EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE"

Átírás

1 EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet gépelési hibákat tartalmazhat, kérem értelemmel kezelni és nekem jelezni. Az esetleges hibák nem mentenek fel senkit a vizsgán. A jegyzet folyamatosan bővül. 1. Folytonosság, határérték Legyen f : R R, azaz legyen D(f) R és R(f) R. Függvények megadásához az értelmezési tartomány (D(f)) és a hozzárendelési szabály megadása szükséges. Megállapodunk abban, hogy ha egy függvénynél csak a hozzárendelési szabályt adjuk meg, akkor az értelmezési tartomány a valós számok azon legbővebb részhalmaza, melyre a hozzárendelési szabály értelmezhető. Tehát ha D(f) = R f(x) = x 2, D(g) = R + g(x) = x 2, akkor két különböző függvényt adtunk meg. A fenti két függvény viszonya egymáshoz fontos speciális esete a következő szituációnak Definíció. Legyen adva f, g : R R. Azt mondjuk, hogy g az f megszorítása, vagy f a g kiterjesztése, ha D(g) D(f) és f(x) = g(x) minden x D(g) esetén. A korábbi tanulmányaink során definiáltuk a következő függvényeket: a hatványfüggvény az exponenciális függvény a logaritmusfüggvény D(f) = R +, f(x) = x α (α R), D(f) = R, f(x) = a x (a R +, a 1), D(f) = R +, f(x) = log a (x) (a R +, a 1). Szintén láttuk, hogy ezek a függvények rendelkeznek a következő igen fontos tulajdonsággal. x n D(f), x 0 D(f), x n x 0, x α n x α 0, x n D(g), x 0 D(g), x n x 0, a x n a x 0, x n D(h), x 0 D(h), x n x 0, log a (x n ) log a (x 0 ). Ez valahol azt fejezi ki, hogy ha az értelmezési tartomány elemei közel kerülnek x 0 -hoz, akkor a függvényértékek is közel kerülnek f(x 0 )-hoz. A következőkben ezt a tulajdonságot szeretnénk általánosabban vizsgálni. Ehhez először bizonyítunk egy átfogalmazást Tétel (Folytonosságra vonatkozó átviteli elv). Legyen f : R R, x 0 D(f). Ekvivalensek a következők: (1) Bármely x n D(f) sorozatra, melyre x n x 0, teljesül, hogy f(x n ) f(x 0 ). (2) Minden ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy bármely x D(f), x x 0 < δ esetén f(x) f(x 0 ) < ε. Date: September 8,

2 2 BÁTKAI ANDRÁS Bizonyítás. (ii) (i): Legyen x n D(f), x n x 0. Azt kell belátnunk, hogy f(x n ) f(x 0 ), azaz ε > 0 N N : n N, n N f(x n ) f(x 0 ) < ε. Tudjuk, hogy x n x 0, azaz bármely δ > 0-hoz található N N, hogy minden n N természetes szám esetén x n x 0 < δ. Legyen ε > 0 tetszőleges. Ehhez (ii) feltétel szerint található δ > 0. Ehhez a δ-hoz az előzőek szerint található N N hogy minden n N természetes szám esetén x n x 0 < δ. Viszont ekkor f(x n ) f(x 0 ) < ε a (ii) feltétel miatt. (i) (ii): Indirekt bizonyítunk, azaz feltesszük, hogy nem teljesül a (ii) és belátjuk, hogy (i) sem teljesülhet. Azaz feltesszük, hogy ε > 0 δ > 0 x = x(δ) D(f), x x 0 < δ, f(x) f(x 0 ) ε. Mivel a fenti minden δ > 0 esetén teljesül, így δ = 1 n -hez is található x = x n D(f), hogy x n x 0 < 1 n és f(x n ) f(x 0 ) ε. Tehát ekkor x n x, de f(x n ) f(x 0 ). Tehát találtunk egy (x n ) sorozatot, melyre (i) nem teljesül Definíció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f folytonos az x 0 D(f) pontban, ha teljesíti az előző 1.2 Tétel (i) vagy (ii) feltételét. Ha az f függvény az x 0 D(f) pontban nem folytonos, azt mondjuk, hogy az x 0 pont az f függvény szakadási helye. Az f függvény folytonos, ha értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. Tehát a hatvány-, az exponenciális-, és a logaritmusfüggvény folytonos függvények Példa. Legyen f az előjelfüggvény, azaz 1, ha x < 0, f(x) := sgn(x) = 0, ha x = 0, 1, ha x > 0. Ekkor f az x 0 = 0 pontban nem folytonos, hiszen ha x n = 1 n 0, akkor f(x n) = 1 1 f(0) = Megjegyzés. Legyen x 0 D(f) olyan, hogy található δ > 0, melyre (x 0 δ, x 0 + δ) D(f) = {x 0 }. Ezt úgy mondjuk, hogy x 0 az értelmezési tartomány izolált pontja. Ha x n D(f) olyan sorozat, melyre x n x 0, akkor ez csak úgy lehetséges, hogy található M N, hogy n M esetén x n = x 0, azaz az (x n ) sorozat majdnem minden 1 indexre konstans. Ha n M, akkor f(x n ) = f(x 0 ) f(x 0 ), azaz f folytonos az x 0 pontban. Összefoglalva, bebizonyítottuk a következőt Állítás. Legyen f : R R, x 0 D(f) az értelmezési tartomány izolált pontja. Ekkor f folytonos x 0 -ban Definíció. Legyenek f, g : R R. Közöttük az alapműveleteket a következő összefüggések definiálják. D(f + g) = D(f) D(g), (f + g)(x) := f(x) + g(x) x D(f + g), D(f g) = D(f) D(g), (f g)(x) := f(x) g(x) x D(f g), D(fg) = D(f) D(g), (fg)(x) := f(x)g(x) x D(fg), D(f/g) = {x D(f) D(g) : g(x) 0}, (f/g)(x) := f(x) g(x) x D(f/g), D(f g) = {x D(g) : g(x) D(f)}, (f g)(x) := f(g(x)) x D(f g) Tétel (folytonosság és műveletek). Legyenek f, g : R R, x 0 D(f) D(g). Ha f és g folytonos x 0 -ban, akkor f + g, f g, fg, f és, ha g(x 0 ) 0, akkor f/g folytonos függvény x 0 -ban. 1 Itt használjuk a majdnem minden = véges sok kivétellel konvenciót.

3 FOLYTONOSSÁG 3 Bizonyítás. Legyen x n D(f) D(g), x n x 0. Ekkor a folytonosság miatt f(x n ) f(x 0 ) és g(x n ) g(x 0 ). A sorozat-határérték és műveletek közötti, múlt félévben tanult összefüggések alapján (f + g)(x n ) = f(x n ) + g(x n ) f(x 0 ) + g(x 0 ) = (f + g)(x 0 ), (f g)(x n ) = f(x n ) g(x n ) f(x 0 ) g(x 0 ) = (f g)(x 0 ), valamint, ha g(x n ) 0, azaz x n D(f/g), akkor (fg)(x n ) = f(x n )g(x n ) f(x 0 )g(x 0 ) = (fg)(x 0 ), ( f )(x n ) = f(x n ) f(x 0 ) = f (x 0 ), (f/g)(x n ) = f(x n) g(x n ) f(x 0) g(x 0 ) = (f/g)(x 0) Megjegyzés. Legyen f(x) = 1 x. Ekkor az előző tétel alapján f folytonos függvény, értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Fontos, hogy f folytonosságáról vagy szakadásáról az x 0 = 0 pontban értelmetlen beszélni, mivel az nincs az értelmezési tartományban Tétel (kompozíció folytonossága). Legyenek f, g : R R, x 0 D(g), g(x 0 ) D(f), g folytonos x 0 -ban és f folytonos g(x 0 )-ban. Ekkor f g folytonos x 0 -ban. Bizonyítás. Legyen x n D(g), g(x n ) D(f), x n x 0. Ekkor g folytonossága miatt g(x n ) g(x 0 ), és az f függvény g(x 0 )-beli folytonossága miatt f(g(x n )) f(g(x 0 )) Példa. Legyen f(x) = x2 1 x 1. Ekkor, megállapodásunk alapján, D(f) = R \ {1}. Látjuk, hogy minden x D(f) esetén f(x) = x + 1. Definiáljuk a g függvényt a következő módon. { f(x), x 1, g(x) := x + 1 = 2, x = 1. Ekkor g kiterjesztése f-nek, és g folytonos az x 0 = 1 helyen, ahol f nem volt értelmezve. Ez a tulajdonsága az f függvénynek az x 0 = 1 hely közelében olyan alapvető, hogy külön foglalkozunk vele Tétel (határértékre vonatkozó átviteli elv). Legyen f : R R, z 0 R olyan, hogy található z n D(f), z n z 0, z n z 0 és legyen a R. Ekvivalensek a következőek: (i) A g(x) := { f(x), x z0, a, x = z 0. függvény folytonos a z 0 pontban. (ii) Bármely x n D(f) sorozatra, melyre x n z 0, x n z 0, teljesül, hogy f(x n ) a. (iii) Minden ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy bármely x D(f), x z 0 < δ, x z 0 esetén f(x) a < ε. Bizonyítás. (i) (ii): Ha g folytonos z 0 -ban, akkor teljesül rá 1.2 Tétel (i) feltétele. Így bármely x n D(g) sorozatra, melyre x n z 0, x n z 0, teljesül, hogy x n D(f), így g(x n ) = f(x n ) g(z 0 ) = a. (i) (iii): Ha g folytonos z 0 -ban, akkor teljesül rá 1.2 Tétel (ii) feltétele. Így minden ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy bármely x D(g), x z 0 < δ, x z 0 esetén x D(f), így f(x) a = g(x) g(z 0 ) < ε. (iii) (ii): Legyen x n D(f), x n z 0, x n z 0. Azt kell belátnunk, hogy f(x n ) a, azaz ε > 0 N N : n N, n N f(x n ) a < ε. Tudjuk, hogy x n z 0, azaz bármely δ > 0-hoz található N N, hogy minden n N természetes szám esetén x n z 0 < δ. Legyen ε > 0 tetszőleges. Ehhez (iii) feltétel szerint található δ > 0. Ehhez a δ-hoz az előzőek szerint található N N hogy minden n N természetes szám esetén x n z 0 < δ. Viszont ekkor f(x n ) a < ε a (iii) feltétel miatt.

4 4 BÁTKAI ANDRÁS (ii) (i): Azt kell megmutatnunk, hogy az így definiált g függvény folytonos a z 0 pontban, azaz bármely z n D(g), z n z 0 sorozatra g(z n ) g(z 0 ). Három esetet különböztethetünk meg. Ha a (z n ) sorozat majdnem minden elemére z n = z 0, akkor adott ε > 0 számhoz triviálisan található N N, hogy minden n N természetes számra g(z n ) g(z 0 ) = 0 < ε. Ha a (z n ) sorozat majdnem minden elemére z n z 0, akkor a (ii) feltételből adott ε > 0 számhoz található N N, hogy minden n N természetes számra z n z 0 és g(z n ) g(z 0 ) = f(z n ) a < ε. Itt használtuk a sorozat-határérték definícióját. Ha a (z n ) sorozat elemei között végtelen sokszor szerepel z 0 és végtelen sok különböző eleme van, akkor szét tudjuk bontani két részsorozatra, melyeket az (n k ) és az (m k ) indexsorozatok határoznak meg, hogy az egyik a konstans z 0, a másikban minden tag különbözik z 0 -tól. Az előző két pont alapján g(z mk ) g(z 0 ) és g(z nk ) g(z 0 ), így a múlt félévben bizonyítottak alapján g(z n ) g(z 0 ) Megjegyzés. Az előző tétel bizonyítása során túlmunkát végeztünk, elég lett volna az (i) (iii) (ii) (i) következtetéssort bizonyítani, abból már az (i) (ii) stb. következtetések mind jönnek Definíció. Legyen f : R R, z 0 R olyan, hogy található z n D(f), z n z 0, z n z 0 és legyen a R. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke a z 0 pontban az a szám, jelben lim f(x) = lim f = a, x z 0 z0 ha az előző 1.12 Tétel (i), (ii) vagy (iii) (ekvivalens) feltétele közül valamelyik teljesül Következmény. Legyen f : R R, x 0 D(f) olyan pont, hogy az f függvény folytonos x 0 -ban. Ekkor vagy x 0 izolált pontja D(f)-nek, vagy lim x x0 f(x) = f(x 0 ). A határérték definíciójában olyan z 0 számot vettünk, mely közel van az értelmezési tartományhoz, tudunk hozzá konvergálni. Ennek a tulajdonságnak is érdemes nevet adni Definíció. Legyen H R, x 0 R. Azt mondjuk, hogy az x 0 pont torlódási pontja a H halmaznak, ha található x n H, x n x 0 sorozat, hogy x n x 0. A H halmaz torlódási pontjainak halmazát H jelöli Példa. (a, b) = [a, b] Q = R. (a, b R, a < b), Állítás. Egy H R halmaz pontosan akkor zárt, ha tartalmazza valós (véges) torlódási pontjait, azaz H \ {, + } H. Bizonyítás. ( ): Tegyük fel, hogy a H halmaz zárt. Azt kell megmutatnunk, hogy tartalmazza az összes valós torlódási pontját. Ehhez megmutatjuk, hogy ha x 0 / H akkor x 0 nem torlódási pont. Emlékeztetünk arra, hogy H pontosan akkor zárt, ha a komplementere R \ H nyílt, azaz ha x 0 R \ H = H c, akkor található ε > 0, hogy (x 0 ε, x 0 + ε) R \ H, hiszen x 0 belső pontja R \ H halmaznak. Ekkor viszont nem található x n H sorozat (amire ekkor automatikusan teljesül, hogy x n x 0 ), hogy x n x 0, hiszen akkor lenne olyan n N, hogy x n (x 0 ε, x 0 + ε). Tehát beláttuk, hogy R \ H R \ H, amiből elemi halmazelméleti azonosságok alapján következik, hogy (R H ) H. ( ): Tegyük fel, hogy H \ {, + } H. Azt kell belátnunk, hogy H R zárt. Legyen x 0 R \ H és indirekt tegyük fel, hogy x 0 nem belső pontja az R\H halmaznak, azaz H nem zárt. Ez azt jelenti, hogy

5 FOLYTONOSSÁG 5 bármely ε > 0 számra (x 0 ε, x 0 +ε) H. Így ε = 1 n esetén is található x n (x 0 ε, x 0 +ε) H. Erre az (x n ) sorozatra viszont x n H, x n x 0 (hiszen x 0 / H) és x n x 0, azaz definíció szerint x 0 H, ami ellentmondás Megjegyzés. Meggondolható, hogy + H pontosan akkor teljesül, ha H R felülről nem korlátos. Hasonlóan, H pontosan akkor teljesül, ha H R alulról nem korlátos Tétel (Cauchy kritérium). Legyen f : R R, x 0 D(f) R. A következőek ekvivalensek. (a) Létezik lim x x0 f(x) R. (b) Bármely ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy minden x, y B(x 0, δ) D(f), x, y x 0 f(x) f(y) < ε. esetén Bizonyítás. ( ): Tegyük fel, hogy létezik lim x x0 f(x) = a R. Ez azt jelenti a határértéket definiáló 1.12 Tétel szerint, hogy bármely ε > 0 esetén található δ > 0, hogy minden z D(f) \ {x 0 }, z x 0 < δ számra f(z) a < ε 2. Így ha x, y B(x 0, δ), x, y x 0, akkor f(x) f(y) f(x) a + a f(y) < ε 2 + ε 2 = ε. ( ): Legyen x n D(f) \ {x 0 }, x n x 0. Ekkor (x n ) teljesíti a sorozatokra vonatkozó Cauchy kritériumot, azaz, összekombinálva (b) feltétellel, kapjuk, hogy ε > 0 δ > 0 N N : n, m N x n x m < δ f(x n ) f(x m ) < ε. Tehát erre az (x n ) sorozatra (f(x n )) sorozat Cauchy sorozat, így létezik lim(f(x n )) = a véges határérték. Azt kell meggondolnunk, hogy különböző (x n ) sorozatokra nem kaphatunk különböző határértékeket. Legyen x n x 0, x n x 0, ehhez található a R, hogy f(x n ) a. Hasonlóan, legyen z n x 0, z n z 0. Előzőek alapján ehhez is található b R, hogy f(z n ) b. Ekkor összefésülve az (x n ) és a (z n ) sorozatot kapjuk, hogy amiből az előzőek alapján következik, hogy a x 1, z 1, x 2, z 2,..., x n, z n,... x 0, f(x 1 ), f(z 1 ), f(x 2 ), f(z 2 ),..., f(x n ), f(z n ),... sorozat Cauchy, azaz konvergens. Viszont ennek a sorozatnak a is és b is torlódási pontja. Ez csak úgy lehetséges, ha a = b Megjegyzés. Augustin Cauchy [ ] francia matematikus. Párizsban, Torinoban és Prágában dolgozott. A matematikai analízis alapfogalmainak megalapozásában úttörő munkát végzett, különös tekintettel a határérték fogalmának kialakítására. Nagy érdeme még a komplex változós függvények elméletének megalapozása. Fontosat alkotott a fizikában (fénytan) és az algebrában is, nevéhez fűződik a,determináns szó Tétel (határérték és műveletek). Legyenek f, g : R R, x 0 (D(f) D(g)) R. Ha létezik lim x0 f = a R és lim x0 g = b R, akkor létezik lim x0 (f + g) = a + b, lim x0 (f g) = a b, lim x0 (fg) = ab, lim x0 f = a és, ha b 0, akkor lim x0 (f/g) = a b. Bizonyítás. Legyen x n D(f) D(g), x n x 0, x n x 0. Ekkor a feltételek miatt f(x n ) a és g(x n ) b. A sorozathatárérték és műveletek közötti, múlt félévben tanult összefüggések alapján valamint, ha g(x n ) 0, azaz x n D(f/g), akkor (f + g)(x n ) = f(x n ) + g(x n ) a + b, (f g)(x n ) = f(x n ) g(x n ) a b, (fg)(x n ) = f(x n )g(x n ) ab, ( f )(x n ) = f(x n ) a, (f/g)(x n ) = f(x n) g(x n ) a b.

6 6 BÁTKAI ANDRÁS Az utolsó állításhoz csak annyit kell még röviden meggondolni, hogy egyáltalán van ilyen x n sorozat, azaz x 0 D(f/g), de ez rögtön következik abból, hogy b = lim x0 g 0 (tehát vagy b < 0, vagy b > 0), mert a múlt félévben tanult, határérték és rendezés összefüggései alapján ilyenkor majdnem minden n N indexre g(x n ) Definíció. Legyen f : R R, x 0 D(f) R. Azt mondjuk, hogy f határértéke az x 0 ponban + ( ), jelben lim f(x) = lim f = + ( ), x x 0 x0 ha bármely x n D(f) \ {x 0 } sorozatra, melyre x n x 0, teljesül, hogy f(x n ) + (f(x n ) ) Állítás. Legyen f : R R, x 0 D(f) R. Ekvivalensek a következők. (i) Létezik lim x0 f = +. (ii) Bármely ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy ha x ((x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ)) D(f) = B(x 0, δ) D(f) \ {x 0 }, akkor f(x) > 1 ε. Bizonyítás. ( ): Legyen x n D(f) \ {x 0 }, x n x 0. Ekkor bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 az (ii) feltétel szerint. Ehhez a δ-hoz található N N, hogy minden n N természetes számra x n x 0 < δ. A feltétel szerint viszont ekkor f(x n ) > 1 ε, ami összefoglalva azt jelenti, hogy ε > 0 N N : n N f(x n ) > 1 ε, azaz f(x n ) +. ( ): Indirekt, tegyük fel, hogy (ii) nem teljesül, azaz található ε > 0, hogy bármely δ > 0 esetén van x = x(δ) (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ), hogy f(x) 1 ε. Ekkor δ = 1 n -hez is található x n (x 0 1 n, x 0) (x 0, x n ), x n D(f), hogy f(x n ) 1 ε. Tehát találtunk egy (x n ) sorozatot, melyre x n D(f) \ {x 0 }, x n x 0 viszont f(x n ) Megjegyzés. Hasonló állítás mondható ki és bizonyítható lim x0 f = esetben Példa. Legyen f(x) = 1 1 x és x 2 0 = 0. Ekkor létezik lim x 0 x 2 x 2 n 0, x 2 n > 0, így a múlt félévben tanultak alapján 1 x +. 2 n = +, hiszen ha 0 x n 0, akkor Definíció. Legyen f : R R, + D(f) ( D(f) ), azaz D(f) ne legyen korlátos felülről (alulról) és legyen a R. Azt mondjuk, hogy f határértéke a + -ben ( -ben) a, jelben ( ) lim f(x) = lim f = a lim f(x) = lim f = a, x + + x ha bármely x n D(f), x n + (x n ) sorozatra f(x n ) a Példa. Legyen f(x) = 1 x. Ekkor létezik lim x + 1 x = 0, hiszen ha x n +, akkor 1 x n Megjegyzés. Ha a sorozatokra mint a természetes számok halmazán definiált függvényekre tekintünk, akkor láthatjuk, hogy a múlt félévben tanult sorozathatárérték fogalma speciális esete a függvény végtelenben vett határértékének Megjegyzés. Az eddigi három határérték-definíciót a következő módon foglalhatjuk egységes formába. Legyen f : R R, x 0 D(f) R, a R. Az f függvény határértéke az x 0 R ponban a R, ha minden x n D(f) \ {x 0 } sorozatra f(x n ) a. Az eddigiekhez hasonlóan megmutatható, hogy ez ekvivalens a következő, ε δ megfogalmazással. Bármely ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy minden x B(x 0, δ) D(f)\{x 0 } számra f(x) B(a, ε) Tétel (határérték és műveletek). Legyenek f, g : R R, x 0 (D(f) D(g)). Ha létezik lim x0 f = a R és lim x0 g = b R, akkor, amennyiben a jobb oldal értelmes, létezik lim x0 (f + g) = a + b, lim x0 (f g) = a b, lim x0 (fg) = ab, lim x0 f = a és, lim x0 (f/g) = a b.

7 FOLYTONOSSÁG 7 Bizonyítás. Legyen x n D(f) D(g), x n x 0, x n x 0. Ekkor a feltételek miatt f(x n ) a és g(x n ) b. A sorozathatárérték és műveletek közötti, múlt félévben tanult összefüggések alapján valamint, ha g(x n ) 0, azaz x n D(f/g), akkor (f + g)(x n ) = f(x n ) + g(x n ) a + b, (f g)(x n ) = f(x n ) g(x n ) a b, (fg)(x n ) = f(x n )g(x n ) ab, ( f )(x n ) = f(x n ) a, (f/g)(x n ) = f(x n) g(x n ) a b. Az utolsó állításhoz csak annyit kell röviden meggondolni, hogy egyáltalán van ilyen x n sorozat, azaz x 0 D(f/g), de rögtön következik abból, hogy b = lim x0 g 0 (tehát vagy b < 0, vagy b > 0), mert a múlt félévben tanult, határérték és rendezés összefüggései alapján ilyenkor majdnem minden n N indexre g(x n ) Példa. Egyszerű példa olyan függvényre, amelynek nem létezik határértéke egy pontban, az előjelfüggvény, azaz legyen 1, ha x < 0, f(x) = sgn(x) = sgn(x) = 0, ha x = 0,. 1, ha x > 0. Ennek nincs határértéke az x 0 = 0 pontban, hiszen ha x n = 1 n 0, akkor f(x n) = 1 1, viszont ha x n = 1 n 0, akkor f(x n) = 1 1. Viszont könnyen látható, hogy ez a függvény sem teljesen csúnya, mert rendelkezik a következő tulajdonsággal. Ha x n > 0, x n 0, azaz az (x n ) sorozat jobbról tart az x 0 ponthoz, akkor f(x n ) = 1 1. Hasonlóan, ha x n < 0, x n 0, azaz az (x n ) sorozat balról tart az x 0 ponthoz, akkor f(x n ) = Definíció. Legyen f : R R, x 0 {x D(f) : x > x 0 } és legyen a R. Azt mondjuk, hogy az f függvény jobboldali határértéke az x 0 pontban a, jelben lim f(x) = lim f = lim f(x) = f(x 0+) = a, x x 0 + x 0 + x x 0+0 ha bármely x n D(f), x n > x 0, x n x 0 sorozatra f(x n ) a Megjegyzés. Az előzőekhez hasonlóan bizonyítható, hogy x 0 R helyen pontosan akkor létezik lim x0 + f = a R, ha bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 szám. hogy minden x (x 0, x 0 + δ) D(f) esetén f(x) B(a, ε) Definíció. Legyen f : R R, x 0 {x D(f) : x < x 0 } és legyen a R. Azt mondjuk, hogy az f függvény baloldai határértéke az x 0 pontban a, jelben lim f(x) = lim f = lim f(x) = f(x 0 ) = a, x x 0 x 0 x x 0 0 ha bármely x n D(f), x n < x 0, x n x 0 sorozatra f(x n ) a Megjegyzés. Az előzőekhez hasonlóan bizonyítható, hogy x 0 R helyen pontosan akkor létezik lim x0 f = a R, ha bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 szám. hogy minden x (x 0 δ, x 0 ) D(f) esetén f(x) B(a, ε) Példa. Legyen f(x) = 1 x. Ekkor létezik lim x 0+ 1 x = +, hiszen ha x n 0, x n > 0, akkor 1 1 x n +. Hasonlóan, létezik lim x 0 x =, hiszen ha x n 0, x n < 0, akkor 1 x n Megjegyzés. Meggondolhatók a következő egyszerű összefüggések. Legyen x 0 belső pontja az értelmezési tartománynak, jelben x 0 int D(f). 2 Pontosan akkor létezik lim x0 f, ha létezik a baloldali határérték lim x0 f és a jobboldali határérték lim x0 + f valamint lim x0 f = lim x0+ f. 2 Egy H R halmaz belső pontjainak halmazát int(h) jelöli.

8 8 BÁTKAI ANDRÁS Legyen D(f) = (α, β), α, β R, α < β. Ekkor lim β f = lim β f amennyiben valamelyik határérték létezik. Hasonlóan, lim α f = lim α+ f amennyiben valamelyik határérték létezik. Az 1.31 Tétel állításai érteremszerűen megfogalmazhatók féloldalas határértékekre is, így továbbra is érvényesek a határérték és műveletek közötti összefüggések. A függvényműveletek közül egyedül a kompozíció határértékének létezését nem vizsgáltuk eddig Példa. Legyen { 0, x R \ Q, g(x) = 1 q, x = p q Q, (p; q) = 1, q > 0. Ekkor létezik lim x 0 g(x) = 0, hiszen ε > 0-hoz legyen N > 1 ε, δ = 1 N. Ha x ( δ, 0) (0, δ), akkor ha x R \ Q, akkor g(x) = 0 < ε, ha x Q, x = p q, akkor p < 1 N, azaz q > N, így g(x) = 1 q < 1 N < ε. Definiáljuk az f függvényt az q f(t) = { 0, t 0, 1, t = 0 összefüggéssel. Ekkor létezik lim t 0 f(t) = 0. Viszont { 1, x R \ Q, (f g)(x) = f(g(x)) = 0, x Q, azaz nem létezik lim 0 (f g). Tehát abból, hogy létezik lim x0 f = w 0 és hogy létezik lim w0 g = a nem következik még, hogy létezne lim x0 (f g). Szükség van plusz feltételekre Tétel (Kompozíció határértéke, 1. változat). Legyen f, g : R R, x 0 D(g), és létezzen lim g(x) = w 0 R. x x 0 Tegyük fel továbbá, hogy g(d(g)) = R(g) D(f), w 0 D(f) és legyen f folytonos w 0 -ban. Ekkor létezik lim (f g)(x) = f(w 0 ). x x 0 Bizonyítás. Legyen x n D(g) \ {x 0 }, x n x 0. Ekkor x n D(f g). A g függvényre vonatkozó feltétel szerint g(x n ) w 0, g(x n ) D(f). Ekkor viszont f folytonossága miatt f(g(x n )) f(w 0 ) Tétel (Kompozíció határértéke, 2. változat). Legyen f, g : R R, x 0 D(f g), és létezzen Tegyük fel továbbá, hogy w 0 D(f) és létezzen valamint legyen ε > 0 olyan, hogy lim g(x) = w 0 R. x x 0 lim f(x) = a R, x w 0 (1) x B(x 0, ε) D(f g), x x 0 : g(x) w 0. Ekkor létezik lim (f g)(x) = a. x x 0 Bizonyítás. Legyen x n D(f g) \ {x 0 }, x n x 0. Definiálja a (t n ) sorozatot a t n = g(x n ) összefüggés, ekkor t n w 0. Az (1) feltétel alapján majdnem minden n N indexre t n w 0, így feltehető, hogy minden n N indexre t n w 0. Erre a (t n ) sorozatra a választása alapján t n D(f) is teljesül, így f(g(x n )) = f(t n ) a Megjegyzés. Bizonyosak lehetünk benne, hogy g teljesíti a plusz (1) feltételt, ha w 0 = ±, vagy ha g szigorúan monoton.

9 FOLYTONOSSÁG 9 A határértékekre vonatkozó tételeknek szép alkalmazásai a gyakorlaton vett nevezetes határértékek, ezek külön papíron kerültek kiadásra. Végül azt vizsgáljuk, egy zárt intervallumon értelmezett függvény hogyan lehet nem folytonos egy pontban Definíció. Legyen D(f) = [a, b], a, b R, a < b, x 0 [a, b], f nem folytonos x 0 -ban. Azt mondjuk, hogy f-nek elsőfajú szakadása van x 0 -ban, ha az összes lehetséges egyoldali (bal, jobb) határérték létezik és véges. Az elsőfajú szakadás megszüntethető, ha létezik lim x0 f ( f(x 0 )), és ugrás, ha lim x0 + f lim x0 f. Azt mondjuk, hogy f-nek másodfajú szakadása van x 0 -ban, ha az nem elsőfajú, azaz valamelyik egyoldali határértéke vagy nem létezik vagy létezik de nem véges Példa. Legyen f(x) := { sin 1 x, x > 0, 0, x 0. Ekkor f-nek másodfajú szakadása van 0-ban, mert bár létezik lim 0 f = 0, a jobboldali határérték nem létezik. Ez utóbbit úgy láthatjuk, hogy ha x n = 1 nπ 0, akkor f(x n) = sin(nπ) = 0 0, viszont ha x n = 1 π 2 +2nπ 0, akkor f(x n) = sin ( π 2 + 2nπ) = Tétel (monoton függvények lehetséges szakadásairól). Legyen D(f) = [a, b], a < b és legyen f monoton növő (fogyó). Ekkor és x 0 (a, b] : x 0 [a, b) : lim x0 f = sup {f(x) : x < x 0} (inf) lim x0+ f = inf {f(x) : x > x 0} (sup). Bizonyítás. A négy állítás közül itt a monoton növő függvény baloldali határértékére vonatkozót bizonyítjuk, a többi hasonlóan történhet. Legyen η = sup {f(x) : x < x 0 }. Mivel η legkisebb felső korlát, így bármely ε > 0 esetén (η ε) nem felső korlátja az {f(x) : x < x 0 } halmaznak, azaz található z < x 0, hogy f(z) > η ε. Viszont a monotonitás miatt minden x (z, x 0 ) esetén η ε < f(z) f(x) η. Tehát ha ε > 0-hoz δ := x 0 z > 0, akkor minden x (x 0 δ, x 0 ) esetén f(x) B(η, ε) Következmény. Zárt intervallumon definiált monoton függvény az értelmezési tartományának belső pontjaiban vagy folytonos, vagy ha nem folytonos, akkor ugrása van. Az intervallum végpontjaiban pedig csak megszüntethető szakadása lehet Megjegyzés. Az 1.45 Tétel hasonlóan végiggondolható nyílt intervallumra, ahol az intervallum végpontjaiban már a végtelen is számításba jön, mint lehetséges határérték. 2. Folytonos függvények tulajdonságai Ebben a fejezetben folytonos függvények tulajdonságait vizsgáljuk, azaz feltesszük, hogy a szereplő függvények értelmezési tartományuk minden pontjában folytonosak. Először ugynevezett fixpontokat fogunk keresni Definíció. Legyen f : R R, R(f) D(f), azaz f képezze értelmezési tartományát önmagába. Ha x D(f) olyan, hogy x = f(x), akkor azt mondjuk, hogy az x pont az f függvény fixpontja.

10 10 BÁTKAI ANDRÁS Először egy olyan esetet vizsgálunk, mely sok múlt félévbeli példát magába foglal Állítás. Legyen f : R R, f folytonos, R(f) D(f) és D(f) legyen korlátos és zárt, pl. D(f) = [a, b]. Ha f monoton nő, akkor van fixpontja, melyet a x n+1 = f(x n ) rekurzióval megadott sorozat határértékeként kaphatunk meg. Bizonyítás. Az így definiált (x n ) sorozat nyilván korlátos. Teljes indukcióval megmutatható, hogy x 2 x 1 x n+1 x n, x 2 x 1 x n+1 x n, tehát az (x n ) sorozat monoton. Legyen a határértéke x D(f), hiszen D(f) zárt. Az f függvény folytonossága miatt f(x n ) f(x), amiből következik az x = f(x) egyenlőség Megjegyzés. Az előző tétel létezésről beszél, egyértelműségről nem. Így elvileg akár sok fixpont is lehetséges Példa. Tekintsünk egy igen egyszerű alkalmazást. Legyen f(x) = sin x, D(f) = [ 1, 1]. Ekkor f monoton nő és R(f) D(f) Tehát az x 0 [ 1, 1], x n+1 = sin(x n ) rekurzióval megadott sorozat az x = sin x egyenlet megoldásához konvergál. Továbbá, mivel sin x x, ezért ha x 0 > 0, akkor x 1 x 0 és ha x 0 < 0, akkor x 1 x Példa. Legyen f(x) = x + sin x, D(f) = [0, 2π]. Ekkor f monoton nő, hiszen ha y > x, akkor f(y) f(x) = (y x) + (sin y sin x) (y x) + (x y) = 0, ahol használtuk azt a gyakorlatokról ismert összefüggést, hogy sin y sin x y x, azaz x y sin y sin x y x. Másrészt R(f) D(f), tehát az x 0 [0, 2π], x n+1 = x n + sin(x n ) rekurzióval megadott sorozat az x = x + sin x egyenlet valamely megoldásához konvergál. Továbbá, mivel sin x 0, ha x (0, π] és sin x 0, ha x [π, 2π), ezért ha x 0 [0, π], akkor x 1 x 0 és ha x 0 [π, 2π], akkor x 1 x 0. Láthatjuk tehát,hogy ha x 0 (0, 2π), akkor a rekurzió az x = π fixponthoz konvergál, ha x 0 = 0, akkor x n = 0 0 és ha x 0 = 2π, akkor x n = 2π 2π. A következő tételhez be kell vezetnünk folytonos függvényeknek egy fontos osztályát Definíció. Legyen f : R R, D(f) = H R, R(f) H. Tegyük fel, hogy található olyan L > 0, hogy f(x) f(y) L x y x, y H. Ekkor azt mondjuk, hogy f Lipschitz-folytonos. Ha a konstans választható úgy, hogy L (0, 1), akkor azt mondjuk, hogy f kontrakció (összehúzó) 3. Kontrakciók Lipschitz-konstansát gyakran q jelöli Megjegyzés. Rudolf Lipschitz [ ] német matematikus, Bonnban működött. A később nagy hírű Felix Klein tanára volt Példa. Tekintsük a következő függvényeket. D(f) = [0, 1], f(x) = x 2 Lipschitz-folytonos, x 2 y 2 = x + y x y 2 x y x, y [0, 1]. D(f) = R, f(x) = sin(x) Lipschitz-folytonos, hiszen gyakorlatokon szerepelt, hogy sin(x) sin(y) x y x, y R. D(f) = R, f(x) = x 2 nem Lipschitz-folytonos. 3 lat. contractio = összehúzás, összevonás

11 FOLYTONOSSÁG Tétel (kontrakció-elv). Legyen H R zárt (tehát nem kell, hogy korlátos legyen), f : R R, D(f) = H, R(f) H, és legyen f kontrakció, azaz tegyük fel, hogy található q (0, 1), hogy (2) f(x) f(y) q x y x, y H. Ekkor f-nek egyértelműen létezik z H fixpontja, azaz melyre z = f(z). A fixpontot a x n+1 = f(x n ) rekurzióval megadott sorozat határértékeként kapjuk meg. Továbbá, (3) z x n qn 1 q x 1 x 0. Bizonyítás. Legyen x 0 H tetszőleges és definiálja az (x n ) sorozatot az x n+1 = f(x n ) rekurzió. Ekkor x 2 x 1 = f(x 1 ) f(x 0 ) q x 1 x 0 x 3 x 2 = f(x 2 ) f(x 1 ) q x 2 x 1 q 2 x 1 x 0. x n+1 x n = f(x n ) f(x n 1 ) q x n x n 1 q n x 1 x 0. Legyen k N tetszőleges, k (4) x n+k x n = (x n+i x n+i 1 ) i=1 ( k k ) x n+i x n+i 1 q n+i 1 x 1 x 0 i=1 = q n 1 qk 1 q x 1 x 0 qn 1 q x 1 x 0. Mivel 0 < q < 1, ezért bármely ε > 0 számhoz található N N, hogy minden n N természetes számra q n 1 q x 1 x 0 < ε. Tehát (x n ) Cauchy sorozat, létezik lim(x n ) = z. Mivel H zárt, ezért z H. Mivel f folytonos, ezért z = f(z), azaz z fixpont. Megmutatjuk, hogy más fixpont nem lehetséges. Ha ugyanis y H fixpont, azaz y = f(y), és y z, akkor z y = f(z) f(y) q z y < z y, ami nem lehetséges. Végül a (3) egyenlőtlenséget (4) becslésből kapjuk k + határátmenettel Példa. Illusztráló példaként tekintsük a cos(x) = 2x egyenletet. Könnyen meggondolható, hogy ha van z fixpont, akkor az csak a z [ ] 0, 1 2 lehet. Legyen f(x) = cos(x) 2, D(f) = [ 0, 2] 1. Ekkor R(f) D(f), és cos(x) cos(y) x y f(x) f(y) =, 2 2 így q = 1 2, azaz f kontrakció. Tehát egyértelműen létezik z [ 0, 2] 1, melyre cos(z) = 2z. Ezen kívül a konvergencia sebességére z x n ( 1 2) n 1 1 x 1 x 0 2 ( 1 2) n i=1 1 2 = 1 2 n Megjegyzés. A 2.4 Példa nem illik bele a kontrakció elv alkalmazhatósági körébe, mert a szinusz függvény bár Lipschitz-folytonos (L = 1), de nem kontrakció Megjegyzés. A kontrakció-elvben a q számra vonatkozó kicsiségi feltéte, amint az a bizonyításból is látható, igen fontos. Az f(x) = x+1 függvény Lipschitz-folytonos, Lipschitz-konstansa L = 1, értelmezési tartománya D(f) = R zárt, viszont nincs fixpontja Segédtétel. Legyen f : R R, x 0 D(f), f folytonos x 0 -ban. Ha f(x 0 ) > 0 (f(x 0 ) < 0), akkor található δ > 0, hogy bármely x (x 0 δ, x 0 + δ) D(f) esetén f(x) > 0 (f(x) < 0).

12 12 BÁTKAI ANDRÁS Bizonyítás, első változat. Indirekt, tegyük fel, hogy minden δ > 0 számhoz található olyan x = x(δ) (x 0 δ, x 0 + δ) D(f), hogy f(x) 0. Így δ = 1 n -hez is található x n a fenti tulajdonsággal. Erre a sorozatra x n x 0, a folytonosság miatt f(x n ) f(x 0 ), a határérték és rendezés tételei miatt f(x 0 ) 0 kellene, hogy legyen, ami ellentmondás. Bizonyítás, második változat. A folytonosság ε δ megfogalmazását használjuk. Az ε = f(x 0 ) -hoz található olyan δ > 0, hogy minden x (x 0 δ, x 0 + δ) D(f) számra f(x) B(f(x 0 ), ε) = (0, 2f(x 0 )), azaz f(x) > 0. A következőkben külön feltétel nélküli, általános folytonos függvényeket fixpontját keressük intervallumon. Ehhez egy alapvető tételre lesz szükségünk Tétel (Bolzano tétele). Legyen f : R R, D(f) = [a, b], a < b, f folytonos, valamint tegyük fel, hogy Ekkor található olyan z [a, b], hogy f(z) = 0. Bizonyítás, első változat. Legyen f(a) < 0, f(b) > 0. A := {x [a, b] : f(x) 0} = és legyen z := sup A b. Mivel z 1 n nem felső korlátja az A halmaznak, ezért található olyan x n A, z 1 n < x n z, azaz x n z. Az f függvény folytonossága miatt f(x n ) f(z), így f(z) 0, hiszen f(x n ) 0 volt. Indirekt, tegyük fel, hogy f(z) < 0. Az 2.13 Lemma alapján található δ > 0, hogy minden x (z δ, z + δ) számra f(x) < 0. Tehát található x > z, hogy f(x) < 0, azaz x A. Ez ellentmondás avval, hogy z felső korlát. Bizonyítás, második változat. Legyen x 0 = a, y 0 = b. rekurzív módon definiálunk egy (x n ) és egy (y n ) sorozatot. Legyen z 1 := x 0 + y 0. Ha f(z 1 ) > 0, akkor legyen x 1 = x 0, y 1 = z 1, 2 ha f(z 1 ) 0, akkor legyen x 1 = z 1, y 1 = y 0.. Legyen z n := x n 1 + y n 1. Ha f(z n ) > 0, akkor legyen x n = x n 1, y n = z n, 2 ha f(z n ) 0, akkor legyen x n = z n, y n = y n 1. Ekkor x n < y n, (x n ) monoton nő, (y n ) monoton fogy, és mivel (y n x n ) = b a s 0, így teljesülnek a n Cantor közösponttétel feltételei. Tehát található z = lim(x n ) = lim(y n ). Mivel f folytonos, f(x n ) f(z) f(z) 0, f(y n ) f(z) f(z) 0, ami csak úgy lehetséges, hogy f(z) = Megjegyzés. Bernard Bolzano [ ] csehországi német matematikus, filozófus és teológus. Az analízis alapfogalmainak megalapozásában alkotott jelentőset. Példát adott sehol sem differenciálható folytonos függvényre. Politikai beállítottsága miatt eredményeit nem publikálhatta, nagy részét csak halála után fedezték fel. Van olyan kézirata, amelyet csak 1920-ban találtak meg Következmény. Legyen f : R R, D(f) = [a, b], a < b, R(f) D(f) és legyen f folytonos. Ekkor van (legalább) egy fixpontja.

13 FOLYTONOSSÁG 13 Bizonyítás. Ha a = f(a) vagy b = f(b), akkor készen vagyunk, találtunk fixpontot. Tegyük fel, hogy a f(a) és b f(b), azaz a < f(a) és f(b) < b. Legyen g(x) = x f(x), D(g) = D(f). Ekkor g folytonos, g(a) < 0, g(b) > 0. Tehát Bolzano 2.14 Tétele szerint található olyan z [a, b], hogy g(z) = 0, azaz z = f(z) Következmény. Legyen f : R R, D(f) = [a, b], és legyen f folytonos. Ekkor az f függvény f(a) és f(b) között minden értéket felvesz. Bizonyítás. Legyen például f(a) < f(b) és legyen η (f(a), f(b)). Ha g(x) = f(x) η, akkor g(a) < 0, g(b) > 0 és g folytonos, így teljesíti a 2.14 Bolzano Tétel feltételeit. Tehát található olyan z (a, b), melyre g(z) = 0, azaz f(z) = η Megjegyzés. Legyen D(f) = R, f folytonos. Ekkor f zérushelyeinek halmaza mindig zárt, azaz {x R : f(x) = 0} zárt halmaz. Ez 2.13 Segédtétel következménye Megjegyzés. Legyen D(f) = [a, b], a < b és legyen f folytonos. Megmutatjuk, hogy f értékkészlete rendelkezik egy fontos tulajdonsággal. Legyen y n R(f) egy tetszőleges sorozat. Ekkor található olyan x n sorozat, hogy y n = f(x n ). Mivel x n D(f) = [a, b], ezért (x n ) korlátos. Bolzano-Weierstraß tétele szerint található olyan (n k ) indexsorozat, hogy (x nk ) részsorozat konvergens. Legyen a határértéke x = lim(x nk ). Viszont f folytonossága miatt (y nk ) részsorozat is konvergens, y nk y = f(x). Összefoglalva, R(f) R rendelkezik a következő, Bolzano-Weierstraß tulajdonsággal: bármely y n R(f) sorozatból ki tudunk választani konvergens részsorozatot úgy, hogy a határérték még mindig az R(f) halmaz eleme Definíció. Legyen H R. Azt mondjuk, hogy H kompakt, ha bármely x n H sorozathoz található (n k ) indexsorozat és x H, hogy x nk x Állítás. Legyen f : R R, D(f) kompakt és legyen f folytonos. Ekkor R(f) értékkészlet szintén kompakt halmaz. Bizonyítás. Szóról szóra meg kell ismételnünk 2.19 Megjegyzés gondolatmenetét. Legyen y n R(f) egy tetszőleges sorozat. Ekkor található olyan x n sorozat, hogy y n = f(x n ). Mivel x n D(f), ami kompakt, ezért található olyan (n k ) indexsorozat, hogy (x nk ) részsorozat konvergens. Legyen a határértéke x = lim(x nk ). Viszont f folytonossága miatt (y nk ) részsorozat is konvergens, y nk y = f(x). Az előző állítás érdekessé teheti azt a kérdést, hogyan lehet egy halmazról gyorsan eldönteni, kompakt-e. Szerencsére kiderül, hogy a kompakt halmazok jól ismert objektumok Állítás. Legyen H R. A H halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Bizonyítás. ( ): Először megmutatjuk, hogy a korlátos és zárt halmazok kompaktak. A gondolatmenet bújtatva szerepelt már 2.19 Megjegyzésben. Legyen H R korlátos és zárt és legyen x n H. A Bolzano- Weierstraß Tétel szerint található olyan (n k ) indexsorozat, hogy (x nk ) konvergens, jelölje határértékét x := lim(x nk ) R. Mivel H zárt, 1.18 Állítás szerint tartalmazza torlódási pontjait, így x H. Tehát H kompakt. ( ): Indirekt, tegyük fel, hogy H R kompakt, viszont vagy nem korlátos, vagy nem zárt. Mindkét esetben következik, vagy 1.19 Megjegyzést vagy 1.18 Állítást használva, hogy található olyan x n H és x R, x / H, hogy x n x. Viszont ekkor, mivel az (x n ) sorozatnak van határértéke, minden (x nk ) részsorozatára teljesül, hogy x nk x / H. Tehát ebből az (x n ) sorozatból nem tudunk kiválasztani H-beli elemhez konvergáló részsorozatot, ami ellentmond annak, hogy H kompakt volt Példa. Mutatunk két tipikus példát kompakt halmazra. Legyen H = [a, b] zárt intervallum, ekkor H kompakt. Legyen H = { 1 n : n N} {0}. Ekkor H kompakt, hiszen korlátos és tartalmazza egyetlen torlódási pontját, a 0-t Állítás. Legyen H R kompakt. Ekkor van maximuma és minimuma, azaz másképp fogalmazva, sup H H és inf H H.

14 14 BÁTKAI ANDRÁS Bizonyítás. Mivel H korlátos, x := sup H R. Mivel x 1 n nem felső korlátja H-nak, így található x n H, hogy x 1 n < x n x, azaz található olyan x n H sorozat, hogy x n x. Mivel H zárt, így x H. A minimumra hasonló meggondolás alkalmazható Definíció. Legyen f : R R, x 0 D(f). Az x 0 pont (globális) maximumhely, ha bármely x D(f) esetén f(x) f(x 0 ). Hasonlóan, az x 0 pont (globális) minimumhely, ha bármely x D(f) esetén f(x) f(x 0 ) Tétel (Weierstraß tétel). Legyen f : R R folytonos és legyen D(f) kompakt. Ekkor f felveszi maximumát és minimumát. Bizonyítás. A 2.21 Állítás szerint R(f) kompakt, legyen y 1 = max R(f), y 2 = min R(f), melyek az előző állítás szerint léteznek. Ezekhez található x 1, x 2 D(f), hogy y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ). Mivel y 1 maximum, így minden x D(f) esetén f(x) f(x 1 ), Hasonlóan, mivel y 2 minimum, minden x D(f) esetén f(x) f(x 2 ) Megjegyzés. Karl Weierstraß [ ] német matematikus. Tizenöt évet középiskolában tanított, mielőtt a berlini egyetem tanára lett. Az analízis megalapozásában elért eredményeiért tartjuk ma is számon a nevét Állítás. Legyen f : R R folytonos és D(f) = [a, b] zárt intervallum. Ekkor R(f) értékkészlet szintén zárt intervallum. Bizonyítás. Legyen x 1 D(f) az f függvény egy minimumhelye és x 2 egy maximumhelye, melyek Weierstraß tétele szerint léteznek. Az egyszerűség kedvéért azt az esetet vizsgáljuk, mikor x 1 < x 2. Legyen η (f(x 1 ), f(x 2 )), megmutatjuk, hogy található olyan z [a, b], hogy f(z) = η. Legyen g(x) = f(x) η, D(g) = [x 1, x 2 ]. Ekkor g(x 1 ) < 0, g(x 2 ) > 0 és g folytonos, így 2.14 Bolzano Tétel szerint található olyan z (x 1, x 2 ), hogy g(z) = 0, azaz f(z) = η Definíció. Az f : R R függvény egyenletesen folytonos, ha bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 szám, hogy minden x, y D(f) számra, melyekre x y < δ, következik, hogy f(x) f(y) < ε. Tehát egy folytonos függvény akkor egyenletesen folytonos, ha az ε-hoz keresett δ univerzális Megjegyzés. Ha f : R R Lipschitz folytonos, akkor egyenletesen is, hiszen ha ε > 0-hoz δ = ε L, akkor ha x y < δ, abból következik. f(x) f(y) L x y < Lδ = ε Tétel (Heine tétel). Legyen f : R R folytonos és D(f) kompakt. Ekkor f egyenletesen folytonos. Bizonyítás. Indirekt, tegyük fel, hogy D(f) kompakt, de f nem egyenletesen folytonos. Ez azt jelenti, hogy ε > 0 δ > 0 x, y D(f) x y < δ de f(x) f(y) ε. tehát δ = 1 n -hez is található x n, y n D(f), hogy x n y n < 1 n, de f(x n) f(y n ) ε. Mivel D(f) kompakt, így található olyan (n k ) indexsorozat és x D(f), hogy x nk y. Ekkor viszont y nk x, hiszen x n y n < 1 n. Mivel f folytonos, ezért f(x nk ) f(x) és f(y nk ) x, azaz f(x nk ) f(y nk ) 0, ami ellentmondás avval, hogy f(x n ) f(y n ) ε Megjegyzés. Eduard Heine [ ] német matematikus Tétel (inverzfüggvény folytonossága). Legyen f : R R, D(f) = I intervallum (véges vagy végtelen), f szigorúan monoton növő (de nem feltétlen folytonos). Ekkor f 1 szigorúan monoton nő és folytonos.

15 FOLYTONOSSÁG 15 Bizonyítás. Az f szigorú monoton növéséből azonnal következik, hogy f 1 is szigorúan monoton nő, hiszen pontosan akkor teljesül x 1 < x 2, ha f(x 1 ) < f(x 2 ). Legyen η D(f 1 ) = R(f), ebben a pontban vizsgáljuk f 1 folytonosságát. A szigorú monotonitás miatt egyértelműen létezik x D(f) = I, hogy f(x) = η. Két esetet kell megvizsgálnuk a szerint, hogy x az I intervallum belsejében vagy szélén helyezkedik-e el. (a) Ha x az I intervallum belsejében van, azaz jelben x int I, akkor található r > 0, hogy [x r, x+r] I. Legyen r > ε > 0, azaz legyen (x ε, x+ε) I. A szigorú monotonitás miatt f(x ε) < η < f(x+ε), így található olyan δ > 0, hogy f(x ε) < η δ < η < η + δ < f(x + ε). Ekkor lényegében készen vagyunk, hiszen tetszőleges r > ε > 0 számhoz találtunk δ > 0 számot, hogy bármely y B(η, δ) D(f 1 ) számra, másképp f 1 szigorú monotonitása miatt teljesül, hogy f(x ε) < η δ < y < η + δ < f(x + ε), x ε < f 1 (y) < x + ε. Használva az x = f 1 (η) egyenlőséget kapjuk, hogy f 1 (y) B(f 1 (η, ɛ). (b) Ha x az I intervallum szélén helyezkedik el, mondjuk bal végpontja (a jobb végpont hasonlóan intézhető el), akkor az előzőekhez hasonlóan eljárva található r > 0, hogy [x, x + r] I. Legyen r > ε > 0, azaz legyen [x, x + ε] I. A szigorú monotonitás miatt f 1 (x) = η < f(x + ε), így található olyan δ > 0, hogy η < η + δ < f(x + ε). Ekkor az előző esethez hasonlóan lényegében készen vagyunk, hiszen tetszőleges r > ε > 0 számhoz találtunk δ > 0 számot, hogy bármely y B(η, δ) D(f 1 ) számra f 1 (y) B(f 1 (η, ε) Példa. Legyen D(f) = ( π 2, π 2 ), f(x) = tg x. Az f függvény szigorúan monoton nő, így az előző tétel alapján létezik folytonos inverze. Ezt a függvényt hagyományos módon f 1 (y) = arctg y jelöli. Végül néhány példán keresztül vizsgáljuk meg azokat az alapvető fogalmakat, melyekre a gyakorlatokon kevesebb idő jutott Példa. (1) Legyen D(f) = (0, 1), f(x) = 1 x. Legyen ε > 0. Adott x 0 (0, 1) pontnak keressük azt a lehető legnagyobb K(x 0 ) (0, 1) környezetét, melyre teljesül, hogy minden x K(x 0 ) esetén f(x) f(x 0 ) = 1 x 1 x 0 = x x 0 xx 0 < ε. Ha x < x 0, akkor x0 x x xx 0 < ε teljesülése avval ekvivalens, hogy 0 1+x 0 ε < x. Ha x > x 0, akkor x 0 x x xx 0 < ε teljesülése avval ekvivalens, hogy 0 ( ) 1 x 0 ε > x. Összefoglalva, K(x 0 ) = x0 1+x 0 ε, x 0 1 x 0 ε. Tehát látszik, hogy a K(x 0 ) intervallum hossza a nullához tart, ha x 0 a 0-hoz közelít, így adott ε > 0 számhoz nem találunk univerzális δ > 0 intervallumhosszot, hogy a folytonossági feltétel teljesüljön. Tehát f nem egyenletesen folytonos, az egyenletes folytonosság a 0 pont közelében romlik el. (2) Legyen D(f) = (0, 1), f(x) = x 2. Az f függvény egyenletesen folytonos, hiszen Lipschitz folytonos is, ami a f(x) f(y) = x 2 y 2 = (x + y) x y 2 x y egyenlőtlenségből látható. (3) Legyen D(f) = R, f(x) = x+sin x. Itt az értelmezési tartomány sem és a függvény sem korlátos, f mégis egyenletesen folytonos, sőt, Lipschitz folytons. Ez könnyen látható, hiszen f(x) f(y) = (x y) + (sin x sin y) x y + sin x sin y 2 x y. (4) Legyen r > 0 és D(f) = [r, + ), f(x) = x. Ez a függvény is Lipschitz folytonos, tehát egyenletesen is folytonos, hiszen f(x) f(y) = x y = 1 x y 1 x + y 2 x y. r

16 16 BÁTKAI ANDRÁS Ha az r ponthoz nagyon közelről valasztjuk x-et és y-t, könnyen látható, hogy L = 1 2r a lehető legjobb Lipschitz konstans. (5) Legyen D(f) = [0, + ), f(x) = x. Az előző példából r 0 határátmenettel meggondolható, hogy f nem Lipschitz folytonos. Megmutatjuk, hogy egyenletesen folytonos. Mivel x y x y, adott ε > 0-hoz választva δ = ε 2, kapjuk, hogy ha x y < δ, akkor f(x) f(y) < ε.

17 Index H, 4 H c, 4 lim, 4 Weierstraß, Karl, 14 Bolzano, Bernard, 12 Cauchy kritérium, 5 Cauchy, Augustin, 5 fixpont, 9 folytonos egyenletes, 14 Lipschitz, 10 folytonosság, 2 függvény előjel, 2 exponenciális, 1 hatvány, 1 kiterjesztés, 1 megszorítás, 1 halmaz kompakt, 13 zárt, 4 határérték baloldali, 7 jobboldali, 7 véges pontban véges, 4 véges pontban végtelen, 6 végtelenben, 6 Heine, Eduard, 14 izolált pont, 2 kompakt, 13 kontrakció, 10 Lipschitz, Rudolf, 10 maximumhely globális, 14 minimumhely globális, 14 szakadás elsőfajú, 9 másodfajú, 9 torlódási pont, 4 Tétel átviteli elv folytonosságra, 1 átviteli elv határértékre, 3 Bolzano, 12 Cauchy kritérium, 5 folytonosság és műveletek, 2 határérték és műveletek, 5, 6 Heine, 14 inverz folytonossága, 14 kompozíció folytonossága, 3 kompozíció határértéke, 8 kontrakció elv, 11 monoton függvény határértéke, 9 Weierstraß, 14 17

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet   nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26 Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz

Részletesebben

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [ Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia 24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0 Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁSA

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁSA EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁSA BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet gépelési

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log

1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log 1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 17.

FELVÉTELI VIZSGA, július 17. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén

Részletesebben

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14. Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK

Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték........................... 4.2. Halmazok, intervallumok,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére (2008). A differenciálhatóság és a derivált fogalma Emlékeztetünk az egyváltozós különbségi hányados fogalmára, melyet a konvex függvények tárgyalása

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben