IV. Trigonometria. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva. Hegyesszögû trigonometriai alapfeladatok

Átírás

1 . Trigoometria Szögek átváltása fokról radiára és fordítva 456. a) ; 90 ; 60 ; 45 ;,5. b) 10 ; 150; 15 ; 40 ; a) 00 ; 15 ; 6 ; 70 ; 5. b). 57,96 ;. 14,9 ;. 9,794 ;. 16,7 ;. 6,6. r 458. a). 114,59 ;. 0,4 ;. 16, ;. 8,14 ;. 07,11. b). 185,64 ;. 18,60 ;. 19,50 ;. 579,58 ;. 4,97. r r r r $ r 5 $ r $ r $ r 459. a) r; ; ; ;. b) $ r; ; ; ; $ r r $ r 4 $ r 5 $ r r 11 $ r 59 $ r 460. a) ; ; ; ;. b) ; ;.,664; 1, $ r 461. a). 0,67; 0,7965;,0644; 4,1681; 5,518. b). 0,74;. 1,1796; ,545;. 0,8860;. 0, ;.,9 ; 0 ;. 7,48 ; 5 ; 114,59. 5 $ r ,65;. 1,75;. 0,496;. 0,909;. 5,60. 5 $ r 5 $ r 4 $ r 7 $ r 4 $ r r r 7 $ r r 7 $ r 464. a) ; ; ; ;. b) ; ; ; ; Hegyesszögû trigoometriai alapfeladatok ,5 cm a megadott szöggel szemközti befogó hossza , cm a megadott szög melletti befogó hossza ,69 cm;. 11,05 cm a befogók hossza cm;. 45,41 cm a befogók hossza ,06 cm az átfogó hossza;. 11,5 cm a keresett befogó hossza ,81 m az átfogó hossza;. 17,44 m a keresett befogó hossza ,75 dm a másik befogó hossza ,07 cm a másik befogó hossza ,75 cm;. 7,06 cm a háromszög ismeretle oldalaiak a hossza ,6 dm;. 5, dm a háromszög ismeretle oldalaiak a hossza ,56 cm;. 91,6 cm a háromszög ismeretle oldalaiak a hossza ,79 m;. 61,6 m a háromszög ismeretle oldalaiak a hossza az adott befogóval szemközti szög ,47 az adott befogóval szemközti szög ,4 a keresett hegyesszög agysága ,67 az ismert befogóval szemközti szög ; 60 a háromszög ismeretle szögei ,6 az ismeretle oldallal szemközti szög, ha az ismeretle oldal befogó. Ha pedig átfogó, akkor 90 az ismeretle oldallal szemközti szög.

2 68 Hegyesszögû trigoometriai alapfeladatok ; 60 a háromszög ismeretle szögei ,81 az adott befogóval szemközti szög ,4 a lejárat hajlásszöge a vízsziteshez képest ,4 az emelkedés szöge ,49 m magasról érkezik a lejtô ,4 m a lejtô hossza;. 4,04 m a lejtô vízszitesre esô merôleges vetülete ,6 szöget zár be a fallal a létra m magas a toroy ,5 m magasra visz a lejtô ,06 m távol kezdôdjö a feljáró a lépcsôsor hajlásszöge a vízsziteshez képest, kissé potosabba. 5, %-os az emelkedô l szöggel hajlik az út a vízsziteshez képest l szöget zár be a huzal a vízszitessel ,0 cm a téglalap ismeretle oldaláak a hossza ,1 cm, illetve. 5,66 cm a téglalap oldalaiak hossza m magas a templomtoroy. Mit a fizikából tudjuk, a beesési szög a beesési merôleges és a beesô féysugár hajlásszöge l-es szöget zárak be a apsugarak a talajjal. Itt em a beesési szöget keressük, haem aak pótszögét ,8 a apsugarak beesési szöge a talajhoz képest. Itt a beesési szöget keressük m széles a folyó. 50. AB. 150 m a folyó szélessége m távol va tôlük légvoalba a vitorlás a.,6 m; b. 15,5 m; c. 6,81 m; d. 16,47 m a égyszög oldalaiak a hossza a) x. 6,7 cm; y. 10,0 cm; z. 17,17 cm a égyszög ismeretle oldalhosszai. b) x. 5,17 cm; y. 6,80 cm a égyszög ismeretle oldalhosszai; b l az ismeretle szög agysága. Hegyesszög megszerkesztése valamely szögfüggvéyéek értékébôl 507. Megfelelô derékszögû háromszögeket kell szerkeszteük. Például az a) feladatál szerkesszük egy olya derékszögû háromszöget, amelyek 1 egység az átfogója és egyik befogója 1 egység! Ekkor az 1 egység hosszúságú befogóval szemközti szög sziusza éppe 1.

3 Egyelô szárú háromszögek 69 A c) feladatál hosszúságú szakaszt köye szerkesztük, ha veszük egy 1 egység szárhosszúságú egyelô szárú derékszögû háromszöget. A d) feladatál icse olya szög, amelyek sziusza lee Hasolóa járuk el, mit az elôzô feladatál. A b) feladatál szakaszt köye harmadolhatuk, ha emlékszük a párhuzamos szelôk tételére. A c) feladatál ics olya szög, amelyek kosziusza lee. A d) feladatál egység hosszúságú szakaszt köye szerkeszthetük, ha tekitjük az egységyi oldalhosszúságú szabályos háromszög magasságát Hasolóa járuk el, mit az elôzô két feladatál. A d) feladatál 5 hosszúságú szakaszt például úgy szerkeszthetük, hogy egy kör átmérôjéek vesszük az egység hosszúságú szakaszt, majd merôlegest állítuk a két szakasz közös potjába az átmérôre. E merôleges egy potba metszi a kört. Eze pot és az átmérô két végpotja derékszögû háromszöget alkot. Miért? Ezutá alkalmazzuk a magasságtételt a derékszögû háromszögre és megkapjuk a 5 hosszúságú szakaszt Hasolóa járuk el, mit az elôzô három feladatál Hasolóa járuk el, mit az elôzô égy feladatál. Nevezetes hegyesszögek szögfüggvéyei 51. a) ; b) - 1; c) 1; d) a kifejezések potos értéke. 51. a) 1; b) 8; c) 1; d) a kifejezések potos értéke a) 4; b) 1; c) a kifejezések potos értéke a) 4 5 ; b) 4 1 ; c) ; d) 8 a kifejezések potos értéke a) ; - b) a kifejezések potos értéke a) 6 ; b) 5- $ 6 a kifejezések potos értéke. Hegyesszögû trigoometriai feladatok Egyelô szárú háromszögek 518..,8 cm az egyelô szárú háromszög alapja , a kettôslétra yílásszöge. 50. x. 174,5 cm magasa álluk a talajhoz képest ,51 szöget zár be a foáliga a két szélsô helyzet között ,88 cm a kúp alapköréek átmérôje ,85 a kúp yílásszöge ,5 cm az alapkör sugara. 50.

4 70 Hegyesszögû trigoometriai alapfeladatok r. 9,61 cm a kör sugara. 56. Az alap és a szár hajlásszöge. 55,96, míg a szárak hajlásszöge. 68,08. Vegyük figyelembe az ismert tételt, miszerit a háromszög szögfelezôi egy potba metszik egymást és ez a pot éppe a háromszögbe írható kör középpotja. Vegyük azt a derékszögû háromszöget, amelyek egyik befogója az alap fele, míg a másik befogója a kör sugara. 57. r.,6 cm. Vegyük figyelembe az elôzô feladat megoldásához való útmutatást. 58. R. 4, cm. Elôször számítsuk ki a szárak hajlásszögét! Bocsássuk merôleges szakaszt a körülírt kör középpotjából a háromszög egyik szárára! Majd vegyük észre, hogy eze szög fele szerepel az ábrá megjelölt derékszögû háromszögbe. E háromszögre felírt megfelelô szögfüggvéy segítségével kiszámíthatjuk a körülírt kör sugarát. 59. r. 5,06 cm a beírt kör sugara és R. 10,8 cm a körülírt kör sugara. Mit tudjuk a háromszög szögfelezôje átmegy a beírt kör középpotjá. Tekitsük azt a derékszögû háromszöget, amelyikek egyik befogója az alap fele, másik befogója a beírt kör sugara. Ekkor ezzel a beírt kör sugárral szemközti szög 4 -os az elôzôek miatt. Megfelelô szögfüggvéyel kiszámíthatjuk a beírt kör sugarát eze derékszögû háromszögbôl. Tekitsük most azt a másik derékszögû háromszöget, amelyek egyik befogója az alap fele, míg másik befogója az alaphoz tartozó magasság! Ekkor megfelelô szögfüggvéyt felírva eze derékszögû háromszögre, kiszámíthatjuk a derékszögû háromszög átfogóját, ami em más, mit az eredeti háromszög szára. Ezutá tekitsük azt a derékszögû háromszöget, amelyet az elôzô feladat megoldási útmutatásába jelöltük meg. Kiszámítjuk eze derékszögû háromszög megfelelô szögét, ami em más, mit az eredeti háromszög szárai szögéek a fele. Ezutá a megfelelô szögfüggvéyt alkalmazva a megjelölt háromszögre, kiszámíthatjuk az eredeti háromszög köré írható kör sugarát. Téglalapok, rombuszok, paralelogrammák eset:. 1,57 m a téglalap ismeretle oldala. Ha az átlók hajlásszögével szembe a téglalap ismeretle oldala va, akkor húzzuk párhuzamost az átlók metszéspotjá át a téglalap adott oldalával!. eset:. 1,49 m a téglalap ismeretle oldala. Ha az átlók hajlásszögével szembe a téglalap ismert oldala va, akkor húzzuk párhuzamost az átlók metszéspotjá át a téglalap ismeretle oldalával! ,19 cm hosszú az átlók hajlásszögével szemközti oldal hossza, míg.,48 cm hosszú a téglalap másik oldala. Húzzuk párhuzamost az átlók metszéspotjá át a téglalap másik oldalával! 5.. 6,19 m;. 9,8 m a téglalap oldalai. Írjuk fel egy megfelelô szögfüggvéyt a két oldalból, mit befogóból álló derékszögû háromszögre! Majd írjuk fel a téglalap területképletét! Ezutá oldjuk meg a két egyeletbôl álló kétismeretlees egyeletredszert!

5 Téglalapok, rombuszok, paralelogrammák ,55 cm hosszú a rombusz oldala,. 69,49 és ,51 a rombusz szögei , cm hosszú a rombusz oldala, míg.,6 cm hosszú a rombusz ismeretle átlója és 10 a rombusz szögei ,77 dm a rombusz oldala. Mit tudjuk a rombusz átlói felezik a szögeit. Írjuk fel egy megfelelô szögfüggvéyt az átlók által égy derékszögû háromszögre osztott rombusz egyik derékszögû háromszögére. Másrészt az oldal és a kisebbik átló összegébôl kapuk egy második egyeletet. Oldjuk meg a két egyeletbôl álló kétismeretlees egyeletredszert! ,64 cm a rombusz oldalhossza. 8$ 58. a =. 4,6 cm a rombusz oldala. Vegyük figyelembe, hogy OT = cm, majd az ATO derékszögû háromszögre alkalmazzuk egy megfelelô szögfüggvéyt. Eek segítségével kiszámíthatjuk, hogy AT = $. Majd a BTO derékszögû háromszögre írjuk fel egy $ megfelelô szögfüggvéyt és ebbôl megkaphatjuk, hogy BT = =. Ezutá 8$ a = AT + BT =. 59. a. 7,74 és b. 106,6 a rombusz szögei, a = 5 cm a rombusz oldaláak hossza, t = 4 cm a rombusz területe. AB = a. A Pitagorasz-tétel segítségével: BO = a - 4. a OT 4, a 4 a - a - 4 4, (1) si = = ; másrészt () si =, ezekbôl =. (Eze AO 4 a a 4 egyeletet hasoló háromszögek segítségével is idokolhatjuk.) Ebbôl a = 5 cm. Másrészt (1)- bôl kaphatjuk az a szöget, ebbôl pedig a b szöget. A területet a és r segítségével köye kaphatjuk eset: e = 40 m; f = 4 m a két átló hossza. a. 87, és b. 9,8. Határozzuk meg a rombusz oldaláak hosszát: a = 9 m. A rombusz területébôl kaphatjuk ez elsô egyeletet. Majd Pitagorasz tételébôl kaphatjuk a második egyeletet. A két egyeletbôl álló egyeletredszerbôl egy másodfokú egyeletet kapuk. A szögeket megfelelô szögfüggvéyek segítségével kaphatjuk. A. eset ugyaaz, mit az elsô, csak megfordítva vaak az átlók hosszai és a szögek ,6 cm. Húzzuk be a magasságot az ismeretle oldal egyik végpotjából! ,66 cm a paralelogramma területe. Alkalmazzuk azt a háromszög területképletet, amely a két oldal és a közbezárt szög segítségével adja meg a háromszög 59. területét. A paralelogramma átlói égy egyelô területû háromszögre vágják a paralelogrammát. Mit tudjuk egy háromszög súlyvoala két egyelô területû részre osztja a háromszöget. Miért? e$ f$ si { 54. t = a paralelogramma területe. Vegyük figyelembe az elôzô feladat megoldásáak útmutatását!

6 7 Hegyesszögû trigoometriai alapfeladatok Szabályos sokszögek ,86 cm a szabályos háromszög oldala. Tekitsük azt a derékszögû háromszöget, amelybe az átfogó a kör sugara, míg az egyik befogó a szabályos háromszög oldaláak a fele! , cm a szabályos ötszög oldala. Nem kell lerajzoli a szabályos ötszöget a körbe írva, haem elég egy oldalára épített háromszöget lerajzoli, amelyek harmadik csúcspotja a körülírt kör középpotja. Eze egyelô szárú háromszög szárai által bezárt szögét megkapjuk, ha 60 -ot elosztjuk a szabályos sokszög oldalszámával. Itt 7 -os középpoti szöget kaptuk. Húzzuk be az egyelô szárú háromszög magasságát, ez felezi a középpoti szöget! ,5 cm a kör sugara. Vegyük figyelembe az elôzô útmutatást! ,1 cm a kör sugara. Vegyük figyelembe a 545. feladat megoldásához való útmutatást! , cm a szabályos ötszög területe. Elôször számítsuk ki az ötszög köré írható kör sugarát az elôbbi módo:. 5,95 cm. Majd alkalmazzuk a háromszög azo területképletét, amely a háromszög két oldaláak és a közbezárt szögükek a segítségével adja meg a háromszög területét. A szabályos ötszög területe ötször akkora, mit a megfelelô egyelô szárú háromszög területe ,4 cm a szabályos yolcszög területe. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzô feladatot ,4 cm a szabályos tízszög területe. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzô két feladatot ,97 cm a kerülete és. 669,04 cm a területe a szabályos tizeegyszögek. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzôeket , cm a kerülete és. 0,07 cm a területe a szabályos tizeháromszögek. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzôeket ,04 cm a területe és. 7,89 cm a kerülete a szabályos hétszögek. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzôeket ,61 cm a beírt és. 1,9 cm a körülírt kör sugara. A beírt kör sugara éppe a megfelelô egyelô szárú háromszög alaphoz tartozó magassága. Míg az átfogója éppe a körülírt kör sugara ,19 cm a beírt és. 15,07 cm a körülírt kör sugara ,15 cm az oldal hossza. Elôször a háromszög sziuszos területképletébôl számítsuk ki a szabályos hétszög köré írható kör sugarát:. 9,9 cm ,4 cm az oldal hossza. Elôször a háromszög sziuszos területképletébôl számítsuk ki a szabályos tizekétszög köré írt kör sugarát:. 14,5 cm ,6 cm a kerülete,. 18,7 cm a területe a szabályos ötszögek. Elôször számítsuk ki a szabályos ötszög szögeit: 108 -ot kapuk. Tekitsük azt a derékszögû háromszöget, amelyek átfogója az ötszög egyik oldala, egyik befogója az átló fele: 7 cm, és a 7 cm-rel szemközti szög az ötszög szögéek a fele: 54. Ebbôl kiszámíthatjuk az ötszög oldalhosszát:. 8,65 cm. Ebbôl kapjuk a kerületet. Míg a szabályos ötszög területét hasolóa számíthatjuk ki, mit ahogya az elôzô feladatok szabályos sokszögeiek a területét számítottuk. Keressük másik megoldást! Például azt észrevéve, hogy ha az ötszög egyik csúcsából meghúzzuk a két átlót, akkor e két átló három egyelô agyságú szögre osztotta fel a szabályos ötszög 108 -os szögét. Miért? Folytassuk! 559. a). 4,4 cm az oldala,. 0,7 cm a kerülete,. 68,41 cm a területe a szabályos hétoldalú húrsokszögek. b). 4,8 cm az oldala,.,71 cm a kerülete,. 84,9 cm a területe a szabályos hétoldalú éritôsokszögek. r 560. a) k = $ $ r$ si vagy másképpe k = $ $ r$ si az r sugarú körbe írt oldalú szabályos húrsokszög kerülete. t= $ r $ si $ cos, illetve t= $ r $ si $ cos r r

7 Körök éritôi, körívek, körcikkek, körszeletek, húrok 7 az r sugarú körbe írt oldalú szabályos húrsokszög területe. Akik már most ismerik a kétszeres szögek sziuszára voatkozó azoosságot, azok köye megmutathatják, hogy e képletek más $ r 60 $ r $ r formája: t= $ si, illetve t= $ si. b) K = $ $ r $ tg, illetve K = r = $ $ r$ tg az r sugarú kör köré írt oldalú éritôsokszög kerülete. T r tg = $ $, r illetve T= $ r $ tg az r sugarú kör köré írt oldalú éritôsokszög területe. c) k < k kör < K, $ r 60 vagyis $ $ r$ si < k kör < $ $ r$ tg. t < t kör < T, vagyis $ si < t kör < < $ r $ tg. d) Ha a kör kerületét ismertek vesszük, akkor egy becslést kaphatuk r-re, az elôzô eredméyeket felhaszálva. $ $ r$ si < k kör < $ $ r$ tg, vagyis $ $ r $ $ si <$ r $ r <$ $ r $ tg. Ebbôl $ si < r < $ tg. Ha ide behelyettesítjük a feladatba javasolt = 180-at, akkor azt kapjuk, hogy 180 $ si1<r < 180 $ tg 1 (itt az 1 ra- diába va), ebbôl,141 4 < r <,141 9 becslést kaphatjuk. Amúgy r =, irracioális szám. tg 561. T gyûrû =r $ T $ a körgyûrû területe. Vegyük észre, hogy T gyûrû = T kör - t kör, ha alkalmazzuk Pitagorasz tételét, akkor kaphatjuk, hogy T gyûrû = a $ r, ahol a azo szabályos - 4 szög oldaláak hossza, amely köré írt kör területe T kör, míg a beírt köréek területe t kör. Körök éritôi, körívek, körcikkek, körszeletek, húrok ,4 m a lámpa átmérôje. A 6,5 m távolság legye egy megfelelô derékszögû háromszög átfogója. Míg a gömb sugara legye eze derékszögû háromszög egyik befogója, amellyel szemközti szög fele akkora, mit a megadott szög ,7 km a Hold átmérôje. (Ez csak egy becslés, a Hold átmérôje potosabba kb km.) Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzô feladatot ,98 az éritôk hajlásszöge és. 11,9 cm az éritôszakaszok hossza. Az ETO háromszögbe ET = 5,5 cm, megfelelô szögfüggvéyt felírva megkapjuk a b szöget: b. 6,

8 74 Hegyesszögû trigoometriai alapfeladatok 566/I. 566/II. a Ebbôl kaphatjuk az szöget, ebbôl pedig az a. 54,98 szöget. Például az ETP háromszögre megfelelô szögfüggvéyt felírva kapjuk, hogy e. 11,9 cm , cm a P pot távolsága a kör középpotjától,. 4,6 cm az éritôszakasz hossza,. 8, cm az éritési potok távolsága. Hasoló ábrát készítve, mit az elôzô feladatál, szögfüggvéyek segítségével megoldhatjuk a feladatot a). 19,19 a külsô éritôk hajlásszöge. Tekitsük 566/I. ábrá megjelölt derékszögû háromszöget, amelyek egyik megfelelô hegyesszöge éppe a külsô éritôk hajlásszögéek a fele. b). 75,4 a belsô éritôk hajlásszöge. Tekitsük a 566/II. ábrá megjelölt derékszögû háromszöget! , az éritôk hajlásszöge. Mutassuk meg, hogy f = b + c (b és c az éritôk közös átmérôvel bezárt szöge!) Megfelelô derékszögû háromszögekre felírt szögfüggvéyekbôl köye kaphatjuk b, illetve c értékeit. b. 16,6 és c., h. 1,7 cm a húr hossza ,5 m a kör sugara. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzô feladatot ,7 a keresett középpoti szög. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzô két feladatot cm. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzôeket ,05 a keresett középpoti szög , a keresett kerületi szög. Haszáljuk fel a kerületi és középpoti szögek tételét , cm a húr hossza. Haszáljuk fel a kerületi és középpoti szögek tételét ,56 cm a körülírt kör sugara ,54 a keresett kerületi szög agysága ,875 m a kör sugara ,04 m a keresett húr hossza. Elôször az ívhossz képletéek segítségével számítsuk ki a kör sugarát:. 04,7 m ,64 dm a húr hossza. Elôször az ívhossz képletéek segítségével számítsuk ki a húrhoz tartozó középpoti szöget:. 11, ,04 m a húr hossza. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzô feladatot ,94 m a körszelet területe. Vegyük észre, hogy a körszelet területét megkapjuk, hogy ha a megfelelô körcikk területébôl kivojuk a megfelelô háromszög területét. A körcikk területe:. 9,88 m, míg a háromszög területe:. 7,94 m ,9 cm a körszelet területe. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzô feladatot. A középpoti szög agysága. 77,6, a körcikk területe. 17,8 cm, a háromszög területe. 14,9 cm ,4 cm a körszelet területe. A kör sugara. 1,4 cm, a húr hossza. 1,5 cm, a körcikk területe. 164,5 cm, a háromszög területe. 87,1 cm ,1 cm az egyik körszelet területe és. 64,65 cm a másik körszelet területe. A húrhoz potosa 90 -os középpoti szög tartozik.

9 Trapézok ,4% a kisebbik körszelet területe a körlemez területéek. Elôször számítsuk ki a kisebbik körszelethez tartozó középpoti szög felét, ebbôl kapjuk a középpoti szöget. Majd határozzuk meg a megfelelô háromszög területét:. 161,85 cm. A körcikk területe. 47,46 cm. Ezekbôl kapjuk a körszelet területét:. 85,61 cm. Ebbôl és a kör területébôl kaphatjuk a megfelelô százalékos eredméyt. Trapézok ,6 cm a trapéz másik alapja, míg. 1,97 cm a trapéz másik szára. Húzzuk meg a trapéz magasságát a kisebbik alap azo csúcsából, amelyikél a tompaszög va ,81 cm hosszú a trapéz derékszögû szára,.,81 cm a trapéz merôleges szára, illetve. 5,59 cm hosszú a trapéz másik szára,. 9,4 cm a trapéz területe. Hasolóa iduluk el, mit az elôzô feladatál. A derékszögû szár meghatározása utá mivel ez éppe a trapéz magassága, felírhatjuk a trapéz területéek képletét ,77 cm a másik szár hossza és. 8,07 cm a másik alap hossza. Hasolóa idulhatuk el, mit az elôzô két feladatál ,51 cm a trapéz másik szára,. 0,85 cm a trapéz másik száráak hossza,. 41, cm a trapéz területe. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzô három feladatot , cm a trapéz hosszabbik alapja,., cm a trapéz rövidebbik alapja,. 9,98 cm az egyik szár,. 7,984 cm a trapéz másik szára. Legye a a hosszabbik alap, míg c a rövidebbik alap hossza, m = d a trapéz magassága, illetve a merôleges szár hossza, b a másik száráak a hossza. A trapéz területképletét felírva és -vel szorozva kapjuk, hogy (1) 85 = (a + c) $ m. Másrészt a rövidebbik alap másik végpotjából is meghúzva a magasságot kapuk egy derékszögû háromszöget, amelybôl m = b $ si 5,1, azaz () m á 0,8 $ b. Pitagorasz tételét felírva kapjuk, hogy () (a - c) + m = b. Legye a rövidebbik átló hossza e. A feltétel szerit e = a. Ismét Pitagorasz tételét alkalmazva kapjuk, hogy m + c = e, illetve az elôzôt figyelembe véve (4) m + c = a. A () és a (4) egyeletekbôl, most már egyelôségjeleket haszálva a közelítô egyelôségekél is, kapjuk, hogy (5) a - c = 0,6 $ b. Az (1) és () egyeletekbôl kaphatjuk, hogy (6) 106,5 = (a + c) $ b. Az (5) és a (6) egyeletekbôl kaphatjuk, hogy (7) a - c = 6,75. Ámde a (4) egyeletbôl következik, hogy a - c = m, haszáljuk fel a () egyeletet: (8) a - c = = 0,64 $ b. Ezt összevetve a (7) egyelettel, kapjuk, hogy: b. 9,98 cm. Majd ()-bôl kapjuk m = d-t. Tekitsük a b alapú és a szárhosszúságú egyelô szárú háromszöget, amelyek az alapo fekvô szöge az adott 5,1 -os szög. Ebbe egy megfelelô szögfüggvéyt alkalmazva megkapjuk az a hosszúságot. Majd a (8) egyeletbôl kapjuk c-t ,04, illetve. 11,96 a szimmetrikus trapéz szögei. Húzzuk be a rövidebbik alap végpotjaiál a két magasságot! ,4, illetve. 116,57 a szimmetrikus trapéz szögei. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzô feladatot ,96 a töltés oldaláak a hajlásszöge a vízsziteshez képest eset:. 7,04 m a másik alap hossza. Az 1. esetbe a trapéz agyobbik alapja az adott 4 m-es alap.. eset:. 40,96 m másik alap hossza. A. esetbe a trapéz rövidebbik alapja az adott 4 m hosszú alap eset:. 8,1 cm a másik alap hossza.. eset:. 51,86 cm a másik alap hossza. Az elsô esetbe a hosszabbik alap az adott alap, míg a második esetbe a rövidebbik alap az adott alap ,44 m a szár hossza, 110 m a másik alapja,. 6,4 az egyik szöge, míg. 116,57 a másik szöge. Húzzuk be a rövidebbik alap végpotjaiál a magasságokat és keressük megfelelô derékszögû háromszögeket ,55 cm a trapéz területe,. 19,46 az átló alappal bezárt szöge ,5 cm a hosszabbik alap hossza,. 14,75 cm a rövidebbik alap hossza,. 0,4 cm a szárak hossza.

10 76 Hegyesszögû trigoometriai alapfeladatok eset: Ha az egyelô szárú trapéz szimmetrikus trapéz.. 8,4 cm a hosszabbik alap,. 1,6 cm a rövidebbik alap,. 14,1 cm a szárak hossza.. eset: Ha az egyelô szárú trapéz paralelogramma. 1 cm a trapéz alapjaiak hossza,. 14,1 cm a trapéz száraiak hossza ,79 a félkúpszög. Tekitsük a csokakúp tegelyét tartalmazó síkot, amely szimmetrikus trapézt vág ki a csokakúpból! A trapéz rövidebbik alapjáak végpotjaiból húzzuk meg a trapéz magasságait! Tekitsük az egyik megfelelô derékszögû háromszöget! Eek egyik hegyesszöge éppe a félkúpszög ,9 %-kal agyobb az alaplap sugara, mit a fedôlapé. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzô feladatot ,4 cm a másik alap hossza,. 994,6 cm a trapéz területe. 60. R $ a trapéz egyedik oldaláak hossza, 75, illetve 105 a trapéz szögei.vegyük észre, hogy a trapéz rövidebbik alapjáak két végpotja és a körülírt kör középpotja szabályos háromszöget alkot. Másrészt a trapéz száráak két végpotja és a kör középpotja által alkotott egyelô szárú háromszögek húzzuk meg a trapéz szárához, mit alaphoz tartozó magasságát. Ekkor meghatározhatjuk, a trapéz szárához tartozó középpoti szög felét, illetve a középpoti szöget. 90 -os ez a középpoti szög. Ezutá meghatározhatjuk a trapéz hosszabb alapjához tartozó középpoti szöget: 10. Ie már köye kaphatjuk a trapéz szögeit ,1 illetve. 16,87 a trapéz szögei, egység a hosszabbik alap hossza, 0 egység a trapéz szára. Haszáljuk fel azt az egyszerû tételt, miszerit egy körhöz külsô potból húzott éritôszakaszok egyelô hosszúak. Ezt alkalmazva kapjuk, hogy a szár hossza egyelô az alapok összegéek a felével. Húzzuk be szokás szerit a rövidebb alap végpotjaiból a trapéz magasságát. Az egyik kapott derékszögû háromszögre írjuk fel Pitagorasz tételét! Ebbôl kaphatjuk a hosszabbik alap hosszát, majd a szár hosszát számíthatjuk ki. Szögfüggvéyel kaphatjuk a trapéz kisebbik szögét ,78 cm a trapéz rövidebbik alapja,. 8,0 cm a trapéz másik szára. A trapéz rövidebbik alapjáak két végpotjaiból húzzuk meg a trapéz magasságát! Kaptuk két derékszögû háromszöget, amelyekbôl köye meghatározhatjuk a keresett oldalakat ,4 m a trapéz területe. Húzzuk be a rövidebbik alap két végpotjából a trapéz magasságát! eset: Ha a 4 cm-es szár mellett va a 7,6 -os szög.. 67,7 cm a trapéz másik alapja,. 49,71 cm a trapéz másik szára, cm a trapéz területe.. eset: Ha a trapéz 4 cm-es szára mellett az 54,15 -os szög va.. 61,0 cm a trapéz másik alapja,. 5,48 cm a trapéz másik szára,. 1487,9 cm a trapéz területe eset: Ha a 81, cm-es szár mellett a 48,6 -os szög va.. 15,1 cm a másik alap,. 86,14 cm a másik szár,. 5841,57 cm a trapéz területe.. eset: Ha a 81, cm-es szár mellett a 45 -os szög va.. 146,64 cm a másik alap,. 76,55 cm a másik szár,. 518,4 cm a trapéz területe ,6 cm az ismeretle oldal hossza,. 76,1, illetve. 10,69 a trapéz szögei ,7 cm, illetve. 49,0 cm a trapéz szárai ,04, illetve. 5,76 a trapéz hegyesszögei,. 108,96, illetve. 144,4 a trapéz másik két szöge,. 1908,6 m a trapéz területe ,5 cm a trapéz területe. Vegyük észre, hogy a trapéz kisebbik alapja éppe középvoal a kialakuló agy háromszögbe. Ezért a háromszög középvoalára voatkozó tételbôl kapjuk, hogy hossza fele az 58 cm-es alapak. A két alap között állítsuk fel egy egyeletet, amelybôl meghatározhatjuk a magasságot. Ezutá kaphatjuk a területet ,5,. 104,48,. 8,96,. 151,04 a trapéz szögei. Húzzuk be a trapéz magasságát a rövidebbik oldal két végpotjából! Írjuk fel két Pitagorasz-tételt a keletkezô két derékszögû háromszögre. Majd alkalmazzuk megfelelô szögfüggvéyt a derékszögû háromszögekre!

11 Térelemek hajlásszöge 77 Térelemek hajlásszöge ,6 a testátló hajlásszöge az oldallapokkal a). 74,4 a testátló hajlásszöge egy szomszédos alapéllel (615/I.). b).,58 a testátló hajlásszöge egy szomszédos oldaléllel (615/II.). c). 67,41 a testátló hajlásszöge az alaplappal (615/III.). d). 15,76 a testátló hajlásszöge az oldallappal (615/.) a). 74,98 -os szöget zár be a testátló a cm-es éllel,. 64,41 -os szöget zár be a testátló az 5 cm-es éllel,. 0,5 os szöget zár be a testátló a 10 cm-es éllel. b). 59,75 -os szöget zár be a testátló a cm # 5 cm-es oldallappal,. 15,0 os szöget zár be a testátló az 5 cm # 10 cm-es oldallappal,. 5,59 -os szöget zár be a testátló a cm # 10 cm-es oldallappal ,81 cm a gúla magassága a). 40 az oldalél és az alaplap hajlásszöge. Tekitsük az elôzô feladat útmutatását! b). 49,9 az oldallap és az alaplap hajlásszöge. Tekitsük a következô ábrát! 619. a). 5,8 az oldalélek az alaplappal bezárt szöge. Elôször számítsuk ki a felszíbôl egy oldallap területét, ez 105 cm, majd számítsuk ki az oldallap alapélhez tartozó magasságát, ez 15 cm. Ezutá Pitagorasz tételéek segítségével kiszámíthatjuk a gúla magasságát, ez. 1,7 cm. b). 6,18 az oldallap alaplappal bezárt szöge. 615/I. 615/II. 615/III. 615/

12 78 Hegyesszögû trigoometriai alapfeladatok a). 69,6 az alapél szomszédos oldaléllel bezárt szöge. b). 68,0 az oldallap alaplappal bezárt szöge. c). 60,50 az oldalél alaplappal bezárt szöge. d). 48,96 két szomszédos oldallap hajlásszöge. A korábba meghatározott oldallapmagasságból, amely az alapélhez tartozik, Pitagorasz tételéek segítségével meghatározhatjuk a gúla oldaléléek hosszát:. 11,49 cm, míg az elôzô oldallapmagasság. 10,77 cm. Írjuk fel kétféleképpe az oldallap területét, egyrészt az alapélhez tartozó oldallapmagassággal, másrészt az oldallap szárához, azaz a gúla oldaléléhez tartozó oldalélmagassággal! Ebbôl meghatározhatjuk az oldalélhez tartozó oldallapmagasságot, ez. 7,50 cm. Eze két megfelelô oldalélhez tartozó oldalélmagasság által bezárt szög éppe a két oldallap hajlásszöge, amelyet a következô ábrá jelöltük meg. A továbbiakba húzzuk be eze egyelô szárú háromszög magasságát, amely felezi a keresett szöget. A kapott egybevágó derékszögû háromszögek bármelyikébôl meghatározhatjuk a keresett szöget ,5 a szabályos tetraéder két oldallapjáak hajlásszöge. Vegyük figyelembe, hogy a magasság talppotja éppe az alaplap súlypotja. Másrészt ismert tétel szerit a háromszög súlypotja : 1 aráyba osztja fel a súlyvoalakat úgy, hogy az oldalhoz közelebbi rész a kisebb. Egyszerûbb megoldás felé idulhatuk, ha meghúzzuk két oldallap magasságát. 6. a). 74,66 az alapél szomszédos oldaléllel bezárt szöge. b). 80,89 az alaplap és egy oldallap hajlásszöge. c). 7, az oldalél és az alaplap hajlásszöge. d). 6,41 két oldallap hajlásszöge. Hasoló módo oldhatjuk meg, mit a 60. d) feladatot ,61 az oldallapak az alaplappal bezárt szöge. 64. a). 7,64 az alapél szomszédos oldaléllel bezárt szöge. b). 55,71 az oldalél alaplappal bezárt szöge. c). 59,44 az alaplap oldallappal bezárt szöge. d). 19,0 két szomszédos oldallap hajlásszöge. 65. a = 10. Mutassuk meg, hogy az ACE háromszög egybevágó a CEF háromszöggel. Ebbôl következik, hogy az A-ból, illetve az F-bôl iduló magasságaik talppotja egybeesik. AT = FT = x. Írjuk fel az ACE háromszög területét két- féleképpe! Ebbôl megkaphatjuk, hogy: x= a$. Tekitsük az ATF egyelô szárú háromszöget és húzzuk meg T-bôl eze háromszög AF alapjához tartozó magasságát! Ez felezi a keresett szöget. Kapuk két egybevágó derékszögû háromszöget. Az egyikre felírt megfelelô szögfüggvéybôl megkaphatjuk a keresett szög felét, s így a keresett szöget is ,19 a két sík hajlásszöge. A DPQ sík az ED szakaszba metszi az ADHE oldallapot, míg az ABFE oldallapot a PE szakaszba metszi. PQDE égyszög egy

13 Vegyes, illetve összetettebb hegyesszögû trigoometriai feladatok 79 szimmetrikus trapéz. Miért? Az A-ból és E-bôl a QD-re bocsátott merôlegesek talppotja azoos: a T pot. Miért? Így az ATE szög az ABCD és a DPQ síkok hajlásszöge. Az ATD háromszög hasoló a QCD háromszöghöz. Miért? Mivel e két háromszög hasoló, ezért megfelelô AT DC $ a oldalaik aráya egyelô. Azaz =, ebbôl kaphatjuk, hogy AT =, ahol a a kocka AD DQ 5 éléek hossza, persze elôbb kiszámítjuk a DQ hosszát a kocka élével kifejezve. Másrészt AE 5 tg ATE = == ; ebbôl kaphatjuk a keresett szöget. ATE. 48,19. AT Vegyes, illetve összetettebb hegyesszögû trigoometriai feladatok Vegyes feladatok , m-rel va magasabba a végpot, mit a kiidulási pot ,7 m az út valódi hossza , m a tereppotok közötti út hossza és. 7,59 az út emelkedési szöge m az út valódi hossza , m az ABC út hossza,. 9,46 az AB út hajlásszöge,. 4,09 a BC út hajlásszöge N az eredô erô agysága, l-os szöget zár be az eredô erô iráya a 4 N-os erô iráyával l a meetemelkedés szöge. Tekitsük azt a derékszögû háromszöget, amelyek egyik befogója a csavarmeet kerületéek hossza (középkerülete), míg másik befogója a meetemelkedés, és a meetemelkedéssel szemközti hegyesszöget keressük ,94 mm a meetemelkedés. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzô feladatot l a meetemelkedés szöge m az épület magassága m messze va a két épület egymástól. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzô feladatot. 68. a). 6,57, illetve. 18,4 a keresett két szög. b). 18 6l, l, illetve l a keresett három szög a). 41,4 cm, illetve. 58,58 cm a keresett két hosszúság. b). 6,79 cm,. 0,95 cm, illetve. 4,6 cm a keresett három hosszúság. m ,9. Gyôr középpotjáak sebessége a Föld tegelye körüli forgásba. Elôször szá- s mítsuk ki, hogy mekkora sugarú körpályá kerig a város, ez. 4716,1 km. Majd alkalmazzuk az itt ut érvéyes sebesség = összefüggést id w , m széles a folyó. Fejezzük ki x-szel a 70 m-es szakasz két rész szakaszát, ezeket adjuk össze, 70 m-t kapuk és ebbôl az egyeletbôl kiszámíthatjuk x-et. 70 x =, x á 58, m. ctg 68l11ll+ ctg 51 0l

14 80 Hegyesszögû trigoometriai alapfeladatok Toryok, hegycsúcsok és egyéb magasa levô tárgyak m magas a toroyatea ,14 m magas a yárfa. Elôször számítsuk ki a b szöget, ez.,041. Ebbôl a - b = -,041 á 9,959. Majd számítsuk ki az x - 1,7 m-t, és ebbôl kapjuk, hogy x. 0 m. x - 1,7 = $ tg 9,959 & á 0,14 m m magas a markotabödögei templomtoroy. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzô feladatot x. 1,5 m hosszú az ablak. Elôször számítsuk ki y értékét, ez. 8 m. Majd az x + y befogójú derékszögre felírva egy megfelelô szögfüggvéyt, ebbôl megkaphatjuk x értékét x. 16 m magas a kápola. Elôször számítsuk ki az y értékét, ez. 1,06 m. Majd számítsuk ki z értékét, ez. 115,91 m. (Persze a sorred fordított is lehet.) Ezutá írjuk fel egy megfelelô szögfüggvéyt az x + y befogójú derékszögû háromszögre, ebbôl megkaphatjuk x-et, vagyis a kápola magasságát x. 54,5 m magasa va a hegytetô a völgy fölött. Írjuk fel egy megfelelô szögfüggvéyt az x és y befogójú derékszögû háromszögre, majd írjuk fel egy hasoló egyeletet, az x + 4 m és y befogójú derékszögû háromszögre. Ekkor két egyeletük va két ismeretleel. Ha elosztjuk egymással a két egyelet megfelelô oldalait, akkor y kiesik, s így marad x-re egy törtes elsôfokú egyelet, amelyet köye megoldhatuk. Így kaphatjuk, hogy x. 54,5 m z. 61,8 m hosszú drótkötélre va szükség. Számítsuk ki x-et egy megfelelô szögfüggvéyt alkalmazva, az x befogójú és 48,5 m átfogójú derékszögû háromszögre. Kapjuk, hogy x. 44,81 m. Majd számítsuk ki az y értékét, kapjuk, hogy y. 18,56 m. (Fordított sorredbe is dolgozhatuk.) Majd Pitagorasz tételéek segítségével kiszámíthatjuk z-t, azaz a drótkötél hosszát x. 74,4 m széles a folyó. Alkalmazzuk egy megfelelô szögfüggvéyt a 18 m, illetve az x + 50 m hoszszú befogókkal redelkezô derékszögû háromszögre, ebbôl kiszámíthatjuk x-et, vagyis a folyó szélességét x. 40 m magasa va a hegycsúcs a folyó felett. Az x és y befogójú derékszögû háromszögre írjuk fel egy megfelelô szögfüggvéyt, majd ugyaígy írjuk fel egy ugyaolya szögfüggvéyt az x és y + 50 m befogójú

15 Vegyes, illetve összetettebb hegyesszögû trigoometriai feladatok 81 derékszögû háromszögre. A kapott két egyeletbôl álló kétismeretlees egyeletredszert oldjuk meg és megkapjuk x értékét. Az egyeletredszer megoldását például úgy is elvégezhetjük, hogy elosztjuk a két egyelet megfelelô oldalait egymással, majd ekkor x kiesik és y-ra kapuk egy egyismeretlees egyeletet. Ebbôl meghatározzuk y-t, majd ezt visszahelyettesítjük az eredeti két egyelet valamelyikébe, és ebbôl kifejezhetjük x-et. x x = tg l & x = y $ tg l, = tg 5 1l & y y + 50 & x = (y + 50) $ tg 5 1l, y á 550 m, x á 40 m x. 8 m magas az atea. Hasolóa oldhatjuk meg, mit az elôzô feladatot. 65. x. 7 m magas a templomtoroy. Midkét derékszögû háromszögre írjuk fel egy-egy megfelelô szögfüggvéyt. Eze egyeletekbôl külö-külö megkapjuk y, illetve a z értékét. y. 4,4 m és z.,6 m. Ezeket összeadva kapjuk a templomtoroy x magasságát. 65. x. 79 m széles a folyó. Hasolóa oldhatjuk meg, mit a 650., illetve a 651. feladatot ,86 m magasa va az elsô ablak és. 19,86 m magasa a második ablak,. 49, m távolságba a tereppot. Készítsük hasoló ábrát, mit az elôzô feladatál, és oldjuk meg hasolóa a feladatot, mit a 650., 651., illetve 65. feladatot x. 14 m. Hasolóa oldhatjuk meg, mit a 650., 651., 65., illetve a 654. feladatot. Írjuk fel két megfelelô szögfüggvéyt az x - 5 m és y befogójú derékszögû háromszögre, majd az x és y befogójú derékszögû háromszögre! Ezutá oldjuk meg a két egyeletbôl álló egyeletredszert például úgy, hogy elosztjuk az egyeletek megfelelô oldalait egymással, ekkor y kiesik és a kapott törtes egyeletbôl x kifejezhetô! km 656. v. 4,14 a hajó sebessége. h y Vegyük észre, hogy s = 40 km + y, másrészt = tg, 5. s E kétismeretlees két egyeletbôl álló egyeletredszerbôl meghatározhatjuk az s értékét. s. 68,8 km. Majd az s = v $ t egyeletbôl kaphatjuk a v sebességet. km 657. v. 8, a hajó sebessége. h Számítsuk ki az a szöget, ez,5. Vegyük észre egy alkalmas egyelô szárú háromszöget, amelybôl következtessük arra, hogy x = 40 km! Alkalmazzuk egy megfelelô szögfüggvéyt az s befogójú és x átfogójú derékszögû háromszögre! Ebbôl kiszámíthatjuk, hogy s. 8, km. Majd az s = v $ t egyeletbôl kaphatjuk a v sebességet