatlan egyenletek egész megoldásait kereste, hanem az Isz VI VII században élt hindu Aryabhata I és Brahmagupta Ezen egyenletek megoldását lényegében az Euklideszi algoritmusra alapozták, és egy új, egyedi jelölésrendszert is bevezettek, ami a mai lánctört egyik ősének is tekinthető A lánctört egy másik ősének a pisai Leonardo érdekes bizonyos láncolást, folytonosságot sugalló indus eredetű írásmódja tekinthető Az 202-ben elkészült Liber abaci c könyvében szerepel többek közt az jelsorozat, amelynek a maitól eltérő jelentése a 345 következő volt: = Itt a jobb oldalon föllelhető az először az Egyiptomi Középbirodalomban használt ún egységtörtekre bontás is Az olasz matematika professzor Raffaela Bombelli 572-es L Algebra Opera c könyvében szerepel a 2, és a 3 közelítése: 2 = és 3 = Ezen fura írásmóddal a következő két törtet adta meg: 2 = = Vizsgáljuk meg a 2-re adott érték pontosságát Bombelli racionális (közelítése) 4 29, ami nél kevesebbel tér el a helyes (irracionális) értéktől A másik közelítés is hasonló pontosságú Bombellinél még ha föl is merült, hogy az általa adott szám csak közelítés, meg volt győződve arról, hogy véges sok lépéssel folytatva eljárását eljut a korrekt értékhez A korrekt érték mint látni fogjuk egy ilyen alakú tagokból álló sorozat határétéke: 2 = = Bombelli volt Diophantosz Aritmetikájának (az -4 könyvek) első (nem görög vagy iszlám) népszerűsítője Európában, amelyet kortársa a számolómester Tartaglia fordított le 2

2 latinra Abban még = alakú számolás is szerepelt (szintén mai szimbolikát használva) Ez korrekt 22 Véges lánctörtek Definíció Legyenek a 0 Z, a,, a n, b,, b n N Az a 0 + a + b b 2 a n + b n a n kifejezést véges lánctörtnek nevezzük Azt mondjuk, hogy e kifejezés egyszerű lánctört, ha b = = b n =, azaz a 0 + a + a n + alakú A továbbiakban lánctörtön mindig egyszerű lánctörtet fogunk érteni 22 Tétel Bármely racionális szám fölírható véges (egyszerű) lánctörtként Bizonyítás Lényegében ugyanazt az eljárást fogjuk követni, amelyet már a hindu Aryabhata I is ismert Legyen a, b Z, b > 0 Végezzünk euklideszi algoritmust a és b-n a n a = ba 0 + r b = r a + r 2 () r = r 2 a 2 + r 3 r n 2 = r n a n + r n r n = r n a n Tudjuk, hogy r,, r n, a,, a n N, és a 0 Z 3

3 Osszuk el az ()-beli egyenlőségeket rendre b, r,, r n -nel: a b = a 0 + b r b r = a + r r 2 r r 2 = a 2 + r 2 r 3 r n r n = a n, amiből szukcesszív helyettesítésekkel kapjuk, hogy Az eljárás végén az (2) a b = a 0 + a b = a 0 + a + a + r r 2 = a n + lánctörtet kapjuk Megjegyzés Az előbbi tétel megfordítása triviálisan igaz Példa 5 9 lánctört alakja a következő 5 = a n Az imént ismertetett eljárást követve 4 9 = = = = = = = = 2 + 6,

4 amiből helyettesítésekkel kapjuk, hogy (3) 5 9 = Világos, hogy a (2) lánctörtöt az a 0, a,, a n egészek egyértelműen meghatározzák, így egyszerűen (4) a b = a 0, a,, a n -t írhatunk helyette Ezt fölhasználva 5 9 = 2,, 2, 6 Természetes az a kérdés, hogy hányféle lánctört előállítása lehet egy racionális számnak Az előbbi példából ugyanis nyilvánvaló, hogy sőt (2) alapján az általános 2,, 2, 6 = 2,, 2, 5,, a 0, a,, a n = a 0, a,, a n, egyenlőség is nyilvánvaló Ennek elkerülésére megállapodhatunk abban, hogy a második fajta alakoktól tartózkodunk, azaz mindig föltesszük, hogy lánctörtjeinkben az utolsó jegy nagyobb egynél Ez a megállapodás hasonló a tizedestörtek fölírásánál tetthez, mely szerint a tizedestörtjeink nem végződhetnek végtelen sok 9-esre, azaz a tizedesjegyek nem lehetnek véges sok jegytől eltekintve kilencesek Ezen megállapodást elfogadva már egyértelmű a racionális számok lánctört alakja Jelölés Tetszőleges a R-re jelölje [a], ill {a} az a egészrészét, ill törtrészét Azaz [a] = max{x Z x a}, továbbá {a} = a [a] 222 Tétel Ha a 0, a, a k, b 0, a, b l olyan lánctörtek, amelyekben a k, b l >, akkor a 0, a, a k = b 0, a, b l maga után vonja, hogy k = l, és minden 0 i k-ra a i = b i 5

5 Bizonyítás Vezessük be a következő jelöléseket: r 0 = a 0, a,, a k, t 0 = b 0, a, b l, r i = a i, a i+,, a k, t j = b j, b j+,, b l, i k, j l A tétel föltétele szerint r 0 = t 0 Tetszőleges i < k-ra azaz r i = a i + a i+,, a k, r i = a i + r i+ Hasonlóan kapható, hogy bármely j < l-re t i = b i + t i+ Az is világos, hogy egyrészt r i > a i és t j > b j, és speciálisan r k = a k > és t l > b l > Másrészt, a i = [r i ] és = r i [r i ] = {r i }, r i+ továbbá Ezek alapján az b j = [t j ] és t j+ = t j [t j ] = {t j } r 0 = a 0 + r, t 0 = b 0 + t egyenlőségekből mivel a 0 = b 0 az r = t egyenlőség adódik Eljárásunkat folytatva véges sok lépés után a tétel állítását kapjuk 23 Végtelen (egyszerű) lánctörtek Definíció Legyen a 0, a, egész számok olyan sorozata, amelyben legföljebb a 0 nem pozitív Az a 0 + = a 0, a, a 2, a + a 2 + kifejezést végtelen egyszerű lánctörtnek nevezzük Azt mondjuk, hogy e lánctört az α R számot reprezentálja, ha α = lim n a 0, a,, a n 6

6 Megjegyzés A definícióban természetesen föl kell tételeznünk, hogy a határérték létezik Ezt rövidesen be fogjuk bizonyítani, de addig is használni fogjuk az α = a 0, a,, a n, írásmódot, továbbá tetszőleges n N 0 esetén használjuk az α n = a 0, a,, a n jelölést is Ez utóbbit az α lánctört n-edik kezdő szeletének nevezzük Első feladatunk tehát az, hogy a definícióbeli határárték létezését bizonyítsuk Eljárásunkban (és a későbbi alkalmazásokban is) alapvető szerepet fog játszani a következő két sorozat Definíció Tekintsük az a 0 Zés a, a 2, Negészeket, és alkossuk meg belőlük az (p i ) i N0 és (q i ) i N0 sorozatokat p 0 = a 0 q 0 = (5) p = a a 0 + q = a p k = a k p k + p k 2 q k = a k q k + q k 2 23 Lemma Legyenek a 0 Z és a, a 2, Negészek, és alkossuk meg az (5)-ben definiált sorozatokat Ekkor tetszőleges n N 0 -ra α n = a 0, a,, a n = p n q n Bizonyítás n-szerinti teljes indukciót fogunk alkalmazni A lemma állítása n = 0- ra triviális, míg n =, 2-re egyszerű számolással kapható Ezek után tegyük föl, hogy valamely m > 2-re (6) a 0, a,, a m = p m q m = a mp m + p m 2 a m q m + q m 2 Az indukciós föltevés alapján tudjuk, hogy p m, p m 2, q m, q m 2 csak az a 0, a,, a m egészektől függ, így független a m -től Ezért a (6)-ban kihagyva a középső tagot a m helyett a m + a m+ -et írhatunk, és ekkor az ( ) (7) a m + a ( m+ a m + a m+ p m + p m 2 ) = a 0, a,, a m, a m, a m + q m + q m 2 a m+ egyenlőséget kapjuk A jobb oldalon formálisan nem egyszerű lánctört áll, de ezen lánctört nyilván egyenlő az a 0, a,, a m, a m, a m+ egyszerű lánctörttel Ezzel a bizonyítás kész, hiszen az iménti észrevételünk, és egy egyszerű számolás után (7)-ből a bizonyítandó a 0, a,, a m, a m+ = p m+ q m+ 7

7 egyenlőség adódik 232 Lemma Az (5)-ben definiált (p i ), (q i ) és a belőlük nyerhető (α i ) = sorozatokra, (a) p i q i p i q i = ( )i (i ), ( pi q i ) (b) p i 2 q i 2 p i q i = ( )i a i (i 2), (c) α i α i = ( )i q i q i (i ), (d) α i α i 2 = ( )i q i 2 q i (i 2), (e) ln k o(p i, q i ) = (i 0) Bizonyítás Az (a) és a (b) állításokat i-szerinti teljes indukcióval igazoljuk (a) Egyszerű számolással kapjuk, hogy i = -re az állítás igaz Legyen m >, és tegyük föl, hogy állításunk i = m -re igaz p m p m q m q m = p m a m p m + p m 2 q m a m q m + q m 2 = p m a m p m q m a m q m + p m p m 2 q m q m 2 = p m 2 p m q m 2 q m = ( ) m = ( ) m (b) Ugyanúgy igazolható, mint az (a) állítás, csak a kezdő lépés az i = 2 (c) Ha k 2 egész, akkor 8 α k α k = p k p k = p kq k p k q k q k q k q k q k = (p k q k p k q k ) q k q k = ( )k q k q k = ( )k q k q k p k q k p k q k = q k q k

8 (d) Ugyanúgy igazolható, mint a (c) állítás (e) Az (a) állítás alapján nyilvánvaló 233 Lemma Legyen a 0, a, a 2, egészekből álló (végtelen) sorozatot, és tegyük föl, hogy legföljebb a 0 nem pozitív Alkossuk ( ) meg az (5)-ben definiált két sorozatot, pi és tekintsük a belőlük képezhető (α i ) = sorozatot Az (α i ) sorozat páros indexű q i tagjai szigorúan monoton növekvő, míg páratlan indexű tagjai szigorúan monoton csökkenő sorozatot alkotnak Továbbá tetszőleges m, n N 0 -ra α 2m < α 2n+, azaz bármely páros indexű tag kisebb bármelyik páratlan indexű tagnál Bizonyítás Vegyük észre, hogy az (5)-ben definiált (q i ) sorozat minden tagja pozitív, így a 232 Lemma (d) állítása szerint egyrészt bármely k -re másrészt α 2k α 2k 2 = ( )2k q 2k q 2k 2 > 0, α 2k+ α 2k = ( )2k q 2k+ q 2k < 0, amelyek igazolják a lemmában állított monotonitásokat Az előbbiek szerint bármely n, k N-re (8) α 2n < α 2n+2k, és α 2n+2k < α 2k A 232 Lemma (c) állítása szerint pedig (9) α 2n+2k < α 2n+2k (8) és (9) már maga után vonja az α 2n < α 2k egyenlőtlenséget, ami a lemma bizonyítását teljessé teszi 234 Tétel Tekintsük egészek egy olyan a 0, a, a 2, (végtelen) sorozatát, amelyben legföljebb a 0 nem pozitív, és alkossuk meg belőle az (5)-szerinti (p i ), (q i ) sorozatokat Legyen minden n N-re α n = p n Az (α n ) sorozat konvergens q n Bizonyítás A 233 Lemma szerint az (α n ) sorozat páros indexű tagjai szigorúan monoton növekvő, fölülről korlátos, míg páratlan indexű tagjai szigorúan monoton csökkenő, és alulról korlátos sorozatot alkotnak Így mindkét részsorozat konvergens A 232 Lemma (c) és (d) állítása alapján az (0) (α 0, α ), (α 2, α 3 ), (α 4, α 5 ), 9

9 intervallum sorozatra egyrészt () (α 0, α ) (α 2, α 3 ) (α 4, α 5 ), másrészt az előbbi Lemma (c) állítása lévén a (q k ) sorozat pozitív tagú és szigorúan monoton növekvő maga után vonja, hogy (2) lim α ( ) 2k 2k+ α 2k = lim = 0 k k q 2k+ q 2k () és (2) együtt azt jelenti, hogy a (0) intervallum sorozatnak egyetlen közös pontja van, amely nem más, mint lim n α n Előbbi tételünk teszi értelmessé a fejezet elején bevezetett fogalmat, a végtelen egyszerű lánctört fogalmát 235 Tétel Minden végtelen egyszerű lánctört irracionális számot reprezentál Bizonyítás Legyen α = a 0, a, a 2, végtelen egyszerű lánctört, és jelölje α k a k-adik kezdő szeletét Tudjuk, hogy (234 Tétel), hogy bármely n N-re α α n és α n között van, így 0 < α α n < α n α n =, q n q n azaz (3) 0 < α α n < Mivel α n = p n q n kapjuk, hogy azaz fölhasználva a (3) egyenlőtlenségeket q n q n α α n = α p n q n = q n αq n p n, (4) αq n p n < q n adódik (4) azonban egyetlen racionális α-ra sem állhat fönn, ugyanis, ha valamely a, b Z-re α = a b, akkor a b q n p n = b aq n bp n <, q n amiből (5) aq n bp n < b q n 20

10 Az (5) definícióból nyilvánvaló, hogy a (q n ) pozitív tagú sorozat szigorúan monoton nő, így (5) jobb oldala 0-hoz tart, míg a bal oldalon természetes szám áll Ezen ellentmondás igazolja tételünket 236 Tétel A különböző végtelen egyszerű lánctörtek különböző valós számokat reprezentálnak Bizonyítás Tételünk azonnal következik azon egyszerű észrevételből, hogy ha α = a 0, a, a 2, a 3,, akkor ahol a 0 = [α] és β = a, a 2, a 3 α = a 0 + β, 237 Tétel Bármely valós irracionális szám reprezentálható végtelen egyszerű lánctörttel Bizonyítás Olyan eljárást adunk meg, amellyel tetszőleges α R\Q irracionális számhoz megadhatjuk az azt reprezentáló végtelen egyszerű lánctörtet Előbb egy x 0, x, valós számokból álló sorozatot, majd ennek segítségével egy egészekből álló a 0, a, sorozat adunk meg Legyen először x 0 = α, x i =, ha i > 0, x i [x i ] amely nyilván egy végtelen sorozat, ugyanis mindegyik tagja irracionális Ezek után alkossuk meg a következő egészekből álló sorozatot a i = [x i ] minden i N 0 -ra A definíciók alapján egyrészt a 0 = [α], másrészt minden k -re [ ] a k = [x k ] = x k a k amiből Következő lépésként azt mutatjuk meg, hogy ha k, akkor a k N Valóban, (6) x k+ = 0 < x k a k = x k [x k ] <, x k a k > Végül meg kell még mutatni, hogy a kapott a 0, a, a 2, végtelen egyszerű lánctört az α valós számot reprezentálja, azaz α = lim n a 0, a,, a n 2

11 Ezen állításunk a következő lemmából fog következni, amely alapján a tétel bizonyítását befejezhetjük 238 Lemma Legyen a 0, a, a 2, egészek olyan sorozata, amelyben legföljebb a 0 nem pozitív, és alkossuk meg az (5)-ben definiált (p n ), (q n ) sorozatot Tetszőleges x R + valós számra és n 2 indexre a 0 + a + a n + x = a 0, a,, a n, x = xp n + p n 2 xq n + q n 2 Megjegyzés E lemma láthatóan a 23 Lemma általánosítása, csak most a 0, a,, a n, x nem egyszerű lánctört, hanem csak egy arra hasonlító formális kifejezés Mivel tetszőleges k-ra p k, q k számok csak a 0, a,, a k -tól függenek, azért a p i, q i számok i < k esetén a jelen esetben is egészek Bizonyítás n-szerinti teljes indukciót alkalmazunk n = 2 a 0, a, x = a 0 + a + = a 0 + x = a 0(a x + ) + x xa + = xp + p 0 xq + q 0 x a x + = x(a a 0 + ) + a 0 xa + Legyen n > 2 és tegyük föl, hogy állításunk igaz minden 2 k < n-re Mivel a 0, a,, a n, x = a 0, a,, a n, a n + x, az indukciós föltétel alapján ( ) a 0, a,, a n, x = a n + p n + p n 2 x ( a n + ) q n + q n 2 x = p n + x p n q n + x q n = xp n + p n xq n + q n A tétel bizonyításának folytatása 22

12 Írjuk át (6)-ot x k = a k + x k+ (k 0) alakba, és alkalmazzuk az (x n ) sorozat konstrukciójában α = x 0 = a 0 + x = a 0 + a + x 2 = a 0 + a + =, amiből α = a 0, a, a 2,, a n, x n+ a 2 + x 3 adódik tetszőleges n-re Vegyük észre, hogy rögzített n-re az első n+ kezdő szelete az a 0, a, a 2, végtelen lánctörtnek ugyanaz, mint az a 0, a, a 2,, a n, x n+ lánctörté Az előbbi Lemma szerint α = x 0 = a 0, a, a 2,, a n, x n+ = x n+p n + p n x n+ q n + q n, így ha a korábbi jelölésekkel α k = p k q k minden k n, akkor α α n = x n+p n + p n p n x n+ q n + q n q n = ( )(p nq n p n q n ) (x n+ q n + q n )q n ( ) n = (x n+ q n + q n )q n Ezek után a tétel igazolásához már csak egy rutin becslést kell alkalmaznunk, amelyben fölhasználjuk, hogy x n+ > a n+, ami a definícióból világos α α n = (x n+ q n + q n )q n < (a n+ q n + q n )q n =, q n q n+ amiből már következik, hogy lim n α n létezik, továbbá α = lim n α n = lim n a 0, a, a 2,, a n 23

13 239 Következmény Legyen α irracionális szám A korábbi jelölésekkel tetszőleges n N-re α p n < q n Példák Megadjuk α = 23 lánctört előállítása Vegyük észre, hogy 4 < 23 < 5, és alkalmazzuk az 237 Tétel bizonyításához használt eljárást x 0 = 23 = 4 + ( 23 4) a 0 = 4 x = x 0 [x 0 ] = = = + a = 7 x 2 = x [x ] = = = 3 + a 2 = 3 2 x 3 = x 2 [x 2 ] = 2 = 2( ) = = + a 3 = 2 7 x 4 = x 3 [x 3 ] = 7 = 7( ) = = 8 + ( 23 4) a 4 = 8 x 5 = x 4 [x 4 ] = = = + a 5 = 7 Látható, hogy x 5 = x, s ha az eljárást folytatjuk, akkor a továbbiakban x 6 = x 2, x 7 = x 3, x 9 = x 5 = x adódik, ami a lánctört valamiféle periódikusságát jelenti Kaptuk tehát, hogy a 23-at előállító lánctört nem más, mint 23 = 4,, 3,, 8,, 3,, 8, = 4,, 3,, 8, q 2 n ahol a tizedestörteknél szokásos írásmódot használtuk E jelenséggel rövidesen foglalkozni fogunk 2 A π lánctört alakja Ha fölhasználjuk, hogy 24 π = 3, ,

14 akkor az előbbi módon számolva kapjuk, hogy x 0 = π = 3 + (π 3) a 0 = 3 x = x 0 [x 0 ] = 0, 4592 = 7, a = 7 x 2 = x [x ] = 0, = 5, a 2 = 5 x 3 = x 2 [x 2 ] = 0, =, a 3 = x 4 = x 3 [x 3 ] = 0, = 292, a 4 = 292 Ha tovább számolunk ílymódon, akkor a π = 3, 7, 5,, 292, lánctört előállítást kaphatjuk, amit tetszőleges sok nevezőre számíthatunk ki A lánctört nem véges, tehát π irracionális szám 3 Az e lánctört előállítása Fölhasználva, hogy e = 2, , 737-ben Euler megmutatta, hogy e e + = 0, 2, 5, 0, 4, 8,, ahol a nevezők a 0-estől kezdve számtani sorozatot alkotnak Tovább számolva kapta, hogy e 2 e 2 + = 0,, 3, 5, 7, 9,, ahol a nevezők szintén számtani sorozatot alkotnak Végül az előbbi két lánctörtből már megkapta az e előállítását, e = 2,, 2,,, 4,,, 6,,,8,, ahol az egymást követő páros számokat rendre két-két -es választja el Mivel e lánctört végtelen, adódik az e irracionális volta Egy érdekes tény, hogy az e tizedestört alakjában a tizedesvessző utáni 7-es jegy után a kétszer (és nem többször!) előforduló 828 éppen Lev Tolsztoj, a nagy orosz regényíró, születési éve Megjegyzés Az előbbi két példa volt az első lépés Euler azon sejtésének bizonyítása felé, hogy e két nevezetes konstans Euler elnevezésével transzcendens szám, mert a velük való foglalkozás meghaladja az algebrai módszerek erejét 25

15 24 Periódikus lánctörtek Definíció Azt mondjuk, hogy az α = a 0, a, a 2, végtelen egyszerű lánctört periódikus, ha van olyan n Negész, hogy minden elég nagy r egészre a r = a n+r, azaz fölírható a 0, a,, a m, b,, b n, b,, b n, Ez esetben gyakran alkalmazzuk az a 0, a, a 2, = a 0, a,, a m, b,, b n írásmódot Azt is mondjuk, hogy (b,, b n ) az α lánctört egy lehetséges periódusa A legkisebb ilyen n-et az α lántört periódusa hosszának nevezzük Megjegyzés Vegyük észre, hogy 23 lánctört alakja periódikus, míg e, π lánctört alakja nem periódikus Tekintsük a γ = 5, 2, 3, 2, 3, 2, 3, = 5, 2, 3 végtelen egyszerű lánctörtet Ha β-val jelöljük a 2, 3, 2, 3, = 2, 3 lánctörtet, akkor γ (7) γ = 5 + β alakban írható A β lánctörtre fönnáll a β = β egyenlőség, amelyből β-ra a 3β 2 6β 2 = 0 másodfokú egyenlet adódik Ennek pozitív gyöke (hiszen β > 0) Ezt (7)-be helyettesítve kapjuk, hogy β = γ = , 6 amely szintén tekinthető egy alkalmas másodfokú egyenlet egy (pozitív) gyökének Definíció Azt mondjuk, hogy az α R valós szám kvadratikus irracionális, ha α = a + b c d alakban írható, ahol a, b, c, d Z, továbbá d 0 és c > 0 nem négyzetszám 26

16 Megjegyzések (ı) Világos, hogy a kvadratikus irracionálisok épp az egész együtthatós másodfokú polinomok irracionális zéróhelyei Maga az elnevezés is innen ered (ıı) Látható, hogy az előbbi γ, β periódikus lánctörtek kvadratikus irracionálisok Észrevételünk speciális esete a következő tételnek 24 Tétel Bármely periódikus egyszerű lánctört kvadratikus irracionális szám és megfordítva, minden (valós) kvadratikus irracionális szám egyszerű lánctört alakja periódikus Tételünket nem bizonyítjuk Az első állítás igazolásának önálló elvégzését ajánljuk A második rész már munkaigényesebb Az érdeklődők megtalálják például Niven és Zuckermann Bevezetés a számelméletbe c könyvében Emlékezzünk vissza, hogy 23 = 4,, 3,, 8, azaz a periódus közvetlenül az első jegy, a 23 egész része után kezdődőtt, amit úgy is mondhatunk, hogy lánctört alakja tisztán periódikus Megmutatható, hogy bármely d N-re, valahányszor d nem négyzetszám, mindannyiszor d lánctört alakja tisztán periódikus Sőt még ennél is több igaz, a periódus bizonyos szimmetria tulajdonsággal is rendelkezik Nevezetesen, a következő tétel igazolható 242 Tétel Ha d N nem négyzetszám, akkor d = a0, a, a 2, a 3,, a 3, a 2, a, 2a 0, ahol a 0 = [ d] Példák 9 = 4, 2,, 3,, 2, 8 73 = 8,,, 5, 5,,, 6 94 = 9,, 2, 3,,, 5,,8,,5,,,3,2,, 8 Megemlítjük, hogy a száznál kisebb nem négyzetszámok közül a 94 lánctört alakjának a leghosszabb a periódusa, 6 elemű 27