λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
|
|
- Dóra Orsós
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények Wronski-determinánsát Megoldás A megadott függvények e λx f(x) alakúak, ezek deriváltjait a Leibniz-szabály alkalmazásával állíthatjuk elő: d n dx n eλx f(x) = n i=0 ( ) n λ i f (n i) (x)e λx = f (n) (x)e λx + i n i=1 ( ) n λ i f (n i) (x)e λx i Ebben az alakban láthatjuk, hogy az összegben megjelenő tagok mindegyike előáll e λx f(x) legfeljebb n 1-edik deriváltjainak lineáris kombinációjaként, ahol az együtthatók f-től nem függnek Így például e λx f 1 (x) e λx f (x) (e λx f 1 (x)) (e λx f (x)) = e λx f 1 (x) λe λx f 1 (x) + e λx f 1(x) e = λx f 1 (x) e λx f (x) e λx f 1(x) e λx f (x) = e λx f 1 (x) f (x) f 1(x) f (x) e λx f (x) λe λx f (x) + e λx f (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j) i (x) elemek maradjanak a determinánsban: e λx f 1 (x) e λx f k (x) f 1 (x) f (x) f k (x) = e kλx f 1(x) f (x) f k(x) d k 1 e λx d f dx k 1 1 (x) k 1 e λx f dx k 1 k (x) f (k 1) 1 (x) f (k 1) (x) f (k 1) k (x) A megadott függvények Wronski-determinánsa tehát 1 x x x k x (k 1)x k W (x) = e kλx 0 0 (k 1)(k )x k (k 1)! Azt is észrevehetjük, hogy a megadott függvények az ( ) k d dx λ y(x) = 0, k 1 = e kλx n=0 n! azaz k n=0 ( ) k ( λ) k n y (n) = 0 n
2 lineáris differenciálegyenlet megoldásterének bázisát alkotját Elsőrendű egyenletrendszerré alakítva y = (y, y,, y (k 1) ) bevezetésével az egyenlet y = 0 y = Ay ( ) k 1 ( λ) k 1 ( ) k ( λ) k ( ) k 3 ( λ) k 3 ( ) k k 1 ( λ) lesz, tehát a Wronski-determinánsra a W = (Tr A)W = kλw differenciálegyenlet teljesül, emiatt W (x) = e kλx W (0) A Wronski-determináns segítségével határozzuk meg a 4xy +y +y = 0 differenciálegyenlet általános megoldását, ha tudjuk, hogy cos x megoldja az egyenletet Megoldás Az a (x)y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0 differenciálegyenlet ekvivalens az y = [ 0 1 a 0(x) a (x) a 1(x) a (x) ] y elsőrendű egyenletrendszerrel, ennek Wronski-determinánsa teljesíti a W = a 1(x) a (x) W egyenletet Most a 1 (x) = a (x) = 4x, tehát W = 1 W, amiből W (x) = C x x Másrészt ha y 1 és y az eredeti egyenlet két megoldása, akkor a y W (x) = 1 (x) y (x) y 1(x) y (x) függvény ugyanezt a differenciálegyenletet teljesíti Ha y 1 (x) = cos x ismert, akkor ez y -re nézve elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletet jelent, amit az állandók variálásának módszerével oldhatunk meg A konstrukció miatt y 1 megoldja a homogén egyenletet, tehát az inhomogén egyenlet megoldását c(x)y 1 (x) alakban keressük y 1 (x) c(x)y 1 (x) y 1(x) (c(x)y 1 (x)) = y 1 (x) y 1(x) felhasználásával és pl C = 1 választásával most tehát c (x) = 1 cos 1, x x c(x) = tan x c(x)y 1 (x) c(x)y 1(x) + c (x)y 1 (x) = y 1 (x) 0 y 1(x) c (x)y 1 (x) = c (x)y 1 (x) Így y (x) = sin x, és az általános megoldás A cos x + B sin x 3 Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenletek általános megoldását a) y (4) y y + y = 0 b) y 4y + 4y = 0 c) y + 3y + 3y + y = 0 d) y 4y + 9y = 0
3 e) y (4) + y + y = 0 Megoldás Az egyenletekbe az e λx függvényt helyettesítünk és elosztjuk mindkét oldalt ugyanezzel a függvénnyel A bal oldal így λ egy polinomja lesz (karakterisztikus polinom), ha ennek λ i gyöke m i multiplicitással, akkor az e λix, xe λix,, x mi 1 e λix függvények megoldják a differenciálegyenletet Ez pontosan annyi függvényt határoz meg, mint amennyi az egyenlet rendje, és a függvények a megoldástér egy bázisát alkotják (Ha λ = a + bi C \ R gyök m multiplicitással, akkor λ is az ugyanilyen multiplicitással, ezek alkalmas lineáris kombinációi valósak: e ax cos bx,, x m 1 e ax cos bx, e ax sin bx,, x m 1 e ax sin bx) a) A karakterisztikus polinom λ 4 λ 3 λ + λ = (λ + 1)λ(λ 1)(λ ), az általános megoldás y(x) = Ae x + B + Ce x + De x b) A karakterisztikus polinom λ 4λ + 4 = (λ ), az általános megoldás y(x) = Ae x + Bxe x c) A karakterisztikus polinom λ 3 + 3λ + 3λ + 1 = (λ + 1) 3, az általános megoldás y(x) = Ae x + Bxe x + Cx e x d) A karakterisztikus polinom λ 4λ + 9, ennek gyökei 4 ± = ± 5 = ± 5i, az általános megoldás y(x) = Ae x cos 5x + Be x sin 5x e) A karakterisztikus polinom λ 4 + λ + 1 = (λ + 1) = (λ + i) (λ i), az általános megoldás y(x) = A cos x + Bx cos x + C sin x + Dx sin x 4 Legyenek ω 0 és α 0 valós paraméterek Oldjuk meg az y + αy + ω y = 0 differenciálegyenletet y(0) = 1, y (0) = 0 kezdeti feltétel mellett Miben különbözik a megoldás α > ω és α < ω esetén? Megoldás A karakterisztikus polinom λ + αλ + ω λ, ennek gyökei α ± 4α 4ω = α ± α ω Ha α > ω, akkor mindkét gyök valós (negatív), az általános megoldás y(x) = Ae ( α+ α ω )x + Be ( α α ω )x A kezdeti feltételből kell A és B értékét meghatározni: ebből 1 = y(0) = A + B 0 = y (0) = ( α + α ω )A + ( α α ω )B, A = α + α ω α ω B = α + α ω α ω A kapott megoldás monoton csökken, exponenciálisan 0-hoz tart (y(x) Ce ( α+ α ω )x ) Ha α < ω, akkor viszont komplex gyököket kapunk, az általános megoldás y(x) = Ae αx cos( ω α x) + Be αx sin( ω α x) 3
4 A kezdeti feltételből kell A és B értékét meghatározni: ebből 1 = y(0) = A 0 = y (0) = αa + ω α B, A = 1 α B = ω α Ilyenkor a megoldás a 0 körül oszcillál Ha α > 0, akkor exponenciálisan 0-hoz tart ( y(x) Ce αx ), ha viszont α = 0, akkor periodikus Meg kell még vizsgálni az α = ω esetet Ekkor α kétszeres valós gyök, az általános megoldás y(x) = Ae αx + Bxe αx A kezdeti feltételből kell A és B értékét meghatározni: 1 = y(0) = A 0 = y (0) = αa + B, ebből A = 1 és B = α Ekkor a megoldás szigorúan monoton csökken, szintén exponenciálisan 0-hoz tart, de kicsivel lassabban mint e αx ( y(x) Cxe αx ) Ezt a megoldást az előző két eset bármelyikéből megkaphattuk volna ω α határátmenettel 5 Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenletek általános megoldását a) y 4y 1y = xe x b) y 4y 1y = xe x c) y 4y + 4y = x + e x d) y y + 5y = e x sin x Megoldás Ha az inhomogén tag p(x)e λx alakú, ahol p(x) egy d fokú polinom és λ a karakterisztikus polinomnak m-szeres gyöke (m = 0 ha nem gyök), akkor az egyenletnek létezik q(x)x m e λx alakú megoldása, ahol q(x) szintén d fokú polinom (Komplex gyök esetén cos, sin előállítható a komplex exponenciálisokból) a) A karakterisztikus polinom λ 4λ 1 = (λ + )(λ 6), a homogén egyenlet általános megoldása y(x) = Ae x + Be 6x Nincsen rezonancia, (C 0 + C 1 x)e x alakú megoldást keresünk Ezt behelyettesítve az xe x = C 1 e x + (C 0 + C 1 x)e x 4(C 1 e x + (C 0 + C 1 x)e x ) 1(C 0 + C 1 x)e x = ( 15C 0 C 1 )e x + ( 15C 1 )xe x egyenlethez jutunk, ami akkor teljesül minden x-re, ha C 1 = 1, C 15 = Tehát az 5 általános megoldás y(x) = 5 ex 1 15 xex + Ae x + Be 6x b) A karakterisztikus polinom λ 4λ 1 = (λ + )(λ 6), a homogén egyenlet általános megoldása y(x) = Ae x + Be 6x Külső rezonancia van, (C 0 + C 1 x)xe x = (C 0 x + C 1 x )e x alakú megoldást keresünk Ezt behelyettesítve az ( 8C 0 + C 1 )e x 16C 1 xe x = xe x egyenlet adódik, ebből C 1 = 1 és C 16 = 1, így az általános megoldás 64 y(x) = 1 64 xe x 1 16 x e x + Ae x + Be 6x 4
5 c) A karakterisztikus polinom λ 3 4λ + 4λ = λ(λ ), a homogén egyenlet általános megoldása y(x) = A + Be x + Cxe x (belső rezonancia) Mindkét inhomogén tag miatt külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását C 0 x + C 1 x + C x 3 + D 0 x e x alakban keressük Behelyettesítve: (4C 0 8C 1 + 6C ) + (8C 1 4C )x + 1C x + 4D 0 e x = x + e x, amiből D 0 = 1, C 4 = 1, C 1 1 = 1, C 4 0 = 3 Az általános megoldás 8 y(x) = 3 8 x x x x e x + A + Be x + Cxe x d) A karakterisztikus polinom λ λ+5 = (λ 1+i)(λ 1 i), a homogén egyenlet általános megoldása y(x) = Ae x cos x + Be x sin x Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását C 0 xe x cos x + D 0 xe x sin x alakban kereshetjük Behelyettesítve: 4D 0 e x cos x 4C 0 e x sin x = e x sin x, tehát C 0 = 1 4 és D 0 = 0 Az általános megoldás y(x) = 1 4 xex cos x + Ae x cos x + Be x sin x További gyakorló feladatok 6 Bizonyítsuk be, hogy az y 1 = y y = e x y 1 + y differenciálegyenlet-rendszernek létezik nem korlátos megoldása Megoldás Az egyenletrendszer mátrix alakban y = A(x)y, ahol [ ] 0 1 A(x) = e x 1 Két lineárisan független megoldásból mátrixot képezhetünk, ennek determinánsa a W (x) Wronski-determináns A W (x) = Tr A(x)W (x) = W (x) egyenlet megoldása W (x) = Ce x, ahol C 0 állandó Ha minden megoldás korlátos lenne, akkor a belőlük képzett determináns is korlátos lenne, de e x nem az Tehát létezik nem korlátos megoldás 7 Határozzuk meg az y y e x y = 0 differenciálegyenlet általános megoldását, ha tudjuk, hogy e ex megoldás Megoldás A Wronski-determinánsra W = W teljesül, tehát W = Ce x y 1 (x) = e ex megoldás, egy másikat y (x) = c(x)y 1 (x) alakban keressük (C = 1 feltehető): e x y = 1 (x) c(x)y 1 (x) y 1(x) (c(x)y 1 (x)) = c (x)y 1 (x), tehát c (x) = ex e ex Ezt integrálva c(x) = 1 e ex + C adódik, az általános megoldás y(x) = C 1 e ex + C e ex 5
6 8 Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenletek általános megoldását a) y + y + 10y = 0 b) y 1y + 7y = 0 c) y 10y + 5y = 0 d) y (4) + 18y + 81y = 0 e) y 6y + 1y 8y = 0 f) y (n) y = 0, ahol n 1 egész Megoldás a) A karakterisztikus polinom λ +λ+10 = (λ+1 3i)(λ+1+3i), az általános megoldás y(x) = Ae x cos 3x + Be x sin 3x b) A karakterisztikus polinom λ 1λ + 7 = (λ 3)(λ 9), az általános megoldás y(x) = Ae 3x + Be 9x c) A karakterisztikus polinom λ 10λ + 5 = (λ 5), az általános megoldás y(x) = Ae 5x + Bxe 5x d) A karakterisztikus polinom λ λ + 81 = (λ + 9) = (λ + 3i) (λ 3i), az általános megoldás y(x) = A cos 3x + B sin 3x + Cx cos 3x + Dx sin 3x e) A karakterisztikus polinom λ 3 6λ + 1λ 8 = (λ ) 3, az általános megoldás y(x) = Ae x + Bxe x + Cx e x f) A karakterisztikus polinom λ n 1 = n 1 k=0 (λ e πi k n ) Ha n páratlan, akkor az általános megoldás y(x) = Ae x + n 1 k=1 ha n páros, akkor pedig y(x) = Ae x + Be x + ( C k e cos(πi k n) cos e sin(πi k n) + Dk e cos(πi k n) sin e sin(πi k n) ), n 1 k=1 ( C k e cos(πi k n) cos e sin(πi k n) + Dk e cos(πi k n) sin e sin(πi k n) ) 9 Legyenek ω 0 > 0 és ω 0 valós paraméterek Oldjuk meg az y + ω 0y = sin(ωx) differenciálegyenletet y(0) = 0, y (0) = 0 kezdeti feltétel mellett Mi történik, ha ω = ω 0? Megoldás Az egyenlet inhomogén lineáris, a hozzá tartozó homogén egyenlet y + ω0y A karakterisztikus polinom λ + ω0 = (λ iω 0 )(λ + iω 0 ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása y(x) = A cos(ω 0 x) + B sin(ω 0 x) Ha ω ω 0, akkor nincsen külső rezonancia, az inhomogén egyenlet megoldását C cos(ωx) + D sin(ωx) alakban kereshetjük Ezt behelyettesítve az egyenlet ω C cos(ωx) ω D sin(ωx) + ω 0C cos(ωx) + ω 0D sin(ωx) = sin(ωx), amiből C(ω 0 ω ) = 0, D(ω 0 ω ) = 1 Az általános megoldás y(x) = 1 ω 0 ω sin(ωx) + A cos(ω 0x) + B sin(ω 0 x) Az A, B paraméterek értékét úgy kell megválasztani, hogy a kezdeti feltétel teljesüljön y (x) = ω ω 0 ω cos(ωx) Aω 0 sin(ω 0 x) + Bω 0 cos(ω 0 x) 6
7 felhasználásával a feltétel 0 = y(0) = A 0 = y ω (0) = ω0 ω + Bω 0, tehát A = 0 és B = y(x) = ω ω 0 (ω0 ω ) 1 ω 0 ω sin(ωx), a kezdetiérték-probléma megoldása ω ω 0 (ω0 ω ) sin(ω 0x) = ω 0 sin(ωx) ω sin(ω 0 x) ω 0 (ω0 ω ) Ha ω = ω 0, akkor külső rezonancia van, tehát az inhomogén egyenletnek Cx cos(ω 0 x) + Dx sin(ω 0 x) alakban keressük a megoldását Behelyettesítés után az egyenlet Dω 0 cos(ω 0 x) Cω 0 sin(ω 0 x) = sin(ω 0 x), tehát C = 1 ω 0 és D = 0 Az általános megoldás y(x) = 1 ω 0 x cos(ω 0 x) + A cos(ω 0 x) + B sin(ω 0 x) A kezdeti feltételből 0 = y(0) = A 0 = y (0) = 1 ω 0 + Bω 0, azaz A = 0 és B = 1 A kezdetiérték-probléma megoldása ekkor ω0 y(x) = 1 x cos(ω 0 x) + 1 sin(ω ω 0 ω0 0 x) Tehát külső rezonancia esetén a megoldás nem lesz korlátos, az első tag miatt lineárisan nő a rezgés amplitúdója Ezt a megoldást az ω ω 0 melletti megoldásból ω ω 0 határátmenettel is megkaphattuk volna 10 Legyenek ω 1, ω 0 valós paraméterek Oldjuk meg az y (4) + (ω1 + ω)y + ω1ω y = 0 differenciálegyenletet y(0) = 1, y (0) = y (0) = y (0) = 0 kezdeti feltétel mellett Mi történik, ha ω 1 = ω? Megoldás Az egyenlet homogén lineáris állandó együtthatós, a karakterisztikus polinom λ 4 + (ω 1 + ω )λ + ω 1ω = (λ + ω 1)(λ + ω ) Ha ω 1 ω, akkor nincs rezonancia, az általános megoldás y(x) = A cos ω 1 x + B sin ω 1 x + C cos ω 1 x + D sin ω x Ennek deriváltjai: y (x) = Bω 1 cos ω 1 Aω 1 sin ω 1 x + Dω cos ω 1 x Cω 1 sin ω 1 x y (x) = Aω 1 cos ω 1 Bω 1 sin ω 1 x Cω cos ω 1 x Dω 1 sin ω 1 x y (x) = Bω 3 1 cos ω 1 + Aω 3 1 sin ω 1 x Dω 3 cos ω 1 x + Cω 3 1 sin ω 1 x A kezdeti feltétel alapján az együtthatókra az 1 = y(0) = A + C 0 = y (0) = ω 1 B + ω D 0 = y (0) = ω 1A ω C 0 = y (0) = ω 3 1B ω 3 D 7
8 egyenletrendszer teljesül, ennek megoldása A = ω ω ω 1 B = 0 C = ω 1 ω ω 1 D = 0, tehát a kezdetiérték-probléma megoldása y(x) = ω cos ω 1 x ω1 cos ω x ω ω1 Ha ω 1 = ω =: ω, akkor belső rezonancia van, tehát az általános megoldás y(x) = A cos ωx + B sin ωx + Cx cos ωx + Dx sin ωx, ebből hasonlóan azt kapjuk, hogy y(x) = 1 xω sin ωx + cos ωx Ez a megoldás egyébként azzal a függvénnyel is megegyezik, amit az ω 1 ω esetben kapottból ω ω 1 határátmenettel kapunk 11 Határozzuk meg az alábbi kezdetiérték-problémák megoldását a) y + 4y + 8y = e x cos x, y(0) = 1, y (0) = 0 b) y 3y y + 3y = xe x, y(0) = y (0) = y (0) = 0 c) y 3y y + 3y = xe x, y(0) = y (0) = y (0) = 0 d) y + 8y + 16y = x e 4x, y(0) = 0, y (0) = 1 Megoldás a) A karakterisztikus polinom λ + 4λ + 8 = (λ + + i)(λ + i), a homogén egyenlet általános megoldása y(x) = Ae x cos x+be x sin x Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet egy megoldását y(x) = Cxe x cos x+dxe x sin x alakban keressük, behelyettesítés után C = 0, D = 1 adódik Az általános megoldás és deriváltja 4 y(x) = 1 4 xe x sin x + Ae x cos x + Be x sin x y (x) = 1 4 e x sin x 1 xe x sin x + 1 xe x cos x + ( A + B)e x cos x + ( A B)e x sin x, a kezdeti feltétel alapján 1 = y(0) = A 0 = y (0) = A + B, tehát A = B = 1 b) A karakterisztikus polinom λ 3 3λ λ+3 = (λ+1)(λ 1)(λ 3), a homogén egyenlet általános megoldása y(x) = Ae x + Be x + Ce 3x Nincsen rezonancia, az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = (C 0 + C 1 x)e x alakban keressük Behelyettesítés után az 8
9 egyenlet ( 3C 0 C 1 3C 1 x)e x = xe x, amiből C 0 = 1 9 megoldás és deriváltjai és C 1 = 1 Az általános 3 y(x) = 1 9 ex 1 3 xex + Ae x + Be x + Ce 3x y (x) = 1 9 ex 3 xex Ae x + Be x + 3Ce 3x y (x) = 8 9 ex 4 3 xex + Ae x + Be x + 9Ce 3x, a kezdeti feltétel alapján 0 = y(0) = A + B + C 0 = y (0) = 1 9 A + B + 3C 0 = y (0) = A + B + 9C, ennek megoldása A = 1, B = 1, C = c) A karakterisztikus polinom λ 3 3λ λ+3 = (λ+1)(λ 1)(λ 3), a homogén egyenlet általános megoldása y(x) = Ae x + Be x + Ce 3x Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = (C 0 + C 1 x)xe x alakban keressük Behelyettesítés után az egyenlet (8C 0 1C C 1 x)e x = xe x, amiből C 0 = 3 és C 3 1 = 1 Az általános 16 megoldás és deriváltjai y(x) = 3 3 xe x x e x + Ae x + Be x + Ce 3x y (x) = 3 3 e x xe x 1 16 x e x Ae x + Be x + 3Ce 3x y (x) = 1 16 e x 5 3 xe x x e x + Ae x + Be x + 9Ce 3x, a kezdeti feltétel alapján 0 = y(0) = A + B + C 0 = y (0) = 3 3 A + B + 3C 0 = y (0) = A + B + 9C, ennek megoldása A = 7, B = 1, C = d) A karakterisztikus polinom λ + 8λ + 16 = (λ + 4), a homogén egyenlet általános megoldása y(x) = Ae 4x + Bxe 4x (belső rezonancia) Külső rezonancia is van, az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = (C 0 + C 1 x + C x )x e 4x alakban keressük Behelyettesítve a kapott egyenlet (C 0 + 6C 1 x + 1C x )e 4x = x e 4x, tehát C 0 = C 1 = 0, C = 1 Az általános megoldás és deriváltja 1 y(x) = 1 1 x4 e 4x + Ae 4x + Bxe 4x y (x) = 1 3 x3 e 4x 1 3 x4 e 3x + ( 4A + B)e 4x 4Bxe 4x, a kezdeti feltétel alapján 0 = y(0) = A 1 = y (0) = 4A + B, ennek megoldása A = 0, B = 1 9
10 1 Legyenek ω 0, ω, α > 0 valós paraméterek Keressük meg az y + αy + ω0y = sin(ωx) differenciálegyenletet periodikus megoldását (y(x) = C cos(ωx) + D sin(ωx) alakban) Milyen ω mellett maximális y illetve y amplitúdója? α ω 0, Megoldás A homogén egyenlet karakterisztikus polinomjának gyökei λ ± = α± ezeknek mindig negatív a valós része, tehát a homogén egyenletnek nincs nemtriviális periodikus megoldása Nincsen külső rezonancia, mert az inhomogén tagban a ±iωx kitevők tisztán képzetesek A periodikus megoldás ezek szerint csak y(x) = C cos(ωx) + D sin(ωx) alakú lehet y (x) = Dω cos(ωx) Cω sin(ωx) y (x) = Cω cos(ωx) Dω sin(ωx) felhasználásával behelyettesítés után az egyenlet lesz Ebből (ω 0C + αωd ω C) cos(ωx) + (ω 0D αωc ω D) cos(ωx) = sin(ωx) αω C = (ω ω0) + 4α ω ω ω0 D = (ω ω0) + 4α ω Érdemes a kapott megoldást A sin(ωx ϕ) alakba is átírni, ekkor A a rezgés amplitúdója, ϕ pedig az inhomogén taghoz képest mért fázis Az addíciós képlet felhasználásával A = C + D C és ϕ = arccos C, tehát +D A = 1 (ω ω0) + 4α ω ϕ = arccos ω 0 ω (ω ω 0) + 4α ω Függvényvizsgálattal meggyőződhetünk róla, hogy adott ω 0, α mellett az amplitúdó akkor maximális, ha ω = max{0, ω0 α } y = Aω cos(ωx ϕ) amplitúdója Aω, ez ω = ω 0 esetén maximális 10
6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
Részletesebben2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja
2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek 19 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek Legyen I R egy nyílt intervallum, p, q, f : I R. Az explicit másodrendű inhomogén lineáris skaláris differenciálegyenlet
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
Részletesebben2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja
2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek 27 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek Legyen I R egy nyílt intervallum, p, q, f : I R. Az explicit másodrendű inhomogén lineáris skaláris differenciálegyenlet
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenDifferenciálegyenletek Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Részletesebben4. Konzultáció: Periodikus jelek soros RC és RL tagokon, komplex ellenállás Részlet (nagyon béta)
4. Konzultáció: Periodikus jelek soros és tagokon, komplex ellenállás észlet (nagyon béta) "Elektrós"-Zoli 203. november 3. A jegyzetről Jelen jegyzet a negyedik konzultációm anyagának egy részletét tartalmazza.
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenDefiníció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.
8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy gyakorlatához
Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
RészletesebbenMatematika A3 1. ZH+megoldás
Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat december 5.
Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Részletesebben6. Differenciálegyenletek
312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon
RészletesebbenJPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
RészletesebbenDifferenciaegyenletek a differenciálegyenletek
Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek
Szegedi Tudományegyetem Fizikus Tanszékcsoport Elméleti Fizikai Tanszék Közönséges differenciálegyenletek Segédlet Készítette: Szaszkó-Bogár Viktor PhD hallgató Szeged 2013 Tartalomjegyzék Előszó.......................................
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)
Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. 1.-2. Gyakorlat 1 / 42 Numerikus differenciálás
RészletesebbenReakciókinetika és katalízis
Reakciókinetika és katalízis 5. előadás: /22 : Elemi reakciók kapcsolódása. : Egy reaktánsból két külön folyamatban más végtermékek keletkeznek. Legyenek A k b A kc B C Írjuk fel az A fogyására vonatkozó
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
Részletesebben7. gyakorlat megoldásai
7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
Részletesebben