Valós és funkcionálanalízis

Átírás

1 Matematika taozatok. Kedd 13:3 Marx-terem 1. Baják Szabolcs (DE TTK). Baloh Ferec (SZTE TTK) 3. Glavosits Tamás (DE TTK) 4. Mészáros Fruzsia (DE TTK) 5. Mező Istvá (DE TTK) 6. Naszódi Gerely (ELTE TTK) - 1 -

2 A Hah Baach elválasztási tétel ey emlieáris változata BAJÁK SZABOLCS alkalmazott matematikus szakos hallató (4 ősz) Szeedi Tudomáyeyetem, Szeed Témavezetők: PÁLES ZSOLT, eyetemi taár, Debrecei Eyetem, Matematikai Itézet A fukcioálaalízis ey Dubovickíjtől és Miljutyitól származó eredméye a Hah Baach-féle elválasztási tétel alábbi általáosítása. Tétel. Leye X lokálisa kovex tér, továbbá leye K olya emüres kovex, K 1,,K pedi olya emüres belsejű kovex kúpjai, amelyek metszete üres. Ekkor létezek olya em mid zéró x K, x1 K1,..., x K folytoos lieáris fukcioálok, hoy x x1... x =. (Itt a K * adjuált kúp az olya X * -beli lieáris fukcioálok halmazát jeleti, amelyek em veszek fel pozitív értéket K-.) Fő eredméyükbe, amely a feti tételt általáosítja, a kovex kúpok szerepét kovex halmazok emlieáris iverz képei veszik át. Tétel. Leyeek X,Y,Y 1,,Y Baach-terek, továbbá leye Q Y emüres kovex, Q 1 Y 1,, Q Y pedi emüres belsejű kovex halmazok. Leye D X (emüres) yílt halmaz, p D és F : D Y a p potba erőse Fréchet-szerit differeciálható, F 1 : D Y 1,, F : D Y pedi a p potba Gâteaux-értelembe differeciálható és ' lokálisa Lipschitz, továbbá F Q, F1 Q1,..., F Q és az F, ' ' F 1,, F deriváltak szürjektív lieáris operátorok. Ha p-ek létezik olya U köryezete, hoy U F ( Q ) F1 ( Q1 )... F ( Q ) =, akkor létezek olya em mid zéró y F ( ) ( Q ) p, y 1 N F ( ) ( Q 1 ) 1 p,, y N ( Q ) folytoos lieáris fukcioálok, hoy F ' ' ' y F y 1 F1... y F = Itt N p (Q) a Q Y halmaz p Q potbeli ormálkúpját jelöli: N p (Q) :={ y Y y ( y) y mide y Q ra}

3 Folytoos lieáris operátorok ciklikus viselkedésformái BALOGH FERENC, matematikus szakos hallató (4 tavasz) Szeedi Tudomáyeyetem, Szeed Témavezető: KÉRCHY LÁSZLÓ, eyetemi taár, SZTE Bolyai Itézet, Aalízis Taszék A dolozatba az uiverzalitás általáos foalmá keresztül defiiáljuk a topoloikus vektortereke ható folytoos lieáris operátorok ciklikus viselkedésformáit (hiperciklikussá, szuperciklikussá és ciklikussá), majd adott típusú operátorokra kocetrálva (súlyozott kompozíció- és kovolúció-operátorok) szüksées és eleedő feltételeket aduk me azok hiperciklikus és szuperciklikus viselkedésére. Az 1. Fejezetbe a szüksées foalmak defiiálása utá az uiverzális viselkedéssel kapcsolatos állításokat, tételeket moduk ki. Ezutá a hiperciklikussára és a szuperciklikussára a későbbiek szempotjából fotos eleedő feltételek (Kitai- Gether-Shapiro Tétel, Salas tétele) következek. Néháy fotos operátorosztályt (vées dimeziós operátorok, ormális operátorok, izometriák, kotrakciók, hatváykorlátos operátorok) vizsáluk me a fet említett ciklikus viselkedésfajták szempotjából. A. Fejezetbe a súlyozott kompozíció-operátorok hiperciklikussáát és szuperciklikussáát vizsáljuk me. Az általáos defiíciók mefoalmazása utá áttérük a számláló mértékkel felruházott diszkrét alaptér esetére, és ott szüksées feltételeket keresük a hiperciklikus viselkedésre. Néháy szüksées feltétel metalálása utá sikerül szüksées és eleedő feltételt adi a diszkrét tére ható súlyozott kompozíció-operátorok hiperciklikussáára. Uyaerre teszük próbálkozást szuperciklikus esetbe, itt részlees eredméyek találhatók. A 3. Fejezetbe az előző eredméyek alkalmazásakét kompakt csoporto ható súlyozott kovolúció-operátorok hiperciklikus és szuperciklikus viselkedésformáit vizsáljuk me. A dolozatba metalálható saját eredméyek: - Felcserélési Lemma, - Diszkrét tére ható súlyozott kompozíció-operátorok hiperciklikussááak teljes karakterizációja, - Diszkrét tére ható súlyozott kompozíció-operátorok szuperciklikussááak részlees karakterizációja, - Meszámlálhatóa vétele duális csoporttal redelkező kompakt Abel-csoporto ható adott típusú súlyozott kovolúció-operátorok hiperciklikus és szuperciklikus viselkedéséek karakterizációja. 3

4 Karakterizációs problémákból származó füvéyeyeletek általáos meoldása GLAVOSITS TAMÁS, matematika szakos hallató Debrecei Eyetem, Debrece Témavezető: LAJKÓ KÁROLY, eyetemi doces DE Aalízis Taszék Seitmatsu Narumi japá matematikus a Biometria című folyóirat XV. számába 198- ba mejelet cikkébe füvéyeyeleteket haszál eloszlások eyüttes illetve mariális sűrűséfüvéyeiek mehatározására. Leye (X, Y) ey kétváltozós valós értékű abszolút folytoos valószíűséi változó. Jelölje redre f ( ),f X,Y X,f Y,f,f XY YX az eyüttes, mariális illetve feltételes sűrűséfüvéyeket. Ismeretes, hoy ekkor teljesülek a következők: XY ( ) Y ( ) = YX ( ) X ( ) f xy f y f yx f x. Narumi azokat az eloszlásokat vizsálta, melyek feltételes sűrűséfüvéyei f ( xy) =Ψ 1 ( x f1( y) ) 1( y ), f ( yx) =Ψ ( y f( x) ) ( x ) XY ahol az fi, i (i = 1,) adott füvéyek, Ψ1, Ψ ismeretle füvéy. Ez utóbbi eyelet et összevetve az (1) eyelettel, kapjuk, hoy YX ( ( )) ( ) Y ( ) ( ) ( ) ( ) X ( ) Ψ 1 x f1 y 1 y f y =Ψ y f x x f x Ezek az eyeletek az fi, i (i = 1, ) bizoyos speciális meválasztása eseté a következő eyeletekre vezethetők vissza: x 1 y 1 y x (1) G F ( y) = G F ( x) 1 1 ( x,y ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) () G x( y 1) F y = G y x 1 F x ( ) 1 1 x,y A dolozat célja az (l)-es illetve ()-es eyeletek általáos illetve mérhető meoldásaiak a mehatározása. 4

5 Majdem mideütt teljesülő füvéyeyeletek és karakterizációs problémák MÉSZÁROS FRUZSINA, matematikus, (4 ősz) Debrecei Eyetem, Debrece Témavezető: LAJKÓ KÁROLY, eyetemi doces, DE Aalízis Taszék Dolozatomba a valószíűséelmélet karakterizációs problémáiba felmerült füvéyeyeleteket vizsálok. Speciális sürűséfüvéy-osztályok eseté keresem az eyüttes sűrűséfüvéyt és ehhez majdem mideütt teljesülő füvéyeyeletek mérhető meoldását határozom me. A [( x f ( y) ) F ( y) ] f ( y) = [( y f ( x) ) F ( x) ] f ( x) Y füvéyeyeletet vizsálom a bee szereplő f 1, f, F 1, F füvéyek több speciális választása mellett, és csak ayit teszek fel, hoy az eyelet majdem mide x,y-ra teljesül, a füvéyek pedi mérhetőek és pozitívak. Először a x m1 y c1 y m x c fy ( y) f ( y a ) ( x a ) = 1 λ1 1 λ eyeletet vizsálom, amely majdem mide ( ) ( ) { R 1 } xy, D= xy, x a >, y a> eseté teljesül, és meadom a mérhető meoldásait. A második vizsált eyelet pedi a X X ( x) [( y a ) x b y c ] f ( y) = [( x b ) y a x c ] f ( x) Y füvéyeyelet, amely majdem mide ( x y) D1 D = R \{ b, b } és D = R \{ a, a }, D eseté teljesül, ahol Ebbe az esetbe is meadom a majdem mideütt teljesülő eyelet mérhető meoldásait. X 5

6 Folytoossái modulus és lejobb approximáció loaritmustérbe MEZŐ ISTVÁN, matematikus szakos hallató (4 ősz) Debrecei Eyetem, Debrece Témavezető: GÁT GYÖRGY, eyetemi doces, DE Aalízis Taszék Vileki tére értelmezett, komplex értékű, loaritmustérbeli füvéyek poliomokkal való approximálhatósáát és folytoossái modulusát fojuk vizsáli. A dolozat eyik fő eredméye aak bemutatása, hoy tetszőlees a feti tulajdosáokkal redelkező füvéy folytoossái modulusa mooto csökkeő valós ullsorozat és mide ilye sorozathoz létezik füvéy, melyek ez a folytoossái modulusa. A másik eredméy szerit a Fourier-sor úy közelíti a leképezést a loaritmusormába, ahoya aak folytoossái modulusa tart ullához. Hasoló iaz a poliomokkal való approximálhatósára is. Következméykét kapjuk, hoy a Fouriersor ormába koverál a füvéyhez. A Vileki tér messzemeő általáosítása több struktúráak, amelyek közül az eyik a Walsh-redszer. Ez jó eszköz differeciál- és iteráleyeletek közelítő meoldásáak mekeresésére, képfeldolozásra és írásfelismerésre. Redkívül kis táriéye, jó aloritmizálhatósáa, potossáa és yorsasáa miatt haszos a számítóépes matematikába. Hivatkozások: [1] Fridli, S.: O the modulus of cotiuity with respect to fuctios defied o Vileki roups (Elish), Acta Math. Hu. 45(3-4), (1985). [] Gát, Gy.: Best approximatio by Vileki-like systems (Elish), Acta Math. Paed. Nyíreyh., 17(3), (1). 6

7 Euklideszi terek aalízisbeli külöbséei NASZÓDI GERGELY, matematikus (3 ősz) Eötvös Lorád Tudomáyeyetem, Budapest Témavezető: BUCZOLICH ZOLTÁN, eyetemi doces, ELTE Aalízis Taszék Gyakori matematikai probléma bizoyos objektumok közötti külöbsététel. Gyakra azt mutatják me, hoy két objektum között em létezik jó (azaz bizoyos) tulajdosáokkal redelkező leképezés. Dolozatomba is ilye iráyú vizsálatot vézek. Kimutatom, hoy maasabb dimeziós yílt halmazból em létezik alacsoyabb dimeziós térbe érkező C 1 osztályú ijektív leképezés. A bizoyítás rövid vázlata az alábbi. Idirekt bizoyítást haszálok. Először olya yílt halmazt találok, ahol a deriváltleképzés raja kostas. Ezutá a Gauss elimiációt folytoosítom lokálisa. Olya el em tűő vektormezőt yerek, mely merőlees az eredeti leképezés radiesére. Véül e vektormező felhaszálásával eljutok ey olya kezdetiérték problémához, melyek meoldása az eredeti leképzés szitfelületei mozó örbe, s íy em lehet ijektív a szóba foró leképzés. Ezzel a témával kapcsolatba természetese más is folalkozott, s dolozatom hivatkozik az idevoatkozó tételekre. Úy érzem, hoy az általam adott bizoyítás szemléletesebb és rövidebb a tétel ismertebb változataiál. 7