dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár"

Átírás

1 dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI. MATEMATIKAI INDUKCIÓ III. HALMAZOK. FÜGGVÉNYEK. ELSŐFOKÚ FÜGGVÉNY IV. HALADVÁNYOK V. MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNY

2 1. Racioális számok. A racioális számok előállítása szakaszos tizedes törtek segítségével 1.1. Előkészítő fogalmak Már az előző osztályokba szükségessé vált a természetes, illetve az egész számok halmazáak bővítése. Az m + x = alakú egyelet (ahol m és természetes szám) megoldása szükségessé tette a természetes számok N = {0, 1,, } halmazáak az egész számok Z = {,, 1, 0, 1,, } halmazává törtéő bővítését. Ez utóbbi halmazt is bővítei kellett azért, hogy a qx = p (ahol p és q egész számok és q g 0) alakú egyeletet meg lehesse oldai. Így a racioális számok Q = { q p p, q c Z, q g 0} halmazához jutottuk. Értelmeztük a műveleteket a racioális számokkal, és ezeket a számokat tizedes törtekkel is jellemeztük, amire külööse a gyakorlati feladatok sorá volt szükség. A gyakorlatba a racioális számokat redszerit tizedes tört alakjába ábrázoljuk (állítjuk elő). A számtaból ismert, hogy az osztás segítségével bármely emegatív m (m ú 0, > 0) racioális szám véges vagy végtele (végtele tizedesjegyet tartalmazó) tizedes tört alakjába írható fel. Így az 4 1 helyett 0,5-öt, az 8 5 helyett 0,65-öt, az 3 1 helyett 0,333 -at lehet íri. Az egységesség kedvéért a véges tizedes törteket is jobb felől hozzájuk írt végtele sok ullával végtele tizedes törtekek tekithetjük. Így mide tizedes tört végtele sok tizedesjegyből fog álli. Például: 1 = 0, ; 5 = 0, Nyilvávaló, hogy az egész számok olya tizedes törtek leszek, ahol a tizedesvessző utá végtele sok ulla következik. Például: 5 = 5,000 ; 13 = 13,000. 4

3 Ily módo mide emegatív racioális m szám végtele tizedestört alakjába írható: m = a0,a 1 a a 3. Az a 0 szám az m egész része, a 0,a1 a a 3 szám pedig a tört része. Az a 1, a, a 3, számok (tizedesjegyek) értéke 0 és 9 közötti egész szám: 0 ñ a i ñ 9, i = 1,, 3,. Figyeljük meg, hogy a egatív racioális számokat is hasoló módo lehet íri. A egatív szám egész részét a fölé írt míuszjellel jelöljük. Így például a 5 1 = 3 + számot a 3,5000 alakba lehet felíri. Hasoló módo 0,31 = 1,679000, 1 5 = 5, = 6 + = 6, Ezáltal bármely (egatív, pozitív vagy ulla) racioális szám az m = a0,a 1 a a 3 (1) m végtele tizedes tört alakba írható, ahol a 0 az egész része, a 0,a1 a a 3 pedig e szám törtrésze (az a 0 egész szám, az a 1, a, a 3, tizedesjegyek pedig 0 és 9 közötti egész számok). Bármely (1) alakba felírt racioális szám esetébe a 0,a 1 a a 3 törtrész egy 1-él kisebb pozitív szám. A egatív racioális számok ily módo törtéő tizedes törttel való felírása (ahol a törtrész pozitív szám) lehetővé teszi a pozitív és egatív valós számok egységes tárgyalását. Megjegyzés. A egatív számokak a feti módo való felírásával a logaritmusokkal való gyakorlati számítások esetébe találkozuk. 1.. Szakaszos (periodikus) tizedes törtek Vizsgáljuk meg a racioális számokat ábrázoló tizedes törteket. Előzőleg értelmezzük a szakaszos tizedes tört fogalmát! Értelmezés. Egy a 0,a 1 a a 3 végtele tizedes törtet szakaszosak evezük, ha va olya k és p természetes szám, amelyre a +p = a bármely ú k eseté. 5

4 Egy szakaszos tizedes törtet rövide az a 0,a 1 a a k 1 (a k a k+1 a k+p 1 ) alakba szokás felíri. A zárójelbe szereplő számjegyek (ebbe a sorredbe) a tizedes tört szakaszát (periódusát) képezik. A k = 1 esetbe, azaz amikor az ismétlődő szakasz midjárt a tizedesvessző utá kezdődik, a tizedes törtet tiszta szakaszosak evezzük, ellekező esetbe vegyes szakaszos tizedes törtről beszélük. Az előző számpéldákba említett tizedes törtek szakaszosak voltak. Például a 0,333 szám esetébe k = 1, p = 1, és bármely ú 1-re a +1 = a = 3. A felírási mód: 0,333 = 0,(3). Ez egy tiszta szakaszos tizedes tört. Láttuk, hogy a véges tizedes törtek (ullák hozzáadásával) végtele szakaszos tizedes törtekek tekithetők. Például a 0,5000 eseté k = 3, p = 1, és a +1 = a = 0, ha ú 3. A 0,65000 szám eseté pedig k = 4, p = 1, a +1 = a = 0, ha ú 4. Tehát 0,5000 = 0,5(0) és 0,65000 = 0,65(0). Ezek tehát vegyes szakaszos tizedes törtek. Végül a 15,73434 tizedestört is szakaszos és a 15,7(34) alakba írható fel. Említettük, hogy egy racioális szám tizedestört-alakba való felírása az osztás segítségével törtéik. Vegyük például az 5 és a 19 számot példa. példa , , A tizedesvessző utái számjegyeket egy-egy részosztással kapjuk: példa. példa A részosztásokál az osztadó a tízzel megszorzott előző maradék (azaz egy ullát íruk a jobb oldalára). De a részosztások maradékai midig kisebbek az osztóál. Ezért véges számú ilye osztás utá vagy a kezdeti osztadót kapjuk vissza (1. példa), vagy egy olya maradékot, amely már szerepelt (. példa). 6

5 Ettől a lépéstől kezdve em kell az osztást tovább folytatuk, mivel az 5-ek a 33-mal, illetve a 19-ek az 55-tel való osztási háyadosába a számjegyek ismétlődi fogak. Ezért 5 19 = 0, ( 15) ; = 0,3( 45) Általába igaz, hogy: 1. tétel. Mide racioális szám olya szakaszos tizedes tört alakjába írható fel, melyél a szakasz em (9). Bizoyítás. Tetszőleges a racioális szám az a = a 0 + a' alakba írható, ahol a 0 egy egész szám (az a egész része), az a' pedig 1-él kisebb emegatív racioális szám. Ha az a' olya szakaszos tizedes tört, melybe a szakasz em (9), akkor az a egész része az a 0 szám, törtrésze pedig az a'. Ezért a tétel m m bizoyításához elég csak olya racioális számot vei, amelyre 0 ñ < 1. m Legye tehát (m ú 0, > 0) egy ilye racioális szám. Az m-et az -el osztva a részletmaradékok a 0, 1,,, 1 számok közül kerülek ki. Mivel legfeljebb darab külöböző maradék lehetséges, legtöbb számú részletosztás utá valamelyik maradék ismétlődi fog, és emiatt egy szakaszos tizedes törtet foguk kapi. Kimutatjuk, hogy egy racioális számhoz redelt szakaszos tizedes tört szakasza em lehet (9). Tegyük fel ad absurdum, hogy a tört szakasza (9). Ez esetbe az osztási eljárás folyamá kapuk egy olya r maradékot, melyet ha 10- zel szorzuk és -el osztuk, a háyados 9 és a maradék ismét r lesz. Tehát a maradékos osztás értelmébe a 10r = 9 + r, r < egyelőséget kapjuk, ahoa 9r = 9, azaz r = lee, ami elletmod az r < feltevések. Megjegyzés. Véges (azaz (0) szakaszú) tizedes törtet akkor kapuk, ha az osztási eljárás sorá egy ulla maradékot kapuk. Ezutá az összes maradék mid ulla lesz. A részletosztásokat az előző példákból így írjuk: 1. példa 50 = ; 170 = Az első egyelőséget 10-zel szorozva és a másodikat felhaszálva kapjuk, hogy 500 = ( ) 10 = = ( ) = Tehát: = , azaz a szám 33-mal való osztási maradéka 5.. példa 190 = ; 50 = ; 300 = Az első egyelőséget 100-zal szorozva és a többieket felhaszálva írhatjuk: = ( ) 100 = = ( ) 10 = = = = Tehát: = és = , azaz a 345 az szám 55-tel való osztási háyadosa, 3 pedig a szám 55-tel való osztási maradéka lesz. 7

6 A továbbiakba kimutatjuk, hogy az előző tétel fordítottja ugyacsak igaz. Vegyük előbb két példát: 1) Tekitsük a 0,(43) tiszta szakaszos tizedes törtet. Ha va olya m racioális szám, melyből osztással 0,(43)-at kapuk, akkor a 100m szám -el való osztási háyadosáak az egész része 43 lesz, és a szakaszosság miatt az osztás maradéka m-mel lesz egyelő. Tehát 100m = 43 + m, ahoa 99 m = 43. m 43 A keresett racioális szám =. 99 Igazolás. Ha a 43-at 99-cel osztjuk az osztási eljárással, a 0,(43) tizedes törtet kapjuk. m ) Vegyük a 0, 41(3) vegyes szakaszos tizedes törtet. Ha va olya racioális szám, melyből az osztás elvégzése utá a feti tizedes tört keletkezik, akkor m szám -el való osztási háyadosáak az egész része 4 13, a 100m szám -el való osztási háyadosáak egész része pedig 41 lesz. A szakaszosság miatt a feti két osztás maradéka ugyaaz a szám. Tehát: m = r 100m = 41 + r, ahoa kivoással kapjuk, hogy 9 900m = ( ). A keresett racioális szám: m = = Igazolás. Ha a 4 08 számot zal osztjuk, a 0, 41(3) tizedes számot kapjuk. Általáosa kimodhatjuk, hogy:. tétel. Mide olya szakaszos tizedes tört, melybe a szakasz em (9), egy közöséges törttel, azaz egy racioális számmal egyelő. Legye a 0, a 1 a a k 1 (a k a k+1 a k+p 1 ) (1) egy szakaszos tizedes tört, melybe a szakasz em (9). Ki kell mutassuk, hogy va olya racioális szám (törtszám), melyek számlálóját a evezőjével osztva az (1) számot kapjuk. Nem bizoyítjuk ezt a tételt. Megjegyezzük viszot, hogy az előző két példa rávilágít az általáos esetbe is a keresett racioális szám meghatározási módjára. Így: 1 o Ha k = 1, azaz, ha a tizedes tört tiszta szakaszos, akkor: aa... a 1 p a, 0 ( aa... a 1 p ) = a (az egyelőség jobb oldalá az a 1 a a p az a természetes szám, melyek számjegyei redre a 1, a, a p ). p szer 8

7 o Ha k > 1, azaz vegyes szakaszos tizedes tört esetébe felírhatjuk, hogy: a 0, a 1 a a k 1 (a k a k+1 a k + p 1 ) = aa... a aa... a aa... a 1 k 1 k k+ 1 k+ p 1 1 k 1 = a p szer ( k 1) szer Az 1 o és o képletek megadják a szabályt, hogya kell egy szakaszos tizedes törtet racioális szám (törtszám) alakjába felíri Példák 1) 0, () 3 = = ; 0, ( 45) = = ; ) 0,45() 3 = = = ; ) 0,07( 45) = = = Megjegyzés. A szakaszos tizedes törtek meghatározásakor em zártuk ki azokat, amelyekek a szakasza (9). Ha egy ilye tizedes törtet formálisa az 1 o vagy o szabályok segítségével átalakítuk, egy racioális számot kapuk. Vegyük például a 0,(9) tizedes törtet. Az 1 o szabályt alkalmazva kapjuk, hogy: 9 0, ( 9) = = 1. 9 Másrészt az 1 számak az 1,000 = 1,(0) szakaszos tizedes tört felel meg. Vegyük most a 0,4(9) vegyes szakaszos tizedes törtet. A o szabályt alkalmazva felírhatjuk, hogy ,4( 9) = = = Másrészt az 1 számak (ha az osztást elvégezzük) a 0,5000 = 0,5(0) tizedes tört fog megfeleli. Ez a két példa mutatja, hogy az előző tétel em érvéyes olya tizedes törtek eseté, melyekek a szakasza (9). Potosabba: ha egy végtele tizedes tört periódusa (9), akkor eek az 1 o vagy o szabály alapjá egy m racioális szám fog megfeleli. Ám ha ez utóbbi számot osztással tizedes törtté alakítjuk, em az eredeti tizedes számot kapjuk, haem egy olyat, melybe a szakaszt megelőző szám egy egységgel meg va övelve, a szakasz pedig (0) lesz, azaz véges tizedes törtet kapuk. Köye belátható, hogy ez a szabály mide olya tizedes törtre érvéyes lesz, amelyek szakasza (9). Ezért valaháyszor egy olya tizedes törttel va dolguk, amelybe a szakasz (9), megállapodás szerit e helyett egy (0) szakaszos (azaz véges) tizedes törtet íruk, az előző szabályak megfelelő módo. Például: 0, 4(9) = 0,5(0); 0,1(9) = 0,(0). 9

8 Következésképpe a racioális számok (és csak ezek) végtele szakaszos tizedes törtek alakjába írhatók fel. De vaak-e egyáltalá olya tizedes törtek, melyek em szakaszosak (periodikusak)? Igeis vaak ilyeek, például a 0, tizedes tört, amelybe az első 1-es utá egy ulla, a második 1-es utá két ulla következik és így tovább. Tételezzük fel, hogy ez a tizedes tört szakaszos és a szakasz p darab számjegyből áll. A szakaszba egy 1-esek is szerepelie kell. Ezért bármely két, a tizedesvessző utái 1 számjegy között em lehet p-él több ulla jegy, ami elletmod a szám felírási módjáak. Tehát ez a tizedes em szakaszos. A következő paragrafusba gyakorlati példákat foguk láti, melyek végtele, emszakaszos tizedes törtekhez vezetek el.. A valós számok mit végtele tizedes törtek. A valós számok redezése.1. Miért va szükség a Q halmaz bővítésére? Az előző osztályokba már említés törtét a racioális számok halmazáak a valós számok halmazára való kibővítéséek szükségességéről. Íme két kokrét téy, mely a fetieket idokolja. 1) Nics olya racioális szám, amelyek a égyzete -vel lee egyelő. Valóba, tegyük fel (ad absurdum), hogy va olya m racioális szám, m m amelyre =. Feltételezhetjük, hogy az tört em egyszerűsíthető, azaz m az m és az relatív prím egész szám. Az = -ből következik, hogy m =. Mivel a páros szám, az m-ek is párosak kell leie, azaz m = k. Ezt az előző egyelőségbe helyettesítve a 4k =, azaz a k = egyelőséget kapjuk, ahoa következik, hogy az is páros szám. De ekkor az m tört -vel m egyszerűsíthető, ami elletmod a feltevések, tehát az = feltevés hamis. Ie az is következik, hogy az x = 0 egyeletek ics racioális megoldása. 10

9 ) Legye az ABC egy egyelő szárú derékszögű háromszög (I.1. ábra). Az AB szakasz hosszát egységyiek tekitve kimutatjuk, hogy a BC átfogó m hossza em lehet egy racioális szám, azazhogy az AB szakasz -ed része em lehet meg m-szer a BC-be. Valóba, ha a BC hossza m lee, akkor Pitagorasz tételéből következik, m hogy =, ezt viszot az előbb láttuk, hogy em lehetséges. Ha BC = a, az a megoldása lesz az x = 0 egyeletek, azaz a BC átfogó hossza a =. A em lehet racioális szám, tehát ez egy újfajta szám. Egy ilye, a racioálistól külöböző számot irracioálisak moduk. Az x 3 = 0, x 5 = 0 stb. egyelet gyökekét kapott 3, 5 stb. szám ugyacsak irracioális lesz. Va olya irracioális szám is, mely egyetle egész együtthatójú egyeletek sem lehet gyöke. Ilye például a π szám, mely egy kör kerületéek és átmérőjéek az aráyával egyelő. A racioális számok halmaza az irracioális számok halmazával együtt képezi a valós számok R halmazát. Az előző osztályokba taultuk egy eljárást, mellyel például a tizedes törttel lehet megközelítei: = 1, számot Mivel a irracioális szám, a kapott tizedes tört végtele és em szakaszos. A π szám is felírható végtele, emszakaszos tizedes tört formájába. Elfogadjuk, hogy mide végtele és emszakaszos tizedes tört egy irracioális valós számot ábrázol. Ily módo mide végtele (szakaszos vagy emszakaszos) a 0,a 1 a a 3 tizedes tört egy a valós számak felel meg. Az a t a 0,a 1 a a 3 függvéy mide valós számhoz egy végtele tizedes törtet redel hozzá, és egy megfeleltetést létesít a valós számok halmaza és az olya végtele tizedes törtek halmaza között, melyekek a szakasza em (9). Ez utóbbiak midegyike egy-egy jól meghatározott valós számot képvisel. A végtele tizedes törtekkel jellemzett valós számok szigorúa megalapozott elmélete túllépi a IX. osztály tatervét. A végtele tizedes törtek bevezetése lehetőséget yújt az irracioális számok természetéek jobb megismeréséhez. Megjegyzés. Az előzőkbe említett megfeleltetés alapjá a továbbiakba egy valós számot a eki megfelelő a = a 0,a 1 a a 3 tizedes törttel foguk azoosítai. Sajátos esetbe a racioális számokak az őket ábrázoló szakaszos tizedes törtek (ahol a szakasz em (9)) felelek meg. A C I.1. ábra B 11

10 .. A valós számok redezése A valós számok halmazába a redezést a tizedes törtekkel való megfeleltetéssel valósítjuk meg úgy, hogy ez megegyezze a racioális számokak az előző osztályokba tárgyalt redezésével. Legye a = a 0,a 1 a a 3 és b = b 0,b 1 b b 3 két valós szám, ahol a megfelelő tizedes törtek szakasza em lehet (9). A két számot egyelőek modjuk, ha bármely i = 0, 1, eseté a i = b i. Értelmezés. Az a = a 0, a 1 a a 3 valós szám akkor kisebb a b = b 0,b 1 b b 3 valós számál (jelölése a < b), ha va olya k ú 0 természetes szám, amelyre a k < b k és bármely i < k eseté a i = b i. Ugyaekkor azt modjuk, hogy a b agyobb az a-ál, jelölése b > a. Példák 1) 3,9014 < 4,1735, mivel a 0 = 3 < 4 = b 0. ) 3,45170 < 3,45181, mivel a 0 = b 0 = 3, a 1 = b 1 = 4, a = b =5, a 3 = 1, b 3 = 1, a 4 < b 4 (7 < 8). 3) 0,43 < 1,730, mivel a 0 = 0 < 1 = b 0. 4) 3,173 > 3,165, mivel a 0 = b 0 = 3, a 1 = b 1 = 1 és a > b (7 > 6). 5) 4,3 > 4,193, mivel a 0 = b 0 = 4, a 1 > b 1 ( > 1). Ha a < 0, az a valós számot egatívak, ha pedig a > 0, az a-t pozitívak evezzük. Egy a = a 0,a 1 a a 3 valós szám yilvávalóa akkor és csak akkor egatív, ha az a 0 egész része egatív szám. Például 1,37 < 0,000 = 0, mivel a 0 = 1 < 0. Megjegyzés. A feti egyelőtleségek a racioális számok esetébe megegyezek az előző osztályokból ismert egyelőtleségekkel. Így: ,5000 < 0,51000 akkor és csak akkor, ha < ; ,(3) < 0,3(34) akkor és csak akkor, ha < Valós számok tizedes megközelítése. Valós számok összeadása és szorzása 3.1. Tizedes megközelítések A gyakorlatba csak ige ritká ismerjük a meyiségek potos számértékét. Egy készülék vagy mérőeszköz em mutatja teljes potossággal a méretet. Egy hőmérő a hőmérsékletet csak bizoyos hibával méri, ugyaúgy az ampermérő is az áram erősségét stb. A mérés eredméyéek a készülékről való leolvasása sorá is hibázuk. Ezért a meyiségek potos értékei helyett 1

11 kéyteleek vagyuk közelítő értékekkel számoli. Általába egy meyiséget egy végtele tizedes tört jellemez, de egy mérőkészülék gyakorlatilag csak véges tizedesjegyet képes mutati, azaz a meyiségek csak egy közelítő értékét. Legye a egy végtele tizedes törttel megadott valós szám. Az a szám hiáyal való tizedes közelítéseit (közelítő értékeit) úgy kapjuk, hogy a szám tizedesjegyeit redre elhagyjuk, kezdve az első tizedesjeggyel, folytatva a másodikkal, majd a harmadikkal és így tovább. Például az a =,17356 szám eseté a hiáyal való közelítő értékek redre: ;,1;,17,,173,,173;,1735; Ha az a szám hiáyal való tizedes közelítéseibe az utolsó tizedesjegyhez 1-et hozzáaduk, akkor az a szám többlettel törtéő tizedes közelítéseit (közelítő értékeit) kapjuk meg. Például a,17356 szám eseté ezek az értékek: 3;,;,18;,174;,1733;,1736; A valós számokak a. -ba értelmezett redezési szabálya alapjá az a szám első öt tizedes közelítő értékét a következő táblázat tüteti fel: ñ a < 3,1 ñ a <,,17 ñ a <,18,173 ñ a <,174,173 ñ a <,1733 Mivel az a =,17356 szám redre: 1) a és 3 között va, és 3 = 1; ) a,1 és, között va, és,,1 = 0,1; 3) a,17 és,18 között va, és,18,17 = 0,01 és így tovább, a tizedes megközelítő értékek hibája redre kisebb lesz, mit 1; 0,1 = 10 1 ; 0,01 = 10 és így tovább. Általába az a = a 0, a 1 a a 3 a számot 10 -él kisebb hibával, i) hiáyal megközelítő tizedes érték az a' = a 0,a 1 a a 3 a, ii) többlettel megközelítő tizedes érték az a = a 0,a 1 a a 3 a Megjegyzések. 1) Ha egy a szám egy (0) szakaszú tizedes törttel va megadva, akkor egy bizoyos ragtól kezdve a hiáyal közelítő tizedes értékek magával a számmal egyelők. Például az 1,5 = 1,5000 szám esetébe ezek az értékek: 1; 1,5; 1,5; 1,50; 1,500;. Emiatt a tizedes közelítő értékek előző táblázatába a bal oldali egyelőtleségeket a ñ szimbólummal jelöltük. ) Az a' és az a közelítő értékeket véges tizedes tört formájába írjuk (em teszük a végére végtele sok ullát). Az értelmezés szerit (lásd az i) és az ii)-t) és az előző megjegyzés figyelembevételével az a szám agyobb vagy egyelő lesz bármely hiáyal való tizedes megközelítő értékél, és kisebb mide többlettel közelítő tizedes értékél. 13

12 Tehát az a valós számhoz hozzáredeljük a hiáyal való a' 0, a' 1, a', a' 3, tizedes közelítő értékeket és a többlettel való a 0, a1, a, a3, tizedes közelítő értékeket úgy, hogy a' 0 ñ a < a ( 1-él kisebb hibával); 0 1 a' 1 ñ a < a (0,1-él kisebb hibával); a' ñ a < a (0,01-él kisebb hibával) Megjegyzés. A későbbiek szempotjából agyo fotos aak a kihagsúlyozása, hogy mid a hiáyal, mid a többlettel való tizedes közelítő értékek racioális számok leszek. Az a = a 0,a 1 a a 3 szám 10 -él kisebb hiáyal való tizedes közelítő értékét, azaz az a' = a 0, a 1 a a 3 a számot az a szám tizedesjegyét tartalmazó csokított alakjáak is evezik. Legye a' és a az a = a 0,a 1 a a 3 számak 10 -él kisebb hiáyal, illetve többlettel való tizedes közelítő értéke. Ekkor a' ñ a < a és a =a' +10. Az a szám ( + 1)-edik tizedesjegye, az a +1 ismeretébe meg tudjuk modai, hogy az a' és az a közelítő értékek közül melyik va közelebb az a- hoz. 1 o 5 Ha az a +1 számjegy 5-él kisebb, akkor a' ñ a < a' +, és a a' < < a + 1 a, tehát az a' jobba közelít, mit az a. 10 o 5 Ha az a +1 számjegy agyobb 5-l vagy vele egyelő, akkor a' + ñ a, a a ñ ñ a a' + 1, tehát az a jobba (esetleg ugyaúgy) közelít, mit az a'. 10 Egy a szám tizedesjegyre való kerekítése azt jeleti, hogy az a helyett az a' vagy az a közül a jobba közelítő értéket vesszük, vagyis azt, mely az a-t kisebb hibával (hiáyal vagy többlettel) közelíti meg. 10 -él 3.. Valós számok összeadása és szorzása A valós számok összeadását és szorzását e számok tizedes törtekkel való előállításáak felhaszálásával fogjuk értelmezi úgy, hogy ezek a műveletek a racioális számok eseté az előző osztályokból már ismert összeadással és szorzással egyezzeek meg. 14

13 Legye a és b két valós szám, és vegyük ezeket 10 -él kisebb hibával, hiáyal és többlettel közelítő tizedes értékeket. Azaz tetszőleges eseté: a' ñ a < a, b' ñ b < b. Ahogy már említettük, az a', a, b', bármely -re értelmezve va az a' + b' és az a + b számok racioálisak, tehát b összeg. Értelmezés. Az a és b valós számok összegé egy olya c valós számot értük, melyre bármely természetes szám eseté igaz, hogy: a' + b' ñ c < a + b. Köye igazolható, hogy létezik ilye c valós szám, és csak egyetle ilye va. A potos bizoyítás túllépi a IX. osztály tatervét. Ehhez a határérték fogalmára va szükség, melyet a XI. osztályos Matematikai aalízis tárgyal. Az alábbi példák szemléltetik, hogy az összeg feti értelmezése lehetővé teszi az összeget tetszőleges potossággal megközelítő érték meghatározását. Példák 1) Határozzuk meg az a = ésab = 5 számok összegét égy tizedesyi potossággal megközelítő értéket! Felírhatjuk, hogy: 1 ñ < ñ 5 < 3 1,4 ñ < 1,5, ñ 5 <,3 1,41 ñ < 1,4,3 ñ 5 <,4 1,414 ñ < 1,415,36 ñ 5 <,37 1,414 ñ < 1,4143,360 ñ 5 <,361 1,4141 ñ < 1,414,3606 ñ 5 <,3607 ' ' = Tehát a + b = 3, < a + b 3, 6509, azaz + 5 = 3,650. ) Határozzuk meg az a = 3,1714 és a b =,4731 számok összegét égy tizedesyi potossággal (a potok utá következő számjegyekek ics jeletőségük a feladat szempotjából). ' ' Felírhatjuk, hogy a 5 + b5 = 1,55445 a + b < a5 + b5 = 1, Tehát a feladat megoldása: a + b = 1, = 0, ' ' 3) Ha a =,3751 és b = 3,7648, akkor a5 + b5 = 5, és a 5 + b5 = 6, Tehát az a + b-t 10 5 potossággal közelítő érték: 6, Hasoló módo értelmezzük két emegatív szám szorzatát. 15

14 Mivel az a, a, b, b számok racioálisak, az a b és va értelme. a b szorzatak Értelmezés. Két emegatív valós a és b szám szorzata egy olya d valós szám, melyre bármely természetes szám esetébe igaz, hogy: a' b' ñ d < b. Bebizoyítható, hogy létezik egy és csak egy ilye d szám. Ha a két szám közül az egyik vagy midkettő egatív, összeszorozzuk az abszolút értéküket, és alkalmazzuk az alábbi ismert előjelszabályt: 1 o Két szám szorzata pozitív, ameyibe a két téyező ugyaolya előjelű, és ekkor az ab szorzat az a és b abszolút értékéek a szorzatával lesz egyelő. o Két szám szorzata egatív, ha a két téyező külöböző előjelű, és ekkor az ab szorzat az a és b abszolút értékéek előjellel vett szorzatával egyezik meg. Példák 1) Számítsuk ki az a = 1,414 szám égyzetét! Felírhatjuk, hogy a' 4 = 1,414 és a = 1, ' 4 = 1, a < a4 = Ekkor a, Figyeljük meg, hogy az a szám égyzete agyo közel va a számhoz. ) Számítsuk ki három tizedesyi potossággal az a = 3 1 és b = számok szorzatát! Mivel a = 0,33333 és b = = 1,4141, felírhatjuk, hogy 0 ñ a < 1 1 ñ b < ; 0,3 ñ a < 0,4 1,4 ñ b < 1,5; 0,33 ñ a < 0,34 1,41 ñ b < 1,4; 0,333 ñ a < 0,334 1,414 ñ b < 1,415; 0,3333 ñ a < 0,3334 1,414 ñ b < 1,4143. Tehát 0 ñ ab < ; 0,4 ñ ab < 0,6; 0,4653 ñ ab < 0,488; 0,4706 ñ ab < 0,4761; 0, ñ ab < 0, A fetiek alapjá: ab = 0,471. a 16

15 3.3. Valós számok összeadásáak és szorzásáak tulajdoságai Fel fogjuk soroli a valós számok összeadási és szorzási műveletéek tulajdoságait. Az összeadás és a szorzás előzőleg adott értelmezése alapjá és a racioális számok összeadásáak és szorzásáak megfelelő tulajdoságok felhaszálásával az alábbi kijeletések köye bebizoyíthatók, és ezért a bizoyításokat gyakorlatkét ajáljuk. Az R halmazba az összeadás az alábbi tulajdoságokkal redelkezik: 1 o kommutativitás, azaz bármely két valós, a és b szám eseté: a + b = b + a. o asszociativitás, azaz bármely három, a, b, és c valós szám eseté: (a + b) + c = a + (b + c). 3 o a 0 szám az összeadás semleges eleme, azaz bármely a valós szám eseté: a + 0 = 0 + a = a. 4 o Bármely valós számak va elletettje, a a szám, melyre: a + ( a) = ( a) + a = 0. Az a + ( b) helyett a b-t szokás íri. A valós számok szorzásáak tulajdoságai: 1. kommutativitás, azaz az R bármely két, a és b elemére ab = ba;. asszociativitás, azaz az R bármely három, a, b és c eleme eseté (ab)c = a(bc); 3. az 1 szám a szorzás semleges eleme, azaz az R bármely elemére a 1 = 1 a = a; 4. mide 0-tól külöböző a valós számak va iverze (fordított vagy reciprok értéke), az a 1, amelyre aa 1 = a 1 a = 1; 5. a szorzás disztributív az összeadásra voatkozóa, azaz bármely három, a, b és c valós szám eseté a(b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc. A ab 1 szorzatot a : b vagy a -vel szokás jelöli. b Megjegyzés. Általába a valós számokkal törtéő műveletek eseté em haszáljuk feltétleül e számok tizedes tört alakját. Egy számítás eredméye 1 π lehet például valamelyik alábbi kifejezés: + 3, a ( + 5 ), 7,

16 4. A valós számok mértai ábrázolása Egy tetszőleges (d) egyeese rögzítük egy O kezdőpotot (origót), és kijelölük egy balról jobbra tartó pozitív iráyt (I.. ábra). Az O pot az egyeest két, Ox és Ox' félegyeesre botja; az Ox a pozitív, az Ox' pedig a egatív féltegely. Ha választuk egy mértékegységet, akkor a d egyees két, A és B potjáak AB távolságát egy pozitív szám fejezi ki, ami ulla is lehet, ha A = B. x' O U x I.. ábra Legye U az Ox féltegely egy, az O-tól külöböző potja, és válasszuk mértékegységül az OU szakasz hosszát. Ha M a pozitív féltegely egy potja, akkor az x M = OM számot az M pot abszcisszájáak evezzük. Az M t x M megfeleltetés egy, az Ox félegyees potjai és a pozitív valós számok halmaza közötti függvéyt értelmez. Bármely valós pozitív x szám (hosszúság) eseté va egy jól meghatározott M pot az Ox félegyeese, mely az O-tól x M = x távolságra va. Ha az M pot az Ox' egatív féltegelye helyezkedik el, akkor az abszcisszája az x M = OM egatív szám lesz. Megállapodás szerit x O = 0 (ulla). Ekkor az M t x M megfeleltetés egy olya függvéy, amelyek az értelmezési tartomáya a (d) egyees potjaiak halmaza, az értékkészlete pedig a valós számok R halmaza lesz. Eek a függvéyek az a tulajdosága, hogy külöböző potokak külöböző abszcisszák fogak megfeleli, és bármely valós szám a (d) egyees egy potjáak az abszcisszája lesz. Ezért a valós számok halmazát gyakra számegyeesek, valós egyeesek, vagy valós tegelyek is szokták evezi, a valós számokat pedig a számegyees potjaiak tekitik. Az említett függvéy (megfeleltetés) lehetővé teszi a számokkal kapcsolatba a mértai kifejezésmódot. Körzővel és voalzóval megszerkeszthetők azok a potok, melyekek az abszcisszája racioális szám vagy a, 3, 5 stb. alakú irracioális szám. Erre voatkozóa bemutatuk éháy példát. Példa Szerkesszük meg a (d) számegyeese körző és voalzó segítségével a számot (I.3. ábra)! Az OU szakaszra mit oldalra égyzetet szerkesztük, és ebbe A-val jelöljük az O-val átellees csúcsot. Mivel OU = 1, Pitagorasz tétele alapjá: OA = OU + AU = =. Tehát OA =. Körzővel megszerkesztjük a (d) egyees azo M potját, amelyre OM = OA =. Az (Ox félegyeese a szám azokat a (hiáyal és többlettel való) közelítő értékeit is ábrázoltuk, melyekek hibája (eltérése) redre 1; 0,1, illetve 0,01. 18

17 A U O 1 Vizsgáljuk meg most aak a tételek a szemléletes jeletését, amellyel egy a valós számot tizedes törttel értelmeztük. Mivel a racioális számokat tudjuk a számegyeese ábrázoli, meg tuduk szerkesztei egy olya M potot, melyek abszcisszája véges tizedes tört. Legye a = a 0, a 1 a a 3 egy tetszőleges valós szám, és ' ' ' a, a, a, a0, a1, a,... redre az a szám hiáyal és többlettel közelítő értékei. Tekitsük a = [M(a' ), M ( a )] szakaszt, melyek végpotjai az a' -ek és az a -ek megfelelő potok, a hossza pedig 10. Ekkor Kimutatható, hogy egyetle olya pot va, mely valameyi szakaszhoz (bármely eseté) hozzátartozik. Ez az M(a) pot. Például legye a = 1,671. Ekkor 1 ñ a < ; 1,6 ñ a < 1,7; 1,67 ñ a < 1,68. A mértai kép az I.4. ábrá látható. M(1) I.3. ábra M(1,6) M ( ) 1,4 1,41 1,4 1,5 M(a) M(1,7) M() M() O 1 I.4. ábra 19

18 5. Egyelőtleségek 5.1. Az egyelőtleségek tulajdoságai A... potjába értelmeztük a redezést a valós számok halmazába e számokhoz tartozó tizedes törtekkel. Potosabba bármely két, a és b valós szám eseté megadtuk az a < b (a kisebb, mit b) egyelőtleség jeletését. A továbbiakba éháy, az értelmezésből köye levezethető, egyelőtleségre voatkozó tulajdoságot soroluk fel. Igaz az alábbi tulajdoság: Ha a és b két valós szám, akkor az a > b, a = b, a < b relációk közül egyik és csak az egyik igaz (trichotomia törvéye). Értelmezés. Egy a valós szám akkor kisebb, mit egy b valós szám, vagy akkor egyelő azzal (jelölése a ñ b), ha a < b, vagy a = b. A ñ reláció tulajdoságai: 1 o bármely a eseté a ñ a (reflexivitás); o ha a ñ b és b ñ a, akkor a = b (atiszimmetria); 3 o ha a ñ b és b ñ c, akkor a ñ c (trazitivitás). Ezt a relációt redezési relációak evezik a valós számok halmazába. Megjegyezzük, hogy a 3 o tulajdoság (a trazitivitás) a < relációra is igaz, azaz ha a < b és b < c, akkor a < c. Az alábbi tulajdoságok az összeadással és a szorzással kapcsolatos egyelőtleségekre voatkozak a valós számok halmazá: 1 o ha a < b és c egy tetszőleges szám, akkor a + c < b + c; o ha a < b és c > 0, akkor ac < bc; 3 o ha a < b és c < 0, akkor ac > bc. Ie köye következik, hogy: 4 o ha a < b és c < d, akkor a + c < b + d és a d < b c; 5 o ha a, b, c, d égy pozitív valós szám, melyre a < b és c < d, akkor ac < bd. a b Ugyailye feltételek mellett <. d c A felsorolt (1 o, 0, 3 o, 4 o, 5 o ) tulajdoság a ñ relációra is igaz. Megjegyzés. Két valós, a és b szám eseté az a ñ b reláció akkor és csak akkor igaz, ha va olya c ú 0 valós szám, melyre b = a + c. A továbbiakba éháy evezetes egyelőtleséget tárgyaluk, melyek általáosíthatók (lásd a Matematikai idukció részbe, III. fejezet 4. ). 1. Bizoyítsuk be, hogy: (a + b ) (u + v ) ú (au + bv), (1) ahol a, b, u és v tetszőleges valós szám (Cauchy Buyakovszkij Schwartzegyelőtleség). 0

19 Bizoyítás. A műveletek elvégzése utá az egyelőtleség redre így alakul: a u + a v + b u + b v ú a u + aubv + b v, vagy a v + b u ú aubv, azaz (av bu) ú 0, ami yilvávaló egyelőtleség.. Igazoljuk, hogy: a + b + u + v ( a + u) + ( b + v), () ahol a, b, u, v tetszőleges valós szám (Mikowski-féle egyelőtleség). Bizoyítás. Mivel az egyelőtleség midkét oldala pozitív, égyzetre emelhetük, és kapjuk, hogy: a + b + a + b u + v + u + v a + au + u + b + bv + v A műveleteket elvégezve az a + b u + v > au + bv (3) egyelőtleséghez jutuk. Ha au + bv < 0, a (3) egyelőtleség yilvávaló. Ha au + bv ú 0, a (3) egyelőtleség a Cauchy Buyakovszkij Schwartzegyelőtleségből következik. 3. Mutassuk ki, hogy: a + b ab, (4) ahol a és b két tetszőleges pozitív valós szám (azaz két pozitív szám számtai középaráyosa agyobb, mit a számok mértai középaráyosa, vagy egyelő azzal). a+ b Bizoyítás. Vesszük az ab külöbséget, mely redre így írható: ( a ) + ( b ) a b ( a b ) =. a + b a + b ab ab = = a + b Mivel yilvávaló, hogy ( a b ) 0, következik: ab ú0, a + b azaz ab. A (4) összefüggésbe az egyelőség akkor és csak akkor lesz igaz, ha a = b. Megjegyzés. Ha a és b két pozitív valós szám, akkor ab (5) a b (két pozitív valós szám mértai középaráyosa agyobb, mit e számok harmoikus középaráyosa, vagy egyelő azzal).. 1

20 Valóba, felírhatjuk, hogy az 1 és 1 számok számtai középaráyosa a b agyobb a mértai középaráyosukál, vagy egyelő azzal, azaz a b 1 1, vagy a b 1. a b ab Következésképpe ab, ami éppe az (5) egyelőtleség. Az a b egyelőség csak az a = b esetbe lesz igaz. 5.. Valós szám abszolút értéke vagy modulusa Az előző osztályokba értelmeztük egy valós szám abszolút értékét. Egy a valós szám a -val jelölt abszolút értékét így értelmezzük: a,haa > 0 a = 0, ha a = 0. a,haa < Például 9 = 9, =, 30 = 30, = stb. 3 3 Az a szám abszolút értékét az a szám modulusáak is evezik. Felírhatjuk, hogy x = max ( x, x), tehát: x ñ x, x ñ x, (a max ( x, x) szimbólum a x és x számok közül a agyobbikat jeleti). A modulus alapvető tulajdoságai a következők: Ha a és b két valós szám, akkor 1. a ú 0;. a = 0 akkor és csak akkor, ha a = 0; 3. ab = a b ; 4. a + b ñ a + b. Az első három tulajdoság azoal következik a modulus értelmezéséből. Bizoyítsuk be az utolsó tulajdoságot! Ha a = 0 vagy b = 0, akkor yilvávaló, hogy a + b = a + b. Tegyük fel, hogy a g 0 és b g 0. Ekkor az alábbi esetek lehetségesek: i) Ha a > 0 és b > 0, akkor a + b > 0, tehát a + b = a + b. ii) Ha a < 0 és b < 0, akkor a + b < 0. Ebbe az esetbe a = a, b = b, a + b = (a + b), tehát a + b = a + b. iii) Ha a > 0 és b < 0, akkor a = a és b = b. Ekkor vagy a + b ú 0, vagy pedig a + b < 0. Ha a + b ú 0, akkor a + b = a + b ñ a = a ñ a + b ; ha pedig a + b < 0, akkor a + b = a b = a + b ñ b ñ a + b.

21 iv) Hasoló módo törtéik a bizoyítás az a < 0 és b > 0 esetbe is. A gyakorlatba sokszor haszáljuk a következő tulajdoságokat: 5. a = b akkor és csak akkor, ha a =! b. 6. A c > 0 esetbe az a ñ c egyelőtleség akkor és csak akkor igaz, ha c ñ a ñ c (itt a ñ jel a < jellel helyettesíthető). Továbbá 7. a b ñ a b. Az 5., 6. és a 7. tulajdoság köye igazolható az előző tulajdoságokkal. Javasoljuk a bizoyítás gyakorlatkét való elvégzését! Az abszolút érték feti tulajdoságait külööse az egyeletek és egyelőtleségek megoldása sorá haszáljuk majd fel Valós szám egész része Haszáltuk már a racioális szám egész részéek a fogalmát. A továbbiakba egy tetszőleges valós szám egész részét értelmezzük és eek tulajdoságait vizsgáljuk. Értelmezés. Egy a valós szám egész része az a legagyobb egész szám lesz, amely kisebb, mit az a, vagy egyelő a-val. Az a szám egész részét [a]-val jelöljük. A meghatározás értelmébe az [a] egész szám, és ha egy egész számra igaz, hogy [a] ñ ñ a, akkor = [a]. Máskét: az a egész része az az [a] egész szám, amelyre [a] ñ a < [a] + 1, vagy a 1 < [a] ñ a. Tehát az [a] az egyetle egész szám az (a 1, a] itervallumo. Például: [3,] = 3; [0,45] = 0; [6] = 6; [ 4,7] = 5, mivel 5 < 4,7 < 4. Hasoló módo kapjuk, hogy [ 5, 791] = 6; [ 0,31] = 1, [ π] = [ 3,141 ] = 4. Figyeljük meg, hogy bármely valós a szám és egész szám eseté igaz, hogy [a + ] = [a] +. Értelmezés. Az a [a] külöbséget az a szám tört részéek evezzük, és {a}- val jelöljük. Mivel {a} = a [a] és [a] ñ a < [a] + 1, következik, hogy 0 ñ {a} < 1. Például: {,4} =,4 = 0,4; {0,61} = 0,61 0 = 0,61; { 6,81} = = 6,81 ( 7) = 0,19; { 0,31} = 0,31 ( 1) = 0,769. Bármely a valós szám az egész részéek és a tört részéek az összege, azaz a = [a] + {a}. Ha az a szám az a = a 0, a 1 a a 3 tizedes törttel va megadva, akkor [a] = a 0 és {a} = 0, a 1 a a 3. Egy a = a 0,a 1 a a 3 valós szám akkor és csak akkor egatív, ha az [a] = a 0 egész része egy egatív szám. 3

22 Alkalmazás. Tetszőleges a valós szám eseté: [ a] 1 + a+ = [ a]. (1) Valóba, legye a = [a] + {a}, ahol 0 ñ {a} < 1. Ekkor a = [a] + {a} és a+ 1 = [ a] + {} a + 1. Két eset lehetséges: 1 o 1 0 ñ {a} <, azaz 0 ñ {a} < 1. Ekkor [ a] [ a], 1 = a + = [ a], tehát igaz az (1) egyelőség. o 1 1 {} a < 1, azaz 1 ñ {a} <. Ekkor [a] = [a] + 1 és a + = = [a] + 1, tehát az (1) egyelőség ebbe az esetbe is igaz. Gyakorlatok 1. Írjuk fel végtele tizedes tört alakjába a következő számokat! a) 3; b) ; c) ; d)0; e) ; f) ; g) ; h) Alakítsuk át közöséges törtekké az alábbi tizedes törteket, és igazoljuk osztással az átalakítás helyességét! a) 1,33(4); b) 0,(7); c) 0,(14); d),073(83); e) 0,01(03); f),001(7). 3. Állapítsuk meg, hogy az alábbi számok közül melyek racioálisak! 1,3; 3,75; 3 ; 5; 6; 0, (az első 3-as utá egy 4-es, a második 3-as utá két 4-es számjegy következik és így tovább); 0, (a tizedesvessző utá redre a természetes számok következek). 4. Soroljuk fel éháy olya természetes számot, amelyre: a) a racioális szám; b) a emracioális szám. 5. Mutassuk ki, hogy ics olya m racioális szám, melyre a) m = ; b) m = 3; c) m = Az alábbi számpárokba melyik a agyobbik szám? Állapítsuk meg! a) 3,43479 és 3,43497 ; b) 15,5 és 61 4 ; c) 5 9 és 0,(5); d) 3 és 0,375 ; 8 e) 5,4833 és 5,589 ; f) 0,(6) és ; g) 0 és 0, 00011; h) 1,1 és 1,1(01) 3 7. i) Az alábbi számok esetébe írjuk fel a 0,1-él kisebb hibával, hiáyal és többlettel közelítő tizedes értékeket! a) 5; b) 5; c) ; d) ; e) 7; f) 7; g) ; h) 11; ii) ugyaeze számok esetébe állapítsuk meg az első három, hiáyal és többlettel közelítő tizedes értékeket! 4

23 8. Ha x =,7154 és y = 1,487, írjuk fel az x + y összeg első három tizedesjegyét! 9. Ha x =,1468 és y = 1,5431, állapítsuk meg az xy szorzat első két tizedesjegyét! 10. Határozzuk meg az alábbi összegek első égy tizedesjegyét! 1 a) + 3 3; b) + 3; c) 5 + 7; d) 3 + ( 7 ); e) ( 3) Írjuk fel az alábbi szorzatok első három tizedesjegyét! a) 7; b) 7; c) 3 5; d) 3 ( 5 ); e) a) Az egységyi szakasz ismeretébe szerkesszük szakaszokat, melyekek hossza redre 3; 5; 6; 10. Ábrázoljuk a számtegelye azokat a potokat, melyekek az abszcisszájuk a feti égy szám! b) Ábrázoljuk a valós számok tegelyé a potokat, melyek abszcisszája redre: 3; 3; 5; 5; 6; 6; 10; Az x és y két valós szám. Mutassuk ki, hogy: x y 1 1 a) x 3 + y 3 ú x y + xy ; b) + + ; y x x y x + y x y c) < + ; 1+ x + y 1+ x 1+ y d) ( x y) x y 14. Bizoyítsuk be, hogy bármely három pozitív valós szám eseté: a) (x + y) (y + z) (z + x) ú 8xyz; b) x + y + z ú xy + yz + xz; c) (x + 1) (y + 1) (x + z) (y + z) ú 16 xyz. 15. Az x és y két olya pozitív valós szám, melyre xy = 1. Mutassuk ki, hogy ekkor: (1 + x) (1 + y) ú Legye x és y két olya pozitív valós szám, amelyre x + y = 1. Igazoljuk, hogy: a) x + y ú 1 ; b) x + y Legye a és b két valós szám. Feltéve, hogy a max (a, b), illetve a mi (a, b) az a és b közül a legagyobbat, illetve a legkisebbet jelöli, mutassuk ki, hogy a+ b+ a b a+ b a b max (a, b) =, mi (a, b) =. 18. Igazoljuk, hogy bármely valós x és y szám eseté x a) [x] + [y] ñ [x + y] ñ [x] + [y] + 1; b) ; = x [ ] c) [] x x + x + = [ 3x] 5

24 19. Mutassuk ki, hogy a + 3 és a 3 szám irracioális! 0. Legye a és b két olya valós szám, amelyre az a + b és az a b szám racioális. Racioálisak leszek-e ekkor az a, b és a b számok? 1. Az a és b racioális szám és a + b g 0. Igazoljuk, hogy a b g 0!. Legye a valós szám. Lehetséges-e, hogy az a első tíz hatváya: a, a, a 3,, a 10 mid irracioális, a rákövetkező tíz hatváy: a 11, a 1, a 13,, a 0 pedig mid racioális? 3. Lehetséges-e, hogy az m + x= (m, c N) egyelet eseté: i) az egyeletek legye irracioális gyöke? ii) az egyeletek legye racioális gyöke? 4. Az a, b, c valós számok eseté mutassuk ki, hogy: max (a, mi (b, c)) = mi (max (a, b), max (a, c)); mi (a, max (b, c)) = max (mi (a, b), mi (a, c)). 5. Az a és b két olya valós szám, melyre a < 1 és b < 1. Mutassuk ki, hogy: a + b < ab 6. Igazoljuk, hogy bármely három, a, b és c pozitív valós szám eseté (a + b + c) + + a b c ú Tetszőleges három, x, y és z valós szám eseté igazoljuk az alábbi egyelőtleségeket! a) (x + y + z) ñ 3(x + y + z ); b) x 4 + y 4 + z 4 ú xyz (x + y + z). 8. Feltéve, hogy az a, a b és a c valós szám és a + b + c ú 3, mutassuk ki, hogy a + b + c ú Valós gyökökkel redelkező másodfokú egyeletek 6.1. A valós gyökökkel redelkező másodfokú egyelet megoldása Tekitsük az ax + bx + c = 0, a g 0 (1) egyeletet, ahol a, b és c valós szám. Ez egy valós együtthatójú másodfokú egyelet. Az egyelet valós megoldása vagy valós gyöke egy olya valós α szám, amelyre: aα + bα + c = 0. Az egyelet megoldása az egyelet valameyi gyökéek a meghatározását jeleti. A továbbiakba határozzuk meg az (1) egyelet valós gyökeit. Az egyelet bal oldalát átalakítjuk: először téyezőkét kiemeljük az x -es tag együtthatóját: ax b c + bx + c = a x + x+. a a 6

25 a b a Ezutá a b x a b tagot x alakba írjuk fel: a b c a x + x+ a a = b c a x + x+. a a A zárójelbe álló kifejezéshez hozzáaduk és belőle kivouk égyzete. Kapjuk, hogy: b 4a ax b b b c + bx + c = a x + x+. + a 4a 4a a b b b Mivel x + x+ = x 4 +, felírhatjuk, hogy a a a ax b b c b b 4ac + bx + c = a x+ + a x = + = a 4a a a 4a b b 4ac = a x+. a 4a Tehát az (1) egyelet így alakul: vagy -et, ami b b 4ac a x+ = 0, a 4a b b 4ac x + =. () a 4a A () egyelet yilvávalóa egyeértékű az (1) egyelettel. Mivel a () egyelet bal oldala teljes égyzet, tehát em lehet egatív, az egyeletek akkor és b 4ac csak akkor lehetek valós gyökei, ha ú 0, azaz ha b 4ac ú 0 (4a > 0). 4a Mivel az (1) és () egyeletek egyeértékűek, az (1) egyeletek akkor és csak akkor vaak valós gyökei, ha b 4ac ú 0. A b 4ac < 0 esetbe az egyeletek ics valós gyöke. Tehát az (1) valós gyökeiek létezése és a gyökök száma a b 4ac kifejezéstől függ. Ezt a kifejezést a másodfokú egyelet diszkrimiásáak evezik és -val jelölik. Legye tehát a továbbiakba = b 4ac ú 0. Ekkor létezik a b 4ac = valós szám, és felírhatjuk, hogy: b b x+ = vagy x+ = 0, a a a a azaz b b x+ + x 0. a a + = a a 7

26 Következik, hogy ahoa b x + =±, a a b ± x =. a Tehát: ha a másodfokú egyelet diszkrimiása pozitív, az (1) egyeletek két külöböző valós gyöke va: b+ b x1 =, x =. a a Ha a másodfokú egyelet diszkrimiása ulla, akkor az (1) egyeletek két egyelő (egybeeső) valós gyöke va: b x1 = x =. a Példák 1) A x x 3 = 0 egyelet diszkrimiása = ( 1) 4 ( 3) = = 5 > 0. Tehát az egyeletek két külöböző valós gyöke va: x1 = =, x = = 1. 4 ) A x 4x + = 0 diszkrimiása = ( 4) 4 = 0. Eek az egyeletek egyelő (egybeeső) gyökei vaak: 4 x1 = x = = 1. 3) A x + x + 1 = 0 egyelet diszkrimiása = 1 4 = 7 < 0. Tehát az egyeletek ics valós gyöke. A továbbiakba a pozitív diszkrimiású másodfokú egyelet éháy fotos sajátos alakját tárgyaljuk. 1. Tegyük fel, hogy az ax + bx + c = 0 egyeletbe a b együttható b = b 1 alakú (például, ha b = vagy b = 4 stb). Ekkor 4b 4ac= 4 b ac. Az egyelet = b 4ac = 1 ( 1 ) b± b 4ac x = a gyökképlete így alakul: b1± 4b1 4ac b1 ± b1 ac x = =. a a 8

27 Tehát az ax + b 1 x + c = 0 egyelet gyökei: Példa b 1 + b 1 ac 1 1 x1 ; x b b = ac =. a a Oldjuk meg a 3x 10x + 3 = 0 egyeletet! Mivel itt az x együtthatója 10 = ( 5), a feti képlet alapjá kapjuk: 5± 5 9 5± 4 x = = Tehát x1 = 3, x =. 3. A másodfokú egyelet redukált alakja. A másodfokú egyelet redukált alakjába az x együtthatója 1-gyel egyelő. Az egyelet redukált alakja tehát: x + px + q = 0, (3) ahol p és q valós szám. Ebbe az esetbe a másodfokú egyelet gyökképlete: b± b 4ac x =. a Az a = 1, b = p és c = q helyettesítéssel a re dukált másodfokú egyelet gyökeit kapjuk meg: p p q p p q p p ± 4 4 x = = ± = ± q. 4 Tehát: p p p p x1 = + q, x = q. Példa Az x + 4x 5 = 0 egyelet eseté x = ± 4+ 5 = ± 3, tehát x 1 = 1 és x = 5. Megjegyzés. Mide ax + bx + c = 0 (a g 0) másodfokú egyelet redukált alakra hozható, ha az egyelet midkét oldalát osztjuk a-val: az ax b c + bx + c = 0 egyeértékű az x + x 0 a + a = egyelettel. 6.. Összefüggések a másodfokú egyelet együtthatói és gyökei között 1. Viète-féle összefüggések Az ax + bx + c = 0 (a g 0) egyelet gyökei: b+ b 4ac b b 4ac x1 =, x =, a a ahol = b 4ac ú 0. 9

28 Számítsuk ki a gyökök összegét és szorzatát! Felírhatjuk, hogy: b + b 4ac b b 4ac b b b x1 + x = + = =. a a a a xx 1 b+ b 4ac b b 4ac = = a a ( b + b )( ) ( ) ( ) 4ac b b 4ac b b 4ac = = = 4a 4a ( ) = = = b b 4ac 4ac c 4a 4a a. Azaz b c x1 + x =, x1x =. a a Ezeket a képleteket Viète-féle összefüggésekek evezik. Példa A 4x 3x 1 = 0 egyelet diszkrimiása = = 5 > 0. Tehát az egyeletek két külöböző valós gyöke va, x 1 és x, és x1 + x = =, x1x = = A másodfokú egyelet felírása, ha ismerjük a két gyökét Az x 1 és x valós szám. Vizsgáljuk az x 1 + x = p és x 1 x = q kifejezéseket. Ekkor x 1 és x az x + px + q = 0 a másodfokú egyelet két gyöke lesz. Valóba, felírhatjuk, hogy x1 + px1 + q = x1 ( x1 + x) x1+ x1x = x1 x1 xx1+ x1 x = 0, és ugyaígy x + px + q= Tehát x 1 és x az 0. x px q + + = 0 két gyöke. Példa Ha x 1 = 5 és x =, akkor x 1 + x = 3 = p, x 1 x = 10 = q, tehát p = 3 és q = 10, vagyis az x + 3x 10 = 0 egyeletek a két gyöke: x 1 = 5 és x = A gyökök előjeléek vizsgálata másodfokú egyelet esetébe 1. Vegyük az ax + bx + c = 0, a g 0 (1) másodfokú egyeletet, ahol = b 4ac ú 0. A gyökök összegét S-sel, a szorzatukat P-vel jelöljük, azaz b S = x 1 + x =. a c P= x1x =. a 30

29 Ha az (1) egyelet midkét oldalát a-val osztjuk, az eredetivel egyeértékű b c x + x 0 a + a = egyeletet kapjuk, ie pedig az x Sx + P = 0 () egyeletet. Meg fogjuk mutati, hogy a P és az S együttható előjeléből az egyelet megoldása élkül is meg lehet állapítai az egyelet gyökeiek az előjelét. A P és S előjelét illetőe az alábbi esetek lehetségesek: 1 o P > 0. Mivel x 1 x = P > 0, következik, hogy a két gyök azoos előjelű. Ha az S > 0, akkor mivel x 1 + x = S > 0, mid a két gyök pozitív. Ha pedig az S < 0, akkor x 1 + x = S < 0, tehát mid a két gyök egatív. o P < 0. Mivel x 1 x = P < 0, az egyik gyök pozitív, a másik pedig egatív. Ha most S > 0, akkor mivel x 1 + x = S > 0, a pozitív gyök agyobb lesz a egatív gyök abszolút értékéél. Ameyibe S < 0, akkor x 1 + x = S < 0, tehát a egatív gyök abszolút értéke agyobb, mit a pozitív gyök. A kapott eredméyeket az alábbi táblázat foglalja össze: P > 0 P < 0 S > 0, x 1 > 0, x > 0 S < 0, x 1 < 0, x < 0 S > 0, a két gyök külöböző előjelű: x 1 < 0, x > 0, x 1 < x S < 0, a két gyök külöböző előjelű: x 1 < 0, x > 0, x 1 > x Megjegyzések. 1. Ha S = 0, a két gyök csak akkor valós, ha P ñ 0. Ez esetbe x 1 + x = 0, azaz x 1 = x.. Ha P = 0, akkor x 1 = 0 és x = S. Példák 1) A x 8x + 7 = 0 egyelet eseté = = 8 > 0, tehát az egyeletek két külöböző valós gyöke va. Mivel xx 1 = 7 és ix x = = 4, a gyökök összege és szorzata is pozitív, tehát midkét gyök pozitív lesz. ) Az x + x 15 = 0 egyelet eseté = = 64 > 0, vagyis az egyeletek két külöböző gyöke va. Mivel x 1 x = 15 és x 1 + x =, a két gyök külöböző előjelű, és a egatív gyök abszolút értékbe agyobb a pozitív gyökél A másodfokú triom felbotása elsőfokú téyezőkre Másodfokú triomak evezzük az ax + bx + c alakú kifejezést, melybe az a, b és c valós szám és a g 0, az x pedig határozatla. Az a, b, c számok a triom együtthatói. Az (1) másodfokú egyelet bal oldala egy másodfokú triom. 31

30 1. Tételezzük fel, hogy az ax + bx + c = 0 egyeletek két valós gyöke va, az x 1 és x. Ekkor a Viète-féle összefüggések: b c x1+ x = és x1 x =. a a Redre felírjuk, hogy: b c ax + bx + c = a x + x + = a x ( x1 + x) x + x1x = a ( x x1x ) a a ( xx x1x) = a x( x x1) x( x x1) = a( x x1)( x x ). Tehát ax + bx + c = a( x x1)( x x) vagy ax + bx + c = ax ax x x. ( )( ) 1 Következik: ha b 4ac ú 0, akkor az ax + bx + c, a g 0 triom felbotható valós együtthatójú elsőfokú téyezők szorzatára.. Fordítva, tegyük fel, hogy az ax + bx + c, a g 0 triom valós együtthatójú elsőfokú téyezők szorzatakét írható fel, azaz: ax bx c ax + b ax + b (1) + + = ( )( ) 1 1, ahol a 1, b 1, a és b valós szám. Ekkor az ax + bx + c = 0 egyeletek valós gyökei leszek. Valóba, az (1) egyeletbe a két oldal x -es tagjáak együtthatója egyelő egymással, azaz a = a 1 a. Mivel a g 0, következik: a 1 g 0 és a g 0. b1 b Az ( ax 1 + b1) ( ax + b) szorzat ulla, ha x =, vagy ha x =, tehát a a az ax + bx + c = 0 egyeletek a b 1 és a 1 b 1 valós számok a gyökei leszek. a Példák 1) Botsuk elsőfokú téyezők szorzatára a 6x x 1 valós együtthatójú triomot! A 6x 1 1 x 1 = 0 egyelet gyökei az x = és x 1 =. számok. Ekkor 3 6x x 1 = x x+ = ( x 1)( 3x+ 1 ). 3 ) Mivel az x + x + = 0 egyelet diszkrimiása = 1 8 = 7 < 0, az x + x + triom em botható fel valós együtthatójú elsőfokú kifejezések szorzatára. Megjegyzés. A.1. potba láttuk, hogy a másodfokú egyelet bal oldala, azaz az ax + bx + c, a g 0 triom az ax b + bx + c = a x+ +. a 4a alakba is felírható. Ezt a kifejezést a másodfokú triom kaoikus alakjáak evezik. 3

31 Példa A másodfokú triom kaoikus alakját haszálva mutassuk ki, hogy a) az x + x + 1 triom értéke mide valós x-re pozitív szám lesz; b) a x + 4x 5 triom értéke bármely valós x eseté egatív értékű lesz. Valóba, x + x + 1 = 1 3 x + +, és mivel egy valós szám égyzete em lehet egatív, az x + + kifejezés mide valós x-re pozitív, azaz igaz az 4 a) pot. Ugyaígy: x + 4x 5 = (x 1) 3, mely utóbbi mide valós x esetébe egatív, tehát a b) pot is igaz. Alkalmazás (arra voatkozóa, hogy mikét helyezkedek el a számegyeese a másodfokú egyelet valós gyökei egy adott valós számhoz képest) Az x mx + m 1 = 0 egyelet eseté határozzuk meg az m valós paraméter értékét úgy, hogy a) az egyelet midkét gyöke 1-él agyobb legye; b) az egyik gyök 1-él agyobb, a másik 1-él kisebb legye; c) midkét gyök kisebb legye 1-él. 1 3 = 4 m 4 m 1 = 4 m + > 0; 4 Mivel ( ) bármely m eseté az egyeletek két valós külöböző gyöke va. A gyököket x 1 -gyel és x -vel jelölve legye z 1 = x és z = x + 1. Ez esetbe: a) x 1 > 1 és x > 1 akkor és csak akkor, ha z 1 > 0, z > 0; b) x 1 > 1 és x < 1 akkor és csak akkor, ha z 1 > 0, z < 0; c) x 1 < 1 és x < 1 akkor és csak akkor, ha z 1 < 0, z < 0. Abból, hogy x 1 + x = m és x 1 x = m 1, következik, hogy z 1 + z = x 1 + x + + = (m + 1) és z 1 z = (x 1 + 1)(x + 1) = x 1 x + (x 1 + x ) + 1 = 3m. Ekkor a z 1 és a z a z (m + 1)z + 3m = 0 másodfokú egyelet két gyöke. Ezzel a feladat a z- be másodfokú egyelet gyökei előjeléek taulmáyozására vezetődik vissza. Így az a) esetbe z 1 z > 0 és z 1 + z > 0, azaz 3m > 0 és (m + 1) > 0, ie: m > 0; a b) esetbe z 1 z < 0, azaz 3m < 0, tehát m < 0. A c) esetbe z 1 z > 0 és z 1 + z < 0, azaz 3m > 0 és (m + 1) < 0, tehát m > 0 és m < 1, ami em lehetséges. Megjegyzés. A feti, z-be másodfokú egyelethez juthatuk, ha a z = x + 1 összefüggés alapjá az x-es egyeletbe x = z 1-et helyettesítük. 33

32 6.5. Másodfokúra visszavezethető egyeletek A olya magasabb fokú egyeletekkel is találkozuk, melyek megoldása visszavezethető első- vagy másodfokú egyeletek megoldására. 1. Egyes esetekbe a szorzattá botás módszerét alkalmazzuk. Példák 1) Oldjuk meg az x 3 4x = 0 (1) egyeletet! Az egyelet bal odalát téyezőkre botjuk: x(x ) (x + ) = 0. Ie következik, hogy az (1) egyelet gyökei: 0, és. ) Oldjuk meg az x 4 x 3 + x = 0 () egyeletet! Téyezőkre botjuk az egyelet bal oldalát. Redre felírjuk, hogy x 4 x 3 + x = x 3 (x ) + x = (x )(x 3 + 1) = (x )(x + 1)(x x + 1). Tehát az egyelet az (x )(x + 1)(x x + 1) = 0 alakba írható, ahoa x = 0, vagy x + 1 = 0, illetve x x + 1 = 0. Mivel ez utóbbi egyeletek ics valós gyöke ( = 3 < 0), a () egyelet gyökei a 1 és a.. Más esetekbe az új ismeretle bevezetéséek módszerével lehet a -él magasabb fokú egyeletet megoldai. Példák 1) Oldjuk meg a következő egyeletet (x 3x) (x 3x) 8 = 0 (3) Megfigyeljük, hogy az egyelet bal oldalá az x 3x kifejezésbe az x a második és az első hatváyo va. Az x 3x = y helyettesítést elvégezve az y- ba másodfokú y y 8 = 0 egyelethez jutuk, a gyökök: y 1 = és y = 4. Következik: x 3x = és x 3x = 4. Az első egyelet gyökei x 1 = 1 és x =, a másodiké pedig x 3 = 1 és x 4 = 4. Tehát a (3) megoldásai: 1,, 1 és 4. ) Oldjuk meg a következő egyeletet! x 4 3x 4 = 0 (4) Az x = y helyettesítést elvégezve y-ba az y 3y 4 = 0 egyeletet kapjuk, ahoa y 1 = 1 és y = 4. Mivel az y em lehet egatív (azért, mert y = x ), csak az y = 4 gyök lesz elfogadható, azaz x = 4, ahoa x 1 = és x =. Megjegyzés. Az előző egyelet az általáos ax 4 + bx + c = 0, a g 0 alakú, úgyevezett bikvadratikus egyeletek a sajátos esete. 3) Oldjuk meg a következő egyeletet: x 6 7x 3 8 = 0 (5) Az x 3 = y behelyettesítéssel az y 7y 8 = 0 egyelethez jutuk, ahoa y 1 = 1 és y = 8. Mivel y = x 3, következik, hogy x 3 = 1 és x 3 = 8, tehát az adott egyelet gyökei: x 1 = 1 és x =. 34

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

IV. A matematikai logika elemei

IV. A matematikai logika elemei 4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl.

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl. 2. tétel Számhalmazo (a valós számo halmaza és részhalmazai), oszthatósággal apcsolatos problémá, számredszere. SZÁMHALMAZOK Halmazábrá ábrázolom a valós számo halmazát és részhalmazait (éháy példával).

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben