FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY I. FÉLÉVÉHEZ

Átírás

1 FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY I. FÉLÉVÉHEZ ÖSSZEÁLLÍTOTTA LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest A Halmazok és a Relációk témakörbe megoldott, letölthet példák találhatók Bruder Györgyi holapjá: http: //compalg.if.elte.hu/ zslag/bruder A Kombiatorika fejezet példái megoldva megtalálhatók a következ példatárba: Lág Csabáé: Kombiatorika, Példák és megoldások Ez a példatár letölthet Lág Csabáé holapjáról: http: //compalg.if.elte.hu/ zslag A Komplex számok fejezet példái megoldással együtt megtalálhatóak a következ példatárba (kapható a Jegyzetboltba): Lág Csabáé: Példák és feladatok I. Komplex számok A példatár letölthet Lág Csabáé holapjáról is: http: //compalg.if.elte.hu/ zslag A Számelmélet fejezet példái megoldással együtt megtalálhatóak a következ példatárba (kapható a Jegyzetboltba): Lág Csabáé: Számelmélet, Példák és feladatok

2 Tartalomjegyzék 1. Halmazok Relációk, függvéyek Komplex számok Algebrai alak Trigoometrikus alak, Moivre-azoosság Négyzetgyökvoás algebrai alakkal, másodfokú komplex együtthatós egyeletek edik gyökvoás trigoometrikus alakkal, egységgyökök Komplex számok geometriai megfeleltetése Szögfüggvéyek és a komplex számok Komplex együtthatós egyeletek Gyökök és együtthatók Egyéb példák Biomiális együtthatók és komplex számok Kombiatorika Alapvet fogalmak Összefoglaló táblázat Skatulyaelv Permutáció, variáció, kombiáció alkalmazása Relációk, elredezések száma Bolyogás, számok felbotása, leképezések száma Logikai szita Kártya

3 Tartalomjegyzék Biomiális tétel és alkalmazása Számelmélet Oszthatóság Osztók száma, a τ függvéy Prímszámok Euklideszi algoritmus Kétváltozós lieáris diofatikus egyeletek Euler-féle ϕ függvéy Kogrueciák, maradékredszerek, EulerFermat-tétel Kogrueciák, maradékredszerek EulerFermat-tétel Lieáris kogrueciák Lieáris kogruecia-redszerek, a kíai maradéktétel Láctörtek, diofatikus approximációelmélet

4 1. Halmazok Milye összefüggés va az alábbi három halmaz között? N = {természetes számok} N' = {a természetes számok halmaza} N = {N} Az A halmazt deiáljuk a következ módo: A={1978-be Budapeste született ikerpárok} Kati és Jacsi ikrek, akik Budapeste születtek 1978-ba. Igaz-e, hogy Jacsi A? Az el bbi feladatba deiált A halmazra az alábbi összefüggések közül melyik igaz? a. {Kati, Jacsi} A b. {Kati, Jacsi} A c. {(Kati, Jacsi)} A Igaz-e, hogy 0 = { 0}? Keressük olya A, B, C halmazokat, melyekre A B 0, A C = 0, (A B) \ C = Legye A={p(x) poliom gyökei}, B={q(x) poliom gyökei} és r(x) = p(x)q(x). Hogya fejezhetjük ki r(x) gyökeit A és B-vel? Melyik az az s(x) poliom, melyek gyökei D halmazára D = A B, ahol A és B az el z feladatba szerepl halmazok? Bizoyítsuk be, hogy A B C A B C

5 1. Halmazok Igazoljuk, hogy Igazoljuk, hogy A (B C) = (A B) C A (A B) = B Igazoljuk, hogy A B = C B C = A C A = B Legye A és B tetsz leges halmaz. Lássuk be, hogy az a. A X = B egyelet egyértelm e megoldható; b. A X = B egyelet em biztos, hogy megoldható, ha pedig megoldható, akkor em biztos, hogy egyértelm a megoldása Fejezzük ki a és segítségével a következ ket: A B és A \ B Fejezzük ki a és segítségével a következ ket: A B és A \ B Lássuk be, hogy A \ B-t általába em lehet kifejezi és segítségével Lássuk be, hogy A B-t általába em lehet kifejezi és \ segítségével Az alábbi állítások közül melyik teljesül mide A, B, C halmaz eseté? a. Ha A B és B C, akkor A C. b. Ha A B és B C, akkor A C. c. Ha A B C és A C B, akkor A C = 0. d. Ha A B és B C, akkor A C. e. Ha A B C és B A C akkor B = Hozzuk egyszer bb alakra a következ kifejezést: (A (A B) (A B C)) (A B C) Igazoljuk az alábbi összefüggést: (A B) (A C) (B C) = (A B) (A C) (B C) Bizoyítsuk be, hogy A B = A B Lássuk be, hogy A \ B = A B Lássuk be az alábbi összefüggéseket:

6 6 1. Halmazok a. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) b. A \ (B C) = (A \ B) \ C) Legye H az alaphalmaz. Tetsz leges E H karakterisztikus függvéye az alábbi: { 1, ha x E ϕ(x) = 0, ha x H \ E Legye A, B H, f, g pedig sorba a karakterisztikus függvéyeik. Mi lesz az alábbi részhalmazok karakterisztikus függvéye? A, A B, A B Legye E tetsz leges halmaz, és E =. Lássuk be a karakterisztikus függvéy segítségével, hogy E részhalmazaiak a száma Háy pozitív egész szám em osztható egyél agyobb égyzetszámmal, sem 10-él agyobb prímszámmal? Bizoyítsuk be az alábbi összefüggést: A B = A B Megjegyzés. Ez a két de Morga azoosság egyike Fejezzük ki a \ és segítségével a következ ket: A B és A B Milye összefüggés va az alábbi halmazok között? (A \ B) (A \ C) (A \ D) és B C D Bizoyítsuk be az alábbi összefüggést: (A B C) A B C = A B C Adjuk meg tetsz leges pozitív egész számhoz olya elem A halmazt, hogy x, y A eseté az alábbiak közül potosa az egyik teljesüljö: x y, y x, x = y

7 2. Relációk, függvéyek Keressük olya relációt, amely a. reexív, de em trazitív. b. atiszimmetrikus és reexív. c. atiszimmetrikus és em trazitív. d. em reexív, em trazitív. e. reexív, em trazitív, szimmetrikus. f. em trazitív, de trichotóm. g. csupa em (em reexív, em trazitív, em szimmetrikus, em atiszimmetrikus és em trichotóm) N N-e deiáljuk egy R relációt a következ módo: (m 1, 1 ), (m 2, 2 ) N N eseté (m 1, 1 )R(m 2, 2 ), ha m 1 m 2 és 1 2 Mutassuk meg, hogy R részbe redezés Mutassuk meg, hogy az el bbi példába az R relációval az N N részbe redezett halmaz mide em üres részhalmazáak va miimális eleme. Hogya kereshetjük meg? Az {1, 2, 3} halmazo keressük két olya relációt, melyek szimmetrikusak, de a szorzatuk em szimmetrikus Mutassuk meg, hogy ha ϱ és σ szimmetrikus relációk S-e, akkor a következ állítások ekvivalesek: a. ϱ σ szimmetrikus b. ϱ σ = σ ϱ Legye az R N N reláció olya, hogy Rm (, m N) igaz, ha és m közös prímosztóiak a száma páros vagy ulla. Vizsgáljuk meg R tulajdoságait (ti. feálak-e a következ k: reexiv, trazitiv, szimmetrikus, atiszimmetrikus, trichotóm).

8 8 2. Relációk, függvéyek Legye R A A. Vizsgáljuk R 1 R (relációszorzat jelöléssel), illetve R R 1 (függvéyszorzat jelöléssel) tulajdoságait (ti. feálak-e a következ k: reexiv, szimmetrikus, trazitiv) Legye R biér reláció, δ R = {x va y, amire (x, y) R}; σ R = {y va x, amire (x, y) R}. Adjuk meg a δ R, σ R, R 1, R R, R R 1, R 1 R halmazokat, ha a. R = {(x, y) x, y N és x osztója y-ak}; b. R = {(x, y) x, y R és 2x 3y}; Legye A = {1978 apjai}, B = { az 1978-ba született gyermekek}. Deiáljuk az alábbi relációkat: R 1 A B, ar 1 b ha b gyerek az a apo született (a A, b B) R 2 B A, br 2 a ha b gyerek az a apo született (a A, b B) Függvéy-e R 1 illetve R 2 reláció? Legyeek f : X Y, g : Y Z leképezések. Igazoljuk, hogy a. Ha f, g ijektív, akkor f g ijektív; b. Ha f, g szürjektív, akkor f g szürjetív; c. Ha f, g bijektív, akkor f g bijektív Legye A = {a em egatív egészek}, B = {páros számok}. Kostruáljuk bijektív leképezést az A és B halmazok között Kostruáljuk bijektív leképezést két tetsz leges síkbeli szakasz között Háy szürjekciója létezik egy háromelem halmazak egy kételem halmazra? Háy ijekciója létezik egy háromelem halmazak egy kételem halmazra? Legyeek f : X Y, g : Y Z leképezések. Lássuk be, hogy a. ha f g ijektív akkor f ijektív. b. ha f g szürjektív akkor g szürjektív Legyeek f : A B bijektív, és g : B C tetsz leges leképezések. Lássuk be, hogy a. f g ijektív g ijektív; b. f g szürjektív g szürjektív Deiáljuk Z- két relációt az alábbi módo, és vizsgáljuk R 1 és R 2 tulajdoságait (ti. feálak-e a következ k: reexiv, trazitiv, szimmetrikus, atiszimmetrikus, trichotóm). a. xr 1 y, ha x 2 + y 2 osztható 2-vel (x, y Z); b. xr 2 y, ha y 2 x 2 osztható 2-vel (x, y Z) Függvéy-e a következ reláció? R A A, ahol A = {a síkbeli egyeesek}, arb (a, b A), ha a és b egyeesek által bezárt kisebb szög 60. Vizsgáljuk a feti reláció tulajdoságait (ti. feálak-e a következ k: reexiv, trazitiv, szimmetrikus) Legye A = {olya egyel szárú háromszögek, amelyekek az alaphoz tartozó magasságuk egyel egy rögzített m > 0 számmal},

9 2. Relációk, függvéyek 9 B = {y y > 0, y valós }. Deiáljuk az R A B relációt a következ képpe: arb, a A, b B, ha az a háromszög területe b. Mutassuk meg, hogy R függvéy, és vizsgáljuk eek a függvéyek a tulajdoságait (ti. feálak-e a következ k: szürjektív, ijektív, bijektív).

10 3. Komplex számok 3.1. Algebrai alak Fejezzük ki algebrai alakba a következ számokat: a. (3 + i)(2 + 3i) b. (1 2i)(5 + i) c. (2 5i) 2 d. (1 i) Írjuk a lehet legegyszer bb alakba a következ kifejezéseket: a. i 3 b. i 5 c. i 8 d. 1 i 2 e Számítsuk ki i értékét, ha egész szám Adjuk meg a következ komplex számok kojugáltját: a i b. 4 7i c. 3i d. 4 e. 1 + i A következ számokat fejezzük ki algebrai alakba: 3 i b. c. 3 + i a i 1 2i 1 (1 + i) 2 d Fejezzük ki a következ számokat algebrai alakba: a i i b. 1 i i i f. 1 i 3 1 (2 i)(1 + 2i)

11 3.2. Trigoometrikus alak, Moivre-azoosság Keressük meg a következ komplex szám valós és képzetes részét. 1 (1 2i) Adjuk meg az a és b valós számok értékét, ha: a. (a + bi)(2 i) = a + 3i b. (a + i)(1 + bi) = 3b + ai Legye 5 x + yi i = 1, ahol x és y valós számok. Adjuk meg x és y értékét Számítsuk ki a következ kifejezés értékét: (1 + 2i) Trigoometrikus alak, Moivre-azoosság Az 1-3. feladatokba szerepl komplex számokak adjuk meg az abszolút értékét és a f argumetumát. A f argumetumot radiába, π többszörösekét fejezzük ki. (ϕ f argumetum, ha 0 ϕ < 2π). Adjuk meg a számokat trigoometrikus alakba is a. 3 + i b. 1 i c. 4i d a i b i 5 + i a. cos 2π 3 i si 2π 3 b. 2(cos π 4 + i si π 4 ) Az alábbi feladatba szerepl komplex számokak adjuk meg az abszolút értékét (modulusát) és a f argumetumát. A f argumetumot radiába, 3 tizedesjegy potossággal fejezzük ki. Adjuk meg a számokat trigoometrikus alakba is. a. 3 4i b. 2 + i c. 1 3i d. 5 3i

12 12 3. Komplex számok Hozzuk trigoometrikus alakra a következ komplex számokat: a i b i c i d i Adjuk meg trigoometrikus alakba a következ komplex számokat: a. cos ϕ i si ϕ b. cos ϕ + i si ϕ c. cos ϕ i si ϕ Egyszer sítsük a következ kifejezéseket. a. (cos π 4 +i si π 4 )(cos 3π 4 +i si 3π 4 5π 5π ) b. (cos +i si )2 c. (cos π 3 + i si π 3 ) (cos 5π 6 + i si 5π 6 ) Végezzük el a kijelölt m veleteket trigoometrikus alak felhaszálásával. (1 + i) 9 (1 i) Legye z = r(cos θ + i si θ), r > 0, 0 < θ < π/2. Adjuk meg az alábbi számokat trigoometrikus alakba, r és θ segítségével kifejezve. a. z b. iz c. z 2 d. z z Mivel egyel az alábbi kifejezés, ha N? (1 + cos α + i si α) Számítsuk ki az értékét trigoometrikus alak felhaszálásával: ( 1 3 i 2 ) Számítsuk ki a z értékét trigoometrikus alak felhaszálásával: z = ( 1 + i 3) 15 (1 i) 20 + ( 1 i 3) 15 (1 + i) 20

13 3.3. Négyzetgyökvoás algebrai alakkal, másodfokú komplex együtthatós egyeletek Négyzetgyökvoás algebrai alakkal, másodfokú komplex együtthatós egyeletek Adjuk meg a 7 24i komplex szám égyzetgyökeit algebrai alakba Vojuk égyzetgyököt az alábbi számokból: a. 3 4i b. 2i c i Oldjuk meg a következ másodfokú egyeletet. A gyököket algebrai alakba adjuk meg. z 2 + 2z + 5 = Oldjuk meg a következ egyeletet: (2 + i)x 2 (5 i)x + (2 2i) = Oldjuk meg a következ egyeletet: x 2 (3 2i)x + (5 5i) = Botsuk els fokú téyez k szorzatára a következ kifejezéseket: a. x , b. 9x 2 + 4, c. x 2 + 2x edik gyökvoás trigoometrikus alakkal, egységgyökök Számoljuk ki a z = i szám ötödik gyökeit Vojuk harmadik gyököt 1-b l Vojuk harmadik gyököt a következ számból trigoometrikus alak felhaszálásával i A gyököket adjuk meg algabrai alakba is Oldjuk meg az alábbi egyeletet. x 4 (7 + 3i)(5 2i) 1 = 0

14 14 3. Komplex számok Vojuk harmadik gyököt i-b l Vojuk hatodik gyököt a következ számból: 1 i 3 + i Vojuk egyedik gyököt a következ számból a trigoometrikus alak felhaszálásával: 4 (2 + i) Adjuk össze a harmadik egységgyököket Legye N \ {1}. Lássuk be, hogy tetsz leges z komplex szám -edik gyökeiek összege Jelöljö ε -edik egységgyököt. Számítsuk ki az alábbi kifejezéseket: a. 1 + ε + ε ε 1 b ε + 3ε ε Vojuk hatodik gyököt 1-b l. Keressük meg a primitív hatodik egységgyököket Legye ( ε k = cos k 2π ) ( + i si k 2π ), 0 k. Lássuk be, hogy ε k potosa akkor primitív -edik egységgyök, ha -él alacsoyabb természetes kitev j hatváya em Legye ε k -edik komplex egységgyök, ε k = cos ( k 2π ) + i si ( k 2π ), 0 k. Lássuk be, hogy ε k potosa akkor primitív -edik egységgyök, ha (k, ) = Komplex számok geometriai megfeleltetése Bizoyítsuk be a komplex számok segítségével, hogy egy paralelogramma átlóiak égyzetösszege egyel az oldalak égyzetösszegével Ábrázoljuk a z = 2 + i komplex számot a Gauss-számsíko vektorral. Adjuk meg algebrai alakba és ábrázoljuk ugyaeze az ábrá a z, z, z, iz és iz számokat is. Figyeljük meg, hogy az egyes vektorok milye kapcsolatba vaak egymással Mi a geometriai jeletése a következ kek: a. z 1 z 2 b. i-vel való szorzás

15 3.6. Szögfüggvéyek és a komplex számok 15 c i -vel való szorzás d. cos 2π + i si 2π -el való szorzás A Gauss számsíko jelölje az origót O, egy égyzet középpotja W, csúcsai pedig az óramutató járásával ellekez iráyba O, R, S, T. A potok által reprezetált komplex számok o, w, r, s, t. Adjuk meg w és i segítségével kifejezve az r, s, t számokat A Gauss-számsíko egy égyzet középpotja a 3 + 2i, a égyzet egyik csúcsa az 5 + 7i potba va. Adjuk meg a többi három csúcsot reprezetáló komplex számokat Hol helyezkedek el a síko azok a potok, amelyekek megfelel komplex számokra a. z = 2Re(z); b. z 3i z + i 1; c. z = 1 z ; d. z = 1 ; e. z = iz. z A z = x+yi komplex számak a Gauss számsíko feleltessük meg a Z potot. Tudjuk, hogy a z 2i z + 4 komplex szám valós része zérus. Bizoyítsuk be, hogy Z mértai helye egy körö va rajta. Keressük meg a kör középpotját, és mutassuk meg, hogy a sugara Jelöljük A, B, C, D-vel a Gauss-számsík azo potjait, amelyek a következ komplex számokak felelek meg. z A = 8 i, z B = i, z C = 9 + 6i, z D = 4 6i. Bizoyítsuk be, hogy ABCD égyzet Adjuk meg z + 4 legkisebb értékét, ha a. Re(z) = 5 a. Im(z) = 3 c. z = 1 d. arg(z) = π/ Tegyük fel, hogy z értéke a z 7 = 3 feltételek eleget téve változik. Keressük meg z i legkisebb és legagyobb értékét Tegyük fel, hogy z és w a következ feltételekek eleget tev változók: w 12 = 7 és z 5i = 4. Keressük meg w z legagyobb és legkisebb értékét Szögfüggvéyek és a komplex számok Adjuk meg cos(3θ)-t cos Θ-val, si(3θ)-t si Θ-val és ta(3θ)-t ta Θ-val

16 16 3. Komplex számok kifejezve a. A cos(5θ) + i si(5θ) = (cos Θ + i si Θ) 5 ismert összefüggés felhaszálásával bizoyítsuk be, hogy cos(5θ) = 16 cos 5 Θ 20 cos 3 Θ + 5 cos Θ. b. Ebb l számológép felhaszálása élkül bizoyítsuk be, hogy cos 18 = , 4 és keressük hasoló kifejezést cos 54 számára Legye z 1 = 1 + 3i, z 2 = 2i. Számítsuk ki midkét szám abszolút értékét és f argumetumát. A Gauss-számsík segítségével mutassuk meg, hogy Ebb l kiidulva lássuk be, hogy Mutassuk meg, hogy Bizoyítsuk be, hogy arg(z 1 + z 2 ) = 5π 12. ta 5π 12 = si x + si 2x si x = cos 2 x + cos 2 2x cos 2 x = 2 +1 x si 2 x si 2 si x 2 + cos( + 1)x si x 2 si x 3.7. Komplex együtthatós egyeletek Oldjuk meg a következ egyeletet: z z = 1 + 2i Oldjuk meg a komplex számok halmazá a következ egyeletet. z 2 z = 0

17 3.8. Gyökök és együtthatók Vizsgáljuk meg, milye z komplex számok elégítik ki a következ egyeletet: z = z Igazoljuk, hogy ha akkor z + 1 = 2 cos Θ, z z m + 1 z m = 2 cos(mθ), (m N) Bizoyítsuk be, hogy ha ε 1 harmadik egységgyök, akkor (a + b + c)(a + bε + cε 2 )(a + bε 2 + cε) = a 3 + b 3 + c 3 3abc Legye z 1 = 2 3/4 ( cos π 4 + i si π 4 ), z 2 = 2(cos 45 ) i si 45 és z 3 = 2 ( 2 cos π ) π + i si. 3 3 Oldjuk meg az alábbi egyeletet a komplex számok halmazá és az eredméyt adjuk meg trigoometrikus alakba: z 6 1 z 2 5 z 3 z 3 = Oldjuk meg az alábbi egyeletet a komplex számok halmazá és az eredméyt adjuk meg trigoometrikus alakba. ( ) 4 4 (cos 225 i si 225 )z i 0, 5 (i 1) = 0. i Gyökök és együtthatók Keressük meg a z 3 + z + 10 = 0 egyelet valós gyökét, ha tudjuk, hogy az egyik gyök z 1 = 1 2i Mutassuk meg, hogy a z 4 + z 3 + z 1 = 0 egyelet egyik gyöke z 1 = i. Adjuk meg a többi három gyököt Mutassuk meg, hogy a z 4 2z 3 z 2 + 2z + 10 = 0 egyelet egyik gyöke

18 18 3. Komplex számok z 1 = 1 + i. Adjuk meg a többi három gyököt Tudjuk, hogy a z 2 + (1 i)z 4 + 7i = 0 egyelet egyik gyöke z 1 = 2 i. Keressük meg a másik gyököt Tegyük fel hogy a z 3 2z + k = 0 egyelet egyik gyöke z 1 = 1 + i. Adjuk meg a másik két gyököt és a k valós kostas értékét Tudjuk, hogy a z 3 + pz 2 + qz + 13 = 0 egyelet egyik gyöke z 1 = 2 3i. Adjuk meg a többi gyököt, valamit a p és q valós kostasok értékét Keressük meg az a és b valós számok értékét, ha z 3 3z 2 + az + b osztható z i-vel Egyéb példák Bizoyítsuk be, hogy ha két természetes szám midegyike el állítható két égyzetszám összegekét, akkor a szorzatuk is el állítható ilye alakba. Igaz-e az állítás megfordítása? Bizoyítsuk be a következ állítást: Legye z C, N. A z = 0 szám egyetle -edik gyöke 0. Ha z 0 és z = r(cos ϕ + i si ϕ), akkor külöböz -edik gyöke va, melyek w k = r ( cos ϕ + k2π + i si ϕ + k2π ), 0 k Bizoyítsuk be a következ állítást: Legye z C \ {0}, N és w 1 = z. Ekkor z többi -edik gyöke w 1 ε k (1 k 1), ahol ε k -edik egységgyök Szerkesszük meg két adott komplex szám szorzatáak megfelel vektort a Gauss-számsíko Szerkesszük meg valamely z 0 komplex szám reciprokáak megfelel vektort a Gauss-számsíko Bizoyítsuk be, hogy szabályos háromszög síkjába fekv tetsz leges, a csúcsoktól külöböz P potot a csúcsokkal összeköt szakaszokból háromszög szerkeszthet oly módo, hogy ezek a szakaszok a háromszög oldalai leszek a. Az 1-t l külöböz harmadik egységgyökökek megfelel potokat kössük össze az 1-ek megfelel pottal, és számítsuk ki az így keletkez szakaszok hosszáak a szorzatát. b. Végezzük el ugyaezt a egyedik egységgyökökkel Írjuk az egység sugarú körbe egy szabályos szöget. Bizoyítsuk be, hogy egy tetsz leges csúcsot a többi csúccsal összeköt szakaszok hosszáak a szorzata -el egyel.

19 3.10. Biomiális együtthatók és komplex számok Biomiális együtthatók és komplex számok Az alábbi példákba pozitív egész számot, k, m em egatív egész számokat jelölek Adjuk meg a következ kifejezések értékét zárt alakba. a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ahol k a legagyobb páros egész szám, melyre k, b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... + ( 1) k ( k )... + ( 1) k 1 2 ahol k a legagyobb páratla egész szám, melyre k Adjuk meg a következ kifejezések értékét zárt alakba. a. ( ) ( ) ( ) ( ) A = , k ahol k a legagyobb 4-gyel osztható egész szám, melyre k, b. ( ) ( ) ( ) ( ) B = , k ahol k a legagyobb 4m + 1 alakú egész szám, melyre k. c. ( ) ( ) ( ) ( ) C = , k ahol k a legagyobb 4m + 2 alakú egész szám, melyre k, d. ( ) ( ) ( ) ( ) D = ahol k a legagyobb 4m + 3 alakú egész szám, melyre k a. Legye ε = cos 2π 3 + i si 2π 3. ( k Lássuk be, hogy 1 + ε k + ε 2k értéke 3, ha 3 k, illetve 0, ha 3 k. b. Adjuk meg a következ kifejezés értékét zárt alakba: ( ) ( ) ( ) ( ) , k ahol k a legagyobb 3-mal osztható egész szám, melyre k a. Legye ε = cos 2π m + i si 2π m ), ), ( ), k

20 20 3. Komplex számok Lássuk be, hogy 1 + ε k + ε 2k ε (m 1)k értéke m, ha m k, illetve 0, ha m k. b. Legye ( ) ( ) ( ) ( ) T = , 0 m 2m k ahol k a legagyobb m-mel osztható egész szám, melyre k. Lássuk be, hogy (1 + 1) + (1 + ε) (1 + ε m 1 ) = mt, és eek segítségével keressük zárt formulát T számára Legye a, b, ϕ R és a + bi = r(cos ϕ + i si ϕ), ahol r = a 2 + b 2. Igazoljuk, hogy a. A = b. c. d. B = C = D = ( 0 ) a + ( ) a 1 b + 1 ( ) a 2 b ( ) a 3 b ( ) a 4 b = (a + b) + (a b) 4 ( ) a 4k b 4k +... = 4k r cos ϕ ( ) ( ) a 5 b a 4k 1 b 4k = 5 4k + 1 = (a + b) (a b) r si ϕ ( ) ( ) a 6 b a 4k 2 b 4k = 6 4k + 2 = (a + b) + (a b) r cos ϕ ( ) ( ) a 7 b a 4k 3 b 4k = 7 4k + 3 = (a + b) (a b) r si ϕ

21 4. Kombiatorika Összefoglaló táblázat 4.1. Alapvet fogalmak ismétlés élküli permutáció P =! variáció V k = 0, ha < k V k = P P k = ( 1) ( k + 1), ha k kombiáció C k = 0, ha < k C k = V k! Pk = k!( k)! = ( k), ha k ismétléses variáció V k,i = k. kombiáció C k,i = C+k 1 k permutáció P i1,i2,...,ir! = i 1!i 2! i r! 4.2. Skatulyaelv Bizoyítsuk be, hogy bármely pozitív egész számhoz található olya k pozitív egész szám, amelyre az k szorzat a tízes számredszerbe felírva csupa egyesb l és ullából áll Mutassuk meg, hogy a π, 2π,..., 100π számok között va legalább egy olya, 1 amelyik valamely egész számtól 100 -ál kevésbé külöbözik.

22 22 4. Kombiatorika 4.3. Permutáció, variáció, kombiáció alkalmazása A 90 számos lottószelvéye a 90 számból 5-öt kell megjelöli, és 5 számot húzak. A találatok száma a kihúzott, illetve a bejelölt számok halmazába az azoos elemek meyisége. Ha az összes lehetséges módo kitöltjük a 90 számos lottószelvéyt, háy lesz közöttük a. potosa 5 találatos, b. potosa 4 találatos, c. potosa 3 találatos, d. potosa 2 találatos, e. potosa 1 találatos, f. olya, amelye egyetle találat sics? a. Háy kilecjegy szám képezhet az 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5 számjegyekb l? b. Háy kezd dik ezek közül 125-tel? Háy olya hatjegy szám va, amelyik 5-tel osztható? a. Háy csupa külöböz jegyb l álló hatjegy szám képezhet? b. Ezek között a számok között háy olya va, amelyikbe potosa égy páratla számjegy fordul el? Egy 28-as létszámú osztályba 4 jutalmat osztaak ki. Háyféleképpe törtéhet ez, ha a. a jutalmak egyel k, és egy tauló legfeljebb egy jutalmat kaphat; b. a jutalmak egyel k, és egy tauló több jutalmat is kaphat; c. a jutalmak külöböz k, és egy tauló legfeljebb egy jutalmat kaphat; d. a jutalmak külöböz k, és egy tauló többet is kaphat? Egy hegy csúcsára 5 út vezet. Két ember felmegy és lejö. Háyféleképpe törtéhet ez, ha a két embert személy szerit em külöböztetjük meg, és a. egy utat egy ember haszálhat legfeljebb egyszer; b. egy út kétszer is igéybe vehet, de csak külöböz iráyba; c. ics semmi megszorítás az útra? A d., e., f. kérdések ugyaazok, mit az a, b, c, azzal a külöbséggel, hogy most a két embert személy szerit megkülöböztetjük Képezzük az összes olya hatjegy számot, amelyikbe az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek midegyike szerepel. Mekkora az így yert hatjegy számok összege? Háy olya ötjegy szám va, amelyikek a jegyei a. szigorúa mooto ek (midegyik számjegy agyobb az el tte lev él); b. mooto ek (midegyik számjegy agyobb vagy egyel, mit az el tte lev ); c. szigorúa mooto csökkeek (midegyik számjegy kisebb az el tte lev él); d. mooto csökkeek (midegyik számjegy kisebb vagy egyel, mit az el tte lev )?

23 4.3. Permutáció, variáció, kombiáció alkalmazása Háy ötjegy számot képezhetük a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számjegyekb l, ha páros helye páros, páratla helye páratla számjegy áll, s egy elem a. csak egyszer fordul el? b. többször is el fordulhat? Háyféleképpe lehet tíz számot öt párba redezi? Háyféleképpe lehet 100 rekeszbe 30 golyót elhelyezi, ha mide rekeszbe vagy potosa 6 darab golyó va, vagy egy sem. a. a golyók egyformák; b. a golyók külöböz k, és mide rekeszbe gyelembe vesszük a golyók sorredjét is; c. a golyók külöböz k, de em vesszük gyelembe a golyók sorredjét a rekeszeke belül? Határozzuk meg, hogy háy metszéspotja va egy oldalú kovex sokszög átlóiak. (Csak a sokszög belsejébe lev metszéspotokat tekitjük.) Feltételezzük, hogy a sokszögek ics három olya átlója, amelyikek közös potja lee Ha az egymástól külöböz elemek számát 2-vel megöveljük, akkor a permutációk száma 90-szer agyobb. Mekkora az elemek száma? Háy zérus va 1 000! végé? Osztható-e a 3400! (1700!) 2 szám 1599-cel? Háyféleképpe lehet 2 fekete, 3 fehér, 4 vörös golyót egy sorba redezi úgy, hogy fekete golyó e álljo fehér golyó mellett? Valamely játékosak a sakkverseye a hetedik forduló utá 5 potja va. Háyféleképpe jöhetett létre ez az eredméy? (Nyerés 1 pot, dötetle 0,5 pot, vereség 0 pot. A mérk zések sorredje is számít.) Háyféleképpe ülhet le égy házaspár egy kerek asztal mellé úgy, hogy a. két e kerüljö egymás mellé; b. sem két házastárs, sem két em ülhet egymás mellé? Nyolc labdarúgócsapat egyfordulós körmérk zést játszik. Meyi az egy mérk zésre jutó gólátlag, ha az összes mérk zése együtt 42 gólt rúgtak? Háy tag va a következ kifejezések kifejtett alakjába? a. (x + y + z) 6 b. (a + 2b + 5c + d) 4 c. (r + s + t + u + v) a. Mi az x 2 y 3 z 2 kifejezés együtthatója az (x + y + z) 7 kifejtett alakjába? b. Mi az x 6 y 3 z 2 kifejezés együtthatója az (x 2y + 5z) 11 kifejtett alakjába? Háyféleképpe tuduk azoos ajádékot elosztai r gyermek között a. ha ics semmi megkötés;

24 24 4. Kombiatorika b. ha mide gyermekek legalább egy ajádékot kell aduk? Adott számú köyvb l 4 köyvet 210-féleképpe lehet kiválasztai. Meyi a köyvek száma? 4.4. Relációk, elredezések száma Legye pozitív egész szám, és A legye -elem halmaz. Az A halmazo ézzük a homogé biér relációkat. a. Meyi az összes reláció száma? b. Háy szimmetrikus reláció va? c. Háy olya reláció va, amelyik egyszerre reexív és szimmetrikus? Az állatszelidít 5 oroszlát és 4 tigrist akar kivezeti a porodra, de két tigris em jöhet egymás utá. a. Háyféleképpe állíthatja sorba az állatokat? b. Háyféleképpe állíthat sorba oroszlát és k tigrist? Az oroszláok egymás közötti sorredje is számít, és a tigriseké is, hisze az állatokak is va személyiségük Háyféleképpe lehet sorba redezi ullát és k egyest úgy, hogy két egyes e kerüljö egymás mellé? a. A köyvespolco 12 külöböz köyv áll. Háyféleképpe lehet közülük kiválasztai 5-öt úgy, hogy ezek között e legyeek egymás mellett állók? b. Háyféleképpe lehet köyv közül k darabot kiválasztai úgy, hogy ezek között e legyeek egymás mellett állók? a. Artúr király kerekasztaláál 12 lovag ül. Midegyikük hadilábo áll a szomszédaival. Öt lovagot kell kiválasztai, akik kiszabadítják az elvarázsolt herceg t. Háyféleképpe tehetjük meg ezt úgy, hogy e legyeek elleségek az öt lovag között? b. Ha a kerekasztal körül lovag ül, háyféleképpe választhatuk ki közülük k lovagot, akik között icseek szomszédok? 4.5. Bolyogás, számok felbotása, leképezések száma Bolyogás. Egy szöcske ugrál a számegyees meté, egy ugrása 1 egység. Ezt vagy jobbra, vagy balra teszi meg. a. Háyféleképpe juthat el a 0 potból a +8 potba, ha 18-at ugrik? b. Az origóból iduló szöcske ugrás utá háyféleképpe juthat el a számegyees k 0 potjába? Háyféleképpe lehet 100-at három pozitív egész összeadadó összegére fel-

25 4.6. Logikai szita 25 botai, ha az egymástól csupá az összeadadók sorredjébe eltér megoldásokat a. külöböz ek tekitjük; b. em tekitjük külöböz ek? Háy megoldása va az x + y < 100 egyel tleségek, ha x, y egészek? Háyféleképpe lehet az egymilliót három pozitív egész téyez szorzatára botai, ha az egymástól csak a téyez k sorredjébe külöböz megoldásokat a. külöböz kek tekitjük; b. em tekitjük külöböz kek? (Szorzótéyez az 1 is lehet.) a. Tegyük fel, hogy A = és B = k. Háy A B függvéy va? b. Tegyük fel, hogy A = B =. Háy A B bijekció va? c. Tegyük fel, hogy A = és B = k. Háy A B ijekció va? d. Háy szigorúa mooto öv {1, 2,..., k} {1, 2,..., } függvéy va? Háy olya hatjegy számsorozat va, amelyikbe va valahol egymás mellett két azoos számjegy (0-9-ig bármi)? 4.6. Logikai szita Háy olya jegy szám va ( 3), amelyik csupá az 1, 2, 3 számjegyeket tartalmazza, de midegyiket legalább egyszer? Egy ismer sükek el akaruk küldei yolc külöböz féyképet. Háyféleképpe tehetjük ezt meg, ha potosa 5 külöböz borítékot akaruk felhaszáli? Az 5-ös számredszerbe a legfeljebb 8 jegy számok között háy olya va, amelyikek a jegyei között az 1, 2, 3, 4 legalább egyszer el fordul? Háy A B szürjekció va, ha A =, B = k? (Kovács Géza egykori ELTE-s hallgató példája.) 4 házaspár hogya helyezhet el egy kerek asztal körül úgy, hogy házastársak em kerülek egymás mellé Háy ötjegy szám alkotható a. csupa egyel számjegyb l; b. két külöböz számjegyb l; c. három külöböz számjegyb l; d. égy külöböz számjegyb l; e. öt külöböz számjegyb l? 4.7. Kártya Az 52 lapos fracia kártyába égy szí (k r, pikk, káró, tre) és midegyikb l 13 darab va. Midegyik szíb l égy gura (ász, király, dáma, bubi), kilec pedig 2-t l 10-ig számozott. a. Négy játékosak lapot osztva háy külöböz leosztás va?

26 26 4. Kombiatorika b. Háy olya leosztás va, ahol mide játékosak va ásza? c. Háy olya leosztás va, ahol mide ász egy kézbe került? 4.8. Biomiális tétel és alkalmazása Biomiális tétel. Legye természetes szám, x, y pedig tetsz leges komplex számok. Ekkor (x + y) = ( 0 ) y + ( 1 ) xy 1 + ( 2 ) x 2 y ( k ) x k y k Helyettesítsük x és y helyébe is 1-et. Az alábbi összefüggéshez jutuk: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = k ( ) x. Ha az x = 1 és az y = 1 helyettesítést alkalmazzuk, akkor pedig a következ összefüggéshez jutuk: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) k ( 1) = k Határozzuk meg a következ összeget: ( ) ( ) ( ) Határozzuk meg a következ összeget: 1 1! + 2 2! + 3 3! ! Bizoyítsuk be, hogy ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) + = Bizoyítsuk be, hogy igaz a következ egyel ség: ( ) ( ) ( ) ( ) ( m + m = k k k k k + 1 ) ( ) k + 1

27 5. Számelmélet 5.1. Oszthatóság Állapítsuk meg, milye maradékot adak a természetes számok égyzetei 3- mal és 5-tel osztva Igaz-e, hogy mide 3-ál agyobb p prímek va 6-tal osztható szomszédja? Bizoyítsuk be, hogy osztható 120-szal. ( tetsz leges egész szám.) Bizoyítsuk be, hogy Bizoyítsuk be, hogy öt egymást követ egész szám égyzetéek az összege em égyzetszám Bizoyítsuk be, hogy a 2 +1 a tízes számredszerbe felírva midig 0-ra végz dik, ha Bizoyítsuk be, hogy ha egy (tízes számredszerbe felírt) ötjegy szám osztható 41-gyel, akkor a számjegyek ciklikus permutálásával yert ötjegy szám is osztható 41-gyel Bizoyítsuk be, hogy 30 osztója az m(m 4 4 ) számak, bármilye m, egész szám eseté Bizoyítsuk be, hogy ha a tetsz leges egész szám, akkor az tört em egyszer síthet. a 3 + 2a a 4 + 3a 2 + 1

28 28 5. Számelmélet 5.2. Osztók száma, a τ függvéy Háy pozitív osztója va 490-ek? A számak a. háy 21-hez relatív prím pozitív osztója va? b. háy 21-gyel em osztható pozitív osztója va? A szultá 100 cellájába száz rab raboskodik. A szultá leküldi egymás utá 100 emberét. A k-adik alkalommal leküldött ember mide k-adik cella zárjá állít egyet, ha yitva volt, bezárja, ha zárva volt, akkor kiyitja. Kezdetbe mide cella zárva volt. Mely sorszámú cellák leszek a végé yitva? Határozzuk meg azt a legkisebb természetes számot, amelyre a. τ() = 23; b. τ() = 25; c. τ() = Mi a szükséges és elégséges feltétele aak, hogy egy természetes számak ugyaayi páros osztója legye, mit aháy páratla? 5.3. Prímszámok Bizoyítsuk be, hogy végtele sok 4k 1 alakú prímszám va Bizoyítsuk be, hogy végtele sok 6k 1 alakú prímszám va Lássuk be, hogy végtele sok 4k + 1 alakú prím va Határozzuk meg azokat a p prímszámokat (a egatívakat is), melyekre p + 10 és p + 14 is prímszám A kapitáyak három uokája va, életkoruk három külöböz prímszám. Ezek égyzetéek összege ismét prímet ad. Háy éves a kapitáy legkisebb uokája? 5.4. Euklideszi algoritmus Legyeek a, b Z, a 2 + b 2 0. Tekitsük az ax + by (x, y Z) (1) számokat. Lássuk be, hogy az ilye alakú pozitív egészek közül a legkisebb szám legagyobb közös osztója az a, b számpárak Az euklideszi algoritmussal számítsuk ki a = 86 és b = 31 legagyobb közös osztóját, valamit a d = ax + by lieáris kombiációs el állításhoz az x és y együtthatókat. Számítsuk ki a legkisebb közös többszöröst is Az euklideszi algoritmussal számítsuk ki a = 139 és b = 102 legagyobb közös osztóját, valamit a d = ax + by lieáris kombiációs el állításhoz az x és y együtt-

29 5.5. Kétváltozós lieáris diofatikus egyeletek 29 hatókat Az euklideszi algoritmussal számítsuk ki a = 255 és b = 111 legagyobb közös osztóját, valamit a d = ax + by lieáris kombiációs el állításhoz az x és y együtthatókat. Számítsuk ki a legkisebb közös többszöröst is Az euklideszi algoritmussal számítsuk ki a = 332 és b = 88 legagyobb közös osztóját, valamit a d = ax + by lieáris kombiációs el állításhoz az x és y együtthatókat Az euklideszi algoritmussal számítsuk ki a = 124 és b = 46 legagyobb közös osztóját, valamit a d = ax + by lieáris kombiációs el állításhoz az x és y együtthatókat Kétváltozós lieáris diofatikus egyeletek Oldjuk meg az alábbi diofatikus egyeleteket x + 62y = x + 22y = x + 86y = x + 45y = Euler-féle ϕ függvéy Számítsuk ki az értéküket: a. ϕ(9) b. ϕ(540) c. ϕ(900) d. ϕ(6!) e. ϕ(7!) Melyek azok a természetes számok, amelyekre ϕ() = 1? Melyek azok a természetes számok, amelyekre ϕ() értéke páratla? Bizoyítsuk be, hogy ha m 2 egész szám, akkor az m-él kisebb, m-hez relatív prím számok összege 1 2 mϕ(m) Bizoyítsuk be, hogy mide természetes számra ϕ( 2 ) = ϕ() Oldjuk meg a ϕ(2x) = ϕ(3x) egyeletet.

30 30 5. Számelmélet 5.7. Kogrueciák, maradékredszerek, EulerFermat-tétel Kogrueciák, maradékredszerek Bizoyítsuk be kogrueciákkal az alábbi állításokat. Legye a, b Z, k, N. Ekkor: a. a b a b b. a + b a 2k b 2k c. a + b a 2k 1 + b 2k Lássuk be, hogy teljes maradékredszert alkot modulo Teljes maradékredszer-e 25, 20, 16, 46, 21, 18, 37, 17 1, 11, 21, 31, 41,..., 751, 761 (mod 77)? Teljes maradékredszer-e 7, 22, 37, 52, 67,..., 11632, (mod 777)? Határozzuk meg 3, 8, 17, 17, 120, 54, 40, 236, 237 a. legkisebb emegatív maradékait (mod 11), b. abszolút legkisebb maradékait (mod 11). c. A feti számok közül melyek kogruesek egymással (mod 11)? Redukált maradékredszer-e 5, 15, 25, 35, 45, 55,..., 155 (mod 32)? (1) EulerFermat-tétel Lássuk be, hogy N eseté az szám mide páratla prímosztója 4k + 1 alakú Bizoyítsuk be, hogy ha valamely egész szám em osztható 17-tel, akkor 8 1 vagy osztható 17-tel Határozzuk meg gyel való osztási maradékát Határozzuk meg cal való osztási maradékát Mi a szám utolsó két számjegye a tízes számredszerbe? Lássuk be, hogy ha (a, 10) = 1, akkor ahol természetes szám Bizoyítsuk be, hogy a a (mod 1000), (mod 19 73).

31 5.8. Lieáris kogrueciák Melyek azok a p prímek, amelyekre 5 p (mod p 2 )? (1) Határozzuk meg a szám osztási maradékát 60-al Lássuk be, hogy ha p és q külöböz prímszámok, akkor p q 1 + q p 1 1 (mod p q) Lieáris kogrueciák Oldjuk meg az alábbi kogrueciákat x 14 (mod 35) x 6 (mod 62) x 8 (mod 13) x 9 (mod 15) x 9 (mod 18) x 10 (mod 25) x 25 (mod 35) x (mod 138) Tegyük fel, hogy a (mod 73) és a (mod 73). Határozzuk meg a-ak a 73-mal törté osztáskor keletkez legkisebb emegatív osztási maradékát. Keressük meg a következ egyeletek egész megoldásait kogrueciák felhaszálásával x + 37y = x + 30y = Pajkos százlábúak futkározak a ládába. Az egyik fajtáak 14 lába va, a másikak 20. Kölyök (alias Gorcsev Ivá) összese 232 lábat számolt meg. Háy százlábú va a ládába? Botsuk fel 463-at két természetes szám összegére úgy, hogy az egyik szám osztható legye 14-gyel, a másik 23-mal. Oldjuk meg a feladatot kogrueciák segítségével.

32 32 5. Számelmélet 5.9. Lieáris kogruecia-redszerek, a kíai maradéktétel Oldjuk meg a következ kogruecia-redszert: 5x 3 (mod 7) 3x 7 (mod 8) Oldjuk meg az x 2 (mod 3) x 3 (mod 4) x 1 (mod 5) kogruecia-redszert a kíai maradéktétel segítségével Oldjuk meg a következ kogruecia-redszert a kíai maradéktétel segítségével: 4x 2 (mod 3) 3x 2 (mod 7) 9x 7 (mod 11) Legye k N. Bizoyítsuk be, hogy va k számú egymásutái egész úgy, hogy bármelyikek va egyél agyobb égyzetszám osztója Oldjuk meg a a következ kogruecia-redszert a kíai maradéktétel segítségével: 3x 2 (mod 5) 2x 2 (mod 7) 5x 2 (mod 11) Keressük meg a kíai maradéktétel alkalmazásával az alábbi kogrueciák szimultá megoldását: 5x 1 (mod 7) 4x 1 (mod 9) 8x 1 (mod 13) Legye A = 1000, és végezzük el a szorzást maradékszámredszerbe Legye A = 1000, és végezzük el a szorzást maradékszámredszerbe.

33 5.10. Láctörtek, diofatikus approximációelmélet Láctörtek, diofatikus approximációelmélet a. Fejtsük egyszer láctörtbe a 139 számot. 102 b. Számítsuk ki a P, Q értékeket, és állítsuk el a közelít törteket. c. Oldjuk meg a következ diofatoszi egyeletet: 139x + 102y = 1 Hasolítsuk össze ezeket az adatokat azokkal, amelyek az Euklideszi algoritmus fejezetbe lko(139, 102) kiszámítása közbe keletkeztek a. Fejtsük egyszer láctörtbe a számot. Írjuk fel a szeleteit. b. Számítsuk ki a P, Q értékeket, valamit a közelít törteket. c. Oldjuk meg a következ diofatoszi egyeletet: 172x + 62y = 38 Hasolítsuk össze ezeket az adatokat azokkal, amelyek a Diofatikus egyeletek fejezetbe lko(172, 62) kiszámítása közbe keletkeztek Fejtsük láctörtbe 2-t Melyik γ számak a láctörtbe fejtett alakja az alábbi? Állítsuk el γ közelít törtjeit Fejtsük láctörtbe a π = 3, t.