5. Lineáris rendszerek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "5. Lineáris rendszerek"

Átírás

1 66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/ Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő együtthatókat egy 2 2-es mátrixban, az x,x 2 ismeretleneket, illetve az egyenlet jobb oldalát pedig 2-dimenziós vektorokban tárolhatjuk, azaz legyen a a A = 2 x b a 2 a, x = 22 x, b = 2 b 2 Egy 2 2-es mátrix és egy kétdimenziós vektor szorzatát az a a 2 x a x a 2 a 22 x = + a 2 x 2 2 a 2 x + a 22 x 2 képlettel definiáljuk Ezért az 5-52 egyenletrendszert vektoriálisan az Ax = b 53 alakban írhatjuk fel Az első egyenletet a 22 -szereséből kivonva a második egyenlet a 2 -szeresét, kapjuk, hogy azaz, ha a a 22 a 2 a 2 0, akkor Hasonlóan kiszámítható, hogy A fenti képletek nevezőiben található a a 22 a 2 a 2 x = b a 22 b 2 a 2, x = b a 22 b 2 a 2 a a 22 a 2 a 2 x 2 = b 2a b a 2 a a 22 a 2 a 2 deta = a a 22 a 2 a 2 kifejezést az A mátrix determinánsának hívjuk Itt a mátrix főátlójában levő elemek szorzatából vonjuk le a mellékátlóban levő elemek szorzatát A determináns jelölésére szokás még a deta = a a 2 a 22 a 2 jelölést is használni Hasonlóan, egy 3 3-as mátrix és egy 3-dimenziós A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 x = x x 2 x 3

2 5 Lineáris rendszerek 67 vektor szorzatát a Ax = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 x x 2 x 3 képlettel definiáljuk Ebben az esetben az 53 egyenlet az lineáris egyenletrendszert jelöli, ahol = a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b a 2 x + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 3 x + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 b = Ebben az esetben az A mátrix determinánsát a b b 2 b 3 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 a 2 x + a 22 x 2 + a 23 x 3 a 3 x + a 32 x 2 + a 33 x 3 deta = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33 formulával definiáljuk Ezt a képletet úgy jegyezhetjük meg például, hogy leírjuk az A mátrix első két oszlopát a mátrix mellé: a a 2 a 3 a a 2 a 2 a 22 a 23 a 2 a 22, a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 és az így kapott kibővített mátrix fóátlóiban levő elemek szorzatainak összegéből levonjuk a mellékátlókban levő elemek összegét A mátrixok szorzását az általános esetben az alábbiak szerint értelemezzük: Legyen A egy n m dimenziós mátrix, B pedig egy m k dimenziós mátrix Ekkor az A és B mátrixok szorzata egy olyan n k dimenziós mátrix, amelynek ij-edik elemét a c ij = m a il b lj l= képlettel definiáljuk Egy négyzetes, n n dimenziós mátrix determinánsának fogalmát a 3 3-as esethez hasonlóan definiálhatjuk Azt az n n-es mátrixot, amelynek főátlójában csupa -es, az összes többi elemében pedig csupa 0 áll, n-dimenziós egységmátrixnak hívjuk és I-vel jelöljük Egy A n n-es mátrixot invertálható mátrixnak nevezünk, ha létezik egy A n n-es mátrix, amelyre AA = A A = I teljesül Ekkor az A mátrixot az A mátrix inverzének hívjuk 5 Tétel Tetszőleges n n-es A mátrixra az alábbi állítások ekvivalensek Az A mátrix invertálható 2 deta 0 3 Az Ax = b lineáris egyenletrendszernek minden b-re létezik egyértelmű megoldása Ha az Ax = b egyenletrendszernek létezik megoldása, akkor a megoldás az x = A b alakban felírható

3 68 MAM43A előadásjegyzet, 2008/ Tétel Az Ax = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csak akkor létezik nemtriviális x 0 megoldása, ha deta = 0 Az alábbi tételben összefoglaljuk a determináns néhány fontos tulajdonságát 53 Tétel Legyen A, B n n-es mátrixok Ekkor deta = 0, ha A egy sora vagy oszlopa azonosan nulla; 2 deta = 0, ha A két sora oszlopa azonos; 3 detab = deta detb; 4 deta = /deta; 5 Ha B-t úgy kapjuk az A mártixból, hogy annak valamely sorát oszlopát megszorozzuk egy c konstanssal, akkor detb = c deta 6 Ha B-t úgy kapjuk az A mártixból, hogy annak két sorát oszlopát felcseréljük, akkor detb = deta 7 Ha B-t úgy kapjuk az A mártixból, hogy annak egyik sorához oszlopához egy másik sor oszlop c-szeresét c R tetszőleges hozzáadjuk, akkor detb = deta 8 Jelölje A ij azt az n n -es mátrixot, amelyet az A mátrixból annak i-edik sora és j-edik oszlopa elhagyásával kapunk Ekkor a determináns i-edik sora szerinti sorfejtése deta = a j-edik oszlop szerinti sorfejtése pedig n i+j a ij deta ij, j= deta = n i+j a ij deta ij i= Azt mondjuk, hogy a H C n halmaz altér C n -ben, ha zárt a lineáris kombináció képzésre, azaz, ha x,y H, c,c 2 C, akkor c x + c 2 y H Azt mondjuk, hogy az x,,x m C n vektorok lineárisan függetlenek, ha valamely c,,c m C-re c x + + c m x m = 0, akkor c = = c m = 0 Azt mondjuk, hogy a H C n altér m-dimenziós, ha létezik x,,x m H lineárisan független vektorok, amelyre H = {c x + + c m x m : c,,c m C}, azaz a x,,x m vektorok lineáris kombinációi előállítják H bármely elemét Legyen A egy n n-es mátrix, I az n n-es egységmátrix A pλ := deta λi n-edfokú polinomot az A karakterisztikus polinomjának nevezzük, p gyökeit az A mátrix sajátértékeinek, az Aξ = λξ illetve az ezzel ekvivalens A λiξ = 0 egyenlet egy ξ 0 megoldását az A mátrix λ-hoz tartozó sajátvektorának nevezzük Ha λ k-szoros gyöke p-nek, akkor azt mondjuk, hogy λ algebrai multiplicitása k A sajátértékek és sajátvektorok lineáris algebrából ismert néhány fontos tulajdonságát a következő tételben foglaltuk össze

4 5 Lineáris rendszerek Tétel Legyen A egy n n-es valós mátrix i Az A mátrix λ sajátértékhez tartozó sajátvektorai lineáris alteret alkotnak C n -ben ii Ha λ valós, akkor a hozzá tartozó ξ sajátvektor választható valós vektornak iii Ha λ,,λ s páronként különböző sajátértékei A-nak, akkor a hozzá tartozó ξ,,ξ s sajátvektorok lineárisan függetlenek iv Ha A szimmetrikus mátrix, akkor sajátértékei valós számok, és megadható sajátvektorokból álló bázis C n -en v Ha A-nak létezik λ = α + iβ komplex sajátértéke a ξ = u + iv sajátvektorral u,v R n, akkor u és v lineárisan független vi Ha A-nak λ = α + iβ komplex sajátértéke a ξ = u + iv sajátvektorral, akkor λ = α iβ is sajátértéke a ξ = u iv sajátvektorral Az A mátrix λ sajátértékéhez tartozó sajátvektorok lineáris alterét más szóval a λ sajátérték sajátalterének nevezzük A λ sajátérték sajátalterének dimenzióját, azaz a λ-hoz tartozó lineárisan független sajátvektorok maximális számát a λ sajátérték geometriai multiplicitásának nevezzük Ismert, hogy egy sajátérték algebrai multiplicitása mindig nagyobb egyenlő, mint a geometriai multiplicitása Az előző tétel iv pontja szerint szimmetrikus mátrixok sajátértékének geometriai multiplicitása mindig megegyezik az algebrai multiplicitásával Amint azt az alábbi példák mutatják, nem szimmetrikus mátrixok esetében a geometriai multiplicitás lehet egyenlő, de lehet kisebb is, mint az algebrai multiplicitás 55 Példa Tekintsük az A = mátrixot Ennek karakterisztikus polinomja 5 λ 3 pλ = det 5 7 λ = λ 2 2λ + 20, ezért A sajátértékei λ = 2 és λ 2 = 0 Ekkor természetesen mindkét sajátérték egyszeres algebrai multiplicitású és egyben a geometriai multiplicitásuk is Tekintsük az 5 λ 3 ξ λ ξ = 2 sajátvektor egyenletet Először nézzük a λ = 2 sajátértéket Ezt behelyettesítve a fenti egyenletbe kapjuk 3ξ 3ξ 2 = 0 5ξ + 5ξ 2 = 0 A két egyenlet összefüggő, ezért az egyik egyenlet elhagyható Marad például az első egyenlet: 3ξ 3ξ 2 = 0 Ennek természetesen végtelen sok megoldása van: ξ = ξ 2 Egy lehetséges megoldás például ξ = Most vegyük a λ 2 = 0 sajátértéket Ebben az esetben a sajátvektor egyenlet amelynek egy lehetséges megoldása 5ξ 3ξ 2 = 0 5ξ 3ξ 2 = 0, ξ 2 = 3 5

5 70 MAM43A előadásjegyzet, 2008/ Példa Tekintsük az A = mátrixot Ennek karakterisztikus polinomja λ 0 pλ = det 5 λ 0 5 λ = λ 3 λ 2 λ + = λ 2 λ λλ = λ 2 λ + Így A sajátértékei λ = és λ 2 =, ahol λ egyszeres, λ 2 pedig kétszeres gyök, azaz λ algebrai multiplicitása, λ 2 algebrai multiplicitása pedig 2 A sajátvektor egyenlet most λ 0 5 λ 0 5 λ ξ ξ 2 ξ 3 = 00 Először vegyük a λ = sajátértéket Erre a fenti egyenletből kapjuk ξ + ξ 3 = 0 5ξ + 2ξ 2 + 5ξ 3 = 0 ξ + ξ 3 = 0 Az első és az utolsó egyenlet azonos, így az egyiket elhagyhatjuk: ξ + ξ 3 = 0 5ξ + 2ξ 2 + 5ξ 3 = 0 Ez a két egyenlet már független az egyik nem konstansszorosa a másiknak Így a három ismeretlen közül, ha az egyiknek az értékét rögzítjük, akkor a másik változó már egyértelműen meghatározott lesz Legyen például ξ 3 =, ekkor ξ = 5ξ + 2ξ 2 = 5 amelyből ξ = és ξ 2 = 5, azaz a λ = sajátértékhez tartozó egy lehetséges sajátvektor ξ = 5 0 Most tekintsük a λ 2 = sajátértéket Ebben az esetben ξ + ξ 3 = 0 5ξ + 5ξ 3 = 0 ξ ξ 3 = 0 Látható, hogy a második és a harmadik egyenlet is az első többszöröse, így mindkettő elhagyható: ξ + ξ 3 = 0

6 5 Lineáris rendszerek 7 Ekkor ξ = ξ 3 és ξ 2 pedig tetszőleges Így például a 0 ξ 2 = és ξ 3 = vektor a λ 2 sajátértékhez tartozó sajátvektora A-nak, és ezek a vektorok lineárisan függetlenek is az egyik nem konstansszorosa a másiknak Ezért a λ 2 sajátértékhez tartozó sajátaltér 2 dimenziós, azaz λ 2 algebrai multiplicitása és a geometriai multiplicitása is 2 57 Példa Tekintsük az A = mátrixot Ennek karakterisztikus polinomja 4 λ 5 pλ = det 4 5 λ 0 2 λ = λ 3 3λ 2 9λ + 27 = λλ 2 9 3λ 2 9 = λ 2 9λ 3 = λ 3 2 λ + 3 Ezért A sajátértékei λ = 3 és λ 2 = 3, ahol λ egyszeres, λ 2 pedig kétszeres gyök, azaz λ algebrai multiplicitása, λ 2 algebrai multiplicitása pedig 2 A sajátvektorok számításához tekintsük a 4 λ λ 0 2 λ ξ ξ 2 ξ 3 = 00 sajátvektor egyenletet Először nézzük a λ = 3 sajátértéket Erre a fenti egyenletből kapjuk ξ + ξ 2 + 5ξ 3 = 0 4ξ + 8ξ 2 + 0ξ 3 = 0 ξ + ξ 2 + 5ξ 3 = 0 Az első és az utolsó egyenlet azonos, így elhagyhatjuk az utolsót: ξ + ξ 2 + 5ξ 3 = 0 7ξ + 4ξ 2 + 5ξ 3 = 0 Két egyenlet maradt, így a sajátaltér egydimenziós Legyen például ξ 3 =, ekkor ξ + ξ 2 = 5 7ξ + 4ξ 2 = 5, amelyből ξ = 5 és ξ 2 = 0, azaz a λ = 3 sajátértékhez tartozó egy lehetséges sajátvektor 5 ξ = 0 0

7 72 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 Most vegyük a λ 2 = 3 sajátértéket Erre kapjuk 7ξ + ξ 2 + 5ξ 3 = 0 4ξ + 2ξ 2 + 0ξ 3 = 0 ξ + ξ 2 ξ 3 = 0 A második egyenlet az első kétszerese, így elhagyható: 7ξ + ξ 2 + 5ξ 3 = 0 ξ + ξ 2 ξ 3 = 0 A maradék két egyenlet már független, Így megint, ha ξ 3 = c, akkor a 7ξ + ξ 2 ξ + ξ 2 = 5c = c egyenlet egyértelműen megoldható: ξ = c és ξ 2 = 2c Így a λ 2 = 3 sajátértékhez tartozó tetszőleges sajátvektor felírható a 2 ξ 2 = c alakban, azaz a λ 2 sajátértékhez tartozó sajátaltér csak dimenziós, tehát λ 2 algebrai multiplicitása ugyan 2, de geometriai multiplicitása csak 52 Lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen I R egy nyílt intervallum, t 0 I, a ij,f j : I R i,j =,,n függvények, és tekintsük az x t = a tx t + + a n tx n t + f t x nt = a n tx t + + a nn tx n t + f n t n-dimenziós előrendű differenciálegyenlet-rendszert a hozzá tartozó x t 0 = z,, x n t 0 = z n kezdeti feltételekkel együtt Ekkor a fenti feladatot röviden az és az x = Atx + ft, t I, 54 vektoriális alakban írhatjuk fel, ahol A: I R n n, f : I R n, és xt 0 = z 55 At = a ij t n n, xt = x t,,x n t T, ft = f t,,f n t T, z = z,,z n T Az egész szakaszban feltesszük, hogy A és f folytonos függvények Tekintsük az 54 egyenlet homogén megfelelőjét: x = Atx, t I 56 A 326 Tételt erre a lineáris esetre alkalmazva kapjuk az alábbi eredményt

8 5 Lineáris rendszerek Tétel Ha A: I R n n és f : I R n folytonos függvények, akkor az kezdeti érték feladatnak minden z R n vektorra létezik egyértelmű megoldása az I intervallumon Most is könnyen látható, hogy a homogén egyenlet megoldásainak lineáris kombinációja szintén megoldása a homogén egyenletnek 59 Tétel Az 56 homogén lineáris egyenlet megoldásainak halmaza lineáris tér Az {x,,x n } halmazt az 56 homogén egyenlet fundamentális megoldáshalmazának vagy a megoldások alaprendszerének nevezzük, ha x,,x n megoldásai az 56 egyenletnek és lineárisan független függvények I-n Helyezzük el az x vektor értékű függvény képletét egy mátrix első oszlopában, az x 2 függvényt a második oszlopában, és így tovább, az x n függvényt az n-edik oszlopában A kapott mátrixot x t,,x n t jelöli Ennek a mátrixnak a determinánsát az x,,x n megoldások Wronski-determinánsának nevezzük: Megmutathatók az alábbi állítások Wt = detx t,,x n t 50 Tétel Az x,,x n függvények lineárisan függetlenek az I intervallumon, akkor és csak akkor, ha a Wronski-determinánsuk nem azonosan nulla I-n 5 Tétel Legyen x,,x n olyan megoldásai az 56 egyenletnek, amelyek az x t 0 = z,, x n t 0 = z n 57 kezdeti értékekhez tartoznak Ekkor az x,,x n függvények akkor és csak akkor lineárisan függetlenek az I intervallumon, ha a z,,z n vektorok lineárisan függetlenek, azaz Wt Tétel Az 56 egyenlet megoldásainak halmaza n-dimenziós lineáris tér 53 Konstans együtthatós homogén lineáris rendszerek Legyen A R n n, és tekintsük az konstans együtthatós homogén lineáris rendszert Keressük az 58 egyenlet megoldását az x = Ax, t R 58 xt = e λt ξ alakban, ahol ξ valós vagy komplex vektor Ekkor x t = λe λt ξ,

9 74 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 ezért visszahelyettesítve az 58 egyenletbe kapjuk, hogy ami pontosan akkor teljesül, ha λe λt ξ = Ae λt ξ, A λiξ = 0, azaz λ sajátértéke A-nak, ξ pedig a λ-hoz tartozó sajátvektora A-nak Az 52 Tétel szerint tehát elegendő n darab lineárisan független megoldást találni, mert ekkor ezek lineáris kombinációjaként az összes megoldás felírható Különböző eseteket különböztetünk meg eset: páronként különböző sajátértékek Tegyük fel, hogy λ,,λ n páronként különböző sajátértékei, ξ,,ξ n pedig a λ,,λ n sajátértékekhez tartozó sajátvektorai A-nak Lineáris algebrából ismert lásd az 54 Tételt, hogy ekkor ξ,,ξ n lineárisan független vektorok Kaptuk ekkor, hogy x t = e λ t ξ,, x n t = e λnt ξ n, t R 59 megoldásai az 58 egyenletnek Másrészt Wx,,x n 0 = detx 0,,x n 0 = detξ,,ξ n 0, hiszen ξ,,ξ n lineárisan függetlenek Ezért x,,x n lineárisan függetlenek, azaz 59 egy alaprendszere az 58 homogén egyenletnek Ebben az esetben az 58 egyenlet általános megoldása xt = c e λ t ξ + + c n e λnt ξ n Ha minden sajátérték valós, akkor az 59 alaprendszer valós függvényekből áll, de ha van komplex sajátértéke az együtthatómátrixnak, akkor az 59 függvények között komplex függvények is vannak A következő esetben azt mutatjuk majd meg, hogy ezeket a kompex megoldásokat mindig helyettesíteni lehet valós megoldásokkal 53 Példa Oldjuk meg az egyenletet az x = x0 = x 50 kezdeti értéket használva! Az együtthatómátrix sajátértéke λ = 2 és λ 2 = 0, a megfelelő sajátvektorok ξ =, T és ξ 2 = 3, 5 T Ezért az egyenlet általános megoldása xt = c e 2t + c 2 e 0t 3 5, 5 azaz komponensenként kiírva a megoldást A kezdeti feltételt alkalmazva x t = c e 2t + 3c 2 e 0t x 2 t = c e 2t 5c 2 e 0t c + 3c 2 = c 5c 2 = 0, amelynek megoldása c = 5/8 és c 2 = /8 Ezért a kezdeti érték feladat megoldása xt = 5 8 e2t + 8 e0t 3 5, 52

10 5 Lineáris rendszerek 75 azaz x t = 5 8 e2t e0t x 2 t = 5 8 e2t 5 8 e0t 2 eset: komplex sajátértékek Tegyük fel, hogy λ = α + iβ komplex sajátértéke A-nak, ξ = u + iv pedig a λ-hoz tartozó komplex sajátvektor Itt u a ξ vektor koordinátái valós részét, v pedig a képzetes részeit tartalmazó vektor Ekkor tudjuk, hogy λ = α iβ is sajátértéke A-nak és a hozzá tartozó sajátvektor pedig ξ = u iv Kapjuk, hogy xt = e λt ξ = e α+iβt u + iv = e αt cos βt + isin βtu + iv = e αt cos βtu sin βtv + icos βtv + sin βtu komplex értékű megoldása az 58 egyenletnek Most is, mint a skaláris lineáris egyenleteknél, könnyen látható, hogy a komplex megoldás valós ill képzetes része megoldása az 58 egyenletnek Azaz x t = e αt cos βtu sin βtv és x 2 t = e αt cos βtv + sin βtu megoldások, és az is igazolható, hogy x t és x 2 t mindig lineárisan függetlenek Így az általános megoldás képletében a e λt ξ és e λt ξ komplex megoldások helyettesíthetők az x,x 2 megoldásokkal 54 Példa Oldjuk meg az x = x, x0 = feladatot! Az együtthatómátrix sajátértéke λ = 6+3i és λ 2 = 6 3i, a megfelelő sajátvektorok ξ = 5, + 3i T és ξ 2 = 5, 3i T Az egyenlet egy komplex megoldása tehát e 6+3it 5 + 3i = e 6t 5 cos 3t + isin 3t + 3i = e 6t 5cos 3t + 5isin 3t cos 3t 3sin 3t + i3cos 3t + sin 3t Ezért az egyenlet általános megoldása xt = c e 6t 5cos 3t cos 3t 3sin 3t + c 2 e 6t 5sin 3t 3cos 3t + sin 3t A kezdeti feltételt alkalmazva 5c = 2 c + 3c 2 =,

11 76 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 amelynek megoldása c = 2/5 és c 2 = /5 Ezért a kezdeti érték feladat megoldása xt = e 6t 2cos 3t 2 5 cos 3t 6 5 sin 3t + e 6t sin 3t 3 5 cos 3t + 5 sin 3t = e 6t 2cos 3t + sin 3t cos 3t sin 3t 3/a eset: többszörös sajátérték A többszörös sajátérték esetét csak a 3-dimenziós esetben vizsgáljuk Az általánosabb eset hasonló, de jóval több eset fordul elő Először azt tesszük fel, hogy A-nak λ 3-szoros sajátértéke, de a λ sajátértékhez található ξ,ξ 2,ξ 3 3 db lineárisan független sajátvektor Ekkor x t = e λt ξ, x 2 t = e λt ξ 2, x 2 t = e λt ξ 3 három lineárisan független megoldása az egyenletnek, hiszen az x 0 = ξ, x 2 0 = ξ 2, x 3 0 = ξ 3 vektorok lineárisan függetlenek Így az általános megoldás alakja xt = e λt c ξ + c 2 ξ 2 + c 3 ξ 3 Egy második esetben tegyük fel, hogy A sajátértékei λ és λ 2, ahol λ kétszeres, λ 2 pedig egyszeres sajátérték, és λ -hez található két lineárisan független sajátvektor: ξ és ξ 2 A λ 2 - höz tartozó sajátvektort jelölje ξ 2 Ekkor is könnyen ellenőrizhető, hogy az egyenlet általános megoldása xt = e λ t c ξ + c 2 ξ 2 + c 3 e λ 2t ξ 2 55 Példa Oldjuk meg az x = egyenletet! Az 56 Példában láttuk, hogy az együtthatómátrixnak λ = egyszeres, λ 2 = pedig kétszeres sajátértéke A λ egy sajátvektora ξ =, 5, T, a λ 2 geometriai multiplicitása 2, és a hozzá tartozó ξ 2 =,0, T és ξ 3 =,, T sajátvektorok lineárisan függetlenek Ezért az egyenlet általános megoldása 0 xt = c e t 5 + c 2 e t + c 3 e t x Kétdimenziós esetben is hasonlóan írjuk fel a megoldás képletét, ha a kétszeres sajátértékhez két kineárisan független sajátvektor található 56 Példa Tekintsük az x = egyenletet Az együtthatómátrix sajátértéke 2, ami kétszeres A 2-höz tartozó sajátvektok 0 0 például és Ezért az egyenlet általános megoldása x [ ] xt = e 2t 0 0 c + c 2 = e 2t c c 2

12 5 Lineáris rendszerek 77 3/b eset: többszörös sajátérték Tegyük fel újra, hogy λ algebrai multiplicitása legalább 2, de geometriai multiplicitása csak Legyen ξ a λ-hoz tartozó sajátvektor Ekkor e λt ξ megoldás, de szükségünk van még egy, a λ sajátértékhez kapcsolódó, az előbbitől lineárisan független megoldásra A skaláris egyenletekre alkalmazott próbafüggvény módszerénél tapasztaltak alapján természetes egy újabb megoldást a te λt ξ + e λt η 53 alakban keresni Ezt behelyettesítve az 58 egyenletbe e λt ξ + λte λt ξ + λe λt η = Ate λt ξ + Ae λt η adódik Itt pontosan akkor kapunk azonosságot, ha a te λt és az e λt függvények együtthatói megegyeznek az egyenlet két oldalán: azaz ekvivalens alakban λξ = Aξ ξ + λη = Aη, A λiξ = 0 54 A λiη = ξ 55 Ekkor az 54 egyenlet szerint ξ a λ-hoz tartozó sajátvektora A-nak Az 55 egyenletet teljesítő η vektort az A mátrix λ sajátértékhez tartozó általánosított sajátvektorának nevezzük Nyilvánvalóan egy η általánosított sajátvektor nincs benne a λ sajátérték sajátalterében, hiszen egyébként teljesítené az 54 egyenletet, azaz az 55 egyenlet bármely η megoldása lineárisan független a ξ sajátvektortól Megmutatható a következő tétel 57 Tétel Legyen λ egy olyan sajátértéke az A mátrixnak, amelynek geometriai multiplicitása kisebb, mint az algebrai multiplicitása Ekkor az 55 egyenletnek létezik legalább egy η megoldása, amely nem eleme az A mátrix összes sajátvektorai által generált lineáris altérnek 58 Példa Tekintsük az x = 3 egyenletet Ennek karakterisztikus polinomja λ pλ = det 3 λ = λ 2 4λ + 4 = λ 2 2, x ezért a λ = 2 sajátérték algebrai multiplicitása kétszeres Tekintsük az λ ξ 00 3 λ ξ = 2 sajátvektor egyenletet A λ = 2 sajátértéket behelyettesítve a fenti egyenletbe kapjuk ξ + ξ 2 = 0 ξ + ξ 2 = 0 Ennek egy lehetséges megoldása például ξ =,

13 78 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 és látható, hogy minden másik sajátvektor ennek konstansszorosa, azaz a λ = 2 sajátérték geometriai multiplicitása A megoldás képletéhez ezért szükségünk van az általánosított sajátvektor felírására Tekintsük a λ 3 λ η η 2 = ξ ξ 2 általánosított sajátvektor egyenletet Behelyettesítve λ és ξ értékétm kapjuk, hogy η + η 2 = η + η 2 = Látható, hogy az egyik egyenlet elhagyható, így végtelen sok η adható meg Egy lehetséges megoldás a 0 η = vektor Ezért az 53 képlet szerint a te λt ξ + e λt η = te 2t + e 2t 0 = e 2t t t + megoldása az egyenletnek Ez látható, hogy lineárisan független az első megoldástól, ezért az egyenlet általános megoldása xt = c e 2t + c 2 e 2t t t + = e 2t c + c 2 t c + c 2 t + alakban írható fel 59 Példa Oldjuk meg az x = egyenletet! Az 57 Példában láttuk, hogy az együtthatómátrixnak λ = 3 egyszeres, λ 2 = 3 pedig kétszeres sajátértéke A λ egy sajátvektora ξ = 5, 0, T, a λ 2 geometriai multiplicitása pedig csak, és ξ 2 =,2, T egy lehetséges sajátvektora Szükségünk van tehát a harmadik megoldás képletéhez a λ 2 = 3-hoz tartozó η általánosított sajátvektorra Az 55 egyenletet alkalmazzuk, ahol a jobb oldalon a ξ = ξ 2 vektort használjuk: 7η + η 2 + 5η 3 = 4η + 2η 2 + 0η 3 = 2 η + η 2 η 3 = A második egyenlet elhagyható, hiszen az első egyenlet kétszerese: x 7η + η 2 + 5η 3 = η + η 2 η 3 = A kapott két egyenlet már független Legyen például η = 0, ekkor η 2 + 5η 3 = η 2 η 3 =,

14 5 Lineáris rendszerek 79 amelynek megoldása η 2 = és η 3 = 0, azaz η = 0 0 Az egyenlet általános megoldása tehát [ ] xt = c e 3t 0 + c 2 e 3t + c 3 te 3t + e 3t 520 Példa Tekintsük az x = egyenletet Az együtthatómátrix karakterisztikus polinomja 5 λ 2 pλ = det 5 λ 2 2 λ x = λ 3 + 2λ 2 48λ + 64 = λ 4 3 Így A-nak λ = 4 háromszoros algebrai multiplicitású sajátértéke A sajátvektor egyenlet Most elhagyható két egyenlet is Marad ξ + ξ 2 + 2ξ 3 = 0 ξ + ξ 2 + 2ξ 3 = 0 ξ ξ 2 2ξ 3 = 0 ξ + ξ 2 + 2ξ 3 = 0 Két szabadsági fokunk van, tehát találhatunk két lineárisan független megoldását az egyenletnek Ilyen például 20 ξ = és ξ 2 = 0 Szükségünk van tehát általánosított sajátvektorra is a harmadik megoldás képletéhez Ennek egyenlete η + η 2 + 2η 3 = ξ η + η 2 + 2η 3 = ξ 2 η η 2 2η 3 = ξ 3, ahol ξ = ξ,ξ 2,ξ 3 T egy sajátvektora az együtthatómátrixnak Látható, hogy az egyenlet jobb oldalára sem a ξ, sem a ξ 2 vektor nem írható, hiszen ezekre nem oldható meg az egyenletrendszer Keressük tehát a jobb oldalt ξ = c ξ + c 2 ξ 2 alakban Ekkor az η + η 2 + 2η 3 = c 2c 2 η + η 2 + 2η 3 = c η η 2 2η 3 = c 2

15 80 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 egyenletrendszert kapjuk Ez pontosan akkor oldható meg, ha c 2c 2 = c és c 2c 2 = c 2, azaz c = c 2, például c = és c 2 = Ekkor ξ =, így az általánosított sajátvektor egyenlete Most is csak egy egyenlet marad amelynek egy lehetséges megoldása például η + η 2 + 2η 3 = η + η 2 + 2η 3 = η η 2 2η 3 = η + η 2 + 2η 3 =, η = 0 Ezért az egyenlet általános megoldása [ 0 xt = e 4t c + c c 3 t + c 3 0 ] 3/c eset: többszörös sajátérték Tegyük fel újra, hogy a 3 3-as A mátrix λ sajátértékének algebrai multiplictása 3, geontban leírtak szerint tekintsük az 55 általánosított sajátérték egyenletnek létezik egy η megoldása, de tegyük fel, hogy az az 55 egyenletnek nincs másik, az elsőtől lineárisan független megoldása Ekkor szükségünk van még egy, a λ-hoz tartozó megoldásra Keressük ezt az xt = 2 t2 e λt ξ + te λt η + e λt ω alakban Könnyen ellenőrizhető, hogy a fenti xt függvény pontosan akkor megoldása az 58 egyenletnek, ha A λiξ = 0, A λiη = ξ, A λiω = η A fenti ω vektort az A mátrix λ sajátértékhez tartozó másodrendű általánosított sajátvektorának nevezzük 52 Példa Tekintsük az x = x

16 5 Lineáris rendszerek 8 egyenletet! Számítsuk ki az együtthatómátrix sajátértékeit: 7 λ pλ = det 8 4 λ 4 7 λ = λ 3 + 8λ 2 08λ + 26 = λ 6 3, így λ = 6 háromszoros sajátértéke az együtthatómátrixnak A sajátvektoregyenlet ξ ξ 2 =, ξ 3 0 amiből Legyen például ξ 3 =, ekkor ξ ξ 2 ξ 3 = 0 8ξ 2ξ 2 + 4ξ 3 = 0 ξ ξ 2 = 8ξ 2ξ 2 = 4, amelynek megoldása ξ = és ξ 2 = 2 A megfelelő sajátvektor tehát ξ = 2, a sajátérték geometriai multiplicitása tehát csak Szükségünk van általánosított sajátvektorra, amelynek egyenlete: η η 2 = 2, η 3 azaz η η 2 η 3 = 8η 2η 2 + 4η 3 = 2 η + η 2 + η 3 = Most is elhagyható a harmadik egyenlet, de az első két egyenlet már független: η η 2 η 3 = 8η 2η 2 + 4η 3 = 2 Ennek egy lehetséges megoldása η = 0, η 2 = és η 3 = 0, azaz 0 η =, 0 de ettől lineárisan független második megoldása már nincs az egyenletnek Ezért keresünk másodrendű általánosított sajátvektort is: ω ω 2 = ω 3 0

17 82 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 Az egyenletrendszernek létezik megoldása, hiszen a harmadik egyenlet elhagyható: Egy megoldás például ω ω 2 ω 3 = 0 8ω 2ω 2 + 4ω 3 = ω = Az egyenlet általános megoldása tehát { 0 xt = e 6t c 2 + c 2 [t /6 /6 0 ] + c 3 [ t t /6 /6 0 ]} 54 Fundamentális mátrix és Cauchy-mátrix Tegyük fel, hogy az x = Atx, t I, 56 homogén lineáris egyenletnek ismerjük egy x t,, x n t, t I fundamentális rendszerét A Ψt = x t,,x n t, t I mátrix értékű függvényt az 56 rendszer fundamentális mátrixának vagy más szóval alapmátrixának hívjuk Ekkor Wx,,x n = detψt a megoldások Wronski-determinánsa A Wronski-determináns tulajdonságaiból következik, hogy Ψt invertálható minden t I-re Jelölje Ψ t a Ψt mátrix inverzét Az 56 egyenlet általános megoldása felírható az xt = c x + + c n x n alakban Ezt a Ψt fundamentális mátrix segítségével röviden az xt = Ψtc 57 alakban írhatjuk fel, ahol c = c,,c n T egy tetszőleges konstans vektor Ha az 56 egyenlethez tekintjük az xt 0 = z 58 kezdeti feltételt, akkor az kezdeti érték feladat megoldását az 57 formulában azon c vektor adja, amelyre z = Ψt 0 c, azaz c = Ψ t 0 z Ezt visszahelyettesítve az 57 képletbe kapjuk, hogy az kezdeti érték feladat megoldásának képlete xt = ΨtΨ t 0 z, t I 59

18 5 Lineáris rendszerek 83 Egyszerű számolással kapjuk, hogy Ψ t = x t,,x n t = Atx t,,atx n t = Atx t,,x n t = AtΨt A fundamentális mátrix fenti tulajdonságait összefoglalhatjuk a következő tételben: 522 Tétel Legyen Ψt, t I egy fundamentális mátrixa az 56 rendszernek Ekkor i Ψt invertálható minden t I-re; ii az 56 egyenlet általános megoldásának képlete xt = Ψtc, t I, c R n ; iii az kezdeti érték feladat megoldásának képlete xt = ΨtΨ t 0 z, t I; iv a fundamentális mátrix teljesíti a Ψ t = AtΨt mátrix differenciálegyenletet 523 Példa Tekintsük újra az 53 Példában vizsgált 50 egyenletet Ennek általános megoldását megadtuk az 5 képletben Az ebben szereplő két megoldást elhelyezve egy mátrix oszlopaiban kapjuk a e 2t 3e Ψt = 0t e 2t 5e 0t mátrixot, amely egy lehetséges fundamentális mátrixa az 50 egyenletnek 524 Példa Könnyen ellenőrizhető, hogy az 54 feladatban vizsgált egyenlet egy fundamentális mátrixa 5e Ψt = 6t cos 3t 5e 6t sin 3t e 6t cos 3t 3sin 3t e 6t 3cos 3t + sin3t Mivel végtelen sok fundamentális rendszer választható a megoldások teréből, ezért egy homogén lineáris rendszernek végtelen sok fundamentális mátrixa létezik Egy speciális fundamentális mátrix az a Φt-vel jelölt fundamentális mátrix, amelyre a Φ0 = I kezdeti feltétel teljesül, azaz amelynek oszlopvektorai azok az x t,,x n t megoldásai az 56 egyenletnek, amelyek az x 0 = e,, x n 0 = e n kezdeti feltételekhez tartoznak Itt e j a j-edik standard bázisvektor R n -ben, azaz j-edik koordinátája, az összes többi pedig 0 Erre a speciális fundamentális mátrixra az 59 formula az xt = Φtz, t I 520 képletre egyszerűsödik 525 Példa Tekintsük újra az 53 és 523 Példákban vizsgált 50 egyenletet Írjuk fel most a rendszer Φt fundamentális mátrixát! Ehhez azt a két megoldását használjuk az 50 egyenletnek, amelyek az x 0 0 = illetve x =

19 84 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 kezdeti feltételekhez tartoznak x -et meghatároztuk az 53 Példában lásd az 52 képletet: x t = 5 8 e2t e0t 5 x 2 meghatározásához az 5 általános megoldás képletébe helyettesítjük be a kezdeti feltételt: c + 3c 2 = 0 c 5c 2 =, amelyből c = 3/8 és c 2 = /8 adódik, azaz x 2 t = 3 8 e2t 8 e0t 3 5 Ezért a keresett fundamentális mátrix 5 8 Φt = e2t e0t 3 8 e2t 3 8 e0t 5 8 e2t 5 8 e0t 3 8 e2t e0t Megmutatható a következő állítás: 526 Tétel Legyen Ψt, t I egy fundamentális mátrixa az 56 egyenletnek, P R n n egy invertálható konstans mátrix Ekkor a Ψt = ΨtP 522 mátrix is fundamentális mátrixa az 56 egyenletnek Fordítva, ha Ψt, Ψt t I két fundamentális mátrixa az 56 egyenletnek, akkor létezik olyan P R n n invertálható konstans mátrix, hogy 522 teljesül Az 59 képlet motiválja a következő definíciót: az Ut,t 0 = ΨtΨ t 0 mátrixot az 56 egyenlet Cauchy-mátrixának nevezzük Az 526 tétel segítségével könnyen megmutatható, hogy különböző fundamentális mátrixokra felírt Cauchy-mátrixok azonosak, azaz az 56 egyenlet Cauchy-mátrixa egyértelműen definiált Legyen ugyanis Ψt egy másik fundamentális mátrix Ekkor 522 teljesül, ezért Ψt Ψ t 0 = ΨtPΨt 0 P = ΨtPP Ψ t 0 = ΨtΨ t 0 A következő tételben összefoglaltuk a Cauchy-mátrix néhány alapvető tulajdonságát: 527 Tétel Legyen Ut,t 0 az 56 rendszer Cauchy-mátrixa Ekkor i Ut,t 0 invertálható minden t,t 0 I-re, és U t,t 0 = Ut 0,t; ii Ut,t 0 = Ut,sUs,t 0 minden t,t 0,s I-re; iii az kezdeti érték feladat megoldása xt = Ut,t 0 z, t I; iv t Ut,t 0 = AtUt,t 0, Ut 0,t 0 = I

20 5 Lineáris rendszerek 85 Bizonyítás: i Az állítás következik a Ut,t 0 Ut 0,t = ΨtΨ t 0 Ψt 0 Ψ t = ΨtΨ t = I számolásból ii U definícióját felhasználva kapjuk: Ut,sUs,t 0 = ΨtΨ sψsψ t 0 = ΨtΨ t 0 = Ut,t 0 iii Az 522 Tétel iii pontjából következik iv Az 522 Tétel iv pontja szerint t Ut,t 0 = Ψ tψ t 0 = AtΨtΨ t 0 = AtUt,t 0 55 Mátrix exponenciális függvény Valós vagy komplex x-re az e x függvény egy lehetsége definíciója az e x = + x + x xk k! + hatványsorral történhet Ennek mintájára egy n n-es A mátrixra definiáljuk az e A mátrix exponenciális kifejezést az e A = I + A + A Ak + k! formális végtelen sorral Megmutatható, hogy ez a sor konvergens Definiálhatjuk ezért a Φt = e At A k t k = k! k=0 523 mátrix függvényt Megmutatható,hogy ez a végtelen sor konvergens minden t-re, sőt differenciálható, és Φ t = k Ak t k A k t k A k t k = A = A = AΦt k! k! k! A definíció alapján k= k= Φ0 = e A0 = I Az e At mátrix exponenciális függvény tulajdonságait a következő tételben foglalhatjuk össze k=0 528 Tétel Az e At mátrix exponenciális függvényre i e At e As = e At+s minden t,s R-re; ii e At invertálható, és inverze e At ; iv e A0 = I; v e At differenciálható minden t-re, és d dt eat = Ae At ;

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

92 MAM143A előadásjegyzet, 2008/2009. x = f(t,x). x = f(x), (6.1)

92 MAM143A előadásjegyzet, 2008/2009. x = f(t,x). x = f(x), (6.1) 9 MAM43A előadásjegyzet, 8/9 6. Stabilitáselmélet 6.. Autonóm nemlineáris rendszerek Legyen f : R R n R n. Ekkor az általános elsőrendű explicit nemlineáris differenciálegyenletrendszer alakja x = f(t,x.

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij.. Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Diszkrét Matematika II.

Diszkrét Matematika II. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5.

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5. Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll Lineáris algebra Def: Def: Mátrix: egy téglalap alakú számtáblázat, minden helyén valós, vagy komplex szám áll A = [a i j n x m n: A sorainak száma, m: A oszlopainak száma négyzetes mátrix: n x n-es mátrix

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Az előadásokon ténylegesen elhangzottak rövid leírása

Az előadásokon ténylegesen elhangzottak rövid leírása TTK, Matematikus alapszak, Differenciálegyenletek (előadás, gyakorlat) Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04. Követelmény: Előadás 4/0/0/v/4; Gyakorlat 0/020/f/2 Tananyag (általános megjegyzések).

Részletesebben

Matematika A3 1. ZH+megoldás

Matematika A3 1. ZH+megoldás Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

A parciális törtekre bontás?

A parciális törtekre bontás? Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Matematika Plus 1 építőmérnök hallgatóknak

Matematika Plus 1 építőmérnök hallgatóknak Matematika Plus építőmérnök hallgatóknak Simon Károly.5. Tartalomjegyzék. I. előadás 3.. Kiegészítés az A-ben tanultakhoz: Determináns....... 3... Elemi sor transzformációk hatása a determinánsra:. 5...

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

3. Elsőrendű differenciálegyenletek

3. Elsőrendű differenciálegyenletek 32 MAM143A előadásjegyzet, 2008/2009 3. Elsőrendű differenciálegyenletek 3.1. Alapvető fogalmak Differenciálegyenleten egy olyan egyenletet értünk, amelyben a keresett ismeretlen egy függvény, és a függvény

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

Matematika MSc Építőmérnököknek. Szerző: Simon Károly

Matematika MSc Építőmérnököknek. Szerző: Simon Károly Matematika MSc Építőmérnököknek Szerző: Simon Károly Matematika MSc Építőmérnököknek A jegyzet nagyobb részét Dr. Simon Bakos Erzsébet gépelte Latex szövegszerkesztőben. Tartalomjegyzék 1. Az A-ben tanult

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben