d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

Átírás

1 Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés szempontból nem a légvonalban mért távolság adja, hanem pl az odavezető út hossza Tehát egy halmaz eleme között többféleképpen s defnálhatunk távolságot Mlyen tulajdonságokat várunk el egy " távolságtól"? A H halmazt a rajta értelmezett d kétváltozós függvénnyel metrkus térnek nevezzük, ha teljesülnek az alább követelmények: Tetszőleges a, b, c H esetén 1 d(a, b) = d(b, a) 0; 2 d(a, b) = 0 akkor és csak akkor, ha a = b; 3 d(a, b) + d(b, c) d(a, c) (háromszög-egyenlőtlenség) A kétváltozós d függvényt a H-n értelmezett metrkának, vagy távolságfüggvénynek nevezzük Példákat a leggyakrabban alkalmazott távolságfüggvényekre ezen összefoglaló végén láthatunk Ha H metrkus tér, akkor könnyen defnálhatjuk bármely a H elemnek r- sugarú környezetét, mnt azon u elemek összességét, amelyekre d(a, u) < r Egy H halmazon defnált különböző metrkákat ekvvalenseknek nevezünk, ha abból, hogy egy sorozat konvergens az egykkel, következk, hogy konvergens a máskkal s Egy sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezünk, ha tetszőleges ε > 0 esetén van olyan n 0 ndex, hogy ha m, n > n 0, akkor d(a n, a m ) < ε Ez a defnícó abban különbözk a konvergens sorozatok defnícójától, hogy tt a nagy ndexű elemek nem egy bzonyos A elemhez vannak közelebb ε-nál, hanem egymáshoz Közsmert tétel, hogy R n -ben egy sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat Ez azonban nem mnden metrkus térben van így (Példa az összefoglaló végén) Egy metrkus teret teljes metrkus térnek nevezünk, ha mnden Cauchy-sorozat konvergens Legyen f egy olyan függvény (operátor), amelynek értelmezés tartománya és értékkészlete s egy M metrkus térnek egy részhalmaza Az f függvényt kontrakcós függvénynek (kontrakcós operátornak), vagy rövden kontrakcónak nevezzük, ha tetszőleges x, y D(f) esetén d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1 1

2 Fxponttétel: Legyen M egy teljes metrkus tér Tegyük fel, hogy f egy olyan függvény (operátor), amelynek értelmezés tartománya és értékkészlete s M-nek egy részhalmaza Tegyük fel, hogy a D(f) értelmezés tartománynak van olyan H részhalmaza, amelyet a függvény önmagába vsz, és hogy f kontrakcó ezen a részhalmazon Ekkor az f függvénynek van egy és csaks egy fxpontja ebben a halmazban, azaz egy olyan pont, amelyre f(x ) = x Bzonyítás: Legyen a H-nak tetszőleges pontja Képezzük a következő sorozatot: x 1 = f( ) x 2 = f(x 1 ) x n = f(x n 1 ) Ha x 1 = = f( ), akkor fxpont becsüljük meg a d(x n, x n 1 ) távolságot Ha d(, x 1 ) > 0, akkor először d(x n, x n+1 ) = d(f(x n 1 ), f(x n )) qd(x n 1, x n ) = qd(f(x n 2 ), f(x n 1 ) 2 d(x n 2, x n 1 ) q n d(, x 1 ) Az x n sorozat Cauchy-sorozat, ugyans, legyen n < m, ekkor a háromszögegyenlőtlenséget és a mértan sorozat összegképletét használva d(x n, x m ) d(x n, x n+1 ) + d(x n+1, x n+2 ) + + d(x m 1, x m ) q n d(, x 1 )+q n+1 d(, x 1 )+ q m 1 d(, x 1 ) = d(, x 1 )q n 1 qm n 1 q Mvel d(, x 1 ) 1 1 q n-től független, ha n 0 olyan nagy, hogy q n 1 q d(,x 1) ε, akkor d(x n, x m ) < ε, tehát az x n sorozat Cauchy-sorozat, ezért konvergens Legyen lm n x n = x, ekkor a jobb és bal oldal sorozatokat összevetve x = f(x ) Hátra van még az egyértelműség Tegyük fel, hogy lenne H-ban két fxpont s, azaz x = f(x ), és x = f(x ), és x x Ekkor d(x, x ) = d(f(x ), f(x )) qd(x, x ) < d(x, x ), am ellentmondás Ezzel az állítást bebzonyítottuk Példák alkalmazásra: 1 Példa Keressük az x = cos x egyenlet megoldását Az y = x és y = cos x grafkonokból látszk, hogy van megoldás a (0, π/2) ntervallumon, sőt, mvel cos(x) 1, a (0,1) ntervallumon A (0, 1) ntervallum pontjat a kosznuszfüggvény bztosan a (0, 1) ntervallumba vsz Legyen a távolság a szokásos d(, x 1 )q n 1 1 q 2

3 módon defnálva, azaz d(a, b) = a b Ekkor a kosznusz-függvény kontrakcó ezen az ntervallumon, ugyans a Lagrange-féle középértéktétel alapján cos(a) cos(b) a b = cos (c) = sn(c) ahol c az a és b között van A jobb és bal oldal abszolút értékét véve és a b -vel átszorozva cos(a) cos(b) = sn(c) a b sn(1) a b, és mvel sn(1) < 1, a kosznusz-függvény kontrakcó ezen az ntervallumon Ezek szernt a (0,1) ntervallum tetszőleges pontját választva -nak, az x n = cos(x n 1 ) sorozat konvergens, és a megoldáshoz tart Erről könnyen meggyőződhetünk: ha kalkulátorunkba beütünk tetszőleges (0,1)-bel számot (valójában bármlyen valós számot), és a kosznusz gombot sokszor egymás után megnyomjuk, akkor azt tapasztaljuk, hogy egyre több és több tzedesre meg fog egyezn x és a kosznusza 2 Példa Közsmert, hogy ha az f(x, y) kétváltozós függvény folytonos, akkor az y = f(x, y), y( ) = y 0 kezdetérték-probléma ekvvalens az y(x) = y 0 + f(t, y(t))dx ntegrálegyenlettel Képezzük a következő függvénysorozatot: y 0 (x) = y 0 y 1 (x) = y 0 + y 2 (x) = y 0 + y n (x) = y 0 + f(t, y 0 (t))dt f(t, y 1 (t))dt f(t, y n 1 (t))dt Tegyük fel, az f függvény y-ban K Lpschtz-konstanssal eleget tesz a Lpschtzfeltételnek az x [ c, + c], y [k 1, k 2 ] táglalaptartományon, ahol ck = q < 1, és k 1, k 2 olyanok, hogy az y 1 (x) = y 0 + f(t, y 0 (t))dt függvény értéke az adott tartományon a kettő közé esk f folytonossága matt a fent sorozatban defnált mnden függvény folytonos Defnáljuk két függvény távolságát egy [a, b] ntervallumon a következőképpen: d(g 1, g 2 ) = max x [a,b] g 1 (x) g 2 (x) Be lehet látn, hogy ekkor a tekntett [ c, + c] ntervallumon d(y k+1, y k ) ckd(y k, y k 1 ), tehát a hozzárendelésnek van fxpontja, am épp az ntegrálegyenlet megoldása Ha egy lneárs térben szeretnénk metrkát defnáln, ahol vektorok normája (hossza) már defnálva van, akkor két vektor távolságát defnáljuk úgy, hogy 3

4 d(a, b) := a b Ezt a távolságot nevezzük az adott norma által generált metrkának Fordítva: ha egy lneárs téren defnálva van egy metrka, akkor defnálhatunk egy normát úgy, hogy mnden vektor normája (hossza) legyen a nullvektortól való távolsága, azaz a := d(0, a) Ezt a normát az adott metrka által generált normának nevezzük Az R n -ben leggyakrabban használt metrkák, azaz távolságok: d m (x, y) = max x y d l (x, y) = x y d ε (x, y) = (x y ) 2 Könnyen meggyőződhetünk róla, hogy mndhárom távolságfüggvény eleget tesz a távolságra krótt követelményeknek Ez a három metrka R n -ben ekvvalens abban az értelemben, hogy ha egy sorozat konvergens az egyk szernt (azaz az adott metrka szernt tekntve a környezeteket), akkor konvergens a másk szernt s Az utolsót hívjuk Eukldesz-metrkának A számegyenes egy korlátos, zárt [a, b] ntervallumán értelmezett korlátos függvények távolságát defnálhatjuk a következőképpen: d m (f, g) = sup f(x) g(x) x [a,b] (Folytonos függvények esetén a szuprémum nylván maxmum) Integrálhatókét: Négyzetesen ntegrálhatókét: d l (f, g) = b a b f(x) g(x) dx d l (f, g) = a (f(x) g(x)) 2 dx Ha R 2 -ben az orgó középpontú, egységsugarú kört úgy defnáljuk, mnt azon pontok összességét, amelyeknek orgótól vett távolsága pontosan 1, akkor fent három távolsággal a következő alakzatokat kapjuk egységsugarú körként: max ( x, y )=1 x + y =1 2 2 x +y =1 4

5 Azok a pontok, amelyek távolsága az orgótól 1-nél ksebb, az alakzatok belsejében vannak, amelyek távolsága az orgótól 1-nél több, az alakzatokon kívül vannak Példa nem teljes metrkus térre Legyen M a raconáls számok halmaza (Vagys az rraconáls számok most nem léteznek) Két szám távolsága legyen a szokásos: d(a, b) = a b Tekntsük a következő sorozatot: a 1 = 1, 4; a 2 = 1, 41; a 3 = 1, 414; a 4 = 1, 4142;, azaz amely 2 egyre több és több jegyét tartalmazza Ez nylván Cauchy-sorozat, hszen ha 10 n0 < ε, akkor n, m > n 0 esetén a n a m < ε A sorozat nem konvergens, hszen nem tarthat máshová, mnt 2, lyen szám vszont nncs, tehát a sorozat nem konvergens, mert nem tart semmhez Ez egy nagyon egyszerű példa Nylván könnyű lenne pl folytonos függvényekre s olyan távolságot és olyan sorozatot mutatn, am Cauchy-sorozat, de nem folytonos függvényhez tart 5