EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE"

Átírás

1 EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet gépelési hibákat tartalmazhat, kérem értelemmel kezelni és nekem jelezni. Az esetleges hibák nem mentenek fel senkit a vizsgán. A jegyzet folyamatosan bővül. 1. Folytonosság, határérték Legyen f : R R, azaz legyen D(f) R és R(f) R. Függvények megadásához az értelmezési tartomány (D(f)) és a hozzárendelési szabály megadása szükséges. Megállapodunk abban, hogy ha egy függvénynél csak a hozzárendelési szabályt adjuk meg, akkor az értelmezési tartomány a valós számok azon legbővebb részhalmaza, melyre a hozzárendelési szabály értelmezhető. Tehát ha D(f) = R f(x) = x 2, D(g) = R + g(x) = x 2, akkor két különböző függvényt adtunk meg. A fenti két függvény viszonya egymáshoz fontos speciális esete a következő szituációnak Definíció. Legyen adva f, g : R R. Azt mondjuk, hogy g az f megszorítása, vagy f a g kiterjesztése, ha D(g) D(f) és f(x) = g(x) minden x D(g) esetén. A korábbi tanulmányaink során definiáltuk a következő függvényeket: a hatványfüggvény az exponenciális függvény a logaritmusfüggvény D(f) = R +, f(x) = x α (α R), D(f) = R, f(x) = a x (a R +, a 1), D(f) = R +, f(x) = log a (x) (a R +, a 1). Szintén láttuk, hogy ezek a függvények rendelkeznek a következő igen fontos tulajdonsággal. x n D(f), x 0 D(f), x n x 0, x α n x α 0, x n D(g), x 0 D(g), x n x 0, a x n a x 0, x n D(h), x 0 D(h), x n x 0, log a (x n ) log a (x 0 ). Ez valahol azt fejezi ki, hogy ha az értelmezési tartomány elemei közel kerülnek x 0 -hoz, akkor a függvényértékek is közel kerülnek f(x 0 )-hoz. A következőkben ezt a tulajdonságot szeretnénk általánosabban vizsgálni. Ehhez először bizonyítunk egy átfogalmazást Tétel (Folytonosságra vonatkozó átviteli elv). Legyen f : R R, x 0 D(f). Ekvivalensek a következők: (1) Bármely x n D(f) sorozatra, melyre x n x 0, teljesül, hogy f(x n ) f(x 0 ). (2) Minden ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy bármely x D(f), x x 0 < δ esetén f(x) f(x 0 ) < ε. Date: September 8,

2 2 BÁTKAI ANDRÁS Bizonyítás. (ii) (i): Legyen x n D(f), x n x 0. Azt kell belátnunk, hogy f(x n ) f(x 0 ), azaz ε > 0 N N : n N, n N f(x n ) f(x 0 ) < ε. Tudjuk, hogy x n x 0, azaz bármely δ > 0-hoz található N N, hogy minden n N természetes szám esetén x n x 0 < δ. Legyen ε > 0 tetszőleges. Ehhez (ii) feltétel szerint található δ > 0. Ehhez a δ-hoz az előzőek szerint található N N hogy minden n N természetes szám esetén x n x 0 < δ. Viszont ekkor f(x n ) f(x 0 ) < ε a (ii) feltétel miatt. (i) (ii): Indirekt bizonyítunk, azaz feltesszük, hogy nem teljesül a (ii) és belátjuk, hogy (i) sem teljesülhet. Azaz feltesszük, hogy ε > 0 δ > 0 x = x(δ) D(f), x x 0 < δ, f(x) f(x 0 ) ε. Mivel a fenti minden δ > 0 esetén teljesül, így δ = 1 n -hez is található x = x n D(f), hogy x n x 0 < 1 n és f(x n ) f(x 0 ) ε. Tehát ekkor x n x, de f(x n ) f(x 0 ). Tehát találtunk egy (x n ) sorozatot, melyre (i) nem teljesül Definíció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f folytonos az x 0 D(f) pontban, ha teljesíti az előző 1.2 Tétel (i) vagy (ii) feltételét. Ha az f függvény az x 0 D(f) pontban nem folytonos, azt mondjuk, hogy az x 0 pont az f függvény szakadási helye. Az f függvény folytonos, ha értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. Tehát a hatvány-, az exponenciális-, és a logaritmusfüggvény folytonos függvények Példa. Legyen f az előjelfüggvény, azaz 1, ha x < 0, f(x) := sgn(x) = 0, ha x = 0, 1, ha x > 0. Ekkor f az x 0 = 0 pontban nem folytonos, hiszen ha x n = 1 n 0, akkor f(x n) = 1 1 f(0) = Megjegyzés. Legyen x 0 D(f) olyan, hogy található δ > 0, melyre (x 0 δ, x 0 + δ) D(f) = {x 0 }. Ezt úgy mondjuk, hogy x 0 az értelmezési tartomány izolált pontja. Ha x n D(f) olyan sorozat, melyre x n x 0, akkor ez csak úgy lehetséges, hogy található M N, hogy n M esetén x n = x 0, azaz az (x n ) sorozat majdnem minden 1 indexre konstans. Ha n M, akkor f(x n ) = f(x 0 ) f(x 0 ), azaz f folytonos az x 0 pontban. Összefoglalva, bebizonyítottuk a következőt Állítás. Legyen f : R R, x 0 D(f) az értelmezési tartomány izolált pontja. Ekkor f folytonos x 0 -ban Definíció. Legyenek f, g : R R. Közöttük az alapműveleteket a következő összefüggések definiálják. D(f + g) = D(f) D(g), (f + g)(x) := f(x) + g(x) x D(f + g), D(f g) = D(f) D(g), (f g)(x) := f(x) g(x) x D(f g), D(fg) = D(f) D(g), (fg)(x) := f(x)g(x) x D(fg), D(f/g) = {x D(f) D(g) : g(x) 0}, (f/g)(x) := f(x) g(x) x D(f/g), D(f g) = {x D(g) : g(x) D(f)}, (f g)(x) := f(g(x)) x D(f g) Tétel (folytonosság és műveletek). Legyenek f, g : R R, x 0 D(f) D(g). Ha f és g folytonos x 0 -ban, akkor f + g, f g, fg, f és, ha g(x 0 ) 0, akkor f/g folytonos függvény x 0 -ban. 1 Itt használjuk a majdnem minden = véges sok kivétellel konvenciót.

3 FOLYTONOSSÁG 3 Bizonyítás. Legyen x n D(f) D(g), x n x 0. Ekkor a folytonosság miatt f(x n ) f(x 0 ) és g(x n ) g(x 0 ). A sorozat-határérték és műveletek közötti, múlt félévben tanult összefüggések alapján (f + g)(x n ) = f(x n ) + g(x n ) f(x 0 ) + g(x 0 ) = (f + g)(x 0 ), (f g)(x n ) = f(x n ) g(x n ) f(x 0 ) g(x 0 ) = (f g)(x 0 ), valamint, ha g(x n ) 0, azaz x n D(f/g), akkor (fg)(x n ) = f(x n )g(x n ) f(x 0 )g(x 0 ) = (fg)(x 0 ), ( f )(x n ) = f(x n ) f(x 0 ) = f (x 0 ), (f/g)(x n ) = f(x n) g(x n ) f(x 0) g(x 0 ) = (f/g)(x 0) Megjegyzés. Legyen f(x) = 1 x. Ekkor az előző tétel alapján f folytonos függvény, értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Fontos, hogy f folytonosságáról vagy szakadásáról az x 0 = 0 pontban értelmetlen beszélni, mivel az nincs az értelmezési tartományban Tétel (kompozíció folytonossága). Legyenek f, g : R R, x 0 D(g), g(x 0 ) D(f), g folytonos x 0 -ban és f folytonos g(x 0 )-ban. Ekkor f g folytonos x 0 -ban. Bizonyítás. Legyen x n D(g), g(x n ) D(f), x n x 0. Ekkor g folytonossága miatt g(x n ) g(x 0 ), és az f függvény g(x 0 )-beli folytonossága miatt f(g(x n )) f(g(x 0 )) Példa. Legyen f(x) = x2 1 x 1. Ekkor, megállapodásunk alapján, D(f) = R \ {1}. Látjuk, hogy minden x D(f) esetén f(x) = x + 1. Definiáljuk a g függvényt a következő módon. { f(x), x 1, g(x) := x + 1 = 2, x = 1. Ekkor g kiterjesztése f-nek, és g folytonos az x 0 = 1 helyen, ahol f nem volt értelmezve. Ez a tulajdonsága az f függvénynek az x 0 = 1 hely közelében olyan alapvető, hogy külön foglalkozunk vele Tétel (határértékre vonatkozó átviteli elv). Legyen f : R R, z 0 R olyan, hogy található z n D(f), z n z 0, z n z 0 és legyen a R. Ekvivalensek a következőek: (i) A g(x) := { f(x), x z0, a, x = z 0. függvény folytonos a z 0 pontban. (ii) Bármely x n D(f) sorozatra, melyre x n z 0, x n z 0, teljesül, hogy f(x n ) a. (iii) Minden ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy bármely x D(f), x z 0 < δ, x z 0 esetén f(x) a < ε. Bizonyítás. (i) (ii): Ha g folytonos z 0 -ban, akkor teljesül rá 1.2 Tétel (i) feltétele. Így bármely x n D(g) sorozatra, melyre x n z 0, x n z 0, teljesül, hogy x n D(f), így g(x n ) = f(x n ) g(z 0 ) = a. (i) (iii): Ha g folytonos z 0 -ban, akkor teljesül rá 1.2 Tétel (ii) feltétele. Így minden ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy bármely x D(g), x z 0 < δ, x z 0 esetén x D(f), így f(x) a = g(x) g(z 0 ) < ε. (iii) (ii): Legyen x n D(f), x n z 0, x n z 0. Azt kell belátnunk, hogy f(x n ) a, azaz ε > 0 N N : n N, n N f(x n ) a < ε. Tudjuk, hogy x n z 0, azaz bármely δ > 0-hoz található N N, hogy minden n N természetes szám esetén x n z 0 < δ. Legyen ε > 0 tetszőleges. Ehhez (iii) feltétel szerint található δ > 0. Ehhez a δ-hoz az előzőek szerint található N N hogy minden n N természetes szám esetén x n z 0 < δ. Viszont ekkor f(x n ) a < ε a (iii) feltétel miatt.

4 4 BÁTKAI ANDRÁS (ii) (i): Azt kell megmutatnunk, hogy az így definiált g függvény folytonos a z 0 pontban, azaz bármely z n D(g), z n z 0 sorozatra g(z n ) g(z 0 ). Három esetet különböztethetünk meg. Ha a (z n ) sorozat majdnem minden elemére z n = z 0, akkor adott ε > 0 számhoz triviálisan található N N, hogy minden n N természetes számra g(z n ) g(z 0 ) = 0 < ε. Ha a (z n ) sorozat majdnem minden elemére z n z 0, akkor a (ii) feltételből adott ε > 0 számhoz található N N, hogy minden n N természetes számra z n z 0 és g(z n ) g(z 0 ) = f(z n ) a < ε. Itt használtuk a sorozat-határérték definícióját. Ha a (z n ) sorozat elemei között végtelen sokszor szerepel z 0 és végtelen sok különböző eleme van, akkor szét tudjuk bontani két részsorozatra, melyeket az (n k ) és az (m k ) indexsorozatok határoznak meg, hogy az egyik a konstans z 0, a másikban minden tag különbözik z 0 -tól. Az előző két pont alapján g(z mk ) g(z 0 ) és g(z nk ) g(z 0 ), így a múlt félévben bizonyítottak alapján g(z n ) g(z 0 ) Megjegyzés. Az előző tétel bizonyítása során túlmunkát végeztünk, elég lett volna az (i) (iii) (ii) (i) következtetéssort bizonyítani, abból már az (i) (ii) stb. következtetések mind jönnek Definíció. Legyen f : R R, z 0 R olyan, hogy található z n D(f), z n z 0, z n z 0 és legyen a R. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke a z 0 pontban az a szám, jelben lim f(x) = lim f = a, x z 0 z0 ha az előző 1.12 Tétel (i), (ii) vagy (iii) (ekvivalens) feltétele közül valamelyik teljesül Következmény. Legyen f : R R, x 0 D(f) olyan pont, hogy az f függvény folytonos x 0 -ban. Ekkor vagy x 0 izolált pontja D(f)-nek, vagy lim x x0 f(x) = f(x 0 ). A határérték definíciójában olyan z 0 számot vettünk, mely közel van az értelmezési tartományhoz, tudunk hozzá konvergálni. Ennek a tulajdonságnak is érdemes nevet adni Definíció. Legyen H R, x 0 R. Azt mondjuk, hogy az x 0 pont torlódási pontja a H halmaznak, ha található x n H, x n x 0 sorozat, hogy x n x 0. A H halmaz torlódási pontjainak halmazát H jelöli Példa. (a, b) = [a, b] Q = R. (a, b R, a < b), Állítás. Egy H R halmaz pontosan akkor zárt, ha tartalmazza valós (véges) torlódási pontjait, azaz H \ {, + } H. Bizonyítás. ( ): Tegyük fel, hogy a H halmaz zárt. Azt kell megmutatnunk, hogy tartalmazza az összes valós torlódási pontját. Ehhez megmutatjuk, hogy ha x 0 / H akkor x 0 nem torlódási pont. Emlékeztetünk arra, hogy H pontosan akkor zárt, ha a komplementere R \ H nyílt, azaz ha x 0 R \ H = H c, akkor található ε > 0, hogy (x 0 ε, x 0 + ε) R \ H, hiszen x 0 belső pontja R \ H halmaznak. Ekkor viszont nem található x n H sorozat (amire ekkor automatikusan teljesül, hogy x n x 0 ), hogy x n x 0, hiszen akkor lenne olyan n N, hogy x n (x 0 ε, x 0 + ε). Tehát beláttuk, hogy R \ H R \ H, amiből elemi halmazelméleti azonosságok alapján következik, hogy (R H ) H. ( ): Tegyük fel, hogy H \ {, + } H. Azt kell belátnunk, hogy H R zárt. Legyen x 0 R \ H és indirekt tegyük fel, hogy x 0 nem belső pontja az R\H halmaznak, azaz H nem zárt. Ez azt jelenti, hogy

5 FOLYTONOSSÁG 5 bármely ε > 0 számra (x 0 ε, x 0 +ε) H. Így ε = 1 n esetén is található x n (x 0 ε, x 0 +ε) H. Erre az (x n ) sorozatra viszont x n H, x n x 0 (hiszen x 0 / H) és x n x 0, azaz definíció szerint x 0 H, ami ellentmondás Megjegyzés. Meggondolható, hogy + H pontosan akkor teljesül, ha H R felülről nem korlátos. Hasonlóan, H pontosan akkor teljesül, ha H R alulról nem korlátos Tétel (Cauchy kritérium). Legyen f : R R, x 0 D(f) R. A következőek ekvivalensek. (a) Létezik lim x x0 f(x) R. (b) Bármely ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy minden x, y B(x 0, δ) D(f), x, y x 0 f(x) f(y) < ε. esetén Bizonyítás. ( ): Tegyük fel, hogy létezik lim x x0 f(x) = a R. Ez azt jelenti a határértéket definiáló 1.12 Tétel szerint, hogy bármely ε > 0 esetén található δ > 0, hogy minden z D(f) \ {x 0 }, z x 0 < δ számra f(z) a < ε 2. Így ha x, y B(x 0, δ), x, y x 0, akkor f(x) f(y) f(x) a + a f(y) < ε 2 + ε 2 = ε. ( ): Legyen x n D(f) \ {x 0 }, x n x 0. Ekkor (x n ) teljesíti a sorozatokra vonatkozó Cauchy kritériumot, azaz, összekombinálva (b) feltétellel, kapjuk, hogy ε > 0 δ > 0 N N : n, m N x n x m < δ f(x n ) f(x m ) < ε. Tehát erre az (x n ) sorozatra (f(x n )) sorozat Cauchy sorozat, így létezik lim(f(x n )) = a véges határérték. Azt kell meggondolnunk, hogy különböző (x n ) sorozatokra nem kaphatunk különböző határértékeket. Legyen x n x 0, x n x 0, ehhez található a R, hogy f(x n ) a. Hasonlóan, legyen z n x 0, z n z 0. Előzőek alapján ehhez is található b R, hogy f(z n ) b. Ekkor összefésülve az (x n ) és a (z n ) sorozatot kapjuk, hogy amiből az előzőek alapján következik, hogy a x 1, z 1, x 2, z 2,..., x n, z n,... x 0, f(x 1 ), f(z 1 ), f(x 2 ), f(z 2 ),..., f(x n ), f(z n ),... sorozat Cauchy, azaz konvergens. Viszont ennek a sorozatnak a is és b is torlódási pontja. Ez csak úgy lehetséges, ha a = b Megjegyzés. Augustin Cauchy [ ] francia matematikus. Párizsban, Torinoban és Prágában dolgozott. A matematikai analízis alapfogalmainak megalapozásában úttörő munkát végzett, különös tekintettel a határérték fogalmának kialakítására. Nagy érdeme még a komplex változós függvények elméletének megalapozása. Fontosat alkotott a fizikában (fénytan) és az algebrában is, nevéhez fűződik a,determináns szó Tétel (határérték és műveletek). Legyenek f, g : R R, x 0 (D(f) D(g)) R. Ha létezik lim x0 f = a R és lim x0 g = b R, akkor létezik lim x0 (f + g) = a + b, lim x0 (f g) = a b, lim x0 (fg) = ab, lim x0 f = a és, ha b 0, akkor lim x0 (f/g) = a b. Bizonyítás. Legyen x n D(f) D(g), x n x 0, x n x 0. Ekkor a feltételek miatt f(x n ) a és g(x n ) b. A sorozathatárérték és műveletek közötti, múlt félévben tanult összefüggések alapján valamint, ha g(x n ) 0, azaz x n D(f/g), akkor (f + g)(x n ) = f(x n ) + g(x n ) a + b, (f g)(x n ) = f(x n ) g(x n ) a b, (fg)(x n ) = f(x n )g(x n ) ab, ( f )(x n ) = f(x n ) a, (f/g)(x n ) = f(x n) g(x n ) a b.

6 6 BÁTKAI ANDRÁS Az utolsó állításhoz csak annyit kell még röviden meggondolni, hogy egyáltalán van ilyen x n sorozat, azaz x 0 D(f/g), de ez rögtön következik abból, hogy b = lim x0 g 0 (tehát vagy b < 0, vagy b > 0), mert a múlt félévben tanult, határérték és rendezés összefüggései alapján ilyenkor majdnem minden n N indexre g(x n ) Definíció. Legyen f : R R, x 0 D(f) R. Azt mondjuk, hogy f határértéke az x 0 ponban + ( ), jelben lim f(x) = lim f = + ( ), x x 0 x0 ha bármely x n D(f) \ {x 0 } sorozatra, melyre x n x 0, teljesül, hogy f(x n ) + (f(x n ) ) Állítás. Legyen f : R R, x 0 D(f) R. Ekvivalensek a következők. (i) Létezik lim x0 f = +. (ii) Bármely ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy ha x ((x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ)) D(f) = B(x 0, δ) D(f) \ {x 0 }, akkor f(x) > 1 ε. Bizonyítás. ( ): Legyen x n D(f) \ {x 0 }, x n x 0. Ekkor bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 az (ii) feltétel szerint. Ehhez a δ-hoz található N N, hogy minden n N természetes számra x n x 0 < δ. A feltétel szerint viszont ekkor f(x n ) > 1 ε, ami összefoglalva azt jelenti, hogy ε > 0 N N : n N f(x n ) > 1 ε, azaz f(x n ) +. ( ): Indirekt, tegyük fel, hogy (ii) nem teljesül, azaz található ε > 0, hogy bármely δ > 0 esetén van x = x(δ) (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ), hogy f(x) 1 ε. Ekkor δ = 1 n -hez is található x n (x 0 1 n, x 0) (x 0, x n ), x n D(f), hogy f(x n ) 1 ε. Tehát találtunk egy (x n ) sorozatot, melyre x n D(f) \ {x 0 }, x n x 0 viszont f(x n ) Megjegyzés. Hasonló állítás mondható ki és bizonyítható lim x0 f = esetben Példa. Legyen f(x) = 1 1 x és x 2 0 = 0. Ekkor létezik lim x 0 x 2 x 2 n 0, x 2 n > 0, így a múlt félévben tanultak alapján 1 x +. 2 n = +, hiszen ha 0 x n 0, akkor Definíció. Legyen f : R R, + D(f) ( D(f) ), azaz D(f) ne legyen korlátos felülről (alulról) és legyen a R. Azt mondjuk, hogy f határértéke a + -ben ( -ben) a, jelben ( ) lim f(x) = lim f = a lim f(x) = lim f = a, x + + x ha bármely x n D(f), x n + (x n ) sorozatra f(x n ) a Példa. Legyen f(x) = 1 x. Ekkor létezik lim x + 1 x = 0, hiszen ha x n +, akkor 1 x n Megjegyzés. Ha a sorozatokra mint a természetes számok halmazán definiált függvényekre tekintünk, akkor láthatjuk, hogy a múlt félévben tanult sorozathatárérték fogalma speciális esete a függvény végtelenben vett határértékének Megjegyzés. Az eddigi három határérték-definíciót a következő módon foglalhatjuk egységes formába. Legyen f : R R, x 0 D(f) R, a R. Az f függvény határértéke az x 0 R ponban a R, ha minden x n D(f) \ {x 0 } sorozatra f(x n ) a. Az eddigiekhez hasonlóan megmutatható, hogy ez ekvivalens a következő, ε δ megfogalmazással. Bármely ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy minden x B(x 0, δ) D(f)\{x 0 } számra f(x) B(a, ε) Tétel (határérték és műveletek). Legyenek f, g : R R, x 0 (D(f) D(g)). Ha létezik lim x0 f = a R és lim x0 g = b R, akkor, amennyiben a jobb oldal értelmes, létezik lim x0 (f + g) = a + b, lim x0 (f g) = a b, lim x0 (fg) = ab, lim x0 f = a és, lim x0 (f/g) = a b.

7 FOLYTONOSSÁG 7 Bizonyítás. Legyen x n D(f) D(g), x n x 0, x n x 0. Ekkor a feltételek miatt f(x n ) a és g(x n ) b. A sorozathatárérték és műveletek közötti, múlt félévben tanult összefüggések alapján valamint, ha g(x n ) 0, azaz x n D(f/g), akkor (f + g)(x n ) = f(x n ) + g(x n ) a + b, (f g)(x n ) = f(x n ) g(x n ) a b, (fg)(x n ) = f(x n )g(x n ) ab, ( f )(x n ) = f(x n ) a, (f/g)(x n ) = f(x n) g(x n ) a b. Az utolsó állításhoz csak annyit kell röviden meggondolni, hogy egyáltalán van ilyen x n sorozat, azaz x 0 D(f/g), de rögtön következik abból, hogy b = lim x0 g 0 (tehát vagy b < 0, vagy b > 0), mert a múlt félévben tanult, határérték és rendezés összefüggései alapján ilyenkor majdnem minden n N indexre g(x n ) Példa. Egyszerű példa olyan függvényre, amelynek nem létezik határértéke egy pontban, az előjelfüggvény, azaz legyen 1, ha x < 0, f(x) = sgn(x) = sgn(x) = 0, ha x = 0,. 1, ha x > 0. Ennek nincs határértéke az x 0 = 0 pontban, hiszen ha x n = 1 n 0, akkor f(x n) = 1 1, viszont ha x n = 1 n 0, akkor f(x n) = 1 1. Viszont könnyen látható, hogy ez a függvény sem teljesen csúnya, mert rendelkezik a következő tulajdonsággal. Ha x n > 0, x n 0, azaz az (x n ) sorozat jobbról tart az x 0 ponthoz, akkor f(x n ) = 1 1. Hasonlóan, ha x n < 0, x n 0, azaz az (x n ) sorozat balról tart az x 0 ponthoz, akkor f(x n ) = Definíció. Legyen f : R R, x 0 {x D(f) : x > x 0 } és legyen a R. Azt mondjuk, hogy az f függvény jobboldali határértéke az x 0 pontban a, jelben lim f(x) = lim f = lim f(x) = f(x 0+) = a, x x 0 + x 0 + x x 0+0 ha bármely x n D(f), x n > x 0, x n x 0 sorozatra f(x n ) a Megjegyzés. Az előzőekhez hasonlóan bizonyítható, hogy x 0 R helyen pontosan akkor létezik lim x0 + f = a R, ha bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 szám. hogy minden x (x 0, x 0 + δ) D(f) esetén f(x) B(a, ε) Definíció. Legyen f : R R, x 0 {x D(f) : x < x 0 } és legyen a R. Azt mondjuk, hogy az f függvény baloldai határértéke az x 0 pontban a, jelben lim f(x) = lim f = lim f(x) = f(x 0 ) = a, x x 0 x 0 x x 0 0 ha bármely x n D(f), x n < x 0, x n x 0 sorozatra f(x n ) a Megjegyzés. Az előzőekhez hasonlóan bizonyítható, hogy x 0 R helyen pontosan akkor létezik lim x0 f = a R, ha bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 szám. hogy minden x (x 0 δ, x 0 ) D(f) esetén f(x) B(a, ε) Példa. Legyen f(x) = 1 x. Ekkor létezik lim x 0+ 1 x = +, hiszen ha x n 0, x n > 0, akkor 1 1 x n +. Hasonlóan, létezik lim x 0 x =, hiszen ha x n 0, x n < 0, akkor 1 x n Megjegyzés. Meggondolhatók a következő egyszerű összefüggések. Legyen x 0 belső pontja az értelmezési tartománynak, jelben x 0 int D(f). 2 Pontosan akkor létezik lim x0 f, ha létezik a baloldali határérték lim x0 f és a jobboldali határérték lim x0 + f valamint lim x0 f = lim x0+ f. 2 Egy H R halmaz belső pontjainak halmazát int(h) jelöli.

8 8 BÁTKAI ANDRÁS Legyen D(f) = (α, β), α, β R, α < β. Ekkor lim β f = lim β f amennyiben valamelyik határérték létezik. Hasonlóan, lim α f = lim α+ f amennyiben valamelyik határérték létezik. Az 1.31 Tétel állításai érteremszerűen megfogalmazhatók féloldalas határértékekre is, így továbbra is érvényesek a határérték és műveletek közötti összefüggések. A függvényműveletek közül egyedül a kompozíció határértékének létezését nem vizsgáltuk eddig Példa. Legyen { 0, x R \ Q, g(x) = 1 q, x = p q Q, (p; q) = 1, q > 0. Ekkor létezik lim x 0 g(x) = 0, hiszen ε > 0-hoz legyen N > 1 ε, δ = 1 N. Ha x ( δ, 0) (0, δ), akkor ha x R \ Q, akkor g(x) = 0 < ε, ha x Q, x = p q, akkor p < 1 N, azaz q > N, így g(x) = 1 q < 1 N < ε. Definiáljuk az f függvényt az q f(t) = { 0, t 0, 1, t = 0 összefüggéssel. Ekkor létezik lim t 0 f(t) = 0. Viszont { 1, x R \ Q, (f g)(x) = f(g(x)) = 0, x Q, azaz nem létezik lim 0 (f g). Tehát abból, hogy létezik lim x0 f = w 0 és hogy létezik lim w0 g = a nem következik még, hogy létezne lim x0 (f g). Szükség van plusz feltételekre Tétel (Kompozíció határértéke, 1. változat). Legyen f, g : R R, x 0 D(g), és létezzen lim g(x) = w 0 R. x x 0 Tegyük fel továbbá, hogy g(d(g)) = R(g) D(f), w 0 D(f) és legyen f folytonos w 0 -ban. Ekkor létezik lim (f g)(x) = f(w 0 ). x x 0 Bizonyítás. Legyen x n D(g) \ {x 0 }, x n x 0. Ekkor x n D(f g). A g függvényre vonatkozó feltétel szerint g(x n ) w 0, g(x n ) D(f). Ekkor viszont f folytonossága miatt f(g(x n )) f(w 0 ) Tétel (Kompozíció határértéke, 2. változat). Legyen f, g : R R, x 0 D(f g), és létezzen Tegyük fel továbbá, hogy w 0 D(f) és létezzen valamint legyen ε > 0 olyan, hogy lim g(x) = w 0 R. x x 0 lim f(x) = a R, x w 0 (1) x B(x 0, ε) D(f g), x x 0 : g(x) w 0. Ekkor létezik lim (f g)(x) = a. x x 0 Bizonyítás. Legyen x n D(f g) \ {x 0 }, x n x 0. Definiálja a (t n ) sorozatot a t n = g(x n ) összefüggés, ekkor t n w 0. Az (1) feltétel alapján majdnem minden n N indexre t n w 0, így feltehető, hogy minden n N indexre t n w 0. Erre a (t n ) sorozatra a választása alapján t n D(f) is teljesül, így f(g(x n )) = f(t n ) a Megjegyzés. Bizonyosak lehetünk benne, hogy g teljesíti a plusz (1) feltételt, ha w 0 = ±, vagy ha g szigorúan monoton.

9 FOLYTONOSSÁG 9 A határértékekre vonatkozó tételeknek szép alkalmazásai a gyakorlaton vett nevezetes határértékek, ezek külön papíron kerültek kiadásra. Végül azt vizsgáljuk, egy zárt intervallumon értelmezett függvény hogyan lehet nem folytonos egy pontban Definíció. Legyen D(f) = [a, b], a, b R, a < b, x 0 [a, b], f nem folytonos x 0 -ban. Azt mondjuk, hogy f-nek elsőfajú szakadása van x 0 -ban, ha az összes lehetséges egyoldali (bal, jobb) határérték létezik és véges. Az elsőfajú szakadás megszüntethető, ha létezik lim x0 f ( f(x 0 )), és ugrás, ha lim x0 + f lim x0 f. Azt mondjuk, hogy f-nek másodfajú szakadása van x 0 -ban, ha az nem elsőfajú, azaz valamelyik egyoldali határértéke vagy nem létezik vagy létezik de nem véges Példa. Legyen f(x) := { sin 1 x, x > 0, 0, x 0. Ekkor f-nek másodfajú szakadása van 0-ban, mert bár létezik lim 0 f = 0, a jobboldali határérték nem létezik. Ez utóbbit úgy láthatjuk, hogy ha x n = 1 nπ 0, akkor f(x n) = sin(nπ) = 0 0, viszont ha x n = 1 π 2 +2nπ 0, akkor f(x n) = sin ( π 2 + 2nπ) = Tétel (monoton függvények lehetséges szakadásairól). Legyen D(f) = [a, b], a < b és legyen f monoton növő (fogyó). Ekkor és x 0 (a, b] : x 0 [a, b) : lim x0 f = sup {f(x) : x < x 0} (inf) lim x0+ f = inf {f(x) : x > x 0} (sup). Bizonyítás. A négy állítás közül itt a monoton növő függvény baloldali határértékére vonatkozót bizonyítjuk, a többi hasonlóan történhet. Legyen η = sup {f(x) : x < x 0 }. Mivel η legkisebb felső korlát, így bármely ε > 0 esetén (η ε) nem felső korlátja az {f(x) : x < x 0 } halmaznak, azaz található z < x 0, hogy f(z) > η ε. Viszont a monotonitás miatt minden x (z, x 0 ) esetén η ε < f(z) f(x) η. Tehát ha ε > 0-hoz δ := x 0 z > 0, akkor minden x (x 0 δ, x 0 ) esetén f(x) B(η, ε) Következmény. Zárt intervallumon definiált monoton függvény az értelmezési tartományának belső pontjaiban vagy folytonos, vagy ha nem folytonos, akkor ugrása van. Az intervallum végpontjaiban pedig csak megszüntethető szakadása lehet Megjegyzés. Az 1.45 Tétel hasonlóan végiggondolható nyílt intervallumra, ahol az intervallum végpontjaiban már a végtelen is számításba jön, mint lehetséges határérték. 2. Folytonos függvények tulajdonságai Ebben a fejezetben folytonos függvények tulajdonságait vizsgáljuk, azaz feltesszük, hogy a szereplő függvények értelmezési tartományuk minden pontjában folytonosak. Először ugynevezett fixpontokat fogunk keresni Definíció. Legyen f : R R, R(f) D(f), azaz f képezze értelmezési tartományát önmagába. Ha x D(f) olyan, hogy x = f(x), akkor azt mondjuk, hogy az x pont az f függvény fixpontja.

10 10 BÁTKAI ANDRÁS Először egy olyan esetet vizsgálunk, mely sok múlt félévbeli példát magába foglal Állítás. Legyen f : R R, f folytonos, R(f) D(f) és D(f) legyen korlátos és zárt, pl. D(f) = [a, b]. Ha f monoton nő, akkor van fixpontja, melyet a x n+1 = f(x n ) rekurzióval megadott sorozat határértékeként kaphatunk meg. Bizonyítás. Az így definiált (x n ) sorozat nyilván korlátos. Teljes indukcióval megmutatható, hogy x 2 x 1 x n+1 x n, x 2 x 1 x n+1 x n, tehát az (x n ) sorozat monoton. Legyen a határértéke x D(f), hiszen D(f) zárt. Az f függvény folytonossága miatt f(x n ) f(x), amiből következik az x = f(x) egyenlőség Megjegyzés. Az előző tétel létezésről beszél, egyértelműségről nem. Így elvileg akár sok fixpont is lehetséges Példa. Tekintsünk egy igen egyszerű alkalmazást. Legyen f(x) = sin x, D(f) = [ 1, 1]. Ekkor f monoton nő és R(f) D(f) Tehát az x 0 [ 1, 1], x n+1 = sin(x n ) rekurzióval megadott sorozat az x = sin x egyenlet megoldásához konvergál. Továbbá, mivel sin x x, ezért ha x 0 > 0, akkor x 1 x 0 és ha x 0 < 0, akkor x 1 x Példa. Legyen f(x) = x + sin x, D(f) = [0, 2π]. Ekkor f monoton nő, hiszen ha y > x, akkor f(y) f(x) = (y x) + (sin y sin x) (y x) + (x y) = 0, ahol használtuk azt a gyakorlatokról ismert összefüggést, hogy sin y sin x y x, azaz x y sin y sin x y x. Másrészt R(f) D(f), tehát az x 0 [0, 2π], x n+1 = x n + sin(x n ) rekurzióval megadott sorozat az x = x + sin x egyenlet valamely megoldásához konvergál. Továbbá, mivel sin x 0, ha x (0, π] és sin x 0, ha x [π, 2π), ezért ha x 0 [0, π], akkor x 1 x 0 és ha x 0 [π, 2π], akkor x 1 x 0. Láthatjuk tehát,hogy ha x 0 (0, 2π), akkor a rekurzió az x = π fixponthoz konvergál, ha x 0 = 0, akkor x n = 0 0 és ha x 0 = 2π, akkor x n = 2π 2π. A következő tételhez be kell vezetnünk folytonos függvényeknek egy fontos osztályát Definíció. Legyen f : R R, D(f) = H R, R(f) H. Tegyük fel, hogy található olyan L > 0, hogy f(x) f(y) L x y x, y H. Ekkor azt mondjuk, hogy f Lipschitz-folytonos. Ha a konstans választható úgy, hogy L (0, 1), akkor azt mondjuk, hogy f kontrakció (összehúzó) 3. Kontrakciók Lipschitz-konstansát gyakran q jelöli Megjegyzés. Rudolf Lipschitz [ ] német matematikus, Bonnban működött. A később nagy hírű Felix Klein tanára volt Példa. Tekintsük a következő függvényeket. D(f) = [0, 1], f(x) = x 2 Lipschitz-folytonos, x 2 y 2 = x + y x y 2 x y x, y [0, 1]. D(f) = R, f(x) = sin(x) Lipschitz-folytonos, hiszen gyakorlatokon szerepelt, hogy sin(x) sin(y) x y x, y R. D(f) = R, f(x) = x 2 nem Lipschitz-folytonos. 3 lat. contractio = összehúzás, összevonás

11 FOLYTONOSSÁG Tétel (kontrakció-elv). Legyen H R zárt (tehát nem kell, hogy korlátos legyen), f : R R, D(f) = H, R(f) H, és legyen f kontrakció, azaz tegyük fel, hogy található q (0, 1), hogy (2) f(x) f(y) q x y x, y H. Ekkor f-nek egyértelműen létezik z H fixpontja, azaz melyre z = f(z). A fixpontot a x n+1 = f(x n ) rekurzióval megadott sorozat határértékeként kapjuk meg. Továbbá, (3) z x n qn 1 q x 1 x 0. Bizonyítás. Legyen x 0 H tetszőleges és definiálja az (x n ) sorozatot az x n+1 = f(x n ) rekurzió. Ekkor x 2 x 1 = f(x 1 ) f(x 0 ) q x 1 x 0 x 3 x 2 = f(x 2 ) f(x 1 ) q x 2 x 1 q 2 x 1 x 0. x n+1 x n = f(x n ) f(x n 1 ) q x n x n 1 q n x 1 x 0. Legyen k N tetszőleges, k (4) x n+k x n = (x n+i x n+i 1 ) i=1 ( k k ) x n+i x n+i 1 q n+i 1 x 1 x 0 i=1 = q n 1 qk 1 q x 1 x 0 qn 1 q x 1 x 0. Mivel 0 < q < 1, ezért bármely ε > 0 számhoz található N N, hogy minden n N természetes számra q n 1 q x 1 x 0 < ε. Tehát (x n ) Cauchy sorozat, létezik lim(x n ) = z. Mivel H zárt, ezért z H. Mivel f folytonos, ezért z = f(z), azaz z fixpont. Megmutatjuk, hogy más fixpont nem lehetséges. Ha ugyanis y H fixpont, azaz y = f(y), és y z, akkor z y = f(z) f(y) q z y < z y, ami nem lehetséges. Végül a (3) egyenlőtlenséget (4) becslésből kapjuk k + határátmenettel Példa. Illusztráló példaként tekintsük a cos(x) = 2x egyenletet. Könnyen meggondolható, hogy ha van z fixpont, akkor az csak a z [ ] 0, 1 2 lehet. Legyen f(x) = cos(x) 2, D(f) = [ 0, 2] 1. Ekkor R(f) D(f), és cos(x) cos(y) x y f(x) f(y) =, 2 2 így q = 1 2, azaz f kontrakció. Tehát egyértelműen létezik z [ 0, 2] 1, melyre cos(z) = 2z. Ezen kívül a konvergencia sebességére z x n ( 1 2) n 1 1 x 1 x 0 2 ( 1 2) n i=1 1 2 = 1 2 n Megjegyzés. A 2.4 Példa nem illik bele a kontrakció elv alkalmazhatósági körébe, mert a szinusz függvény bár Lipschitz-folytonos (L = 1), de nem kontrakció Megjegyzés. A kontrakció-elvben a q számra vonatkozó kicsiségi feltéte, amint az a bizonyításból is látható, igen fontos. Az f(x) = x+1 függvény Lipschitz-folytonos, Lipschitz-konstansa L = 1, értelmezési tartománya D(f) = R zárt, viszont nincs fixpontja Segédtétel. Legyen f : R R, x 0 D(f), f folytonos x 0 -ban. Ha f(x 0 ) > 0 (f(x 0 ) < 0), akkor található δ > 0, hogy bármely x (x 0 δ, x 0 + δ) D(f) esetén f(x) > 0 (f(x) < 0).

12 12 BÁTKAI ANDRÁS Bizonyítás, első változat. Indirekt, tegyük fel, hogy minden δ > 0 számhoz található olyan x = x(δ) (x 0 δ, x 0 + δ) D(f), hogy f(x) 0. Így δ = 1 n -hez is található x n a fenti tulajdonsággal. Erre a sorozatra x n x 0, a folytonosság miatt f(x n ) f(x 0 ), a határérték és rendezés tételei miatt f(x 0 ) 0 kellene, hogy legyen, ami ellentmondás. Bizonyítás, második változat. A folytonosság ε δ megfogalmazását használjuk. Az ε = f(x 0 ) -hoz található olyan δ > 0, hogy minden x (x 0 δ, x 0 + δ) D(f) számra f(x) B(f(x 0 ), ε) = (0, 2f(x 0 )), azaz f(x) > 0. A következőkben külön feltétel nélküli, általános folytonos függvényeket fixpontját keressük intervallumon. Ehhez egy alapvető tételre lesz szükségünk Tétel (Bolzano tétele). Legyen f : R R, D(f) = [a, b], a < b, f folytonos, valamint tegyük fel, hogy Ekkor található olyan z [a, b], hogy f(z) = 0. Bizonyítás, első változat. Legyen f(a) < 0, f(b) > 0. A := {x [a, b] : f(x) 0} = és legyen z := sup A b. Mivel z 1 n nem felső korlátja az A halmaznak, ezért található olyan x n A, z 1 n < x n z, azaz x n z. Az f függvény folytonossága miatt f(x n ) f(z), így f(z) 0, hiszen f(x n ) 0 volt. Indirekt, tegyük fel, hogy f(z) < 0. Az 2.13 Lemma alapján található δ > 0, hogy minden x (z δ, z + δ) számra f(x) < 0. Tehát található x > z, hogy f(x) < 0, azaz x A. Ez ellentmondás avval, hogy z felső korlát. Bizonyítás, második változat. Legyen x 0 = a, y 0 = b. rekurzív módon definiálunk egy (x n ) és egy (y n ) sorozatot. Legyen z 1 := x 0 + y 0. Ha f(z 1 ) > 0, akkor legyen x 1 = x 0, y 1 = z 1, 2 ha f(z 1 ) 0, akkor legyen x 1 = z 1, y 1 = y 0.. Legyen z n := x n 1 + y n 1. Ha f(z n ) > 0, akkor legyen x n = x n 1, y n = z n, 2 ha f(z n ) 0, akkor legyen x n = z n, y n = y n 1. Ekkor x n < y n, (x n ) monoton nő, (y n ) monoton fogy, és mivel (y n x n ) = b a s 0, így teljesülnek a n Cantor közösponttétel feltételei. Tehát található z = lim(x n ) = lim(y n ). Mivel f folytonos, f(x n ) f(z) f(z) 0, f(y n ) f(z) f(z) 0, ami csak úgy lehetséges, hogy f(z) = Megjegyzés. Bernard Bolzano [ ] csehországi német matematikus, filozófus és teológus. Az analízis alapfogalmainak megalapozásában alkotott jelentőset. Példát adott sehol sem differenciálható folytonos függvényre. Politikai beállítottsága miatt eredményeit nem publikálhatta, nagy részét csak halála után fedezték fel. Van olyan kézirata, amelyet csak 1920-ban találtak meg Következmény. Legyen f : R R, D(f) = [a, b], a < b, R(f) D(f) és legyen f folytonos. Ekkor van (legalább) egy fixpontja.

13 FOLYTONOSSÁG 13 Bizonyítás. Ha a = f(a) vagy b = f(b), akkor készen vagyunk, találtunk fixpontot. Tegyük fel, hogy a f(a) és b f(b), azaz a < f(a) és f(b) < b. Legyen g(x) = x f(x), D(g) = D(f). Ekkor g folytonos, g(a) < 0, g(b) > 0. Tehát Bolzano 2.14 Tétele szerint található olyan z [a, b], hogy g(z) = 0, azaz z = f(z) Következmény. Legyen f : R R, D(f) = [a, b], és legyen f folytonos. Ekkor az f függvény f(a) és f(b) között minden értéket felvesz. Bizonyítás. Legyen például f(a) < f(b) és legyen η (f(a), f(b)). Ha g(x) = f(x) η, akkor g(a) < 0, g(b) > 0 és g folytonos, így teljesíti a 2.14 Bolzano Tétel feltételeit. Tehát található olyan z (a, b), melyre g(z) = 0, azaz f(z) = η Megjegyzés. Legyen D(f) = R, f folytonos. Ekkor f zérushelyeinek halmaza mindig zárt, azaz {x R : f(x) = 0} zárt halmaz. Ez 2.13 Segédtétel következménye Megjegyzés. Legyen D(f) = [a, b], a < b és legyen f folytonos. Megmutatjuk, hogy f értékkészlete rendelkezik egy fontos tulajdonsággal. Legyen y n R(f) egy tetszőleges sorozat. Ekkor található olyan x n sorozat, hogy y n = f(x n ). Mivel x n D(f) = [a, b], ezért (x n ) korlátos. Bolzano-Weierstraß tétele szerint található olyan (n k ) indexsorozat, hogy (x nk ) részsorozat konvergens. Legyen a határértéke x = lim(x nk ). Viszont f folytonossága miatt (y nk ) részsorozat is konvergens, y nk y = f(x). Összefoglalva, R(f) R rendelkezik a következő, Bolzano-Weierstraß tulajdonsággal: bármely y n R(f) sorozatból ki tudunk választani konvergens részsorozatot úgy, hogy a határérték még mindig az R(f) halmaz eleme Definíció. Legyen H R. Azt mondjuk, hogy H kompakt, ha bármely x n H sorozathoz található (n k ) indexsorozat és x H, hogy x nk x Állítás. Legyen f : R R, D(f) kompakt és legyen f folytonos. Ekkor R(f) értékkészlet szintén kompakt halmaz. Bizonyítás. Szóról szóra meg kell ismételnünk 2.19 Megjegyzés gondolatmenetét. Legyen y n R(f) egy tetszőleges sorozat. Ekkor található olyan x n sorozat, hogy y n = f(x n ). Mivel x n D(f), ami kompakt, ezért található olyan (n k ) indexsorozat, hogy (x nk ) részsorozat konvergens. Legyen a határértéke x = lim(x nk ). Viszont f folytonossága miatt (y nk ) részsorozat is konvergens, y nk y = f(x). Az előző állítás érdekessé teheti azt a kérdést, hogyan lehet egy halmazról gyorsan eldönteni, kompakt-e. Szerencsére kiderül, hogy a kompakt halmazok jól ismert objektumok Állítás. Legyen H R. A H halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Bizonyítás. ( ): Először megmutatjuk, hogy a korlátos és zárt halmazok kompaktak. A gondolatmenet bújtatva szerepelt már 2.19 Megjegyzésben. Legyen H R korlátos és zárt és legyen x n H. A Bolzano- Weierstraß Tétel szerint található olyan (n k ) indexsorozat, hogy (x nk ) konvergens, jelölje határértékét x := lim(x nk ) R. Mivel H zárt, 1.18 Állítás szerint tartalmazza torlódási pontjait, így x H. Tehát H kompakt. ( ): Indirekt, tegyük fel, hogy H R kompakt, viszont vagy nem korlátos, vagy nem zárt. Mindkét esetben következik, vagy 1.19 Megjegyzést vagy 1.18 Állítást használva, hogy található olyan x n H és x R, x / H, hogy x n x. Viszont ekkor, mivel az (x n ) sorozatnak van határértéke, minden (x nk ) részsorozatára teljesül, hogy x nk x / H. Tehát ebből az (x n ) sorozatból nem tudunk kiválasztani H-beli elemhez konvergáló részsorozatot, ami ellentmond annak, hogy H kompakt volt Példa. Mutatunk két tipikus példát kompakt halmazra. Legyen H = [a, b] zárt intervallum, ekkor H kompakt. Legyen H = { 1 n : n N} {0}. Ekkor H kompakt, hiszen korlátos és tartalmazza egyetlen torlódási pontját, a 0-t Állítás. Legyen H R kompakt. Ekkor van maximuma és minimuma, azaz másképp fogalmazva, sup H H és inf H H.

14 14 BÁTKAI ANDRÁS Bizonyítás. Mivel H korlátos, x := sup H R. Mivel x 1 n nem felső korlátja H-nak, így található x n H, hogy x 1 n < x n x, azaz található olyan x n H sorozat, hogy x n x. Mivel H zárt, így x H. A minimumra hasonló meggondolás alkalmazható Definíció. Legyen f : R R, x 0 D(f). Az x 0 pont (globális) maximumhely, ha bármely x D(f) esetén f(x) f(x 0 ). Hasonlóan, az x 0 pont (globális) minimumhely, ha bármely x D(f) esetén f(x) f(x 0 ) Tétel (Weierstraß tétel). Legyen f : R R folytonos és legyen D(f) kompakt. Ekkor f felveszi maximumát és minimumát. Bizonyítás. A 2.21 Állítás szerint R(f) kompakt, legyen y 1 = max R(f), y 2 = min R(f), melyek az előző állítás szerint léteznek. Ezekhez található x 1, x 2 D(f), hogy y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ). Mivel y 1 maximum, így minden x D(f) esetén f(x) f(x 1 ), Hasonlóan, mivel y 2 minimum, minden x D(f) esetén f(x) f(x 2 ) Megjegyzés. Karl Weierstraß [ ] német matematikus. Tizenöt évet középiskolában tanított, mielőtt a berlini egyetem tanára lett. Az analízis megalapozásában elért eredményeiért tartjuk ma is számon a nevét Állítás. Legyen f : R R folytonos és D(f) = [a, b] zárt intervallum. Ekkor R(f) értékkészlet szintén zárt intervallum. Bizonyítás. Legyen x 1 D(f) az f függvény egy minimumhelye és x 2 egy maximumhelye, melyek Weierstraß tétele szerint léteznek. Az egyszerűség kedvéért azt az esetet vizsgáljuk, mikor x 1 < x 2. Legyen η (f(x 1 ), f(x 2 )), megmutatjuk, hogy található olyan z [a, b], hogy f(z) = η. Legyen g(x) = f(x) η, D(g) = [x 1, x 2 ]. Ekkor g(x 1 ) < 0, g(x 2 ) > 0 és g folytonos, így 2.14 Bolzano Tétel szerint található olyan z (x 1, x 2 ), hogy g(z) = 0, azaz f(z) = η Definíció. Az f : R R függvény egyenletesen folytonos, ha bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 szám, hogy minden x, y D(f) számra, melyekre x y < δ, következik, hogy f(x) f(y) < ε. Tehát egy folytonos függvény akkor egyenletesen folytonos, ha az ε-hoz keresett δ univerzális Megjegyzés. Ha f : R R Lipschitz folytonos, akkor egyenletesen is, hiszen ha ε > 0-hoz δ = ε L, akkor ha x y < δ, abból következik. f(x) f(y) L x y < Lδ = ε Tétel (Heine tétel). Legyen f : R R folytonos és D(f) kompakt. Ekkor f egyenletesen folytonos. Bizonyítás. Indirekt, tegyük fel, hogy D(f) kompakt, de f nem egyenletesen folytonos. Ez azt jelenti, hogy ε > 0 δ > 0 x, y D(f) x y < δ de f(x) f(y) ε. tehát δ = 1 n -hez is található x n, y n D(f), hogy x n y n < 1 n, de f(x n) f(y n ) ε. Mivel D(f) kompakt, így található olyan (n k ) indexsorozat és x D(f), hogy x nk y. Ekkor viszont y nk x, hiszen x n y n < 1 n. Mivel f folytonos, ezért f(x nk ) f(x) és f(y nk ) x, azaz f(x nk ) f(y nk ) 0, ami ellentmondás avval, hogy f(x n ) f(y n ) ε Megjegyzés. Eduard Heine [ ] német matematikus Tétel (inverzfüggvény folytonossága). Legyen f : R R, D(f) = I intervallum (véges vagy végtelen), f szigorúan monoton növő (de nem feltétlen folytonos). Ekkor f 1 szigorúan monoton nő és folytonos.

15 FOLYTONOSSÁG 15 Bizonyítás. Az f szigorú monoton növéséből azonnal következik, hogy f 1 is szigorúan monoton nő, hiszen pontosan akkor teljesül x 1 < x 2, ha f(x 1 ) < f(x 2 ). Legyen η D(f 1 ) = R(f), ebben a pontban vizsgáljuk f 1 folytonosságát. A szigorú monotonitás miatt egyértelműen létezik x D(f) = I, hogy f(x) = η. Két esetet kell megvizsgálnuk a szerint, hogy x az I intervallum belsejében vagy szélén helyezkedik-e el. (a) Ha x az I intervallum belsejében van, azaz jelben x int I, akkor található r > 0, hogy [x r, x+r] I. Legyen r > ε > 0, azaz legyen (x ε, x+ε) I. A szigorú monotonitás miatt f(x ε) < η < f(x+ε), így található olyan δ > 0, hogy f(x ε) < η δ < η < η + δ < f(x + ε). Ekkor lényegében készen vagyunk, hiszen tetszőleges r > ε > 0 számhoz találtunk δ > 0 számot, hogy bármely y B(η, δ) D(f 1 ) számra, másképp f 1 szigorú monotonitása miatt teljesül, hogy f(x ε) < η δ < y < η + δ < f(x + ε), x ε < f 1 (y) < x + ε. Használva az x = f 1 (η) egyenlőséget kapjuk, hogy f 1 (y) B(f 1 (η, ɛ). (b) Ha x az I intervallum szélén helyezkedik el, mondjuk bal végpontja (a jobb végpont hasonlóan intézhető el), akkor az előzőekhez hasonlóan eljárva található r > 0, hogy [x, x + r] I. Legyen r > ε > 0, azaz legyen [x, x + ε] I. A szigorú monotonitás miatt f 1 (x) = η < f(x + ε), így található olyan δ > 0, hogy η < η + δ < f(x + ε). Ekkor az előző esethez hasonlóan lényegében készen vagyunk, hiszen tetszőleges r > ε > 0 számhoz találtunk δ > 0 számot, hogy bármely y B(η, δ) D(f 1 ) számra f 1 (y) B(f 1 (η, ε) Példa. Legyen D(f) = ( π 2, π 2 ), f(x) = tg x. Az f függvény szigorúan monoton nő, így az előző tétel alapján létezik folytonos inverze. Ezt a függvényt hagyományos módon f 1 (y) = arctg y jelöli. Végül néhány példán keresztül vizsgáljuk meg azokat az alapvető fogalmakat, melyekre a gyakorlatokon kevesebb idő jutott Példa. (1) Legyen D(f) = (0, 1), f(x) = 1 x. Legyen ε > 0. Adott x 0 (0, 1) pontnak keressük azt a lehető legnagyobb K(x 0 ) (0, 1) környezetét, melyre teljesül, hogy minden x K(x 0 ) esetén f(x) f(x 0 ) = 1 x 1 x 0 = x x 0 xx 0 < ε. Ha x < x 0, akkor x0 x x xx 0 < ε teljesülése avval ekvivalens, hogy 0 1+x 0 ε < x. Ha x > x 0, akkor x 0 x x xx 0 < ε teljesülése avval ekvivalens, hogy 0 ( ) 1 x 0 ε > x. Összefoglalva, K(x 0 ) = x0 1+x 0 ε, x 0 1 x 0 ε. Tehát látszik, hogy a K(x 0 ) intervallum hossza a nullához tart, ha x 0 a 0-hoz közelít, így adott ε > 0 számhoz nem találunk univerzális δ > 0 intervallumhosszot, hogy a folytonossági feltétel teljesüljön. Tehát f nem egyenletesen folytonos, az egyenletes folytonosság a 0 pont közelében romlik el. (2) Legyen D(f) = (0, 1), f(x) = x 2. Az f függvény egyenletesen folytonos, hiszen Lipschitz folytonos is, ami a f(x) f(y) = x 2 y 2 = (x + y) x y 2 x y egyenlőtlenségből látható. (3) Legyen D(f) = R, f(x) = x+sin x. Itt az értelmezési tartomány sem és a függvény sem korlátos, f mégis egyenletesen folytonos, sőt, Lipschitz folytons. Ez könnyen látható, hiszen f(x) f(y) = (x y) + (sin x sin y) x y + sin x sin y 2 x y. (4) Legyen r > 0 és D(f) = [r, + ), f(x) = x. Ez a függvény is Lipschitz folytonos, tehát egyenletesen is folytonos, hiszen f(x) f(y) = x y = 1 x y 1 x + y 2 x y. r

16 16 BÁTKAI ANDRÁS Ha az r ponthoz nagyon közelről valasztjuk x-et és y-t, könnyen látható, hogy L = 1 2r a lehető legjobb Lipschitz konstans. (5) Legyen D(f) = [0, + ), f(x) = x. Az előző példából r 0 határátmenettel meggondolható, hogy f nem Lipschitz folytonos. Megmutatjuk, hogy egyenletesen folytonos. Mivel x y x y, adott ε > 0-hoz választva δ = ε 2, kapjuk, hogy ha x y < δ, akkor f(x) f(y) < ε.

17 Index H, 4 H c, 4 lim, 4 Weierstraß, Karl, 14 Bolzano, Bernard, 12 Cauchy kritérium, 5 Cauchy, Augustin, 5 fixpont, 9 folytonos egyenletes, 14 Lipschitz, 10 folytonosság, 2 függvény előjel, 2 exponenciális, 1 hatvány, 1 kiterjesztés, 1 megszorítás, 1 halmaz kompakt, 13 zárt, 4 határérték baloldali, 7 jobboldali, 7 véges pontban véges, 4 véges pontban végtelen, 6 végtelenben, 6 Heine, Eduard, 14 izolált pont, 2 kompakt, 13 kontrakció, 10 Lipschitz, Rudolf, 10 maximumhely globális, 14 minimumhely globális, 14 szakadás elsőfajú, 9 másodfajú, 9 torlódási pont, 4 Tétel átviteli elv folytonosságra, 1 átviteli elv határértékre, 3 Bolzano, 12 Cauchy kritérium, 5 folytonosság és műveletek, 2 határérték és műveletek, 5, 6 Heine, 14 inverz folytonossága, 14 kompozíció folytonossága, 3 kompozíció határértéke, 8 kontrakció elv, 11 monoton függvény határértéke, 9 Weierstraß, 14 17

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére (2008). A differenciálhatóság és a derivált fogalma Emlékeztetünk az egyváltozós különbségi hányados fogalmára, melyet a konvex függvények tárgyalása

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

Bevezető analízis I. jegyzet

Bevezető analízis I. jegyzet Bevezető analízis I. jegyzet Gémes Margit, Szentmiklóssy Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet 05. szeptember. Tartalomjegyzék Halmazok, logika, bizonyítási módszerek..

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán Besenyei Ádám A következőkben a matematikának több ágában is fontos szerepet betöltő eszközével, a Baire kategória-tétellel és annak néhány alkalmazásával ismertetjük

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

2. Függvények. I. Feladatok

2. Függvények. I. Feladatok . Függvények I. Feladatok 1. Az y = x 1 + x + 1 függvény grafikonja és az y = c egyenletű egyenes által közrezárt síkidom területe 30. Mekkora a c állandó értéke?. Hány zérushelye van az a paramétertől

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek

Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek 238 8. Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek 8.8. tétel. (Andronov Witt) 5 6 Ha a Γ periodikus pálya karakterisztikus multiplikátorainak abszolút értéke 1-nél kisebb, akkor a Γ pálya stabilis határciklus.

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Programkonstrukciók A programkonstrukciók programfüggvényei Levezetési szabályok. 6. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 6.

Programkonstrukciók A programkonstrukciók programfüggvényei Levezetési szabályok. 6. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 6. Programkonstrukciók Definíció Legyen π feltétel és S program A-n. A DO A A relációt az S-ből a π feltétellel képezett ciklusnak nevezzük, és (π, S)-sel jelöljük, ha 1. a / [π] : DO (a) = { a }, 2. a [π]

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden

-ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha. -ra nézve (szigorú) abszolút minimumhelye, ha minden Analízis-lexikon abszolút maximumhelye Legyen hogy tetszőleges függvény, és része értelmezési tartományának Azt mondjuk, az -nek -ra nézve (szigorú) abszolút maximumhelye (minimumhelye), ha minden esetén

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,

Részletesebben

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet

Eger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tartalomjegyzék Előszó................................. 5. Függvénytani alapismeretek..................... 7. Valós számsorozatok......................... 9 3. Valós számsorok............................

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben