0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

Átírás

1 Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok) pont. Az elégségeshez mindkét részből el kell érni a pontszám legalább 50%-át! ELMÉLET 0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, 62-7: közepes, 74-8: jó, pont: jeles 1. Mit értünk két vektor vektoriális szorzatán? Hogyan határozzuk meg a vektoriális szorzatot, ha ismerjük a két vektor koordinátáit? 2. Mikor nevezünk egy n db vektorból álló rendszert lineárisan függetlennek? Mutasson egy példát! 3. Hogyan definiáljuk a mátrix rangját? Hogyan határozzuk meg? 4. Mit mond ki a Cramer-szabály? 5. Definiálja az f valós-valós függvény x 0 R helyen vett differenciálhatóságának fogalmát! 6. Milyen kapcsolat van egy egyváltozós függvény adott pontbeli folytonossága és differenciálhatósága között? 7. Írja fel a szétválasztható változójú differenciálegyenlet általános alakját! Mutasson az ilyen fajta differenciálegyenletre egy konkrét példát is! 8. Létezik-e az x ln x függvénynek MacLaurin-sora? Miért igen/nem? 9. Döntse el a következő állításokról, hogy igazak-e vagy hamisak! 1 a) A háromdimenziós tér egyeneseinek halmazán értelmezett merőlegesség ekvivalencia reláció. b) Az n elemet tartalmazó halmaz hatványhalmazának elemszáma 2 n. c) Létezik olyan 3-reguláris gráf, amelynek négy csúcsa van. d) Ha egy numerikus sor tagjainak abszolút értéke a 0-hoz tart, akkor a sor konvergens. e) Az elsőrendű, homogén, lineáris differenciálegyenletek szétválasztható változójúak. f) Ha egy valós-valós függvény integrálható az [a, b] intervallumon, akkor létezik ezen az intervallumon értelmezett primitív függvénye. g) n elem k-ad osztályú kombinációinak száma kevesebb, mint a k-ad osztályú variációinak száma, ha n k 2. h) Ha z C, akkor lim n z n =. 1 Válaszát a kis négyzetbe írt I vagy H betűvel jelezze! Válaszait indokolja! Indoklás nélküli válaszra pont nem adható!

2 FELADATOK 1. f (x)=ln ( ) x 2 x+1 a) Határozza meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az f függvény értelmezett és valós értékeket vesz fel! b) Vizsgálja meg az f függvényt monotonitás szempontjából! c) Számítsa ki f zérushelyeit! 2. Legyen az S sík egyenlete 6x+6y+7z=0, az e egyenes paraméteres egyenletrendszere x=3+3t, y=2+4t, z=13 6t. a) Igazolja, hogy az e egyenes párhuzamos az S síkkal! b) Számítsa ki az S sík és az e egyenes távolságát! c) Írja fel az S síkra való merőleges vetítés mint lineáris transzformáció mátrixát! 3. y = e y (2x 4) a) Határozza meg a fenti differenciálegyenlet általános megoldását! b) Adja meg az y(5)=0kezdeti feltételhez tartozó partikuláris megoldást! c) Van-e az 1 y + ey = 2x3 11x 2 + 4x+12 differenciálegyenletnek az a) pontban megoldott differenciálegyenlettel közös megoldása? 2x 4 ( ) k 4. a) Konvergens-e a k numerikus sor? k=1 2k 1 b) Számítsa ki a ( ) 6 k numerikus sor összegét, ha a sor konvergens! Ha a sor k=1 11 nem konvergens, indokolja, hogy miért nem! c) Értelmezzünk a valós, konvergens numerikus sorok halmazán az R relációt úgy, hogy két sor akkor és csak akkor van relációban, ha összegük megegyezik. Relációban van-e a 1 k=1 k(k+1) és a k=1( ) 1 k sor? 2 d) Ekvivalencia-reláció-e az előző pontban értelmezett R reláció? 5. A következő ábrán a Dürer gráfot láthatjuk:

3 a) Létezik-e a gráfnak (nyílt vagy zárt) Euler bejárása? b) Reguláris-e a gráf? c) Határozza meg a gráf kromatikus számát!

4 Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I jan. 29. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok) pont. Az elégségeshez mindkét részből el kell érni a pontszám legalább 50%-át! ELMÉLET 0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, 62-7: közepes, 74-8: jó, pont: jeles 1. Mit nevezünk a komplex számok algebrai alakjának? Magyarázza meg a jelöléseit! Írjon példát algebrai alakban megadott komplex számra! 2. Definiálja az f valós-valós függvény x 0 helyen vett folytonosságát! 3. Definiálja az f valós-valós függvény x 0 helyen vett differenciálhatóságát! 4. Mit mond ki a Rolle-tétel? 5. Definiálja a bináris reláció fogalmát! 6. Mondjon példát ekvivalencia-relációra! Magyarázza meg, hogy a példa miért helyes! 7. Hogyan lehet egy lineáris egyenletrendszert inverz mátrix módszerrel megoldani? Mi a módszer alkalmazásának feltétele? 8. Írja fel a szétválasztható változójú differenciálegyenlet általános alakját! Adjon meg egy konkrét példát is ilyen típusú differenciálegyenletre! 9. Döntse el a következő állításokról, hogy igazak-e vagy hamisak! 1 a) n elem k-ad osztályú, ismétlés nélküli variációinak száma nagyobb vagy egyenlő a k-ad osztályú, ismétlés nélküli kombinációinak számánál. b) Két diagonálmátrix szorzata (ha létezik), szintén diagonálmátrix. c) Létezik olyan 3-reguláris gráf, amelynek öt csúcsa van. d) Ha egy numerikus sor tagjainak abszolút értéke a 0-hoz tart, akkor a sor konvergens. e) Ha egy kétváltozós valós függvény mindkét változója szerint parciálisan differenciálható a P 0 pontban, akkor ott folytonos is. f) Ha egy valós-valós függvény Riemann-értelemben integrálható az [a, b] intervallumon, akkor létezik ezen az intervallumon értelmezett primitív függvénye. g) Ha az f valós-valós függvénynek létezik és konvergens az [a; + [ intervallumon vett improprius integrálja, akkor lim x + f (x)=0 h) Ha egy vektorrendszer lineárisan összefüggő, akkor bármely vektora kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként. 1 Válaszát a kis négyzetbe írt I vagy H betűvel jelezze! Válaszait indokolja! Indoklás nélküli válaszra pont nem

5 FELADATOK 1. f (x)= 2x+4 5 x a) Határozza meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az f függvény értelmezett és valós értékeket vesz fel! b) Bizonyítsa be, hogy az f függvény szigorúan monoton növekedő! c) Határozza meg az f függvény értékkészletét! a 1 = 1 a 2 = 4 a 3 = b= a) Írja fel azt a mátrixot, amellyel az [a 1 a 2 a 3 ] mátrixot jobbról megszorozva az [a 2 a 3 a 1 ] mátrixot kapjuk eredményül! b) Kifejezhető-e a b vektor az a 1, a 2, a 3 vektorok lineáris kombinációjaként? Ha igen fejezze ki az összes lehetséges módon! c) Legyen egy térbeli lineáris transzformáció mátrixa [a 1 a 2 a 3 ]! Mutassa meg, hogy a transzformáció egyik sajátértéke 0, és határozza meg az ehhez tartozó sajátvektorokat! x 3. a) Határozza meg az f (x; y)= kétváltozós függvény elsőrendű parciális deriváltjait a P 0 ( 4; 3) pontban! x2 + y2 xy b) Számítsa ki az f (x; y)= kétváltozós függvény kettős integrálját a x2 + y2 T= { (x, y) 1 x 2, 1 y 3 } tartományon! 4. a) Döntse el, hogy a ( ) 1 k numerikus sor konvergens-e és ha igen számítsa k=1 e 1 ki a sor összegét! b) Határozza meg a ( ) x k függvénysor konvergenciatartományát és k=1 2x+1 összegfüggvényét! c) Formalizálja a következő kijelentést a predikátumlogika eszközeivel: Ha egy pozitív tagú numerikus sor egy majoráns sora konvergens, akkor az eredeti sor is konvergens. 5. Tekintsük az ábrán látható G gráfot: adható!

6 a) Létezik-e a gráfnak Euler bejárása? Ha van adjon meg egy ilyen bejárást, ha nincs, magyarázza meg, hogy miért nem lehet. b) Mennyi a gráf kromatikus száma?

7 Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I jún. 4. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok) pont. Az elégségeshez mindkét részből el kell érni a pontszám legalább 50%-át! 0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, 62-7: közepes, 74-8: jó, pont: jeles ELMÉLET 1. Hogyan definiálja a bázis fogalmát lineáris térben? 2. Mondjon példát lineáris transzformációra egy háromdimenziós lineáris térben! 3. Mit értünk egy lineáris transzformáció sajátvektorán, illetve sajátétékén? 4. Milyen mátrixokat nevezünk diagonálmátrixnak? Mely diagonálmátrixok determinánsa 0? 5. Definiálja az f valós-valós függvény x 0 -beli differenciálhányadosának fogalmát! 6. Mondjon egy elégséges feltételt az f valós-valós függvény adott [a, b] intervallumon vett integrálhatóságára! Mutasson példát, ahol ez a feltétel teljesül! 7. Mit mond ki a Newton-Leibniz szabály? 8. Mit nevezünk szétválasztható változójú differenciálegyenletnek? Mutasson példát is! 9. Döntse el a következő állításokról, hogy igazak-e vagy hamisak! 1 a) Ha egy homogén, bináris reláció antiszimmetrikus és tranzitív, akkor parciális rendezési reláció. b) Két diagonálmátrix szorzata (ha létezik), szintén diagonálmátrix. c) Létezik olyan egyszerű gráf, amelynek n>1 csúcsa van és minden csúcs fokszáma különböző. d) Ha egy numerikus sor tagjainak abszolút értéke a 0-hoz tart, akkor a sor konvergens. e) Ha egy kétváltozós valós függvény folytonos a P 0 pontban, akkor ott mindkét változója szerint parciálisan differenciálható is. f) Egy n elemű halmaz (ismétlés nélküli) variációinak számát az (ismétlés nélküli) kombinációinak számával osztva egész számot kapunk eredményül. g) Ha az f valós-valós függvény folytonos az x 0 helyen, akkor létezik x 0 -ban véges határértéke. h) Az f (x) = x valós-valós függvény hatványsorba fejthető az x 0 = 0 hely körül. 1 Válaszát a kis négyzetbe írt I vagy H betűvel jelezze! Válaszait indokolja! Indoklás nélküli válaszra pont nem adható!

8 FELADATOK 1. f (x)=(x 1) ln(x) a) Határozza meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az f függvény értelmezett és valós értékeket vesz fel! b) Határozza meg f első deriváltfüggvényét! c) Mutasa meg, hogy f (1)=0 és a deriváltfüggvény x>1-re pozitív, x<1-re negatív értékeket vesz fel. Vizsgálja ennek alapján az f függvény monotonitását! d) Bizonyítsa be, hogy a függvény szigorúan konvex! 2. y 7y + 10y=10x 3 61x x 140 a) Határozza meg a differenciálegyenlethez rendelt homogén differenciálegyenlet általános megoldását! b) Értelmezzünk a homogén differenciálegyenlet megoldásainak halmazán egy S bináris relációt a következőképpen: y 1 Sy osan akkor, ha y 1 (1) y 2 (1). Igaz-e, hogy S parciális rendezési reláció? c) Oldja meg a fenti (inhomogén) differenciálegyenletet! 3. Legyen H az olyan 3 3-as mátrixok halmaza, amelyek minden eleme a 0, 1, 2, 3 számok valamelyike. a) Hány eleme van a H halmaznak? b) A H halmaz hány eleme diagonálmátrix? c) Hány olyan eleme van a H halmaznak, amelynek mindhárom sorában az elemek monoton növekedve követik egymást? 4. f (x, y)= ln(4 x2 y 2 ) xy a) Legyen a fenti f kétváltozós valós függvény D f értelmezési tartománya a rendezett valós számpárok lehető legbővebb halmaza úgy, hogy a függvény D f minden pontjában valós értéket vegyen fel. Ábrázolja a D f halmazt az xy koordinátarendszerben! b) Számítsa ki az f függvény elsőrendű parciális deriváltjait a P 0 (1, 1) pontban! c) Számítsa ki az f függvény 45 -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját a P 0 (1, 1) pontban!

9 5. Tekintsük az ábrán látható G gráfot: a) Létezik-e a gráfnak Euler-bejárása? Ha van adjon meg egy ilyen bejárást, ha nincs, magyarázza meg, hogy miért nem lehet. b) Mennyi a gráf kromatikus száma?