Bevezetés az algebrába 2
|
|
- Nóra Pappné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK 1
2 Differenciaegyenlet-rendszerek
3 Fibonacci-sorozat explicit alakja P A Fibonacci-sorozat F 0 = 0, F 1 = 1, F n+1 = F n + F n 1 (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ) explicit alakja: F n = 1 (( ) n ( ) n ) M Keressünk a rekurzív képletre F n = λ n alakú megoldást! λ n+1 = λ n + λ n 1 λ 2 λ 1 = 0 λ 1,2 = 1± 5 2 Az (1, λ i, λ 2 i,... ) sorozatok lin. ftlenek, ui ( - Lineáris kombinációik mind megoldások: c A kezdeti feltételek (F 0 = 0, F 1 = 1) kielégítéséhez megoldandó c c 1 + c 2 = 0 + c = 1 2 ) n + c2 ( c 1 = c 2 = 1 5. ) n 2
4 Állandó együtthatós homogén lineáris differenciaegyenlet D d-edrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciaegyenlet: x n = a 1 x n 1 + a 2 x n a d x n d, (DAE) Á D ahol a 1, a 2,..., a d és a kezdeti feltételül szolgáló x 0, x 1,..., x d 1 adott konstansok, x d, x d+1,... ismeretlenek. Ha (x 0, x 1, x 2,... ) és (y 0, y 1, y 2,... ) megoldásai egy (állandó együtthatós) homogén lineáris differenciaegyenletnek, akkor tetszőleges c, d R konstansokra (cx 0 + dy 0, cx 1 + dy 1,... ) is. A DAE karakterisztikus polinomja χ(t) = t d a 1 t d 1 a 2 t d 2... a d, gyökei a sajátértékek. - E definíció eredetét hamarosan megvilágítjuk. 3
5 Differenciaegyenlet-rendszerek Differenciaegyenlet-rendszerek megoldása
6 Differenciaegyenletrendszer (DAER) D Elsőrendű lineáris differenciaegyenlet-rendszer: x n+1 = Ax n x n+1 = Ax n + b n homogén inhomogén T B ahol x 0, b 0, b 1, b 2 ismert vektorok, x n ismeretlen, ha n > 0. Az elsőrendű lineáris differenciaegyenlet-rendszer megoldása ahol n > 0. x n = A n x 0, n 1 x n = A n x 0 + A n 1 i b i, i=0 (homogén) (inhomogén) Behelyettesítés. A rekurzióból következik a mo. egyértelműsége. 4
7 F Milyen A C n n mátrixra igaz, hogy az x n+1 = Ax n + b sorozat minden b, x 0 C n vektorra konvergens? Mi a határérték? M A tétel szerint x n = A n x 0 + (I + A + A A n 1 )b: ekkor x 0 = 0 esetén b-re konv I + A A n 1 konv ρ(a) < 1 - lim n A n = O, lim n I + A A n 1 = (I A) 1 x n Ox 0 + (I A) 1 b = (I A) 1 b, ami nem függ x 0 -tól. [ ] [ ] P Konvergens-e az x n = 1 3 x n 1 + sorozat? Mi a határértéke? 2 M χ(λ) = 3 λ λ = λ2 1 3 λ 1 3 χ( 1) > 0, χ(0) < 0, χ(1) > 0 ρ(a) < 1 a sorozat konvergens! [ 1 - lim x n = (I A) 1 b = 3 1 ] 1 [ ] [ ] [ ] [ ] = =. n
8 m Minden állandó együtthatós d-edrendű homogén lineáris differenciaegyenlet átírható elsőrendű homogén lineáris differenciaegyenlet-rendszerré (DAER): ha x n a 1 x n 1... a d x n d = 0 (x d a 1 x d 1... a d x 0 = 0), akkor x x 0.. =....., x x d x 1 = Ax 0 ill. d 2 x d a d a d 1... a 1 x d 1 x n x ṇ.. =....., x x n+d x n+1 = Ax n, n+d 2 a d a d 1... a 1 x n+d x n+d 1 ahol x n = (x n,..., x n+d 1 ), és A a χ(t) kísérő mátrixának transzponáltja, melynek sajátértékei épp a DAE sajátértékei, és melyre µ(t) = ±χ(t), így minden sajátértékéhez egy J-blokk 6
9 Differenciaegyenlet-rendszerek Differenciaegyenlet megoldása
10 T DAE összes megoldása: 1. Ha λ sajátértéke a (DAE) DAE-nek, akkor az x n = λ n sorozat egy megoldás. 2. Ha a (DAE) spektruma {λ 1,..., λ s }, ahol a λ i algebrai multiplicitása a i, akkor a (DAE) összes megoldása előáll x n = s i=1 a i 1 j=0 c ij n j λ n i alakban. A c ij együtthatók megkaphatók a kezdeti feltételekből. 3. Speciálisan, ha a (DAE) sajátértékei mind különbözőek, akkor az összes megoldás előáll alakban. d x n = c i λ n i i=1 7
11 B 1. χ(λ) = 0 λ d = a 1 λ d 1 + a 2 λ d a d λ n = a 1 λ n 1 + a 2 λ n a d λ n d λ n megoldás x n = Ax n 1 x n = A n x 0 x n = CJ n C 1 x 0. - J n egy a algebrai multiplicitású λ-hoz tartozó diagonális blokkja n λ λ n ( n 1) λ n λ λ n.... = λ λ n a a - E blokk minden eleme a λ n, nλ n, n 2 λ n,, n a 1 λ n elemek konstans (n-től független!) együtthatókkal vett lineáris kombinációja (pl. ( n 1) λ n 1 = ( 1 λ )nλn, ( n) 2 λ n 2 = n2 n 2 λ n 2 = ( 2 )n 2 λ n ( 2 )nλ n, ) λ 2 λ 2 CJ n C 1 minden eleme a λ n i, nλn i, n2 λ n i,, nai 1 λ n i elemek lineáris kombinációja, ahol a i a λ i multiplicitása következik az előzőből, hisz ekkor a i = 1 minden i = 1, 2,..., d-re. 8
12 P x n = 5x n 1 8x n 2 + 4x n 3, x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 5. M χ(λ) = λ 3 5λ 2 + 8λ 4 = (λ 1)(λ 2) 2 Összes megoldás: x n = c 1 1 n + c 2 2 n + c 3 n2 n. Kezdeti feltételekből: c 1 = 1, c 2 = 1, c 3 = 1, - x n = 1 2 n + n2 n, (0, 1, 5, 17, 49, 129, ) P x n = 2x n 1 5x n 2, x 0 = x 1 = 1. M χ(λ) = λ 2 + 2λ + 5 = (λ + 1 2i)(λ i) Összes megoldás: x n = c 1 ( 1 + 2i) n + c 2 ( 1 2i) n. Kezdeti feltételekből: c 1 = (1 i)/2, c 2 = (1 + i)/2, - x n = 1 i 2 ( 1 + 2i)n i 2 ( 1 2i)n, (1, 1, 7, 9, 17, 79, ) 9
13 P Konvergens-e az x n+1 = 1 4 x n 1 4 x n sorozat? Mi a határértéke? [ ] [ ] [ ] [ ] xn 0 1 xn 1 0 x 1 M = x n x n x = (x 1 2 )2 λ = 1 2 ρ(a) = 1 2 < 1 a sorozat konvergens. [ ] 1 [ ] (I A) 1 = 1 3 = [ ] [ ] [ ] [ ] 3 xn lim = n 1 = lim x n = n x n+1 m ha tudjuk, hogy konv, akkor tfh x n a x n 1 a, x n+1 a és x n+1 = 1 4 x n 1 4 x n a = 1 4 a 1 4 a + 1 a = 1. 10
14 Differenciaegyenlet-rendszerek Differenciaegyenletek alkalmazásai
15 P Számítsuk ki az alábbi n-edrendű determináns értékét: D n = M D n = 2D n 1 D n 2, ugyanis az első sor szerint kifejtve D n = ( 1) (n 1) = (n 1) (n 2) (n 1) 11
16 2 1 - D 1 = 2, D 2 = 1 2 = 3 λ 2 2λ + 1 λ = 1 A két független megoldás (1, 1, 1, 1,... ), (0, 1, 2, 3,... ) - D 1 : c 1 + c 2 = 2, D 2 : c 1 + 2c 2 = 3 c 1 = c 2 = 1 - D n = n
17 P Számítsuk ki az alábbi integrál értékét, ha a R konstans, a kπ: I n = π 0 cos nx cos na cos x cos a dx M I 0 = 0, I 1 = π, I n+1 (2 cos a)i n + I n 1 = 0, ugyanis π cos nx cos x sin nx sin x cos na cos a + sin na sin a 0 cos x cos a cos nx cos na 2 cos a cos x cos a cos nx cos x + sin nx sin x cos na cos a sin na sin a + dx cos x cos a = π 0 2 cos nx dx = 0, mert n > 0. 13
18 - λ 2 (2 cos a)λ + 1 = 0 λ 1,2 = 2 cos a ± 4 cos 2 a 4 = e ±ai 2 az alapmegoldások: (1, e ai, e 2ai, e 3ai,... ), (1, e ai, e 2ai, e 3ai,... ). c 1 + c 2 = 0, c 1 e ai + c 2 e ai = π π c 1 (2i sin a) = π c 1 = 2i sin a π - I n = (cos na+i sin na) π 2i sin a 2i sin a (cos na i sin na) = π sin na sin a 14
19 Differenciálegyenlet-rendszerek
20 D Elsőrendű explicit nemlineáris differenciálegyenlet-rendszer: x = f(t, x), ahol f : R R n R n, x : R R n Autonóm, ha időfüggetlen: x = f(x), ahol f : R n R n, x : R R n (1) Állandó együtthatós homogén lineáris (autonóm lineáris), ha x = Ax, ahol A R n n. (2) Az autonóm DER egy konstans x(t) = u megoldását egyensúlyi helyzetnek vagy egyensúlyi pontnak nev. Á A konstans u pontosan akkor egyensúlyi pontja az (1) egyenletnek, ha f(u) = 0. Á Invertálható A esetén a (2) lineáris DER egyetlen egyensúlyi helyzete a 0. T A R n n, t 0 R, x 0 R n 1 x : R R n diffható függvény, hogy t R : x (t) = Ax(t) és x(t 0 ) = x 0. 15
21 D Az x(t 0 ) = x 0 feltételt kezdeti feltételnek, az x (t) = Ax(t), x(t 0 ) = x 0 egyenleteket kezdetiérték-problémának hívjuk. Az {x(t) t R} R n halmaz az x(t) trajektóriája. m A tétel szerint a x (t) = Ax(t) DER megoldásainak trajektóriái átfedés nélkül lefedik R n minden pontját. c 1 e t P x c 2 e t = Ix mo: x(t) = = e t c, x = Ix mo: x(t) = e t c.. c n e t A trajektóriák az első esetben az origóból induló, de azt nem tartalmazó félegyenesek, és az origó, a második esetben az origóba futó, de azt nem tartalmazó félegyenesek, és az origó. 16
22 Fázisportrék R 2 -ben Fázisportré: néhány trajektóriát és/vagy néhány x pontban az x irányát jelző vektort ábrázol a fázissíkon: Az x = Ix és az x = Ix differenciálegyenlet-rendszerek fázisportréi. 17
23 [ ] P Oldjuk meg az x 1 = x 2 0 1, azaz x = x DER-t! x 2 = x [ ] c sin t M Nyilván megoldások az x(t) =, c 0 vektorértékű c cos t függvények. Mivel ezek a sík minden pontján átmennek, megadtuk az összes megoldást! - A fázisportré: 18
24 A fázistér D Az autonóm x = f(x) (f : R n R n ) egyenletrendszerek megoldásai az R n térben görbeként ábrázolhatók. Az R n teret fázistérnek, a trajektóriákat, és/vagy egy rács x pontjaiba húzott x vektorokat is tartalmazó ábrát fázisportrének nevezik. - Egy phase portrait mathlet - A Wikipédia a fázis-síkról, és az onnan származó rajz a következő oldalon: 19
25 A fázisportrék kapcsolata az együtthatómátrixszal 20
26 D Á B Az (a, b) intervallumon értelmezett x 1 (t), x 2 (t), x n (t) függvények függetlenek (a, b)-n, ha c 1 x 1 (t) + + c n x n (t) = 0 csak akkor állhat fenn minden t (a, b) helyen, ha c 1 = = c n = 0. Az x = Ax DER megoldásai n-dimenziós alteret alkotnak az R R n függvények terében. Ha x 1, x 2 megoldás, c R, akkor cx 1 + x 2 is alteret alkotnak. - L! x i megoldása az x i (0) = e i kezdetiérték-problémának (i = 1,..., n). - x 0 előáll az e i -k lin.komb.jaként k.é.p-nak van megoldása, ami az x i -k lin.komb.-jaként megkapható. - Az x i megoldások függetlenek, mert az e i -k is azok. K D Az összes megoldáshoz elég n független megoldást találni. Az x = Ax DER megoldásai terének valamely bázisát alaprendszernek nevezzük. 21
27 L A Jordan-blokkok függvénye alapján t λ t 2 t 2!... n 1 (n 1)! 0 λ t 0 1 t... n 2 (n 2)! J = 0 0 λ... 0 esetén e Jt = e λt t n 3 (n 3)! λ L (e At ) = Ae At B (e At ) 1 1 = k! (At)k = (k 1)! Ak t k 1 = k=0 k=1 1 A (k 1)! Ak 1 t k 1 = Ae At. k=1 22
28 Lineáris DER megoldása T B K K B Az x (t) = Ax(t), x(0) = x 0 kezdetiérték-probléma megoldása x(t) = e At x 0. (e At x 0 ) = Ae At x 0, vagyis megoldás, másrészt kielégíti a kezdeti feltételt, ui. e A0 x 0 = Ix 0 = x 0. Minden kezdeti feltételhez egyetlen megoldás van, és az összes megoldást megadja. e At oszlopvektorai alaprendszert alkotnak. Mivel minden megoldáshoz tartoznak kezdeti feltételek, és minden kezdetiérték-probléma megoldható az e At oszlopainak lineáris kombinációjaként, ezért minden megoldás e At oszlopainak lineáris kombinációja. 23
29 P Oldjuk meg az x = [ ] 2 1 x, x 0 = 1 4 [ ] 1 2 1M χ A (λ) = λ 2 6λ + 9 = (λ 3) 2 λ 1,2 = 3 - Sajátvektor: (1, 1)t, Jordan-lánc: ( 1, 1) (1, 0) [ ] [ ] [ ] C =, C 1 =, J = [ e - e Jt 3t te 3t ] [ ] t + 1 t = 0 e 3t, e At = Ce Jt C 1 = e 3t t t Az általános megoldás: x(t) = e At x 0 [ ] [ ] [ ] 1 t + 1 t 1 - x(t) = e At = e 3t 2 t t [ ] t + 1 = e 3t t
30 2M χ A (λ) = (λ 3) 2, J = [ ] 3 1 ; λ 1 = 3, m 1 = 2, j = 0, 1, i = 1 a 0 3 p (j) (λ i ) = f (j) (λ i ), j = 0, 1,..., m i 1, i = 1,..., k képletben. - f(x) = e xt, f (x) = te xt, - p(x) = ax + b, p (x) = a, f(3) = p(3) f (3) = p (3) e 3t = 3a + b te 3t = a a = te3t b = (1 3t)e 3t - p(x) = te 3t x + (1 [ 3t)e 3t ] [ ] [ ] t + 1 t e At = p(a) = te 3t + (1 3t)e 3t = e 3t t t + 1 [ ] [ ] [ ] [ ] 1 t + 1 t 1 t x(t) = e At = e 3t = e 3t 2 t t t
31 P Oldjuk meg (az előző feladat alapján) az x = [ ] 2 1 x, x 0 = 1 4 [ ] 1 2 kezdetiérték-problémát! M Az együtthatómátrix 1-szerese az előző feladaténak, így a sajátértékek λ 1,2 = 3 p(x) = te 3t x + (1 + 3t)e 3t az[ általános] megoldás: [ ] [ ] t + 1 t te 3t + (1 + 3t)e 3t = e 3t t t + 1 [ ] [ ] [ ] t + 1 t 1 t + 1 A k.é.p. megoldása: e 3t = e 3t t t t
32 Fázisportrék [ ] 2 1 x differenciálegyenlet- 1 4 [ ] 2 1 Az x = x és az x = 1 4 rendszerek fázisportréi. 27
33 [ ] 0 1 P Adjuk meg az x = x összes megoldását! 1 0 M χ(λ) = λ 2 + 1, λ = ±i Az Hermite-polinom p(x) = ax + b, a függvény f(x) = e xt : x = i : e ti = cos t + i sin t = ai + b x = i : e ti = cos t i sin t = a( i) + b a = sin t b = cos t p(x) = (sin t)x + cos t - A mátrix [ behelyetttesítése: ] [ ] e At [ = p(a) = (sin ] t)a + (cos t)i = cos t sin t sin t + cos t = sin t cos t [ ] cos t sin t Az összes megoldás: x(t) = x 0 sin t cos t [ ] c cos t F Korábban azt kaptuk, hogy az összes megoldás x(t) =. c sin t Van különbség a két eredmény között? Vagy csak más alakban kaptuk meg ugyanazt? 28
34 Egy alkalmazás P Három tartály mindegyikében szennyezett víz van, a szennyezőanyag mennyisége kezdetben c 1, c 2, c 3 a V liter mennyiségű vízben. A harmadik tartályba tiszta víz folyik C liter/sec sebességgel, minden tartályból ugyanekkora sebességgel folyik ki az összekeveredett víz. Mennyi a szennyezőanyag mennyisége a tartályokban t > 0 esetén, ha feltételezzük, hogy a víz nagyon gyorsan és egyenletesen összekeveredik. C liter/sec c 3 V c2 V V c 1 29
35 M Jelölje x i (t) az i-edik tartálybeli szennyező mennyiségét. t idő alatt C t mennyiségű tiszta víz folyik be, ugyanennyi ki, de a befolyó szennyező mennyisége 0, a kifolyóé x 3(t) C t. Így V x 3 (t) t = 0 x 3(t) V C t t x 3(t) = C V x 3(t). A másik két tartályba van befolyó szennyezés is, így a kapott három differenciálegyenlet mátrixalakban a következő: x 1 (t) x 2 (t) = C x 1 (t) x 3 (t) V x 2 (t) x 3 (t) 30
36 - Az e At az A Jordan-alakjából leolvasható, mivel az épp a Jordan-alak konstansszorosa. Így elég e At helyett e C V tj -t számolni: C 1 e At = e C V tj = e C V t V t 1 2 ( C V t)2 C 0 1 V t Innen a megoldás, figyelembe véve a kezdeti feltételeket is: C c x(t) = e At 1 c c 2 = e C V t 1 + c 2 V t + c ( C V t)2 C c 2 + c 3 V t c 3 c 3 31
37 Megoldások függetlensége T B Ha a W(x 1 (t),..., x n (t)) Wronski-determináns legalább egy pontban nem 0, akkor a függvények függetlenek, ahol x 11 (t) x 21 (t)... x n1 (t) x 12 (t) x 22 (t)... x n2 (t) W(x 1 (t),..., x n (t)) = x 1n (t) x 2n (t)... x nn (t) ahol x i = (x i1, x i2,..., x in ). trivi: ha W egy t helyen nem 0, akkor a c i -kre vonatkozó egyenletrendszer egyértelműen megoldható! (A tétel megfordítása nem igaz pl. (t 2, t), (t, 1).) 32
38 P Az x (t) = Ax(t) DER alaprendszerét alkotják e At oszlopai. Igazoljuk Wronski-determinánssal, hogy ezek lineárisan független függvények! M Az alaprendszer Wronski-detrminánsa det(e At ). det(e At ) = e t j λ j 0 egyetlen t helyen sem. 33
39 Differenciálegyenlet-rendszerek Stabilitás
40 Stabilitás D AMH az u egyensúlyi helyzetet stabil, ha bármely ε > 0-hoz létezik olyan δ > 0, hogy ha bármely olyan x(t) megoldásra, melyre x(0) = x 0 és x 0 u < δ, igaz hogy x(t) u < ε a t 0 intervallumon. AMH az u egyensúlyi helyzet instabil, ha nem stabil. AMH az u egyensúlyi helyzetet aszimptotikusan stabil, ha stabil, és van olyan α > 0, hogy ha x 0 u < α, akkor lim x(t) = u. t T Legyen σ(a) = {λ 1,..., λ s }. A x = Ax DER x(t) = 0 megoldása - pontosan akkor aszimptotikusan stabil, ha Re(λ i ) < 0 minden i = 1,..., s esetén. - pontosan akkor stabil, ha Re(λ i ) 0 minden sajátértékre, és ha valamelyik λ i sajátértékre Re(λ i ) = 0, akkor a geometriai és algebrai multiplicitások egyenlők. - instabil, ha Re(λ i ) > 0 valamely i = 1,..., s esetén. 34
41 P Jellemezzük a stabilitását az x(t) = 0 egyensúlyi helyzetnek az x = Ax DER esetén, ha A a következő mátrixok valamelyike: [ ] [ ] [ ] [ ] (a), (b), (c), (d) M (a) s.ért.: 1, 1, van köztük pozitív instabil (b) s.ért.: 2, de Re( 2) = 2 < 0 aszimptotikusan stabil (c) s.ért.: 0, 1, 2, mindegyik 0, a 0 algebrai és geometriai multiplicitása azonos stabil (d) s.ért.: ±i, Re(±i) = 0, algebrai és geometriai multiplicitásuk azonos stabil (ld. a korábbi fázisportré koncentrikus köreit) m Ha a kezdeti feltételen kicsit változtatunk, azaz x(0) = x 0 helyett y(0) = x 0 + h kezdeti feltételt vizsgáljuk, akkor az y(t) x(t) különbség 0 egyensúlyi helyzethez való viszonya jellemzi az x(t) stabilitását is, azaz az x(t) stabilitása megegyezik a 0 stabilitásával. 35
42 Differenciálegyenlet-rendszerek Differenciálegyenletek
43 Lineáris DE visszavezetése lineáris DER-re Á Az y (n) = a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) a n 1 y + a n y DE ekvivalens a következő DER-rel: y (n) a 1 a 2... a n 1 a n y (n 1) y (n 1) y (n 2). = y y y y 36
44 P Vezessük vissza az y + y 2y = 0, y(0) = 2, y (0) = 0, y (0) = 6 kezdetiérték-problémát egy megfelelő DER kezdetiértékproblémájára, és oldjuk meg. M A DE-hez tartozó DER: y y y 2 y = y y jelöléssel: y = y y y, y(0) = Meghatározzuk a DE általános megoldását. s.ért.: λ = 0, 1, 2 a Jordan-normálalak: J = diag(0, 1, 2) e Jt = diag(1, e t, e 2t ) y(t) = e At y 0 = Ce Jt C 1 y 0, ahol C oszlopai a Jordan-bázis elemei. Ezeket nem kell meghatároznunk, elég annyi, hogy y(t) az y(t) harmadik koordinátája, amely a J átlójában lévő függvények lineáris kombinációja, így a DE általános megoldása y(t) = c 1 + c 2 e t + c 3 e 2t. 37
45 - Megoldjuk a kezdetiérték-problémát! Ehhez már nincs szükség a DER-re: y = c 1 + c 2 e t + c 3 e 2t y(0) = 2 = c 1 + c 2 + c 3 c 1 = 1 y = c 2 e t 2c 3 e 2t y (0) = 0 = c 2 2c 3 c 2 = 2 y = c 2 e t + 4c 3 e 2t y (0) = 6 = c 2 + 4c 3 c 3 = 1 A k.é.p. megoldása y = 1 + 2e t + e 2t. 38
46 Wronski-determináns D T P Az I intervallumon értelmezett és ott legalább n 1-szer diffható y 1, y 2,, y n függvények Wronski-determinánsán a y 1 y 2... y n y 1 y 2... y n W(y 1, y 2,..., y n ) = y (n 1) 1 y (n 1) 2... y n (n 1) függvényt értjük. Ha az I intervallumon értelmezett és ott legalább n 1-szer diffható y 1, y 2,, y n függvények Wronski-determinánsa az I-n nem azonosan 0, akkor e függvények lineárisan függetlenek. A {cos t, t cos t} függvények bármely (a, b), (a > b) intervallumon cos t t cos t függetlenek, mert W(t) = sin t cos t t sin t = cos2 t bármely intervallum legalább egy pontjában nem 0. 39
47 B c 1 y 1 + c 2 y c n y n = 0 c 1 y (k) 1 + c 2 y (k) c n y (k) n = 0 (k = 0, 1,..., n 1) Az egyenletrendszer együtthatómátrixának determinánsa y 1 y 2... y n y 1 y 2... y n W(y 1, y 2,..., y n ) = y (n 1) 1 y (n 1) 2... y n (n 1) ami ha valamely t I helyen nem 0, az egyenletrendszer egyértelműen megoldható. m Az állítás megfordítása nem igaz: x 2, ha x > 0, x 2, ha x < 0, y 1 = y 2 = 0, egyébként 0, egyébként W(y 1, y 2 ) = 0, de a fv-ek függetlenek. 40
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Alkalmazások H607 2018-05-14 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf87 2017-11-21
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf81 2018-11-20
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
Részletesebben92 MAM143A előadásjegyzet, 2008/2009. x = f(t,x). x = f(x), (6.1)
9 MAM43A előadásjegyzet, 8/9 6. Stabilitáselmélet 6.. Autonóm nemlineáris rendszerek Legyen f : R R n R n. Ekkor az általános elsőrendű explicit nemlineáris differenciálegyenletrendszer alakja x = f(t,x.
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben5.1. Autonóm nemlineáris rendszerek
5. Stabilitáselmélet 87 5. Stabilitáselmélet 5.1. Autonóm nemlineáris rendszerek Legyen f : R R n R n. Ekkor az általános elsőrendű explicit nemlineáris differenciálegyenletrendszer alakja x = f(t,x).
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat Matematika BSc II/2, elemző szakirány
A sebesség fogalmának szemléltetése az Differenciálegyenletek gyakorlat Matematika BSc II/, elemző szakirány. gyakorlat ẋ(t) = lim h 0 x(t+h) x(t) h képlet alapján, ahol t jelöli az időt, x pedig az elmozdulást.
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. 1.-2. Gyakorlat 1 / 42 Numerikus differenciálás
Részletesebben4. Lineáris rendszerek
60 Hartung Ferenc: Differenciálegyenletek, MA22i, MA623d, 2006/07 4 Lineáris rendszerek 4 Lineáris algebrai előismeretek Legyen A egy n n-es mátrix, I az n n-es egységmátrix A pλ := deta λi n-edfokú polinomot
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat december 5.
Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
Részletesebben5. Lineáris rendszerek
66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenElhangzott tananyag óránkénti bontásban
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek (Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04) Elhangzott tananyag óránkénti bontásban 2016. február 15. 1. előadás. Közönséges differenciálegyenlet fogalma.
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
RészletesebbenA lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok
A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 1 / 75 Tartalom 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)
RészletesebbenMATEK-INFO UBB verseny április 6.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
Részletesebben