NEMLINEÁRIS FUNKCIONÁL. Banach terekben. Domokos András

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "NEMLINEÁRIS FUNKCIONÁL. Banach terekben. Domokos András"

Átírás

1 NEMLINEÁRIS FUNKCIONÁL ANALÍZIS Duális leképezések és akretív operátorok Banach terekben Domokos András Kolozsvár, 2000

2 Tartalomjegyzék Bevezető. Alapfogalmak Gyenge topológiák Banach terekben Gyenge zártság és kompaktság Reflexív Banach terek Banach terek geometriai tulajdonságai Szigorúan konvex Banach terek Lokálisan uniform konvex Banach terek Uniform konvex Banach terek A duális leképezés Konvex függvények A duális leképezés tulajdonságai A duális leképezés és a tér kapcsolata Példák Akretív operátorok Félskaláris szorzat Banach terekben Akretív operátorok Akretív operátorok és differenciálegyenletek Vektor értékű disztribúciók

3 2 TARTALOMJEGYZÉK 5.2 Nemexpanzív operátorok félcsoportjai Differenciálegyenletek Banach terekben Differenciálegyenletek integrál megoldásai Szakirodalom 03

4 Bevezető E könyv az és a tanévben a Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika Karán tartott Nemlineáris Analízis kurzus anyagára épül. Megszerkesztésében éppúgy didaktikai, mint tudományos szempontok is érvényesülnek. Célja a bevezetés a nemlineáris analízis egy olyan területére, amelyik a Banach terek geometriai tulajdonságaira és az akretív operátorok elméletére alapozik. Alkalmazásaik a differenciálegyenletek és parciális differenciálegyenleteken keresztül kiterjednek sok más tudományág területére is. Ezek közül megemlíthetjük a folyadékok diffúziós problémáit, a hővezetést és a népességdinamikát modelláló evolúciós problémákat. E könyv felépítésének elsődleges célja, hogy olyan ismereteket adjon át, amelyek egy jól meghatározott irányba vezetik az olvasót és megismertetik az ezen a területen alkalmazott gondolkodásmóddal és bizonyítási technikákkal. Emiatt azon tételek és tulajdonságok bizonyításaira helyezzük a hangsúlyt, amelyek ezt a célt szolgálják. Sok sikert és türelmet kívánok az olvasáshoz. E könyv megírását a Domus Hungarica Scientiarium et Artium is támogatta a szerzőnek biztosított kutatói ösztöndíja által.

5 2. BEVEZETŐ. Alapfogalmak Ebben a fejezetben megemlítjük azokat a topológikus terekre, lineáris topológikus terekre, lokálisan konvex terekre és ezeken értelmezett folytonos függvényekre vonatkozó alapfogalmakat, amelyekre a következő fejezetekben szükségünk lesz. Definíció.. Legyen X egy halmaz. Ha megadunk egy X részhalmazaiból álló τ rendszert a következő tulajdonságokkal:., X τ; 2. G i τ, i I i I G i τ; 3. G,..., G n τ i n G i τ, akkor azt mondjuk, hogy X-en értelmeztünk egy τ topológiát és az (X, τ) kettőst topológikus térnek nevezzük. A τ halmazrendszer elemeit nyílt halmazoknak nevezzük. Legyen (X, τ) egy topológikus tér, X 0 X és τ 0 = {G X 0 : G τ}. Ekkor τ 0 teljesíti a nyílt halmazokra vonatkozó feltételeket és ezáltal az X 0 -n értelmeztünk egy τ 0 topológiát, amit a τ által származtatott topológiának nevezünk. Ha G X egy nyílt halmaz, akkor az F = X \ G halmazt zárt halmaznak nevezzük. Legyen x X. Egy V X halmazt az x pont környezetének nevezzük, ha létezik G τ úgy, hogy x G V. Egy x pont környezeteinek rendszerét N (x)-el fogjuk jelölni. Egy B(x), x környezeteiből álló, halmazrendszert x környezetbázisának nevezzük, ha bármely V N (x) esetén létezik B B(x) úgy, hogy B V. Megjegyezzük, hogy egy topológia megadása szempontjából egyenértékű ha megadjuk a nyílt halmazok rendszerét, vagy bármely elemnek megadjuk egy környezetbázisát. Egy (X, τ) topológikus tér τ topológiáját megszámlálható topológiának nevezzük, ha bármely pontnak létezik olyan környezetbázisa, amely megszámlálható halmazt tartalmaz. Példaként megemlíthetjük a normált terekben a norma topológiáját, mert

6 .. ALAPFOGALMAK 3 bármely x pontnak a B(x) = {B(x, r) : r > 0, r Q} halmazrendszer környezetbázisa. B(x, r) jelöli az x középpontú r sugarú zárt gömböt. Legyen M X. Azt mondjuk, hogy x M belső pontja M-nek, ha M környezete x-nek. Az M belső pontjainak halmazát intm-el jelöljük és M belsejének nevezzük. M belsejét úgy is értelmezhetjük, mint az M-ben levő nyílt halmazok egyesítését. Az M-et tartalmazó összes zárt halmazok metszetét M lezárásának nevezzük és M-el jelöljük. Az M \ intm halmazt M határának nevezzük és M-el jelöljük. Legyen M X. Azt mondjuk, hogy M sűrű X-ben, ha M = X. Azt mondjuk, hogy X szeparábilis topológikus tér, ha létezik egy megszámlálható és sűrű részhalmaza. Az M X halmazról azt mondjuk, hogy kompakt, ha bármely nyílt lefedéséből kiválasztható egy véges lefedés. A kompaktság sorozatokkal is jellemezhető. Ennek érdekében bevezetjük az általánosított sorozatokat. Legyen (I, ) egy rendezett halmaz, amely jobbra irányított, azaz bármely i, j I esetén létezik k I úgy, hogy i k és j k. X halmazbeli általánosított sorozatnak nevezünk egy olyan x : I X függvényt, ahol I egy rendezett, jobbra irányított halmaz. Az általánosított sorozat elemei x i = x(i) és ezért a sorozatot (x i ) i I -vel, vagy egyszerűbben csak (x i )-vel jelöljük. Egy általánosított sorozatot csak sorozatnak nevezünk, ha I = N. Legyen (x i ) i I R egy általánosított sorozat. lim inf i I x i = x ε > 0 i ε ú.h. i i ε, x i > x ε és ε > 0 i, i i ú.h. x i < x + ε,

7 4. BEVEZETŐ lim sup x i = x i I ε > 0 i ε ú.h. i i ε, x i < x + ε és ε > 0 i, i i ú.h. x i > x ε Egy (X, τ) topológikus térbeli (x i ) i I általánosított sorozat konvergál az x X elemhez, ha bármely V N (x) esetén létezik i V I úgy, hogy bármely i i V esetén x i V. (x i ) R konvergens, ha lim inf i I x i = lim sup x i = lim x i = x. i I i I Legyen I = (0, ) a szokásos rendezési relációval és x i = sin i, y i = i. Ekkor (x i ) nem konvergens, (y i ) konvergens habár nem korlátos. Egy (y j ) j J általánosított sorozatot az (x i ) i I általánosított sorozat általánosított részsorozatának nevezzük, ha létezik egy ϕ : J I függvény úgy, hogy: (i) y j = x ϕ(j), j J; (ii) i I, j i J ú.h. j j i ϕ(j) i. Lehetségesek olyan esetek is, amikor egy sorozatnak nincsenek konvergens részsorozatai, de vannak konvergens általánosított részsorozatai [9, 8]. Egy M halmaz kompaktságát általánosított sorozatokkal úgy jellemezhetjük, hogy bármely M-beli általánosított sorozatnak van konvergens általánosított részsorozata. Az olyan halmazokat, amelyek esetében bármely sorozatnak van konvergens részsorozata, szekvenciálisan kompakt halmazoknak nevezzük. Megszámlálható topológiára nézve a kompaktság és szekvenciális kompaktság egyenértékű fogalmak. Tekintsük a (X, τ) és (Y, σ) topológikus tereket. Az f : X Y függvényről azt mondjuk, hogy folytonos az x 0 X pontban, ha V N (f(x 0 )), U N (x) ú.h. x U f(x) V. Az f függvényről azt mondjuk, hogy folytonos az X halmazon, ha folytonos X minden pontjában..

8 .. ALAPFOGALMAK 5 Tulajdonság.. A következő kijelentések ekvivalensek:. f folytonos X-en. 2. G Y nyílt f (G) nyílt. 3. F Y zárt f (F ) zárt. 4. Ha x i x X f(x i ) f(x). Definíció..2 Azt mondjuk, hogy f : X R alulról félig folytonos (a.f.f.) az x 0 pontban, ha x i x 0 lim inf i I f(x i ) f(x 0 ). Azt mondjuk, hogy f : X R felülről félig folytonos (f.f.f.) az x 0 pontban, ha x i x 0 lim sup f(x i ) f(x 0 ). i I Ha f : X R folytonos az x 0 pontban, akkor x i x lim inf i I f(x i ) = lim sup f(x i ) = lim f(x i ) = f(x). i I i I Tulajdonság..2 Ha f : X Y folytonos és K X kompakt, akkor f(k) kompakt. Definíció..3 Legyen (X, +, ) egy lineáris tér és az X-en megadunk egy τ topológiát. Azt mondjuk, hogy az (X, +,, τ) egy lineáris topológikus tér, ha az összeadás és a skalárral való szorzás folytonosak. A következőkben mindig valós skalárokkal fogunk dolgozni. Az előbbi definícióból következik, hogy egy lineáris topológikus tér esetén elég ha megadjuk az origó egy környezetbázisát. Legyen B az origó egy környezetbázisa. Ekkor egy x X elem esetén B(x) = {x + B : B B} az x egy környezetbázisát alkotja. Egy lineáris térbeli (x i ) i I általánosított sorozatot Cauchy (fundamentális) sorozatnak

9 6. BEVEZETŐ nevezünk, ha az origónak bármely U környezete estén létezik i 0, j 0 I ú.h. x i x j U bármely i i 0, j j 0 esetén. Minden konvergens általánosított sorozat egyben Cauchy sorozat is. Egy lineáris teret teljesnek nevezünk, ha bármilyen általánosított Cauchy sorozat konvergens. Definíció..4 Egy K X halmazról azt mondjuk, hogy konvex, ha x, y K, t [0, ] ( t)x + ty K. Egy M X halmaz esetén konvm jelöli M konvex burkolóját, azaz az M halmazt tartalmazó összes konvex halmazok keresztmetszetét. konvm jelöli a konvex burkoló lezárását. Definíció..5 Az X lineáris topológikus térről azt mondjuk, hogy lokálisan konvex, ha létezik az origónak egy csupán konvex halmazokból álló környezetbázisa. A lokálisan konvex terek jellemzése érdekében bevezetjük a félnorma fogalmát. Definíció..6 Legyen X egy lineáris tér. Egy p : X R függvényt félnormának nevezünk, ha:. p(tx) = t p(x), t R, x X. 2. p(x + y) p(x) + p(y), x, y X. Definíció..7 Ha egy p félnorma még teljesíti a 3. p(x) = 0 x = 0 feltételt is, akkor normának nevezzük. Tétel.. Egy X lineáris topológikus tér lokálisan konvex akkor és csakis akkor, ha létezik egy (p i ) i I félnorma család ú.h. a B = {V i,...,i n,ε : i,..., i n I, ε > 0}, halmazrendszer egy környezetbázisa az origónak, ahol V i,...,i n,ε = { x X : p ij (x) < ε, j {,..., n} }.

10 .. ALAPFOGALMAK 7 Példa... Legyen l : R 2 R egy lineáris függvény. Ekkor p(x) = l(x) egy félnorma és ezen félnorma segítségével az origó egy környezetbázisának az elemei a V p,ε = { x R 2 : l(x) < ε } halmazok. A későbbiekben az általunk tanulmányozott lokális konvex terek félnormái hasonlóak az előbbi példában szereplővel. Megállapíthatjuk, hogy az origónak környezetbázisát ilyen V p,ε sávok és ezek véges metszetei alkotják. Ezen sávok az origóra nézve szimmetrikusak és két párhuzamos hipersík, az l(x) = ε és az l(x) = ε, között helyezkednek el. Végtelen dimenziós terek esetében véges számú ilyen sáv metszete sohasem korlátos. Ezért, végtelen dimenziós Banach terek esetében, az általunk tárgyalt gyenge topológiáknak nincs korlátos halmazokból álló környezetbázisa. Definíció..8 Ha egy X lineáris téren megadunk egy : X R + normát, akkor az (X, ) teret normált térnek nevezzük. Egy normált tér egyben lokálisan konvex tér is. Normált terek esetében viszont az origónak mindig van korlátos halmazokból, azaz gömbökből álló környezetbázisa. Definíció..9 Ha egy normált térben bármilyen Cauchy (fundamentális) sorozat konvergens, akkor a teret Banach térnek nevezzük. Definíció..0 Legyen X egy lineáris tér. Egy, : X X R függvényt skaláris szorzatnak nevezzük, ha teljesíti a következő feltételeket:. x, x 0, x X és x, x = 0 x = x, y = y, x, x, y X. 3. αx + βy, z = α x, z + β y, z, α, β R, x, y, z X. Egy skaláris szorzat mindig származtat egy normát a x = x, x képlet segítségével. Fordítva, egy norma skaláris szorzatból származik akkor és csakis akkor, ha teljesíti a paralelogramma egyenlőséget, azaz x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2), x, y X.

11 8. BEVEZETŐ Definíció.. Ha egy X lineáris téren megadunk egy, skaláris szorzatot, akkor az (X,, ) párost prehilbert térnek nevezzük. Ha ebben a térben bármilyen Cauchy sorozat konvergens, akkor a teret Hilbert térnek nevezzük. Példa..2. Legyen X = C[0, 2π] és x = max{ x(t) : t [0, 2π]}. Ekkor (X, ) Banach tér. Ugyanez elmondható a következő esetben is: X = C 2π (R), vagyis a valós számok halmazán értelmezett folytonos és 2π periódusú függvények halmaza és x = max{ x(t) : t [0, 2π]}. Példa..3. Tekintsük az R n teret a következő normákkal: (x,..., x n ) p = p x p x n p amikor p < és (x,..., x n ) = max{ x,..., x n }. Az R n bármelyik normával Banach teret alkot, de ezen normák közül csak 2 származik skaláris szorzatból. Ez a skaláris szorzat a következő: (x,..., x n ), (y,..., y n ) = x y x n y n. Példa..4. Legyen Ω R n, p < és { I p (Ω) = x : Ω R : x Lebesque mérhető és Ω } x(t) p dt < +. Az I p (Ω) lineáris tér a függvények összeadására és skalárral való szorzására nézve. Tekintsük az I p (Ω) faktorizálását az x y x(t) = y(t) m.m. t Ω

12 .. ALAPFOGALMAK 9 ekvivalencia relációval. A kapott faktorhalmazt L p (Ω)-val jelöljük, ami ugyancsak egy lineáris tér. Értelmezzük Lp (Ω)-n a következő normát: ( x p = x(t) p dt Ω ahol x az [x] ekvivalencia osztálynak egy reprezentánsát jelöli. Az (L p (Ω), p ) Banach tér bámilyen p esetén, de csak p = 2-re Hilbert tér. ) p Ebben az esetben a normát származtató skaláris szorzat: x, y = x(t)y(t)dt. p = esetében az előbbi szerkesztés a következőképpen alakul: Ω I (Ω) = {x : Ω R : x Lebesque mérhető és c > 0, ú.h. x(t) c, m.m.t Ω}. Az L (Ω) lineáris teret az I (Ω)-nak az előbbi ekvivalencia reláció szerinti faktorizálásából kapjuk. Értelmezhetjük a következő normát: x = ess sup x(t) = inf{c > 0 : x(t) c, m.m. t Ω}. t Ω (L (Ω), ) Banach tér ebben az esetben is. Példa..5. A függvényterekhez hasonlóan sorozattereket is értelmezhetünk. Legyen p és l p = { (x n ) R : } x n p <. l p egy lineáris tér és értelmezhetjük rajta a következő normát: ( ) p (x n ) p = x n p. (l p, p ) Banach tér bármilyen p < esetén, viszont csak p = 2-re Hilbert tér. p = esetén n= n= l = {(x n ) R : (x n ) korlátos}.

13 0. BEVEZETŐ l egy Banach tér a következő normával: (x n ) = sup x n. n N Példa..6. A disztribuciók tere mint lokálisan konvex tér. Legyen Ω R n egy nyílt halmaz. C 0 (Ω)-val jelöljük az Ω-n értelmezett akárhányszor differenciálható, kompakt tartójú függvények halmazát. Egy x : Ω R függvény tartóján a következő halmazt értjük: Legyen K Ω kompakt halmaz és supp x = {t Ω : x(t) 0}. C 0 (K, Ω) = {x C 0 (Ω) : suppx K}. Bármilyen K K kompakt halmaz, m N és x C 0 (K, Ω) esetén legyen p K,m félnorma C 0 (K, Ω)-n. p K,m(x) = sup t K k m D k x(t). C 0 (K, Ω) a p K,m félnormákkal lokálisan konvex teret alkot. C 0 (Ω)-n a következőképpen értelmezünk egy lokálisan konvex topológiát: - az origó egy környezetbázisa azon U C 0 (Ω) halmazokból áll, amelyekre U konvex, tu U, t és bármilyen K Ω kompakt halmazra U C 0 (K, Ω) egy környezete az origónak a C 0 (K, Ω) lokálisan konvex térben. A C 0 (Ω)-n értelmezett lokálisan konvex teret D(Ω)-val jelöljük. Ezen a téren a függvénysorozatok konvergenciája a következőt jelenti: x n x akkor és csakis akkor, ha: - létezik K Ω kompakt halmaz ú.h. suppx n, suppx K; - D k x n egyenletesen konvergál a K kompakt halmazon D k x-hez, bármilyen rendű differenciál esetén. A D(Ω)-n értelmezett lineáris és folytonos függvényeket disztribucióknak nevezzük.

14 .2. GYENGE TOPOLÓGIÁK BANACH TEREKBEN.2 Gyenge topológiák Banach terekben Definíció.2. Legyen X egy lokálisan konvex tér. Az X = {x : X R : x lineáris és folytonos}, lineáris teret az X duális terének nevezzük. X jelöli az X biduális terét, amit az X Banach tér duálisaként értelmezhetünk. Példa.2... R n duálisa önmaga, függetlenül attól, hogy melyik normát értelmezzük rajta. 2. < p < esetén az L p (Ω) és l p terek duálisai L q (Ω) és l q, ahol + =. p q 3. L (Ω) és l duálisai L (Ω) és l. 4. A D(Ω) tér duális terét D (Ω)-val jelöljük és a disztribuciók lineáris terét alkotja. Ha X egy Banach tér, akkor X -on értelmezhető a következő norma, amivel együtt X egy Banach teret alkot: x = sup x (x). x = Ezután az x (x) = x, x jelölést fogjuk használni. Definíció.2.2 Az X -on a fentebbi norma által származtatott topológiát a norma topológiájának vagy erős topológiának nevezzük. A norma topológiájára nézve X -ban az origónak egy környezetbázisa a B = {B (0, ε) : ε > 0} halmazrendszer, ahol B (0, ε) az X -beli origó középpontú ε sugarú zárt gömböt jelöli. A következőkben B jelöli az X -beli zárt egységgömböt, B az X-beli zárt egységgömböt, valamint S és S ezek határait.

15 2. BEVEZETŐ Megemlítünk olyan tulajdonságokat és tételeket is, amelyek a funkcionál analízis klasszikus eredményeihez sorolhatók. Legyen X egy Banach tér. Tulajdonság.2. [8] Legyen U egy zárt altere X-nek és x U. x X ú.h. x, x = és x, s = 0, s U. Ekkor létezik Tulajdonság.2.2 [8] Bármilyen x X esetén létezik x X ú.h. x = és x, x = x. Tétel.2. Helly tétele [8] Legyen x 0 X és U X egy véges dimenziós altér. Ekkor bármilyen ε > 0 esetén létezik x ε X ú.h. és x ε x 0 + ε x, x = x, x ε, x U. Tétel.2.2 Riesz tétele [8] Legyen X egy Hilbert tér és x 0 X. Ekkor létezik x 0 X ú.h. x 0, x = x 0, x, x X. Az X -on értelmezünk két másik topológiát is, amelyek gyengébbek a norma topológiájánál. Legyen x X tetszőleges. Ekkor a p x : X R, egy félnormát határoz meg X -on. p x (x ) = x, x, Definíció.2.3 A B w = { V x,...,x n,ε : x,..., x n X, ε > 0 } halmazrendszer, ahol V x,...,x n,ε = {x X : p xi (x ) < ε, i {,..., n}}, az origónak egy környezetbázisát alkotja X -on egy lokálisan konvex topológia számára, amelyet az X gyenge topológiájának nevezünk és σ(x, X)-el jelölünk.

16 .2. GYENGE TOPOLÓGIÁK BANACH TEREKBEN 3 Legyen x X tetszőleges. Ekkor a p x : X R, p x (x ) = x, x, egy félnormát határoz meg X -on. Definíció.2.4 A B w = { V x,...,x n,ε } : x,..., x n X, ε > 0 halmazrendszer, ahol V x,...,x n,ε = { x X : p x i (x ) < ε, i {,..., n} }, az origó egy környezetbázisát alkotja X -on egy lokálisan konvex topológia számára, amelyet az X gyenge topológiájának nevezünk és σ(x, X )-gal jelöljünk. Meghatározunk egy gyenge topológiát X-en is. Legyen x X tetszőleges. Ekkor a p x : X R, p x (x) = x, x, egy félnormát határoz meg X-en. Definíció.2.5 A B w = { V x,...,x n,ε : x,..., x n X, ε > 0 } halmazrendszer, ahol V x,...,x n,ε = { x X : p x i (x) < ε, i {,..., n} }, az origó egy környezetbázisát alkotja X-en egy lokálisan konvex topológia számára, amelyet az X gyenge topológiájának nevezünk és σ(x, X )-gal jelölünk.

17 4. BEVEZETŐ Sorozatok konvergenciájára a következő jelöléseket fogjuk használni: - x i x és x i x, amikor X-en és X -on a norma topológiáját tekintjük; - x i x, amikor X-en a gyenge topológiát tekintjük; - x i x, amikor az X -on a gyenge, σ(x, X ), topológiát tekintjük; - x i x, amikor az X -on a gyenge, σ(x, X), topológiát tekintjük. Véges dimenziós X tér esetén X-en a norma topológiája és a gyenge topológia ekvivalens. Ugyanakkor X -on a norma topológiája, a gyenge és a gyenge -topológiák ekvivalensek. Abban az esetben ha X nem véges dimenziós, a fentebb említett erős és gyenge topológiák különbözők. A következő implikációk érvényesek. x i x x i x x i x x i x x i x x i x x i x x i x. Amint az előbbiekben láttuk, sorozatok erős konvergenciája implikálja a gyenge konvergenciát. Ez fordítva általában nem igaz. Ez azt jelenti, hogy végtelen dimenziós Banach terekben általánosított sorozatok gyenge konvergenciája nem implikálja mindig az erős konvergenciát. Viszont az l -beli sorozatok gyenge és erős konvergenciája ekvivalens. A gyenge konvergenciák jellemzéséről a következőket írhatjuk: Tulajdonság.2.3 x i x x, x i x, x, x X ; x i x x, x i x, x, x X ;

18 .2. GYENGE TOPOLÓGIÁK BANACH TEREKBEN 5 x i x x i, x x, x, x X. Tulajdonság.2.4 Ha x i x X, akkor x lim inf i I x i. Bizonyítás. Az.2.2 tulajdonságból következik, hogy létezik x X ú.h. x = és x, x = x. Ezért x i x, x i x, x = x, tehát lim inf x i x. Ez az előbbi tulajdonság ekvivalens azzal, hogy a : X R norma gyengén alulról félig folytonos, amit a következő fejezetben is felhasználunk. Példa.2.2. Legyen p, q > ú.h. /p + /q = és Ω R n. Ekkor x n x L p (Ω) -ban x n (t)x (t)dt x(t)x (t)dt, x L q (Ω). Ω Ω Példa.2.3. Legyen e n = (0,..., 0,, 0,...) l 2 (-es az n-ik helyen) bármely n N esetén és θ = (0,..., 0,...). Ekkor e n θ, mivel bármely x = (x n ) l 2 -re e n, x = x n 0, n. Ugyanakkor az (e n ) sorozat erősen nem konvergál, mert e n e n+ = 2, bármely n N esetén. Megjegyzés. Ha egy (x n ) sorozartra fennáll, hogy x, x n konvergens, x X, még nem vonja maga után, hogy az (x n ) sorozat gyengén konvergens. Példaként említhetjuk a C([0, ]) Banach teret és az x n (t) = t n függvénysorozatot. A C([0, ])

19 6. BEVEZETŐ izomorf a [0, ] intervallumon korlátos változású függvények azon alterével, amelynek elemei a (0, ) intervallumon jobbról folytonosak és a zéróban zéró értéket vesznek fel. Ez alapján ha x C([0, ]), akkor úgy lehet tekinteni, hogy x : [0, ] R korlátos változású, (0, )-en jobbról folytonos, x (0) = 0 és x, x = 0 x(t)dx (t). Legyen x(t) = { 0, 0 < t <, t = Mivel x n (t) x(t), t [0, ], következik, hogy 0 x n (t)dx (t) 0 x(t)dx (t), x C([0, ]), tehát x, x n konvergens x C([0, ]). De x C([0, ]), tehát (x n ) nem konvergál gyengén egyetlen C([0,])-beli függvényhez sem.

20 .3. GYENGE ZÁRTSÁG ÉS KOMPAKTSÁG 7.3 Banach terek részhalmazainak korlátossága, gyenge zártsága és kompaktsága Egy X lineáris topológikus térbeli M halmazt korlátosnak nevezzük, ha az origó bármely U környezete esetén létezik ε > 0 ú.h. δ M U, 0 δ < ε. Legyen X egy Banach tér. Egy M X halmaz korlátossága az erős topológiára nézve ekvivalens az M korlátosságával az X gyenge topológiájára nézve. Jelölje M az M lezárását az erős topológiára nézve és M w az M lezárását a gyenge topológiára nézve. Ekkor M M w. Egyenlőség nem lehetséges minden esetben. Ezt támasztja alá a korábbi.2.3 példa, amelyik azt is mutatja, hogy az l 2 Hilbert térben az egységgömb felszínének gyenge lezárása az egész egységgömb. Tétel.3. (Mazur) Egy Banach térben a konvex halmazok erős és gyenge lezárása megegyezik. Bizonyítás. Legyen M X egy konvex halmaz. Azt kell bizonyítanunk, hogy M w M, mivel a fordított bennfoglalás mindig igaz. Legyen x 0 M w. Feltételezzük, hogy x 0 M. Ekkor létezik x X és γ > 0 ú.h. x, x 0 < γ x, x, x M. (.3.) Legyen 0 < ε < γ x, x 0. A V x,ε = {x X : x, x < ε} halmaz egy környezete, a gyenge topológiában, az origónak. Továbbá, x 0 + V x,ε egy környezete az x 0 pontnak a gyenge topológiában. létezik x V x,ε ú.h. x = x 0 + x és így Bármilyen x x 0 + V x,ε esetén x, x = x, x 0 + x < x, x 0 + ε < γ.

21 8. BEVEZETŐ Innen viszont az következik, hogy x M, tehát x M, bármely x x 0 + V x,ε esetén. Ez utóbbi ellentmond azzal, hogy x M w. Ami a Banach terek részhalmazainak kompaktságát illeti, megjegyezhetjük, hogy véges dimenziós terek esetében a korlátos és zárt halmazok kompaktak. Ez nem igaz végtelen dimenziós Banach terek esetén, mivel a zárt egységgömb nem kompakt az erős topológiára nézve és gyenge kompaktsága is csak reflexív Banach terekben igaz. Általános esetben a következő tétel érvényes. A tétel igaz normált terek esetén is, de mivel Banach terekkel foglalkozunk, ezekben jelentjük ki. Tétel.3.2 (Alaoglu-Bourbaki) [6, 8] Legyen X egy Banach tér. Ekkor B, az X -beli a zárt egységgömb, gyenge kompakt. Bizonyítás. Legyen x X és I x = [ x, x ] R kompakt halmaz, és tekintsük a T = x X I x szorzatteret, amelynek elemei olyan f : X x X I x leképezések, amelyek teljesítik az f(x) I x, x X feltételt. A T térben a szorzat topológiára való konvergencia azt jelenti, hogy f i f f i (x) f(x), x X. Ekkor B T és a szorzat topológia által származtatott topológia B -on pontosan a gyenge topológia. Tychonov tétele miatt T, mint kompakt topológikus terek szorzattere, kompakt. Emiatt csak azt kell bizonyítani, hogy B zárt T -ben. Ezért legyen (x i ) i I B és f T ú.h. x i f a T topológiájára nézve. Ezen feltételek mellett f lineáris, mert f(αx + βy) = lim i I x i, αx + βy = lim i I x i, αx + lim i I x i, βy = αf(x) + βf(y).

22 .3. GYENGE ZÁRTSÁG ÉS KOMPAKTSÁG 9 Továbbá tehát f B. f(x) = lim i I x i, x x, Megjegyzés. Az előbbi tétel következménye, hogy X bármely korlátos és gyenge - zárt halmaza gyenge -kompakt.

23 20. BEVEZETŐ.4 Reflexív Banach terek Legyen X egy Banach tér. Értelmezzük az I : X X leképezést a következő módon: I(x)(x ) = x, x, x X, x X. Az I leképezés egy lineáris izometria és ezért folytonos és injektív. E leképezés miatt úgy tekinthetjük, hogy X X. Ha B -al jelöljük az X -beli zárt egységgömböt, akkor Helly tétele azt mondja, hogy B sűrű B -ban a σ(x, X ) topológiára nézve. Ez azt jelenti, hogy bármely x B esetén létezik (x i ) i I B ú.h. I(x i ) konvergál x -hoz a σ(x, X ) topológiára nézve (jelölés: I(x i ) x ). Definíció.4. Azon X Banach tereket, amelyek esetében az I leképezés szürjektív, reflexív Banach tereknek nevezzük. Reflexív Banach terek esetében úgy tekinthetjük, hogy X = X. Ugyanakkor az X -on meghatározott két gyenge topológia, a σ(x, X) és a σ(x, X ), ekvivalens. A következőkben a reflexív Banach terek két jellemzését adjuk. Tétel.4. X reflexív akkor és csakis akkor ha X reflexív. Bizonyítás. Legyen I : X X és I : X X a két lineáris izometria. Mivel X reflexív, bármilyen x X esetén létezik x X ú.h. x = I(x). Legyen x X. Ezen elem esetén létezik x = x I X ú.h. I (x ) = x, mert x, x = x, I(x) = x I, x = x, x = = I(x), x = x, x, x X. Feltételezzük, hogy X reflexív és X nem reflexív. Ekkor I(X) zárt altere X -nak és létezik x 0 X \ I(X). Az.2. tulajdonságból

24 .4. REFLEXÍV BANACH TEREK 2 következik, hogy létezik x X ú.h. x, x 0 = és x, I(x) = 0, x X. Mivel X reflexív, létezik x X ú.h. x = I (x ). Ekkor viszont 0 = x, I(x) = I(x), x = x, x, x X, tehát x 0 és innen x 0, ami ellentmodás azzal, hogy x, x 0 =. Tétel.4.2 X reflexív akkor és csakis akkor, ha B, az X-beli zárt egységgömb, gyengén kompakt. Bizonyítás. Az Alaoglu-Bourbaki tételt X -ra alkalmazva az kapjuk, hogy B σ(x, X ) kompakt. Mivel X reflexív, I(B) = B. Legyen (x i ) i I B. Mivel (I(x i )) i I B, következik, hogy létezik (I(x j )) j J általánosított részsorozat és x = I(x) B ú.h. I(x j ) I(x). Ez viszont ekvivalens azzal, hogy I(x j ), x I(x), x, x X x, x j x, x, x X x j x. Elég azt bizonyítanunk, hogy I(B) = B. Legyen x B. Mivel I(B) sűrű B -ban, következik, hogy létezik (x i ) i I B ú.h. I(x i ) x. Mivel B gyengén kompakt, létezik (x j ) j J általánosított részsorozat és x B ú.h. x j x. Ekkor viszont I(x j ) I(x) és mivel az I(x i ) konvergens általánosított sorozatnak egyetlen torlódási pontja lehet, következik, hogy x = I(x).

25 22. BEVEZETŐ Megjegyzés. Az előbbi tételt úgy is kijelenthettük volna, hogy X reflexív akkor és csakis akkor, ha bármely korlátos, zárt és konvex halmaz gyengén kompakt. Példa.4... L p (Ω) reflexív, ha < p <, mert (L p (Ω)) = L q (Ω) és (L q (Ω)) = L p (Ω), ahol /p + /q =. 2. L (Ω) és L (Ω) nem reflexívek, mivel (L (Ω)) = L (Ω) és (L (Ω)) = M(Ω), a végesen additív pozitív Radon mértékek halmaza, amelyik nem egyenlő L (Ω)-val. A függvényterek közül nem reflexív a C([0, ]) sem. 3. A sorozatterek közül reflexív az l p, < p < esetben. Nem reflexív a c 0, l, l. Ez utóbbiak között a következő relációk érvényesek: (c 0 ) = l, (l ) = l. 4. Bármilyen Hilbert tér reflexív, mivel Riesz Frigyes tétele alapján, egy Hilbert tér duálisa megfeleltethető önmagának. 5. A véges dimenziós Banach terek reflexívek. Bizonyítunk egy olyan tulajdonságot amely reflexív terekben érvényes és fontos szerepet fog játszani a következő fejezetekben. Tulajdonság.4. Legyen X egy reflexív Banach tér. Ekkor bármilyen x 0 X, x 0 = esetén létezik x 0 X ú.h. x 0 =, x 0, x 0 =. Bizonyítás. Legyen x 0 X, x 0 =. Bármilyen x X, x esetén x 0, x. Ugyanakkor sup x 0, x =. x Az x 0, mint egy lineáris és folytonos függvény, gyengén is folytonos. B gyengén kompakt, tehát x 0 eléri maximumát B-n, azaz létezik x 0 B ú.h. x 0 = és x 0, x 0 =.

26 .4. REFLEXÍV BANACH TEREK 23 Példa.4.2 Legyen x : c 0 R ú.h. Ekkor x, (x n ) = n= x = x n n!, (x n) c 0. de bármely (x n ) c 0, (x n ) esetén x n, n N és bármely 0 < ε < esetén n= n! létezik n ε N ú.h. x n < ε, n n 0. Emiatt x, (x n ) < Ez a példa is mutatja, hogy c 0 nem reflexív. n= n!.

27 24. BEVEZETŐ

28 2 Banach terek geometriai tulajdonságai 2. Szigorúan konvex Banach terek Ebben a fejezetben a Banach terek azon tulajdonságaival foglalkozunk, amelyeket a norma származtat. Ezeket geometriai tulajdonságoknak nevezik, mivel többek között az egységgömb felszínének alakjával, annak gömbölyűségével vannak kapcsolatban. Definíció 2.. Egy X Banach teret szigorúan konvexnek nevezünk, ha bármely x, y X, x = y =, x y elemekre fennáll, hogy ( t)x + ty <, t (0, ). E definíció alapján, egy szigorúan konvex Banach tér egységgömbjének felszíne nem tartalmaz szakaszokat. Példa Az első fejezetben említett (R n, p ) Banach terek < p < esetén szigorúan konvexek, p = és p = esetén nem szigorúan konvexek. 2. A függvényterek közül a C([0, ]), L (Ω), L (Ω) nem szigorúan konvexek. Az L p (Ω) terek szigorúan konvexek, ha < p <. 3. A sorozatterek közül a c 0, l, l nem szigorúan konvexek, az l p terek, < p < 25

29 26 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSÁGAI esetében viszont szigorúan konvexek. A szigorúan konvex Banach tereket a következőképpen lehet jellemezni. Tétel 2.. Egy X Banach tér esetén ekvivalensek a következő kijelentések:. X szigorúan konvex. 2. Bármilyen x X legtöbb egy pontban éri el maximumát az egységgömb határán. 3. Bármilyen x, y X, x = y =, x y, esetén (x + y) <. 2 Bizonyítás.. 2. Feltételezzük, hogy létezik x X és x, y X ú.h. x = y =, x y és x, x = x, y = x. Ekkor x = x, 2 (x + y) x (x + y). 2 Tehát Ugyanakkor tehát ami ellentmond a szigorú konvexitásnak Legyen x, y X ú.h. (x + y). 2 2 (x + y) ( x + y ), 2 (x + y) =, 2 x = y =, x y, (x + y) =. 2 A Hahn-Banach tételből következik, hogy létezik x X ú.h. x =, x, (x + y) =. 2

30 2.. SZIGORÚAN KONVEX BANACH TEREK 27 Ugyanakkor x, x és x, y, tehát x, x = x, y =. Ez viszont ellentmond a 2.-nek. 3.. Jelöljük (u, v)-vel az X Banach térben az u-t a v-vel összekötő, végpontok nélküli, szakaszt. Legyen x, y X ú.h. x = y = és x y. Ekkor (x + y) <, ami azt jelenti, 2 hogy (x+y) az egységgömb belsejében van. Az egységgömb egy konvex halmaz, tehát 2 az (x, (x + y)) és az ( (x + y), y) végpontok nélküli szakaszok teljes egészükben az 2 2 egységgömb belsejében vannak, ez pedig a szigorú konvexitást igazolja.

31 28 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSÁGAI 2.2 Lokálisan uniform konvex Banach terek Definíció 2.2. Az X Banach teret lokálisan uniform konvexnek nevezzük, ha bármely x X, x = és bármely ε > 0 esetén létezik δ = δ(x, ε) > 0 ú.h. bármely y X, y =, elemre (x + y) δ x y ε. (2.2.) 2 Az előbbi definicióban a (2.2.) implikációt a következőképpen is írhattuk volna: x y ε (x + y) δ. 2 A lokális uniform konvexitásnak a következő ekvivalens definicióját is adhattuk volna: Definíció X lokálisan uniform konvex, ha bármilyen x X, x = és bármilyen (x n ) n N X, x n =, n N sorozat esetén x + x n 2 x x n 0, vagy lim inf x x n > 0 lim sup x + x n < 2. n N Bármilyen lokálisan uniform konvex tér egyben szigorúan konvex is. Ez valóban így van, mert ha x = y = és x y, akkor az x X-hez és ε = x y > 0-hoz rendelhetünk egy δ > 0 számot ú.h. n N (x + y) δ <. 2 A fordított implikáció csak véges dimenziós Banach terek esetében igaz. A lokálisan uniform terek fontossága a következő két tulajdonságukban rejlik. Tulajdonság 2.2. [4] Bármilyen X reflexív Banach térben meg lehet határozni egy, az eredeti normával ekvivalens új normát, ú.h. az új normát tekintve az X és az X is lokálisan uniform konvex Banach tér lesz.

32 2.2. LOKÁLISAN UNIFORM KONVEX BANACH TEREK 29 Megjegyezzük, hogy egy ekvivalens norma bevezetésével az X elemei ugyanazok a függvények maradnak. Lokálisan uniform konvex terekben a gyenge és az erős konvergencia között a következő kapcsolat létezik. Tulajdonság Legyen X egy lokálisan uniform konvex Banach tér, x X és (x n ) n N X. Ekkor x n x és x n x x n x. Bizonyítás. Ha x = 0 akkor evidens, mert x n 0 implikálja, hogy x n 0. Ha x 0, akkor legyen Ekkor y + y n 2y és így y = x x és y n = x n x n. 2 = 2y lim inf n y + y n lim sup y + y n 2. n Tehát lim y + y n = 2 n és a lokális uniform konvexitás miatt y y n 0, azaz y n y. Ezáltal x n x.

33 30 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSÁGAI 2.3 Uniform konvex Banach terek Definíció 2.3. Egy X Banach teret uniform konvexnek nevezünk, ha bármilyen ε > 0 esetén létezik δ = δ(ε) ú.h. (x + y) δ x y ε (2.3.) 2 bármilyen x, y X, x = y =, esetén. Az előbbi definicióban a (2.3.) implikációt a következőképpen is írhattuk volna: x y ε (x + y) δ. 2 Az uniform konvexitásnak a következő ekvivalens definıicióját is adhattuk volna: Definíció X uniform konvex, ha bármilyen (x n ) n N X, x n = n N és (y n ) n N X, y n = n N, sorozatok esetén x n + y n 2 x n y n 0 vagy lim inf x n y n > 0 lim sup x n + y n < 2. n N Bármilyen uniform konvex tér egyben lokálisan uniform konvex és szigorúan konvex is. A fordított implikáció csak véges dimenziós Banach terek esetében igaz. n N Tulajdonság 2.3. Legyen X egy véges dimenziós Banach tér. Ekkor X szigorúan konvex akkor és csakis akkor, ha uniform konvex. Bizonyítás. Azt kell bizonyítanunk, hogy ha X szigorúan konvex, akkor uniform konvex is, mivel fordítva mindig igaz. Legyen (x n ) n N és (y n ) n N két sorozat ú.h. x n = y n =, n N, 2 (x n + y n ) és x n y n 0.

34 2.3. UNIFORM KONVEX BANACH TEREK 3 Mivel X véges dimenziós, az egységgömb kompakt halmaz, tehát létezik két részsorozat (x nk ) k N és (y n k) k N ú.h. Ekkor ami ellentmond a szigorú konvexitásnak. x nk x, y n k y és x = y =. (x + y) = és x y, 2 E tulajdonság és a 2.. példa alapján az (R n, p ) uniform konvex tér bármilyen < p < esetén. Példa 2.3. Bármilyen Hilbert tér uniform konvex. Ahhoz, hogy ezt bizonyítsuk, azt kell felhasználnunk, hogy x n y n 2 + x n + y n 2 = 2 ( x n 2 + y n 2) = 4, amikor x n = y n =. Az előbbi egyenlőségből következik, hogy ha x n + y n 2, akkor x n y n 0. Példa Az l p és L p (Ω) terek uniform konvexek, ha < p <. Bebizonyítjuk az L p (Ω) terek uniform konvexitását. Felhasználjuk a következő két egyenlőtlenséget [0]: (x + y) 2 ( 2 ( x + y ) 2 x p + ) p 2 y p max{ x, y } (2.3.2) és 2 ( x p + y p ) (x + y) 2 ahol c >, s = ha p < 2 és s = p 2 p c (x y) 2 p s ( 2 ( x p + y p ) ha p 2, rögzített konstansok. Legyen x, y L p (Ω). A következő jelöléseket használjuk: ( m = 2 x p + ) p 2 y p, M = max{ x, y }. ) s, (2.3.3)

35 32 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSÁGAI Ahhoz, hogy az uniform konvexitás fennálljon, tetszőleges ε > 0 számhoz kell létezzen δ > 0 ú.h. 2 x + y ( δ)m x y εm. 2 Felhasználva a és relációkat, azt kapjuk, hogy és δ ( Ha a δ értéket úgy választjuk, hogy c ( ) p ) p s x y 2m ( ) p s c x y ( δ) p. 2m δ = ( ( ) cε) p p s, akkor x y εm εm. 2 Egy Banach tér reflexivításából nem lehet következtetéseket levonni a tér geometriájára vonatkozóan. Példaként az R n -et lehetne említeni, mert több ekvivalens normát lehet rajta bevezetni, mindegyik különböző geometriai tulajdonsággal. Fordított implikáció lehetséges uniform konvex terek esetében. Tétel 2.3. (Milman, Pettis) Bármilyen uniform konvex Banach tér reflexív. Bizonyítás. Legyen x X. Feltételezhetjük, hogy x =. Mivel I(B) sűrű B -ban, létezik (x i ) i I B ú.h. I(x i ) x. Ezáltal I(x i + x j ) x -hoz, tehát 2 = 2 x lim inf i,j I I(x i + x j ) lim sup I(x i + x j ) 2, i,j I

36 2.3. UNIFORM KONVEX BANACH TEREK 33 tehát Az uniform konvexitás miatt lim I(x i + x j ) = 2 és i,j I lim x i x j = 0. i,j I A tér teljességéből következik, hogy az (x i ) i I x B, x = elemhez, mert egyenlőtlenségek miatt tehát = x lim inf i I Emiatt I(x i ) I(x), tehát I(x) = x. lim x i + x j = 2. i,j I általánosított sorozat konvergens egy I(x i ) lim sup I(x i ) i I lim I(x i ) =, i I lim x i =. i I Amint említettük, egy X reflexív Banach térben bevezethető egy norma, amelynek segítségével X és X is lokálisan uniform konvex. Hasonló általános eredmény ekvivalens uniform konvex norma bevezethetőségéről nem lehetséges. Emiatt azokat az X Banach tereket, amelyekben létezik olyan ekvivalens norma, amelynek segítségével X és X is uniform konvex, szuperreflexív tereknek nevezzük és a reflexív tereknek egy speciális osztályát alkotják. Bebizonyítunk egy olyan tulajdonságot, amelyet az 5. fejezetben fogunk használni. Tulajdonság Legyen X egy uniform konvex Banach tér és < p <. Létezik egy monoton növekvő δ p : R + R + függvény ú.h. δ p (r) > 0, amikor r > 0 és bármely x, y X, x + y > 0, esetén p ( )) (x + y) x y x 2 ( p + y p δ p. sup{ x, y } 2

37 34 2. BANACH TEREK GEOMETRIAI TULAJDONSÁGAI Bizonyítás. Elég megmutatni, hogy x =, y és x y ε esetén fennáll (x + y) 2 p ( δ p (ε)) + y p 2 Feltételezzük, hogy nem igaz. Ekkor létezik egy ε > 0 és két (x n ) n N, (y n ) n N sorozat ú.h. x n =, y n, x n y n ε és mégis lim n 2 (x n + y n ) p 2 ( + y n p ) =. Ez a határérték csak akkor lehetséges, ha y n, mert bármilyen c 0, c. esetén ( 2 ( + c)) p ( + 2 cp ) és egyenlőség csak c = esetén lehetséges. Ezért ami ellentmond az uniform konvexitásnak. < 2 (x n + y n ),

38 3 A duális leképezés 3. Konvex függvények Ebben a paragrafusban megemlítjük a konvex függvényekre és azok differenciálására vonatkozó alapvető fogalmakat és eredményeket. Legyen X egy Banach tér és K X egy konvex halmaz. Definíció 3.. Egy f : K R függvényt konvexnek nevezünk, ha f(( t)x + ty) ( t)f(x) + tf(y), x, y K, t [0, ]. Definíció 3..2 Egy f : K R konvex függvény epigráfjának nevezzük a következő halmazt: epi f = {(x, t) K R : t f(x)}. Az előbbi definícióból látszik, hogy f konvex függvény akkor és csakis akkor, ha epif konvex halmaz. Definíció 3..3 Az f : K R függvényt alulról félig folytonosnak (a.f.f.) nevezzük x 0 K-ban, ha f(x 0 ) = lim inf x x 0 f(x) = sup r>0 inf f(x). x K B(x 0,r) Sorozatokkal a következőképpen lehet meghatározni az alulról félig folytonosságot: x n x 0 f(x 0 ) lim inf n f(x n). 35

39 36 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Ugyanakkor azt mondjuk, hogy f a.f.f. K-n, ha a.f.f. bármelyik x 0 K pontban. Ez alapján belátható, hogy f a.f.f. K-n, ha bármilyen t R esetén az {x K : f(x) t} nívóhalmazok zártak. Ha a nívóhalmazok az X-beli gyenge topológiára nézve zártak, azt mondjuk, hogy f gyengén a.f.f. A konvex és a.f.f. függvények jellemzéséről a következőt mondhatjuk. Tulajdonság 3.. Legyen K konvex és zárt. Ekkor egy f : K R, f + függvény konvex és a.f.f. akkor és csakis akkor, ha epif konvex és zárt. Ebből a tulajdonságból látszik, hogy konvex függvények esetén az alulról félig folytonosság ekvivalens a gyengén alulról félig folytonossággal. Definíció 3..4 Legyen f : K R egy konvex függvény és x 0 K. Az x 0 X funkcionált f szubgradiensének nevezzük az x 0 pontban, ha f(x) f(x 0 ) x 0, x x 0, x K. Az f függvény x 0 pontbeli szubdifferenciáljának nevezzük az szubgradiensekből álló halmazt, vagyis f(x 0 ) = {x 0 X : f(x) f(x 0 ) x 0, x x 0, x K}. Példa 3.. Legyen f : R R, f(x) = x. Ekkor, x < 0 ( x ) = [, ], x = 0, x > 0. Példa 3..2 Legyen K X egy konvex, zárt halmaz. Tekintsük az I K : K R, I K (x) = { 0, x K +, x K

40 3.. KONVEX FÜGGVÉNYEK 37 függvényt, amit a K halmaz indikátor függvényének nevezünk. amikor K zárt és konvex, az I K konvex és a.f.f. Szubdifferenciálja: I K (x 0 ) =, x 0 K {0}, x 0 intk {x 0 X : x 0, x x 0 0, x K}, x 0 K. Ebben az esetben, A I K (x 0 ) halmazt a K halmaz normális kúpjának nevezzük az x 0 pontban. Tulajdonság 3..2 Legyen K X zárt és konvex, f : K R, f +, konvex és a.f.f. Ekkor f(x), x K. Definíció 3..5 Legyenek X, Y Banach terek, K X, x 0 intk és f : K Y. ) Azt mondjuk, hogy f Gâteaux differenciálható az x 0 pontban, ha létezik egy Df(x 0 ) L(X, Y ) lineáris leképezés ú.h. f(x 0 + th) f(x 0 ) lim t 0 t = Df(x 0 )(h), h X. 2) Azt modjuk, hogy f Fréchet differenciálható az x 0 pontban, ha létezik egy Df(x 0 ) L(X, Y ) lineáris leképezés ú.h. f(x) f(x 0 ) Df(x 0 )(x x 0 ) lim x x 0 x x 0 = 0. Ha f differenciálható egy halmaz minden pontjában akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható az illető halmazon. A Fréchet differenciálhatóságból következik a Gâteaux differenciálhatóság. Fordítva csak abban az esetben igaz, ha X = R. Azonban, ha f Gâteaux differenciálható az x 0 pont egy környezetében és Df( ) folytonos x 0 -ban, akkor f Fréchet differenciálható x 0 -ban. Példa 3..3 Egy egyszerű példa egy olyan függvényre, amelyik Gâteaux, de nem Fréchet differenciálható az origóban: f : R 2 R, f(x, y) = {, y = x2 0 0, máshol.

41 38 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Példa 3..4 Tekintsük az f : X R, f(x) = x függvényt. f konvex, folytonos függvény és ha x 0 0, akkor x 0 ( x 0 ) x 0 =, x 0, x 0 = x 0. Bizonyítás. Legyen x 0 ( x 0 ). Ekkor x x 0 x 0, x x 0, x X. Innen x x 0 x 0, x x 0, amiből következik, hogy x 0. x = 0 esetében x 0 x 0, x 0, ahonnan x 0, x 0 x 0 és x 0. Az utóbbi relációk alapján x 0 = és x 0, x 0 = x 0. x 0, x x 0 = x 0, x x 0, x 0 x x 0. Tulajdonság 3..3 [4] Egy f : K R konvex, a.f.f. függvény Gâteaux differenciálható x 0 -ban akkor és csakis akkor, ha f(x 0 ) = {Df(x 0 )}. Definíció 3..6 Egy X Banach teret simának nevezünk, ha bármely x 0 0 pontban a norma Gâteaux differenciálható. A 3..4 példából és a 3..3 tulajdonságból következik, hogy: Tulajdonság 3..4 Egy X Banach tér sima akkor és csakis akkor, ha bármely x X, x 0, esetén létezik egyetlen x X ú.h. x =, x, x = x.

42 3.. KONVEX FÜGGVÉNYEK 39 Definíció 3..7 Egy X Banach teret lokálisan uniform simának nevezünk, ha bármely x 0 0 pontban a norma Fréchet differenciálható. Definíció 3..8 Egy X Banach teret uniform simának nevezünk, ha B- n, az egységgömb felületén, a norma egyenletesen Fréchet differenciálható. Egy Banach tér konvexitása és duálisának simasága között a következő összefüggések lehetségesek: Tulajdonság 3..5 ) X szigorúan konvex X sima. 2) X lokálisan uniform konvex X lokálisan uniform sima. 3) X uniform konvex X uniform sima. Bizonyítás. ) Legyen x 0 X, x 0 0. Mivel X szigorúan konvex, I(x 0 ) X csak egyetlen pontban éri el maximumát az X egységgömbjén és a 3..4 példa alapján ez azt jelenti, hogy ( x 0 ) egyetlen elemet tartalmaz. A 3..3 tulajdonság szerint ez a Gâteaux differenciálhatóság szükséges és elégséges feltétele. 2) Ennek a pontnak a bizonyítása érdekében a tulajdonságra és a 3.2. megjegyzésre kell hivatkoznunk. Ezek alapján, ha X lokálisan uniform konvex, akkor a J duális leképezés folytonos és mivel az X egyben szigorúan konvex is, a norma Gâteaux differenciálható bármely x 0 pontban. Ugyanakkor ( x ) = x J(x), ami azt jelenti, hogy a Gâteaux differenciál folytonos, tehát a norma Fréchet differenciálható. 3) A bizonyítás hasonló az előbbi pont bizonyításához, csak itt azt kell figyelembe venni, hogy J egyenletesen folytonos az egységgömb határán. Továbbá igazolható ([4, 8]), hogy

43 40 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Tulajdonság 3..6 ) X sima X szigorúan konvex. 2) X uniform sima X uniform konvex. 3) X reflexív és sima X szigorúan konvex. 4) X uniform sima X uniform konvex. 5) X reflexív és szigorúan konvex X sima. 6) X reflexív és lokálisan uniform konvex X lokálisan uniform sima. 7) X uniform konvex X uniform sima.

44 3.2. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS TULAJDONSÁGAI A duális leképezés tulajdonságai Legyen X és Y két Banach tér. Egy olyan F leképezést, amelyik minden x X ponthoz, hozzárendel egy F (x) Y halmazt, halmazértékű, vagy többértékű leképezésnek nevezzük. Jelölés: F : X Y. A következő halmazt az F halmazértékű leképezés tényleges értelmezési tartományának nevezzük és DomF -el jelöljük: DomF = {x X : F (x) }. Definíció 3.2. Legyen X egy Banach tér. A J : X X, J(x) = {x X : x, x = x x = x 2 }, halmazértékű leképezést, az X Banach tér duális leképezésének nevezzük. Tétel 3.2. (Asplund) J(x) = ( ) 2 x 2. Bizonyítás. x = 0 esetén ( x 2) {0} = J(0) = 2 x=0. Tekintsünk egy tetszőleges x 0 elemet. Legyen x J(x). Ekkor x x, x = x és x x =. Innen amiből következik, hogy x x ( x ), x x ( x ) ( ) 2 x 2.

45 42 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Legyen x ( 2 x 2). Ekkor 2 y 2 2 x 2 x, y x, y X. (3.2.) Tekintsünk egy olyan tetszőleges y X elemet, amelyre y = x. A (3.2.) reláció ebben az esetben azt mutatja, hogy 0 x, y x. Tehát x, y x, x, y Y ú.h. y = x. Végigosztva az egyenlőtlenséget x -el, azt kapjuk, hogy Ez alapján ahonnan következik, hogy x, z x x, x, z X, z =. x = sup x, z z = x x, x x, x, x = x x. A (3.2.) egyelőtlenségben az y n = ( + ) x n elemeket helyettesítve, következik, hogy Innen 2 Ha n, akkor x 2 x, x. A (3.2.) egyenlőtlenségben az ( ( + ) 2 ) x 2 n x, n x. ( n 2 2 n + ) x 2 x, x. n 2 y n = ( ) x n

46 3.2. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS TULAJDONSÁGAI 43 elemeket helyettesítve, a fordított egyenlőtlenséget kapjuk, azaz x 2 x, x. Tehát x 2 = x, x, és ezáltal x J(x). Megjegyzés Ha X szigorúan konvex, akkor a norma Gâteaux differenciálható bármely x 0 pontban. Ekkor mivel J(x), y = lim t 0 x + ty 2 x 2 2t ( ) J(x) = D 2 x 2 = x D( x ), x + ty x x + ty + x = lim t 0 t 2 = x D( x ). Összefoglaljuk a duális leképezés alapvető tulajdonságait: = Tulajdonság 3.2. ) Bármilyen x X esetén J(x), korlátos, konvex, gyenge -zárt és emiatt gyenge - kompakt. 2) A duális leképezés monoton, azaz x y, x y 0, x, y X, x J(x), y J(y). 3) J(tx) = tj(x) és J( x) = J(x), t > 0, x X. 4) J lineáris akkor és csakis akkor, ha X Hilbert tér. 5) Legyen J : X X az X duális leképezése. Ekkor x J(x) x J (x ). Az előbbi reláció azt jelenti, hogy ha X reflexív Banach tér, akkor J : X X a J inverzének tekinthető.

47 44 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Bizonyítás. ) Az )-es tulajdonság annak a következménye, hogy J(x) = ( 2 x 2 ) és az 2 x 2 egy konvex és folytonos függvényt határoz meg. Bizonyítsuk előbb a J(x) konvexitását. Legyen x, x 2 J(x) és t [0, ]. Ekkor és 2 y 2 2 x 2 x, y x, y X 2 y 2 2 x 2 x 2, y x, y X. Az első egyenlőtlenséget ( t)-vel, a másodikat t-vel szorozva és összeadva azt kapjuk, hogy azaz 2 y 2 2 x 2 ( t)x + tx 2, y x, y X, ( t)x + tx 2 ( ) 2 x 2. Azért, hogy bizonyítsuk a J(x) gyenge zártságát, legyen (x i ) i I J(x) ú.h. x i x. A gyenge konvergencia miatt Ugyanakkor tehát x i, y x x, y x, y X. 2 y 2 2 x 2 x i, y x, y X, 2 y 2 2 x 2 x, y x, y X, 2) Legyen x J(x) és y J(y). Ezen elemekre fennáll, hogy és 2 y 2 2 x 2 x, y x 2 x 2 2 y 2 y, x y. Összeadva az utóbbi két egyenlőtlenséget, következik, hogy x y, x y 0.

48 3.2. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS TULAJDONSÁGAI 45 3) Legyen t > 0. Ekkor x tj(x) t x, x = t x x = x 2 x, tx = x tx = tx 2 x J(tx). Továbbá x J( x) x, x = x x = x 2 x, x = x x = x 2 x J(x). 4) Legyen X egy Hilbert tér. Ekkor J(x), h = lim t 0 2 x + th 2 2 x 2 t = = 2 lim t 0 = 2 lim t 0 x + th, x + th x, x t 2t x, h + t 2 h, h t = = = 2 lim 2 x, h + t h, h = x, h, h X. t 0 Ez alapján a J(x) X lineáris és folytonos függvénynek megfeleltethető az x X elem ú.h. J(x), h = x, h, h X, ami azt is jelenti, hogy J lineáris és azt is, hogy úgy tekinthető mintha J = I az X tér identitása lenne. Tudjuk, hogy X Hilbert tér akkor és csakis akkor, ha fennáll a paralelogramma egyenlőség, azaz x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2, x, y X. Legyen x J(x) és y J(y). Mivel J lineáris x + y J(x + y) és x y J(x y).

49 46 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Ezáltal x + y 2 + x y 2 = x + y, x + y + x y, x y = = x, x + x, y + y, x + y, y + + x, x x, y y, x + y, y = = 2 x, x + 2 y, y = 2 x y 2.

50 3.3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS ÉS A TÉR KAPCSOLATA A duális leképezés és a tér geometriai tulajdonságai közötti kapcsolat Ebben a paragrafusban a duális leképezés azon tulajdonságaival foglalkozunk, amelyek a tér különböző geometriai tulajdonságaival vannak kapcsolatban. A hangsúlyt a duális leképezés monotonitására és folytonosságára helyezzük. Először megadjuk a különböző monotonitások definícióit. Legyen F : X X egy többértékű leképezés. Definíció 3.3. a) Azt mondjuk, hogy F monoton, ha x y, x y 0, x, y DomF, x F (x), y F (y). b) Azt mondjuk, hogy F szigorúan monoton, ha monoton és x y, x y > 0, x y DomF, x F (x), y F (y). c) Azt mondjuk, hogy F ϕ-monoton, ha x y, x y ϕ ( x y ) x y, x, y DomF, x F (x), y F (y), ahol ϕ : R + R + egy olyan monoton növekvő függvény, amelyre ϕ(0) = 0 és ϕ(r) > 0 amikor r > 0. d) Azt mondjuk, hogy F erősen monoton, ha x y, x y c x y 2, x, y DomF, x F (x), y F (y), ahol c > 0 egy rögzített konstans. Az előbbi definíciókból következik, hogy erősen monoton ϕ-monoton szigorúan monoton monoton.

51 48 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Tulajdonság 3.3. X szigorúan konvex akkor és csakis akkor, ha J szigorúan monoton. Bizonyítás. Legyen x y X és x J(x), y J(y). Feltételezzük, hogy x y, x y = 0. Ekkor tehát 0 = x y, x y = x, x x, y y, x + y, y x 2 x y y x + y 2 = ( x y ) 2 0, x = y. Mivel X szigorúan konvex és x, x x = x, következik, hogy Emiatt x, y < x 2. Hasonlóan x, y, és innen y, x < y 2. Ezek alapján ami ellentmondás. y y x x < x. < y, 0 = x y, x y = x, x x, y y, x + y, y > > x 2 x 2 y 2 + y 2 = 0, Legyen x, y X, t n (0, ), x J(x) és x n J(x + t n y). Ekkor 2 x + t ny 2 2 x 2 x, t n y és 2 x 2 2 x + t ny 2 x n, t n y.

52 3.3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS ÉS A TÉR KAPCSOLATA 49 Ezek alapján x, y 2 x + t ny 2 2 x 2 t n x n, y. (3.3.) Feltételezzük, hogy X nem szigorúan konvex, tehát létezik x x 2 X ú.h. x = x 2 = és tx + ( t)x 2 =, t (0, ). Egy t n 0 sorozat esetén x 2 + t n (x x 2 ) = és felhasználva a (3.3.) relációt, azt kapjuk, hogy az x 2 J(x 2 ) és x n J(x 2 + t n (x x 2 )) elemekre fennáll, hogy x 2, x x 2 2 x 2 + t n (x x 2 ) 2 2 x 2 2 t n x n, x x 2. (3.3.2) Innen x 2, x x 2 0 és x n, x x 2 0. Mivel x 2 + t n (x x 2 ) x 2, a [4] Prop 3.4 alapján létezik egy (x n k ) részsorozat és y J(x 2 ) ú.h. x n k, x x 2 y, x x 2. Ezáltal y J(x 2 ) és y, x x 2 = 0. Hasonló gondolatmenet alapján létezik z J(x ) ú.h. z, x 2 x = 0. Tehát x x 2, y J(x 2 ), z J(x ) és z y, x x 2 = 0, ami ellentmond a szigorú konvexitással. Megjegyzés. Ha J szigorúan monoton, akkor J injektív, azaz x x 2, x J(x ) és x 2 J(x 2 )-ből következik, hogy x x 2.

53 50 3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS Tulajdonság [5] Ha X uniform konvex, akkor a duális leképezés ϕ R -monoton bármilyen B(0, R) zárt gömben. Bizonyítás. Legyen X uniform konvex és R > 0. Meghatározzuk a ϕ R : R + R + függvényt a következő módon: ϕ(0) = 0, ϕ(r) = ϕ(2r), r > 2R és 0 < r 2R esetén ϕ R (r) = inf x, y B(0, R) x y r x J(x), y J(y) x y x y, x y. A ϕ R függvény meghatározásából következik, hogy monoton növekvő. Azt kell tehát bizonyítanunk, hogy r > 0 esetén ϕ R (r) > 0. Feltételezzük az ellenkezőjét, azaz, hogy létezik r (0, 2R] úgy, hogy ϕ R (r) = 0. Ekkor léteznek (x n ) n N, (y n ) n N B(0, R), x n J(x n ), yn J(y n ) úgy, hogy x n y n r és x n y n x n y n, x n y n 0. Innen x n y n, x n y n 0 és mivel 0 ( x n y n ) 2 x n y n, x n y n, következik, hogy lim x n = lim y n = a > 0. n n Legyen u n = x n x n, v n = y n y n,

54 3.3. A DUÁLIS LEKÉPEZÉS ÉS A TÉR KAPCSOLATA 5 Mivel u n = x n x n x n J(x n) = J(u n ), v n = y n y n y n J(y n) = J(v n ). lim inf n u n v n = a az uniform konvexitás implikálja, hogy lim inf n x n y n r a, Ugyanakkor, mivel lim sup n x n y n = a lim sup u n v n < 2a. n és következik, hogy Emiatt tehát ami ellentmondás. lim n u n vn, u n v n = lim x n yn, x n y n = 0 n 0 ( u n 2 u n, v n ) + ( v n 2 v n, u n ) = = u n v n, u n v n 0, lim n u n, v n = lim v n n, u n =. lim n x n, y n = lim y n n, x n = a, 2a 2 = lim n x n, x n + y n lim n x n + y n x n < 2, A következő tulajdonság következik a 3.2. tulajdonság 4) pontjából: Tulajdonság X Hilbert tér akkor és csakis akkor ha J lineáris és erősen monoton.

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

harmadik, javított kiadás

harmadik, javított kiadás Lajkó Károly Analízis I. harmadik, javított kiadás Debreceni Egyetem Matematikai és Informatikai Intézet 00 1 c Lajkó Károly lajko @ math.klte.hu Amennyiben hibát talál a jegyzetben, kérjük jelezze a szerzőnek!

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

INFORMATIKAI KAR. Funkcionálanalízis a jelfeldolgozás és a szimuláció matematikai alapjai

INFORMATIKAI KAR. Funkcionálanalízis a jelfeldolgozás és a szimuláció matematikai alapjai EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Szili László Funkcionálanalízis a jelfeldolgozás és a szimuláció matematikai alapjai Budapest, 2007 A jegyzet a GVOP-3.2.2.-2004-07-0005/3.0 számú ELTE IKKK

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek

Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek 238 8. Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek 8.8. tétel. (Andronov Witt) 5 6 Ha a Γ periodikus pálya karakterisztikus multiplikátorainak abszolút értéke 1-nél kisebb, akkor a Γ pálya stabilis határciklus.

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Matematikai analízis 1. Szász Róbert

Matematikai analízis 1. Szász Róbert Matematikai analízis Szász Róbert . fejezet.. Topológikus terek... Értelmezés. Adott egy X halmaz. A d : X X [0, + ) függvényt metrikának nevezzük, ha teljesülnek a következő feltételek:. d(x, y) > 0,

Részletesebben

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán Besenyei Ádám A következőkben a matematikának több ágában is fontos szerepet betöltő eszközével, a Baire kategória-tétellel és annak néhány alkalmazásával ismertetjük

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

A Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE

A Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE A Peano-görbe Besenyei Ádám ELTE A folytonos görbe kifejezés hallatán hajlamosak vagyunk először egy, a szó szoros értelmében egybefüggően megrajzolható vonalra gondolni. A görbe fogalma azonban a vártnál

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Topológiai alapismeretek

Topológiai alapismeretek Kurusa Árpád Topológiai alapismeretek Kurusa Árpád Topológiai alapismeretek A címlapon egy Mőbius-szalag látható, ami az újrahasznosítás nemzetközi jele. Ez a dokumentum nem köztulajdon, kizárólag személyes

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Gazdasági Matematika I.

Gazdasági Matematika I. Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. jegyzet az alapképzéshez NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK

Részletesebben

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

2. Alapfogalmak, műveletek

2. Alapfogalmak, műveletek 2. Alapfogalmak, műveletek Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGIMIEM Tartalomjegyzék I Mit tudunk eddig? 2 Fuzzy halmazokkal kapcsolatos alapvető fogalmak Fuzzy halmaz tartója Fuzzy halmaz

Részletesebben

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor Az egydimenziós harmonikus oszcillátor tárgyalása az általános formalizmus keretében November 7, 006 Példaképpen itt megmutatjuk, hogyan lehet a kvantumos egydimenziós harmonikus oszcillátort tárgyalni

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA Megoldott eladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Az : R R üggvény teljesíti az ( + y) = ( a y) + ( y) ( a ) összeüggést bármely,y R esetén (a egy rögzített valós szám). Bizonyítsd

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1 Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 2 4. Oktatási módszer 2 5. Követelmények, pótlások 2 6. Tematika 2 6.1. Alapfogalmak, matematikai

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév

Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben