Algebra évfolyam. Szerkesztette: Hraskó András, Kiss Géza, Pataki János, Szoldatics József január 23.
|
|
- Ágnes Gálné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Algebra évfolyam Szerkesztette: Hraskó Adrás, Kiss Géza, Pataki Jáos, Szoldatics József 017. jauár 3.
2 Techikai mukák (MatKöyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dées Balázs, Grósz Dáiel, Hraskó Adrás, Kalló Berát, Szabó Péter, Szoldatics József Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általáos Iskola és Gimázium 108 Budapest, Horváh Miháy tér / 017
3 Tartalomjegyzék Feladatok 3 1. Komplex számok A harmadfokú egyelet megoldása Tartaglia szerit A komplex számok aritmetikája A képzetes egység Abszolútérték és argumetum A harmadfokú egyelet geometriája Egységgyökök Magasabbfokú poliomok geometriája Liaeáris algebra Vegyes feladatok Segítség, útmutatás Komplex számok Liaeáris algebra Vegyes feladatok Megoldások Komplex számok Liaeáris algebra Vegyes feladatok Alkalmazott rövidítések 17 Köyvek eveiek rövidítései Segítség és megoldás jelzése Hivatkozás jelzése Irodalomjegyzék 19 1
4
5 1. FEJEZET Komplex számok A matematika törtéetébe a komplex számok felfedezését megelőzte a harmadfokú egyelet megoldóképletéek megtalálása. Az olya harmadfokú egyeletek esetébe, amelyekek egy valós gyöke va, a Cardao-képletbe pozitív számból kell gyököt voi, és ez elvezet az egyelet egyetle valós megoldásához. Az olya harmadfokú egyeletek esetébe azoba, amelyekek három valós gyöke is va, ugyaott egy egatív számból kellee gyököt voi. Ez az eset a casus irreducibilis jeletette a kiidulópotot a komplex számok felfedezéséhez. Az feladatokba Tartaglia eredeti godolatmeetéhez émileg hasoló eljárással állítjuk elő bizoyos harmadfokú egyeletek egy-egy valós gyökét. Az 1.5 feladat felvillat egy lehetőséget a casus irreducibilis feloldására a komplex számok bevezetése élkül. A [3], [], [5] műveket ajáljuk a törtéet irát mélyebbe érdeklődőkek. Ajálott verseyfeladatok: Zarub.8.10, Zarub.8.11, Zarub.8.13, Zarub.9.1, Zarub.9., Zarub A harmadfokú egyelet megoldása Tartaglia szerit 1.1. A mellékelt ábrá egy v v v méretű kockát látuk, amelyek bal felső hátsó sarkába egy x x x méretű kis kocka va. A ábrá látható további vágások 4 további részre vágják a agy kockát, amelyek egyike szité kocka. Határozzuk meg a égy rész éleit és térfogatát! ábra. b) A ábra és Tartaglia alábbi verse (fordította Pataki Jáos) segítségével adjuk meg a b1), b) egyeletek egy-egy valós megoldását! Ha majd a kockát és az egytagot Látod a puszta számmal egybetei, Két új számod kivova légye eyi. Ez így kevés. Kell még egyharmadot Egytag számrészéből kockára vei: Jó, ha számaid szorozva ezt kapod. Két számodat már ha veszed kockául, S egyek oldalát máséval csorbítod, Mi rejtve volt eddig, elédbe tárul. 3
6 1 fejezet. Komplex számok 1.. A komplex számok aritmetikája b1) x 3 + 1x = 63 b) x x = (M) Az 1.1. feladat alapjá készítsük megoldóképletet az x 3 + px + q = 0 alakú egyeletekhez! Igazoljuk, hogy a képlet tetszőleges előjelű p, q valós számok eseté megadja a harmadfokú egyelet egy valós megoldását, ha ( q ) + ( p 3 3) > (MS) Vezessük vissza az y 3 +3y 3y 14 = 0 egyeletet az 1.. feladatba látott típusra és keressük meg egy valós megoldását! 1.4. (M) Oldjuk meg az alábbi egyeleteket az feladatokba látott módszerrel! Ábrázoljuk a bal oldalo található harmadfokú függvéyek grafikoját a Geogebra programmal és olvassuk le a közelítő megoldást. Vessük össze az eredméyeket! Megtaláltuk-e az összes valós gyököt? a) x 3 + 3x 4 = 0 b) x 3 1x + 16 = 0 c) x 3 19x + 30 = (M) a) Írjuk fel az addíciós tétel alkalmazásával a cos 3x kifejezést cos x poliomjakét! b) Az a)-ba yert képlet alkalmazásával oldjuk meg az alábbi harmadfokú egyeleteket! b1) 4x 3 3x = 1 b) 3y 3 6y = 1 b3*) x 3 19x + 30 = A komplex számok aritmetikája A képzetes egység Jelöljö i olya számot(!?), amelyre i = (M) Tekitsük az a + bi, a, b R alakú számok halmazát! Írjuk fel ilye alakba az alábbi számokat! a) i ( + i) b) (1 + i) ( + i) c) (1 + i) d) +i i e) 4+3i 1+i f) 5 i 1 i g) (1 + i) 3 h) (1 i) Végezzük el az alábbi alapműveleteket: a) (a + bi) (c + di) b) a+bi c+di c) (a + bi) d) (a + bi) 3 e) (a + bi) Mutassuk meg, hogy ha a 1, b 1, a, b valós számok és a 1 + b 1 i = a + b i, akkor a 1 = a és b 1 = b Keressük meg az összes olya z = a + bi (a, b R) alakú számot, amelyre a) z = i b) z = i c) z3 = 1. Abszolútérték és argumetum A z = a + bi komplex szám (a, b R) abszolútértéke az a + b valós szám, azaz a 0-tól való távolsága. A komplex szám argumetuma az az iráyított szög, amellyel a pozitív valós félegyeest el kell forgati, hogy a 0 végpottú a komplex számot tartalmazó félegyeest kapjuk. A feti z komplex szám argumetuma az a φ szög, amelyre cos φ = a a + b, si φ = b a + b, ta φ = b a. 4
7 1.. A komplex számok aritmetikája 1 fejezet. Komplex számok 1.5. Adottak a következő komplex számok! i 1 + i + 6i 1 + 3i 1 3i. a) Határozzuk meg a számok abszolút értékét és argumetumát! b) Számítsuk ki az a) feladatrészbe adott számok égyzetét és azok abszolút értékét valamit argumetumát! c) Számítsuk ki az a) feladatrészbe adott számok reciprokát, azok abszolút értékét valamit argumetumát! d) Alább megadtuk egy-egy komplex szám abszolútértékét (r k ) és argumetumát (φ k ). Írjuk fel a számot! r 1 = 3, φ 1 = 5 r = 1, φ =,5 r 3 =, φ 3 = Írjuk fel az r 1 abszolútértékű, φ 1 argumetumú, és az r abszolútértékű, φ 1 argumetumú komplex számot! Számítsuk ki a két szám szorzatát, aak abszolútértékét és argumetumát! Fogalmazzuk meg matematikai összefüggést! 1.7. Határozzuk meg az alábbi komplex számokat kétféleképpe, algebrai átalakítással és geometriai elve, a kifejezésbe szereplő komplex számok argumetumáak és abszolút értékéek figyelembevételével! (1 + 3i) i 1.8. a) Végezzük el az alábbi hatváyozást! (cos α + i si α) 5 1+i 1 i ( ) 1+ 3i 0. 1 i b) Írjuk fel cos 5x-et cos x és si x poliomjakét! c) Mutassuk meg, hogy bármely természetes szám eseté cos(x) felírható cos x egészegyütthatós poliomjakét! 1.9. Írjuk fel az alábbi komplex számokat a + bi alakba (a, b R). +3i ( + 3i)(4 i) 4 i 81i 4 3i 3+i [1] Két komplex szám összege és szorzata is valós. Mit modhatuk a két komplex számról? A z = a + bi komplex szám kojugáltja (a, b R) a z = a bi komplex szám. Dötsük el, hogy az alábbi relációk közül melyek teljesülek mide z 1, z komplex szám eseté! a) z 1 = z 1 b) z 1 + z = z 1 + z c) z 1 z = z 1 z d) 1.1. Adjuk meg a z = z egyelet összes megoldását! z1 z = z 1 z Határozzuk meg a komplex számsíko az z = 1 z egyelet megoldáshalmazát! Ábrázoljuk a komplex számsíko azo z számok halmazát, amelyekre a) z + z = 3 b) z z = 5i c) z 1 z R [1] Keressük meg a komplex számsíko az alábbi relációk megoldáshalmazát! a) 1 < z < b) 1 < z 3 c) 1 = z + z + i [1] Adjuk meg a z = z egyelet összes megoldását ( N)! z 1 5
8 1 fejezet. Komplex számok 1.3. A harmadfokú egyelet geometriája Adott a komplex számsíko egy körcikk-tartomáy, melyek középpotja a 0, sugara, ívéek végpotjai i és + i. Határozzuk meg e tartomáy képét és ősét a komplex számsík a) z 1 z b) z z leképezéseiél A harmadfokú egyelet geometriája 1.1. Legye ω = 1 + i 3. Végezzük el a beszorzást és egyszerűsítsük az alábbi kifejezéseket! a) (a + bω + cω ) (a + bω + cω); b) (a + b) (a + bω) (a + bω ); c) (aω + bω) (bω + aω). 1.. Legye ω = 1 + i 3. Számítsuk ki az ω + ω hatváyösszeget! 1.3. Határozzuk meg az összes olya z komplex számot, amelyek köbe a) 1 b) (-1) c) i d) (-i) Adjuk meg az a) x 3 + 6x + 1x + 8(1 i) = 0 b) x 3 3x + 3x + i 1 = 0 harmadfokú egyelet összes megoldását! 1.5. Tudjuk, hogy a z szám egyik köbgyöke 1 + i. Határozzuk meg a többi köbgyökét! 1.6. A z komplex szám köbgyökei: z 1, z és z 3. Határozzuk meg a törtek összes lehetséges értékét! z 1 z, z z 3, z 3 z 1, z z 1, z 3 z, z 1 z [7] Oldjuk meg az alábbi harmadfokú egyeleteket (e válasszuk le a megtalált egész vagy racioális gyököket, haem alkalmazzuk a Cardao képletet, illetve az ahhoz vezető eljárást)! a) x 3 6x + 9 = 0 b) x 3 6x + 4 = 0 c) x 3 + 1x + 63 = 0 d) x 3 + 6x + = 0 e) x 3 + 9x + 18x + 8 = 0 f) x x + 15 = 0 g) x 3 + 6x + 30x + 5 = 0 h) x 3 3x 3x + 11 = Jelölje az x 3 + px + q = 0 egyelet gyökeit x 1, x és x 3. Írjuk fel olya harmadfokú egyeletet, amelyek gyökei a) x 1, x, x 3, b) x3 1, x3, x3 3, c) x5 1, x5, x Legyeek az f(x) = x 3 3x 1 poliom gyökei agyság szeriti sorredbe x 1 < x < x 3. Igazoljuk, hogy x 3 x = x 3 x [4] Marde tétele Mutassuk meg, hogy ha az f(x) = ax 3 + bx + cx + d poliom gyökei az A, B, C komplex számok és az f (x) poliom gyökei az F 1, F komplex számok, akkor F 1 és F az ABC háromszög Steier-ellipsziséek fókuszpotjai. A Steier ellipszis az a másodredű görbe, amely átmegy az ABC háromszög felezőpotjai és ott ériti az oldalegyeeseket. 6
9 1.4. Egységgyökök 1 fejezet. Komplex számok 1.4. Egységgyökök 1.1. Határozzuk meg a hatodik egységgyökök a) összegét, b) égyzetösszegét! Oldjuk meg a feladatot a hetedik egységgyökökkel kapcsolatba is! 1.. Adjuk meg az alábbi összeg potos értékét! cos 40 + cos 80 + cos 10 + cos cos 00 + cos 40 + cos 30 + cos Ismeretes, hogy 0 < eseté = 1. 4 Eek egy lehetséges bizoyítását kapjuk, ha az alábbi két sort összeadjuk. = (1 + 1) = = (1 1) = Határozzuk meg (-től függő) értékét! Mutassuk meg, hogy (1 + i) (1 i) 007 egész szám és határozzuk meg az utolsó (1-es helyiértékű) jegyét! 1.5. Határozzuk meg az alábbi összeg értékét! ± Írjuk fel az alábbi poliomok gyöktéyezős alakját C[x]-be, illetve R[x]-be! a) x 3 1, x 4 1, x 6 1. b)* x 5 1, x 7 1, x Írjuk fel az x 3 1 x 4 1 x 5 1 x 6 1 x 1 1 poliomot Q[x]-be irreducibilis téyezők szorzatakét! Határozzuk meg midegyik egységgyökről, hogy melyik irreducibilis téyező gyöke! 1.8. [1] Mutassuk meg, hogy a z poliom irreducibilis Q[z]-be! 1.9. [7] Jelöljö ǫ -edik egységgyököt! Határozzuk meg az alábbi kifejezés értékét! 1 + ǫ + 3ǫ ǫ 1. 7
10 1 fejezet. Komplex számok 1.5. Magasabbfokú poliomok geometriája [7] a) Mutassuk meg, hogy ha a z komplex számra z + 1 z = cos θ, akkor zm + 1 = cos mθ. b) Keressük hasoló összefüggést z + 1 z < eseté! 1.5. Magasabbfokú poliomok geometriája 1.1. [6] Tegyük fel, hogy Mutassuk meg, hogy ekkor a p 0 > p 1 > p >... > p > 0. p 0 + p 1 z + p z p z poliomak ics zérushelye az z 1 egységkörlapo! 1.. [6] Tegyük fel, hogy a p 0 + p 1 z + p z p z z m = poliom együtthatói, p 0, p 1, p,..., p pozitívak. Mutassuk meg, hogy ekkor eek a poliomak mide zérushelye az α z β körgyűrűbe va, ahol α a legkisebb, β pedig a legagyobb a p 1 p 0, p p 1, p 3 p,... p p 1 számok között. 8
11 . FEJEZET Liaeáris algebra.1. (MS) Számítsuk ki az alábbi determiásokat: a) 4 6 b) c) d) (MS) Igazoljuk a determiás kiszámítása élkül, hogy az alábbi két determiás em a) b)
12 fejezet. Liaeáris algebra 10
13 3. FEJEZET Vegyes feladatok 3.1. (MS) Jelölje P 4 a egyedfokú 1 főegyütthatós poliomok halmazát és tekitsük a φ : P 4 R φ(p) = 1 p(1) p + 1 p p(0) 1 + p(0) p + 1 p p( 1) leképezést (p P 4 ). Határozzuk meg a φ leképezés miimumát. Mely p poliomo veszi fel φ a miimális értéket? 11
14 3 fejezet. Vegyes feladatok 1
15 Segítség, útmutatás 1. Komplex számok 1.3. Végezzük el az y = x 1 helyettesítést!. Liaeáris algebra.1. Fejtsük ki a determiásokat valamelyik sora vagy oszlopa szerit, vagy pedig (akár előtte vagy helyette) alakítsuk át a determiást... Vizsgáljuk a determiásokat paritás szerit! 3. Vegyes feladatok 3.1. Becsüljük meg φ(p)-t, haszáljuk a a + b a + b egyelőtleséget! 13
16 Segítség, útmutatás 3. Vegyes feladatok 14
17 Megoldások 1. Komplex számok 1.. x 1 = 3 q + ( q ) + ( p) 3 ( q q ) + ( p) Az y = x 1 helyettesítést elvégezve kapjuk a x 3 6x 9 = 0 egyeletet. Eek megoldása az x = 3, ie y =. Az eredeti egyelet ezek szerit y 3 + 3y 3y 14 = (y ) ( y + 5y + 7 ) 1.4. a) x = 1 megoldás, tehát x 3 + 3x 4 = (x 1) ( x + x + 4 ) b) x = megoldás, tehát x 3 1x + 16 = (x ) ( x + x 8 ) c) x = megoldás, tehát x 3 19x + 30 = (x ) ( x + x 16 ) 1.5. cos3α = 4 cos 3 α 3 cosα 1.1. a) i ( + i) = i + i = 1 + i b) (1 + i) ( + i) = + 3i + i = 1 + 3i c) (1 + i) = 1 + i + i = 0 + i = i d) +i i = +i i i i = i+i i = i 1 1 = 1 i e) 4+3i 1+i = 4+3i 1+i 1 i 1 i = 10 5i 5 = i f) 5 i 1 i = 5 i 1 i 1+i 1+i = 9 8i 5 = i g) (1 + i) 3 = 1 + 3i + 3i + i 3 = + i h) (1 i) 4 = 1 4i + 6i 4i 3 + i 4 =-4. Liaeáris algebra.1. A kapott értékek: a) 4 6 = 0 b) = 0 c) = d) = Vizsgáljuk a determiásokat paritás szerit, azaz ézzük az összes kiválasztható - külöböző sorokba és oszlopokba levő - számhármasok szorzatáak összegét. Mide ilye szorzat páros egy kivételével, így a determiás értéke csak páratla lehet, azaz 0 em lehet. A determiások értékei (kiszámítás utá): a) 993 b) Vegyes feladatok 3.1. Legye p (x) = x 4 + ax 3 + bx + cx + d. Ekkor p ((1) = ) 1 + a + b + c + d p 1 1 = 1 + a + b 1 + c 1 + d p ((0) = ) d p 1 1 = 1 a + b 1 c 1 + d 15
18 Megoldások 3. Vegyes feladatok p ( 1) = 1 a + b c + d Most megbecsülve φ (p) értékét azaz φ(p) = 1 p(1) p + 1 p p(0) 1 + p(0) p + 1 p p( 1) = 1 p(1) p + 1 p(0) p + 1 p(0) p + 1 p( 1) p Ezt fel is veszi a 1 1 p(1) + p(0) + p( 1) p p = 1 = 1 p(x) = x 4 3 x + d = φ(p) 1 ( x 1 x 1 + d ) függvéyek esetébe, ahol d tetszőleges szám. További jó függvéyek p(x) = x 4 1 ( x + d = x x 1 ) + d vagy p(x) = x 4 x + d = x x 1 + d 16
19 Alkalmazott rövidítések Köyvek eveiek rövidítései A.I A.II A.III ALG.II ANAL.III F.I F.III G.I G.II G.III GR.II K.I K.II K.III SZ.I SZ.II V.II VV.III ZARUB Algebra, 7 8. évfolyam Algebra, évfolyam Algebra, évfolyam Algoritmusok, évfolyam Aalízis, évfolyam Függvéyek, 7 8. évfolyam Függvéyek, évfolyam Geometria, 7 8. évfolyam Geometria, évfolyam Geometria, évfolyam Speciális gráfelméleti példák, évfolyam Kombiatorika, 7 8. évfolyam Kombiatorika, évfolyam Kombiatorika, évfolyam Számelmélet, 7 8. évfolyam Számelmélet, évfolyam Valószíűségszmítás és statisztika, évfolyam Városok viadala, évfolyam Nemzeti verseyek, évfolyam Segítség és megoldás jelzése A feladatok sorszámáál kerek zárójelbe M és S jelzi, ha a feladathoz (M)egoldás vagy (S)egítség található. Például 5. (M) Oldjuk meg a... vagy 5. (MS) Oldjuk meg a... Hivatkozás jelzése A feladatok sorszámáál szögletes zárójelbe zárójelbe szám jelzi a feladat származását vagy kapcsolatát mutató hivatkozást az Ajálott irodalom részbe. Például: 4. [0.] Oldjuk meg a... 17
20 Alkalmazott rövidítések 18
21 Irodalomjegyzék [1] Sárközy Adrás: Komplex számok példatár. Bolyai sorozat sorozat. Budapest, 1973, Műszaki Köyvkiadó. [] Szemjo Grigorjevics Gyigyiki: Törtéetek fizikusokról és matematikusokról. Budapest, 003, Typotex. ISBN X. [3] Pataki Jáos: Az algebra és a geometria házassága. 003/dec/1. LVIII/50. sz., Élet és Tudomáy. A Diákoldal melléklet XLIV-XLVII oldalai, XIII. évf. 6. szám. [4] Da Kalma: A Elemetary Proof of Marde s Theorem sz., America Mathematical Mothly, p. [5] Richard Makiewicz: A matematika históriája. Budapest, 003, HVG kiadó Zrt. ISBN [6] Szegő Gábor Pólya György: Feladatok és tételek az aalízis köréből I. Budapest, 1980, Taköyvkiadó. [7] D. K. Fagyejev I. Sz. Szomiszkij: Felsőfokú algebrai példatár. Felsőfokú példatárak sorozat. 3. kiad. Budapest, 006, Typotex. 19
Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5.
Analízis 11 12. évfolyam Szerkesztette: Surányi László 2015. július 5. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó András, Kalló
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenN - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenNemzeti versenyek 11 12. évfolyam
Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenIrodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
Részletesebben1. Sajátérték és sajátvektor
1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b
RészletesebbenKITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA
Kitűzött feladatok a X. osztály számára 7 KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Legye A egy véges halmaz, amelyre A. Határozd meg az A elemeiek számát úgy, hogy létezze f : A A P(A) bijektiv függvéy.
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
RészletesebbenKitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenMinta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe
RészletesebbenKomplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:
6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum
RészletesebbenI. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?
Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
Részletesebben3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9
Komplex számok Wettl Ferenc 2010-09-10 Wettl Ferenc () Komplex számok 2010-09-10 1 / 9 Tartalom 1 Számok Egy kis történelem A megoldóképlet egy speciális esetre Lehet számolni negatív szám gyökével Műveletek
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Komplex számok StKis, EIC 2019-02-06 Wettl Ferenc
RészletesebbenEseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok
Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23
Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenHalmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz
Halmazok 1. Feladat. Adott négy halmaz: az alaphalmaz, melynek részhalmazai az A, a B és a C halmaz: U {1, 2,,..., 20}, az A elemei a páros számok, a B elemei a hárommal oszthatók, a C halmaz elemei pedig
RészletesebbenBizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).
) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
RészletesebbenÁltalános taggal megadott sorozatok összegzési képletei
Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
Részletesebben1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenAlgebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest
Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
Részletesebben1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:
. Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten KOMPLEX SZÁMOK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Történeti bevezetés
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK
Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók
RészletesebbenEgy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban
Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő
SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése
RészletesebbenA felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u
Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {
RészletesebbenMőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK
Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 1611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fotos tudivalók Formai előírások: 1. Kérjük,
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
Részletesebben5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?
5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA február 10.
PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 08. február 0. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Javítási útmutató 08. február 0. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ Matematika Írásbeli
RészletesebbenB1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke
B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)
RészletesebbenGyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Részletesebben