Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor
|
|
- Orsolya Katona
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Metrikus terek, Hausdorff-mérték Czirbusz Sándor Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar március 22.
2 Vázlat 1 Folytonos görbék Affin függvények Definíciók A Koch-görbe A Cantor-halmaz Térkitöltő görbék 2 Hausdorff-metrika Definíciók A Hausdorff-távolság metrika Konvergencia, teljesség Következmények Mégegyszer a sztringtérről
3 Affin függvények Affin függvények Definíció Legyen T R k konvex, S = R n, f T S affin, ha : ha x, y T és 0 t 1. Tétel f(tx + (1 t)y) = tf(x) + (1 t)f(y) f : [u, v] R R pontosan akkor affin, ha f(x) = mx + b valamilyen m, b R esetén. Ha f(x) = mx + b, akkor nyilván affin. Megfordítva, legyen f affin [u, v]-n. Ha u = v, akkor nincs mit bizonyítani, legyen tehát u < v. Ha most x [u, v], akkor :
4 Affin függvények Affin függvények Definíció Legyen T R k konvex, S = R n, f T S affin, ha : ha x, y T és 0 t 1. Tétel f(tx + (1 t)y) = tf(x) + (1 t)f(y) f : [u, v] R R pontosan akkor affin, ha f(x) = mx + b valamilyen m, b R esetén. Ha f(x) = mx + b, akkor nyilván affin. Megfordítva, legyen f affin [u, v]-n. Ha u = v, akkor nincs mit bizonyítani, legyen tehát u < v. Ha most x [u, v], akkor :
5 Definíciók Definíciók Definíció Egy f C([0, 1], S) függvényt S -beli folytonos görbének nevezünk. H f R d beli folytonos görbe és létezik olyan 0 = a 0 < a 1 < < a n = 1 felosztása a [0, 1] intervalumnak, hogy f affin minden [a i, a i+1 ] részintervallumon, akkor szakaszonként affinnak nevezzük. Ekkor f értékkészlete poligon vagy poligonális görbe.
6 A Koch-görbe A Koch-görbe Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch görbéhez. ρ u (g 0, g 1 ) 1. ρ u (g k, g k+1 ) k. {g k } Cauchy sorozat: ρ u (g n, g m ) m 1 j=n j Mivel C([0, 1], R 2 ) teljes, {g k } konvergens, a határértéke folytonos.
7 A Koch-görbe A Koch-görbe Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch görbéhez. ρ u (g 0, g 1 ) 1. ρ u (g k, g k+1 ) k. {g k } Cauchy sorozat: ρ u (g n, g m ) m 1 j=n j Mivel C([0, 1], R 2 ) teljes, {g k } konvergens, a határértéke folytonos.
8 A Koch-görbe A Koch-görbe Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch görbéhez. ρ u (g 0, g 1 ) 1. ρ u (g k, g k+1 ) k. {g k } Cauchy sorozat: ρ u (g n, g m ) m 1 j=n j Mivel C([0, 1], R 2 ) teljes, {g k } konvergens, a határértéke folytonos.
9 A Koch-görbe A Koch-görbe Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch görbéhez. ρ u (g 0, g 1 ) 1. ρ u (g k, g k+1 ) k. {g k } Cauchy sorozat: ρ u (g n, g m ) m 1 j=n j Mivel C([0, 1], R 2 ) teljes, {g k } konvergens, a határértéke folytonos.
10 A Koch-görbe A Koch-görbe Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch görbéhez. ρ u (g 0, g 1 ) 1. ρ u (g k, g k+1 ) k. {g k } Cauchy sorozat: ρ u (g n, g m ) m 1 j=n j Mivel C([0, 1], R 2 ) teljes, {g k } konvergens, a határértéke folytonos.
11 A Cantor-halmaz A Cantor-halmaz Adottak E = {0, 1} és E ω
12 A Cantor-halmaz A Cantor-halmaz Adottak E = {0, 1} és E ω Definiáljuk a g k : E ω R függvényeket a következőképp :
13 A Cantor-halmaz A Cantor-halmaz Adottak E = {0, 1} és E ω Definiáljuk a g k : E ω R függvényeket a következőképp : 0 g 0 (σ) = 0. Ekkor g 0 (E ω ) = L 0 1 g 1 (0σ) = 0, g 1 (1σ) = 2. Ekkor g 1(E ω ) = L 1 és g 1 folytonos, mivel [0] és [1] nyíltak. k+1 g k+1 (0σ) = g k(σ) és g k+1 (1σ) = g k(σ)+2
14 A Cantor-halmaz A Cantor-halmaz Adottak E = {0, 1} és E ω Definiáljuk a g k : E ω R függvényeket a következőképp : 0 g 0 (σ) = 0. Ekkor g 0 (E ω ) = L 0 1 g 1 (0σ) = 0, g 1 (1σ) = 2. Ekkor g 1(E ω ) = L 1 és g 1 folytonos, mivel [0] és [1] nyíltak. k+1 g k+1 (0σ) = g k(σ) és g k+1 (1σ) = g k(σ)+2 A következők láthatók be : g k folytonos, Cauchy-sorozat, így konvegál, a határérték folytonos.
15 Térkitöltő görbék Térkitöltő görbék Definíció Egy [0, 1] R d folytonos görbét térkitöltőnek nevezünk, ha értékkészlete tartalmaz gömböt. Példák A Penao görbe Hilbert görbék Heighway sárkány
16 Térkitöltő görbék Térkitöltő görbék Definíció Egy [0, 1] R d folytonos görbét térkitöltőnek nevezünk, ha értékkészlete tartalmaz gömböt. Példák A Penao görbe Hilbert görbék Heighway sárkány
17 Térkitöltő görbék Térkitöltő görbék Definíció Egy [0, 1] R d folytonos görbét térkitöltőnek nevezünk, ha értékkészlete tartalmaz gömböt. Példák A Penao görbe Hilbert görbék Heighway sárkány
18 Térkitöltő görbék Térkitöltő görbék Definíció Egy [0, 1] R d folytonos görbét térkitöltőnek nevezünk, ha értékkészlete tartalmaz gömböt. Példák A Penao görbe Hilbert görbék Heighway sárkány
19 Térkitöltő görbék Térkitöltő görbék Definíció Egy [0, 1] R d folytonos görbét térkitöltőnek nevezünk, ha értékkészlete tartalmaz gömböt. Példák A Penao görbe Hilbert görbék Heighway sárkány
20 Definíciók Definíciók Ha S metrikus tér, A, B S, A és B egymástól mért Hausdorff távolsága kisebb mint r, ha A minden pontja közelebb van r nél a B valamely pontjához és a B minden pontja közelebb van r nél az A valamely pontjához. Ha A S, r > 0, akkor az A r sugarú nyílt környezete az N r = {y S : x A,ρ(x, y) < r} halmaz. Az A, B S halmazok Hausdorff-távolsága D(A, B) = inf{r : (B N r (A)) (A N r (B))} Jelölés : H(S) az S metrikus tér nemüres kompakt részhalmazai, az S hipertere.
21 Definíciók Definíciók Ha S metrikus tér, A, B S, A és B egymástól mért Hausdorff távolsága kisebb mint r, ha A minden pontja közelebb van r nél a B valamely pontjához és a B minden pontja közelebb van r nél az A valamely pontjához. Ha A S, r > 0, akkor az A r sugarú nyílt környezete az N r = {y S : x A,ρ(x, y) < r} halmaz. Az A, B S halmazok Hausdorff-távolsága D(A, B) = inf{r : (B N r (A)) (A N r (B))} Jelölés : H(S) az S metrikus tér nemüres kompakt részhalmazai, az S hipertere.
22 Definíciók Definíciók Ha S metrikus tér, A, B S, A és B egymástól mért Hausdorff távolsága kisebb mint r, ha A minden pontja közelebb van r nél a B valamely pontjához és a B minden pontja közelebb van r nél az A valamely pontjához. Ha A S, r > 0, akkor az A r sugarú nyílt környezete az N r = {y S : x A,ρ(x, y) < r} halmaz. Az A, B S halmazok Hausdorff-távolsága D(A, B) = inf{r : (B N r (A)) (A N r (B))} Jelölés : H(S) az S metrikus tér nemüres kompakt részhalmazai, az S hipertere.
23 Definíciók Definíciók Ha S metrikus tér, A, B S, A és B egymástól mért Hausdorff távolsága kisebb mint r, ha A minden pontja közelebb van r nél a B valamely pontjához és a B minden pontja közelebb van r nél az A valamely pontjához. Ha A S, r > 0, akkor az A r sugarú nyílt környezete az N r = {y S : x A,ρ(x, y) < r} halmaz. Az A, B S halmazok Hausdorff-távolsága D(A, B) = inf{r : (B N r (A)) (A N r (B))} Jelölés : H(S) az S metrikus tér nemüres kompakt részhalmazai, az S hipertere.
24 A Hausdorff-távolság metrika A Hausdorff-távolság metrika Tétel Ha S metrikus tér, a Hasdorff-távolság merika H(S) n. 1 Nyilvánvaló, hogy D(A, B) 0 és D(A, B) = D(B, A). Mivel A, B kompaktak, ezért korlátosak, így D(A, B) < 2 D(A, A) = 0 triviálisan, mivel A N r(a) minden r re. Megfordítva, ha D(A, B = 0, akkor x A esetén x N r(b) minden r re, így ρ(x, B) = 0, de B kompakt, tehát zárt, így x B, azaz A B 4 Háromszögegyenlőtlenség : Ha A, B, C H(S), x A, akkor y B : ρ(x, y) < D(A, B) + ε. Ekkor hasonlóan z C : ρ(y, z) < D(B, C) + ε. Így az A a C (D(A, B) + D(B, C) + 2ε) környezetében van. Hasonlóan a C az A(D(A, B) + D(B, C) + 2ε környezetében van. Ezért D(A, C) D(A, B) + D(B, C) + 2ε. Innen infimumra áttérve kapjuk az állítást.
25 A Hausdorff-távolság metrika A Hausdorff-távolság metrika Tétel Ha S metrikus tér, a Hasdorff-távolság merika H(S) n. 1 Nyilvánvaló, hogy D(A, B) 0 és D(A, B) = D(B, A). Mivel A, B kompaktak, ezért korlátosak, így D(A, B) < 2 D(A, A) = 0 triviálisan, mivel A N r(a) minden r re. Megfordítva, ha D(A, B = 0, akkor x A esetén x N r(b) minden r re, így ρ(x, B) = 0, de B kompakt, tehát zárt, így x B, azaz A B 4 Háromszögegyenlőtlenség : Ha A, B, C H(S), x A, akkor y B : ρ(x, y) < D(A, B) + ε. Ekkor hasonlóan z C : ρ(y, z) < D(B, C) + ε. Így az A a C (D(A, B) + D(B, C) + 2ε) környezetében van. Hasonlóan a C az A(D(A, B) + D(B, C) + 2ε környezetében van. Ezért D(A, C) D(A, B) + D(B, C) + 2ε. Innen infimumra áttérve kapjuk az állítást.
26 A Hausdorff-távolság metrika A Hausdorff-távolság metrika Tétel Ha S metrikus tér, a Hasdorff-távolság merika H(S) n. 1 Nyilvánvaló, hogy D(A, B) 0 és D(A, B) = D(B, A). Mivel A, B kompaktak, ezért korlátosak, így D(A, B) < 2 D(A, A) = 0 triviálisan, mivel A N r(a) minden r re. Megfordítva, ha D(A, B = 0, akkor x A esetén x N r(b) minden r re, így ρ(x, B) = 0, de B kompakt, tehát zárt, így x B, azaz A B 4 Háromszögegyenlőtlenség : Ha A, B, C H(S), x A, akkor y B : ρ(x, y) < D(A, B) + ε. Ekkor hasonlóan z C : ρ(y, z) < D(B, C) + ε. Így az A a C (D(A, B) + D(B, C) + 2ε) környezetében van. Hasonlóan a C az A(D(A, B) + D(B, C) + 2ε környezetében van. Ezért D(A, C) D(A, B) + D(B, C) + 2ε. Innen infimumra áttérve kapjuk az állítást.
27 A Hausdorff-távolság metrika A Hausdorff-távolság metrika Tétel Ha S metrikus tér, a Hasdorff-távolság merika H(S) n. 1 Nyilvánvaló, hogy D(A, B) 0 és D(A, B) = D(B, A). Mivel A, B kompaktak, ezért korlátosak, így D(A, B) < 2 D(A, A) = 0 triviálisan, mivel A N r(a) minden r re. Megfordítva, ha D(A, B = 0, akkor x A esetén x N r(b) minden r re, így ρ(x, B) = 0, de B kompakt, tehát zárt, így x B, azaz A B 4 Háromszögegyenlőtlenség : Ha A, B, C H(S), x A, akkor y B : ρ(x, y) < D(A, B) + ε. Ekkor hasonlóan z C : ρ(y, z) < D(B, C) + ε. Így az A a C (D(A, B) + D(B, C) + 2ε) környezetében van. Hasonlóan a C az A(D(A, B) + D(B, C) + 2ε környezetében van. Ezért D(A, C) D(A, B) + D(B, C) + 2ε. Innen infimumra áttérve kapjuk az állítást.
28 A Hausdorff-távolság metrika A Hausdorff-távolság metrika Tétel Ha S metrikus tér, a Hasdorff-távolság merika H(S) n. 1 Nyilvánvaló, hogy D(A, B) 0 és D(A, B) = D(B, A). Mivel A, B kompaktak, ezért korlátosak, így D(A, B) < 2 D(A, A) = 0 triviálisan, mivel A N r(a) minden r re. Megfordítva, ha D(A, B = 0, akkor x A esetén x N r(b) minden r re, így ρ(x, B) = 0, de B kompakt, tehát zárt, így x B, azaz A B 4 Háromszögegyenlőtlenség : Ha A, B, C H(S), x A, akkor y B : ρ(x, y) < D(A, B) + ε. Ekkor hasonlóan z C : ρ(y, z) < D(B, C) + ε. Így az A a C (D(A, B) + D(B, C) + 2ε) környezetében van. Hasonlóan a C az A(D(A, B) + D(B, C) + 2ε környezetében van. Ezért D(A, C) D(A, B) + D(B, C) + 2ε. Innen infimumra áttérve kapjuk az állítást.
29 Konvergencia, teljesség Konvergencia, teljesség Tétel Ha A n egy sorozat H(S) ben és A H(S) hez konvergál, akkor A = {x : van olyan x n sorozat, hogy x n A n és x n x} Feladat. Tétel Ha (S,ρ) teljes metrikus tér, akkor (H(S), D) is az. Hosszú. elhagyjuk.
30 Konvergencia, teljesség Konvergencia, teljesség Tétel Ha A n egy sorozat H(S) ben és A H(S) hez konvergál, akkor A = {x : van olyan x n sorozat, hogy x n A n és x n x} Feladat. Tétel Ha (S,ρ) teljes metrikus tér, akkor (H(S), D) is az. Hosszú. elhagyjuk.
31 Következmények Következmények Következmény Legyen A 1 A 2 A... fogyó kompakt halmasorozat. Ekkor A n a Hausdorff-metikában az A = n N A n halmazhoz konvergál. Feladat. Következmény Ha f n, f S T, S kompakt és f n f egyenletesen, akkor f n f(s) a Hausdorff metrika szerint H(S) ben. Feladat.
32 Következmények Következmények Következmény Legyen A 1 A 2 A... fogyó kompakt halmasorozat. Ekkor A n a Hausdorff-metikában az A = n N A n halmazhoz konvergál. Feladat. Következmény Ha f n, f S T, S kompakt és f n f egyenletesen, akkor f n f(s) a Hausdorff metrika szerint H(S) ben. Feladat.
33 Mégegyszer a sztringtérről Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ,τ E ω. Ha σ = ασ,τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ,τ) = k r. Állítás 1 (E ω,ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. 2 Az összes (E ω,ρ r ) homeomorf. Ha h : E ω R a Cantor halmazt címző függvény, azaz h(0σ) = h(σ) h(σ)+2, h(1σ) =. akkor h lipeomorfizmus ρ 1 -ra, azaz 1 ρ 1 (σ,τ) h(σ) h(τ) ρ 1(σ,τ)
34 Mégegyszer a sztringtérről Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ,τ E ω. Ha σ = ασ,τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ,τ) = k r. Állítás 1 (E ω,ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. 2 Az összes (E ω,ρ r ) homeomorf. Ha h : E ω R a Cantor halmazt címző függvény, azaz h(0σ) = h(σ) h(σ)+2, h(1σ) =. akkor h lipeomorfizmus ρ 1 -ra, azaz 1 ρ 1 (σ,τ) h(σ) h(τ) ρ 1(σ,τ)
35 Mégegyszer a sztringtérről Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ,τ E ω. Ha σ = ασ,τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ,τ) = k r. Állítás 1 (E ω,ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. 2 Az összes (E ω,ρ r ) homeomorf. Ha h : E ω R a Cantor halmazt címző függvény, azaz h(0σ) = h(σ) h(σ)+2, h(1σ) =. akkor h lipeomorfizmus ρ 1 -ra, azaz 1 ρ 1 (σ,τ) h(σ) h(τ) ρ 1(σ,τ)
36 Mégegyszer a sztringtérről Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ,τ E ω. Ha σ = ασ,τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ,τ) = k r. Állítás 1 (E ω,ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. 2 Az összes (E ω,ρ r ) homeomorf. Ha h : E ω R a Cantor halmazt címző függvény, azaz h(0σ) = h(σ) h(σ)+2, h(1σ) =. akkor h lipeomorfizmus ρ 1 -ra, azaz 1 ρ 1 (σ,τ) h(σ) h(τ) ρ 1(σ,τ)
37 Mégegyszer a sztringtérről Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ,τ E ω. Ha σ = ασ,τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ,τ) = k r. Állítás 1 (E ω,ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. 2 Az összes (E ω,ρ r ) homeomorf. Ha h : E ω R a Cantor halmazt címző függvény, azaz h(0σ) = h(σ) h(σ)+2, h(1σ) =. akkor h lipeomorfizmus ρ 1 -ra, azaz 1 ρ 1 (σ,τ) h(σ) h(τ) ρ 1(σ,τ)
Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenFRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.
FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenFRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenAnalízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
RészletesebbenFRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. február 1. Vázlat 1 Mi a fraktál? 2 A konstrukció Egyszerű tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk
RészletesebbenRekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26
Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenFraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék
Fraktálok Klasszikus fraktálpéldák I Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 86 Bevezetés. 2 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Részletesebbend(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.
Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenIntegr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.
Integrálszámítás. 1. rész. 2018. április 12. Területszámítás f : [a, b] IR + korlátos függvény. Mennyi a függvény grafikonja és az x tengely közti terület? Riemann integrál, ismétlés F: Az összes lehetséges
RészletesebbenINFORMATIKAI KAR. Funkcionálanalízis a jelfeldolgozás és a szimuláció matematikai alapjai
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Szili László Funkcionálanalízis a jelfeldolgozás és a szimuláció matematikai alapjai Budapest, 2007 A jegyzet a GVOP-3.2.2.-2004-07-0005/3.0 számú ELTE IKKK
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenA Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán
A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán Besenyei Ádám A következőkben a matematikának több ágában is fontos szerepet betöltő eszközével, a Baire kategória-tétellel és annak néhány alkalmazásával ismertetjük
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonossága
Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f
RészletesebbenKiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenNemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással
pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenTopologikus algebrák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Takács Balázs Matematikus MSc. Topologikus algebrák Szakdolgozat Témavezető: Kristóf János, egyetemi docens Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
RészletesebbenA Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE
A Peano-görbe Besenyei Ádám ELTE A folytonos görbe kifejezés hallatán hajlamosak vagyunk először egy, a szó szoros értelmében egybefüggően megrajzolható vonalra gondolni. A görbe fogalma azonban a vártnál
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenJulia halmazok, Mandelbrot halmaz
2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenKalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Részletesebben2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenDebreceni Egyetem Természettudományi Kar. Losonczi László. Funkcionálanalízis
Debreceni Egyetem Természettudományi Kar 1 Losonczi László Funkcionálanalízis 2009 Tartalomjegyzék 0.1. El szó................................. 5 0.2. Jelölések................................ 6 0.3. Ábrák
RészletesebbenLengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
Részletesebbenés annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?
3. 3. Probléma (T): Található-e minden L véges hálóhoz egy G véges csoport és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?
RészletesebbenTopológiai alapismeretek
Kurusa Árpád Topológiai alapismeretek Kurusa Árpád Topológiai alapismeretek A címlapon egy Mőbius-szalag látható, ami az újrahasznosítás nemzetközi jele. Ez a dokumentum nem köztulajdon, kizárólag személyes
RészletesebbenEGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
RészletesebbenMolnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0
Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenDifferenciálgeometria
Differenciálgeometria Előadás jegyzetek BME 3. félév Dr. Szabó Szilárd Kivonat. Ezek a jegyzetek a 2007. I. félévben, a Budapesti Műszaki Egyetemen tartott Differenciálgeometria kurzusomhoz készültek.
RészletesebbenEllenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenFraktálok. A Sierpinski-háromszög
Fraktálok. A Sierpinski-háromszög Írta: Moór István Témavezető: Dr. Buczolich Zoltán egyetemi tanár Analízis Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest, 2013 Tartalomjegyzék 1. A fraktálokról általánosságban
RészletesebbenNEMLINEÁRIS FUNKCIONÁL. Banach terekben. Domokos András
NEMLINEÁRIS FUNKCIONÁL ANALÍZIS Duális leképezések és akretív operátorok Banach terekben Domokos András Kolozsvár, 2000 Tartalomjegyzék Bevezető. Alapfogalmak................................ 2.2 Gyenge
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 1. Bevezetés, függvények, sorozatok, határérték Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, a biomatematika célja 2 Függvénytani alapfogalmak
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenAndai Attila: november 13.
Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.
RészletesebbenSz cs András. Topológia
Sz cs András Topológia Szerkeszt k: Lektor: Rimányi Richárd Terpai Tamás Stipsicz András A kötet az Eötvös Loránd Tudományegyetem tankönyv- és jegyzettámogatási pályázatán elnyert forrás felhasználásával
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenItt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Közönséges differenciálegyenletek Gselmann Eszter Debrecen, 2011 Tartalomjegyzék 1. Differenciálegyenletek 4 1.1. Differenciálegyenletek osztályozása................................
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
Részletesebben