Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26
|
|
|
- Valéria Tóthné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26
2 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26
3 Miért van szükség közelítő módszerekre? mert a pontos formula nehézkes: x 2 x 8 = 0, x = 1± 33 2 Rekurzív sorozatok p.2/26
4 Miért van szükség közelítő módszerekre? mert a pontos formula nehézkes: x 2 x 8 = 0, x = 1± 33 2 mert a pontos formulát nem ismerjük: x 3 x 8 = 0, x = 3 ( ) ( ) Rekurzív sorozatok p.2/26
5 Miért van szükség közelítő módszerekre? mert a pontos formula nehézkes: x 2 x 8 = 0, x = 1± 33 2 mert a pontos formulát nem ismerjük: x 3 x 8 = 0, x = 3 ( ) ( ) mert nincs pontos formula: x 5 x 8 = 0, x =? Rekurzív sorozatok p.2/26
6 Miért van szükség közelítő módszerekre? mert a pontos formula nehézkes: x 2 x 8 = 0, x = 1± 33 2 mert a pontos formulát nem ismerjük: x 3 x 8 = 0, x = 3 ( ) ( ) mert nincs pontos formula: x 5 x 8 = 0, x =? Egy meglévő közelítésből csinálunk egy jobbat = rekurzió Rekurzív sorozatok p.2/26
7 A 2 közelítése Legyen x 1 := 3 2. Nyilván x 1 = 3 2 > 2, ezért 2 x 1 = 4 3 < 2. Rekurzív sorozatok p.3/26
8 A 2 közelítése Legyen x 1 := 3 2. Nyilván x 1 = 3 2 > 2, ezért 2 x 1 = 4 3 < 2. x 2 := 1 2 (x x 1 ) = Rekurzív sorozatok p.3/26
9 A 2 közelítése Legyen x 1 := 3 2. Nyilván x 1 = 3 2 > 2, ezért 2 x 1 = 4 3 < 2. x 2 := 1 2 (x x 1 ) = x 3 := 1 2 (x x 2 ) = Rekurzív sorozatok p.3/26
10 A 2 közelítése Legyen x 1 := 3 2. Nyilván x 1 = 3 2 > 2, ezért 2 x 1 = 4 3 < 2. x 2 := 1 2 (x x 1 ) = x 3 := 1 2 (x x 2 ) = x 2 3 = 2, Rekurzív sorozatok p.3/26
11 A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) Rekurzív sorozatok p.4/26
12 A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 Rekurzív sorozatok p.4/26
13 A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 x 3 := 2, Rekurzív sorozatok p.4/26
14 A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 x 3 := 2, x 4 := 2, Rekurzív sorozatok p.4/26
15 A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 x 3 := 2, x 4 := 2, x 5 := 2, Rekurzív sorozatok p.4/26
16 A 5 közelítése Legyen x 1 := 2 és +1 := 1 2 ( + 5 ) x 2 := 2,25 x 3 := 2, x 4 := 2, x 5 := 2, x 6 := 2, (16 pontos jegy) Rekurzív sorozatok p.4/26
17 Newton gyökvonó módszere Legyen x 1, c > 0 és +1 := 1 2 ( + c ). Ekkor az ( ) sorozat konvergens és c. +1 := 1 2 ( + c ) mértani közepek) c = c (számtani és Rekurzív sorozatok p.5/26
18 Newton gyökvonó módszere Legyen x 1, c > 0 és +1 := 1 2 ( + c ). Ekkor az ( ) sorozat konvergens és c. +1 := 1 2 ( + c ) mértani közepek) c ( + c ) x 2 n + c 2x 2 n c x 2 n = c (számtani és Rekurzív sorozatok p.5/26
19 Newton gyökvonó módszere Legyen x 1, c > 0 és +1 := 1 2 ( + c ). Ekkor az ( ) sorozat konvergens és c. +1 := 1 2 ( + c ) mértani közepek) c = c (számtani és ( + c ) x 2 n + c 2x 2 n c x 2 n monoton és korlátos = konvergens, l. Rekurzív sorozatok p.5/26
20 Newton gyökvonó módszere Legyen x 1, c > 0 és +1 := 1 2 ( + c ). Ekkor az ( ) sorozat konvergens és c. +1 := 1 2 ( + c ) mértani közepek) c = c (számtani és ( + c ) x 2 n + c 2x 2 n c x 2 n monoton és korlátos = konvergens, l. +1 = 1 2 ( + c ) = l = 1 2 (l + c l ) = c = l2. Rekurzív sorozatok p.5/26
21 Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b Rekurzív sorozatok p.6/26
22 Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b c c c, c =: ε n c c = ε n Rekurzív sorozatok p.6/26
23 Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b c c c, c =: ε n c c = ε n b = c, a = Rekurzív sorozatok p.6/26
24 Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b c c c, c =: ε n c c = ε n b = c, a = ε n+1 := +1 c = a+b 2 ab (a b)2 8b K ε 2 n (2ε n ) 2 8 c xn Rekurzív sorozatok p.6/26
25 Milyen gyors a módszer? 0 < b < a: a+b 2 ab = ( a b) 2 2 = (a b)2 2( a+ (a b)2 b) 2 8b c c c, c =: ε n c c = ε n b = c, a = ε n+1 := +1 c = a+b 2 ab (a b)2 8b K ε 2 n (2ε n ) 2 8 c xn ε n+1 K ε 2 n = a pontos tizedesjegyek száma (nagyjából) megkétszereződik Rekurzív sorozatok p.6/26
26 A π közelítése Az 1 sugarú körbe és a kör köré írható szabályos n-szögek kerülete k n és K n. α = 2π n, k n = 2n sin α 2, K n = 2n tg α 2 k n 2π, K n 2π Rekurzív sorozatok p.7/26
27 A π közelítése k n = 2n sin π n, K n = 2n tg π n k 2n = 4n sin π 2n, K 2n = 4n tg π 2n Rekurzív sorozatok p.8/26
28 A π közelítése k n = 2n sin π n, K n = 2n tg π n k 2n = 4n sin π 2n, K 2n = 4n tg π 2n sin 2β = 2 sin β cos β, 1 sin 2β + 1 tg 2β = 1 tg β, k 2n K 2n = cos π 2n Rekurzív sorozatok p.8/26
29 A π közelítése k n = 2n sin π n, K n = 2n tg π n k 2n = 4n sin π 2n, K 2n = 4n tg π 2n sin 2β = 2 sin β cos β, 1 sin 2β + 1 tg 2β = 1 tg β, k 2n K 2n = cos π 2n 2 K 2n = 1 k n + 1 K n, k 2n = k n K 2n (harmonikus, ill. mértani közép) Rekurzív sorozatok p.8/26
30 A π közelítése 2 K 2n = 1 k n + 1 K n, k 2n = k n K 2n (harmonikus, ill. mértani közép) A közepeket ismerve: k n k 2n K 2n K n k 3 k 6 k 12 K 12 K 6 K 3 Rekurzív sorozatok p.9/26
31 A π közelítése 2 K 2n = 1 k n + 1 K n, k 2n = k n K 2n (harmonikus, ill. mértani közép) A közepeket ismerve: k n k 2n K 2n K n k 3 k 6 k 12 K 12 K 6 K 3 A (k 3 2 n) sorozat növő és felülről korlátos, a (K 3 2 n) sorozat csökkenő és alulról korlátos = konvergensek Rekurzív sorozatok p.9/26
32 A π közelítése 2 K 2n = 1 k n + 1 K n, k 2n = k n K 2n (harmonikus, ill. mértani közép) A közepeket ismerve: k n k 2n K 2n K n k 3 k 6 k 12 K 12 K 6 K 3 A (k 3 2 n) sorozat növő és felülről korlátos, a (K 3 2 n) sorozat csökkenő és alulról korlátos = konvergensek K 2n k 2n 1 4 K n k n = a hiba lépésenként negyedére csökken Rekurzív sorozatok p.9/26
33 Arkhimédesz eredménye n k n = K n = 3 5, , , , , , , , , , , , π 6, Rekurzív sorozatok p.10/26
34 Egy általános módszer Egy függvény zérushelyét keressük Az pontban az érintő egyenlete y = f ( )(x ) + f( ) Rekurzív sorozatok p.11/26
35 A Newton Raphson rekurzió Az pontban az érintő egyenlete y = f ( )(x ) + f( ) A rekurzió: +1 = f() f ( ) Rekurzív sorozatok p.12/26
36 A Newton Raphson rekurzió Az pontban az érintő egyenlete y = f ( )(x ) + f( ) A rekurzió: +1 = f() f ( ) f(x) := x 2 c +1 = x2 n c 2 +1 = 1 2 ( + c ) Rekurzív sorozatok p.12/26
37 A Newton Raphson rekurzió Az pontban az érintő egyenlete y = f ( )(x ) + f( ) A rekurzió: +1 = f() f ( ) f(x) := x 2 c +1 = x2 n c 2 +1 = 1 2 ( + c ) Ha f(x) := x 3 c +1 = x3 n c 3x 2 n +1 = 1 3 (2 + c x (köbgyökvonás) n) 2 Rekurzív sorozatok p.12/26
38 Az általános tétel Legyen f kétszer differenciálható [a, b]-n, f(a) < 0 < f(b), és f (x) > 0, f (x) 0 (x [a, b]). Ekkor az x 0 := b, +1 = f() f ( ) sorozat a függvény egyetlen zérushelyéhez konvergál. Bizonyítás-vázlat: f folytonos és szigorúan növő pontosan 1 zérushelye ( =: c) van. Rekurzív sorozatok p.13/26
39 Az általános tétel Legyen f kétszer differenciálható [a, b]-n, f(a) < 0 < f(b), és f (x) > 0, f (x) 0 (x [a, b]). Ekkor az x 0 := b, +1 = f() f ( ) sorozat a függvény egyetlen zérushelyéhez konvergál. Bizonyítás-vázlat: f folytonos és szigorúan növő pontosan 1 zérushelye ( =: c) van. A definícióból +1. f konvex a c, közötti húrnál az -beli érintő meredekebb c +1. Rekurzív sorozatok p.13/26
40 Az általános tétel Legyen f kétszer differenciálható [a, b]-n, f(a) < 0 < f(b), és f (x) > 0, f (x) 0 (x [a, b]). Ekkor az x 0 := b, +1 = f() f ( ) sorozat a függvény egyetlen zérushelyéhez konvergál. Bizonyítás-vázlat: f folytonos és szigorúan növő pontosan 1 zérushelye ( =: c) van. A definícióból +1. f konvex a c, közötti húrnál az -beli érintő meredekebb c +1. A sorozat csökkenő és alulról korlátos l, l = l f(l) f (l) f(l) = 0. Rekurzív sorozatok p.13/26
41 Az általános tétel Legyen f kétszer differenciálható [a, b]-n, f(a) < 0 < f(b), és f (x) > 0, f (x) 0 (x [a, b]). Ekkor az x 0 := b, +1 = f() f ( ) sorozat a függvény egyetlen zérushelyéhez konvergál. Bizonyítás-vázlat: f folytonos és szigorúan növő pontosan 1 zérushelye ( =: c) van. A definícióból +1. f konvex a c, közötti húrnál az -beli érintő meredekebb c +1. A sorozat csökkenő és alulról korlátos l, l = l f(l) f (l) f(l) = 0. ha f csökkenő és/vagy konkáv hasonló Rekurzív sorozatok p.13/26
42 Egy példa cos x = x 3 = +1 := + cos x 3 n sin +3x 2 n x 0 = 0,5... x 1 = 1,1... x 2 = 0,9... x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0, x 6 = 0, Rekurzív sorozatok p.14/26
43 Még egy példa x 3 x + 1 = 0 = +1 := x3 n +1 3x 2 n 1 x 0 = 1 x 1 = 1,5 x 2 = 1, x 3 = 1, x 4 = 1, x 5 = 1, x 6 = 1, Rekurzív sorozatok p.15/26
44 Ellenpéldák Az e x 2x = 0 egyenletre a sorozat 0, 1, 0, 1,...?? (Persze ennek az egyenletnek nincs megoldása.) Rekurzív sorozatok p.16/26
45 Ellenpéldák Az e x 2x = 0 egyenletre a sorozat 0, 1, 0, 1,...?? (Persze ennek az egyenletnek nincs megoldása.) A módszer általában nem működik jól, ha a függvénynek többszörös zérushelye vagy inflexiós pontja van. Rekurzív sorozatok p.16/26
46 Ellenpéldák Az e x 2x = 0 egyenletre a sorozat 0, 1, 0, 1,...?? (Persze ennek az egyenletnek nincs megoldása.) A módszer általában nem működik jól, ha a függvénynek többszörös zérushelye vagy inflexiós pontja van. animáció: garrett/qy/newton.html Rekurzív sorozatok p.16/26
47 Milyen gyors a módszer? Tegyük fel az eddigiek mellé, hogy 0 < m < f (x) < M, 0 f (x) L (x [a, b]). Bizonyítás-vázlat: Taylor kifejtés: f(x) = f( )+f ( )(x )+ 1 2 f (d)(x ) 2 ( < d < x) Rekurzív sorozatok p.17/26
48 Milyen gyors a módszer? Tegyük fel az eddigiek mellé, hogy 0 < m < f (x) < M, 0 f (x) L (x [a, b]). Bizonyítás-vázlat: Taylor kifejtés: f(x) = f( )+f ( )(x )+ 1 2 f (d)(x ) 2 ( < d < x) x = c 0 = f(c) = f( ) + f ( )(c ) f (d)(c ) 2 Rekurzív sorozatok p.17/26
49 Milyen gyors a módszer? Tegyük fel az eddigiek mellé, hogy 0 < m < f (x) < M, 0 f (x) L (x [a, b]). Bizonyítás-vázlat: Taylor kifejtés: f(x) = f( )+f ( )(x )+ 1 2 f (d)(x ) 2 ( < d < x) x = c 0 = f(c) = f( ) + f ( )(c ) f (d)(c ) 2 +1 c = 1 2 f (d) f ( ) (c ) 2 Rekurzív sorozatok p.17/26
50 Milyen gyors a módszer? Tegyük fel az eddigiek mellé, hogy 0 < m < f (x) < M, 0 f (x) L (x [a, b]). Bizonyítás-vázlat: Taylor kifejtés: f(x) = f( )+f ( )(x )+ 1 2 f (d)(x ) 2 ( < d < x) x = c 0 = f(c) = f( ) + f ( )(c ) f (d)(c ) 2 +1 c = 1 2 f (d) f ( ) (c ) 2 ε n+1 := +1 c 1 2 L m (c ) 2 K ε 2 n Rekurzív sorozatok p.17/26
51 A buta számítógép Négyzetgyök, π, harmadfokú egyenlet... Mi van, ha osztani sem tudunk? Rekurzív sorozatok p.18/26
52 A buta számítógép Négyzetgyök, π, harmadfokú egyenlet... Mi van, ha osztani sem tudunk? az 1 a szám az 1 x a = 0 egyenlet megoldása Rekurzív sorozatok p.18/26
53 A buta számítógép Négyzetgyök, π, harmadfokú egyenlet... Mi van, ha osztani sem tudunk? az 1 a szám az 1 x a = 0 egyenlet megoldása +1 = f() f ( ) = 2 a x 2 n Rekurzív sorozatok p.18/26
54 A buta számítógép Négyzetgyök, π, harmadfokú egyenlet... Mi van, ha osztani sem tudunk? az 1 a szám az 1 x a = 0 egyenlet megoldása +1 = f() f ( ) = 2 a x 2 n a = 3, x 0 := 0,5 x 1 = 0,25 x 2 = 0,3125 x 3 = 0, x 4 = 0, Rekurzív sorozatok p.18/26
55 Egy másik érdekesség cos 0 = 1, cos 1 = , cos 0, = 0, cos 0, = 0, := cos konvergens sorozat, l, l = cos l Rekurzív sorozatok p.19/26
56 Egy másik érdekesség cos 0 = 1, cos 1 = , cos 0, = 0, cos 0, = 0, := cos konvergens sorozat, l, l = cos l Rekurzív sorozatok p.19/26
57 A módszer +1 := f( ) Függőlegesen a függvénygörbére, vízszintesen a negyedfelezőre Rekurzív sorozatok p.20/26
58 A módszer Ha a függvény meredek, sorozatunk nem konvergens Rekurzív sorozatok p.21/26
59 A fixpont-iteráció Legyen az f : [a, b] [a, b] függvény olyan, hogy f(x) f(y) q x y, ahol 0 < q < 1. Ekkor az x 0 [a, b], +1 := f( ) sorozat konvergens, l, ahol l = f(l). a függvény összehúzó (kontraktív); l fixpont Rekurzív sorozatok p.22/26
60 A bizonyítás vázlata legfeljebb egy fixpont lehet; a függvény folytonos; ha ( ) konvergens, határértéke csak a fixpont lehet Rekurzív sorozatok p.23/26
61 A bizonyítás vázlata legfeljebb egy fixpont lehet; a függvény folytonos; ha ( ) konvergens, határértéke csak a fixpont lehet +1 = f( ) f( 1 ) = q 1 = q = = q n x 1 x 0 Rekurzív sorozatok p.23/26
62 A bizonyítás vázlata legfeljebb egy fixpont lehet; a függvény folytonos; ha ( ) konvergens, határértéke csak a fixpont lehet +1 = f( ) f( 1 ) = q 1 = q = = q n x 1 x 0 +p +p +p 1 + +p 1 +p p x 1 x 0 (q n+p 1 + q n+p q n ) = x 1 x 0 q n 1 q p 1 q 0 Rekurzív sorozatok p.23/26
63 A bizonyítás vázlata legfeljebb egy fixpont lehet; a függvény folytonos; ha ( ) konvergens, határértéke csak a fixpont lehet +1 = f( ) f( 1 ) = q 1 = q = = q n x 1 x 0 +p +p +p 1 + +p 1 +p p x 1 x 0 (q n+p 1 + q n+p q n ) = x 1 x 0 q n 1 q p 1 q 0 Ha n elég nagy, +p tetszőlegesen kicsi lesz ( ) konvergens (Cauchy-kritérium) Rekurzív sorozatok p.23/26
64 Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 Rekurzív sorozatok p.24/26
65 Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 tudjuk: f(x + h) f(x) + f (x) h Rekurzív sorozatok p.24/26
66 Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 tudjuk: f(x + h) f(x) + f (x) h +1 = f( ) l + ε n+1 = f(l + ε n ) Rekurzív sorozatok p.24/26
67 Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 tudjuk: f(x + h) f(x) + f (x) h +1 = f( ) l + ε n+1 = f(l + ε n ) l + ε n+1 = f(l) + f (l) ε n Rekurzív sorozatok p.24/26
68 Milyen gyors a módszer? l =: ε n, +1 l =: ε n+1 tudjuk: f(x + h) f(x) + f (x) h +1 = f( ) l + ε n+1 = f(l + ε n ) l + ε n+1 = f(l) + f (l) ε n ε n+1 = f (l) ε n ( f (l) < 1, mert f lapos) Rekurzív sorozatok p.24/26
69 Egyenletek megoldása x 2 x 2 = 0 megoldása: x = x + 2 működik a módszer x = x 2 2 nem működik a módszer Animáció: math/courses/na/nc/fixedpointiteration.html Rekurzív sorozatok p.25/26
70 Köszönöm a figyelmet! Rekurzív sorozatok p.26/26
1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
![Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.](/thumbs/102/154127337.jpg "Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.")
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás
Matematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
A fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Sorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0
Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum
Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
Sorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
f(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Metrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
A Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet
Függvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
A végtelen a matematikában Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet.
A végtelen a matematikában Radnóti Gimnázium 203. 04. 23. Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj 2 Pólya György: Ha a tudomány
10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106
Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
Analízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Analízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
FELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!
Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)
HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
Függvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
SZTE TTIK Bolyai Intézet
Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,
Differenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )
Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n
Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.
Integrálszámítás. 1. rész. 2018. április 12. Területszámítás f : [a, b] IR + korlátos függvény. Mennyi a függvény grafikonja és az x tengely közti terület? Riemann integrál, ismétlés F: Az összes lehetséges
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)
Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)
Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor
Metrikus terek, Hausdorff-mérték Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 22. Vázlat 1 Folytonos görbék Affin függvények Definíciók A Koch-görbe A Cantor-halmaz
Függvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
Analízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
A Newton-Raphson iteráció kezdeti értéktől való érzékenysége
Szénási Eszter SZTE TTIK Matematika BSc, Numerikus matematika projekt 2015. november 30. A Newton-Raphson iteráció kezdeti értéktől való érzékenysége Medencék (attraktorok) színezése 2 Newton_project-szenasi.nb
ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így
Tartalomjegyzék. Bevezetés... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán... 11 C) Többváltozós függvényegyenletek megoldása
5 Tartalomjegyzék Bevezetés.......................................................... 7 A) Függvényegyenletek a természetes számok halmazán........... 11 B) Egyváltozós függvényegyenletek megoldása....................
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben
Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán
Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 015. szeptember 7. AGH-egyenl tlenség Tétel Értelmezzük
Numerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
Függvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás
Tanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához
ciklus óra óra anyaga, tartalma 1 1. Év eleji szervezési feladatok, bemutatkozás Hatvány, gyök, logaritmus (40 óra) 2. Ismétlés: hatványozás 3. Ismétlés: gyökvonás 4. Értelmezési tartomány vizsgálata 2
Függvények határértéke és folytonossága
Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f
Függvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Differenciál és integrálszámítás diszkréten
Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten
A gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Hatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
Kalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK
Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,