hidrodinamikai határátmenet

Átírás

1 Véletle közegű kizárási folyamat, hidrodiamikai határátmeet Diplomamuka Írta Horváth Aja Alkalmazott matematikus szak Témavezető: Nagy Katali Egyetemi doces Differeciálegyeletek Taszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Budapest, 24

2 Tartalomjegyzék Köszöetyilváítás 3. Bevezetés 4 2. Operátorfélcsoportok, elméleti háttér Alapfogalmak Baach tér értékű függvéyek Geerátorok tulajdoságai Hille - Yoshida tétel Trotter - Kurtz tétel Egyszerű szimmetrikus véletle közegű bolyogás és egyszerű szimmetrikus véletle közegű kizárási folyamat egy dimezióba, a Trotter- Kurtz tétel alkalmazása Véletle közegű bolyogás Véletle közegű kizárási folyamat Fő tételek Fő tételek bizoyítása Az átskálázott bolyogás geerátoráak és félcsoportjáak kovergeciája Az átskálázott bolyogás kovergeciája A kizárási folyamat hidrodiamikai limesze, az átskálázott sűrűségi mező kovergeciája Irodalomjegyzék 49 2

3 Köszöetyilváítás Ezúto szereték köszöetet modai témavezetõmek, Nagy Kataliak a sok segítségért, türelemért és észrevételért, amit a dolgozatom elkészítéséhez yújtott. Külö köszöettel tartozom Beseyei Ádámak a LaTeX programba yújtott segítségéért. Valamit hálás vagyok midazokak, akik a dolgozatom elkészültéhez még hozzájárultak. 3

4 . Bevezetés Diplomamukám témája az operátorfélcsoportok elmélete és aak alkalmazása egydimeziós véletle közegű bolyogásra voatkozó cetrális határeloszlás tétel és egydimeziós véletle közegű kizárási folyamat hidrodiamikai limeszéek bizoyítására. Dolgozatom második fejezetébe alapvető fogalmak és tételek szerepelek az operátorfélcsoportok elméletéből. A fejezet két fő tétele a Hille-Yosida és a Trotter- Kurtz tétel. A dolgozat harmadik fejezetébe megmutatom, hogy a Trotter-Kurtz tétel felhaszálható egydimeziós egyszerű szimmetrikus véletle közegű bolyogásra voatkozó cetrális határeloszlástétel bizoyítására, és ezt felhaszálva az egydimeziós egyszerű szimmetrikus véletle közegű kizárási folyamat hidrodiamikai limeszét is bizoyíthatom. A kizárási folyamat hidrodiamikai limesze a sztochasztikus folyamatok, a parciális differeciálegyeletek és a statisztikus fizika elméletéek határterületéhez tartozik. A fejezetbe bizoyított tétel szerit megfelelő feltételek mellett az egydimeziós egyszerű szimmetrikus véletle közegű kizárási folyamat diffúzív módo átskálázott sűrűségi mezőjéek makroszkopikus viselkedését egy lieáris hővezetési egyelettel lehet leíri. A harmadik fejezetbe az operátorfélcsoportok elméletéek fogalmai és tételei mellett felhaszálok alapvető fogalmakat és tételeket a sztochasztikus folyamatok elméletéből is. A második fejezet megírásához főkét a [3] köyv első fejezetét haszáltam, a harmadik fejezet eredméyei a [7] cikkből valók. A dolgozatomba szereplő bizoyítások sok esetbe részletesebbek, mit a [3] köyv és a [7] cikk bizoyításai. A [7] cikk és dolgozatom harmadik fejezetéek érdekessége, hogy egydimeziós esetbe, ha a közeg függetle azoos eloszlású, a félcsoport elméletet - azo belül is a Trotter-Kurtz tételt felhaszálva - elemi módo bizoyítható a diffúzív módo átskálázott véletle közegű bolyogás kovergeciája egy megfelelő Wieer folyamathoz. E folyamat kovergeciája korábba is ismert volt (lásd pl. [] és [4] cikkeket). Azoba az ott szereplő bizoyítások jóval boyolultabbak, az előbbi perturbáció elméletet haszál, az utóbbiba pedig általáos ivariaciaelv bizoyítása törtéik reverzibilis Markov folyamatok függvéyeiek itegráljaira, a bolyogás kovergeciája ebből adódik. 4

5 2. Operátorfélcsoportok, elméleti háttér Ebbe a fejezetbe alapvető fogalmak és tételek szerepelek az operátor félcsoportok elméletéből a tételek java részéek bizoyításaival együtt. A fejezet két fő tétele a Hille-Yosida és a Trotter-Kurtz tétel. Az előbbi szükséges és elégséges feltételt ad arra, hogy egy Baach tére értelmezett lieáris operátor valamely erőse folytoos kotrakció félcsoport geerátora legye. Az utóbbi pedig egy approximációs tétel, amely szerit erőse folytoos kotrakció félcsoportok kovergeciájáak bizoyításához elég a geerátorok kovergeciáját bizoyítai megfelelő közelítő függvéysorozat meté. E fejezet megírásához főkét a [3] köyv első fejezetét haszáltam. 2.. Alapfogalmak 2... Defiíció. Legye L valós Baach tér ormával. {T (t) : t } korlátos lieáris operátorok egy-paraméteres családját L-e félcsoportak evezzük, ha T () = I és T (s + t) = T (s)t (t) mide s, t eseté Defiíció. Az L Baach tére értelmezett {T (t)} félcsoportot erőse folytoosak evezzük, ha lim T (t)f = f f L. () t Defiíció. A {T (t) : t } korlátos lieáris operátorok egy-paraméteres családját az L Baach tére erőse folytoos kotrakció félcsoportak evezzük, ha igazak rá az előbbi tulajdoságok és T (t) mide t eseté Defiíció. Legye B L korlátos, lieáris operátor és e tb = k= k! tk B k, t. (2) Egy egyszerű számításból adódik, hogy e (s+t)b = e sb e tb mide s, t -ra, másrészt e t = I. Ezért {e tb } félcsoport, amiről belátható, hogy erőse folytoos. Felírható ugyais, hogy e tb k= k! tk B k k= k! tk B k = e t B, t (3) amiből (e tb I) e t B t Így {e tb } valóba erőse folytoos félcsoport. 5

6 2..5. Állítás. Legye {T (t)} erőse folytoos félcsoport az L tére. Ekkor létezik M kostas és ω, hogy T (t) Me ωt, t. (4) Bizoyítás. /2..5. állítás bizoyítása/ Belátjuk először, hogy létezik M és t > úgy, hogy T (t) M, t t eseté. Ameyibe ez em igaz, tuduk találi pozitív számok {t } sorozatát, amely tart ullához olya módo, hogy T (t ). Azoba ekkor az Egyeletes korlátosság tétele szerit létezik f L, melyre sup T (t )f =. Ez viszot elletmod az erős folytoosság feltevéséek. Legye ω = t l M és legye t. Ekkor t = kt + s alakba írható, ahol k emegatív egész, s < t. Így T (t) = T (s)t (t ) k MM k MM t/t = Me ωt. (5) Következméy. Legye {T (t)} erőse folytoos félcsoport az L tére. Ekkor mide f L-re a t T (t)f [, )-ből L-be képező függvéy folytoos. Bizoyítás. /2..6. következméy bizoyítása/ Legye f L. Felhaszálva 2..5 állítást a következők írhatók fel: ha t és h, akkor T (t + h)f T (t)f = T (t) [T (h)f f] Me ωt T (h)f f, (6) és ha t és h t, akkor T (t h)f T (t)f = T (t h) [T (h)f f] Me ωt T (h)f f. (7) Ebből adódik a folytoosság Defiíció. Legye A az L tére értelmezett em feltétleül korlátos lieáris operátor, A értelmezési tartomáyát jelölje D(A), értékkészletét R(A). Az A lieáris leképezés grafikoja: G(A) = {(f, Af) : f D(A)} L L, (8) ahol L L maga is Baach-tér a kompoesekéti összeadással és skalárral való szorzással és az (f, g) = f + g ormával Defiíció. Az A operátort zártak evezzük, ha G(A) zárt részhalmaza az L L térek. 6

7 2..9. Defiíció. Legye {T (t)} félcsoport az L Baach tére, és legye Af = lim t {T (t)f f}, (9) t ahol A értelmezési tartomáya D(A) azo f L-ek halmaza, amelyekre ez a határérték létezik. Ekkor az A lieáris operátort a {T (t)} félcsoport geerátoráak evezzük Baach tér értékű függvéyek A későbbiekbe szükségük lesz Baach tér értékű függvéyekre, ezért az alábbiakba megaduk éháy ezekkel kapcsolatos defiíciót és állítást Defiíció. Legye (, ) zárt itervallum. Jelölje C L ( ) a -ról L-be képező folytoos függvéyek terét. Valamit jelölje CL ( ) a -ról L-be képező folytoosa differeciálható függvéyek terét Defiíció. Ha egy véges [a, b] itervallum, akkor az u : L függvéyt (Riema) itegrálhatóak evezzük a itervallumo, ha létezik lim δ u(s k )(t k t k ) k= ahol a = t s t t s t = b és δ = max k (t k t k ), és a limesz em függ a felosztássorozattól. A határértéket jelölje u(t) dt Δ vagy b u(t) dt. a Ha = [a, ), akkor az u : L függvéyt itegrálhatóak evezzük a itervallumo, ha u [a,b] itegrálható mide [a, b] itervallumo, ahol b a, és ha létezik lim b b a u(t) dt. A határértéket jelölje ismét u(t) dt Δ vagy u(t) dt. a Lemma. (i) Ha u C L ( ) és u(t) dt <, akkor u itegrálható az Δ egész itervallumo és u(t) dt u(t) dt. () Δ Speciálisa, ha egy véges [a, b] itervallum, akkor mide C L ( )-beli függvéy itegrálható a itervallumo. 7 Δ

8 (ii) Legye B egy zárt lieáris operátor az L tére. Tegyük fel, hogy u C L ( ), u(t) D(B) mide t eseté, Bu C L ( ) és u és Bu is itegrálható a itervallumo. Ekkor u(t) dt D(B) és Δ B u(t) dt = Bu(t) dt. () (iii) Ha u CL [a, b], akkor b Bizoyítás. Ezt a lemmát em bizoyítjuk. a Δ Δ d u(t) dt = u(b) u(a). (2) dt Geerátorok tulajdoságai Állítás. Legye {T (t)} egy erőse folytoos félcsoport az L Baach tére A geerátorral. (i) Ha f L és t, akkor t T (s)fds D(A) és T (t)f f = A (ii) Ha f D(A) és t, akkor T (t)f D(A) és (iii) Ha f D(A) és t, akkor T (t)f f = T (s)f ds. (3) d T (t)f = AT (t)f = T (t)af. (4) dt Bizoyítás. /2..3. lemma bizoyítása/ AT (s)f ds = T (s)af ds. (5) (i) [T (h) I] h T (s)f ds = h ( = t+h T (s)f ds h h [T (s + h)f T (s)f] ds = (6) T (s)f ds ) = 8

9 = h +h t T (s)f ds h h T (s)f ds teljesül mide h > -ra, h + eseté az utolsó külöbség T (t)f fhez kovergál, mivel {T (t)} erőse folytoos félcsoport, így a legelső kifejezés határértéke is létezik. Tehát t T (s)f ds D(A) és a (3) egyelőség teljesül. (ii) Felírható, hogy h [T (t + h)f T (t)f] = A ht (t)f = T (t)a h f h >, (7) ahol A h = h [T (h) I]. Így, mivel f D(A), ezért T (t)f D(A) és ( ) + d T (t)f = AT (t)f = T (t)af dt is teljesül. Így elegedő már csak azt beláti, hogy ( d ) T (t)f = AT (t)f = T (t)af dt feltéve, hogy t >. Az előző összefüggéshez hasolóa felírható, hogy h [T (t h)f T (t)f] T (t)af = T (t h)a hf T (t)af = (8) = T (t h)a h f T (t h)af + T (t h)af T (t)af = T (t h) [A h A]f + [T (t h) T (t)]af mide < h t eseté. Látható, hogy h eseté az utolsó két tag összege -hoz kovergál, és így késze vagyuk. (iii) Ez (ii)-ak és a (iii) részéek következméye lesz Megjegyzés. Legye az A operátor az L Baach tére értelmezett {T (t)} erőse folytoos félcsoport geerátora, ekkor (i) D(A) sűrű részhalmaza L-ek, (ii) az A geerátor zárt. Bizoyítás. /2..4. így megjegyzés bizoyítása/ {T (t)} erőse folytoos félcsoport, 9

10 (i) lim t + t T (s)f ds = f f L Másrészt a állítás (i) része miatt T (s)f ds D(A), így L tetszőleges t eleméhez lehet D(A)-beli elemekkel tartai, tehát D(A) L sűrű. (ii) Ahhoz, hogy megmutassuk az A zártságát, a következőkre lesz szükség: legye {f } D(A) sorozat, amelyre f f és Af g. Igazoluk kell, hogy f D(A), és Af = g. Az állítás (iii) részéből adódóa felírható, hogy T (t)f f = t T (s)af ds mide t > eseté. Ebből a kifejezésből ha, akkor T (t)f f = T (s)g ds adódik. Ameyibe leosztjuk t-vel és t, azt kapjuk, hogy f D(A) és Af = g, azaz A valóba zárt operátor Hille - Yoshida tétel Defiíció. Legye A zárt lieáris operátor az L Baach-tére. Ha valamely valós λ-ra (i) λ A( λi A) ijektív, (ii) R(λ A) = L, (iii) és (λ A) korlátos lieáris operátor L tére, akkor azt modjuk, hogy λ eleme az A rezolves halmazáak, ρ(a)-ak, és R λ = (λ A) operátort az A operátor λ-hoz tartozó rezolveséek evezzük Állítás. Legye {T (t)} erőse folytoos kotrakció félcsoport az L Baach tére A geerátorral. Ekkor (, ) ρ(a), R λ g = (λ A) g = e λt T (t)g dt (9) mide g L és λ > eseté, és R λ λ mide λ > eseté.

11 Bizoyítás. / bizoyítása/ Legye λ > tetszőleges. Defiiáljuk az L tére értelmezett U λ -t a következő összefüggéssel: Ekkor U λ g U λ g = e λt T (t)g dt e λt T (t)g dt λ g (2) mide g L eseté. Így U λ korlátos lieáris operátor az L Baach tére. Most adott g L-re h [T (h) I] U λg = h = eλh h e λt [T (t + h)g T (t)g] dt = (2) e λt T (t)g dt eλh h h mide h > eseté. Ha h, akkor U λ g D(A) és adódik, azaz AU λ g = λu λ g g e λt T (t)g dt (λ A)U λ g = g, g L. (22) Ezekívül, ha g D(A), akkor (felhaszálva a lemma (ii) részét) U λ Ag = e λt T (t)ag dt = = A Emiatt a (22) egyelet átírható úgy, hogy e λt T (t)g dt = AU λ g A(e λt T (t)g) dt = (23) U λ (λ A)g = g, g D(A). (24) Tegyük fel, hogy (λ A)f = (λ A)g, ekkor U λ (λ A)f = U λ (λ A)g, és így (24) miatt f = g, tehát λ A ijektív. A (22) egyelőség azt eredméyezi, hogy R(λ A) = L. A (22) és (24) összefüggésekből látható, hogy (λ A) = U λ, így λ ρ(a). Mivel a bizoyítást tetszőleges λ > -ra vezettük le, így késze vagyuk.

12 Defiíció. Legye A zárt lieáris operátor az L Baach tére. Mivel teljesül a kommutatívitás a következőkre: (λ A)(μ A) = (μ A)(λ A) mide λ, μ ρ(a) eseté, így (μ A) (λ A) = (λ A) (μ A) is felírható. Ezekből egy egyszerű számolással kapható meg a rezolves azoosság: Ugyais R λ R μ = R μ R λ = (λ μ) (R μ R λ ), λ, μ ρ(a). (25) R λ R μ = (λ μ) (λ μ)r λ R μ = = (λ μ) [(λ A) (μ A)]R λ R μ = (λ μ) (R μ R λ ). Ha λ ρ(a) és λ μ < R λ teljesül, akkor = (λ μ) R + λ (26) egy korlátos lieáris operátort defiiál, ami valójába a (μ A), hisze (μ A) = (λ μ) R + λ = (λ μ) Rλ = = [(λ A) (λ μ)]r λ = (λ μ) + R + λ (λ μ) Rλ = = = I. Ebből, többek között, következik az, hogy ρ(a) R yílt halmaz Defiíció. Legye A lieáris operátor az L tére. A-t disszipatívak evezzük, ha λf Af λ f mide f D(A) és λ > eseté Lemma. Legye az A operátor egy erőse folytoos kotrakció félcsoport geerátora az L Baach tére, ekkor A disszipatív. Bizoyítás. / lemma bizoyítása/ Legye f D(A) és λ >. Ekkor a állítás szerit R λ = (λ A) létezik, R λ λ, és így tehát A disszipatív. f = (λ A) (λ A)f λ (λ A)f, Lemma. Legye A disszipatív lieáris operátor az L Baach tére és legye λ >. Ekkor A akkor és csak akkor zárt, ha R(λ A) zárt. 2

13 Bizoyítás. / lemma bizoyítása/ A bizoyítás egyik iráyáál tegyük fel, hogy az A operátor zárt. Ha {f } D(A) sorozat és (λ A)f h, akkor A disszipatívitása miatt λ (λ A)(f f m ) f f m mide λ >,, m N eseté. Tekitve, hogy (λ A)f h és (λ A)f m h, az egyelet bal oldala -hoz tart, ami a jobb oldal -hoz tartását okozza. Azaz {f } Cauchy-sorozat, és mivel L teljes, ezért létezik f L, hogy f f, és így tehát lim (λf Af ) = h Af λf h Mivel A operátor zárt, f f és Af λf h, ezért f D(A) és Af = λf h, tehát h = (λ A)f. Ez pedig azt eredméyezi, hogy R(λ A) zárt. A bizoyítás másik iráyáál iduljuk ki abból, hogy R(λ A) zárt. Ha {f } D(A) sorozat, f f és Af g, akkor (λ A)f λf g. Így, mivel R(λ A) zárt, létezik olya f D(A), hogy λf g = (λ A)f (27) Az A operátor disszipatívitásából következik, hogy f f, hisze és (λ A)(f f ) (λ A)(f f ) λ f f Az egyelet bal oldaláak -hoz tartása miatt látható, hogy a jobb oldal is tart - hoz. Így f = f. Ezt a (27) egyelőségbe helyettesítve, majd azt átredezve kapjuk, hogy Af = g. Tehát az A operátor zárt Lemma. Legye A disszipatív zárt lieáris operátor az L Baach tére, és legye ρ + (A) = ρ(a) (, ). Ha ρ + (A) em üres, akkor ρ + (A) = (, ). Bizoyítás. / lemma bizoyítása/ Elegedő azt megmutati, hogy ρ + (A) yílt és zárt is (, )-be. Azt már láttuk, hogy ρ(a) yílt részhalmaza R-ek, így ρ + (A) is yílt a (, )-be. Tegyük fel, hogy {λ } ρ + (A) és λ λ >. Legye g L, ekkor g = (λ A)(λ A) g, és legye g = (λ A)(λ A) g mide eseté. Belátható A disszipativitása segítségével, hogy g g úgy, hogy lim g g = lim (λ A)(λ A) g (λ A)(λ A) g = (28) 3

14 = lim (λ λ )(λ A) λ λ g lim g =. λ Mivel g L tetszőleges, és g R(λ A), így R(λ A) sűrű L-be. Másrészt az A operátor zárt és disszipatív, így a lemma miatt R(λ A) zárt is. Eek következtébe R(λ A) = L. Még egyszer kihaszálva A disszipativitását arra jutuk, hogy λ A ijektív és (λ A) λ. Ugyais ha (λ A)f = (λ A)g, akkor = (λ A)(f g), valamit A disszipatív, így = (λ A)(f g) λ f g. Tehát f g =, azaz f = g, és így (λ A) ijektív. Másrészt A disszipativitása miatt λ f (λ A) f f L. Így (λ A) λ. Emiatt λ ρ + (A), tehát ρ + (A) zárt a (, ) itervallumba Lemma. Legye A disszipatív zárt lieáris operátor az L Baach tére. Tegyük fel, hogy D(A) sűrű L-be és (, ) ρ(a). Ekkor az A operátor Yosidaapproximációját, A λ -t mide λ > eseté az A λ = λa(λ A) összefüggéssel defiiáljuk. Ez a következő tulajdoságokkal redelkezik: (i) Mide λ > eseté A λ korlátos lieáris operátor az L tére és {e ta λ } egy erőse folytoos kotrakció félcsoport L-e. (ii) A λ A μ = A μ A λ mide λ, μ > eseté. (iii) lim λ A λ f = Af mide f D(A) eseté. Bizoyítás. / lemma bizoyítása/ Legye R λ = (λ A) mide λ > eseté és mivel A disszipatív, ezért (λ A) = R λ λ. Másrészt (λ A)R λ = I az L tére és R λ (λ A) = I a D(A) tartomáyo, ezért felírható egy a későbbiekbe ige fotos összefüggés: A λ = λ 2 R λ λi (29) az L tére mide λ > eseté. Ez a Yosida - approximáció defiíciójából vezethető le a következőképpe: A λ = λ(λ (λ A))(λ A) = λ 2 (λ A) λ(λ A)(λ A) = λ 2 R λ λi. Másrészt a D(A) tartomáyo, λ > eseté. A λ = λr λ A (3) A (29) egyelőségből látható, hogy λ > eseté A λ korlátos és így {e ta λ : t } erőse folytoos, másrészt e ta λ = e tλ e tλ2 R λ e tλ e tλ2 R λ, (3) 4

15 hisze R λ λ, és így tλ 2 R λ tλ mide t eseté. Ezzel igazoltuk az (i) tulajdoságot. A (ii) tulajdoság a (29) és (25) egyeletek következméyeképpe kapható meg. A (iii) tulajdosághoz először belátjuk, hogy Vegyük észre, hogy lim λr λf = f, f L. (32) λ λr λ f f = ( λ(λ A) I ) f = (λ A) [λ (λ A)]f = = (λ A) Af = R λ Af λ Af λ mide f D(A) eseté. Mivel D(A) sűrű L-be, és λr λ I 2, így (32) mide f L eseté teljesül. Végezetül a (iii) tulajdoság a (3) és (32) egyelőségek következméye Lemma. Ha B és C korlátos lieáris operátorok az L tére úgy, hogy BC = CB, e tb és e tc mide t eseté, akkor mide f L és t eseté. e tb f e tc f t Bf Cf (33) Bizoyítás. / lemma bizoyítása/ A lemma összefüggése a következő azoosságból következik: e tb f e tc f = = d ds [ e sb e (t s)c] f ds = e sb Be (t s)c e sb Ce (t s)c f ds = (34) e sb (B C)e (t s)c f ds = e sb e (t s)c (B C)f ds Az utolsó egyelőségél B és C kommutativitását haszáltuk ki. Ezek utá már mide előzméyel redelkezük ahhoz, hogy kimodhassuk és beláthassuk a Hille - Yosida tételt Tétel (Hille - Yosida tétel). Legye A lieáris operátor az L Baach tére. Ekkor A egy L-e értelmezett erőse folytoos kotrakció félcsoport geerátora akkor és csak akkor, ha a következő tulajdoságok teljesülek: (i) D(A) sűrű L-be, 5

16 (ii) A disszipatív, (iii) létezik olya λ >, amelyre R(λ A) = L. Bizoyítás. /2.2.. tétel bizoyítása/ A tulajdoságok szükségessége a megjegyzésből, a állításból és a lemmából következik. Ezért elég csak az elégségességet igazoluk. Eek igazolásához tegyük fel, hogy (i), (ii) és (iii) teljesül. A (ii) és (iii) tulajdoságból, valamit a lemmából következik, hogy A zárt operátor és ρ(a) (, ) em üres (a disszipatívságból adódik, hogy (λ A) ijektív, és (λ A) korlátos). Így a lemma alapjá látható, hogy (, ) ρ(a). Haszáljuk a lemma jelölését, így defiiálhatuk mide λ > eseté egy erőse folytoos kotrakció félcsoportot {T λ (t)}-t az L tére, ahol legye T λ (t) = e ta λ. A lemma (ii) tulajdoságát, valamit a lemmát felhaszálva felírható, hogy T λ (t)f T μ (t)f t A λ f A μ f (35) mide f L, t és λ, μ > eseté. A lemma (iii) része miatt A λ f Cauchy sorozat, így (35) miatt rögzített t-re, T λ (t)f is Cauchy sorozat, és így lim λ T λ (t)f létezik mide f D(A) és t eseté, és korlátos idő itervallumo egyeletese koverges. És így mide f D(A) = L eseté is. Jelöljük az előző kifejezés határértékét T (t)f-fel. Mivel T λ (t) mide λ > és t eseté, így T (t) is kotrakció mide t -ra. Másrészt T (t)f f T (t)f T λ (t)f + T λ (t)f f mide f L és λ > eseté. Legye T >. Mivel T λ (t)f T (t)f t T itervallumo egyeletese, ezért ε > λ >, hogy T λ (t)f T (t)f < ε 2 mide t T eseté. Másrészt T λ (t) erőse folytoos, így létezik t T, hogy t t eseté T λ (t)f f < ε 2. Így t t eseté T (t)f f < ε, tehát T (t) erőse folytoos. Felhaszálva a következő azoosságot T (s + t)f T (s)t (t)f = [T (s + t) T λ (s + t)]f+ (36) +T λ (s)[t λ (t) T (t)]f + [T λ (s) T (s)]t (t)f, arra jutuk, hogy {T (t)} erőse folytoos kotrakció félcsoport az L tére. Ezek utá már csak az maradt, hogy megmutassuk, hogy az A operátor a {T (t)} kotrakció félcsoport geerátora. Felhaszálva az állítás (iii) részét, felírható, hogy T λ (t)f f = A λ T λ (s)f ds = 6 T λ (s)a λ f ds (37)

17 mide f L, t és λ > eseté. Mide f D(A) és t eseté felírható a következő azoosság: T λ (s)a λ f T (s)af = T λ (s)(a λ f Af) + [T λ (s) T (s)] Af (38) Az előbbi egyelőségbe λ eseté a jobboldal első tagja tart -hoz, mivel T λ (s) és A λ f Af, és a jobboldal második tagja is tart -hoz, mivel T λ (s)af T (s)af. Így T λ (s)a λ f λ T (s)af, mitöbb s t eseté egyeletese. következő adódik: T (t)f f = Ezt a (37) egyelőségre alkalmazva a T (s)af ds (39) mide f D(A) és t eseté. Felhaszálva a (39)-et és azt, hogy T (t) erőse folytoos t T (t)f f T (s)af ds lim = lim = Af t + t t + t mide f D(A) eseté. Így a {T (t)} kotrakció félcsoport geerátora, B az A operátor kiterjesztése. Így, ha belátjuk, hogy D(B) D(A), akkor A = B adódik. Legye f D(B), és legye λ > olya, hogy R(λ A) = L, a (iii) feltevés miatt ilye λ létezik. Legye g = (λ B)f. Ekkor g L = R(λ A), azaz létezik h D A, hogy g = (λ A)h. Mivel B az A kiterjesztése, így h D(B) is igaz, és g = (λ B)h. Azoba mivel B egy erőse folytoos kotrakció félcsoport geerátora, így (λ B) ijektív, tehát f = h, és így f D(A). Ezzel a tételt bizoyítottuk. A következő állítás az előbbi bizoyítás és a letebbi megjegyzés együttes következméye Állítás. Legyeek {T (t)} erőse folytoos kotrakció félcsoport az L tére A geerátorral. Legye A λ az A operátor Yosida-approximációja, ahogy már korábba, a lemmába szerepelt. Ekkor e ta λ f T (t)f t A λ f Af, f D(A), t, λ >, (4) és így mide f L-re lim λ e ta λ f = T (t)f mide t eseté és korlátos idő itervallumoko egyeletese Megjegyzés. Legye {T (t)} és {S(t)} erőse folytoos kotrakció félcsoportok L tére A és B geerátorokkal. Abba az esetbe, ha A = B, akkor T (t) = S(t) mide t eseté. 7

18 Bizoyítás. Ezt a megjegyzést em bizoyítjuk. Sok alkalmazásba a Hille - Yosida tétel egy alteratív formáját haszálják. Ahhoz, hogy ezt kimodhassuk, szükségük lesz egy lemmára és két defiícióra Defiíció. Egy L térbeli A lieáris operátort lezárhatóak evezük, ha létezik zárt lieáris kiterjesztése Defiíció. Ha az L térbeli A lieáris operátor lezárható, akkor lezárása A az A legszűkebb zárt kiterjesztése. Még kokrétabba, ez az a zárt lieáris operátor, amelyek az L L térbeli grafikoja A grafikojáak lezárása Lemma. Legye A egy disszipatív lieáris operátor L tére D(A) értelmezési tartomáyal, amely sűrű L-be. Ekkor a következő két tulajdoság teljesül: (i) az A operátor lezárható, (ii) R(λ A) = R(λ A) mide λ > eseté. Bizoyítás. / lemma bizoyítása/ (i) Elegedő csak azt megmutati, hogy ha létezik {f } sorozat úgy, hogy {f } D(A), f és Af g L, akkor g =. Válasszuk egy {g m } D(A) sorozatot úgy, hogy g m g. Az A operátor disszipatívsága miatt felírható, hogy (λ A)g m λg = lim (λ A)(g m + λf ) (4) lim λ g m + λf = λ g m mide λ > és mide m eseté. Leosztva a kifejezés két végét λ-val és feltéve, hogy λ, azt kapjuk, hogy g m g g m mide m eseté. Ebből m -re, g = adódik. (ii) Legye λ >. Az, hogy R(λ A) R(λ A) yilvávaló, ezért az egyelőség igazolásához azt kell megmutatuk, hogy R(λ A) zárt. Azoba ez a lemma közvetle következméye, hisze ott már beláttuk, hogy R(λ A) zárt Tétel (Hille - Yosida tétel alteratív formája). Tegyük fel, hogy az L Baach tére értelmezett A lieáris operátor lezárható. Az A operátor A lezártja egy erőse folytoos kotrakció félcsoport geerátora az L tére akkor és csak akkor, ha 8

19 (i) D(A) sűrű L-be, (ii) az A operátor disszipatív, és (iii) létezik olya λ >, amelyre R(λ A) sűrű az L térbe. Bizoyítás. / tétel bizoyítása/ Tegyük fel először, hogy A lezárható és A egy erőse folytoos kotrakció félcsoport geerátora. Ekkor a tétel miatt D( A) sűrű L-be, A disszipatív és R(λ A) = L valamely λ > -ra. De ekkor D(A) sűrű L-be, A disszipatív és a lemma miatt R(λ A) = R(λ A) = L, és így R(λ A) sűrű L-be. Tegyük fel most, hogy az A lieáris operátor lezárható és (i), (ii), (iii) teljesül A-ra. Ekkor A is lieáris operátor, D( A) sűrű L-be, A is disszipatív és (iii) miatt L = R(λ A), a lemma miatt R(λ A) = R(λ A), és így R(λ A) = L valamely λ > -ra. Ezzel a tétel miatt A egy erőse folytoos kotrakció félcsoport geerátora Trotter - Kurtz tétel Legyeek (L, ), (L, ), =, 2,... Baach terek. A továbbiakba az egyszerűség kedvéért -et is -val jelöljük. Legyeek π : L L, =, 2,... korlátos lieáris traszformációk. Tegyük fel, hogy sup π <. A továbbiakba azt írjuk, hogy f f, ha f L, f L és lim f π f =. (42) Defiíció. Legye A egy zárt lieáris operátor az L tére. D(A) egy D alterét az A operátor magjáak evezük, ha A D = A Tétel (Trotter - Kurtz tétel). Legyeek {T (t)} és {T (t)} erőse folytoos kotrakció félcsoportok L és L tereke A és A geerátorokkal. Legye D az A operátor magja. Ekkor a következő állítások ekvivalesek: (i) Mide f L eseté T (t)π f T (t)f mide t -ra, korlátos idő itervallumo egyeletese. (ii) Mide f L eseté T (t)π f T (t)f mide t -ra. (iii) Mide f D eseté létezik f D(A ) sorozat, hogy f f és A f Af. 9

20 Ahhoz, hogy ezt az eredméyt igazoli tudjuk, szükségük lesz a következő két lemmára. Ezek közül a lemma a korábba szerepelt lemma általáosítása Lemma. Rögzítsük egy pozitív egész számot. Legyeek {S (t)} és {S(t)} erőse folytoos kotrakció félcsoportok az L és L tereke B és B geerátorokkal. Legye f D(B) és tegyük fel, hogy π S(s)f D(B ) mide s eseté, és tegyük fel, hogy B π S( )f : [, ) L folytoos. Ekkor mide t eseté S (t)π f π S(t)f = és így, mivel S (t s) kotrakció S (t)π f π S(t)f S (t s)(b π π B)S(s)f ds, (43) (B π π B)S(s)f ds. (44) Bizoyítás. / lemma bizoyítása/ Elegedő azt észrevei, hogy a (43) egyelőségbe az itegradus a S (t s)π S(s)f kifejezés s-szeriti deriváltja. Hisze d ds S (t s)π S(s)f = S (t s)b π S(s)f S (t s)π BS(s)f, amely pot a (43) egyelőség itegradusa. A félcsoport deriválását a állítás (ii) része szerit végeztük Lemma. Tegyük fel, hogy a tétel hipotézisei és a tétel (iii) állítása teljesül. Legye =, 2,... és λ > eseté A,λ és A λ az A és A geerátorok Yosida-approximációja (mit a lemmába). Ekkor mide f L és λ > eseté. A,λ π f A λ f Bizoyítás. / lemma bizoyítása/ Rögzítsük λ > -t. Legye f D és g = (λ A)f. Feltétel szerit létezik f D(A ) sorozat, amelyre f f és A f Af, és így (λ A )f g. Most ézzük a következő kifejezést: A,λ π g π A λ g = (45) (I) = [λ 2 (λ A ) λi]π g π [λ 2 (λ A) λi]g = (II) = λ 2 (λ A ) π g π (λ A) g 2

21 (III) λ 2 (λ A ) π g f + λ 2 f π (λ A) g (IV ) λ π g (λ A )f + λ 2 f π f mide eseté. Itt a (29) egyelet miatt A λ = λ 2 R λ λi = λ 2 (λ A) λi és hasolóa A,λ = λ 2 (λ A ) λi, így adódott az (I) egyelőség. A (IV ) egyelőtleségbe kiemeltük (λ A ) -t, illetve (λ A) -t és felhaszáltuk azt a korábbi becslést, miszerit (λ A ) = R,λ λ. Feltétel szerit f f, és láttuk, hogy (λ A )f g, amellyek a (42) összefüggés szerit azt jeletik, hogy (λ A )f π g és f π f. Következésképpe A,λ π g π A λ g mide g R(λ A D ) eseté. Azoba R(λ A D ) sűrű az L térbe, és az A,λ π π A λ, =, 2,... lieáris traszformációk egyeletese korlátosak. Így A,λπ f π A λ f, azaz A,λ π f A λ f mide f L és λ > eseté teljesül. Bizoyítás. /Trotter - Kurtz tétel bizoyítása/ (i = ii) Automatikusa következik. (ii = iii) Legye λ >, f D(A) és g = (λ A)f, ekkor f = e λt T (t)g dt. eseté legye f = e λt T (t)π g dt D(A ). A (ii) állítás és a Domiált kovergecia tétel miatt f f. Másrészt (λ A )f = π g, és π g g (hisze ez azt jeleti, hogy π g g ), így (λ A )f (λ A)f, tehát A f Af. (iii = i) =, 2,... és λ > eseté legyeek {T,λ (t)} és {T λ (t)} az A,λ és A λ Yosida-approximációkhoz tartozó erőse folytoos kotrakció félcsoportok az L és L tereke. Legye f D, ekkor a (iii) állítás szerit létezik {f } sorozat, melyre f D(A ), f f és A f Af. Vizsgáljuk a következőt: T (t)π f π T (t)f = T (t)(π f f ) + [T (t)f T,λ (t)f ]+ (46) +T,λ (t)(f π f) + [T,λ (t)π f π T λ (t)f] + π [T λ (t)f T (t)f] mide és t eseté. A jobboldal első és harmadik tagja a (42) összefüggés miatt tart -hoz, az ötödik tagot pedig a (4) összefüggés miatt felülről lehet becsüli Kt A λ f Af -val. Így elég csak a többi tagot vizsgáli. 2

22 Rögzítsük egy t küszöböt. A állítás miatt az (46) jobb oldaláak második tagjára felírható a következő: lim sup t t T (t)f T,λ (t)f lim t A f A,λ f (47) lim t { A f π Af + π (Af A λ f) + π A λ f A,λ π f + A,λ (π f f ) } Kt Af A λ f, ahol K = sup π. Ugyais eseté A f Af, így az első tag tart a -hoz, a lemma miatt a harmadik tag is tart a -hoz, a második tag Kt Af A λ f -val becsülhető, végül a egyedik tagba a (29) egyelőség miatt A λ λ 2 R,λ λi λ 2 λ + λ = 2λ, és π f f, így a egyedik tag is tart a -hoz. Felhaszálva a és a lemmát, valamit a Domiált kovergecia tételt, a (46) jobb oldaláak egyedik tagjára felírható, hogy lim sup T,λ (t)π f π T λ (t)f lim t t (A,λ π π A λ )T λ (s)f ds =. (48) Így a (46) egyelőséget, a (47) és (48) becslések eredméyét, és az egyéb megjegyzéseiket felhaszálva a következő adódik: lim sup T (t)π f π T (t)f 2Kt A λ f Af. (49) t t λ tetszőleges volt, így a lemma (iii) része miatt a (49) jobb oldala tart a -hoz λ eseté, és így a (49) egyelet bal oldala. Ez érvéyes mide f D-re, azoba D sűrű az L térbe, és T (t), T (t) kotrakció, így mide f L eseté is érvéyes. 22

23 3. Egyszerű szimmetrikus véletle közegű bolyogás és egyszerű szimmetrikus véletle közegű kizárási folyamat egy dimezióba, a Trotter-Kurtz tétel alkalmazása Ebbe a fejezetbe az előző fejezetbe szereplő Trotter-Kurtz féle approximációs tétel alkalmazására látuk példát. Megmutatjuk, hogya haszálható ez az egydimeziós véletle közegű szimmetrikus bolyogás eseté Cetrális határeloszlás tétel bizoyítására. Belátjuk, hogy a diffúzív módo átskálázott bolyogás geerátora megfelelő közelítő függvéysorozat meté kovergál, és ezt felhaszálva a félcsoport és a folyamat kovergeciáját is bizoyítjuk. Ezutá az egydimeziós véletle közegű egyszerű szimmetrikus kizárási folyamat hidrodiamikai limeszével foglalkozuk, és az átskálázott sűrűségi mező sztochasztikus kovergeciáját bizoyítjuk. Eek a mezőek a makroszkópikus viselkedését egy lieáris hővezetési egyelet adja meg. A diffúziós együttható megegyezik a megfelelő véletle közegű bolyogás diffúziós együtthatójával. Az itt bemutatott eredméyek a [7] cikk eredméyei. 3.. Véletle közegű bolyogás Az alábbiakba defiiáljuk az egydimeziós véletle közegű egyszerű szimmetrikus bolyogást Defiíció. Mide k Z eseté a {k, k + } élhez redeljük hozzá egy c k valószíűségi változót, Tegyük fel, hogy ezek függetle azoos eloszlásúak, pozitívak és korlátosak (azaz b >, hogy < c k < b, k Z-re). Ez a {c k } sorozat adja meg a véletle közeget. Godolhatuk c k -ra úgy, mit a {k, k + } él vezetőképességére. Rögzítsük a véletle közeget, azaz c k -k értékét. Tekitsük ezutá azt a folytoos idejű szimmetrikus bolyogást, amely bármely k Z rácspotból szomszédos rácspotokba ugorhat c k illetve c k rátával. Jelölje B a φ : Z R korlátos függvéyek Baach terét a szuprémum ormával. Ekkor a bolyogás geerátorát a következő összefüggés defiiálja: G φ(k) = c k (φ(k + ) φ(k)) + c k (φ(k ) φ(k)), φ B, k Z. (5) Ez azt jeleti, hogy a részecske a k helye c k +c k paraméterű expoeciális eloszlású c ideig várakozik, majd k c c k +c k valószíűséggel a k helyre, k c k +c k valószíűséggel a k +. helyre ugrik. Ez ekvivales azzal, hogy a {k, k + } élekre függetle c k paraméterű expoeciális eloszlású órákat helyezük, és ha a részecske k-ba va, akkor megvárja, hogy a {k, k}, {k, k + } élekre szerelt órák valamelyike megszólaljo, 23

24 s akkor a megfelelő, k illetve k +, szomszédos rácspotba ugrik. Ha egy óra csörgött, utáa újra idul. Jelölje X(t) a bolyogó részecske helyét a t időpillaatba. Ismeretes, hogy em véletle, homogé közegű szimmetrikus bolyogás eseté diffúzív skálázásra va szükségük a Cetrális határeloszlás tétel bizoyításához. Most is ez a helyzet, jelölje tehát X (t) = X(t2 ) a részecske átskálázott tartózkodási helyét a t időpillaatba, azaz a rács beosztását / agyságra összehúzzuk, az időt pedig 2 szeresére gyorsítjuk. Ez utóbbira godolhatuk úgy is, hogy az ugrási rátákat 2 -tel szorozzuk. Megfelelő mometum feltétel mellett bizoyítai fogjuk, hogya a közeg majdem mide realizációja eseté az átskálázott bolyogás, X (t) egy 2t E(c ) szóráségyzetű Wieer folyamathoz kovergál. Következő lépéskét defiiáljuk az egyszerű szimmetrikus véletle közegű kizárási folyamatot Z Véletle közegű kizárási folyamat Legye most több részecskék Z rácspotjai úgy, hogy mide helye egy időbe legfeljebb egy részecske tartózkodhat. A folyamat állapottere a 2 Z := {, } Z tér, amelyek elemei az η = (η k : k Z) alakú sorozatok, azaz η k {, }, mide k Z-re. {, } Z -t a szorzattopológiával látjuk el. η k = azt jeleti, hogy a k helye va részecske, míg η k = jeletése az, hogy a k hely üres. A redszer egy csere mechaizmussal fejlődik a következőképpe: Defiíció. Legye η 2 Z és k Z ekkor defiiáljuk C k η 2 Z -t úgy, hogy η i ha i k, és i k +, (C k η) i = η k+ ha i = k, η k ha i = k +. Ez azt jeleti, hogy a C k operátor η k. és k +. koordiátáját felcseréli Defiíció. Legye φ η 2 Z olya függvéye, ami csak véges sok koordiátától függ, azaz φ cilider függvéy. Ekkor legye D k φ(η) := φ(c k η) φ(η), (5) 24

25 és tekitsük azt a Markov ugrófolyamatot, amelyek pregeerátora Gφ = k Z c k D k φ, (52) ahol φ : 2 Z R ciliderfüggvéy Defiíció. Legye X kompakt metrikus tér. Egy lieáris C(X)-e értelmezett A operátort D(A) értelmezési tartomáyal Markov pregeerátorak evezük, ha teljesíti az alábbi feltételeket:. D(A) és A =, 2. D(A) sűrű C(X)-be, 3. ha φ D(A), λ és φ λa(φ) = ψ, akkor mi φ(x) mi ψ(x) x X x X Igazoljuk azt, hogy a fet defiiált G operátor Markov pregeerátor. Ehhez belátjuk, hogy a defiícióba szereplő három tulajdoságot kielégíti. X = 2 Z a szorzattopológiával kompakt metrikus tér. D(G) = {φ : 2 Z R, ami csak véges sok koordiátától függ, azaz φ cilider függvéy}. Triviálisa teljesül, hogy D(G). A G = összefüggés igazolásához helyettesítsük be az (5) kifejezésbe. Látható, hogy φ = eseté a régi és az új állapot megegyezik, így D k =. Ezt beírva az (52) egyeletbe: G = k Z c k =. 2. Ismeretes, hogy a cilider függvéyek halmaza sűrű C(2 Z )-be. 3. Legye η * X olya, hogy φ(η * ) := mi η X φ(η). Eek a tulajdoságak az igazolásához elég beláti azt, hogy ekkor (Gφ)(η * ). Ugyais ilyekor mi ψ(η) η X ψ(η* ) = φ(η * ) λgφ(η * ) φ(η * ) = mi φ(η). η X Tehát a bizoyítadó összefüggés felírható úgy, hogy Gφ(η * ) = k Z c k [φ(c k η * ) φ(η * )]. Ez azoba triviálisa teljesül, hisze c k >, és φ(c k η * ) φ(η * ), ugyais η * a φ miimum helye. 25

26 Ezzel beláttuk, hogy G Markov pregeerátor a C(2 Z )-. A Markov pregeerátorok lezárható operátorok, de lezárásuk em feltétleül geerátor. [5] első fejezetéek 3.9. tétele biztosítja, hogy a G operátor lezártja egy Markov folyamat geerátora, mivel a c k ugrási ráták korlátosak, és csak szomszédos rácspotokba lehet ugrai. A részbe megkostruáluk egy olya folyamatot, amelyek geerátora G lezártja. Jelölje η(t) ezt a folyamatot. Az egyszerű szimmetrikus véletle közegű kizárási folyamat hidrodiamikai limeszét úgy kaphatjuk meg, ha ezt a folyamatot is diffúzív módo átskálázzuk, majd -el a végtelebe tartuk. A formális defiícióhoz szükségük lesz a következő átskálázott sűrűségi mezőre mide Z + eseté: N (t, φ) := ( ) k φ η k (t 2 ), (53) k Z ha φ C (R) L (R), ahol B = C (R) a végtelebe eltűő folytoos függvéyek Baach terét jelöli a szuprémum ormával. Az N (t, φ) sűrűségi mező φ : { k, k Z} R, φ( k ) (k ± ) eseté a következő alakba is felírható: N (t, φ) = φ(x) μ (dx), ahol μ (dx) = k Z δ (dx)η k k (t 2 ), ahol δ k (dx) a k potra kocetrált Dirac mérték. Az átskálázott sűrűségi mező tehát a k potak súlyt ad, ha k-ba va részecske, és súlyt, ha k-ba ics részecske a t 2 időpotba. A részbe be fogjuk láti eek a meyiségek a kovergeciáját a c k - ra voatkozó megfelelő mometum feltétel és a folyamat kezdeti értékre voatkozó megfelelő feltevés mellett, azaz η()-ra is teszük majd kikötéseket Fő tételek Ebbe a fejezetbe formálisa is megfogalmazzuk a bizoyítadó tételeket. Ehhez vezessük be a következőkbe haszált jelöléseket: Legye B = C (R) a valós értékű, végtelebe eltűő folytoos függvéyek Baach 26

27 tere a φ = sup x R φ(x) ormával. Legye B a φ = { k, k Z} R korlátos függvéyek Baach tere ugyacsak a szupremum ormával. Jelölje C c (R) a kompakt tartójú folytoos függvéyek terét és C b (R) a korlátos folytoos függvéyek terét. Tegyük fel, hogy E(c ) <. Legye W (t), t, D 2 (W (t)) = 2t E(c szóráségyzetű Wieer folyamat. ) Ha c k = lee mide k Z eseté, azaz az élekre szerelt órák átlagosa 2 2 percekét csörögéek, akkor a stadard Brow mozgást kapák az átskálázott bolyogás határértékekét. Most az élekre szerelt órák átlagosa E(c ) időközökét csörögek, ezért em meglepő, hogy a D 2 (W (t)) = határérték. 2t E(c Defiíció. Mide φ C b (R) eseté legye ) szóráségyzetű Wieer folyamat lesz most a P t φ(k/) := E(φ(X (t)) X () = k/) és P t φ(x) := E(φ(W (t)) W () = x). Természetese P t φ defiiálható B -beli függvéyekre is. P t és P t az X (t) és W (t) folyamatokhoz tartozó erőse folytoos kotrakció félcsoportok Állítás. Legye Y metrikus tér, X t, t pedig időbe homogé Markov folyamat, melyek állapottere Y részhalmaza, azaz X t (ω) Y, mide ω Ω és t eseté. Ha φ C b (Y ), azaz φ : Y R korlátos, folytoos függvéy, akkor legye P t φ(x) := E(φ(X t ) X = x), ha x Y. Tegyük fel, hogy X t Feller folyamat, ami azt jeleti, hogy, ha φ C b (Y ), akkor P t φ C b (Y ) mide t -ra. Ekkor {P t, t } kotrakció félcsoport a C b (Y ) tére. Bizoyítás. / állítás bizoyítása/. P t félcsoport tulajdoságáak igazolásához, P = I és P t+s = P t P s összefüggéseket kell belátuk. Helyettesítsük a defiícióba t = -t. (P φ)(x) = E(φ(X ) X = x) = φ(x) Ebből az következik, hogy P φ = φ, tehát P = I. Tagokét kifejtve a jobb oldalt, a következőképpe írható fel: P t φ(x) = E(φ(X t ) X = x) = p t (x, dy)φ(y), 27 X

28 P s φ(x) = E(φ(X s ) X = x) = p s (x, dy)φ(y), X ahol p t (x, dy) az X t Markov folyamat átmeetvalószíűségi mértéke. A bal oldalt hasolóa felírva látható, hogy P t+s φ(x) = E(φ(X t+s ) X = x) = p t+s (x, dy)φ(y) = = X X p t (x, dz)p s (z, dy)φ(y) = = X X ( P s φ(z)p t (x, dz) = P t P s φ(x) X X ) p s (z, dy)φ(y) p t (x, dz) = A harmadik egyelőségél a Chapma - Kolmogorov egyeletet haszáltuk. Ezzel beláttuk, hogy {P t, t } félcsoport. 2. A kotrakció tulajdoság igazolásához a P t φ φ összefüggést kell belátuk, ahol P t φ = sup x Y P t φ(x). P t φ(x) = E(φ(X t ) X = x) E( φ(x t ) X = x) φ, mert φ(x t ) φ = sup y Y φ(y). Tehát P t φ = sup P t φ(x) φ. x Y Ezzel beláttuk, hogy P t kotrakció félcsoport Állítás. A W (t) Wieer folyamat Feller folyamat, és a hozzá tartozó P t félcsoport erőse folytoos, azaz lim P t φ(x) φ(x) =, ha φ C b (R). sup t + x R Bizoyítás. /3.3.3 állítás bizoyítása/ Mivel W (t) D 2 (W (t)) = Wieer folyamat, ezért (P t φ)(x) = e (x y)2 2ta φ(y) dy = f(y)φ(y) dy 2πta 2t E(c ) szóráségyzetű 28

29 (x y) 2 2 ahol a = és f(y) = e E(c 2ta ) 2πta az x várható értékű, ta szóráségyzetű N(x, ta) ormális eloszlás sűrűségfüggvéye. Ekkor, ha φ C b (R), akkor a Domiált kovergecia tétel segítségével köye látható, hogy (P t φ)(x) x-ek folytoos függvéye. Az is világos, hogy ha φ korlátos, akkor P t φ is korlátos, hisze P t kotrakció. Így W (t) Feller folyamat. Azt, hogy P t erőse folytoos hosszadalmasabb igazoli. Azo múlik, hogy t + eseté N(x, ta) tart gyegé az x-re kocetrált Dirac mértékhez Állítás. Az X (t) Markov folyamat Feller folyamat, és a hozzá tartozó P t félcsoport erőse folytoos, azaz ( ) ( ) lim sup k k t + P φ t φ =, ha φ B. k Z Bizoyítás. / állítás bizoyítása/ { k, k Z} a diszkrét topológiával va ellátva, így Pφ( t k ) a k -ek folytoos függvéye. Mivel φ korlátos és P t kotrakció, így Pφ t is korlátos, tehát X (t) Feller folyamat. Belátjuk, hogy P t erőse folytoos. Ehhoz legye k Z, T c k paraméterű és T 2 c k paraméterű egymástól függetle expoeciális eloszlású valószíűségi változók. Legye T = mi(t, T 2 ). Ekkor T c k + c k paraméterű expoeciális eloszlású valószíűségi változó. Emlékeztetőül: Pφ( t k ) := E(φ(X (t)) X () = k ), ha k Z és φ B. Így ( ) k (P φ) t φ ( k E ( φ(x (t)) φ ) = ( φ(x E (t)) φ ( k ( k ) X = k ) ) X = k ) + 2 φ P (T < t) ahol a értéket akkor kapjuk, ha em törtéik ugrás, ugrás eseté pedig ( ) k φ(x (t)) φ 2 φ. Másrészt P (T < t) = e (c k+c k+ )t < e 2bt t. Ezzel egy k-tól függetle felső becslést kaptuk. Így ( ) ( lim k k P φ t P t φ sup t + k Z ha φ B. Így P t erőse folytoos. 29 ) =,

30 Tétel (Az átskálázott véletle közegű bolyogás félcsoportjáak kovergeciája). Tegyük fel, hogy teljesül egy mometum feltétel, E(c 4 ) <. Legye < c < b valamely b kostas eseté. Ekkor mide φ C (R) eseté ( ) ( ) k k P φ t P t φ (54) sup k Z valószíűséggel, azaz a közeg majdem mide realizációjára. A tételt később bizoyítjuk, előbb fogalmazzuk meg még két fő tételt. A következő tétel a tétel következméye Tétel (Az átskálázott véletle közegű bolyogás kovergeciája). Tegyük fel ismét az előbbi mometum feltételt, E(c 4 ) <, és tegyük fel, hogy < c < b valamely b kostas eseté. Ekkor a közeg majdem mide realizációjára teljesül, hogy a bolyogó részecske átskálázott pozíciója X (t), t gyegé kovergál a D 2 (W (t)) = 2t/E(c ) szóráségyzetű W (t) Wieer folyamathoz a D([, )) térbe Tétel (A véletle közegű kizárási folyamat hidrodiamikai limesze). Tegyük fel, hogy E(c 4 ) <, < c < b valamely b kostas, és a kizárási folyamat kezdeti kofigurációjára mide φ C (R) L (R) eseté ( ) j lim φ η j () = φ(x)ρ (x) dx (55) j Z sztochasztikusa, ahol ρ (x) egy korlátos, folytoos függvéy (ami em függ φ-től). Ekkor lim N (t, φ) = φ(x)ρ(t, x) dx (56) sztochasztikusa mide φ C c (R) eseté, ahol ρ a t ρ = E(c xρ hővezetési ) 2 egyelet ρ kezdeti feltételhez tartozó megoldása, azaz ρ(t, x) = p(t, x y)ρ (y) dy (57) ahol p(t, x) jelöli az N(, ta) paraméterű ormális eloszlás sűrűségfüggvéyét, ahol a = 2 úgy, mit korábba. E(c ) Megjegyzés. ( ) P t ρ (x) = E (ρ (W (t)) W () = x) = ρ (y)f t,x (y) dy = 3

31 = ρ (y)p(t, x y) dy = ρ(t, x) ahol W (t) olya Wieer folyamat, melyre D 2 (W (t)) = 2t/E(c ) = ta és W () = x, így W (t) N(x, ta). Ez utóbbi sűrűségfüggvéyét jelölje f t,x (y). Hasolóa felírható, hogy P t φ(x) dx = φ(y)f t,x (y) dy dx = φ(y) f t,x (y) dx dy = φ(y) dy ahol φ(y), így az itegrálás sorredjét felcserélhetjük. Az utolsó egyelőség azért teljesül, mert f t,x(y) dx = Fő tételek bizoyítása Az átskálázott bolyogás geerátoráak és félcsoportjáak kovergeciája A tételt a Trotter - Kurtz tétel segítségével bizoyítjuk. Bizoyítás. / tétel bizoyítása/ Emlékeztetőül P t φ(x) = E(φ(W (t)) W () = x), ha φ C b (R) (x R), azaz P t -vel jelöljük a W (t) Wieer folyamathoz tartozó erőse folytoos kotrakció félcsoportot, D 2 (W (t)) = 2ta, ahol a = E(c ) Lemma. A P t : C b (R) C b (R) félcsoport geerátorát jelölje G. Legye φ C 2 c (R), azaz kompakt tartójú, kétszer folytoosa differeciálható függvéy. Ekkor φ D(G), és Gφ = E(c )φ = a 2 φ. Bizoyítás. /3.4.. lemma bizoyítása/ P t φ(x) = φ(y) e (y x)2 2at dy = 2πat φ( atz + x) e z2 2 at dz, 2πat ahol új változót vezettük be, z = y x at, y = atz + x, és dy = at. Mivel G a P t dz félcsoport geerátora, így P t φ φ Gφ = lim, (58) t t ha φ D(G), és φ D(G), ha ez a limesz létezik. A számláló értéke x R helye: P t φ(x) φ(x) = [ φ( ] atz + x) φ(x) 2π e z2 2 dz. (59) 3

32 A folytatáshoz Taylor - közelítést haszáluk: φ( atz + x) φ(x) = φ (x) atz + 2 φ ( x)( atz) 2, (6) ahol a kifejezés jobb oldaláak második tagja a Lagrage - maradéktag és x egy x és atz + x közti szám. Ekkor a (6) kifejezést behelyettesítve a (59) egyeletbe: P t φ(x) φ(x) = φ (x) at z 2π e z2 2 dz + 2 φ ( x)atz 2 2π e z2 2 dz, (6) ahol 2π e z2 2 = f(z), a stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéye. zf(z) =, mivel ez az itegrál a stadard ormális eloszlás várható értéke (ami ), így a (6) egyelőség jobb oldalá az első tag ulla. Így P t φ(x) φ(x) lim t t = lim t 2 φ ( x)az 2 e z a 2 dz = 2π 2 φ (x), (62) mivel φ ( x) φ (x), hisze φ Cc 2, z2 f(z) dz =, ugyais ha Z N(, ), akkor z2 f(z) dz = E(Z 2 ) = D 2 (Z) + (EZ) 2 = + =, emellett a Domiált kovergecia tételt haszáljuk. A (62) egyelőségbe a kovergecia x-be egyeletes, mivel φ Cc 2 (R), és így φ egyeletese folytoos. Így is teljesül. P t φ φ lim t t = a 2 φ Az X (t) átskálázott bolyogáshoz tartozó P t erőse folytoos kotrakció félcsoport geerátorát jelölje G. Ekkor D(G ) = B, a { k : k Z} rácso korlátos függvéyek halmaza, és mide N eseté ( ) ( ( ) ( ( ( ) ( ) ) k k + k k k G φ = 2 c k φ φ ) ) + 2 c k φ φ k Z. (63) Mivel < c k < b mide k Z-re, így G φ is korlátos. A továbbiakba a bizoyítás a tétele, azaz a Trotter - Kurtz tétele fog alapuli. Defiiáli fogjuk a G geerátorak egy D magját, amely kielégíti a következő tulajdoságot: Mide φ D eseté létezik egy φ B sorozat úgy, hogy φ φ és G φ Gφ a közeg majdem mide realizációjára. 32

33 Ez a tulajdoság megfelel a tétel (iii) részéek, ahol φ megfelel a tételbeli f -ek, φ az f-ek, G és G pedig A és A geerátorokak. A D mag megadásával később foglalkozuk. Most lássuk be, hogy C 2 c (R), azaz az R-e kétszer folytoosa differeciálható kompakt tartójú függvéyek tere redelkezik az előbbi -gal jelölt tulajdosággal. Erről szól a következő lemma Lemma. Tegyük fel, hogy E(c 4 ) < és hogy < c < b <, ahol b kostas. Ekkor mide φ C 2 c (R) eseté létezik φ B sorozat úgy, hogy. G φ Gφ és 2. φ φ a közeg majdem mide realizációjára. Bizoyítás. / lemma bizoyítása/. Legye φ Cc 2 (R) tetszőleges. Ekkor φ (k/)-et a következőképpe defiiáljuk: [ φ( φ() + ) φ() ( ) k E(c + + φ( k k ) φ( ) ] ha k Z +, ) c c k φ = φ() [ ha k =, φ( φ() + ) φ() E(c + + φ( k k+ ) φ( ) ] ha k Z. ) c c k (64) Ekkor φ B, és G φ ( k ) ( ( ) k + = 2 c k φ φ ( k [ φ( k+ ) φ( k ( ( ) ( ) ) k k ) ) + 2 c k φ φ = (65) k ) + φ( ) φ( k )] = E(c. ) 2 A számlálóba megjelet a diszkrét Laplace - operátor. Ismét Taylor közelítést haszálva ( k + φ ) +φ ( k ahol k x k+ ( k G φ, k ) 2φ ( ) k = ( ) k φ + φ = 2 2 [φ ( x ) + φ ( x 2 )], x 2 k. Így 2 φ ( x ) + 2 φ ( x 2 ) φ ) E(c ) φ ( k ) = 33 ( ) k φ ( x )+ 2 2 φ ( x 2 ) = ( ) k

34 sup x y φ (x) φ (y). Így, figyelembe véve, hogy φ folytoos és kompakt tartójú, tehát egyeletese folytoos, azt kapjuk, hogy ( ) sup k G φ ( ) ( ) ( ) k k Z E(c ) φ = sup k k G φ Gφ k Z (66) k-ba egyeletese. Ezzel beláttuk, hogy a közeg mide realizációjára. G φ Gφ 2. Most a φ φ tulajdoságot igazoljuk. Mide k N eseté ( ) ( ) [ ( ( ) ) k k φ φ = φ φ() (c E(c )) +... (67) ( ( ) ( ) ) ] k k + φ φ (c k E(c k )) /E(c ). A (c i E(c i )) külöbségek függetle, azoos eloszlásúak, várható értékűek, így (67) jobb oldalá az összeg mide tagja függetle és várható értékű. Így φ ( k ) φ( k ) k N eseté martigál az F k = σ(c, c,..., c k ) filtrációra ézve (ezt geerálják a valószíűségi változók) tetszőleges rögzített eseté. (F = {, Ω}) Mivel φ C 2 c (R) kompakt tartójú, létezik T pozitív egész szám, amelyre teljesül, hogy supp φ [ T, T ]. φ (( k ) φ( k ))4 szubmartigál, hisze E(X F 4 k ) [E(X F k )] 4 = Xk 4 k, ha k. Az egyelőtleségbe a Jese-egyelőtleséget haszáltuk fel. Így alkalmazható rá egy közismert tétel (lsd. pl. [2]): Tétel (Doob-féle maximál egyelőtleség). Legye X =,..., N valószíűségi változók sorozata, F t =,..., N σ-algebrák mooto övekvő sorozata, (X, F ) N szubmartigál, λ >, és jelölje X * N := max N X. Ekkor ahol a + = max{a, }. P (X * N λ) λ E(X+ N X * N λ ) λ E(X+ N ), 34

35 Ezt alkalmazva a ( ( φ k ( ) φ k 4 ) ) k =,,..., T szubmartigálra ( ( ) ( ) P max k k k T φ φ > ε) E [(φ (T ) φ(t )) 4 ]. (68) ε 4 Az egyelőtleség jobb oldalá lévő φ (T ) φ(t ) kifejezés függetle, várható értékű valószíűségi változók szummája. Így felírható, hogy [ E(φ (T ) φ(t )) 4 T ( ( ) ( ) ) 4 k k = E 4 (c E(c E(c )) 4 φ φ + ) k= (69) T T ( ( ) ( ) ) 2 ( ( ) ( ) ) ] 2 k k l l + D 4 (c ) φ φ φ φ 3 k= l=,l k C ( T k= ( ( ) ( ) ) ) 2 2 k k φ φ valamely -től függetle C kostas eseté. Itt ( ) ( ) k k φ φ = φ (u k, ) alakba írható át, ahol k u k, k mide k NT eseté. Mivel φ C c (R) korlátos operátor, így T k= ( ( ) k φ φ ( k ) ) 2 = 2 T k= valamely -től függetle K > kostas eseté. Hisze T (φ (x)) 2 dx KT. Ezek alapjá (φ (u k, )) 2 KT (7) T k= (φ (u k, )) 2 E(φ (T ) φ(t )) 4 C(KT )2. (7) 2 Ezt behelyettesítve a (68) egyelőtleségbe azt kapjuk, hogy ( ( ) ( ) P max k k k T φ C(KT )2 φ > ε). (72) 2 ε 4 Így max k T φ ( ) k φ ( ) k (73) 35

36 a közeg majdem mide realizációjára. Ezt a Borel - Catelli lemma biztosítja, amely szerit, ha A eseméyekre = P (A ) < +, akkor valószíűséggel A -ek közül csak véges sok teljesül. Esetükbe legye rögzített ε > eseté { ( ) ( ) A := max k k k T φ φ > ε}. Mivel mide ε > -ra valószíűséggel véges sok A teljesül, így (73) valószíűséggel igaz, azaz a közeg majdem mide realizációjára. Mivel φ( k ) = φ(t ) és φ ( k ) = φ (T ) mide k > T eseté, ezért felírható az is, hogy ( ) ( ) max k k k φ φ a közeg majdem mide realizációjára. A maximum kovergeciája egatív k-kra hasolóképpe bizoyítható. Ezzel beláttuk φ φ feltételt is a közeg majdem mide realizációjára. Jegyezzük meg, hogy em haszáltuk ki azt, hogy φ Cc 2 (R), midössze φ egyeletes folytoosságát és k Z (φ (u k, )) 2 = O() agyságredjét haszáltuk fel. A következőkbe meg kell aduk a G operátorak egy D magját, amely kielégíti a fet említett tulajdoságot. A P t erőse folytoos kotrakció félcsoport kovergeciájáak bizoyításához szükségük va a Trotter - Kurtz approximációs tételre, valamit arra, hogy D értékkészlete megszámlálható legye. A következő lemma arra szolgál, hogy egy megfelelő magot kostruálhassuk Lemma. Legye egy (B, ) Baach tére értelmezett G operátor egy erőse folytoos kotrakció félcsoport geerátora, és legye D B sűrű. Ekkor mide rögzített z > eseté D = R z D a G geerátor magja. Bizoyítás. / lemma bizoyítása/ Azt kell belátuk, hogy mide φ D(G) eseté létezik olya φ D sorozat, amelyre teljesül, hogy φ φ és Gφ Gφ. Rögzítsük egy φ D(G)-t. Felírható, hogy R(R z ) = D(G), ahol R z az operátor mide z-re vett rezolvese. Így létezik ψ B, amelyre φ = R zψ. Mivel D B sűrű, ezért létezik ψ D sorozat úgy, hogy ψ ψ. Legye φ = R z ψ. Mivel R z egy korlátos operátor, így R z ψ R z ψ, azaz φ φ. Ekkor a rezolves egyeletek úgy írhatók fel, hogy zr z ψ GR z ψ = (z G)R z ψ = ψ és zr z ψ GR z ψ = (z G)R z ψ = ψ 36