GRUBER TIBOR. ANALÍZIS VIII. Funkcionálanaĺızis

Átírás

1 GRUBER TIBOR ANALÍZIS VIII. Fukcioálaaĺızis

2

3 3 Tartalom I. BEVEZETÉS 1. Alapvető tudivalók Sűrű lieáris alterek II. A FUNKCIONÁLANALÍZIS ALAPTÉTELEI 3. A Baire-féle kategóriatétel A Baach-féle yíltleképezés-tétel A zártgrafiko-tétel A Baach Steihaus-tétel A Hah Baach-tétel Egyes Baach-terek duálisa A Stoe Weierstrass-tétel III. HILBERT-TEREK 10. Skalárszorzat és orma kapcsolata Hilbert-terek zárt alterei, ortogoális projektorok A Riesz-féle reprezetációs tétel Ortoormált redszerek Speciális ortogoális redszerek Hilbert-terek tezorszorzata IV. OPERÁTOROK HILBERT-TEREKBEN 16. Operátorok adjugáltja Speciális típusú operátorok Pozitív operátorok Differeciálás-operátorok L 2 ([ π, π], C)-be Differeciálás-operátor L 2 (R, C)-be A függvéyel való szorzás-operátorok A Heiseberg-féle felcserélési reláció Operátorok spektruma A spektrálsugár Speciális típusú operátorok spektruma A differeciálás-operátorok spektruma

4 . 27. Szorzásoperátorok spektruma Fourier-traszformációk Differeciáloperátorok L 2 (R N, C)-be V. KOMPAKT OPERÁTOROK 30. Kompakt halmazok metrikus terekbe Véges ragú operátorok Kompakt operátorok Kompakt operátorok spektruma Itegrálegyeletek Magoperátorok

5 1. Alapvető tudivalók 5 I. BEVEZETÉS 1. Alapvető tudivalók 1.1. A fukcioálaalízis alapstruktúrái a ormált terek és speciálisa a skalárszorzatos terek. Az elkövetkezőkbe midig K feletti vektortereket tekitük, azaz a valós és komplex terek elméletét, ahol csak lehet, egyszerre tárgyaljuk. Külööse fotos lesz számukra eze terek teljessége, így a következő szokásos elevezéseket vezetjük be. Defiíció Egy teljes ormált teret Baach-térek, egy teljes skalárszorzatos teret Hilbert-térek evezük. Mit tudjuk (Aalízis III.B.7.4.), bámely ormált tér teljessé tehető. Egy skalárszorzatos tér teljessé tétele szité skalárszorzatos tér, azaz a teljessé tett tér ormája is skalárszorzatból származtatható; ezt majd a III. fejezetbe megmutatjuk Emlékeztetük a következő fogalmakra a vektorterek elméletéből. Az E vektortér H részhalmaza lieáris burkáak vagy a H által kifeszített altérek evezzük a H-t tartalmazó E-beli lieáris alterek metszetét A H halmaz lieárisa függetle, ha mide x H eseté x ics bee a H\{x} halmaz lieáris burkába. H geerátor E-be, ha lieáris burka E. Egy lieárisa függetle geerátort algebrai bázisak vagy Hamel-bázisak evezük. Mide vektortérbe létezik Hamel-bázis (Aalízis II.3.2.) Defiíció Legye (E,. ) ormált tér; ekkor a H E részhalmaz zárt lieáris burkáak evezzük a H-t tartalmazó E-beli zárt lieáris alterek metszetét. A H halmaz topologikusa lieárisa függetle, ha mide x H eseté x ics bee a H\{x} halmaz zárt lieáris burkába. H totális E-be, ha zárt lieáris burka E. Egy topologikusa lieárisa függetle totális halmazt topologikus algebrai bázisak vagy Schauder-bázisak evezük.

6 6 I. BEVEZETÉS Schauder-bázis em feltétleül létezik, azaz va olya ormált tér, amelybe ics topologikus algebrai bázis. A H lieáris burkát SpaH-val jelöljük. Ez a legszűkebb lieáris altér, amely tartalmazza H-t. A H zárt lieáris burka yilvá zárt lieáris altér, és a legszűkebb, amely tartalmazza H-t. 1. Álĺıtás Normált tér lieáris alteréek lezártja lieáris altér. Bizoyítás Ha L egy ormált lieáris altere, akkor (Aalízis III.B.4.9.) L+L L+L = L, é s λ K eseté λl = λl = L, í g y L is lieáris altér. 2. Álĺıtás Normált térbe a H részhalmaz zárt lieáris burka SpaH. Bizoyítás Ez zárt lieáris altér, amely tartalmazza H-t, és a legszűkebb ilye, mert ha M zárt lieáris altér és H M, akkor a lieáris burok és a lezárás ismert tulajdoságai szerit SpaH M é s SpaH M. Egy H halmaz tehát potosa akkor totális E-be, ha a lieáris burka sűrű E-be. Tudjuk, hogy ormált tér véges dimeziós lieáris altere midig zárt (Aalízis III.B.6.3.). Nem zárt lieáris alterekre a 2. fejezetbe látuk sok példát Ha E é s F vektorterek (azoos test felett), akkor az A:E F lieáris leképezésre x DomA eseté A(x) helyett szokásosa a tömör Ax jelölést haszáljuk. Teljes ormált térbe képező folytoos lieáris leképezések egyértelműe kiterjeszthetők folytoos lieáris leképezéssé az értelmezési tartomáyuk lezártjára. Közelebbről: ha E ormált tér, F Baach-tér, L E lieáris altér, A : L F folytoos lieáris leképezés, akkor létezik egyetle A : L F folytoos lieáris leképezés úgy, hogy A A. Továbbá A = A teljesül (Aalízis III.B.10.5) Sokszor lesz szükségük a végtele összegzés (sorok) következő általáosítására. Defiíció Legye I emüres halmaz és jelölje F(I) az I emüres véges részhalmazaiak halmazát. Az (E, ) ormált térbeli (x i ) i I redszert öszszegezhetőek evezzük, ha létezik olya x E, hogy mide ε>0 eseté létezik J ε F(I) úgy, hogy mide K F(I), K J ε eseté x x i <ε. i K Egyszerű téy, hogy ha (x i ) i I összegezhető, akkor az összege vagyis a defiícióba szereplő x egyértelmű; ezt a vektort a i I x i szimbólummal jelöljük.

7 1. Alapvető tudivalók 7 Ha (x i ) i I összegezhető, akkor teljesíti a Cauchy-kritériumot: mide ε>0 eseté létezik J ε F(I) úgy, hogy mide K F(I), K J ε = eseté x i <ε. (Ha E teljes, akkor ez a feltétel elégséges is ahhoz, hogy a redszer összegezhető legye.) Speciálisa i/ J ε eseté {i} J ε =, í g y x i <ε, ezért {i I x i ε} véges halmaz, hisze a J ε része. Mivel {i I x i 0} = N{i I x i 1/}, i K igaz a következő fotos téy. Álĺıtás Ha (x i ) i I összegezhető, akkor az {i I x i 0} halmaz legfeljebb megszámlálható. Megemlítjük, hogy az (x i ) i I összegezhetőségéek defiíciója egyeértékű azzal, hogy az I E, i x i függvéy itegrálható az I számlálómértéke szerit; ezt E = K eseté az eddigi taulmáyaik alapjá az Olvasó egyszerűe beláthatja Bizoyos vektortereke em ormát, haem félormát tuduk természetes módo megadi. Defiíció Legye E vektortér. A p : E R + 0 x, y E é s λ K eseté (NP) p(λx) = λ p(x), (NA) p(x+y) p(x)+p(y). leképezés félorma, ha mide Ha p félorma az E vektortére, akkor NP szerit p(0) = 0, tehát egy félorma abba külöbözik egy ormától, hogy emulla vektoro is vehet fel ulla értéket. Hasolóa, mit ormák esetébe, beláthatjuk, hogy mide x, y E eseté p(x) p(y) p(x y). ( ) A félorma defiíciós tulajdoságaiból következik, hogy N := {x E p(x) =0} lieáris altér E-be. A ( ) összefüggés szerit ha x y N, akkor p(x) =p(y), ezért az E/N faktortére (Aalízis II.6.1.) a ˆp : E/N R + 0, ˆp(x + N) := p(x). leképezés jól defiiált, és köyű beláti, hogy ˆp orma E/N-, amelyet a p-hez asszociált ormáak, az (E/N, ˆp) ormált teret a p-hez asszociált ormált térek evezzük A félormához asszociált ormált tér feti kostrukciójáak speciális esete az, ami az Aalízis V. B.III.14. fejezetébe szerepel.

8 8 I. BEVEZETÉS Legye (X, A, µ) σ-véges mértéktér, (E,. ) ormált tér. Emlékeztetük arra, hogy B(E) (az E Borel-halmazaiak összessége) az E yílt halmazai átal geerált σ-algebra. Egy f : X E függvéyt akkor moduk mérhetőek, ha A B(E)- mérhető, azaz mide E-beli Borel-halmaz f általi ősképe az A eleme. Legye 1 p (figyelem: ez a p em ugyaaz, mit az előbb, vagyis em félorma; sajálatos módo ugyaazt a p szimbólumot szokták haszáli általába a félorma jelölésére és itt a kitevőre, és mi is követtük ezt a szokást). Ekkor 1 p< eseté illetve vektorterek, és L p (X, A,µ; E) := {f : X E f mérhető és f p µ-itegrálható}, L (X, A,µ; E) := {f : X E f mérhető és f µ-korlátos}. p : L(X, A,µ; E) R + 0, f f p dµ X 1 p, illetve. : L (X, A,µ; E) R + 0, félorma rajtuk. Továbbá, 1 p eseté az f µ ess sup f N := {f L p (X, A,µ; E) f p =0} altér megegyezik a Z := {f : X E f mérhető,f =0µ-m.m.} altérrel, így az (L p (X, A,µ; E),. p ) félormált térhez asszociált ormált tér éppe az Aalízis V.B.III be defiiált (L p (X, A,µ; E),. p ) tér lesz, mely a Riesz- Fischer-tétel (Aalízis V.B.III.15.2.) szerit teljes, azaz Baach-tér, ha (E,. ) Baach-tér. Az L p (X, A,µ; E) := L p (X, A,µ; E)/N lieáris tér elemei egymással µ-majdem mideütt egyelő függvéyek ekvivaleciaosztályai, F L p (X, A,µ; E) eset é F p := f p, ahol f F tetszőleges. Érdemes azt is felidézi, hogy ha A µ jelöli az A-ak a µ szeriti teljesítését (Aalízis V.B.6.7.), és A olya σ-algebra, hogy A A A µ, akkor µ egyértelműe kiterjeszthető A -ra. Ekkor L p (X, A,µ; E) L p (X, A,µ; E) és szigorú tartalmazás áll, ha A valódi része A -ak, viszot L p (X, A,µ; E) =L p (X, A,µ; E). Megjegyzés Ezutá a jelölésből elhagyjuk a σ-algebrát és a szokásak megfelelőe L p µ(x, E)-t íruk. Továbbá a matematikába meghoosodott kis pogyolasággal az L p µ(x, E) elemeiről mit függvéyekről beszélük (függvéyosztályok

9 1. Alapvető tudivalók 9 helyett); tehát amikor azt modjuk, hogy az L p µ(x, E)-beli f függvéy, akkor az f-fel µ-majdem mideütt egyelő függvéyek osztályára godoluk. Ha E = K, akkor K-t is elhagyjuk a jelölésből, kivéve persze, ha hagsúlyozi akarjuk, hogy csak a valós illetve a komplex esetről va szó. R N -e a Lebesgue-mérhető halmazok a Borel-féle σ-algebra Lebesgue-mérték szeriti teljesítéséek az elemei. A Lebesgue-mértéket is el szokás hagyi a jelölésből, tehát L p (R N, E)-t, L p (R N )-t íruk. Emlékeztetük a már korábbi taulmáyaikba is haszált l p :=L p (N, P(N),s) jelölésre, ahol s a számlálómérték; l p elemei tehát p = eseté a K értékű korlátos sorozatok, 1 p< eseté pedig a p-edik hatváyo (abszolútértékbe) összegezhető sorozatok. Általába, ha I emüres halmaz, l p (I)-vel jelöljük a korlátos illetve a p-edik hatváyo az 1.4. értelmébe összegezhető I K függvéyek összességét (a megfelelő ormával ellátva) Fotos tudatosítauk, hogy az L p -terekbe a sorozatok kovergeciája a ormába vett kovergeciát jeleti; ezt sokszor jelölésbe is hagsúlyozzuk, hogy a függvéyek köröbe megszokott pototkéti vagy majdem mideütti kovergeciától megkülöböztessük. Ha tehát f,f L p µ(x, E) ( N), akkor f = lim f az L p µ(x, E)-be amit rövide így is jelölük: f =(L p ) lim f azt jeleti, hogy lim f f p =0, máskét ugyaez: lim X f f p dµ =0. Ha ez teljesül, akkor az f sorozatak va olya részsorozata, amely potokét µ-majdem mideütt kovergál f-hez. Abból viszot, hogy f potokét µ-majdem mideütt kovergál f-hez, em következik, hogy L p -be is kovergál f-hez. Az χ [ 1/,1/] sorozat Lebesgue-majdem mideütt a ullához tart, viszot semmilye p eseté sem tart ullához az L p (R)-be (sehova sem tart, em koverges) Feladatok 1. Legye (E, ) ormált tér. Emlékeztetük, hogy az x E távolsága a H E részhalmaztól d(x, H) := if{ x y y H}. Mutassuk meg, hogy ha L lieáris altér, akkor mide 0 λ K eseté d(λx, L) = λ d(x, L). (Útmutatás: λx y = λ x 1 λ y, és miközbe y befutja L-et, 1 λ y is.) 2. Legye M zárt lieáris altér egy (E, ) ormált térbe, és x E \ M. Mutassuk meg, hogy ha z M é s λ K olya, hogy lim (z + λ x) = 0, akkor lim λ = 0 (következésképpe az is teljesül, hogy lim z = 0). (Útmutatás: d(x, M) > 0, d(z + λ x, M) =d(λ x, M) = λ d(x, M) és 0 = lim d(z + λ x, M).)

10 10 I. BEVEZETÉS 3. Ismert algebrai téy, hogy lieáris alterek komplexus összege lieáris altér. Zárt lieáris alterek komplexus összege is lieáris altér, de em feltétleül zárt. Adjuk ellepéldát az alábbi vázlat alapjá! Legye az l 2 -be x az a vektor, amelybe a (2 1)-edik kompoes 1, a többi ulla, és y az a vektor, amelybe a 2-edik kompoes 1, a többi ulla ( N). Ekkor x,x m = y,y m = δ m, x,y m = 0 mide, m N eseté. Legye α := cos(1/),β := si(1/) é s z := α x +β y ( N). Ekkor z,z m = δ m (m, N). Jelölje M é s N az (x ) N illetve a (z ) N vektorok kifeszítette zárt lieáris alteret. Mithogy β 2 1/ 2 <+, y := β y N N N l 2, sőt bee va az M é s N kifeszítette zárt lieáris altérbe. Tegyük fel, hogy bee va az M é s N kifeszítette lieáris altérbe (azaz M é s N komplexus öszegébe), vagyis y = x+z, ahol x M,z N. Ekkor (lévé y,z m = δ m β m ) β = y,y = y,x+z = y,z = y, z m,z z m = z,z β m N amiből z,z = 1 mide N eseté, és ez lehetetetle. 4. Mutassuk meg, hogy e 1 := (1, 0, 0, 0,...), e 2 := (0, 1, 0, 0,...), e 3 := (0, 0, 1, 0...),... Schauder-bázist alkotak l p -be 1 p< eseté, azoba az (1, 1, 1, 1,...) l ics bee ezekek a vektorokak a zárt lieáris burkába. 5. l 1 -be az előbbi vektorok és (1, 1 2, 1 4,...) együtt lieárisa függetle halmazt alkotak, amely azoba em topologikusa lieárisa függetle. 6. Igazoljuk, hogy ha H egy ormált tér részhalmaza, akkor SpaH-ak elemei a α x alakú koverges összegek, ahol x H mide -re (a H-ból vett N koverges végtele lieáris kombiációk ), de általába em mide eleme ilye alakú. (A H := {χ E E [0, 1],E Lebesgue-mérhető} halmaz totális L 1 [0, 1]-be (lásd a következő fejezetet), de az id [0,1] L 1 [0, 1] függvéy em állítható elő H-beli elemek végtele lieáris kombiációjakét.) 7. Tudjuk, hogy egy E vektortér algebrai bázisá értelmezett, vektortérbe ható leképezés egyértelműe kiterjeszthető az E- értelmezett lieáris leképezéssé. Igaz-e, hogy egy ormált tér {x i i I} Schauder-bázisá értelmezett, ormált térbe ható A korlátos leképezés (azaz létezik K>0, úgy, hogy Ax i K x i mide i-re) egyértelműe kiterjeszthető korlátos (azaz folytoos) lieáris leképezéssé? (Vegyük l 2 -ek a 3. feladatba adott {e N} Schauder-bázisát, és legye Ae := e 1. Ha A folytoosa kiterjeszthető, akkor A α e = ( ) N α Ae = α e 1. Va olya (α ) N, amely égyzetese felösszegezhető, de em N N összegezhető.)

11 2. Sűrű lieáris alterek Ha egy Schauder-báziso értelmezett leképezés kiterjeszthető az egész térre folytoos lieáris leképezéssé, akkor a kiterjesztés egyértelmű. Ha tehát két folytoos lieáris leképezés megegyezik egy Schauder-báziso, akkor egyelők. 9. Legyeek 1 M<N természetes számok. K N -e az x N M x i leképezés félorma. Adjuk meg az asszociált ormált teret! 10. Legye K R kompakt halmaz. Ekkor az R K folytoos függvéyek vektorteré az f max f(x) leképezés félorma. Adjuk meg az asszociált ormált x K teret! 11. Az általáosított összegzés az általáosított sorozatok határértékéek következő fogalmából speciális esetkét adódik. Az (S, ) redezett halmazt felfelé iráyítottak evezzük, ha mide kételemű részhalmaza felülről korlátos S-be (azaz bármely két elemhez va olya elem, amely midkettőél agyobb vagy egyelő). Ha S felfelé iráyított, akkor mide véges részhalmaza felülről korlátos. Legye (S, ) felfelé iráyított redezett halmaz. Ha X em üres halmaz, akkor X I elemeit X-beli X-be haladó általáosított sorozatokak evezzük. Legye (M,d) metrikus tér. Az M-be haladó (x i ) i I általáosított sorozat koverges és határértéke a M, ha mide ε>0 eseté létezik i ε I úgy, hogy mide i I, i i ε eseté d(x i,a)<ε. Az (x i ) i I általáosított sorozat Cauchy-féle, ha mide ε>0 eseté létezik i ε I úgy, hogy mide i I,i i ε é s j I,j i ε eseté d(x i,x j )<ε. Belátható, hogy koverges általáosított sorozat határértéke egyértelmű. Továbbá, koverges általáosított sorozat Cauchy-féle, és ha M teljes, akkor fordítva is igaz. Ha I emüres halmaz, akkor (F(I), ) felfelé iráyított redezett halmaz: J, K F(I) eseté J K F(I) a{j, K} felső korlátja. Az (x i ) i I redszer akkor összegezhatő, ha az F(I) E,J x i általáosított sorozat koverges. i J i=1 2. Sűrű lieáris alterek 2.1. Sokszor vesszük haszát, ha tudjuk, hogy egy ormált térbe valamely jó tulajdoságú lieáris altér sűrű. Most kokrét Baach-terek egyes sűrű lieáris altereit írjuk le. Világos, ha egy lieáris altér tartalmaz egy sűrű alteret, akkor maga is sűrű. Továbbá, ha egy sűrű lieáris altér mide eleme előáll egy másik altérből vett sorozat határértékekét, akkor az a másik lieáris altér is sűrű Egyszerű téy, hogy l p -be 1 p< eseté a véges sorozatok (vagyis amelyekek csak véges sok tagja em ulla) sűrű lieáris alteret alkotak; l -

12 12 I. BEVEZETÉS be azoba em: az (1, 1, 1, 1,...) l sorozatak bármely véges sorozattól a távolsága Legye (X, A,µ) σ-véges mértéktér, és tekitsük az L p µ(x) Baach-teret, 1 p< (az X K mérhető és p-ik hatváyo itegrálható függvéyek potosabba függvéyosztályok terét). Ha S olya félgyűrű, hogy az általa geerált σ-algebráak a µ szeriti teljesítése tartalmazza A-t, akkor a µ-itegrálható S- lépcsős függvéyek sűrű lieáris alteret alkotak L p µ(x)-be (Aalízis V.B.15.3.: a S-lépcsős függvéyek ugyaazok, mit a R-lépcsős függvéyek, ahol R az S gererálta gyűrű). L µ (X)-be az A-lépcsős függvéyek sűrű vaak, de általába az S-lépcsősök em Emlékeztetük arra, hogy egy M metrikus tére értelmezett K értékű f folytoos függvéy tartója az halmaz. {x M f(x) 0} Álĺıtás L p (R N )-be 1 p< eseté a kompakt tartójú folytoos függvéyek sűrű lieáris alteret alkotak. Bizoyítás Tekitsük először az N = 1 esetet. A korlátos itervallumok összessége tartalmaz egy olya S félgyűrűt (például az alulról yílt, felülről zárt korlátos itervallumokat), amely geerálja a Borel-halmazokat. Legye I := a, b korlátos itervallum (midegy, hogy a végpotok egyike vagy másika hozzátartozik-e vagy sem); ekkor N eseté 0 ha x a 1, ( ) x a + 1 ha a 1 <x a, ϕ,i (x) := 1 ha a<x b, kompakt tartójú folytoos függvéy, és ϕ,i] χ I p = R = a a 1 tehát (L p ) lim ϕ,i = χ I. ( b + 1 x) ha b<x b + 1, 0 ha b + 1 <x ( b+ p x a + ) 1 p 1 dx + b p (b + 1 x ) p dx = 2 (p + 1),

13 2. Sűrű lieáris alterek 13 Ezért a r k=1 c k χ Ik S-lépcsős függvéy a ( r c k ϕ,ik kompakt tartójú folyto- ) N os függvéyek sorozatáak a határértéke, és ezzel bebizoyítottuk, amit akartuk. Az N>1 esetbe az S N N félgyűrű geerálja a Borel-halmazokat. Mivel az X I i i=1 tégla karakterisztikus függvéye (x 1,...,x N ) N χ Ii (x i ), ezt az (x 1,...,x N ) N ϕ,ii (x i ) kompakt tartójú foytoos függvéyek sorozatáak határértékekét i=1 tudjuk előállítai, és aztá a godolatmeetet úgy folytathatjuk, mit az N =1 esetbe. Megjegyezzük, hogy ϕ,i potokét χ I -hoz tart, tehát χ I -hez csak majdem mideütt kovergál, ha I em zárt. Olya sorozatot is gyárthattuk vola, amely mideütt χ I -hez tart, de a későbbiek szempotjából ez előyösebb Azt már tudjuk, hogy η : R R, k=1 i=1 { 0 ha t 0, t e 1 t 2 ha t>0 végtele sokszor differeciálható függvéy. Ha 0 <r<r, akkor ξ r,r : R R, x η(r 2 x 2 ) η(x 2 r 2 )+η(r 2 x 2 ) olya végtele sokszor differeciálható függvéy, amelyre ξ r,r (x) = 0 ha x R, 0 <ξ r,r (x) < 1 ha r< x < R, ξ r,r (x) = 1 ha x r. Álĺıtás L p (R N )-be 1 p< eseté a kompakt tartójú végtele sokszor differeciálható függvéyek sűrű lieáris alteret alkotak. Bizoyítás Tekitsük először az N = 1 esetet. Vegyük egy I := a, b itervallumot, és legye r := b a Ekkor R 2, ϕ,i (x) := ξ r,r+ 1 ϕ,i χ I p = a a 1 ( x a + b ). 2 ϕ,i p + b+ 1 b ϕ,i p 2,

14 14 I. BEVEZETÉS és ezutá úgy folytathatjuk, mit az előző potba Bár az előző eredméyük magába foglalja a 2.4-belit (a kompakt tartójú végteleszer differeciálható függvéyek altere szűkebb a kompakt tartójú folytoos függvéyek alteréél), mégsem hiábavaló az előző bizoyítás, mert általáosítható metrikus terekre, ahol a differeciálhatóságak ics értelme. Nevezetese metrikus térbe mide zárt halmazhoz és őt tartalmazó yílt halmazhoz megadható olya folytoos függvéy, amely a zárt halmazo 1, a yílt halmazo kívül 0, és midehol máshol a 0 és 1 között veszi fel az értékét (Aalízis III.B.8.14.). Ha µ σ-véges Borel-mérték, azaz egy M metrikus tér Borel-halmazai va adva, és mide kompakt halmaz mértéke véges, akkor 1 p< eseté L p µ(m)-be a kompakt tartójú folytoos függvéyek sűrű lieáris alteret alkotak Legye I R itervallum (em szükségképpe korálátos), és tekitsük L p (I)-t. Mivel az egypot halmazok Lebesgue-mértéke ulla, L p (I) =L p (I), azaz léyegtele, hogy az itervallum yílt-e, zárt-e. Viszot az I- értelmezett folytoos függvéyek tartója szempotjából em midegy. Ha I yílt, és az f : I K folytoos függvéy tartója kompakt, akkor f egyértelműe kiterjeszthető az I lezártjára folytoos függvéyé úgy, hogy a kiterjesztés tartója megegyezik az f tartójával; ekkor a kiterjesztés az I végpotjaiba ulla értéket vesz fel. Viszot egy em yílt I itervallumo kompakt tartójú folytoos függvéy em szükségképpe ulla az I végpotjaiba. Értelemszerű, mit jelet az, hogy az f : I K folytoos függvéy tartója kompakt az I belsejébe. Mivel az I itervallum belsejébe levő itervallumok tartalmazak egy olya félgyűrűt (például az alulról yílt, felülről zárt itervallumokat), a 2.6. bizoyításához hasolóa érvelhetük, hogy igazoljuk az alábbi állítást. Álĺıtás 1 p< esté L p (I)-be az I belsejébe kompakt tartójú végteleszer differeciálható függvéyek sűrű lieáris alteret alkotak Legye K R kompakt itervallum. A K- értelmezett K értékű folytoos függvéyek a maximum-ormával ellátva Baach-tér (Aalízis III.B.8.12.), amelyet C(K)-val jelölük. Álĺıtás (Weierstrass féle approximációs tétel) AC(K) Baach-térbe a poliomok alkotta lieáris altér sűrű. Bizoyítás Tekitsük először a K := [0, 1] esetet. Legye Θ := id [0,1], és defiiáljuk a [0, 1] itervallumo a következő, úgyevezett Berstei-poliomokat: N é s k {0, 1,...,} eseté p,k := ( ) Θ k (1 Θ) k. k

15 2. Sűrű lieáris alterek 15 Ekkor az (x, y) (x+y) = k=0 ( ) x k y k k függvéy első változóbeli ulladik, első és második parciális deriváltját kompoálva a (Θ, 1 Θ) függvéyel kapjuk, hogy p,k =1, k=0 kp,k = Θ, k=0 k(k 1)p,k = ( 1)Θ 2. k=0 Továbbá eze formulákból köye szármatathatjuk, hogy (k Θ) 2 p,k = Θ(1 Θ). k=0 Legye f C([0, 1]) és ε>0. Ekkor f egyeletes folytoossága miatt létezik δ>0 úgy, hogy mide x, y K, x y <δ eseté f(x) f(y) <ε. Defiiáljuk N eseté a ( ) k P := f p,k poliomot. Ha x [0, 1], és k=0 H := {k {0, 1,..., x k/ <δ}, akkor k/ H eseté í g y 1 (k x) 1, δ f(x) P (x) = ( ) = f(x) f(k/) p,k (x) k=0 = k H ε + k/ H k=0 f(x) f(k/) p,k (x)+ k/ H f(x) f(k/) p,k (x) = f(x) f(k/) p,k (x) f(x) f(k/) p,k (x) ε +2 f k/ H p,k (x) ε+ 2 f 2 δ 2 (k x) 2 p,k (x) ε + 2 f 2 δ 2 = ε + 2 f δ 2. k=0

16 16 I. BEVEZETÉS Így, ha > 2 f εδ 2, akkor f P <2ε, és ezzel bebizoyítottuk, amit akartuk. Térjük most át a K := [a, b] (a< b) esetre. Ekkor ϕ :[a, b] [0, 1], x x a b a folytoos bijekció, az iverze is folytoos. Ha f C([a, b]), akkor f ϕ 1 C([0, 1]). Ha (P ) N olya poliomsorozat, mely [0, 1]-e egyeletese kovergál az f ϕ 1 függvéyhez, akkor P ϕ olya poliomsorozat, mely egyeletese kovergál az [a, b] itervallumo az f függvéyhez Feladatok 1. Igazoljuk, hogy a véges értékű sorozatok összessége sűrű lieáris altér l p -be mide 1 p< eseté! 2. Az S félgyűrűbeli véges mértékű halmazok karakterisztikus függvéyei totális halmazt alkotak L p µ(x)-be 1 p< eseté. { } 3. Bizoyítsuk be, hogy id [a,b] N 0 Schauder-bázis C([a, b])-be! 4. Eredméyeik alapjá mutassuk meg, hogy két sűrű lieáris altér metszete lehet a ulla-altér.

17 3. A Baire-féle kategóriatétel 17 II. A FUNKCIONÁLANALÍZIS ALAPTÉTELEI 3. A Baire-féle kategóriatétel 3.1. Álĺıtás Metrikus térbe (i) véges sok sűrű yílt halmaz metszete sűrű, (ii) véges sok üres belsejű zárt halmaz uiójáak belseje üres. Bizoyítás (i) Legye G é s H két tetszőleges yílt részhalmaza egy M metrikus térek. Ekkor G G H =(G H) H, í g y G G H H, ezért G H G H. Ha G sűrű, akkor ebből következik, hogy H G H, így ha H is sűrű, M = H G H, tehát G H sűrű halmaz M-be. (ii) Ha S é s T üres belsejű zárt részhalmazai M-ek, akkor a G := S é s H := T sűrű yílt halmazok, így (1) szerit G H sűrű, és ezért a (G H) = S T halmaz belseje üres Az előbbi állítás második potját az elsőből egyszerű komplemetációval bizoyítottuk. Az is yilvávaló, hogy az első pot is így következik a másodikból, vagyis (i) és (ii) egyeértékű. Megszámlálható sok halmaz eseté az (i) és (ii) tulajdoságok em feltétleül teljesülek. Csak azt tudjuk bebizoyítai, ugyacsak egyszerű komplemetációval, hogy a két tulajdoság egyeértékű, vagyis ha az egyik teljesül, akkor a másik is. Álĺıtás Egy metrikus térre a következők ekvivalesek: (i) Megszámlálható sok sűrű yílt halmaz metszete sűrű. (ii) Megszámlálható sok üres belsejű zárt halmaz uiójáak belseje üres Álĺıtás (Baire-féle kategóriatétel) Teljes metrikus térbe teljesülek a 3.2. állítás ekvivales feltételei.

18 18 II. A FUNKCIONÁLANALÍZIS ALAPTÉTELEI Bizoyítás Azt mutatjuk meg, hogy teljes metrikus térbe megszámlálható sok sűrű yílt halmaz metszete sűrű. Legye (M,d) teljes metrikus tér, U ( N) sűrű yílt halmazok M-be. Tegyük fel, hogy a metszetük em sűrű, azaz a metszetük lezártja em az egész M. Ekkor va x M é s r>0 úgy, hogy ( ) G r (x) U =. N Mivel U 1 s ű r ű, a G r (x) yílt halmazzal való metszete, amely szité yílt, em üres. Ezért va olya x 1 é s 0 <r 1 r 2, hogy G r 1 (x 1 ) U 1 G r (x). Mivel U 2 s ű r ű, a G r1 (x 1 ) yílt halmazzal való metszete, amely szité yílt, em üres. Ezért va olya x 2 é s 0 <r 2 r 4, hogy G r 2 (x 2 ) U 2 G r1 (x 1 ). Tovább folytatva látjuk, hogy va olya x M é s 0 <r r 2, hogy G r (x ) U G r 1 (x 1 ). Világos, hogy (x ) N Cauchy-sorozat, hisze ha m>, akkor d(x,x m ) r 2. Mivel a metrikus tér teljes, létezik ami elletmodás. lim x G r (x ) G r (x) N ( ) U, 3.4. Az előbbi állításak egy következméyét haszáljuk legikább, amelyek megfogalmazásához bevezetük egy fogalmat. Defiíció Egy metrikus tér részhalmazát seholsem sűrűek hívjuk, ha a lezártjáak a belseje üres. Az előbbi állítás szerit megszámlálható sok seholsem sűrű halmaz uiójáak (sőt a lezártjuk uiójáak) a belseje üres, igaz tehát: Álĺıtás Teljes metrikus térbe emüres yílt halmaz em állítható elő megszámlálható sok seholsem sűrű halmaz egyesítésekét Szokás egy metrikus tér egy részhalmazát első kategóriájúak evezi, ha előllítható megszámlálható sok seholsem sűrű halmaz uiójakét, egy em első kategóriájú halmazt pedig második kategóriájúak. Ie ered a Baire-féle tétel elevezése Álĺıtás Egy ormált tér lieáris altere vagy sehol sem sűrű, vagy mideütt sűrű részhalmaz. Bizoyítás Ha L em seholsem sűrű, akkor az L halmaz belseje em üres, ezért létezik yílt gömb, legye ez G r (x), úgy, hogy G r (x) L. Ekkor G r (0) = G r (x) x N

19 4. A Baach-féle yíltleképezés-tétel 19 is része az L altérek, így az is feáll, hogy KG r (0) L. Viszot KG r (0) az egész vektortér, tehát L mideütt sűrű. Állításuk egyszerű következméye, hogy ormált térbe valódi zárt lieáris altér seholsem sűrű Feladatok 1. Seholsem sűrű részhalmaz tetszőleges részhalmaza sehol sem sűrű. 2. Seholsem sűrű részhalmaz lezártja olya sehol sem sűrű részhalmaz, melyek komplemetere yílt és mideütt sűrű. 3. Bizoyítsuk be, hogy véges sok seholsem sűrű részhalmaz egyesítése seholsem sűrű. Mutassuk meg, hogy még teljes metrikus térbe is előfordulhat, hogy megszámlálható sok seholsem sűrű halmaz egyesítése mideütt sűrű (az egyesítés belseje ugya üres a Baire-tétel szerit, de a lezártjáak a belseje már em).(r-be a racioális számok halmaza megszámlálható sok seholsem sűrű zárt (egyelemű) halmaz uiója.) 4. L p [, ]-et az L p (R) lieáris alteréek tekitjük úgy, hogy a függvéyeket [, ]-e kívül ulláak vesszük. Nyilvávaló, hogy [, ] =R; igaz-e, N hogy L p ([, ]) = L p (R)? (Alkalmazzuk a Baire-féle kategória-tételt és a 3.6. N állítás következméyét.) 4. A Baach-féle yíltleképezés-tétel 4.1. Tudjuk hogy egy lieáris leképezés folytoossága ekvivales aak 0 potbeli folytoosságával (Aalízis III.B.10.1.). Az alábbi állítás hasolót állapít meg lieáris leképezések yíltságára. Emlékeztetük arra, hogy ha M és N metrikus terek, akkor egy f : M N leképezést yíltak evezük, ha mide M-beli yílt halmaz f általi képe yílt N-be. Álĺıtás Legye E és F ormált tér, A : E F lieáris leképezés. Ekkor a következők ekvivalesek: (i) A yílt leképezés. (ii) Mide ε>0 eseté létezik δ>0 úgy, hogy G F δ (0) A[GE ε (0)]. (iii) Létezik ρ>0 úgy, hogy G F ρ (0) A[G E 1 (0)]. Bizoyítás (iii) (ii) Adott ε-hoz legye δ := ερ. Ekkor ugyais A[G E ε (0)] = A[εG E 1 (0)] = εa[g E 1 (0)] εg F ρ (0) = G F ερ(0). (ii) (i) Legye U E yílt halmaz és y A[U]. Legye x U olya, hogy y = Ax. Ekkor létezik ε>0 úgy, hogy x+g E ε (0) = G E ε (x) U, és a feltétel szerit

20 20 II. A FUNKCIONÁLANALÍZIS ALAPTÉTELEI létezik olya δ>0, hogy A[G E ε (0)] G F δ (0), ezért y+g F δ (0) Ax+A[G E ε (0)] = A[x+G E ε (0)] = A[G E ε (x)] A[U], tehát y belső potja A[U]-ak. (i) (iii) A G E 1 (0) E halmaz yílt, így A[G E 1 (0)] is yílt halmaz, amelyek eleme és ezért belső potja a 0 F vektor A most következő állítás magába is érdekes, de jobbára csak segédeszköz az ezt követő tétel bizoyításához. Álĺıtás Legye E é s F Baach-tér, A : E F folytoos lieáris leképezés. Ha létezik r>0 úgy, hogy akkor mide 0 <ρ<reseté G F r (0) A[G E 1 (0)], G F ρ (0) A[G E 1 (0)]. Bizoyítás Hagyjuk el a rövidebb írás kedvéért a felső idexeket, amelyek azt mutatják, melyik térbeli gömbről va szó. G r (0) elemei az A[G 1 (0)] éritkezési potjai, tehát mide y G r (0) és 0 < α<1 eseté va olya y 1 A[G 1 (0)], hogy y y 1 < αr, azaz y y 1 G αr (0). Egyszerű téy, hogy egy halmaz lezártjáak emulla számszorosa egyelő a halmaz számszorosáak lezártjával, tehát igaz, hogy G αr (0) = αg r (0) αa[g E 1 (0)] = αa[ge 1 (0)] = A[αGE 1 (0)] = A[G α(0)]. Ezért létezik olya y 2 A[G α (0)], hogy (y y 1 ) y 2 < α 2 r, azaz y y 1 y 2 G α 2 r(0). Így folytatva azt kapjuk, hogy mide N eseté létezik y A[G α 1(0)] úgy, hogy y y i < α r, amiből következik, hogy y = N y. i=1 Legye x G α 1(0) E olya, hogy Ax = y. Ekkor, a N x sor abszolút koverges, ezért lévé E teljes kovergees is; legye x az összege. Erre x N α 1 = 1 1 α teljesül. Mivel A folytoos és lieáris, Ax = A N x = N Ax = y, azaz mide G r (0)-beli y egy G 1/(1 α) (0)-beli x-ek az A általi képe, vagyis G r (0) A[G 1/(1 α) (0)], amiből (1 α)-val való szorzással és a ρ := (1 α)r defiícióval adódik a bizoyítai kívát összefüggés.

21 4. A Baach-féle yíltleképezés-tétel Álĺıtás (Baach-féle yíltleképezés-tétel) Legye E és F Baachtér. Egy A : E F folytoos lieáris leképezés potosa akkor yílt, ha szürjektív. Bizoyítás Ha A yílt, akkor A[E] F yílt lieáris altér, így szükségképpe A[E] =F. Ha A szürjektív, akkor A[G (0)] = F, N tehát a Baire-féle kategóriatétel szerit (3.4. állítás) va olya m N, hogy A[G m (0)] belseje em üres; a belseje em lehet diszjukt A[G m (0)]-tól, ezért létezik y A[G m (0)] és α>0 úgy, hogy G α (y) A[G m (0)]. Legye x G m (0) és y = Ax. Mivel G α (0) = G α (y) y A[G m (0)] Ax = A[G m (0)] Ax = = A[G m (0)] x] A[G 2m (0)], tehát G α (0) A[G 2m 1(0)], így az előző állítás szerit, ha ρ< α 2m, akkor G ρ(0) A[G 1 (0)], és a 4.1-be modottak alapjá A yílt leképezés Azoal megállapíthatjuk a yíltleképezés-tétel két egyszerű de fotos következméyét. 1. Álĺıtás Legye E é s F Baach-tér, A : E F folytoos lieáris bijekció. Ekkor A 1 folytoos lieáris leképezés. Előző taulmáyaikba (Aalízis III.B és IV.B.6.1.) haszáltuk az,,ivertálhatóság fogalmát, amely azt a feltételt jeletette, hogy egy folytoos lieáris bijekció iverze is legye folytoos. Látjuk, hogy Baach-terek közötti folytoos lieáris bijekciókra em kell külö kikötük ezt a feltételt. Ez ige haszos tudivaló; például az iverzfüggvéy-tételbe és az implicitfügggvéy-tételbe bizoyos deriváltak (amelyek szükségképpe folytoos lieáris leképezések) ivertálhatósága kellett; most látjuk, elég azt tuduk, hogy ezek a deriváltak bijekciók. 2. Álĺıtás Egy (K feletti) vektortére bármely két összehasolítható teljes orma ekvivales. Bizoyítás Legye. é s. két teljes orma az E vektortére, és tegyük fel, hogy. fiomabb, mit.. Ekkor va olya α>0, hogy x α x mide x-re, tehát az id E : E E lieáris bijekció.. -folytoos. Így az előbbi állítás szerit id 1 E = id E.. -folytoos, azaz. fiomabb, mit..

22 22 II. A FUNKCIONÁLANALÍZIS ALAPTÉTELEI 4.5. Feladatok 1. A 4.2. állítás igaz akkor is, ha E Baach-tér, F ormált tér. 2. Hol haszáljuk ki a 4.3. állításba, hogy mid E mid F Baach-tér? 3. Legyeek M és N kiegészítő zárt lieáris alterek egy E Baach-térbe. Mutassuk meg, hogy i) M N E, (u, v) u + v folytoos lieáris bijekció (haszáljuk az,,1-es szorzatormát), tehát az iverz is folytoos; (ii) ha F Baach-tér és A : M F, B : N F folytoos lieáris leképezés, akkor E = M + N F, u + v Au + Bv is folytoos lieáris. 5. A zártgrafiko-tétel 5.1. Legye M és N metrikus tér és f : M N zárt halmazo értelmezett folytoos leképezés. Ekkor Graph(f) M N zárt halmaz bármely szorzatmetrikára ézve. Ugyais, ha (x,f(x )) N koverges sorozat Graph(f)-be, akkor létezik x M,y N úgy, hogy lim x = x és lim f(x )=y. Viszot f folytoossága miatt lim f(x )=f(lim x ), azaz y = f(x), vagyis lim(x,f(x )) Graph(f), tehát f grafikoja zárt M N-be. Viszot egy zárt halmazo értelmezett és zárt grafikoú leképezés em szükségképpe folytoos. Példa erre az 1 id R -ek az a kiterjesztése, amely a ullához ullát redel. Lieáris leképezések folytoossága és grafikojáak a zártsága szoros kapcsolatba áll egymással. Álĺıtás (Zártgrafiko-tétel) Legye E é s F Baach-tér, A : E F lieáris leképezés. Ekkor a következő tulajdoságok közül bármely kettő maga utá voja a harmadikat: (i) Dom(A) zárt, (ii) Graph(A) zárt, (iii) A folytoos. Bizoyítás (i) Legye Dom(A) és Graph(A) zárt. Ekkor Dom(A) zárt lieáris altér E-be, tehát teljes is, és Graph(A) zárt lieáris altér E F -be, tehát teljes is (bármely szorzatorma leszűkítésére ézve). Jelölje, mit szokásosa, pr E é s pr F az E F természetes projekcióit. Ekkor pr E Graph(A) : Graph(A) Dom(A) folytoos lieáris bijekció, így a yílt leképezés tétele szerit az iverze folytoos, következésképpe az A = pr F ( ) 1 pr E Graph(A) kompozíció folytoos. (ii) Legye Dom(A) zárt és A folytoos. Ekkor az állítás előtt modottak szerit Graph(A) zárt.

23 5. A zártgrafiko-tétel 23 (iii) Legye Graph(A) zárt és A folytoos. Ha (x ) N Dom(A)-beli koverges sorozat, akkor A korlátossága miatt (Ax ) N Cauchy-sorozat F -be, következésképpe koverges is F -be, így az (x, Ax ) N Graph(A)-beli sorozat koverges E F -be. Graph(A) zártsága miatt lim(x, Ax ) Graph(A), speciálisa lim x Dom(A), tehát Dom(A) zárt Defiíció Legye E é s F Baach-tér. Azt modjuk, hogy az A : E F lieáris leképezés z á r t, ha a grafikoja zárt E F -be. Álĺıtás Legye E és F Baach tér. Az A : E F lieáris leképezés potosa akkor zárt, ha mide olya (x ) N Dom(A)-beli koverges sorozat eseté (x := lim x E), melyre az (Ax ) N sorozat is koverges (y := lim Ax F ), az teljesül, hogy x Dom(A) é s y = A(x), azaz A lim x = lim Ax. Bizoyítás Ha (x ) N olya sorozat, melyre a feti feltétel teljesül, akkor az (x, Ax ) N Graph(A)-beli sorozat kovergál E F -be (x, y)-hoz. Nyilvávaló, hogy A potosa akkor zárt, ha mide ilye sorozat eseté (x, y) Graph(A), azaz x Dom(A) é s y = A(x). Máskét - sorokkal megfogalmazva ugyaez: az A : E F lieáris leképezés potosa akkor zárt, ha mide olya Dom(A)-ba futó (x ) N sorozat eseté, amelyre létezik x := x E és létezik y := Ax F is, az teljesül, hogy N N x Dom(A) é s y = A(x), azaz A x = Ax. N N Érdemes leíri a folytoosság feltételét, hogy jól összehasolíthassuk a zártság feltételével. Az A : E F lieáris leképezés potosa akkor folytoos, ha mide olya (x ) N Dom(A)-beli koverges sorozat eseté, amelyre x := lim x Dom(A), az (Ax ) N sorozat is koverges (y := lim Ax F ), az teljesül, hogy y = A(x), azaz A lim x = lim Ax. A példa, amelyet 5.1-be hoztuk zárt grafikoú de em folytoos leképezésre, em lieáris. A III. részbe találkozuk olya lieáris leképezésekkel, amelyek zártak de em folytoosak Egyszerű téy, hogy zárt lieáris leképezés számszorosa zárt. Azoba két zárt lieáris leképezés összege em feltétleül zárt. Erre legegyszerűbb példa: ha A em folytoos, sűrű, de em mideütt értelmezett zárt lieáris leképezés (ilye va, majd látjuk a III.részbe), akkor A is ilye, és A +( A) a sűrű de em mideütt értelmezett ulla leképezés, amely em zárt, hisze ha zárt vola, akkor lévé folytoos is a zártgrafiko-tétel szerit zárt lee az értelmezési tartomáya.

24 24 II. A FUNKCIONÁLANALÍZIS ALAPTÉTELEI Álĺıtás Legye E é s F Baach tér, A : E F zárt, B : E F folytoos lieáris leképezés, Dom(A) Dom(B). Ekkor A+B zárt. Bizoyítás Legye (x ) N Dom(A+B) = Dom(A)-beli sorozat, mely kovergál x-hez E-be, és az ((A+B)(x )) N sorozat is koverges F -be. Ekkor B folytoossága miatt a (Bx ) N sorozat Cauchy-féle, így koverges F -be, következésképpe az (Ax ) N sorozat is koverges F -be. Mivel A zárt, x Dom(A) é s Ax = lim Ax. Természetese x bee va B értelmezési tartomáyába is, és B folytoossága miatt Bx = lim Bx. Az is igaz tehát, hogy hogy x Dom(A+B) é s ( A + B)x = lim(a + B)x, azaz A + B zárt Álĺıtás Ha A : E F Baach-terek közötti zárt lieáris ijekció, akkor A 1 is zárt. Bizoyítás Nyilvávaló, hogy az U : E F F E, (x, y) (y, x) leképezés lieáris izometrikus bijekció bármely szorzatormába, így ha Graph(A) E F zárt, akkor Graph(A 1 )=U[Graph(A)] F E is zárt Folytoos lieáris leképezés magja (a ulláak az ősképe) zárt lieáris altér. A magtér zártságához kevesebb is elég. Álĺıtás Legye E é s F Baach tér, A : E F zárt lieáris leképezés. Ekkor Ker(A) := 1 A ({0}) E zárt lieáris altér. Bizoyítás Legye x Ker(A). Ekkor létezik (x ) N Ker(A)-beli sorozat úgy, hogy x = lim x. Mivel lim A(x ) = lim 0 = 0, az A zártsága miatt x Dom(A) é s 0 = A(x), azaz x Ker(A) Defiíció Legye E és F Baach tér. Az A : E F lieáris leképezés lezárható, ha a grafikojáak a lezártja egy lieáris leképezés grafikoja, azaz ha létezik A : E F lieáris leképezés, úgy, hogy Graph(A) = Graph(A); ekkor az A zárt lieáris leképezést az A lezártjáak evezzük. Va olya lieáris leképezés, amely em lezárható: a grafikojáak a lezártja em függvéygrafiko (lásd az feladatot). Álĺıtás Ha A : E F lieáris leképezés és va olya B : E F zárt lieáris leképezés, hogy A B, akkor A lezárható. Bizoyítás Mivel az A grafikoja része a B grafikojáak, és ez utóbbi zárt halmaz, Graph(A) Graph(B), tehát Graph(A) egy lieáris leképezés (a B leszűkítéséek) a grafikoja.

25 6. A Baach Steihaus-tétel Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy az alábbi lieáris leképezés em lezárható. Legye L em zárt lieáris altér egy E ormált térbe, a L, a / L. Az A : L + Ka E, x + λa λa leképezés lieáris és {(a, a), (a, 0)} Graph(A), valamit {(0, 0), (0,a)} Graph(A). (Ha x L és lim x = a, akkor lim Ax = 0.) 2. Legyeek M é s N kiegészítő alterek egy Baach-térbe, és legye P az N meté az M-re való vetítés (Aalízis II.8.2.(v)). Igazoljuk, hogy P akkor és csak akkor folytoos, ha M é s N zárt. (Ha P folytoos, akkor KerP és Ker(id P ) zártak. Ha M é s N zárt, elég megmutati, hogy P zárt. Legye x := lim x é s y := lim Px. Nyilvá x bee va P értelmezési tartomáyába, hisze az az egész tér. Mivel Px M mide -re és M zárt, y M, azaz y = Py. Hasolóa x Px N, ezért x y N, azaz P (x y) = 0, így végül y = Px.) Itt jegyezzük meg, hogy egy zárt lieáris altérek em feltétleül létezik zárt kiegészítő altere. 3. Igazoljuk, hogy Baach-terek közötti lieáris leképezés potosa akkor zárt, ha az értelmezési tartomáya Baach-tér az x := x + Ax ormával. 4. Legyeek E 1, E 2 é s F 1, F 2 Baach-terek, A 1 : E 1 F 1, A 2 : E 2 F 2 zárt lieáris leképezések. Ekkor az A 1 A 2 : E 1 E 2 F 1 F 2 lieáris leképezés zárt (ahol természetese a szorzattereke vehetjük bármelyik ismert szorzatormát). 6. A Baach Steihaus-tétel 6.1. Álĺıtás (Baach Steihaus-tétel) Legye E Baach tér és F ormált tér. Az E F folytoos lieáris leképezések egy H halmaza potosa akkor korlátos (a folytoos lieáris leképezések ormája szerit), ha mide x E eseté az {Ax A H} halmaz korlátos F -be. Bizoyítás Legye H korlátos, azaz létezze K>0úgy, hogy A K mide A H eseté. Ekkor, ha x E, ah mie A elemére Ax A x K x, tehát az {Ax A H} halmaz korlátos F -be, K x egy korlátja. A másik iráy bizoyításához vegyük észre, hogy mide pozitív egész számra Z := 1 ( ) A G (0) zárt részhalmaza E-ek, és ha mide x E eseté az A H {Ax A H} halmaz korlátos F -be, akkor Z = E. Így a Baire-féle kategóriatétel szerit va olya m N, hogy Z m belseje em üres, ezért létezik x 0 Z m é s r>0 úgy, hogy G r (x 0 ) Z m. Ekkor tehát mide y G 1 (0) és A H eseté N Ay = 1 r Ary 1 r ( A(x 0 + ry) + A(x 0 ) ) 2m r,

26 26 II. A FUNKCIONÁLANALÍZIS ALAPTÉTELEI következésképpe A 2m mide A H eseté. r 6.2. A Baach Steihaus-tétel leggyakrabba haszált következméyét fogalmazza meg az alábbi állítás. Álĺıtás Ha E Baach-tér, F ormált és A : E F ( N) folytoos lieáris leképezések olya sorozata, amely pototkét mideütt koverges, azaz mide x E eseté (A (x)) N koverges F -be, akkor az A : E F, x lim A x formulával értelmezett leképezés lieáris, folytoos, továbbá A lim if A < +. Bizoyítás Nyilvávaló, hogy A : E F lieáris leképezés. Mide x E eseté (A (x)) N korlátos F -be, így a Baach Steihaus-tétel szerit (A ) N korlátos halmaz az E F folyto lieáris leképezések terébe, tehát x E eseté A(x) = lim ( A (x) = lim if A (x) lim if ) A x. Általába folytoos leképezések potokét koverges sorozatáak a határértéke em folytoos. Korábba megismertük egy feltételt, amely biztosítja a határérték folytoosságát: az egyeletes kovergeciát. Most azt látjuk, hogy a liearitás és a teljesség is maga utá voja a határérték folytoosságát Feladat E teljessége { em hagyható el a} Baach Steihaus-tételből. L := x l 2 2 x 2 < valódi sűrű lieáris altér l 2 -be. Defiiáljuk a N folytoos lieáris leképezések A : l 2 l 2, x (x 1, 2x 2,...,x, 0, 0,...) ( N) sorozatát. Mutassuk meg hogy mide x L eseté létezik Ax := lim A x, de az így defiiált A lieáris leképezés em folytoos.

27 7. A Hah Baach-tétel A Hah Baach-tétel 7.1. Álĺıtás (Hah Baach-tétel) Legye E vektortér R felett és p : E R olya leképezés, hogy mide x, y E é s λ R + 0 eseté p(λx) =λp(x), p(x+y) p(x)+p(y). Ha L lieáris altér E-be és h : L R olya lieáris leképezés, hogy h p L, akkor létezik l : E R lieáris leképezés, amelyre h l é s l p. Bizoyítás Ha L=E, akkorics mit bizoyítai. Tegyükfel, hogyl E; legye x 1 E\L é s L 1 := L+Rx 1. Tetszőleges x, y L eseté következésképpe h(x)+h(y) =h(x+y) p(x+y) p(x x 1 )+p(x 1 +y), h(x) p(x x 1 ) p(x 1 +y) h(y). Ebből rögzített y L eseté azt kapjuk, hogy tehát mide x, y L eseté α := sup (h(x) p(x x 1 )) <, x L h(x) p(x x 1 ) α p(y+x 1 ) h(y). (1) Mivel L é s Rx 1 kiegészítő alterek L 1 -be, létezik egyetle h 1 : L 1 R lieáris leképezés úgy, hogy mide x L és λ R eseté h 1 (x+λx 1 )=h(x)+λα. Legye z L é s λ>0, ekkor az y := 1 λz vektorra az (1) egyelőtleség szerit λα p(z+λx 1 ) h(z), következésképpe h 1 (z+λx 1 )=h(z)+λα p(z+λx 1 ). (2) Hasolóa, ha λ<0, akkor az x := 1 λz vektorra alkalmazva az (1) egyelőtleséget, ismét (2)-re jutuk. λ = 0 eseté pedig h p L miatt ismét (2)-t kapjuk. Tehát h 1 p L1, és yilvá h h 1. Jelölje F azo f : E R lieáris leképezések halmazát, melyekre h f é s f p Dom(f) teljesül, és tekitsük F-e a szokásos tartalmazással defiiált redezést. Ha L F lác, akkor f felső határa L-ek F-be, így a Zor-lemma szerit F- f L ek létezik maximális eleme, legye l egy ilye. Tegyük fel, hogy Dom(l) E; ekkor

28 28 II. A FUNKCIONÁLANALÍZIS ALAPTÉTELEI az előzőek szerit l kiterjeszthető egy szigorúa bővebb altérre úgy, hogy a kiterjesztés is F-beli, és ez elletmod aak, hogy l maximális. Tehát Dom(l) = E A Hah Baach-tétel egyszerű és alkalmazásokba legikább haszált következméye az alábbi állítás, amelyet szité szokás Hah Baach-tételek evezi. Álĺıtás Legye E vektortér K felett és p : E R + 0 félorma. Ha L E lieáris altér és h : L K olya lieáris leképezés, hogy h p L, akkor létezik l : E K lieáris leképezés, amelyre h l é s l p. Bizoyítás (1) K = R. A Hah Baach-tétel szerit létezik l : E R lieáris leképezés úgy, hogy h l és l p. Bármely x E eseté p(x) = p( x) l( x) =l(x) p(x), tehát l p. (2) K = C. Azt haszáljuk ki, hogy egy komplex értékű C-lieáris leképezés képzetes és valós része egyértelműe meghatározzák egymást: ha L : E C lieáris, akkor az E mide x elemére Im(Lx) = Re(L(ix)), amit arról köyű meggyőződi az egymással egyelő ilx és L(ix) valós részeiek összehasolításával. Most tehát Re h : L R R-lieáris leképezés, és Re h h p L. Az előző pot szerit létezik f : E R R-lieáris leképezés úgy, hogy Re h f és f p. Ekkor l : E C, x f(x) if(ix) C-lieáris leképezés. Mivel L E C-lieáris altér és h C-lieáris leképezés, ha x L, akkor l(x) = Rel(x) irel(ix) = h(x), azaz h l. Tetszőleges x E eseté létezik α(x) T úgy, hogy l(x) = α(x)l(x), ezért, mivel l(x) valós, l(x) = α(x)l(x) = l(α(x)x) = tehát l p. = f(α(x)x) if(iα(x)x) = f(α(x)x) p(α(x)x) = p(x), 7.3. Defiíció Legye E ormált tér K fölött. Az E K folytoos lieáris leképezéseket E feletti fukcioálokak, és a fukcioálok összességét az E (topologikus) duálisáak evezzük és E -vel jelöljük. E a potokéti algebrai műveletekkel és a szokásos szuprémum-ormával ormált tér K felett, mely K teljessége miatt teljes még akkor is, ha E em az (Aalízis III.B.10.7.) Álĺıtás Legye E ormált tér (K felett), L E lieáris altér és h : L K folytoos lieáris leképezés. Ekkor létezik l E úgy, hogy h l é s l = h.

29 7. A Hah Baach-tétel 29 Bizoyítás Mivel h folytoos, a p := h. leképezés olya félorma (h 0 eseté orma) E-, hogy h p L teljesül, tehát az előző állítás szerit létezik l : E K lieáris leképezés úgy, hogy l h é s l(x) h x az E mide x elemére. Tehát l folytoos és l h. Viszot l h is teljesül, hisze l = sup{ l(x) x E, x =1} sup{ l(x) x L, x =1} Álĺıtás Ha M zárt lieáris altér az E ormált térbe és x E\M, akkor létezik l E úgy, hogy l(x) = x =0, l M =0. Bizoyítás Az feladat alapjá köyű elleőrizi, hogy h : M +Kx K, y+λx λ x olya folytoos lieáris leképezés az M +Kx lieáris altére, amelyre h(x) = x,h M = 0. Alkalmazzuk a 7.4. állítást erre a h-ra. Speciálisa (M = {0} esetére) az eredméyük azt adja, hogy mide 0 x E eseté létezik olya l E, hogy l(x) = x teljesül (ez persze igaz akkor is, ha x = 0). Ebből következik, hogy E szétválasztja E potjait, ami az alábbi három egyeértékű állítást jeleti: (i) ha x E é s l(x) = 0 mide l E eseté, akkor x = 0; (ii) ha x, y E, x y, akkor va olya l E, hogy l(x) l(y); (iii) ha x, y E é s l(x) =l(y) mide l E eseté, akkor x = y. Tudjuk lieáris algebrából, hogy az E K lieáris leképezések szétválasztják E potjait (Aalízis II.12.2.). Most azt látjuk, hogy már E K folytoos lieáris leképezések is szétválasztják E potjait. A szétválasztási tulajdoságot most úgy tehetjük szemléletessé, hogy ha x y, akkor va olya zárt hipersík, amely elválasztja egymástól x-et és y-t, a két vektor a hipersík,,külöböző oldalá va Álĺıtás Az E ormált tér mide x elemére x = sup l(x). l E, l 1 Bizoyítás Ha l E é s l 1, akkor l(x) l x x, í g y sup l(x) x. l E, l 1 Viszot va olya l E, amelyre l(x) = x, tehát a feti egyelőtleség valójába egyelőség. Ha E ormált tér, akkor E is ormált tér, így értelmezhető az E := (E ) ormált tér is. x E eseté i(x) :E K, l l(x)

30 30 II. A FUNKCIONÁLANALÍZIS ALAPTÉTELEI lieáris leképezés, amely l(x) l x miatt folytoos, és i(x) x. Az előbbi eredméyük szerit i(x) = sup i(x)(l) = sup l(x) = x, l E, l 1 l E, l 1 tehát i : E E lieáris izometria, így szükségképpe ijektív. Ezáltal az izometrikus ijekció által azoosítjuk E-t az E egy lieáris alterével. Defiíció Az E Baach teret reflexívek evezzük, ha i : E E (izometrikus lieáris) bijekció. Az E reflexív Baach-tér eseté tehát E E Nyilvávaló, hogy 0 l E eseté Ker(l) E valódi zárt lieáris altér. Eek egy megfordítása a következő állítás. Álĺıtás Legye E ormált tér, f : E K em ulla lieáris leképezés. Ekkor a következők ekvivalesek: (i) f folytoos, (ii) Ker(f) E zárt, (iii) Ker(f) E em sűrű. Bizoyítás Ha f folytoos, akkor Ker(f) zárt E-be. Legye Ker(f) zárt E-be; ha sűrű vola, akkor Ker(f) =E azaz f = 0 vola. Tegyük fel, hogy Ker(f) E em sűrű. Ekkor létezik x E é s r>0 úgy, hogy x+g r (0) E\Ker(f). Mivel f lieáris, ebből következik, hogy f(x)/ f[g r (0)]. Ekkor speciálisa f(x) 0. Ha z E olya, hogy f(z) = 0, akkor f ( ) f(x) f(z) z = f(x), következésképpe f(x) f(z) z r, és így z f(z) f(x) r, azaz ha f(z) f(x), akkor z/ G r (0). Tehát z G r (0) eseté f(z) f(x), azaz f korlátos a G r (0) yílt gömbö, ezért folytoos A duálisok segítségével általáosíthatjuk a komplex függvéyta eredméyeit, amelyeket csak véges dimeziós vektorterekre láttuk be. (i) Legye E reflexív komplex Baach-tér, és f:c E differeciálható. Ekkor mide a Dom(f) egy (maximális sugarú) K r (a) köryezetébe f hatváysorral állítható elő, f(z) = N 0 c (z a) (z K r (a)), ( ) amelybe a c együtthatók az E elemei.

31 7. A Hah Baach-tétel 31 Ugyais mide l E eseté l f:dom(f) C differeciálható, tehát aalitikus, és így vaak olya c (l) komplex számok, hogy l(f(z)) = N 0 c (l)(z a) (z K r (a)). ( ) A hatváysor együtthatóiak egyértelműségéből azoal adódik, hogy mide N 0 eseté az E C, l c (l) leképezés lieáris. Továbbá tudjuk, hogy c (l) = 1 2πi C r(a) c lim sup l(f(w)) dw, (w a) (+1) tehát max f(w) w C r(a) c (l) l r, ami azt mutatja, hogy az l c (l) hozzáredelés folytoos is, tehát c E E. Mivel max f(w) w C r(a) lim sup = 1 r r, a c (z a) sor E-be abszolút koverges ha z a <r, tehát E teljessége N 0 miatt koveges is, és ezért a folytoos lieáris l kiemelhető a ( ) jobb oldalá álló szumma elé, majd elhagyható midkét oldalról, mert az egyelőség mide l-re teljesül, és E elemei szétválasztják E potjait: így megkapjuk a ( ) egyelőséget. (ii) Legye E komplex ormált tér, és f:c E differeciálható, korlátos függvéy; ekkor f kostas (Liouville tétele). Ugyais mide l E eseté l f:c C differeciálható korlátos függvéy, ezért kostas, azaz mide z é s w komplex számra l(f(z)) = l(f(w). Mivel a duális elemei szétválasztják E potjait, l elhagyható midkét oldalról Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy ormált térbe zárt lieáris altér és véges dimeziós lieáris altér komplexus összege zárt lieáris altér. (Útmutatás: elég beláti egy dimeziós esetre. Legye M zárt lieáris altér és 0 =x/ M. Legye y +λ x koverges sorozat az M +Kx altérbe. Va olya l elem a ormált tér duálisába, hogy l(x) = 1 é s l M = 0. Az l(y +λ x)=:λ sorozat is koverges, következésképpe az y sorozat is.) 2. Igazoljuk, hogy ha A : E F ormált terek közötti folytoos lieáris leképezés, akkor A = sup sup l(ax). l F, l =1 x E, x =1 3. Adjuk meg l p - olya lieáris fucioált, amely em folytoos. (Útmutatás: vegyük az feladatba szereplő vektorok által kifeszített lieáris alteret

32 32 II. A FUNKCIONÁLANALÍZIS ALAPTÉTELEI (em zártat!). Tekitsük azt a lieáris leképezést, amelyet eze az altére a e formula határoz meg, és amely ulla az altér egy tetszőlegese választott kiegészítőjé.) 4. Mutssuk meg, hogy a 7.8.(i)-be szereplő együtthatókra c =Df (a)(1,...,1) teljesül (e feledjük, hogy D f(a):c E szimmetrikus -lieáris leképezés). 8. Egyes Baach-terek duálisa A Hah-Baach-tétel következméyei mutatják, milye léyeges szerepet játszik ormált terek duálisa. Ezért fotos ismerük (jellemezük) kokrét ormált terek duálisát Az egyik leggyakrabba haszált Baach-tér C(K), egy K kompakt metrikus tére értelmezett K értékű folytoos függvéyek tere a maximum-ormával ellátva. Emlékeztetük arra, hogy kompakt metrikus tér kompakt halmazai által geerált kvázi-σ-gyűrű (a Baire-féle kvázi-σ-gyűrű) egyelű a yílt halmazok geerálta σ-algebrával (a Borel-féle σ-algebrával). A kompakt metrikus tér Borel-halmazai értelmezett K értékű mértéket Radomértékek hívuk; Rado-mérték variációja Borel-mérték (Aalízis V.B.17.8.). Ha m Rado-mérték K-, akkor az l m : C(K) K, f fdm ( ) lieáris fukcioál folytoos, hisze fdµ f m (K). Más szóval, mide m K Rado-mértékhez természetes módo hozzáredelhetjük a C(K) duálisáak egy l m elemét. Köyű láti, hogy ez a hozzáredelés lieáris, és az előbbiek szerit l m m (K). Még azt sem ehéz beláti, hogy ez a megfeleltetés ijekció. Tegyük ugyais fel, hogy l m = 0. A K mide H kompakt részhalmaza és mide N eseté va olya ϕ,h : K R folytoos függvéy (Aalízis III.8.14.), hogy K ϕ,h (x) = 0 ha d(x, H) > 1, 0 ϕ,h (x) 1 ha 0 <d(x, H) 1, ϕ,h (x) =1 ha0=d(x, H), és világos, hogy lim ϕ,h = χ H.