Differenciálgeometria

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Differenciálgeometria"

Átírás

1 Differenciálgeometria Előadás jegyzetek BME 3. félév Dr. Szabó Szilárd

2 Kivonat. Ezek a jegyzetek a I. félévben, a Budapesti Műszaki Egyetemen tartott Differenciálgeometria kurzusomhoz készültek.

3 Tartalomjegyzék I. Rész Topológiai alapfogalmak 5 1. Fejezet Általános topológia Metrikus terek Topologikus terek Műveletek topologikus terekkel Összefüggőség Kompaktság Fejezet Alapvető algebrai topológia Homotópia és fundamentális csoport Fedőleképezések 44 II. Rész Riemann-felületek geometriája Fejezet A Riemann-felülettel kapcsolatos definíciók Sokaságok, differenciálható struktúrák Peremes sokaságok és sokaságok összefüggő összege Sima részsokaságok Differenciálható csoporthatások Irányíthatóság Komplex koordináták Érintőtér, lokális koordinátázás Riemann-féle metrika Gauss-féle metszet-görbület Fejezet A Riemann-felületek osztályozása A hiperbolikus sík A Riemann-féle gömb Az uniformizációs tétel Fejezet A Gauss-Bonnet tétel Az Euler-Poincaré karakterisztika Felületelem, integrálás A tétel 109 Irodalomjegyzék 111 iii

4

5 I. Rész Topológiai alapfogalmak

6

7 1. FEJEZET Általános topológia Ebben a fejezetben amennyiben nem jelentjük ki az ellenkezőjét X egy tetszőleges halmazt jelöl Metrikus terek Jelöljük R-rel a valós számok és R + -szal a pozitív valós számok halmazát. Definíció 1.1. Egy metrika X-en egy olyan d : X X R + {0} leképezés, amely teljesíti a következő feltételeket: (i) pozitivitás: d(x, y) = 0 akkor és csak akkor ha x = y, (ii) szimmetria: minden x, y X-re d(x, y) = d(y, x), (iii) háromszög-egyenlőtlenség: minden x, y, z X-re d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Amenyiben az X halmazon adott egy d metrika, az (X, d) párt metrikus térnek nevezzük. Emlékeztessünk a normált vektortér fogalmára. Definíció 1.2. Legyen V egy (véges- vagy végtelen-dimenziós) valós vektortér. Egy norma V -n egy. : V R + {0} leképezés, amely teljesíti a következő feltételeket: (i) v = 0 akkor és csak akkor, ha v = 0, (ii) v + w v + w minden v, w V -re, (iii) λv = λ v minden v V -re és λ R-re. Ha X = V egy valós vektortér és. egy norma V -n, akkor. indukál egy metrikát V -n a d(x, y) = x y képlet által. Ismert, hogy az ellenkező irányú állítás nem igaz. A következő példák közül pontosan az (i)-(v) pontbeli metrikák származnak normából. Példa 1.3. (i) Az egyik legfontosabb példa az X = R, d eukl (x, y) = x y ún. egydimenziós euklideszi tér. 7

8 8 1. ÁLTALÁNOS TOPOLÓGIA (ii) Ennek általánosítása tetszőleges dimenzióra: X = R n, és tetszőleges x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n vektorokra d 2 (x, y) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2, az n-dimenziós euklideszi tér. (iii) A (i) egy másik általánosítása: X az R n tér a taxisofőr-, vagy l 1 -metrikával: d 1 (x, y) = x 1 y x n y n. Az n = 2 esetben ez szemléletesen egy csak derékszögű útkereszteződésekből álló városban a két pont közötti legrövidebb út hossza. (iv) Egy harmadik általánosítás X = R n -re a d (x, y) = max( x 1 y 1,..., x n y n ) supremum-, vagy L -metrika. (v) Végül egy végtelen-dimenziós normált vektortér, amely analóg az előző példával: legyen X a [0, 1] intervallumon folytonos valós függvények C([0, 1]) halmaza, d (f, g) = max f(t) g(t), t [0,1] a supremum-, vagy L -metrika. (vi) A legtriviálisabb metrika a diszkrét metrika: X tetszőleges, d diszkr (x, y) = 1 bármely x y-ra. (vii) Legyen X = Q és p egy tetszőleges prímszám. Legyen. p : Q R + {0} a következőképpen definiálva: egyrészt, legyen 0 p = 0; másrészt, tetszőleges q = m Q \ {0}-t felírhatunk egyértelműen n pv m 1 n 1 alakban, ahol v Z, m 1 és n 1 relatív prímek és n 1 > 0; legyen ekkor q p = p v. Ha q 1, q 2 Q, akkor definiáljuk a d p (q 1, q 2 ) = q 1 q 2 p metrikát, amelyet p-adikus metrikának nevezünk. Definíció 1.4. Legyenek (X, d X ) és (Y, d Y ) metrikus terek, és f : X Y egy leképezés. Azt mondjuk, hogy f izometria, ha bijektív és távolságtartó: minden x 1, x 2 X-re d Y (f(x 1 ), f(x 2 )) = d X (x 1, x 2 ). Amennyiben f csak injektív és távolságtartó, akkor izometrikus beágyazásnak nevezzük. Megjegyzés 1.5. Az izometrikus beágyazás definíciójából kihagyhatnánk az injektivitást, és akkor is ekvivalens fogalmat kapnánk miért? Feladat 1.6. Bizonyítsuk be, hogy az (R n, d 2 ) euklideszi tér tetszőleges saját magával való izometriája szükségszerűen affin leképezés! A következőben leírunk néhány konstrukciót új metrikus terek értelmezésére.

9 1.1. METRIKUS TEREK Metrika megszorítása egy altérre. Legyen (X, d) egy metrikus tér, és Y X egy részhalmaza. Definíció 1.7. d megszorítása Y -ra az a d Y metrika Y -on, amelyre minden y 1, y 2 Y -ra d Y (y 1, y 2 ) = d(y 1, y 2 ). Az (Y, d Y ) metrikus teret az (X, d) metrikus alterének nevezzük. Megjegyzés 1.8. Tetszőleges (Y, d Y ) (X, d) metrikus altérre az inklúzió izometrikus beágyazás. Példa 1.9. (i) Az (R n, d 2 ) n-dimenziós euklideszi tér megszorítása az R {0} {0} alterére az 1-dimenziós euklideszi tér. (ii) Az (R n, d 1 ) metrikus tér megszorítása az R {0} {0} alterére szintén az 1-dimenziós euklideszi tér. E terek tehát ebben az értelemben általánosításaik (R, d 2 )-nak. Feladat Bizonyítsuk be a következő állításokat! (i) (C([0, 1]), d ) megszorítása az állandó függvényekre az 1-dimenziós euklideszi tér. (ii) Bármely m > 1-re az (R m, d 1 ) tér nem metrikus vektor-altere az n-dimenziós euklideszi térnek semmelyik n N-re sem. (iii) Tetszőleges n N-re egy (n + 1)-elemű halmaz a diszkrét metrikával metrikus altere az n-dimenziós euklideszi térnek. (iv) Ugyanez nem igaz az (n 1)-dimenziós euklideszi térre. (v) (R 2, d 2 ) metrikus vektor-altere (C([0, 1]), d )-nek. (vi) (R 2, d 1 ) metrikus vektor-altere (C([0, 1]), d )-nek Szorzat-terek. Legyenek (X, d X ) és (Y, d Y ) metrikus terek. Ebben az esetben X Y -on többféleképpen is értelmezhetünk metrikát: (i) d eukl ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = d X (x 1, x 2 ) 2 + d Y (y 1, y 2 ) 2, (ii) d 1 ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = d X (x 1, x 2 ) + d Y (y 1, y 2 ), (iii) d sup ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = max(d X (x 1, x 2 ), d Y (y 1, y 2 )). (iv) Az előző példák speciális esetei a következő konstrukciónak: legyen p [1, + ] tetszőleges, és d p ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = (d X (x 1, x 2 ) p + d Y (y 1, y 2 ) p ) 1 p. Feladat Mutassuk meg, hogy ezen kifejezések mindegyike teljesíti a metrika definícióját! Ezen konstrukciók mindegyike általánosítható véges sok tér szorzatára, megfelelő módosításokkal pedig végtelen sok tér szorzatára is. Példa Könnyen látható, hogy az (R n, d 2 ) és (R n, d 1 ) terek az (R, d eukl ) tér önmagával vett n-szeres szorzataként kaphatók meg az (i) illetve (ii) értelemben.

10 10 1. ÁLTALÁNOS TOPOLÓGIA Folytonosság és nyílt halmazok. A valós analízisből ismert folytonosság-fogalom azonnal általánosítható metrikus terek közötti leképezésekre. Definíció Legyenek (X, d X ) és (Y, d Y ) metrikus terek, és f : X Y egy leképezés. Azt mondjuk, hogy f folytonos valamely x X-ben, ha bármely ε > 0-ra létezik olyan δ > 0, hogy valahányszor x X olyan hogy d X (x, x ) < δ, mindannyiszor d Y (f(x), f(x )) < ε. Azt mondjuk, hogy f mindenütt folytonos, ha minden x X-ben folytonos. Feladat Legyenek (X, d X ), (Y, d Y ) és (Z, d Z ) metrikus terek. Lássuk be, hogy ha f : X Y és g : X Z folytonosak, akkor (f, g) : X Y Z is folytonos a szorzat-metrika mindhárom definíciójával. Definíció Legyen (X, d X ) egy metrikus tér, x X és ε > 0. Azon x pontok halmazát, amelyekre d X (x, x ) < ε, az x középpontú ε sugarú nyílt gömbnek nevezzük, és B ε (x)-szel jelöljük. Példa (i) (R, d eukl )-on B ε (x) =]x ε, x + ε[. (ii) (R 2, d 2 )-on B ε (x) egy x középpontú ε sugarú körlap, a határvonala nélkül. Ezen példák indokolják a nyílt elnevezést. Feladat Határozzuk meg a 0 középpontú ε sugarú nyílt gömböt a következő terekben! (i) (R 2, d 1 ) (ii) (C([0, 1]), d ) Állítás Legyen (X, d X ) egy metrikus tér. Ekkor bármely B ε (x) nyílt gömb bármely x pontjához létezik olyan ε > 0, amelyre B ε (x ) B ε (x). Bizonyítás. Legyen d(x, x ) = δ. Ekkor, mivel x B ε (x), ezért δ < ε. Válasszuk ε -t úgy, hogy 0 < ε < ε δ. Ekkor a háromszögegyenlőtlenség miatt, ha d(x, x ) < ε, akkor d(x, x ) < ε. Az x pontbeli folytonosság definícióját a nyílt gömb fogalma segítségével átfogalmazhatjuk a következőképpen: bármely ε > 0-ra létezik olyan δ > 0, hogy f 1 (B ε (f(x))) B δ (x). Definíció Legyen (X, d X ) egy metrikus tér és V X. Azt mondjuk, hogy V nyílt halmaz, ha üres vagy bármely x V pontjához létezik olyan ε > 0, amelyre B ε (x ) V. Megjegyzés Az 1.18 Állítás értelmében minden nyílt gömb nyílt halmaz. Tétel Legyenek (X, d X ) és (Y, d Y ) metrikus terek, és f : X Y egy leképezés. A következő állítások ekvivalensek:

11 1.1. METRIKUS TEREK 11 (i) f mindenütt folytonos. (ii) Minden Y -beli nyílt gömb ősképe nyílt halmaz. (iii) Minden Y -beli nyílt halmaz ősképe nyílt halmaz. Bizonyítás. (i) (ii): Legyen B ε (y) tetszőleges nyílt gömb Y -ban, és x f 1 (B ε (y)). Ez azt jelenti, hogy d Y (f(x), y) < ε. Legyen η = ε d Y (f(x), y) > 0. Mivel f folytonos x- ben, ezért létezik olyan δ > 0, hogy f 1 (B η (f(x))) B δ (x). Másrészt nyilván f 1 (B η (f(x))) f 1 (B ε (y)), tehát utóbbi nyílt halmaz. (ii) (iii): Legyen V Y egy tetszőleges nyílt halmaz, és x f 1 (V ). Mivel V nyílt, ezért tartalmaz egy B ε (f(x)) nyílt gömböt. Alkalmazzuk (ii)-t erre a gömbre: létezik olyan δ > 0, hogy f 1 (B ε (f(x))) B δ (x). Másrészt nyilván f 1 (B ε (f(x))) f 1 (V ), tehát ez utóbbi nyílt halmaz. (iii) (i): Legyen x X és ε > 0 tetszőlegesek. Legyen V = B ε (f(x)). Ekkor (iii) miatt f 1 (V ) nyílt halmaz, amely nyilván tartalmazza x-et. Ezért tartalmaz egy x körüli valamely δ > 0 sugarú nyílt gömböt. Tehát f folytonos x-ben. A tétel alapján nyilvánvaló, hogy a nyílt halmazok fontos szerepet játszanak a folytonos leképezések vizsgálatában. Vizsgáljuk most meg a legfontosabb tulajdonságaikat. Tétel Legyen (X, d) egy metrikus tér. (i) X-beli nyílt halmazok teszőleges egyesítése is nyílt halmaz X- ben. (ii) Véges sok X-beli nyílt halmaz metszete is nyílt halmaz X-ben. (iii) Minden X-beli nyílt halmaz előáll X-beli nyílt gömbök egyesítéseként. Bizonyítás. (i) Tegyük fel hogy valamely I indexhalmazra minden i I esetén V i X nyíltak. Legyen V = i I V i, és x V. Ekkor x V i valamely i I-re, és mivel V i nyílt, ezért létezik olyan ε > 0 amelyre B ε (x) V i. Ebből következik B ε (x) V. (ii) Legyenek V i nyíltak i {1,..., n}-re, és tegyük fel hogy x n i=1v i. (Ha n i=1v i =, akkor definíció szerint kész vagyunk.) Ekkor minden i-re létezik olyan ε i > 0, amelyre B εi (x) V i. Legyen ε = min 1 i n ε i > 0. Ekkor B ε (x) n i=1v i. (iii) Legyen V X nyílt halmaz. Definíció szerint minden x V - re létezik olyan ε x > 0 amelyre B εx (x) V. A kiválasztási axióma értelmében választhatunk minden x-re egy ilyen ε x -et. Ekkor V = x V B εx (x).

12 12 1. ÁLTALÁNOS TOPOLÓGIA 1.2. Topologikus terek A 1.22 Tétel (iii) pontját úgy szokás kifejezni, hogy a nyílt gömbök családja a nyílt halmazok családjának egy bázisát alkotják (az egyesítésre nézve). Ahogy az például a 1.21 Tételből is látszik, sok tulajdonság ellenőrzéséhez elegendő az összes nyílt halmaz helyett a bázis elemeire korlátozódni. Ez egy általános érvényű elv, amely elvezet a topológia fogalmához. Ez a mostani szakasz témája Topológia, bázis, folytonosság. Definíció Egy X halmaz részhalmazainak olyan U családját, amely eleget tesz a következő feltételeknek: (i), X U, (ii) U zárt teszőleges egyesítésre, (iii) U zárt véges metszetre, X-en értelmezett topológiának, az (X, U) párt pedig topologikus térnek nevezünk. Ha B az U-beli részhalmazok egy olyan részcsaládja, hogy bármely U-beli részhalmaz előáll B-beli részhalmazok egyesítéseként, akkor B-t a topológia egy bázisának nevezzük. Végül, azt mondjuk hogy B generálja a topológiát. Példa (i) Tetszőleges X halmazra az az U triv amely csak -t és X-et tartalmazza, topológiát ad meg X-en, melynek neve: a triviális topológia, és egy bázisát alkotja B = {X}. (ii) Tetszőleges X halmazra az U diszkr = P(X) összes részhalmaz családja a diszkrét topológiát határozza meg X-en. Ennek egy bázisát alkotják az egyelemű halmazok. (iii) Ha d egy metrika X-en, akkor az előző szakaszban értelmezett nyílt halmazok összessége egy U d topológiát ad meg X-en, és a nyílt gömbök családja bázisa e topológiának, ld Tétel. U d -t a d metrika által indukált topológiának hívjuk. (iv) Az előző pont speciális esete: M(n, R) (illetve M(n, C)), az R (illetve C) feletti n-szer n-es mátrixok halmaza azonosítható R n2 -tel (illetve C n2 -tel), tehát a d 2 euklideszi metrika indukál rajta egy topológiát. (v) Legyen X = Z, és minden a, b Z, a 2 számokra legyen V a,b = {n Z : n b mod a}. Ekkor az a B arit család, amelynek elemei V a,b -k az összes (a, b) párra, generál Z-n egy U arit topológiát. (vi) Legyen X = C, és minden véges S C ponthalmazra legyen V S = C \ S. Ekkor az összes ilyen halmazok U Zar = {V S } S családja az ún. Zariski-topológiát értelmezi C-n. Megjegyzés Egy topológiának több bázisa is lehet, és két bázisnak a számossága nem feltétlen egyezik meg. Például, B = U mindig bázisa a topológiának, de ettől különböző bázisai is lehetnek.

13 1.2. TOPOLOGIKUS TEREK 13 Feladat Adjuk meg a (C([0, 1]), d ) tér egy megszámlálható bázisát! Állítás Legyen X egy halmaz és B P(X) részhalmazok egy családja. Ahhoz, hogy B bázisa legyen valamely topológiának, szükséges és elegendő a következő két feltétel: (i) minden x X-re létezik olyan B B, amelyre x B (B elemei lefedik X-et), (ii) bármely B 1, B 2 B-re és x B 1 B 2 -re létezik olyan B 3 B, amelyre x B 3 B 1 B 2. Ha ezen feltételek teljesülnek, akkor B pontosan egy topológia bázisa; ennek neve a B által generált topológia. Bizonyítás. Szükségesség: (i) a bázis definíciójából és X U-ból rögtön következik. Ha B generál egy U topológiát, akkor B U, tehát minden B 1, B 2 B-re B 1 B 2 U. Ha ez a metszet nem üres, akkor előáll B-beli részhalmazok egyesítéseként. Tehát minden B 1 B 2 -beli x elem benne van valamely B 3 B-ben, ami pontosan (ii). Elegendőség: Legyen U B az összes olyan halmaz, amely előáll B-beli halmazok egyesítéseként. Ekkor U B -re a topológia első két tulajdonsága triviálisan teljesül, a véges metszetre való zártságot pedig elegendő két halmaz metszetére belátni. Legyen tehát U 1 = i I A i és U 2 = j J B j, ahol A i, B j B, és x U 1 U 2 tetszőleges. Ekkor létezik i 0 I és j 0 J amelyre x A i0 és x B j0. Ezért, a (ii) feltétel miatt létezik C = C x B amelyre x C x A i0 B j0. Válasszunk minden x U 1 U 2 -re egy ilyen C x halmazt. Ekkor U 1 U 2 = x U1 U 2 C x, tehát U 1 U 2 U B. Egyértelműség: tegyük fel, hogy B két különböző U 1, U 2 topológiának is bázisa. Legyen U U 1 \ U 2. Ekkor U = i I B i valamely I indexhalmazra és B i B halmazokra, mert B generálja U 1 -et. Másrészt, mivel B U 2, ezért minden B i U 2, és mivel U 2 zárt tetszőleges egyesítésre, ezért U U 2. Ez ellentmondás. Megjegyzés A topologikus tér fogalma általánosabb a metrikus tér fogalmánál. Általában nehéz feladat eldönteni egy topologikus térről, hogy valamely metrika indukálja-e. Az olyan topologikus tereket, amelyekre a válasz igen, metrizálható tereknek nevezzük. Feladat (i) Lássuk be, hogy a triviális topológia egy 1-nél nagyobb elemszámú halmazon nem metrizálható! (ii) Lássuk be, hogy a diszkrét topológiát a diszkrét metrika indukálja! (iii) Bizonyítsuk be, hogy az R n -en a d 2 és a d 1 metrikák ugyanazt a topológiát indukálják! Ezt a topológiát R n standard topológiájának nevezzük. (iv) Adjunk meg az (R n, d 2 ) metrikus tér által indukált topológiának egy megszámlálható végtelen bázisát!

14 14 1. ÁLTALÁNOS TOPOLÓGIA (v) Mutassuk meg, hogy a Zariski-topológia nem metrizálható! Ezek után általánosíthatjuk a folytonosság fogalmát topologikus terekre. Definíció Legyenek (X, U X ) és (Y, U Y ) topologikus terek, és legyen f : X Y egy leképezés. Azt mondjuk, hogy f folytonos, ha minden V U Y -re f 1 (V ) U X. Azt mondjuk, hogy f homeomorfizmus, amennyiben bijektív, és inverzével együtt folytonos. Végül, X és Y homeomorfak, ha létezik közöttük homeomorfizmus. A topologikus terek körében a homeomorfizmus ekvivalencia-reláció. A topológiában a homeomorf terek megkülönböztethetetlenek, azaz minden topológiai állítás, amely igaz valamely térre, igaz minden vele homeomorf térre is. Állítás Legyenek (X, U X ), (Y, U Y ) és (Z, U Z ) topologikus terek, f : X Y és g : Y Z folytonos leképezések. Ekkor g f : X Z is folytonos. Bizonyítás. Tetszőleges U U Z -re (g f) 1 (U) = f 1 (g 1 (U)). Mivel g folytonos, ezért g 1 (U) U Y. Ezért f folytonosságából következik, hogy f 1 (g 1 (U)) U X. Definíció Legyen (X, U X ) egy topologikus tér és x X. Azt mondjuk, hogy az N X halmaz egy környezete x-nek, ha létezik olyan V U X, amelyre x V N. Topologikus terek körében is értelmezhetjük az egy pontbeli folytonosságot. Definíció Legyenek (X, U X ) és (Y, U Y ) topologikus terek, és legyen f : X Y egy leképezés. Azt mondjuk, hogy f folytonos az x X pontban, ha f(x)-nek bármely M környezetéhez létezik x-nek olyan N környezete, amelyre f(n) M. Azt mondjuk továbbá, hogy f mindenütt folytonos, ha minden x X-ben folytonos. Az 1.21 Tétel bizonyításának nyilvánvaló módosítása most a következőt adja: Tétel Legyenek (X, U X ) és (Y, U Y ) topologikus terek, és f : X Y egy leképezés. A következő feltételek ekvivalensek: (i) f mindenütt folytonos, (ii) U Y tetszőleges B Y bázisára minden báziselem ősképe nyílt, (iii) f folytonos. Hasonlóan a folytonossághoz, a sorozatok határértéke is értelmezhető a topologikus terek körében. Definíció Legyen X egy topologikus tér. Egy sorozat X- ben egy x : N X leképezés. Az x(n) X elemet általában x n - nel jelöljük, magát az x leképezést pedig {x n } n N -nel. Azt mondjuk,

15 1.2. TOPOLOGIKUS TEREK 15 hogy {x n } n N konvergál x X-hez, ha x tetszőleges N környezetére véges sok kivétellel teljesül x n N. Ekkor x-et az {x n } n N sorozat határértékének nevezzük, jelölésben: x = lim n (x n ). Az X-en értelmezett topológiák között létezik egy természetes részben rendezés. Definíció Legyen X egy halmaz és U 1, U 2 két topológia X- en. Azt mondjuk, hogy U 1 finomabb U 2 -nél (vagy ekvivalens módon, U 2 durvább U 1 -nél), ha minden U 2 -beli V -hez és x V -hez létezik olyan U eleme U 1 -nek, amelyre x U V. Jelölés: U 2 U 1. Feladat Igazoljuk a következőket! (i) Minden topológia X-en finomabb a triviális topológiánál, és durvább a diszkrét topológiánál. (ii) Az R 2 = C számsíkon a Zariski-topológia durvább a szokványosnál. (iii) U 1 akkor és csak akkor finomabb U 2 -nél, ha az identikus leképezés (X, U 1 )-ből (X, U 2 )-be folytonos. Végezetül, a nyílt halmazokhoz hasonlóan értelmezhető a zárt halmaz fogalma is. Definíció Legyen (X, U X ) egy topologikus tér. Egy olyan Z halmazt, amelyre X \ Z U, zárt halmaznak nevezünk. A zárt halmazok családját Z-vel jelöljük. Legyen Y X egy tetszőleges részhalmaz. Ekkor X legszűkebb olyan zárt részhalmazát, amely tartalmazza Y -t, az Y lezártjának nevezzük, és Y -val jelöljük. Az, hogy Y lezártja létezik, a Zorn-lemmából következik. Az egyértelműség ekkor amiatt teljesül, hogy ha két zárt halmaz Z 1 és Z 2 tartalmazza Y -t, akkor Z 1 Z 2 is zárt és tartalmazza Y -t, tehát a legszűkebb elem előáll mint Y = Z, ahol a metszet az összes Y -t tartalmazó zárt halmazra vonatkozik. A definícióból azonnal következik, hogy minden zárt halmaz lezártja saját maga. Állítás Ha V Y \ Y nyílt X-ben, akkor V =. Bizonyítás. Y \V zárt és tartalmazza Y -t, tehát nem lehet szűkebb Y -nál. Feladat (i) Mutassuk meg, hogy (a), X Z, (b) Z zárt tetszőleges számú metszetre, (c) Z zárt véges számú egyesítésre! (ii) Legyenek (X, U X ) és (Y, U Y ) topologikus terek, és legyen f : X Y egy leképezés. Mutassuk meg, hogy f akkor és csak akkor folytonos, ha minden zárt halmaz ősképe zárt!

16 16 1. ÁLTALÁNOS TOPOLÓGIA Feladat 1.41 (H. Fürstenberg). Legyen X = Z, az U arit topológiával. (i) Lássuk be, hogy minden nemüres nyílt halmaz tartalmaz legalább egy számtani sorozatot; többek közt, végtelen! (ii) Lássuk be, hogy a V a,b halmazok egyben zártak is! (iii) Lássuk be, hogy minden n / { 1, 1}-re létezik olyan p prímszám, amelyre n V p,0! (iv) Vezessük le az eddigiekből, hogy végtelen sok prímszám létezik! Albázisok. Legyen X egy halmaz, és S P(X) tetszőleges. Ekkor megkérdezhetjük, hogy mely topológiákban nyílt S minden eleme. Nyilvánvaló, hogy az U diszkr diszkrét topológiára ez igaz. Továbbá, ha igaz valamely U topológiára, akkor igaz minden U-nál finomabb topológiára is. Természetes kérdés tehát, hogy melyik a legdurvább topológia, amelyre teljesül. Definíció A legdurvább olyan U S topológia, amely tartalmazza S minden elemét, az S által generált topológia. Ebben az esetben S-et U S egy albázisának hívjuk. Megjegyzés Egy U topológia bármely B bázisa egyben albázisa is. A különbség a két fogalom között az, hogy előbbi esetében azt is megköveteljük, hogy a topológia minden eleme előálljon báziselemek egyesítéseként. Feladat (i) Bizonyítsuk be, hogy a 1.24, (v) Példában azok a V a,b halmazok, amelyekre a = p r prímhatvány, az U arit topológiának egy albázisát alkotják, amely azonban nem bázis! (ii) Bizonyítsuk be, hogy a ], a[ és ]a, [ alakú intervallumok összessége (ahol a R tetszőleges) albázisa (R, d eukl )-nek, de nem bázisa! Állítás Bármely S P(X) részhalmaz által generált topológiának bázisa az S-beli elemek véges metszeteiből álló { n } B S = S i : S i S család. i=1 Megjegyzés Itt használjuk azt az általában elfogadott megegyezést, miszerint 0 halmaz metszete a teljes tér, tehát X B S. Bizonyítás. A B S által generált topológia nyilván tartalmazza S minden elemét. Tegyük fel, hogy egy U topológia tartalmazza S minden elemét. Ekkor, mivel U zárt véges metszetre, ezért tartalmazza B S -et, és így az általa generált topológiát is. Feladat Legyenek (X, U X ) és (Y, U Y ) topologikus terek, S Y az U Y egy albázisa, és legyen f : X Y egy leképezés. Mutassuk meg, hogy f akkor és csak akkor folytonos, ha minden S S-re f 1 (S) U X!

17 1.2. TOPOLOGIKUS TEREK Hausdorff-terek. A topologikus terek egy fontos osztályát alkotják a Hausdorff-terek. Definíció Legyenek x és y egy (X, U) topologikus tér különböző pontjai. Azt mondjuk, hogy x és y szétválaszthatók, ha létezik olyan U x, U y U nyílt környezetei x-nek és y-nak, amelyekre U x U y =. Egy (X, U) topologikus teret Hausdorff-térnek nevezünk, ha tetszőleges két különböző pontja szétválasztható. Állítás Legyen (X, U) Hausdorff-tér, és {x n } n N egy sorozat X-ben. Ekkor a sorozat határértéke (amennyiben létezik) egyértelműen meghatározott. Fordítva, ha az (X, U) megszámlálható bázisú topologikus tér olyan, hogy benne minden sorozat határértéke egyértelműen meghatározott, akkor (X, U) Hausdorff. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy x y X olyanok, hogy x n x és x n y is teljesül. Legyenek U x, U y U szétválasztó környezetei x-nek és y-nak. Ekkor a konvergencia definíciója alapján elegendően nagy n-re x n U x és x n U y is teljesül, ami nyilván ellentmond U x U y = -nek. Ellenkező irányban, tegyük fel, hogy (X, U) nem Hausdorff: ekkor tehát léteznek olyan x, y X különböző pontok, amelyek minden U x, U y nyílt környezetére U x U y. Legyen {U n } n N és {V n } n N az x és y pontok nyílt környezeteinek egy-egy megszámlálható bázisa. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy minden n-re U n U n+1 és V n V n+1 (különben tegyünk U n = n j=1u n -et). Feltétel szerint, U n V n ; legyen x n U n V n. Ekkor az {x n } sorozat mind x-hez, mind y-hoz tart: ha ugyanis U egy tetszőleges x-et tartalmazó nyílt halmaz, akkor valamely N értékre U N U (hiszen {U n } n N környezetbázis), ekkor azonban minden n N-re is teljesül U n U, tehát minden n N-re x n U. Állítás Minden metrikus tér Hausdorff. Bizonyítás. Legyen (X, d) egy metrikus tér, és x, y X különböző pontjai. Ekkor definíció szerint, 2ε = d(x, y) > 0. Legyen U x = B ε (x) és U y = B ε (y). Könnyen látható, hogy U x és U y szétválasztják x-et és y-t. Így tehát kaptunk sok példát Hausdorff-térre. Lássunk most néhány ellenpéldát: Feladat A következő topologikus terek nem Hausdorffak: (i) a Zariski-topológia C-n, (ii) a triviális topológia egy legalább kételemű halmazon. Feladat Mutassuk meg, hogy Z az U arit topológiával Hausdorff!

18 18 1. ÁLTALÁNOS TOPOLÓGIA 1.3. Műveletek topologikus terekkel Altér-topológia. Legyen (X, U X ) egy topologikus tér és Y X egy tetszőleges részhalmaza. Definíció Az X által indukált topológia Y -on az az U Y topológia, amelynek nyílt halmazai az összes U Y alakú halmaz, valamely U U X -re. Példa (i) Az R által indukált topológia Z-n a diszkrét topológia. (ii) Bármely Y X-re, a diszkrét topológia által indukált topológia Y -on szintén a diszkrét topológia. (iii) Az R n standard topológiája által indukált topológia bármely R m R n lineáris alterén a standard topológia R m -en. (iv) Az R 2 által indukált topológia az S 1 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1} körön definíció szerint a kör szokványos topológiája. (v) Nevezzük valós (illetve komplex) általános lineáris csoportnak és jelöljük Gl(n, R) M(n, R)-rel (illetve Gl(n, C) M(n, C)-vel) a nemeltűnő determinánsú n-szer n-es valós (illetve komplex) mátrixok halmazát. Láttuk, hogy M(n, R)-en (illetve M(n, C)-en) az euklideszi metrika indukál egy topológiát. Ez tovább indukál egy topológiát Gl(n, R)-en és Gl(n, C)-n is. (vi) Az előző ponthoz hasonlóan, legyen Sl(n, R) (illetve Sl(n, C)) az 1 determinánsú n-szer n-es valós (illetve komplex) mátrixok halmaza; Sl(n)-t speciális lineáris csoportnak hívjuk. Jelölje továbbá O(n) és U(n) az n-szer n-es valós ortogonális és n-szer n-es unitér mátrixok halmazait, és legyen SO(n) = O(n) Sl(n, R) és SU(n) = U(n) Sl(n, C). Ekkor az euklideszi metrika megszorítása indukál egy topológiát ezeken a halmazokon. Az indukált topológia jól viselkedik a folytonosságra vonatkozóan: Állítás Legyen Y X, és f : X X folytonos leképezés. Ekkor f megszorítása Y -ra is folytonos. Bizonyítás. Jelöljük f Y -nal f megszorítását Y -ra. Egy tetszőleges U X nyílt halmazra f 1 Y (U) = f 1 (U) Y, s ez utóbbi nyílt az indukált topológiában. Feladat Mutassuk meg, hogy ha (X, U X ) Hausdorff, akkor Y az indukált topológiával is az! Folytonos leképezés által indukált topológia. Az altértopológia egy módosítása a következő konstrukció. Legyen (X, U X ) egy topologikus tér, Y egy tetszőleges halmaz és f : Y X egy leképezés.

19 1.3. MŰVELETEK TOPOLOGIKUS TEREKKEL 19 Állítás Létezik egy (egyértelmű) legdurvább U Y topológia Y - on, amelyre f folytonos. Bizonyítás. Az egyértelműség triviális. Legyen U Y = {f 1 (U) : U U X }. Lássuk be, hogy U Y egy topológia Y -on: nyilván f 1 ( ) = és f 1 (X) = Y. Másrészt, legyen U 1, U 2 U X ; ekkor f 1 (U 1 ) f 1 (U 2 ) = f 1 (U 1 U 2 ), tehát U Y zárt véges metszetre. Végül, ha f 1 (U i ) U Y -beli halmazok egy családja, akkor i I f 1 (U i ) = f 1 ( i I U i ) U Y. Ekkor f triviálisan folytonos ezekre a topológiákra nézve Szorzat-topológia. Legyenek (X i, U i ) topologikus terek valamely i I = {1,..., n} véges indexhalmazra. Definíció Az (X i, U i ) topologikus terek szorzata az a tér, amelynek alaphalmaza X = Π i X i a halmazok Descartes-szorzata, és amelynek egy bázisa az összes Π i U i alakú halmaz, ahol U i U i. Példa (i) Legyen (X, U X ) az R tér a standard topológiával ellátva. Az X saját magával vett n-szeres szorzata az R n tér a standard topológiával. (ii) Bármely (X, U X ) szorzata a véges elemszámú (Y, U diszkr ) térrel az a tér, amelynek minden y Y -ra egy (X, U X )-szel homeomorf komponense van. (iii) Bármely (X, U diszkr ) szorzata (Y, U diszkr )-rel a diszkrét topologikus tér X Y -on. (iv) Legyen X 1,..., X n az S 1 kör n példánya, mindegyikük a szokványos topológiával ellátva. Az X 1 X n teret az n-dimenziós tórusznak nevezzük, és T n -nel jelöljük. Megjegyzés Végtelen sok topologikus tér szorzatának értelmezéséhez a fenti definíciót kissé módosítani kell. Lássuk, miért természetes ez a definíció: Állítás Legyenek (X, U) illetve (Y j, V j ) topologikus terek valamely j J = {1,..., m} véges indexhalmazra, és minden j J-re egy f j : X Y j leképezés. Képezzük az f = (f j ) j J leképezést X-ből Y = Π j Y j -be. Ekkor f pontosan akkor folytonos, ha minden f j is az. Bizonyítás. Lássuk be először, hogy ha f folytonos, akkor minden f j is az. Vegyük észre, hogy f j = π j f, ahol π j : Y Y j a j-edik tényezőre való vetítés. Ezért a 1.31 Állítás értelmében elég belátni, hogy π j folytonos. Ez következik abból, hogy bármely V j V j - re π 1 j (V j ) = V j Π l j Y l nyílt.

20 20 1. ÁLTALÁNOS TOPOLÓGIA Mutassuk meg most az ellenkező irányt. Tegyük fel tehát, hogy minden f j folytonos. Az 1.34 Tétel miatt elég belátni, hogy Y minden báziselemének ősképe nyílt X szorzat-topológiájában. Legyen tehát V = Π j V j egy báziselem Y szorzat-topológiájában, és x f 1 (V ). Azt kell belátnunk, hogy x-nek létezik olyan U környezete, amelyet tartalmaz f 1 (V ). Mivel minden f j folytonos, ezért választhatók minden 1 j m-re olyan U j nyílt halmazok X-ben, amelyekre teljesül x U j f 1 j (V ). Legyen most U = U 1 U m ; mivel minden U j nyílt X-ben és a metszet véges, ezért U is nyílt X-ben. Könnyen leellenőrizhető, hogy ezen U-ra teljesül a kívánt tartalmazás. Feladat Bizonyítsuk be, hogy véges sok Hausdorff-tér szorzata is Hausdorff! Hányados-topológia. Legyen (X, U) egy topologikus tér, Y egy halmaz, és q : X Y egy szürjektív leképezés. Definiáljuk a következő ekvivalencia-relációt X pontjain: x 1 x 2 akkor és csak akkor, ha q(x 1 ) = q(x 2 ). Jelöljük X/ -mal a ekvivalenciaosztályainak halmazát. Ekkor X/ bijekcióban áll Y -nal. Definíció Az (X, U) hányados-topológiája q-ra (vagy -ra) vonatkozóan az a topológia Y -on, amelynek egy bázisát alkotják az olyan U részhalmazok, amelyekre q 1 (U) U. Megjegyzés Könnyen ellenőrizhető, hogy az ilyen U-k családja teljesíti az 1.27 Állítás feltételeit, tehát egy (egyértelműen meghatározott) topológia bázisát alkotja. A hányados-topológia a legfinomabb topológia Y -on, amelyre q folytonos. Példa (i) X az S 2 két-dimenziós gömb R 3 -ban, és (x, y, z) ( x, y, z) az antipodális szimmetria. Az így kapott tér neve valós projektív sík, jelölése RP 2. (ii) X = R 3 \ {0}, és (x, y, z) (λx, λy, λz) minden λ R \ {0}-ra, minden más pontpár nem ekvivalens. Ekkor a kapott hányados-tér szintén RP 2. (iii) Az előző pont általánosítása magasabb dimenzióra: legyen X = R n+1 \ {0}, és (x 0,..., x n ) (λx 0,..., λx n ) minden λ R \ {0}-ra, minden más pontpár nem ekvivalens. Az így kapott hányados-teret az n-dimenziós valós projektív térnek hívjuk, és RP n -nel jelöljük. (iv) Az előző konstrukciót elvégezhetjük a komplex számtest felett is: X = C n+1 \ {0}, és (z 0,..., z n ) (λz 0,..., λz n ) minden λ C \ {0}-ra, minden más pontpár nem ekvivalens. Az így kapott hányados-teret az n-dimenziós komplex projektív

21 1.3. MŰVELETEK TOPOLOGIKUS TEREKKEL 21 térnek hívjuk, és CP n -nel jelöljük. Többek között, CP 1 -et komplex projektív egyenesnek vagy Riemann-féle számgömbnek, CP 2 -t komplex projektív síknak nevezzük. (v) A CP 1 példát egy másik irányba általánosítva: legyen X = Gl(n, K) (ahol K = R vagy C), és azonosítsunk minden A Gl(n, K) elemet minden λa alakú elemmel, ahol λ K \ {0}, és semmelyik másik elemmel. A kapott hányados-teret a K feletti n n-es projektív lineáris csoportnak hívjuk, és PGl(n, K)-val jelöljük. Ez a hányados Gl(n, K)/(K \ {0})- ként is írható, és mivel K \ {0} normálosztó (hiszen Gl(n, K) centruma), ezért a hányados is csoport lesz, tehát az elnevezés jogos. (vi) X = [0, 1] [0, 1] a szorzat-topológiával, és minden y [0, 1]- re (0, y) (1, 1 y), minden más pont csak magával ekvivalens. Az így kapott tér neve Möbius-szalag. (vii) X = [0, 1] [0, 1] a szorzat-topológiával, és minden y [0, 1]- re (0, y) (1, y), minden x [0, 1]-re (x, 0) (x, 1), minden más pont csak magával ekvivalens. Lássuk be, hogy az így kapott tér homeomorf a T 2 két-dimenziós tórusszal! (viii) Az előző példát módosíthatjuk ekképpen: X = [0, 1] [0, 1] a szorzat-topológiával, és minden y [0, 1]-re (0, y) (1, 1 y), minden x [0, 1]-re (x, 0) (x, 1), minden más pont csak magával ekvivalens. Az így kapott K tér neve Klein-kancsó. Feladat Határozzuk meg a hányados-topológiát az alábbi esetekben! (i) X := R 2 és (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) pontosan akkor, ha x 1 = y 1. (ii) X := R és x y pontosan akkor, ha létezik olyan n Z amelyre x = y + n. (iii) X := [0, 1] és 0 1, minden más pont csak magával ekvivalens. (iv) X := B 1 (0) = D 2 R 2 a zárt egységlemez. Legyen (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) pontosan akkor, ha x x 2 2 = y y 2 2 = 1. (v) (X, U diszkr ) egy diszkrét topologikus tér, és f : X Y egy tetszőleges szürjektív leképezés. (vi) (X, U triv ) egy triviális topologikus tér, és f : X Y egy tetszőleges szürjektív leképezés. (vii) X = [0, 1] [0, 1] a szorzat-topológiával, és minden x [0, 1]- re (0, x) (1, 1 x), minden y [0, 1]-re (y, 0) (1 y, 1), minden más pont csak magával ekvivalens. Lássuk be, hogy az így kapott tér homeomorf az RP 2 valós projektív síkkal! Topologikus terek ragasztása. Legyenek (X, U X ) és (Y, U Y ) topologikus terek, A X és B Y részhalmazok ellátva az altértopológiával, és f : A B egy homeomorfizmus. Az X Y diszjunkt

22 22 1. ÁLTALÁNOS TOPOLÓGIA egyesítésen értelmezzük azt a ekvivalencia-relációt, amelyre x X és y Y pontosan akkor állnak relációban, ha x A, y B, és f(x) = y. Definíció A -ra vonatkozó hányados-topológiát X Y -on X és Y f mentén történő ragasztásának hívjuk, és X f Y -nal jelöljük. Ez a művelet is jól viselkedik a folytonosságra nézve. Állítás A fenti jelölések mellett tegyük fel, hogy φ X : X Z és φ Y : Y Z folytonos leképezések valamely Z topologikus térbe, amelyekre minden x A-ra φ X (x) = φ Y (f(x)). Ekkor φ X és φ Y indukál egy Φ folytonos leképezést X f Y -ból Z-be. Bizonyítás. Legyen valamely x X elem [x] ekvivalencia-osztályára Φ([x]) = φ X (x) és valamely y Y ekvivalencia-osztályára Φ([y]) = φ Y (y). A φ X (x) = φ Y (f(x)) reláció miatt ez jól értelmezett. Legyen V Z egy nyílt halmaz, ekkor Φ 1 (V ) = φ 1 X (V ) f φ 1 (V ). Mivel φ X és φ Y folytonosak, ezért φ 1 X (V ) és φ 1 Y (V ) nyíltak. Így a hányados-topológia definíciója miatt Φ 1 (V ) is nyílt. Y Példa (i) A legegyszerűbb példa az A = B = ; ekkor X és Y ragasztása a két halmaz diszjunkt egyesítése az U = U X UY topológiával. (ii) Két két-dimenziós tórusz összefüggő összegét a következő módon értelmezhetjük: legyenek T 1, T 2 a T 2 -vel homeomorf terek, és i {1, 2}-re D i T i olyan, a két-dimenziós D 2 nyílt egységkörlappal homeomorf részhalmaz, amely T i -beli lezártja a zárt egységkörlappal homeomorf. Legyen X i = T i \ D i, és X i az X i pereme, azaz D i \ D i. Ekkor nyilván X i homeomorf az S 1 körvonallal. Tetszőleges f : X 1 X 2 homeomorfizmusra képezzük a Σ 2 = X 1 f X 2 topologikus teret. Belátható, hogy Σ 2 homeomorfizmus erejéig független D 1, D 2 és f választásától; neve: a 2 nemű felület. (iii) Az előző példához hasonlóan, két-dimenziós tóruszok összefüggő összegét rekurzívan a következőképpen értelmezhetjük: legyen g 2 egész szám, és tegyük fel, hogy Σ g 1 már értelmezve van. Legyen T 1 egy Σ g 1 -gyel homeomorf tér és T 2 egy T 2 - vel homeomorf tér, és i {1, 2}-re D i T i olyan, a kétdimenziós D 2 nyílt egységkörlappal homeomorf részhalmazok, amelyek T i -beli lezártjai a zárt egységkörlappal homeomorfak. Az előző konstrukciót elismételve X i = T i \ D i -re, jelöljük a ragasztással kapott teret Σ g -vel, és nevezzük a g nemű felületnek. Ismét megmutatható, hogy Σ g homeomorfizmus erejéig független a választásoktól; g-t néha a felület génuszának is nevezzük.

23 1.4. ÖSSZEFÜGGŐSÉG 23 Feladat Legyen P egy szabályos 4g-szög, amelynek oldalait valamely oldaltól kezdve a pozitív irányban haladva egymás után jelöljük a A 1, B 1, A 1 1, B1 1,..., A g, B g, A 1 g, Bg 1 szimbólumokkal. Minden A k, B k -nak nevezzük kezdőpontjának azt a végpontját, amelyről a pozitív irányban elindulva az adott oldalon maradunk. Fordítva, minden A 1 k, B 1 k -nek nevezzük kezdőpontjának azt a végpontját, amelyből a negatív irányban elindulva az adott oldalon maradunk. Legyen az az ekvivalencia-reláció P -n, amely azonosítja P határának két olyan pontját, amelyek egyike valamely A k -val jelölt oldalon fekszik, másikuk az A 1 k -zel jelölt oldalon, és az adott oldal kezdőpontjától ugyanakkora távolságra találhatók; és hasonlóan a B k és B 1 k jelű oldalakra is. Bizonyítsuk be, hogy Σ g homeomorf P hányadosával a ekvivalencia-relációra! Feladat Adjuk meg a következő terek ragasztását! (i) (X, U X ) = (Y, U Y ), A = B = X, f az identikus leképezés. (ii) (X, U diszkr ), (Y, U diszkr ), A X és B Y tetszőleges, és f : A B tetszőleges bijekció. (iii) (X, U X ) tetszőleges, (Y, U triv ) triviális, A = {x 0 } X, B = {y 0 } Y, és f : x 0 y 0. Feladat Legyen D 0 és D 1 két olyan nyílt körlemez az S 2 gömbön, amelyek lezártja diszjunkt, és legyen H = S 1 [0, 1] egy henger. Legyenek f 0 : D 0 S 1 {0} és f 1 : D 1 S 1 {1} tetszőleges homeomorfizmusok. Mivel homeomorf S 2 ragasztása H-val f 0 és f 1 mentén? Feladat Legyen X = M egy Möbius-szalag, A = M = S 1 a pereme, Y = D az egységlemez R 2 -ben, és B = D a pereme, végül f : A = S 1 B = S 1 tetszőleges homeomorfizmus. Lássuk be, hogy M ragasztása D-vel f mentén a valós projektív sík! Feladat Legyenek RP 1 és RP 2 a valós projektív síkkal homeomorf terek, és D i RP i olyan, a két-dimenziós D 2 nyílt egységkörlappal homeomorf részhalmazok, amelyek RP i -beli lezártjai a zárt egységkörlappal homeomorfak. Legyen X i = RP i \ D i, X i az X i pereme, és f egy homeomorfizmus X 1 és X 2 között. Bizonyítsuk be, hogy X 1 f X 2 homeomorf a Klein-kancsóval! 1.4. Összefüggőség Legyen (X, U) egy topologikus tér, A és B két altere, amelyek diszjunktak (azaz A B = ). Ekkor az egyesítésüket szokás A B- val jelölni, és A és B diszjunkt egyesítésének nevezni. A tehát nem egy hagyományos művelet (hiszen nem értelmezett tetszőleges részhalmazokra), hanem csak egy részlegesen értelmezett művelet, amely ha értelmezett, akkor azzal a többlet-információval jár, hogy a

24 24 1. ÁLTALÁNOS TOPOLÓGIA két halmaz diszjunkt. Hasonlóan értelmezhető nem csak két, hanem tetszőlegesen sok diszjunkt halmaz diszjunkt egyesítése is. Definíció Azt mondjuk, hogy egy A altere X-nek összefüggő, ha nem írható fel két nemüres diszjunkt nyílt részhalmaza egyesítéseként, azaz valahányszor A = (A U 1 ) (A U 2 ) valamely U 1, U 2 X nyíltakra, mindannyiszor A U 1 = vagy A U 2 =. Példa Minden egyelemű {x} részhalmaz X-ben összefüggő. Mivel egy nyílt részhalmaz komplementere definíció szerint zárt halmaz, ezért X pontosan akkor összefüggő, ha nem írható fel két nemüres diszjunkt zárt részhalmaza egyesítéseként. Ez továbbá ekvivalens azzal, hogy X egyedüli olyan részhalmazai, amelyek egyszerre nyíltak és zártak is, az X és az. Állítás Egy A R altér összefüggő akkor és csak akkor, ha A egy (véges vagy végtelen, nyílt vagy zárt) intervallum. Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy A nem egy intervallum: ekkor létezik olyan a, b A és olyan c / A amelyre a < c < b. Ekkor az A = (A ], c[) (A ]c, [) egy nemtriviális felbontása A-nak nyílt részhalmazok diszjunkt egyesítésére. A direkt irányt A = R-re bizonyítjuk, valódi intervallumokra ugyanez a gondolatmenet működik. Tegyük fel, hogy R = V 1 V2, ahol V 1, V 2 nyíltak és V 1 nem üres. Legyen a V 1 tetszőleges. Mivel V 1 nyílt, létezik olyan ε > 0 amelyre [a, a + ε[ V 1. Nyilvánvaló, hogy ha az ezzel a tulajdonsággal rendelkező ε > 0-knak létezik legkisebb felső korlátja, akkor az pozitív. Tegyük fel, hogy ez a legkisebb felső korlát létezik, és jelöljük δ-val. Ekkor a + δ / V 1 : valóban, ha a + δ benne lenne V 1 -ben, akkor V 1 nyíltsága miatt léteznék olyan η > 0, amelyre ]a + δ η, a + δ + η[ V 1 teljesülne. Ebből azonban következnék, hogy [a, a + δ + η[ V 1, ami ellentmondana δ felső korlát választásának. Tehát szükségszerűen a + δ V 2. Ám ekkor V 2 nyíltsága miatt a + δ valamely nyílt környezete is V 2 -ben lenne, ami viszont ellentmond δ legkisebb választásának. Tehát ilyen δ > 0 nem létezik, azaz [a, [ V 1. Hasonlóképpen beláthatjuk, hogy ], a] V 1 is teljesül, és így V 1 = R. Ahhoz, hogy több példát adjunk összefüggő terekre, hasznos lesz a következő. Állítás Ha (X, U X ) és (Y, U Y ) összefüggő topologikus terek, akkor X Y is az.

25 1.4. ÖSSZEFÜGGŐSÉG 25 Bizonyítás. Legyen X Y = U 1 U2 valamely U 1, U 2 nyílt halmazokra, és tegyük fel hogy U 1. Minden y Y -ra az X {y} homeomorf X-szel, és mivel U 1 nyílt X Y -ban, ezért U 1 (X {y}) nyílt X-ben. Valóban, mivel U 1 nyílt ezért tetszőleges (x, y) U 1 -re léteznek olyan U x U X, U y U Y halmazok, amelyekre (x, y) U x U y U 1, mivel az ilyen alakú halmazok a szorzat-topológia egy bázisát alkotják. Ekkor azonban nyilván U x {y} U 1. Hasonlóképpen látható, hogy U 2 (X {y}) is nyílt X-ben. Mivel X összefüggő és X {y} U 1 U2, ebből következik, hogy minden y Y -ra U 1 (X {y}) vagy az üres halmazzal vagy X {y}-nal egyezik meg. Legyen V azon y Y -ok halmaza, amelyekre U 1 (X {y}) = X {y}. Ekkor V nyílt Y -ban. Valóban, legyen y V, tehát X {y} U 1. Ekkor bármely rögzített x X-re (x, y) U 1, és mivel U 1 nyílt a szorzat-topológiában, ezért (x, y)-nek létezik olyan W x W y nyílt környezete X Y -ban, amelyre W x W y U 1. Ekkor viszont minden y W y -re U 1 (X {y }) nem lehet üres (hiszen tartalmazza W x {y }-t), tehát szükségszerűen megegyezik X {y }-vel, vagyis W y V, tehát V nyílt Y -ban. Hasonlóképpen, Y \ V is nyílt Y -ban: valóban, ez azon y Y -ok halmaza, amelyekre X {y} U 2, tehát a bizonyítás hasonló. Mivel Y összefüggő, ebből következik hogy V vagy üres, vagy egyenlő Y -nal. Üres nem lehet, hiszen abból következne, hogy U 1 üres, tehát V = Y. Ekkor azonban U 1 = X V = X Y, tehát U 1 = X Y és U 2 =. Következmény Az R n euklideszi térben minden téglatest (véges vagy végtelen, nyílt vagy zárt) összefüggő. Többek között, R n összefüggő. Hasznos lesz a következő eredmény összefüggő terek egyesítéseiről. Állítás Legyen (X, U X ) egy topologikus tér, és {A 1,..., A N } összefüggő részhalmazai, amelyekre teljesül, hogy A i A i+1 minden i {1,..., N 1}-re. Ekkor A = A 1 A N is összefüggő. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy A = (A U 1 ) (A U 2 ) valamely U 1, U 2 nyílt halmazokra X-ben. Ekkor minden i {1,..., N}-re A i = (A i U 1 ) (A i U 2 ), és az A i U 1 és A i U 2 halmazok nyíltak A i -ben. Mivel A 1 összefüggő, ebből következik, hogy vagy A 1 U 1 = A 1 és A 1 U 2 =, vagy fordítva. Feltehetjük, hogy előbbi eset áll fenn, tehát A 1 U 1. Hasonlóképpen, vagy A 2 U 1 vagy A 2 U 2. Utóbbi azonban ellentmondana A 1 A 2 -nak, tehát marad A 2 U 1. Teljes indukcióval belátható, hogy minden i-re A i U 1. Ekkor azonban A = A 1 A N is része U 1 -nek, és ezért U 2 =, tehát az A = U 1 U2 felbontás triviális. Definíció Az X topologikus tér tartalmazásra maximális összefüggő részhalmazait az X összefüggő komponenseinek hívjuk.

26 26 1. ÁLTALÁNOS TOPOLÓGIA Állítás Bármely X topologikus tér egyértelműen előáll összefüggő komponenseinek diszjunkt egyesítéseként: léteznek A i összefüggő komponensek X-ben (i I), amelyekre X = i I A i, és ez a felbontás permutáció erejéig egyértelmű. Bizonyítás. Lássuk be először, hogy bármely A 1, A 2 összefüggő komponensek vagy diszjunktak, vagy azonosak. Tegyük fel ugyanis, hogy A 1 A 2. Ekkor, a 1.80 Állítás értelmében A 1 A 2 is összefüggő altér. Mivel A 1 maximális összefüggő altér, azért A 1 A 2 = A 1, és hasonlóan A 1 A 2 = A 2 is teljesül. A felbontás egyértelműsége ebből azonnal következik. Rögzítsünk most egy x X pontot (az X = eset nyilvánvaló), és tekintsük az {x}-et tartalmazó összefüggő B alterek A x családját: Ekkor A x = {B összefüggő altér: valóban, ha x B és B összefüggő}. A x = B Ax B A x = (A x U 1 ) (A x U 2 ) valamely U 1, U 2 X nyíltakra, akkor ebből következik minden B A x esetén B = (B U 1 ) (B U 2 ). Mivel minden B A x összefüggő, azért B = B U 1 vagy B = B U 2. Az x elem U 1 és U 2 közül pontosan egynek eleme, legyen ez például U 1. Ekkor tehát minden B A x esetén x B U 1, tehát B U 1, ezért az összefüggőség miatt B = B U 1 áll. Így tehát A x = B Ax (B U 1 ) = A x U 1. Ebből kapjuk, hogy A x összefüggő altér. Másrészt, A x maximális összefüggő altér: ha lenne valamely C A x összefüggő altér, akkor nyilván C A x lenne, tehát A x definíciója miatt C A x is teljesülne, amiből következik A x = C. A kiválasztási axióma segítségével válasszunk minden A x halmazból egy i A x elemet. Ekkor, megkapjuk a kívánt felbontást. Nyilvánvaló, hogy egy topologikus tér akkor és csak akkor összefüggő, ha csak egy összefüggő komponense van. Ennek ellenkezője az, ha az összefüggő komponensek egyeleműek. Definíció Azt mondjuk, hogy egy X topologikus tér teljesen összefüggéstelen, ha minden összefüggő komponense egy pontból áll, azaz minden pontja saját maga egy összefüggő komponens.

27 1.4. ÖSSZEFÜGGŐSÉG 27 Állítás X-nek minden Y összefüggő komponense zárt részhalmaza. Bizonyítás. Mivel Y maximális az összefüggő részhalmazok között a tartalmazásra vonatkozóan, elég belátni hogy Y összefüggő. Tegyük fel, hogy Y = U 1 U2 valamely U 1, U 2 nyílt halmazokra. Ekkor Y = (U 1 Y ) (U 2 Y ), tehát mivel Y összefüggő, ezért vagy U 1 Y = Y vagy U 2 Y = Y. Feltehetjük például hogy U 1 Y = Y ; ekkor U 2 Y =. Másként fogalmazva, U 2 nyílt részhalmaza Y \Y -nak, tehát az 1.39 Állítás miatt U 2 =. Ebből következik, hogy Y összefüggő. Ugyanez az állítás nem igaz, ha a zárt szót a nyílt -ra cseréljük: Feladat Lássuk el a Q halmazt a szokványos R-beli beágyazása által indukált (euklideszi) altér-topológiával. Ekkor lássuk be, hogy Q teljesen összefüggéstelen! Feladat Bizonyítsuk be, hogy a (Z, U arit ) tér teljesen összefüggéstelen! Feladat A C Cantor-halmazt a következő módon értelmezzük: legyen C 0 = [0, 1], C 1 = [0, 1/3] [2/3, 1], és általában C n+1 C n - et rekurzívan értelmezzük úgy, hogy C n minden összefüggő komponenséből, amely egy 3 n -hosszú [a, a + 3 n ] részintervallum [0, 1]-ben, vegyük el az ]a + 3 n, a n [ középső nyílt harmadát. Legyen C = n 0 C n, és lássuk el a [0, 1]-ből örökölt topológiával. Mutassuk meg, hogy C teljesen összefüggéstelen! Az összefüggő halmazok egyik legfontosabb tulajdonsága a következő. Tétel Legyenek (X, U X ) és (Y, U Y ) topologikus terek és f : X Y egy folytonos leképezés. Ekkor, ha X összefüggő, akkor f(x) is összefüggő. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy X képe felírható alakban valamely V 1, V 2 U Y f(x) = (f(x) V 1 ) (f(x) V 2 ) halmazokra. Ekkor nyilván X = f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Továbbá, mivel f folytonos, ezért f 1 (V 1 ), f 1 (V 2 ) nyíltak X-ben. Minthogy X összefüggő, vagy f 1 (V 1 ) = X vagy f 1 (V 2 ) = X. Feltehetjük például, hogy f 1 (V 1 ) = X. Ekkor tehát f(x) V 1, s így V 2 =. Az eddigiekből egyszerűen levezethető Bolzano híres közbenső-érték tétele. Következmény 1.89 (Közbenső-érték tétel). Legyen (X, U X ) összefüggő, és f : X R egy folytonos függvény X-en. Tegyük fel, hogy valamely a < b valósakra igaz, hogy a, b f(x). Ekkor minden a < c < b-re c f(x). Feladat Lássuk be a következő állításokat!

28 28 1. ÁLTALÁNOS TOPOLÓGIA (i) Minden diszkrét topologikus tér teljesen összefüggéstelen. (ii) Egy összefüggő tér hányadosa is összefüggő. (iii) Bármely topologikus tér egy összefüggő alterének lezártja is összefüggő Ívszerű összefüggőség. Az összefüggőség fogalmának létezik egy szemléletes analógja, amely azonban általában nem ekvivalens vele. Ebben a szakaszban a [0, 1] intervallumot az euklideszi R egyenes által indukált altér-topológiával tekintjük. Definíció Legyen (X, U) egy topologikus tér, x, y X. Egy f : [0, 1] X folytonos leképezés, amelyre f(0) = x és f(1) = y, egy x-et y-nal összekötő út. Azt mondjuk, hogy X ívszerűen összefüggő, ha bármely x, y X-hez létezik egy x-et y-nal összekötő út. Állítás Ha X ívszerűen összefüggő, akkor összefüggő. Bizonyítás. Egy tér akkor és csak akkor összefüggő, ha egyetlen összefüggő komponense van. Tegyük fel tehát indirekt módon, hogy X ívszerűen összefüggő, de létezik legalább két diszjunkt nem-üres összefüggő komponense: X 1 és X 2. Legyenek x 1 X 1, x 2 X 2 tetszőleges pontok. Mivel X ívszerűen összefüggő, ezért létezik egy f út x 1 és x 2 között. Mivel a [0, 1] intervallum összefüggő és f folytonos, ezért f([0, 1]) is összefüggő. Mivel x 1 X 1 f([0, 1]) és x 2 X 2 f([0, 1]), alkalmazhatjuk az 1.80 Állítást A 1 = X 1, A 2 = f([0, 1]), A 3 = X 2 -vel, amiből következik, hogy X 1 f([0, 1]) X 2 összefüggő. Ugyanakkor X 1 X 1 f([0, 1]) X 2 szigorúan, ami ellentmond annak, hogy X 1 maximális összefüggő részhalmaz. Tehát a kiinduló feltételezésünk hamis volt, vagyis X összefüggő. Az ellenkező irányú implikáció azonban hamis. Az ellenpéldához szükségünk van a kompaktság fogalmára és egy alapvető tulajdonságára, amely a következő szakasz tárgya. Példa Legyen X az origó egyesítése az f(x) = sin(1/x) függvény gráfjával a ]0, 2/π] intervallumon, ellátva az R 2 által indukált topológiával. Ekkor bármely f út (0, 0) és (2/π, 1) között szükségszerűen áthalad X minden pontján, tehát f([0, 1]) = X. Mivel [0, 1] kompakt, X viszont nem kompakt, ilyen út nem létezik. Másrészt azonban leellenőrizhető, hogy X összefüggő. Definíció Az X halmaz maximális ívszerűen összefüggő részhalmazait az X ívszerűen összefüggő komponenseinek hívjuk. Definíció X-et lokálisan ívszerűen összefüggőnek nevezzük, ha a topológiának létezik egy ívszerűen összefüggő nyíltakból álló környezetbázisa; azaz, minden x pont minden U nyílt környezetére létezik olyan V nyílt halmaz, amely ívszerűen összefüggő és ameylre x V U. Feladat Lássuk be a következő állításokat!

29 1.5. KOMPAKTSÁG 29 (i) Ívszerűen összefüggő terek szorzata és hányadosa is ívszerűen összefüggő. (ii) Egy topologikus tér bármely összefüggő komponense ívszerűen összefüggő komponensek diszjunkt egyesítése. (iii) A C = C \ {0} tér az euklideszi topológiával ívszerűen összefüggő. (iv) A 1.54 (vi) Példa-beli SO(n) ortogonális mátrixok halmaza ívszerűen összefüggő. (v) A 1.54 (v) Példa-beli Gl(n, R) tér ívszerűen összefüggő komponensei a Gl + (n, R) pozitív determinánsú és a Gl (n, R) negatív determinánsú mátrixok halmaza. (vi) A Gl(n, C) tér ívszerűen összefüggő. (vii) A CP n és RP n terek ívszerűen összefüggők minden n N-re. (viii) A PGl(n, C) tér ívszerűen összefüggő minden n N-re; a PGl(n, R) tér akkor és csak akkor ívszerűen összefüggő, ha n páratlan Kompaktság Definíció Legyen (X, U) egy topologikus tér. X egy nyílt fedése nyílt halmazok egy olyan {V i } i I családja, amelyre i I V i = X. {V i } i I egy alfedése egy olyan J I részcsalád, amelyre j J V j = X. Egy alfedés véges, ha J véges elemszámú. Végül, X kompakt, ha bármely nyílt fedésének létezik véges alfedése. Példa (i) Minden topologikus tér bármely pontja kompakt. (ii) Tetszőleges a < b-re az [a, b] intervallum R-ben kompakt; lásd Lemma. (iii) Tetszőleges a < b-re az ]a, b], [a, b[ és ]a, b[ intervallumok R- ben nem kompaktak. (iv) Tetszőleges a R-re az [a, [ és ], a] félig végtelen intervallumok nem kompaktak. (v) Tetszőleges n N-re az R n euklideszi tér nem kompakt. (vi) Az S 1 körvonal és az S 2 gömbfelület kompaktak. (vii) A D 2 zárt körlap R 2 -ben kompakt. Feladat Lássuk be a következő állításokat! (i) (X, U diszkr ) akkor és csak akkor kompakt, ha X véges halmaz. (ii) Kompakt halmaz folytonos képe kompakt. (iii) Kompakt halmazon értelmezett valós értékű folytonos függvény felveszi szélsőértékeit. (iv) Legyen X kompakt halmaz és K 1 K 2 nemüres csökkenő zárt részhalmazainak sorozata. Ekkor i K i. (v) R 2 a Zariski-topológiával kompakt. (vi) Kompakt halmaz zárt részhalmaza kompakt.

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

DiMat II Végtelen halmazok

DiMat II Végtelen halmazok DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy 1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek 1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma. Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.

Részletesebben

Topológiai alapismeretek

Topológiai alapismeretek Kurusa Árpád Topológiai alapismeretek Kurusa Árpád Topológiai alapismeretek A címlapon egy Mőbius-szalag látható, ami az újrahasznosítás nemzetközi jele. Ez a dokumentum nem köztulajdon, kizárólag személyes

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14. Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23. Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus

Részletesebben

Gy ur uk aprilis 11.

Gy ur uk aprilis 11. Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán Besenyei Ádám A következőkben a matematikának több ágában is fontos szerepet betöltő eszközével, a Baire kategória-tétellel és annak néhány alkalmazásával ismertetjük

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Modern differenciálgeometria Sokaságok és a Riemann-geometria elemei Szilasi József

Modern differenciálgeometria Sokaságok és a Riemann-geometria elemei Szilasi József Modern differenciálgeometria Sokaságok és a Riemann-geometria elemei Szilasi József DE, Matematikai Intézet 2015-16. 2. félév Tartalomjegyzék Panoráma 0 Jelölések, megállapodások, előismeretek 1 Sima sokaságok

Részletesebben

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok

Részletesebben

10. előadás. Konvex halmazok

10. előadás. Konvex halmazok 10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója

Részletesebben

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet: Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik

Részletesebben

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok. Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Direkt limesz, inverz limesz, végtelen Galois-bővítések

Direkt limesz, inverz limesz, végtelen Galois-bővítések Direkt esz, inverz esz, végtelen Galois-bővítések Az alábbi jegyzetben a direkt eszt, az inverz eszt, testek algebrai lezártjának létezését, ill. a végtelen Galois-csoportokat tekintjük át. Nem minden

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák

Részletesebben

Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor

Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor Metrikus terek, Hausdorff-mérték Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 22. Vázlat 1 Folytonos görbék Affin függvények Definíciók A Koch-görbe A Cantor-halmaz

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika

Részletesebben

A Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE

A Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE A Peano-görbe Besenyei Ádám ELTE A folytonos görbe kifejezés hallatán hajlamosak vagyunk először egy, a szó szoros értelmében egybefüggően megrajzolható vonalra gondolni. A görbe fogalma azonban a vártnál

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia 2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai

Részletesebben

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

Részletesebben

3. Feloldható csoportok

3. Feloldható csoportok 3. Feloldható csoportok 3.1. Kommutátor-részcsoport Egy csoport két eleme, a és b felcserélhető, ha ab = ba, vagy átrendezve az egyenlőséget, a 1 b 1 ab = 1. Ezt az [a,b] = a 1 b 1 ab elemet az a és b

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1 Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI

SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI INBGM0101-17 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 2. gyakorlat Az alábbi összefüggések közül melyek érvényesek minden A, B halmaz

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens

Részletesebben

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó

Részletesebben

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén 1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét

Részletesebben

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet! 1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet

Részletesebben

= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s

= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s 3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy

Részletesebben