Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol"

Átírás

1 Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag precíz bevezetőjére, Norbert Wieerre, a második pedig egy Brow evű XIX. századba élt agol biológusra utal, aki egy folyadékba levő, egymással ütköző apró részecskék mozgását taulmáyozta. Később kiderült, hogy a Wieer-folyamat az egy részecske (véletle) pályáját leíró legjobb matematikai modell. Korábbi taulmáyaikba láttuk, hogy a valószíűségi változók körébe a ormális eloszlás, a vektor értékű valószíűségi változók között a több-dimeziós ormális eloszlás közpoti szerepet játszik. A Wieerfolyamat hasolóa fotos szerepet játszik a sztochasztikus folyamatok elméletébe, és tulajdoképpe úgy tekithető, mit a stadard ormális eloszlású valószíűségi változók megfelelelője a sztochasztikus folyamatok között. Eek a meglehetőse agyvoalú kijeletések potosabb értelmet ad a később ismertetett fukcioális cetrális határeloszlástétel. A továbbiakba felhaszálom a korábba tárgyalt sztochasztikus folyamatokról szóló alapvető fogalmakat és eredméyeket. A Wieer-folyamat defiiciójáak megadása előtt vezessük be a következő egyszerű defiiciót (elevezést). Szochasztikus folyamat trajektóriájáak a fogalma. Legye adva egy T idexhalmazzal paraméterezett ξ t (ω) = ξ(t, ω) sztochasztikus folyamat. Eek egy rögzített ω elemi eseméyhez tartozó trajektóriájá a T halmazo defiiált ξ(t, ω), t T, függvéyt értjük. Bevezetjük továbbá a következő fogalmat is. Gauss (sztochasztikus) folyamat defiiciója. Egy ξ t, t T, folyamatot Gaussfolyamatak evezük, ha eek mide véges dimeziós eloszlása ormális eloszlású, azaz T halmaz mide T 0 = {t 1,..., t k } véges részhalmazára a (ξ t1,..., ξ tk ) véletle vektor több-dimeziós ormális eloszlású vektor. 1. feladat: Idézzük fel a több-dimeziós ormális eloszlás defiicióját. Lássuk be, hogy egy -dimeziós (X 1,..., X ) ormális eloszlású véletle vektor eloszlását meghatározzák az EX j, 1 j várható értékek és a Cov (X j, X k ) = EX j X k EX j EX k, 1 j, k, kovariaciák. Megfogalmazom a Wieer-folyamat defiicióját. Wieer-folyamat defiiciója. Egy a [0, T ] 0 < T, itervallumo értelmezett Wieer-folyamato olya Gauss-folyamatot értük, amelyre a) EW (t) = 0, 0 t T, EW (s)w (t) = mi(s, t), s, t T. b) A W (t, ω) folyamat trajektóriája mide ω elemi eseméyre folytoos függvéy a [0, T ] itervallumo. A Wieer-folyamat defiiciója kapcsá számos kérdést tisztázi kell. A fő kérdés az, hogy a fet megadott defiició értelmes-e. Először tisztázi kell az a) potot. 1

2 Modhatjuk-e, hogy defiiáltuk a Wieer-folyamat véges dimeziós eloszlásait kozisztes módo? A defiició b) potja még rejtélyesebb. A Kolmogorov-féle alaptételbe semmilye kijeletés em szerepelt a sztochasztikus folyamat trajektóriáját illetőe. Hoa tudjuk, hogy létezik folytoos trajektóriájú, a Wieer-folyamat a) feltételét teljesítő Gauss-folyamat? Ha létezik, akkor mit modhatuk a folytoos trajektória létezéséről? Automatikusa teljesül-e ez a követelméy, vagy teük kell-e valamit eek teljesítése érdekébe? Az első kérdés megválaszolása egyszerűbb. Egyrészt az előbb megfogalmazott 1. feladat egyik állítása szerit a várható érték és a kovariacia megadásával és azzal a megkötéssel, hogy a Wieer-folyamat Gauss-folyamat, egyértelműe megadtuk e folyamat véges dimeziós eloszlásait. Másrészt igaz az alábbi. feladat állítása:. feladat. Rögzítsük valamely 0 t 1 < t < < t T számokat, vegyük függetle, ulla várható értékű és t j t j 1, 1 j, t 0 = 0, ormális eloszlású η j valószíűségi változókat, és defiiáljuk a Z k = k η j, 1 k valószíűségi változókat. Lássuk be, hogy a (Z 1,..., Z ) véletle vektor eloszlása megegyezik a Wieer-folyamatba defiiált (W (t 1 ),..., W (t )) véletle vektor eloszlásával. Lássuk be eek az észrevételek a segítségével, hogy a Wieer-folyamat defiiciójába előírt véges dimeziós eloszlások kozisztesek. A. feladat állítása azt jeleti, hogy a Kolmogorov-féle alaptétel szerit létezik a Wieer-folyamat defiicójába szereplő a) tulajdoságot teljesítő Gauss-folyamat. A b) tulajdosággal kapcsolatba a helyzet boyolultabb. Oldjuk meg először a következő feladatot. 3. feladat: Legye adva egy ξ t, 0 t 1, a [0, 1] itervallummal mit idex halmazzal idexelt sztochasztikus folyamat valamely (Ω, A, P ) valószíűségi mező. Jelölje F a ξ t, 0 t 1, valószíűségi változók által geerált σ-algebrát. Lássuk be, hogy az az eseméy, hogy a ξ t folyamat folytoos trajektóriájú ics bee az F σ-algebrába. A 3. feladat eredméye azért érdekes a számukra, mert csak az ott defiiált σ-algebra eseméyeiek a valószíűségéről tuduk beszéli. Ha alaposabba meggodoljuk be lehet láti, hogy egy sztochasztikus folyamat véges dimeziós eloszlásaiak ismeretébe em beszélhetük aak az eseméyek a valószíűségéről, hogy a sztochasztikus folyamat mide trajektóriája folytoos függvéy. Viszot lehetőségük va arra, hogy ha adva va egy sztochasztikus folyamat, akkor megpróbáljuk aak trajektóriáit,,kijavítai úgy, hogy a sztochasztikus folyamatot defiiáló valószíűségi változókat egy ull-mértékű halmazo megváltoztatuk. Ezáltal a sztochasztikus folyamat véges dimeziós eloszlásait em változtatjuk meg, viszot bizoyos esetekbe esélyük va arra, hogy egy sztochasztikus folyamatba kotium sok ull-mértékű halmazo változtatva a trajektóriák tulajdoságait megváltoztatva jobb tulajdoságú trajektóriákat kapuk. Az alábbiakba megfogalmazok és bebizoyítok egy eredméyt, amely elégséges feltételt ad arra, hogy egy sztochasztikus folyamat valószíűségi változóit ull-mértékű halmazo megváltoztatva olya sztochasztikus folyamatot kapjuk, amelyek trajektóriái

3 folytoosak. (Természetese az új folyamat véges dimeziós eloszlásai megegyezek az eredeti folyamat véges dimeziós eloszlásaival.) Azutá megmutatom, hogy ez az eredméy alkalmazható a Wieer-folyamatok esetébe is. Ez lehetővé teszi, hogy a Wieer-folyamat defiiciójába megköveteljük a b) tulajdoságot. Az eredméy megfogalmazása előtt bevezetem a következő defiiciót. Sztochasztikus folyamat sztochasztikus folytoosságáak a defiiciója. Legye adva egy sztochasztikus folyamat X(t), a t b, valamely [a, b] itervallumo. Azt modjuk, hogy ez a sztochasztikus folyamat folytoos valamely a t b potba, ha mide ε > 0 számra teljesül a feltétel mide t t számsorozatra. lim P ( X(t, ω) X(t, ω) > ε) = 0 t t Most megfogalmazom a következő Lemmát. Lemma sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriáiról. Legye adva egy X(t, ω), 0 t 1, sztochasztikus folyamat a [0, 1] itervallumo. Teljesítse ez a sztochasztikus folyamat a következő két tulajdoságot. a) Az X(t, ω) sztochasztikus folyamat sztochasztikusa folytoos a [0, 1] itervallum mide potjába. b) A sztochasztikus folyamat majdem mide X(t, ω), 0 t 1, ω Ω, trajektóriája redelkezik a következő tulajdosággal. Az X ( k, ω ), = 1,,..., 0 k függvéy, azaz az X(, ω) függvéy megszorítása a diadikusa racioális potokra, egyeletese folytoos. Ekkor létezik olya X(t, ω), 0 t 1, sztochasztikus folyamat, amelyek mide X(, ω) trajektóriája folytoos függvéy, és P ( X(t, ω) = X(t, ω)) = 1 mide 0 t 1 potba. Megjegyzés: Belátható, hogy a Lemmába szereplő a) és b) feltétel teljesülése vagy em teljesülése az X(t, ω) sztochasztikus folyamat véges dimeziós eloszlásaitól függ. A Lemma bizoyítása. Defiiáljuk az X(t, ω) sztochasztikus folyamatot a következő módo: Legye X(t, ω) = 0 mide 0 t 1 számra egy olya ω esetébe, amelyre az X ( k, ω ) függvéy em egyeletese folytoos. Az olya ω elemi eseméyekre viszot, amelyekre ez a függvéy egyeletese folytoos a diadikusa racioális potokba tekitsük mide 0 t 1 számra egy olya k = k (t) sorozatot, = 1,,..., amelyre k = t, és legye X(t, ω) = lim X ( k, ω ). Ez a limesz létezik, mert az X ( k, ω ), lim = 1,,..., sorozat Cauchy sorozat. Az X(t, ω) és X(t, ω) valószíűségi változó 1 valószíűséggel megegyezik, mert mid a kettőhöz sztochasztikusa (a mértékelmélet yelvé mértékbe) kovergál az X ( k, ω ), = 1,,..., sorozat. Ezekívül az X(, ω) trajektóriák folytoos függvéyek mide ω Ω elemi eseméyre. 3

4 Az előző lemma segítségével bebizoyítom az alábbi állítást, amely a korábbi eredméyekkel együtt biztosítja, hogy létezik Wieer-folyamat. Tétel (folytoos trajektóriájú) Wieer-folyamat létezéséről. Legye adva egy olya W (t, ω), 0 t 1, Gauss-folyamat a [0, 1] itervallumo, amely teljesíti a Wieer-folyamat defiiciójába szereplő a) feltételt. Ekkor létezik olya W (t, ω), 0 t 1, Wieer-folyamat a [0, 1] itervallumo, amelyre P (W (t, ω) = W (t, ω)) = 1, és trajektóriái 1 valószíűséggel folytoosak. A Wieer-folyamat létezéséről szóló tétel bizoyítása. Elég megmutati, hogy midkét a Lemmába szereplő feltétel teljesül egy olya W (t, ω) Gauss-folyamatra, amely teljesíti a Wieer-folyamat defiiciójába szereplő a) feltételt. Ezek közül az a) tulajdoság teljesülése yílvávaló a Csebisev egyelőtleség alapjá, mert W (t, ω) W (t, ω) 0 várható értékű és t t szóráségyzetű valószíűségi változó. A b) tulajdoság bizoyításához elég megmutati azt, hogy ( ( ) ( ) ) P W k, ω W k 1, ω > /8 <. (A) =1 sup 1 k Ebből ugyais a Borel-Catelli lemma alapjá következik, hogy létezik olya Ω Ω, P ( Ω) = 1 eseméy, amelyre igaz, hogy ( mide ω Ω elemi eseméyre va olya (ω) küszöbidex úgy, hogy sup W k, ω ) W ( k 1, ω ) /8 mide (ω) 1 k számra. Azt állítom, hogy ebből következik, hogy ha t és s két olya diadikus racioális szám, amelyre 0 < t s < L valamely (agy) L egész számra, ω Ω, L (ω) akkor X(t, ω) X(s, ω) ( sup W k, ω ) W ( k 1, ω ) / =L 1 k =L L/8, ahoa következik, hogy a W (t, ω) folyamat teljesíti a b) tulajdoságot, ha ω Ω. A feti egyelőtleségsorozat első egyelőtleségéek belátása érdekébe tekitsük a leghosszabb [ ] [ k, k+1 j itervallumokat, amelyekre k ] j, k+1 j [s, t]. Egy vagy két ilye j itervallum va, és j L. Legye eze itervallumok egyesítéséek a bal végpotja k, j jobb végpotja pedig k, k = k + 1 vagy k = k +. Mid az [ ] [ ] s, k j mid a k j, t j itervallum előállítható külöböző hosszúságú j, j j+1, hosszúságú diadikus itervallumok egyesítésekét. Az előbbiekből következik, hogy az [s, t] itervallum előáll j, j L, hosszúságú diadikus itervallumok egyesítésekét, és ebbe az egyesítésbe mide j L-re legfeljebb darab j hosszúságú itervallum szerepel. Ie következik a kívát egyelőtleség. Az (A) reláció bizoyításához vegyük észre, hogy ( ( ) ( ) ) P W k, ω W k 1, ω > /8 =1 sup 1 k =1 k=1 P ( W ( ) ( ) ) k, ω W k 1, ω > /8 4

5 =1 k=1 E ( W ( k, ω ) W ( k 1, ω )) 4 / = =1 3 / <, mert a W ( k, ω ) W ( k 1, ω ) valószíűségi változók ormális eloszlásúak, ulla várható értékkel és szóráségyzettel. Ezért a egyedik mometumuk 3. A tétel bizoyítását befejeztük. Megjegyzés: A feti tételbe beláttuk, hogy létezik a [0, 1] itervallumo defiiált Wieer-folyamat. A jelölések émi változtatásával be lehet láti ugyaezzel a módszerrel, hogy tetszőleges T > 0 számra létezik Wieer-folyamat a [0, T ] itervallumo. De be lehet láti azt, hogy létezik W (t, ω), t 0. Wieer-folyamat a pozitív félegyeese például a következő feladat megoldásáak a segítségével. Feladat: Legye W (t, ω), = 1,,..., 0 t 1, függetle Wieer-folyamatok sorozata a [0, 1] itervallumo. Lássuk be, hogy,,ezeket a függetle Wieer-folyamatokat összeragasztva, azaz defiiálva a W (t, ω) = W j (1, ω) + W [t]+1 ({t}, [t] ω), 0 t <, Wieer-folyamat a t 0 félegyeese, ahol [t] a t szám egész részet {t} pedit a t szám tört részét jelöli. Nem kötelező feladat: Mutassuk meg, (felhaszálva az előző bizoyítás godolatait, hogy ha egy X(t, ω), 0 t 1, sztochasztikus folyamat a [0, 1] itervallumo teljesíti az E X(t, ω) X(s, ω) +α C t s 1+β feltételt alkalmas α > 0, β > 0 és C > 0 kostasokkal midet 0 s < t 1 számpárra, akkor létezik az X(t, ω) sztochasztikus folyamatak olya X(t, ω) módosítása, amelyre P (X(t, ω) = X(t, ω) mide 0 t 1 számra, és a X(t, ω) folyamat mide trajektóriája folytoos függvéy. (Valójába az α > 0 feltétel elhagyható a feltételkét szereplő egyelőtleségből. Azért tettük ezt fel, mert a legtöbb érdekes esetbe csak α > 0 számmal tudjuk biztosítai a kívát feltétel teljesülését.) 4. feladat: Mutassuk meg, hogy egy a [0, 1] itervallumo defiiált folytoos trajektóriájú sztochasztikus folyamat tekithető, mit egy C([0, 1])-tér értékű, azaz a [0, 1] itervallumo értelmezett folytoos értékű függvéyekből álló, és a szuprémum ormával ellátott Baach tére értelmezett valószíűségi változó. A probléma jobb megértése érdekébe a megfogamazom e kérdés 4a) változatát, amely megmagyarázza, mi a probléma léyege. 4a. feladat: Világos, hogy egy a [0, 1] itervallumo értelmezett folytoos trajektóriájú X(t, ω) sztochasztikus folyamat az (Ω, A, P ) valószíűségi mezőt leképezi a C([0, 1]) térbe. De be kell láti, hogy ez a leképezés mérhető. Tudjuk, hogy mivel mide rögzített 0 t 1 számra az X(t, ) függvéy folytoos, azaz tetszőleges Borel mérhető B halmazra {ω : X(t, ω) B} A, (azaz a B halmaz ősképe mérhető). Lássuk be, hogy a C([0, 1]) tér tetszőleges mérhető D halmazára {ω : X(t, ω) D} A. 4b. feladat: Az 4. feladat állítása szerit tetszőleges a [0, 1] itervallumo defiiált folytoos trajektóriájú folyamat tekithető úgy, mit egy értékeit a C([0, 1]) térbe 5

6 felvevő valószíűségi változó. Lássuk be, hogy e folyamat véges dimeziós eloszlásai meghatározzák aak valószíűségét is, hogy véve egy tetszőleges Borel-mérhető halmazt a C([0, 1]) térbe, a sztochasztikus folyamat trajektóriái ebbe a halmazba esek. 5. feladat: Az előző tétel megoldásába fotos szerepet játszott az a lépés, hogy adjuk jó becslést aak valószíűségére, hogy egy ormális eloszlású valószíűségi változó egy adott számál agyobb értéket vesz fel. Ezt a becslést abba a bizoyításba a egyedik mometum becsléséek a segítségével kaptuk. Az ebbe a feladatba megfogalmazott becslés potosabb, és bizoyos ehezebb feladatokba erre va szükség. A következő jelölést fogjuk alkalmazi. Φ(x) jelöli a stadard ormális eloszlásfüggvéyt, ϕ(x) = 1 π e x /, eek sűrűségfüggvéyét. Mutassuk meg (parciális itegrálással), hogy mide x > 0 számra teljesül a következő egyelőtleség: ( 1 x 1 ) x 3 ϕ(x) < 1 Φ(x) < 1 x ϕ(x). Wieer-folyamatok tulajdoságai. Megfogalmazom azt a fotos eredméyt, amelyet fukcioális cetrális határeloszlástételek szokás evezi, és amely a szokásos cetrális határeloszlástétel természetes és fotos általáosítása. Először felidézem a cetrális határeloszlástétel általáos alakját. Ez a tétel arról szól, hogy ha tekitjük valószíűségi változókak egy szériasorozatát, azaz mide egyes k = 1,,... egész számra megadjuk valószíűségi változók ξ k,j, j = 1,,..., k, sorozatát, amelyek (rögzített k számra) függetleek, akkor a S k = k ξ k,j véletle összegek eloszlásba kovergálak a ormális eloszláshoz agyo általáos feltételek mellett. E feltételek közül a legfotosabb az úgyevezett Lideberg feltétel, amelyet külö felidézek. Lideberg feltétel defiiciója szériasorozatokra: Legye ξ k,j, k = 1,,..., 1 j k, olya szériasorozat, amelyre Eξ k,j = 0, Eξk,j <, k = 1,,..., 1 j k, és k lim = 1. Ez a szériasorozat akkor és csak akkor teljesíti a Lideberg feltételt, Eξk,j k ha tetszőleges ε > 0 számra lim k k ahol I(A) egy A halmaz idikátor függvéye. Eξ k,ji ({ ξ k,j > ε}) = 0, Cetrális határeloszlástétel szériasorozatokra a Lideberg feltétel teljesülése eseté. Legye ξ k,j, k = 1,,..., 1 j k, olya szériasorozat, amelyre Eξ k,j = 0, Eξk,j <, k = 1,,..., 1 j k k, lim = 1, és teljesítse e szériasorozat a Lideberg feltételt. Ekkor Eξk,j k 6

7 ( ) a.) a szériasorozat tagjai teljesítik a lim sup Eξk,j = 0 kicsiségi feltételt. k 1 j k b.) Az S k = k ξ k,j, 1 k <, véletle összegek eloszlásba kovergálak a stadard, azaz ulla várható értékű és 1 szóráségyzetű ormális eloszláshoz, ha k. Be lehet láti azt is, hogy a cetrális eloszlástétel eze formája bizoyos értelembe éles, és tovább em javítható. Ezzel a kérdéssel itt em foglalkozuk. Viszot megfogalmazok egy olya eredméyt, amely azt fejezi ki, hogy ameyibe veszük egy a Lideberg feltételt teljesítő szériasorozatot, és rögzített k számra emcsak az S k = k ξ k,j véletle összeget vezetjük be, haem az összes S k (j) = j ξ k,p, 1 j k (B1) p=1 részletösszeget, és tekitjük az S k (j), 1 j k, sorozat eloszlását, akkor eek aszimptotikus viselkedése bizoyos értelembe jól leírható egy Wieer-folyamat segítségével. A feti állítás potos megfogalmazásáak érdekébe vezessük be a következő jelöléseket: Legye adva egy ξ 1,1,..., ξ 1,1.... ξ k,1,..., ξ k,k szériasorozat, amelyre Eξ k,j = 0, Eξk,j = σ k,j, k.. a lim k s k = 1 reláció. Vezessük be az S k(0) = 0, S k (j) = (B) σk,j = s k, és feltesszük, hogy teljesül j p=1 ξ k,p és s k (j) = s k (0) = 0, s k(j) = s k(j), 1 j k, k = 1,,..., meyiségeket. Adjuk meg eze s k meyiségek segítségével a következő a [0, 1] itervallumo defiiált X k (t) = X k (t, ω), 0 t 1, (véletle) folytoos függvéyeket: X k ( s k(j), ω) = S k (j), 0 j k és X k (t, ω) = s k (j) t s k (j) s k (j 1) X k( s k(j 1), ω) + t s k(j 1) s k (j) s k (j 1) X k( s k(j), ω) ha s k (j 1) t s k (j), 1 j k, (B3) azaz az X k (, ω) függvéy az s k (j) potokba megegyezek az első j ξ k,p (ω) valószíűségi változó összegével, a köztük levő potokba pedig lieáris függvéykét kiegészítjük őket. Tegyük fel, hogy a (B) szériasorozat teljesíti a Lideberg feltételt is. Ekkor 7 j p=1 σ p,

8 alkalmazható rá a cetrális határeloszlástétel. Némi plusz mukával be lehet láti, hogy emcsak az X k (1, ω) valószíűségi változók kovergálak eloszlásba a stadard ormális eloszláshoz, ha k, haem az is igaz, hogy mide rögzített t számra az X k (t, ω) valószíűségi változók kovergálak eloszlásba egy 0 várható értékű és t szóráségyzetű ormális eloszlású valószíűségi változóhoz. Sőt, az is igaz, hogy mide 0 t 1 < t < < t m 1 számokra az (X k (t 1, ω),..., X k (t m, ω)) véletle vektorok eloszlásba kovergálak egy olya (Z 1,..., Z m ) m-dimeziós ormális eloszlású vektor eloszlásához, amelyre EZ j = 0, 0 j k, EZ j Z j = mi(t j, t j ). Ez szemléletese azt jeleti, hogy agy k idexre a (B3) képletbe defiiált X k (t, ω) sztochasztikus folyamat közel va eloszlásba egy a [0, 1] itervallumo defiiált Wieer-folyamathoz. Az alábbiakba megfogalmazok egy tételt, amely a fet megfogalmazattokhoz hasoló, de tartalmasabb állítást fogalmaz meg. A tétel kimodása előtt emlékeztetek arra, hogy mit azt a 4. feladatba megfogalmazott állítás megfogalmazza, egy a [0, 1] itervallumo defiiált folytoos trajektóriájú sztochasztikus folyamatot tekithetük egy C([0, 1]) tére defiiált valószíűségi változóak is. Ezt az észrevételt alkalmazhatjuk mid a Wieer-folyamatra, mid a (B3) képletbe defiiált folyamatokra. Az a téy, hogy egy Wieer-folyamat felfogható úgy, mit egy értékeit a C([0, 1]) térbe felvevő valószíűségi változó lehetővé teszi, hogy bevezessük az alább megadadó Wieer mérték fogalmát. Wieer-mérték defiiciója. Legye adva egy Wieer-folyamat a [0, 1] itervallumba. Tekitsük ezt, mit egy értékeit a C([0, 1]) térbe felvevő valószíűségi változót. Eek eloszlását, azaz a µ W (A) = P (ω : W (, ω) A) függvéyt mide a C([0, 1]) térbeli Borel mérhető A halmazra, (azaz mide olya A halmazra, amely bee va a B([0, 1]) térbe lévő yílt halmazok által geerált legszűkebb σ-algebrába) Wieermértékek evezzük. Emlékeztetek továbbá arra, hogy az eloszlásba való kovergecia természetes általáosítását defiiálták tetszőleges szeparábilis metrikus térbe. Ezt gyege kovergeciáak evezik általába az irodalomba, és euklidészi térbe levő valószíűségi mértékek esetébe ez ekvivales az eloszlásba való kovergeciával. Több külöböző alakja va eek a defiicióak, de ezek midegyike ekvivales. A defiiciókat megadom, de ekvivaleciájuk bizoyítását elhagyom. Valószíűségi mértékek (gyege) kovergeciájáak a defiiciója, a) defiició. Legye adva valószíűségi mértékek µ, = 1,..., sorozata egy (X, ρ) szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazai. Azt modjuk, hogy e mértékek sorozata gyegé kovergál egy µ e szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazai defiiált valószíűségi mértékhez, ha mide a metrikus tére értelmezett folytoos f(x) függvéyre lim f(x)µ ( dx) = f(x)µ( dx). Valószíűségi mértékek (gyege) kovergeciájáak a defiiciója, b1) defiició. Legye adva valószíűségi mértékek µ, = 1,..., sorozata egy (X, ρ) 8

9 szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazai. Azt modjuk, hogy e mértékek sorozata gyegé kovergál egy µ e szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazai defiiált valószíűségi mértékhez, ha mide a metrikus tére lévő zárt F halmazra lim sup µ (F ) µ(f ). Valószíűségi mértékek (gyege) kovergeciájáak a defiiciója, b) defiició. Legye adva valószíűségi mértékek µ, = 1,..., sorozata egy (X, ρ) szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazai. Azt modjuk, hogy e mértékek sorozata gyegé kovergál egy µ e szeparábilis metrikus tér Borel mérhető részhalmazai defiiált valószíűségi mértékhez, ha mide a metrikus tére lévő yílt G halmazra lim if µ (G) µ(g). Megjegyzés. A gyege kovergecia a) defiiciója és a korábba taultak alapjá kimodhatjuk, hogy eloszlásfüggvéyek F sorozata a számegyeese akkor és csak akkor kovergál eloszlásba egy F eloszlásfüggvéyhez, ha az F eloszlásfüggvéyek által meghatározott µ Stieltjes (valószíűségi) mértékek gyegé kovergálak az F eloszlásfüggvéy által meghatározott µ Stieltjes mértékhez. Most kimodhatjuk az előbb szériasorozatok által defiiált véletle lieáris darabokból álló (töröttvoal) függvéyeket értékkét felvevő sztochasztikus folyamatok gyege kovergeciáját a Wieer-mértékhez. Ezt a tételt az irodalomba fukcioális cetrális határeloszlástételek hívják. Fukcioális cetrális határeloszlástétel. Legye adva egy a (B) képletbe leírt szériasorozat, amelyek tagjai teljesítik az Eξ k,j = 0, Eξk,j = σ k,j, k = 1,,..., 1 j k k, lim = 1 relációkat és a Lidebeg feltételt. Vezessük be az e szériasorozat σk,j k segítségével a (B3) formulába defiiált folytoos trajektóriájú X k (t) = X k (t, ω), 0 t 1, k = 1,,..., folytoos trajektóriájú sztochasztikus folyamatokat. Az X k (t, ω) sztochasztikus folyamatok gyegé kovergálak a Wieer mértékhez, ha k. Felmerül a kérdés, miért érdekes a feti eredméy. Azért, mert ez em pusztá egy absztrakt térbe megfogalmazott változata a cetrális határeloszlástételek, haem magukak a szériasorozatok részletösszegeiek aszimptotikus viselkedéséről is léyeges új iformációt tartalmaz. Aak érdekébe, hogy ezt megértsük lássuk be az alábbi egyszerű lemmát, amely azt fejezi ki, hogy egy folytoos traszformáció gyegé koverges valószíűségi mértékek sorozatát ismét valószíűségi mértékek gyegé koverges sorozatába visz. Potosabba megfogalmazva a következő eredméy érvéyes. Lemma gyegé koverges valószíűségi mértékek kovergeciájáról. Legye adva egy (X, X ) szeparábilis metrikus tér (itt X a ρ metrika segítségével az X tére 9

10 defiiált yílt halmazok által geerált Borel σ-algebrát jelöli, és hasolóa értelmezzük később az Y σ-algebrát egy (Y, Y) tére) és azo valószíűségi változók µ sorozata, = 1,,..., amely az előbb defiiált gyege kovergecia értelmébe kovergál egy µ valószíűségi mértékhez. Legye adva ezekívül egy másik (Y, Y) szeparábilis metrikus tér, valamit egy T folytoos traszformáció az (X, X ) térből az (Y, Y) térbe. Ez a traszformáció természetes módo idukál egy traszformációt, amely mide az (X, X ) tére defiiált ν valószíűségi mértékek a következő T ν valószíűségi mértéket felelteti meg az (Y, Y) tére: T ν(b) = ν({x: T x B}) mide B Y halmazra. Ekkor a T µ valószíűségi mértékek gyegé kovergálak a T µ valószíűségi mértékhez. A lemma bizoyítása. Alkalmazzuk a gyege kovergecia a) defiicióját. Ekkor azt kell beláti, hogy tetszőleges az (Y, Y) tére folytoos g(y) függvéyre lim g(y)t µ ( dy) = g(y)t µ( dy). Vezessük be a g(y) függvéy f(x) = g(t x) ősképét. Ekkor az f(x) függvéy folytoos, és a mértékelmélet egyik fotos eredméye alapjá mértéktartó traszformációk szeriti itegrálokról f(x)µ(dx) = g(y)t µ(dy) és f(x)µ (dx) = g(y)t µ (dy) mide = 1,,... számra. A µ mértékek gyege kovergeciájából és az f(x) függvéy folytoosságából következik, hogy lim f(x)µ ( dx) = f(x)µ( dx) a feti szereposztással. A feti összefüggésekből következik a lemma állítása. Megjegyzés 1: Érdemes megfogalmazi a feti lemma állítását ekvivales módo mértékek helyett (metrikus térbeli értékeket felvevő) valószíűségi változók segítségével. Ez így szól. Legyebadva (X, X ) szeparábilis, metrikus térbeli értékeket felvevő valószíűségi változók ξ, = 1,... sorozata, amelyek eloszlásai kovergálak egy ξ ((X, X ) térbeli értékeket felvevő) valószíűségi változó eloszlásához. Legye T az (X, X ) tér egy folytoos leképezése valamely (Y, Y) szeparábilis metrikus térbe. Ekkor a T (ξ ) valószíűségi változók eloszlásai eloszlásba kovergálak a T (ξ) valószíűségi változó eloszlásához. Megjegyzés : Be lehet láti, hogy igaz a feti lemma olya élesítése, amely szerit a Lemma általáosítása érvéybe marad akkor is, ha gyegítjük azt a feltételt, hogy a T traszformáció folytoos. Elegedő csak ayit megköveteli, hogy a T traszformáció egy valószíűséggel folytoos a µ (határ)mérték szerit. Ez az általáosítás érdekes bizoyos alkalmazásokba. A feti lemma számukra abba a speciális esetbe érdekes, amikor az (X, X ) tér a [0, 1] itervallumo defiiált folytoos függvéyek C([0, 1]) tere, (Y, Y) a számegyees vagy egy véges dimeziós euklidészi tér a szokásos Borel σ-algebrával, és alkalmazuk egy T traszformációt a C([0, 1]) térből ebbe a véges dimeziós euklidészi térbe. Ekkor a fukcioális cetrális határeloszlástételek érdekes következméyei vaak. Tekithetjük például a következő példákat: T 1 f = sup f(x), T f = sup f(x), T 3 f = 0 x 1 0 x f (x) dx, T 4 f = (T 1 f, T f, T 3 f). Ezek a traszformációk midegyike folytoos, ezek 10

11 közül az első három a számegyeesre, a egyedik a három dimeziós euklidészi térbe képez. A T 1 trasformáció alkalmazása például azt adja, hogy ha egy szériasorozat j teljesíti a fukcioális cetrális határeloszlástétel feltételeit, akkor a sup ξ k,p 1 j k p=1 valószíűségi változók eloszlásba kovergálak egy a [0, 1] itervallumba defiiált Wieer-folyamat szuprémumáak eloszlásához. Hasolóa lehet egy határeloszlástételt modai T, T 3 vagy T 4 traszformáció alkalmazása segítségével. Vegyük észre azt is, hogy a határeloszlás csak a határfolyamattól (a Wieer-folyamattól) függ, tehát mide a fukcioális cetrális határeloszlástétel feltételeit teljesítő szériasorozatra ugyaaz. Iformális módo a feti eredméyek úgy iterpretálhatóak, hogy a fukcioális határeloszlástétel feltételeit teljesítő szériasorozatokból képzett részletösszegek sorozatai agy idexre hasolóa viselkedek, és ezt a hasoló viselkedést a Wieer-folyamat segítségével írhatjuk le. Végül megjegyzem, hogy Brow agol biológusak az ismertetés elejé említett azo megfigyeléséek a hátterébe, amely miatt a Wieer-folyamatot Brow mozgásak is hívják, szité a fukcioális cetrális határeloszlástétel va. Egy apró részecske az idő folyamá sok egymástól függetle apró lökést kap, és mozgása az eze lökések hatására végzett sok kis egymástól függetle elmozdulás összegekét áll elő. A fukcioális cetrális határeloszlástétel szerit egy ilye pálya közelítőleg úgy viselkedik, mit egy Wieer-folyamat trajektóriája. Kiegészítés. Megjegyzések a feladatok megoldásához. 1. feladat Egy ξ = (ξ 1,..., ξ k ) vektort k-dimeziós stadard ormális eloszlású vektorak evezük, ha koordiátái függetle, stadard ormális eloszlású valószíűségi változók. Azokat a vektorokat evezzük ormális eloszlásúak, amelyek eloszlása megegyezik egy ξa + m véletle vektor eloszlásával, ahol ξ stadard ormális eloszlású vektor, A egy k k mátrix m egy k-dimeziós (determiisztikus) vektor. Némi számolással belátható, hogy egy ilye vektor kovariacia mátrixa D = A A alakú. A lieáris algebra bizoyos eredméyeiből következik, hogy a D = A A egyeletek (rögzített D mátrixra) akkor és csak akkor va megoldása, ha D szimmetrikus pozitív (szemi)defiit mátrix. (Miért?) Viszot egy ilye egyeletek em csak egy A mátrix lehet a megoldása. Eek elleére a D kovariacia mátrix és az m várható érték mátrix meghatározza egy ormális eloszlású vektor eloszlását. Eek egy lehetséges magyarázata: Elég megmutati, hogy a ξ ormális eloszlású valószíűségi változó Ee i(t,ξ) karakterisztikus függvéyét meghatározza a D kovariacia mátrix és m várható érték. Másrészt be lehet láti, hogy Ee i(t,ξ) = e (t,dt)/+i(m,t).. feladat Az eloszlások megegyezéséhez a tekitett vektorok ormális eloszlása és ulla várható értéke miatt elegedő a kovariaciamátrixok megegyezését elleőrízi. A kozisztecia köye látható, ha megértjük, miről va szó. 3. feladat (Vázlatos idoklás) A σ-algebra csak megszámlálható sok koordiátától függő eseméyeket tartalmaz. Egy függvéy ismerete viszot megszámlálható sok koordiátá- 11

12 jába em határozza meg, hogy folytoos-e, mert a többi koordiátába el lehet rotai a folytoosságot. t [0,1] t [0,1] 4. feladat Mid a 4), mid a 4a) mid a 4b) feladat megoldása a következő állítás igazolásá alapul: ( ) Tekitsük az (R [0,1], C [0,1] ) = R t, B t szorzatteret, ahol R t a számegyeesek B t pedig a számegyees σ-algebrájáak egy a t számmal paraméterezett példáya. Jelölje Z az összes a [0, 1] itervallumo folytoos függvéyből álló halmazt, és tekitsük az (R [0,1], C [0,1] ) tér Z, Z) megszorítását a Z halmazra. Ez azt jeleti, hogy vesszük a Z halmazt, és Z azokból a B halmzokból áll, amelyek előállak B = Z A, A C [0,1] alakba. Nem ehéz beláti, hogy Z a Z halmaz bizoyos részhalmazaiból álló σ-algebra. Azt állítjuk, hogy tetszőleges a C([0, 1]) térbe Borel mérhető halmaz bee va a Z σ-algebrába. (Az is igaz, hogy a Z σ-algebra megegyezik a C([0, 1]) tér Borel σ-algebrával, de eek az állításak a második felére em lesz szükségük.) Az előbbi állítás bizoyításához elég megmutati azt, hogy a C([0, 1]) tér mide G yílt halmazára G Z, mert ebből következik, hogy mide a yílt halmazok által geerált σ-algebrájába levő B halmazra, B Z. Tovább lehet redukáli az állítást a következő tipusú halmazokra: Ha x = x(t) C([0, 1]), ε > 0, akkor legye S(x, ε) = {y : y C([0, 1]), x(t) y(t) < ε}. Elég sup t [0,1] beláti, hogy mide S(x, ε) tipusú halmazra S(x, ε) Z, mert tetszőleges yílt halmaz előállítható megszámlálható sok ilye halmaz uiójakét. A következő meggodolás mutatja, hogy S(x, ε) Z. Jelölje Q a racioális számok halmazát a [0, 1] itervallumba. Ekkor (Miért?) S(x, ε) = =1 r Q { ( y : y Z, y(r) x(r) < 1 1 ) ε} Z. Az, hogy az X(, ω) folytoos trajektóriájú folyamat azt jeleti, hogy X(, ω) Z mide ω Ω elemi eseméyre. Mivel a C([0, 1]) tér mide B Borel mérhető halmaza előáll B = A Z, A C [0,1] alakba, ezért {ω : X(, ω) B} = {ω : X(, ω) B Z} = {ω : X(, ω) A} A, és a P (X(, ω) A) = P (X(, ω) B valószíűséget meghatározzák az X(, ω) sztochasztikus folyamat véges dimeziós eloszlásai. Ie következik mid a 4a) mid a 4b) feladat állítása. 5. feladat Parciális itegrálással belátható, hogy x e u / du = 1 x e x / x 1 u e u / du = 1 x e x / 1 x 3 e x / + és ebből az azoosságból levezethető a feladat állítása. 1 x 3 u 4 e u / du,

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. A valószínűségszámítás egyik nagyon fontos fogalma a Wiener-folyamat, amelyet Brownmozgásnak is hívnak. Az első elnevezés e fogalom

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Határérték-tételek véletlen mezőkre

Határérték-tételek véletlen mezőkre Határérték-tételek véletle mezőkre Doktori (PhD) értekezés Szerző: Karácsoy Zsolt Témavezető: Dr. Fazekas Istvá Debrecei Egyetem Természettudomáyi Doktori Taács Matematika- és Számítástudomáyok Doktori

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk ÚJRAMINTAVÉTELEZÉSI ELJÁRÁSOK A jackkife (zsebkés) és bootstrap (cipőhúzó a saját kallatyújáál fogva) eljárások agol elevezése is arra utal, hogy itt ad hoc eljárásokról va szó, melyek azoba agyo haszosak

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

Approximációs tételek a kupongyűjtő problémában. Doktori (Ph.D.) értekezés tézisei

Approximációs tételek a kupongyűjtő problémában. Doktori (Ph.D.) értekezés tézisei Approximációs tételek a kupogyűjtő problémába Doktori Ph.D.) értekezés tézisei Pósfai Aa Témavezetők: Dr. Csörgő Sádor egyetemi taár és Dr. Adrew D. Barbour egyetemi taár Matematika- és Számítástudomáyok

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Marianna, Matematika Intézet, Sztochasztika Tanszék

æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Marianna, Matematika Intézet, Sztochasztika Tanszék æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Mariaa, Matematika Itézet, Sztochasztika Taszék Leíró statisztika Ω, A, P) statisztikai mező, ahol a P mértékcsalád olya P eloszlásokból áll, melyekkel Ω, A, P) valószíűségi

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata Ph.D. értekezés

Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata Ph.D. értekezés Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata Ph.D. értekezés Osztéyié Krauczi Éva Témavezet : Dr. Csörg Sádor Kozulesek: Dr. Pap Gyula és Dr. Sz cs Gábor Matematika- és Számítástudomáyi Doktori Iskola

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudomáyegyetem Természettudomáyi és Iformatikai Kar horvath@if.u-szeged.hu. Mohó algoritmusok A mohó stratégia elemi 1. Fogalmazzuk meg az optimalizációs feladatot

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév Diszkrét matematika I. legfotosabb tételek/defiíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév 1. Előszó A jegyzet a Diszkrét matematika I. (DE IK PTI, tárgykód: INDK101-K5, Dr. Burai Pál) tatárgy 2014/2015.

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek.

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek. A Valószínűségszámítás II. előadássorozat második témája. A CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁSTÉTEL A valószínűségszámítás legfontosabb eredménye a centrális határeloszlástétel. Ez azt mondja ki, hogy független valószínűségi

Részletesebben

Matematika szigorlat (A1-A2-A3)

Matematika szigorlat (A1-A2-A3) Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, 2014-2016 Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Autoregressziós modellekkel kapcsolatos

Autoregressziós modellekkel kapcsolatos Autoregressziós modellekkel kapcsolatos határeloszlás tételek Pap Gyula Kossuth Lajos Tudomáyegyetem, Matematikai és Iformatikai Itézet H 4 ebrece, Pf.2 papgy@math.klte.hu. AR() modellek Tekitsük az (.)

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Random Club 2010 tavasz Advanced probabilistic calculus for engineers

Random Club 2010 tavasz Advanced probabilistic calculus for engineers Exercitatio artem parat (Tacitus) Radom Club 200 tavasz Advaced probabilistic calculus for egieers Mide jeleséget okok redszere hoz létre, amelyek midegyikét legtöbbször em tudjuk figyelembe vei, így a

Részletesebben