Matematika BSc., matematikus szakirány. Szakdolgozat
|
|
- Borbála Lukácsné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Dolecsek Máté Matematika BSc., matematikus szakirány Lánctörtek Szakdolgozat Témavezető: Gyarmati Katalin és Sárközy András Algebra és Számelmélet Tanszék Budapest, 2013
2 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőimnek, Gyarmati Katalinnak és Sárközy Andráak, a témafelvetésért, a konzultációkért és minden egyéb segítségért, ami hozzájárult a szakdolgozat elkészítéséhez. 1
3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Véges lánctörtek 4 3. Lánctörtek és diofantikus approximációelmélet 8 4. Általánosított lánctörtek Az egyszerű lánctörtek néhány további tulajdonsága A lánctörtek egy alkalmazása, Pell-egyenletek Egy érdekesség és egy numerikus példa 37 Hivatkozások 39 2
4 1. Bevezetés Már nagyon régóta ismeretes, hogy a valós számok közelíthetők lánctörtekkel. Felhasználják a naptárkészítésben, szökőévek kiszámításában, fontos konstansok közelítésére, és számok irracionális voltának bizonyítására. Először Pietro Cataldi ban kiadott könyvében jelentek meg lánctörtek, de szó esik róluk Daniel Schwenter könyvében, a Deliciae Physic-Mathematicae ban (1636) is től John Wallis több művében is foglalkozott velük. Christiaan Huygens nagy nevezőjű törteket és természeti konstansokat közelített velük: így számította ki naprendszermodelljéhez a fogaskerekek áttétét. Leonhard Euler levelezésében először a Riccati-differenciálegyenletekkel kapcsolatban jelentek meg a lánctörtek. Hamarosan azonban már maguk a lánctörtek kezdték érdekelni, és megalapozta a lánctörtek elméletét. Belátta, hogy a valós számok lánctörtbe fejthetők az euklidészi algoritmus általánosításával; hogy a racionális számok lánctörtes alakja véges; hogy a végtelen periodikus lánctörtek másodfokú racionális együtthatós egyenletek megoldásai; és hogy a lánctörtes közelítés valamilyen értelemben a legjobb. 3
5 2. Véges lánctörtek Jelölje a továbbiakban egy α valós szám alsó egész részét α, törtrészét pedig {α}. Tekintsük a következő algoritmust: α R, c 0 = α, α 1 = {α}, ekkor α = c 0 + α 1. Ha α 1 0, akkor legyen c 1 = 1 α 1 és α 2 = { 1 α 1 }, ekkor α = c 0 + α 1 = c c 1 +α 2. Általában, ha a c 0, c 1,..., c n és α 1,..., α n+1 értékeket már meghatároztuk, és α n+1 0, akkor legyen c n+1 = 1 α n+1 és α n+2 = { 1 α n+1 }. Így α = c c 1 + c c n+1 + α n+2 E (sok emeletes) törtet (véges) lánctörtnek nevezzük. Az α valós szám ezen előállítását α = L(c 0, c 1,..., c n, c n+1 + α n+2 )-val jelöljük. Ha α n+2 = 0, akkor az eljárás véget ér Definíció. Egy α valós szám lánctörjegyein az algoritmus által előállított (véges vagy végtelen) c 0, c 1,.. számsorozatot értjük. 4
6 Megjegyzések: I. A definíció alapján nyilvánvaló, hogy a lánctörtjegyek egyértelműen meghatározott egész számok, és c i > 0, ha i 1. II. Ha 0 < α < 1 valós szám, akkor α első lánctörtjegye c 0 = 0. III. Ha 0 < α < 1 és αα 1 = 1, akkor α lánctörtjegyei a másodiktól kezdve megegyeznek α 1 lánctörtjegyeivel Definíció. α = L(c 0, c 1,...) esetén legyen L n (α) = L(c 0, c 1,..., c n ). Az L n (α) számot az α n-edik közelítő törtjének nevezzük Lemma. Legyenek c 0, c 1, c 2,... tetszőleges valós számok, ahol c i > 0, ha i 1 és képezzük a következő rekurziót: Ekkor r 0 = c 0, r 1 = c 1 c 0 + 1, r n = c n r n 1 + r n 2, (1(a)) s 0 = 1, s 1 = c 1, s n = c n s n 1 + s n 2, (1(b)) és továbbá az L(c 0, c 1,..., c n ) = r n (2) r n s n r n 1 s n 1 = ( 1)n 1 s n 1 s n (n 1) (3) r n s n r n 2 s n 2 = ( 1)n c n s n 2 s n (4) összefüggés is fennáll. Ha a c n számok egészek, akkor r n és s n is egész és (r n, s n ) = 1, és n > 0 esetén s n+1 > s n. Bizonyítás: I. (2) egyenlőséget n szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk. Az n = 0, 1, 2 esetekben 5
7 L(c 0 ) = c 0 = c 0 1 = r 0 s 0 L(c 0, c 1 ) = c c 1 = c 1c 0 +1 c 1 = r 1 s 1 L(c 0, c 1, c 2 ) = c 2c 1 c 0 +c 2 +c 0 c 2 c 1 +1 = c 2r 1 +r 0 c 2 s 1 +s 0 = r 2 s 2, tehát (2) teljesül. Tegyük fel, hogy (2) igaz az m 2 esetben is, azaz L(c 0, c 1,..., c m ) = r m sm ahol r m 1, s m 1, r m 2 és s m 2 függ. Ekkor = c mr m 1 +r m 2 c m s m 1 +s m 2, csak a c 0, c 1,..., c m 1 értékektől L(c 0,..., c m 1, c m, c m+1 ) = L(c 0,..., c m 1, c m + 1 c m+1 ) = (c m + 1 c m+1 )r m 1 +r m 2 (c m + 1 c m+1 )s m 1 +s m 2 c m+1 r m +r m 1 c m+1 s m +s m 1 = r m+1 s m+1, = c m+1(c m r m 1+r m 2)+r m 1 c m+1 (c m s m 1 +s m 2 )+s m 1 = tehát (2) az n = m + 1 esetén is teljesül. II. (3) és (4) igazolása: r n s n 1 r n 1 s n = (c n r n 1 + r n 2 )s n 1 r n 1 (c n s n 1 + s n 2 ) = (r n 1 s n 2 r n 2 s n 1 ). Ugyanezt az n 1, n 2,..., 2 értékekre elvégezve kapjuk, hogy r n s n 1 r n 1 s n = ( 1) n 1 (r 1 s 0 r 0 s 1 ) = ( 1) n 1. (5) Osztva s n s n 1 -gyel kapjuk, hogy továbbá r n s n r n 1 s n 1 = ( 1)n 1 s n 1 s n, 6
8 r n s n 2 r n 2 s n = (c n r n 1 + r n 2 )s n 2 r n 2 (c n s n 1 + s n 2 ) = c n (r n 1 s n 2 r n 2 s n 1 ) = ( 1) n c n. Ezt osztva s n 2 s n -nel kapjuk (4)-et. III. Az, hogy r n, s n egész számok a feltételekből következik és ugyanígy a feltételekből következik az is, hogy s n+1 > s n. (r n, s n ) = 1 pedig (5)-ből következik Tétel. Az α valós szám lánctörjegyeinek sorozata akkor és csak akkor véges, ha α racionális. Bizonyítás: Legyen α lánctörjegyeinek sorozata véges, azaz léteznek c i egészek, hogy α = L(c 0, c 1,..., c k ). Ekkor az emeletes törtet lebontva α két egész szám hányadosaként írható, így racionális. Megfordítva, legyen α = a/b, ahol b > 0 és a egész számok. Bebizonyítjuk, hogy a lánctörtjegyeket megadó algoritmus az euklideszi algoritmus lépéseinek felel meg. Ebből következik, hogy a lánctörtjegyeket előállító algoritmus véges sok lépésben véget ér. Az euklideszi algoritmus első lépésében az a számot osztjuk maradékosan b-vel: a = bq 1 + r 1, ahol 0 r 1 < b. Ez a b = q 1 + r 1 b = a b + {a b } alakba írható, tehát c 0 = q 1 és α 1 = r 1 b ( a lánctört-algoritmus jelöléseivel). Ha r 1 0, akkor az euklideszi algoritmus következő lépése b = r 1 q 2 + r 2, ahol 0 r 2 < r 1, 7
9 tehát 1 α 1 = b r 1 = q 2 + r 2 r 1 = b r 1 + { b r 1 }, így c 1 = q 2 és α 2 = r 2 r 1. Ugyanígy adódik, hogy a további lánctört-jegyek is az euklideszi algoritmusban szereplő hányadosok lesznek. 3. Lánctörtek és diofantikus approximációelmélet Legyen a továbbiakban α irracionális. A cél az α szám közelítése racionális számokkal. Megmutatjuk, hogy a lánctörtek segítségével α-t jól közelítő racionális számokat tudunk előállítani, amelyek az α (végtelen) lánctörtalakjának a (véges) szeletei lesznek, azaz azok a (véges) lánctörtek, amelyeket n 0 esetén az α első n+1 darab lánctörtjegyéből képzünk. Ezek nem mások, mint a 2.2. definícióban bevezetett közelítő törtek Tétel. Legyenek az α irracionális szám lánctörtjegyei c 0, c 1,..., és L n (α) = r n, ahol (r n, s n ) = 1 és s n > 0. Ekkor bármely n esetén fennáll és ha n > 0, akkor az α r n < 1 s 2 n, (1) α r n < 1 2s, α r n+1 2 n s n+1 < 1 2s 2 n+1 egyenlőtlenségek közül legalább az egyik teljesül. Bizonyítás: Felhasználjuk az α következő véges lánctörtalakját: α = L(c 0, c 1,...c n, c n+1 + α n+2 ) (ez a 2. fejezetben említett algoritmusból következik). A 2.3. lemmát az α r n különbség 8 (2)
10 becslésére a c 0, c 1,..., c n, c n+1 = c n+1 + α n+2 számokra fogjuk alkalmazni. Ekkor a 2.3. lemmában szereplő rekurzióval az számokhoz jutunk, ahol r 0, r 1,..., r n, r n+1 és az s 0, s 1,..., s n, s n+1 r n+1 = c n+1r n + r n 1 = (c n+1 + α n+2) r n + r n 1 s n+1 = c n+1s n + s n 1 = (c n+1 + α n+2 )s n + s n 1, ha n 1. Ekkor L n (α) definíciója a 2.3. lemma (2) képlete és a bizonyítás elején bevezetett véges lánctörtalak képlete alapján α = r n+1 s n+1 és L n (α) = r n. Így a 2.3. lemma (3) képletének felhasználásával nyerjük, hogy α r n = r n+1 s n+1 r n = ( 1)n. (3) s n s n+1 Mivel s n+1 > s n így (3)-ból azonnal adódik (1). (2) igazolásához az állítással ellentétben tegyük fel, hogy α r n 1 2s 2 n és α r n+1 s n+1 1 2s 2 n+1. (4) (3) szerint az α r n és az α r n+1 s n+1 különbségek ellenkező előjelűek, tehát α az r n és r n+1 s n+1 törtek közé esik. Ezért α r n + α r n+1 s n+1 = r n r n+1 s n+1. (5) (5) bal oldalát (4) szerint becsülve, a jobb oldal helyett pedig a 2.3. lemma (3) képlete alapján 1 s n s n+1 -et írva, 1 2s 2 n + 1 2s 2 n+1 1 s n s n+1, tehát (s n+1 s n ) 2 0. (6) 9
11 De n > 0 esetén s n+1 > s n, ezért (6) nem teljesülhet, tehát ellentmondásra jutottunk. Megjegyezzük, hogy α bármely három egymást követő közelítő törtje közül legalább az egyik - legyen ez r n - kielégíti az egyenlőtlenséget is Tétel. Ha α r n < 1 5s 2 n r s α < 1 2s 2 (7) akkor létezik n pozitív egész szám, hogy L n (α) = r s, tehát r s egy közelítő tört. Ennek a bizonyításához a következő két lemmát használjuk fel: 3.3. Lemma. Ha P, Q, R és S egész számok, hogy Q > S > 0, P S QR = ±1 és α = P ζ+r Qζ+S, ahol ζ > 1, akkor az R S és P Q két egymást követő közelítő törtje annak a lánctörtnek, melynek értéke α. Ha R S = L n 1(α) és P Q = L n(α), akkor ζ = L n+1 (α). Bizonyítás: Legyen Tudjuk, hogy P Q = L(a 0, a 1,..., a n ) = r n. (8) P S QR = ±1. (9) 10
12 Mivel (P, Q) = 1 és Q > 0, és r n és s n ugyanazokat a feltételeket elégíti ki, ezért (8) és (9) miatt P = r n és Q = s n és így r n S s n R = P S QR = ( 1) n 1 = r n s n 1 r n 1 s n, r n (S s n 1 ) = s n (R r n 1 ). (10) Mivel (r n, s n ) = 1, ezért (10) miatt De és így s n (S s n 1 ). (11) s n = Q > S > 0, s n s n 1 > 0 S s n 1 < s n. Ezt (11)-gyel összevetve kapjuk, hogy S s n 1 = 0 kell, hogy teljesüljön. Így viszont és S = s n 1 és R = r n 1 α = r nζ+r n 1 s n ζ+s n 1, ezért α = (a 0, a 1,..., a n, ζ). Ha ζ = (a n+1, a n+2,...), ahol a n+1 = = [ζ] 1, tehát α = (a 0, a 1,...a n, a n+1, a n+2,...). De r n 1 s n 1 (= R S ) és r n s n (= P Q ) a lánctört egymást követő közelítő törtjei, és L(α) n+1 = ζ Lemma. Ha α = L(c 0, c 1,..., c n ), akkor minden n esetén létezik α-nak olyan lánctört előállítás, ahol a lánctörtjegyek száma páratlan (páros). Bizonyítás: Legyen α = L(c 0, c 1,..., c n ). Ha c n 2, akkor 11
13 illetve c n = 1 esetén α = L(c 0, c 1,..., c n ) = L(c 0, c 1,..., c n 1, 1), α = L(c 0, c 1,..., c n 1, 1) = L(c 0, c 1,..., c n 2, c n 1 + 1) mindkettő számolással ellenőrizhető tétel bizonyítása: Ha (7) igaz, akkor ahol r s α = ɛθ s 2, ɛ = ±1 és 0 < θ < 1 2. Legyen r s = L(a 0, a 1,..., a n ). A 3.4. lemma szerint feltehetjük, hogy n páros, vagy páratlan, és ezért feltehetjük azt is, hogy ɛ = ( 1) n 1 teljesül. Ekkor ahol r n és r n 1 s n 1 r s -nek. Így ɛθ s 2 n α = ωr n+r n 1 ωs n +s n 1, az utolsó, illetve utolsó előtti közelítő törtjei = r n x = r ns n 1 r n 1 s n s n (ωs n +s n 1 ) = ( 1)n 1 s n (ωs n +s n 1 ), Ebből ɛ = ( 1) n 1 -nel való osztás után θ = s n ωs n +s n 1 = ω = 1 θ s n 1 s n 12
14 következik. Mivel 0 < θ < 1 2, így a 3.3. lemma alapján r n 1 s n 1 egymást követő közelítő törtjei α-nak. De r n = r s. r n s n és 4. Általánosított lánctörtek Tekintsük a következő törtet: α = a 0 + a 1 + a b 1 b 2 + b n 1 a n 1 + b n a n Röviden így fogjuk ezt írni: a 0 + b 1 a 1 + b 2 a b n an Az előző fejezetekben a b i = 1 és a i > 0 esetet vizsgáltuk és arra mondtunk ki tételeket. Azokat egyszerű lánctörteknek hívják. Most az a i és a b i számok tetszőleges valós számok, persze a i 0 minden i-re Definíció. Legyen c n = a 0 + b 1 a 1 + b 2 a b n an Ezt a lánctört n-edik közelítőtörtjének nevezzük Definíció. Ha létezik c n határértéke, akkor azt mondjuk, hogy az a 0 + b 1 b 2... végtelen lánctört konvergens. a 1 + a 2 + Ha létezik m, hogy b m = 0, akkor n m esetén c n = c m, tehát 13
15 véges a lánctört, így konvergens. Legyen a 0 + b 1 b 2 a 1 + a b n an egy nem negatív végtelen lánctört, tehát a n > 0 és b n 0 valós számok, a 0 -ra semmiféle korlátozást nem teszünk Lemma. r n = a n r n 1 + b n r n 2 és s n = a n s n 1 + b n s n 2, r 1 = 1 r 0 = a 0 s 1 = 0 s 0 = 1 és a 0 + b 1 a 1 + b 2 a b n x = xr n 1+b n r n 2 xs n 1 +b n s n Lemma. Minden n 1 esetén fennállnak a következők: és n 2 esetén: r n s n 1 r n 1 s n = ( 1) n 1 b 1 b 2...b n, (1) r n s n 1 r n 2 s n 2 = ( 1) n b 1 b 2...b n 1, (2) c n c n 1 = ( 1)n 1 b 1 b 2...b n s n 1 s n, (3) c n c n 2 = ( 1)n 1 a n b 1 b 2...b n s n 2 s n. (4) Az előző két lemma a 2.3. lemma általánosítása (ott a b i = 1 eset állt fenn), a bizonyítás ugyanúgy teljes indukcióval elvégezhető Lemma. ɛ = a 0 + b 1 a 1 + b 2 a b n an 0. Ekkor b 1 1 ɛ = 1 a 0 + a 1 + b 2 a b n an 0. Bizonyítás: n-re vonatkozó indukcióval könnyen belátható Tétel. Tegyük fel, hogy b n > 0 minden n-re. Ekkor a közelítő törtek c n sorozatára igaz a következő: c 0 < c 2 <... < c 2n < c 2n 1 <... < c 3 < c 1. 14
16 Tehát a páros indexű közelítő törtek szigorúan monoton nőnek, míg a páratlan indexű közelítő törtek szigorúan monoton csökkenek. Bizonyítás: az 4.4. lemma (4) képletét n helyett 2n-re alkalmazva kapjuk, hogy c 2n c 2n 2 = ( 1)2n 2 a 2n b 1 b 2...b 2n 1 s 2n s 2n 1 = a 2nb 1 b 2...b 2n 1 s 2n s 2n 1 > 0. Ebből következik, hogy c 2n 2 < c 2n minden n 1 esetén, ezért c 0 < c 2 < c 4 <.... A 4.4. lemma (4) képletét n helyett 2n-1-re alkalmazva kapjuk, hogy a páratlan indexű közelítő törtek szigorúan monoton csökkenő sorozatot alkotnak. A 4.4. lemma (3) képletét alkalmazva n helyett 2n-re kapjuk, hogy c 2n c 2n 1 = ( 1)2n 1 b 1 b 2...b 2n s 2n s 2n 1 tehát c 2n < c 2n 1. = b 1b 2...b 2n s 2n s 2n 1 < 0, 4.7. Következmény. Ha létezik lim c 2n és létezik lim c 2n 1, akkor c 0 < c 2 <... <lim c 2n lim c 2n 1 <... < c 3 < c 1. Tehát létezik a lim c n pontosan akkor, ha lim c 2n = lim c 2n 1, ami akkor és csak akkor áll fenn, ha c 2n c 2n 1 = b 1b 2...b 2n s 2n s 2n 1 0, amint n. (5) 4.8. Tétel. Legyenek {a} n=0 és {b} n=0 olyan sorozatok, melyekre a n, b n > 0 teljesül minden n 1-re és n=1 a n a n+1 b n+1 =. 15
17 Ekkor (5) teljesül, tehát az α = a 0 + b 1 a 1 + a 2... lánctört konvergens + és minden páros j-re és minden páratlan k-ra c 0 < c 2 <... < c j <... < α <... < c k <... < c 3 < c 1. Bizonyítás: Mivel b n, s n 2 0, így s n = a n s n 1 + b n s n 2 a n s n 1. Most n helyébe n-1-et írva n 2 esetén kapjuk, hogy s n = a n s n 1 + b n s n 2 a n (a n 1 s n 2 ) + b n s n 2 = b 2 = s n 2 (a n a n 1 + b n ). Újra és újra alkalmazva ezt a formulát kapjuk, hogy minden n 1 esetén s 2n s 2n 2 (a 2n a 2n 1 + b 2n ) s 2n 4 (a 2n 2 a 2n 3 + b 2n 2 )(a 2n a 2n 1 + b 2n )... s 0 (a 2 a 1 + b 2 )(a 4 a 3 + b 4 )...(a 2n a 2n 1 + b 2n ). Hasonló számolás mutatja, hogy minden n 2-re s 2n 1 s 1 (a 3 a 2 + b 3 )(a 5 a 4 + b 5 )...(a 2n 1 a 2n 2 + b 2n 1 ), így minden n 2-re s 2n s 2n 1 s 0 s 1 (a 2 a 1 + b 2 )(a 3 a 2 + b 3 )...(a 2n 1 a 2n 2 + b 2n 1 )(a 2n a 2n 1 + b 2n ). Emeljük ki a b k számokat s 2n s 2n 1 s 0 s 1 b 2...b 2n ( a 2a 1 b 2 + 1)( a 3a 2 b 3 Ebből kapjuk, hogy )...( a 2na 2n 1 b 2n + 1).
18 b 1 b 2...b 2n b 1 1 s 2n s 2n 1 s 0 s 2n 1 1 k=1 (1 + a ka k+1 b k+1 ). (6) Viszont a k=1 (1 + α k) szorzat pontosan akkor konvergens, ha a k=1 α k összeg konvergens, de a k a k+1 k=1 b k+1 = a feltétel szerint, ezért k=1 (1 + a ka k+1 b k+1 ) =, tehát (6) jobb oldala 0-hoz tart, amint n 0. De a 4.7. következmény szerint ekkor létezik c n határértéke, tehát a lánctört konvergens. Végtelen egyszerű lánctört esetén, mivel minden b i = 1, ezért n=1 a n a n+1 b n+1 mert minden a n pozitív. = n=1 a na n+1 = 4.9. Következmény. Végtelen egyszerű lánctört mindig konvergens és ha a határértéke α, akkor a {c n } közelítő törtek eleget tesznek a c 0 < c 2 <... < c 2n <... < α <... < c 2n 1 <... < c 3 < c 1 egyenlőtlenségnek Tétel. (lánctörtek konvergenciájának tétele) Legyen ɛ 0, ɛ 1, ɛ 2,... valós számokból álló sorozat, hogy ɛ n > 0 és minden n 1-re és tegyük fel, hogy ɛ n = a n + b n+1 ɛ n+1, n = 0, 1, 2,... teljesül a valós számokból álló {a} n=0 és {b} n=0 sorozatokra, ahol a n, b n > 0 minden n 1-re és igaz rájuk, hogy a k a k+1 k=1 b k+1 =. Ekkor ɛ 0 = a 0 + b 1 b 2 b 3 a 1 + a 2 + a b 4 a
19 Bizonyítás: A 4.8. tételből tudjuk, hogy az a 0 + b 1 b 2 b 3 a 1 + a 2 + a 3 + b 4 a lánctört konvergens. Legyenek {c k = r k s k } ennek a konvergens lánctörtnek a közelítő törtjei és legyen ɛ > 0. Az 4.7. következményből tudjuk, hogy létezik N, hogy n > N = c n c n 1 = b 1b 2...b n s n s n 1 < ɛ. (7) Rögzített n > N esetén legyen ɛ 0 = a 0 + b 1 b 2 b 3 a 1 + a 2 + a 3 + b 4 a b n 1 a n 1 + Legyenek {c k = r k } az ɛ s 0 közelítő törtjei. Ekkor r k = r k és k s k = s k minden k n 1 esetén és c n = ɛ 0. Így a 4.4. lemma (3) képlete alapján ɛ 0 c n 1 = c n c n 1 b 1b 2...b n s ns n 1 Az 4.3. lemma alapján Így (1) miatt b n ɛn. = b 1b 2...b n s ns n 1. s n = ɛ n s n 1 + b n s n 2 = (a n + b n+1 ɛ n+1 )s n 1 + b n s n 2 > a n s n 1 + b n s n 2 = s n. ɛ 0 c n 1 b 1b 2...b n s ns n 1 = b 1b 2...b n s n s n 1 < ɛ. Mivel ɛ tetszőleges volt, ezért ɛ 0 = lim c n 1 = ɛ Tétel. Legyenek {a} n=0 és {b} n=0 olyan racionális számokból álló sorozatok, hogy a n, b n > 0 minden n 1-re és 0 < b n a n igaz minden elég nagy n-re és k=1 =. Ekkor az ɛ = a 0 + b 1 b 2 b 3 a 1 + a 2 + a a k a k+1 b k+1 b 4 a
20 valós szám irracionális. Bizonyítás: A 4.8. tétel szerint az ɛ-t definiáló lánctört konvergens. Tegyük fel, hogy 0 < b n a n minden n m + 1-re, ahol m > 0. Definiáljuk α-t a következőképpen: α = a m + b m+1 b m+2 a m+1 + a m+2 + b m+3 a m Ez a 4.7. tétel szerint konvergens és α > a m > 0, mert minden i-re a i, b i > 0, ezért α = a m + b m+1 b m+2 b m+3 a... > a m+3 m. Tehát + Az 4.3. lemma szerint ɛ = a 0 + b 1 ɛ = a 0 + b 1 b 2 a 1 + a 2 + a m+1 + a m+2 + b 2 a 1 + a 2 + b 3 b 3 a b m α Az α-ra megoldva az utolsó egyenletet: ɛ = αr m+b m r m 1 αs m +b m s m 1 a b m α. = αr m+b m r m 1 αs m +b m s m 1. α = ɛb ms m 1 b m r m 1 r m ɛs m. Mivel α > a m, ezért ɛ r m sm. Az összes a n és b n racionális a feltétel szerint, ezért ɛ pontosan akkor irracionális, ha α is az. Tehát azt kell belátnunk, hogy α irracionális. Viszont a m racionális, ezért kell, hogy b m+1 b m+2 b m+3 a m+1 + a m+2 + a m+3.. irracionális, ahol + 0 < b n a n minden n m + 1 esetén. Feltehetjük, hogy ez n = 1-től teljesül, tehát ɛ = + b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a , ahol 0 < b n a n minden n-re. Tegyük fel, hogy ɛ racionális. Legyen ɛ n := b n b n+1 an + a n+1... Ekkor minden n = 1, 2, 3,... kapjuk, + hogy ɛ n = b n a n +ɛ n+1 = ɛ n+1 = b n ɛn a n. (8) 19
21 A feltevésünk (0 < b n a n ) szerint ɛ n > 0 minden n-re és ezért ɛ n = b n a n +ɛ n+1 < b n an 1, ezért 0 < ɛ n < 1 minden n-re. Mivel ɛ 0 = ɛ, ami a feltételezésünk szerint racionális, így (8) második egyenlőségét és indukciót alkalmazva látható, hogy ɛ n racionális minden n-re. De 0 < ɛ n < 1 miatt ɛ n = s n tn, ahol 0 < s n < t n minden n-re és t n, s n relatív prímek. Így a (7) második egyenlőségéből Ebből s n+1 t n+1 = ɛ n+1 = b n ɛn a n = b nt n s n s n s n+1 = (b n t n a n s n )t n+1. a n = b nt n a n s n s n. Így t n+1 s n s n+1. A feltevésünk szerint s n+1 és t n+1 relatív prímek, így t n+1 -nek s n -t kell osztania. Tehát t n+1 < s n, azonban a feltevésünk szerint s n < t n, tehát t n+1 < t n. Tehát kaptuk pozitív egész számok szigorúan monoton csökkenő végtelen sorozatát, ami ellentmondás Tétel. Ha α 1, α 2,... nem nulla valós számok és α k α k 1 minden k-ra, akkor minden n N-re teljesül. n k=1 k=1 ( 1) k 1 α k = 1 α 1 + α 2 1 ( 1) k 1 α k = 1 α1 2 α 1 + α 2 α 1 + α 2 α α2 n 1 α n α n 1 (9)... (10) Bizonyítás: Teljes indukcióval bizonyítunk. n = 1-re igaz. Tegyük fel, hogy n-ig igaz és nézzük n + 1-re. n+1 k=1 ( 1) k 1 α k = 1 α 1 1 α ( 1)n 1 α n 20 + ( 1)n α n+1 =
22 = 1 α 1 1 α ( 1) n 1 ( 1 α n 1 α n+1 ) = = 1 α 1 1 α ( 1) n 1 ( α n+1 α n α n α n+1 ) = = 1 α 1 1 α ( 1) n 1 1 αnα n+1. α n+1 αn Ez n tag összege, így alkalmazhatjuk az indukciós feltevést n+1 k=1 Ugyanakkor ( 1) k 1 α k = 1 α1 2 αn 1 α 1 + α 2 α αnα n+1. (11) α n+1 αn α n 1 α n α n+1 α n+1 α n α n 1 = α n(α n+1 α n )+α 2 n α n+1 α n α n 1 = α n α n 1 + α2 n α n+1 α n. Ezt behelyettesítve (11)-be kapjuk, hogy n+1 k=1 ( 1) k 1 α k = 1 α 1 + α 2 1 α 2 α Ez pedig bizonyítja az indukciós lépést. α n α n 1 + αn 1 2 α2 n α n+1 αn Tétel. Legyen α 1, α 2,... olyan valós számok sorozata, melyre α k 0, 1. Ekkor minden n N-re n k=1 ( 1) k 1 α 1...α n = 1 α 1 + α 1 α α n 1 α n 1 (12) ( 1) k 1 k=1 α 1...α n = 1 α 1 + α 1 α α n 1 α n (13) A bizonyítás csak úgy, mint a tételnél teljes indukción alapszik. π lánctörtbe fejtése: ismert, hogy π 4 =
23 A tétel (10) képletét alkalmazva kapjuk, hogy Ezt 4-gyel felszorozva: π 4 = π = Megjegyzés: a π egyszerű lánctörtbe fejtése: L(π) = L(3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2,...) A lánctörtjegyek között semmiféle szabályosság nem ismeretes. Az e lánctört alakja: 1 e = e( 1) = ( 1) n e 1 n=0 n!, ezért e = 1 1 e = ( 1) n+1 n=1 n!. A tétel (13) képletét alkalmazva kapjuk, hogy Az e 1 e e 1 e = kifejezést invertálva és alkalmazva az 5.5. lemmát, majd 1-et kivonva mindkét oldalból a következőt kapjuk 1 e 1 = Ezt újra invertálva és újra alkalmazva a 4.5. lemmát és újra 1-et hozzáadva mindkét oldalhoz kapjuk, hogy e = Megjegyzés: az e egyszerű lánctörtbe fejtése: L(e) = L(2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8,...). Bizonyítható, hogy minden 4 + 3k-adik és minden 5 + 3k-adik (k 0, k N) lánctörtjegy 1. Az e irracionalitása: előbb láttuk, hogy 22
24 e = Itt minden n-re b n a n, tehát teljesülnek a tétel feltételei, ezért e irracionális. 5. Az egyszerű lánctörtek néhány további tulajdonsága 5.1. Definíció. Az α és β valós számokat ekvivalens számoknak nevezzük, ha α = aβ+b cβ+d teljesül, ahol a, b, c, d egész számok, melyekre ad bc = ±1 Megjegyzés: könnyen ellenőrizhető, hogy ez a tulajdonság ekvivalencia reláció Tétel. Két irracionális szám α és β pontosan akkor ekvivalensek, ha lánctörtbe fejtésük α = L(a 0, a 1,..., a m, c 0, c 1,...), β = L(b 0, b 1,..., b n, c 0, c 1,...) alakú, tehát az α lánctörtjegyei az m-edik tag után megegyeznek a β n-edik lánctörjegye utáni lánctörjegyekkel. Bizonyítás: Tegyük fel először, hogy α és β a lánctörtjegyei a feltételben megadott alakúak. Legyen Ekkor γ = L(c 0, c 1, c 2,...). α = L(a 0, a 1,...a m, γ) = r mγ+r m 1 s m γ+s m 1 23
25 és r m s m 1 r m 1 s m = ±1, így α és γ ekvivalensek és ugyanígy bizonyítható, hogy β és γ is ekvivalensek. Mivel ez egy ekvivalencia reláció, így α és β is ekvivalensek. Most tegyük fel, hogy α és β ekvivalensek, tehát α = aβ+b cβ+d és ad bc = ±1. Feltehetjük, hogy cβ +d > 0, mert ha nem így van, akkor írjunk c helyett c-t és d helyett d-t. Nézzük β lánctörtjegyeit: β = L(a 0, a 1,..., a k, a k+1,...) = L(a 0,..., a k 1, a k ) = r k 1a k +r k 2. s k 1 a k +s k 2 Tehát β = r k 1a k +r k 2 s k 1 a k +s k 2 Az α = aβ+b cβ+d egyenlőségbe β helyére helyettesítsük be az előbb kapott értéket, majd kis számolás után a következőt kapjuk ahol α = P a k +R Qa k +S, P = ar k 1 + bs k 1, R = ar k 2 + bs k 2, Q = cr k 1 + ds k 1, S = cr k 2 + ds k 2, ígyp, Q, R, S egész számok és P S QR = (ad bc)(r k 1 s k 2 r k 2 s k 1 ) = ±1. A 3.1. tétel (1) képlete szerint 24
26 r k 1 = βs k 1 + ahol δ < 1 és δ < 1, ezért δ s k 1 és r k 2 = βs k 2 + δ s k 2, Q = (cβ + d)s k 1 + cδ s k 1 és S = (cβ + d)s k 2 + cδ s k 2. cβ + d > 0, s k 1 > s k 2 > 0, és s k végtelenhez tart, ezért Q > S > 0 elég nagy k-ra. Ilyen k-ra ahol α = P ζ+r Qζ+S, P S QR = ±1, Q > S > 0, ζ = a k > 1, így a 3.3. lemma szerint α = L(b 0, b 1,..., b l, ζ) = L(b 0, b 1,..., b l, a k, a k+1,...) valamilyen b 0, b 1,...b l számokra Definíció. Egy α valós szám lánctörtjegyei periodikusak, ha létezik olyan k, M pozitív egész számok, hogy minden n > M esetén c n = c n k. Ekkor a k szám az α lánctörtjegyeinek periodusa. Megjegyzés: ha az α valós szám lánctörtjegyei periodikusak, akkor ezt a következőképpen jelöljük: α = L(c 0, c 1,..., c M k, c M k+1,..., c M ). 25
27 5.4. Definíció. Legyen α = L(c 0, c 1,..., c N ). Ekkor α n = L(c n, c n+1,..., c N ) (0 n N), ha pedig α = L(c 0, c 1, c 2,...) (végtelen lánctört), akkor α n = L(c n, c n+1,...). Ekkor bizonyítható, hogy α = α 0, α = α 1α 0 +1 α 1 és α = r n 1α n+r n 2 s n 1 α n+s n Tétel. Legyen α irracionális szám. Ekkor α lánctörtjegyei pontosan akkor periodikusak, ha α gyöke egy másodfokú egész együtthatós polinomnak. (Az ilyen α számot kvadratikus irracionalitáak nevezzük.) Bizonyítás: Tegyük fel, hogy α lánctörtjegyei periodikusak, tehát alakú. Legyen Ekkor α = L(c 0, c 1,..., c M k, c M k+1,..., c M ) β = L(c M k+1,..., c M ). α = L(c 0, c 1,..., c M k, β) és β = L(c M k+1,..., c M, β). Ezeket az emeletes törteket kifejtve α = a 1β+a 2 a 3 β+a 4 és β = a 5β+a 6 a 7 β+a 8 adódik alkalmas a i egész számokkal. Az első egyenletből β = a 4α a 2 a 1 a 3 α adódik. Ezt behelyettesítve a második egyenletbe és rendezve olyan másodfokú egész együtthatós egyenlethez jutunk, melynek az egyik gyöke α. Tegyük fel, hogy az α irracionális szám gyöke az 26
28 ax 2 + bx + c (1) egész együtthatós másodfokú polinomnak. Ha α = L(c 0, c 1,..., c n,...), akkor α = r n 1α n+r n 2 s n 1 α n+s n 2. Ezt visszahelyettesítve a másodfokú polinomba kapjuk, hogy ahol A n α 2 n + B n α n + C n = 0, A n = ar 2 n 1 + br n 1 s n 1 + cs 2 n 1, B n = 2ar n 1 r n 2 + b(r n 1 s n 2 + r n 2 s n 1 ) + 2cs n 1 s n 2, C n = ar 2 n 2 + br n 2 s n 2 + cs 2 n 2. Ha A n = ar 2 n 1 + br n 1 s n 1 + cs 2 n 1 = 0, akkor az (1) polinomnak gyöke az r n 1 s n 1 racionális szám, de ez nem lehet, mert α irracionális. Így A n 0 és az A n y 2 + B n y + C egyik gyöke α n, továbbá a polinom diszkriminánsa B 2 n 4A n C n = (b 2 4ac)(r n 1 s n 2 r n 2 s n 1 ) 2 = b 2 4ac. (2) A 3.1. tétel (1) képlete alapján ahol δ n 1 < 1. Így r n 1 = αs n 1 + δ n 1 s n 1, 27
29 A n = a(αs n 1 + δ n 1 s n 1 ) 2 + bs n 1 (αs n 1 + δ n 1 s n 1 ) + cs 2 n 1 = (aα 2 + bα + c)s 2 n 1 + 2aαδ n 1 + a δ2 n 1 + bδ s 2 n 1 = 2aαδ n 1 + a δ2 n 1 + bδ n 1 s 2 n 1, n 1 ezért és mivel C n = A n 1, ezért végül pedig (2) miatt A n < 2 aα + a + b C n < 2 aα + a + b, B 2 n 4 A n C n + b 2 4ac < 4(2 aα + a + b ) 2 + b 2 4ac, tehát az A n, B n és C n számok abszolútértéke egy n-től független szám alatt van. Tehát csak véges sok (A n, B n, C n ) számhármas van, így van olyan (A, B, C) hármas, mely legalább háromszor fordul elő. Legyenek ezek (A n1, B n1, C n1 ), (A n2, B n2, C n2 ), illetve (A n3, B n3, C n3 ). Az α n 1, α n 2, α n 3 számok mind gyökei az Ay 2 + By + C = 0 polinomnak, így legalább kettő közülük egyenlő. Legyen ez a kettő, például α n 1, α n 2. Ekkor α n1 = α n2, α n1 +1 = α n2 +1 és így tovább tehát a lánctört periodikus Definíció. Egy periodikus lánctört tisztán periodikus, ha a következő alakú α = (c 0,..., c m 1 ) 5.7. Tétel. Az ɛ kvadratikus irracionalitás tisztán periodikus pontosan akkor, ha ɛ > 1 és 1 < ɛ < 0, 28
30 ahol ɛ azon másodfokú egész együtthatós polinom gyöke, melynek másik gyöke ɛ. ( ɛ-t ɛ konjugáltjának is nevezik.) Bizonyítás: Tegyük fel, hogy ɛ lánctörtalakja tisztán periodikus. ɛ = (c 0,..., c m 1 ). Egy lánctörtben a lánctörtjegyek pozitívak c 0 után és mivel c 0 újra és újra megjelenik, ezért c 0 > 1, így ɛ = c ɛ 1 > 1. Tehát ɛ = L(c 0,..., c m 1, ɛ), így a 4.3. lemma szerint ɛ = ɛr m 1+r m 2 ɛs m 1 +s m 2, ahol r n ɛ közelítő törtje. Mindkét oldalt ɛs m 1 +s m 2 -vel szorozva kapjuk, hogy ɛ 2 s m 1 + ɛs m 2 = ɛr m 1 + r m 2 = f(ɛ) = 0, ahol f(x) = s m 1 x 2 + (s m 2 r m 1 )x r m 2 egy másodfokú polinom. Láttuk, hogy ɛ gyöke ennek a polinomnak. Konjugálva f(x)-t az ɛ helyen a következőt kapjuk: s m 1 ɛ 2 + (s m 2 r m 1 )ɛ r m 2 = 0 = = s m 1 ɛ 2 + (s m 2 r m 1 )ɛ r m 2 = 0. Tehát az f másik gyöke ɛ konjugáltja ɛ. Mivel ɛ > 1, ezért r n > 0, r n < r n+1, és s n < s n+1, így és f( 1) = (s m 1 s m 2 ) + (r m 1 r m 2 ) > 0 f(0) = c = r m 2 < 0. Ezért létezik x, hogy f(x) = 0 és 1 < x < 0, de mivel ɛ a másik gyöke a polinomnak, ezért x = ɛ Tegyük fel, hogy ɛ kvadratikus irracionalitás és ɛ > 1 és 1 < 29
31 ɛ < 0 teljesül. Jelöljük ɛ i-edik lánctörtjegyét c i -vel. Először bebizonyítjuk, hogy ɛ n-re 1 < ɛ n < 0 teljesül minden n esetén. (ɛ n-t az 5.4-nél definiáltuk.) Mivel ɛ 0 = ɛ, ezért n = 0-ra kész, mert ezt tettük fel. Tegyük fel, hogy n-re teljesül, ekkor ɛ n = c n + 1 ɛ n+1 = 1 ɛ n+1 = ɛ n c n < c n 1 = 1 ɛ n+1 < 1. Ebből pedig következik, hogy 1 < ɛ n+1 < 0. Tudjuk, hogy ɛ periodikus (mert kvadratikus irracionalitás), de indirekt tegyük fel, hogy ɛ nem tisztán periodikus. Legyen ɛ = L(c 0, c 1,..., c l 1, c l,..., c l+m 1 ), ahol l 1. Ekkor ɛ l 1 = c l 1 + L(c l,..., c l+m 1 ) c l+m 1 + L(c l,..., c l+m 1 ) = ɛ l+m 1, (3) és ɛ l 1 ɛ l+m 1 = c l 1 c l+m 1 egy egész szám. Konjugálva a következőt kapjuk: ɛ l 1 ɛ l+m 1 = c l 1 c l+m 1 = ɛ l 1 ɛ l 1. Az előbb bizonyítottuk, hogy 1 < ɛ l 1 < 0, és 1 < ɛ l+m 1 < 0, amit így is írhatunk 0 < ɛ l 1 < 1. Ezért 0 1 < ɛ l 1 + ( ɛ l+m 1 ) < = 1 < ɛ l 1 ɛ l+m 1 < 1, de ɛ l 1 ɛ l+m 1 = ɛ l 1 ɛ l+m 1. Viszont ɛ l 1 ɛ l+m 1 egy egész szám és a ( 1, 1) intervallumban a 0 az egyetlen egész szám. Ekkor viszont ɛ l 1 = ɛ l+m 1, de ez ellentmond (3)-nak. is tisztán peri Lemma. Ha ɛ = L(c 0,..., c m 1 ), akkor ɛ 1 odikus és ɛ 1 = L(c m 1,..., c 0 ) Bizonyítás: ɛ = L(c 0,..., c m 1 ) = L(c 0, c 1,..., c m 1, ɛ) Fejezzük ki ɛ-t az ɛ n-kel. Kapjuk, hogy 30
32 ɛ = c 0 + 1, ɛ ɛ 1 = c ,ɛ 1 ɛ 2, m 2 = c m 2 + 1, ɛ ɛ m 1 = c m m 1 ɛ Konjugálva a tagokat és 1 ɛ i-re rendezve őket a következőt kapjuk: 1 ɛ 1 = c 0 ɛ, 1 ɛ 2 = c 1 ɛ 1,..., 1 ɛ m 1 = c m 2 ɛ m 2, 1 ɛ = c m 1 ɛ m 1 1 Legyen α 0 = 1 ɛ, α 1 =, α ɛ 2 = 1,...,α m 1 ɛ m 1 = 1. Ekkor m 2 ɛ 1 az előző kifejezést a következőképpen írhatjuk: α 0 = c m α 1, α 1 = c m α 2,...,α m 2 = c α m 1, α m 1 = c α 0, tehát α 0 = L(c m 1, c m 2,..., c 1, c 0, α 0 ) = L(c m 1,..., c 0 ). Mivel α 0 = 1 ɛ, így a bizonyítás kész Tétel. Legyen d nem négyzet egész szám. Ekkor d = L(c0, c 1, c 2, c 3,..., c 3, c 2, c 1, 2c 0 ) Bizonyítás: Végezzük a legelején ismertetett lánctörtbe fejtő algoritmust d-re. Ekkor kapjuk, hogy d = c ɛ 1, ahol ɛ 1 > 1. Mivel 1 ɛ 1 = c 0 + d, ezért 1 ɛ 1 = ( c 0 d) = c 0 + d > 1, (4) tehát kaptuk, hogy 1 < ɛ 1 < 0. Mivel ɛ 1 > 1 és 1 < ɛ 1 < 0, így 5.7. tétel miatt ɛ 1 tisztán periodikus: ɛ 1 = L(c 1,..., c m ). Ezért d = c0 + 1 ɛ 1 = L(c 0, ɛ) = L(c 0, c 1,..., c m ) Ugyanakkor (4) és az előző lemma miatt 31
33 L(2c 0, c 1, c 2,..., c m, c 1, c 2,..., c m,...) = c 0 + d = 1 ɛ 1 = = L(c m,..., c 1 ). Összehasonlítva a két végét kapjuk, hogy c m = 2c 0, c m 1 = c 1, c m 2 = c 2, c m 3 = c 3 és így tovább, tehát d = L(c0, c 1, c 2,..., c m ) = L(c 0, c 1, c 2, c 3,..., c 3, c 2, c 1, 2c 0 ). 6. A lánctörtek egy alkalmazása, Pell-egyenletek 6.1. Definíció. Az x 2 dy 2 = 1 alakú egyenleteket Pell-egyenleteknek nevezzük. Az (x, y) = (1, 0) megoldást triviális megoldáak nevezzük. Ebben a fejezetben a Pell-egyenlet egy nem triviális megoldását keressük. Legyen α egy kvadratikus irracionalitás (α irracionális és gyöke egy másodfokú egész együtthatós polinomnak). Ekkor α a következő alakban írható α = r + s f Ahol r, s racionális számok és f egy pozitív nem teljes négyzet szám. Legyen r = m n és s = p q. Ekkor α = m n + p f q = mq+np f nq = mq+ fn 2 p 2 nq = mnq2 + fn 4 p 2 q 2 n 2 q 2 Legyen a = mnq 2, b = n 2 q 2 és d = fn 4 p 2 q 2. Ekkor 32
34 ɛ = a+ d b, ahol a, b, d Z, d > 0 nem teljes négyzet és b (d a 2 ) Lemma. Legyen α egy kvadratikus irracionalitás. Ekkor α lánctörtjegyeit a következő algoritmussal állíthatjuk elő: α n = a n+ d b n, c n = α n (1) ahol az a n és b n egész számok és a következő rekurzió definiálja őket: a 0 = a, b 0 = b, a n+1 = c n b n a n, b n+1 = d a2 n+1 b n sőt b n (d a 2 n) Bizonyítás: Először megmutatjuk, hogy a n és b n egész számok és b n 0 és b n (d a 2 n). Teljes indukcióval bizonyítunk, n = 0-ra automatikus. Tegyük fel, hogy igaz n-re. Ekkor a n+1 = c n b n a n egész szám. b n+1 = d a2 n+1 b n = d (c nb n a n ) 2 b n d a 2 n b n + 2c n a n c 2 nb n. = d c2 nb 2 n+2c n a n b n a 2 n b n = Az indukciós feltevés szerint d a2 n b n és 2c n a n c 2 nb n egész számok, így b n+1 is az. Továbbá b n+1 0, mert b n+1 = 0 esetén d a 2 n+1 = 0, tehát d egy teljes négyzet, a feltevésünkkel ellentétben. Mivel b n egész szám és b n+1 = d a2 n+1 b n = b n = d a2 n+1 b n+1, így b n+1 (d a 2 n+1) Most már csak az maradt hátra, hogy a c n -ek tényleg lánctörtjegyek. α n c n = a n+ d b n a n+1+a n b n = d an+1 b n = d a2 n+1 b n ( d+a n+1 ) = b n+1 d+an+1 = 33
35 = 1 α n+1 = α n = c n + 1 α n+1. Ebből pedig következik, hogy c n = α n Megjegyzés: a 6.2. lemma (1) képletéből következik, hogy ha ɛ egy kvadratikus irracionalitás, akkor ɛ n = α n, ahol ɛ n-t 5.4-ben definiáltuk Lemma. Ha r n = L n ( d), akkor minden n = 0, 1, 2,... esetén r 2 n ds 2 n = ( 1) n+1 b n+1 Bizonyítás: d = L(c 0, c 1, c 2,..., c n, α n+1 ) és α n+1 = a n+1+ d b n+1. A 4.3. lemma alapján: d = α n+1 r n +r n 1 α n+1 s n +s n 1 = (a n+1+ d)rn +b n+1 r n 1 (a n+1 + d)s n +b n+1 s n 1 Mindkét oldalt (a n+1 + d)s n + b n+1 s n 1 -gyel szorozva kapjuk: d(an+1 + d)s n + db n+1 s n 1 = (a n+1 + d)r n + b n+1 r n 1 = = ds n + (a n+1 s n + b n+1 s n 1 ) d = (a n+1 r n + b n+1 r n 1 ) + r n d. Az együtthatókat összehasonlítva ds n = a n+1 r n + b n+1 r n 1 és a n+1 s n + b n+1 s n 1 = r n adódik. Az első egyenletet s n -nel, a másodikat r n -nel szorozva, majd mindkettőt a n+1 r n s n -re rendezve és egyenlővé téve őket a következőt kapjuk ds 2 n b n+1 r n 1 s n = r 2 n b n+1 r n s n 1 = r 2 n ds 2 n = (r n s n 1 r n 1 s n )b n+1 = ( 1) n 1 b n+1 34
36 6.4. Tétel. Legyen r n a periodusa. Ekkor az = L n ( d) és m a d lánctörtjegyeinek x 2 dy 2 = 1 egyenlet pozitív megoldásai a d páratlan indexű közelítő törtjeinek a számlálói és nevezői a következőképpen: x = r nm 1 és y = s nm 1, ahol n > 0 pozitív egész szám, ha m páros és n > 0 páros, ha m páratlan. ( Egy r n közelítő tört páros vagy páratlan indexű aszerint, hogy n páros vagy páratlan.) Bizonyítás: Először megmutatjuk, hogy b k 1 minden k- ra és b n = 1 akkor és csak akkor ha n a periodus többszöröse. Az 5.9. tételben meghatároztuk, hogy d-nek hogyan néz ki a lánctörtalakja. Onnan leolvasható, hogy n > 0 esetén α n tisztán periodikus, ahol α n -t a 6.2. lemma definiálja. Így az 5.7. tételből tudjuk, hogy n > 0 = α n > 1 és 1 < α n < 0. (2) Tegyük fel, hogy b n = 1. A definícióból következik, hogy b 0 = 1, tehát n > 0-ra feltehetjük az indirekt feltevésünket. Ekkor a 6.2. lemma (1) képlete szerint α n = a n+ d b n és b n = 1, továbbá (2) miatt 1 < α n = a n d = a n < 1 d = a n < 0. Ugyanakkor szintén (2) miatt 1 < α n = a n + d < 0 = d < a n = 0 < a n. Kaptuk tehát, hogy a n < 0 és a n > 0 egyszerre teljesül, viszont ez ellentmondás, tehát b n 1. Most bebizonyítjuk, hogy b n = 1 akkor és csak akkor ha n az m periodus többszöröse. Tegyük fel először, hogy b n = 1. Ekkor α n = a n + d és (2) miatt 35
37 1 < α n = a n d < 0 = d 1 < α n < d. Mivel a n egy egész szám és a ( d 1, d) intervallumban csak egy egész szám van, nevezetesen d = c 0, ezért a n = c 0 és így α n = c 0 + d. Tudjuk, hogy d = L(c 0, c 1, c 2,..., c m ) és 2c 0 = c m. Ezekből következik, hogy c 0 + d = L(2c 0, c 1, c 2,..., c m 1, c m, c 1, c 2,..., c m 1, c m,...) = = L(c m, c 1, c 2,..., c m 1 ), (3) Így α n = L(c m, c 1, c 2,..., c m 1 ). Ugyanakkor definíció szerint α n = ( d) n. d = L(c0, c 1, c 2,..., c m, c 1, c 2,..., c m,...), akkor n = mj + l esetén, ahol j = 0, 1, 2,... és 1 l m, c 0 -tól elmenve az n-edik jegyig azt kapjuk, hogy α n = L(c l, c l+1,..., c m, c 1,..., c l 1 ). Összehasonlíva ezt α n = L(c m, c 1, c 2,..., c m 1 )-vel kapjuk, hogy l = m, így n = mj + m = m(j + 1), tehát n az m többszöröse. Most tegyük fel, hogy n = km. Ekkor elhagyva n = mk egymást követő jegyet a d lánctörtjegyeiből c 0 -tól számolva, kapjuk, hogy α n = L(c m, c 1, c 2,..., c m 1 ). De (3) szerint α n = c 0 + d. Ugyanakkor α n = a n+ d b n, így viszont b n = 1, hiszen c 0 = a n. Most rátérünk a tétel bizonyítására: Először megmutatjuk, ha x 2 dy 2 = 1 teljesül y > 0-val, akkor x y a d-nek egy közelítő törtje. Mivel 1 = x 2 dy 2 = (x dy)(x + dy), ezért x dy = 1 x+ dy, így x y d = x dy y = 1 y x+ dy. 36
38 x 2 = dy > dy 2 miatt x + dy > dy + dy > 2 dy. Ezért x y d = 1 y x+ dy < 1 y2 dy = 1 2y 2 d = x y d < 1 2y 2. Ekkor a 3.2. tétel szerint x y egy közelítő tört. Tehát kijött, hogy minden megoldás egy közelítő tört kell, hogy legyen, tehát olyan (r k, s k ) közelítő törteket keresünk, melyre rk 2 ds2 k = 1 teljesül. Az előző lemma szerint r 2 k 1 ds2 k 1 = ( 1)k b k, ahol b k 1 és k akkor és csak akkor többszöröse d periodusának, ha b k = 1. Tehát ha r 2 k 1 ds2 k 1 = 1, akkor b k = 1, ezért k egy periodus. Ha m a d lánctörtjegyeinek periódusa, akkor k = mn valamilyen n-re és ebben az esetben r 2 nm 1 ds 2 nm 1 = ( 1) nm b nm = ( 1) nm 1 = ( 1) nm. Tehát ha m páros, akkor a jobb oldal bármilyen n esetén fennáll, ha páratlan, akkor csak páros n-re áll fenn. 6. Egy érdekesség és egy numerikus példa 6.1. Tétel Legyen az α szám egyszerű lánctörtalakja α = L(c 0, c 1,...). Ekkor majdnem minden α-ra lim n 0 ( n i=1 c i) 1 n = K 0 ahol K 0 a Hincsin konstanst jelöli. Megjegyzés: a kivételt azok a számok képezik, melyek lánctörtjegyei egy felismerhető minta szerint következnek. Ilyenek a 37
39 racionális számok, vagy a kvadratikus irracionalitások. Nem ismert, hogy K 0 irracionális-e vagy sem. A bizonyítás ergodelméleti eszközöket igényel, ezért itt nem részletezzük. A 4. fejezetben beláttuk, hogy ha egy egyszerű lánctört periodikus, akkor az gyöke egy másodfokú egész együtthatós polinomnak. Vizsgálni lehet, hogy ezek a periodikus lánctörtek milyen valós számokat határoznak meg. Ebben a példában azon valós számokat vizsgáljuk meg, melyek lánctörtbe fejtése L(n, kn) alakú. Legyen α = L(n, kn). A 2. fejezet elején ismertetett algoritmus szerint járunk el. α = n + α n = α = n {α} = α n 1 α n = kn α n kn = α n = kn { 1 α n } = 1 α n kn 1 1 α n kn = 1 (1) α n Eddig elég is visszafejteni, hiszen 1 α n = kn és { 1 α n } = 1 α n kn ezentúl mindig teljesül. (1) = (α n) 2 = 1 kn(α n) = = α 2 + (kn 2n)α + n 2 kn 2 1 = 0 Tehát az f(x) = x 2 + (kn 2n)x + n 2 kn 2 1 polinom gyökeit keressük. A megoldóképlet alapján: x 1,2 = 2n kn ± (kn) (2) 2 Tehát adott k-ra és n-re az L(n, kn) lánctört értékét (2) alapján lehet kiszámolni. 38
40 Hivatkozások [1] Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet, [2] O. Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen, [3] A. Hincsin: Lánctörtek (oroszul), [4] G. H. Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers, [5] online: 39
= Itt a jobb oldalon föllelhető az először az Egyiptomi Középbirodalomban használt
2 Átmenet az analitikus számelmélet felé: Lánctörtek 2 Történeti bevezetés Az általános vélekedéssel szemben nem Diofantosz volt az első, aki egész együtthatós határozatlan egyenletek egész megoldásait
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
RészletesebbenTartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben5. Az Algebrai Számelmélet Elemei
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
Részletesebben7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?
7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok
Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenIrracionális egyenletek, egyenlôtlenségek
9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén
Részletesebbenb, b > 0 racionális szám, hogy a
3. A lánctörtek alkalmazásai. 3.. Diofantikus approximáció. Alapkérdés: Mennyire jól közelíthetők az irracionálisok racionális számokkal? Megjegyzés. Mindenek előtt azt kell tisztázni, hogy mit jelent
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Eötvös Loránd Tudományegyetem Termzettudományi Kar Dolecsek Máté Matematikus MSc Véges halmazok additív multiplikatív felbontása F p -ben Szakdolgozat Témavezető: Gyarmati Katalin egyetemi docens, Sárközy
RészletesebbenLánctörtek és alkalmazásaik
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Matematikai Intézet Szakdolgozat Lánctörtek és alkalmazásaik készítette: Szabó Mariann témavezető: Dr Tengely Szabolcs Debrecen, 203 Tartalomjegyzék
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
Részletesebben1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).
1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenParaméteres és összetett egyenlôtlenségek
araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:
RészletesebbenMagasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenParaméteres és összetett egyenlôtlenségek
araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek X.
Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak
Részletesebben2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenGAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE
GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok H406 2017-09-04,06,08,11 Wettl Ferenc
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenMegoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA
Megoldott eladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Az : R R üggvény teljesíti az ( + y) = ( a y) + ( y) ( a ) összeüggést bármely,y R esetén (a egy rögzített valós szám). Bizonyítsd
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Részletesebben1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
RészletesebbenFormális nyelvek - 9.
Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenRacionális és irracionális kifejezések
Racionális és irracionális kifejezések a + b a + ac a_ a+ ci a 77. A feltétel szerint b ac, ezért b c. + ac + c c_ a+ ci c ab ac bc 78. A feltétel szerint: ab+ ac+ bc- b, ezért + + + + a b c abc b -b -,
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
RészletesebbenJavítókulcs, Válogató Nov. 25.
Javítókulcs, Válogató 2016. Nov. 25. 1. Az A, B, C pontok által meghatározott hegyesszögű háromszögben az egyes csúcsokhoz tartozó magasságvonalak talppontjait jelölje rendre T A, T B és T C. A T A T B
RészletesebbenNEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL
NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL SZAKDOLGOZAT Készítette: Farkas Mariann Matematika BSc Tanári szakirány Témavezető: Pappné Dr. Kovács Katalin, egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenSZTE TTIK Bolyai Intézet
Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenHatárérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.
Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg
Részletesebben