hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

Átírás

1 Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével, de eze eloszlások segítségével explicite eldöthető, hogy alkalmas kostrukcióval megadható-e olya sztochasztikus folyamat, melyek ezek a véges dimeziós eloszlásai, és amelyik egy valószíűséggel folytoos trajektóriájú..) Legye X(t) = X(t, ω), t, olya sztochasztikus folyamat, melyre az X(, ω) trajektória folytoos függvéy majdem mide ω-ra. Legye továbbá ez a folyamat atommetes, azaz tetszőleges folytoos f(t), t, függvéyre P ({ω : X(t, ω) = f(t)}) =. Ekkor létezik olya X(t, ω), t, sztochasztikus folyamat, melyre P ({ω : X(t, ω) = X(t, ω)}) = tetszőleges t [, ]-re, és az X(t, ω) folyamat trajektóriái egy valószíűséggel sehol sem folytoosak. 2.) Legye B a [, ] itervallum egy mideütt sűrű megszámlálható részhalmaza, (például a a [, ] itervallumbeli racioális számok halmaza.) Legye X(t) sztochasztikus folyamat a [, ] itervallumba, melyek véges dimeziós F t,...,t (x,..., x ) = P (X(t ) < x,..., X(t ) < x ) eloszlásai ismertek tetszőleges t < < t paraméterekre. Lássuk be, hogy a.) Az F t,...,t (x,..., x ) véges dimeziós eloszlások egyértelműe meghatározzák, hogy az X(t) folyamat kielégíti-e a következő tulajdoságokat: Az X(t.ω), t B trajektóriái egy valószíűséggel egyeletese folytoosak (ω-tól függő folytoossági modulussal) az X(t) folyamat megszorításá a t B idexhalmazra. Az X(t) sztochasztikus folyamat tetszőleges t [, ]-re sztochasztikusa folytoos, azaz lim P ( X(t) X(s) > ε) = mide ε > -ra. s t b.) Lássuk be, hogy akkor és csak akkor létezik olya X(t) sztochasztikus folyamat a [, ] itervallumo, melyre P (X(t) = X(t)) = mide t [, ]-re, és e folyamat X(t, ω) trajektóriái egy valószíűséggel folytoosak, ha az X(t) folyamat teljesíti az a) rész feltételeit. Az X(t) és X(t) folyamat véges dimeziós eloszlásai megegyezek. 3). Legye X(t) = X(t, ω) folytoos trajektóriájú sztochasztikus folyamat az (Ω, A, P ) valószíűségi mező. Lássuk be, hogy X(t, ω) tekithető egy C([, ]) értékű valószíűségi változóak is. Részletesebbe megfogalmazva: Jelőlje B a Borel σ- algebrát R -e, és legye C a Borel σ-algebra a C([, ]) tére, azaz legye C a yílt halmazok által geerált legszűkebb σ-algebra a [, ] itervallumo értelmezett folytoos függvéyek teré a szuprémum orma által geerált topológiával. Lássuk be, hogy ha a T t : (Ω, A, P ) (R, B), T t (ω) = X t (ω), leképezés mérhető mide t [, ]-re, akkor a T: (Ω, A, P ) (C([, ]), C), T(ω) = X(, ω) leképezés is mérhető. Legye X(t), t, folytoos trajektóriájú sztochasztikus folyamat, és defiiáljuk eek µ X eloszlását a C([, ]) tére a következő módo: µ X (K) = P (X(, ω)

2 K) mide K C-re. Mutassuk meg, hogy a µ X mértéket meghatározzák az X(t) sztochasztikus folyamat véges dimeziós eloszlásai. 4.) Egy Komogorovtól származó eredméy szerit, ha az X(t), t, sztochasztikus folyamat teljesíti az E X(t) X(s) 2+δ C t s +ε feltételt mide s, t [, ]-re valamely δ >, ε > és C > számokkal, akkor létezik olya X(t) egy valószíűséggel folytoos trajektóriájú folyamat a [, ] itervallumo, melyre P ( X(t) = X(t)) = mide t [, ]-re. Általáosítsuk ezt az eredméyt arra az esetre, amikor az X(t) sztochasztikus folyamat a t [, ] k va értelmezve. Eek megfogalmazásához vezessük be a következő jelőléseket: Ha = [a, b ] [a k, b k ] [, ] k egy k-dimeziós téglatest, akkor = k (b j a j ), j= az X(t) megváltozása a - X( ) = t j =a j vagy b j j=,...,k ( ) χ(t,...,t k ) X(t,..., t k ), ahol χ(t,..., t k ) = #{j : t j = a j, j k}. Ha E X( ) 2+δ C +ε valamely δ >, ε > és C > -ra, akkor létezik olya X(t) folytoos trajektóriájú sztochasztikus folyamat a [, ] k -, melyre P ( X(t) = X(t)) = mide t [, ] k -ra. 5.) Lássuk be, hogy a W (t), t a sztochasztikus folyamat akkor és csak akkor Wieer folyamat a [, a] itervallumba, ha a W (ct) sztochasztikus folyamat c Wieer folyamat a [, a/c] itervallumba, alol c > tetszóleges pozitiv szám. A W (t) sztochasztikus folyamat akkor és csak akkor Wieer folyamat a [, a] itervallumba, ha ( ) [ ) t W Wieer folyamat az t a, itervallumba. Lássuk be eek a téyek a segítségével, hogy a Wieer folyamatra igaz iterált logaritmus tételből a végtele köryezetébe következik az iterált logaritmus tétel a W (t) = valószíűséggel, 2t log log t ulla köryezetébe, azaz abból hogy lim sup t következik, hogy lim sup t W (t) 2t log log t = valószíűséggel. 6.) Legye ϕ (x), ϕ 2 (x),... teljes ortoormált redszer a [, ] itervallumba (a Lebesgue mértékkel), ξ, ξ 2,..., függetle stadard ormális valószíűségi változók, és defiiáljuk a következő W (t) sztochasztikus folyamatot a [, ] itervallumba. t W (t) = ξ k ϕ(s) ds, t. Lássuk be, hogy W (t) Gauss folyamat, EW (t) =, t, melyek a kovariaciafüggvéye megegyezik a Wieer folyamat kovariaciafüggvéyével, azaz EW (s)w (t) = mi(s, t), s, t. 7.) Lássuk be, hogy a W (t) = π ( ξ + ) si kπt ξ k 2k 2, t.

3 összeg véges dimeziós eloszlásai megegyezek a Wieer folyamat véges dimeziós eloszlásaival, ha ξ, =,,..., függetle stadard ormális eloszlású valószíűségi változók. Hogya lehet ezt a reprezetációt általáosítai más Z(t), EZ(t) =, t, Gauss folyamatra a K(s, t) = EZ(s)Z(t), (K(s, t) = K(t, s)), kovariaciafüggvéy alkalmas reprezetációja segítségével? 8.) Lássuk be, hogy az előző feladatba defiiált W (t) sztochasztikus folyamat Wieer folyamat. Azaz, lássuk be, hogy az ott defiiált folyamatra a feladatba bizoyított tulajdoságoko kívül az is igaz, hogy a trajektóriái valószíűséggel folytoosak, az alábbi részfeladatok segítségével. a.) Lássuk be, hogy tetszőleges /2 > ε > -ra és mide elég agy -re P (A ) = P sup sup 2 p<2 + s,t, t s 2 (+ε) < cost. 2 (+ε) p si kπt ξ k 2k p si kπs ξ k 2k > 2 ε/2 b.) Alkalmas küszöbidex eseté tetszőleges, 2 p < 2 +, t -re ( ) p si kπt P ξ k 2k > 2 ε c.) Defiiáljuk a B(, j, p), j < 2 (+ε), 2 p < 2 +, B(, j, p) = { ω : {( < exp 2 ( 2ε)) } /2 } p ξ k (ω) si(kπj2 (+ε) ) 2k > 2 ε eseméyeket. Lássuk be, hogy P (B(, j, p)) <,,j,p P (A ) <. Lássuk ( be e relációk) és a Borel Catelli lemma segítségével, hogy a W (t) = ξ +, t, sztochasztikus folyamatok egy valószíűséggel π ξ k si kπt 2k egyeletese kovergálak a 7. feladatba defiiált W (t), t, folyamathoz, ezért ez utóbbi egy valószíűséggel folytoos trajektóriájú folyamat. 9.) Legye W (t), t, stadard Wieer folyamat, és defiiáljuk a következő B (t) folyamatot: B (t) = W (t) tw (). Lássuk be, hogy B (t) várható értékű (folytoos trajektóriájú) Gauss folyamat EB (s)b (t) = mi(s, t) st kovariaciafüggvéyel. A B (t) folyamat és a W () valószíűségi változó függetleek egymástól. 3

4 Megjegyzés: A feti B (t), t, folyamattal megegyező véges dimeziós eloszlású folytoos trajektóriájú folyamatokat Brow bridge-ek evezik. b.) Legye B (t) Brow bridge, < r < fix szám. Lássuk be, hogy a r (B (rt) tb (r)) és r (B (r + ( r)t) ( t)b (r)), t, folyamatok függetle Brow bridge-ek, melyek függetleek a B (r) valószíűségi változótól is. c.) Ha B (t) Brow bridge, akkor B ( t) is Brow bridge..) Legyeek ξ,..., ξ függetle a [, ] itervallumba egyeletes eloszlású valószíűségi változók. Defiiáljuk az F (t) empirikus eloszlásfüggvéyt, F (t) = #{ξ k : ξ k < t, k }, t. Lássuk be, hogy a stadardizált empirikus eloszlásfüggvéy K (t) = (F (t) t) kovariaciafüggvéye megegyezik a Brow bridge kovariaciafüggvéyével, és EK (t) = mide t [, ]-re. Mutassuk meg, hogy tetszőleges t < t 2 < < t k -ra a (K (t ),..., K (t k )) véletle vektor eloszlásba kovergál a (B (t ),..., B (t k )) véletle vektorhoz, ha, ahol B (t) Brow bridge..) Legye W (t) stadard Wieer folyamat, és defiiáljuk a Z(t) = W (et ), < et/2 t < folyamatot. Lássuk be, hogy EZ(s)Z(t) = e t s /2, EZ(t) =, A Z(t) és Z(t+a), < t <, folyamatok eloszlása megegyezik tetszőleges < a < - re. Legyeek s < s < < s r < t < t < < t p rögzített számok. A (Z(t ),..., Z(t r ) feltételes eloszlása a Z(s ) = x,..., Z(s r ) = x s feltétel eseté megegyezik e véletle vektor feltételes eloszlásával a Z(s r ) = x s feltétel eseté. Határozzuk meg ezt a feltételes eloszlást. Megjegyzés: A Z(t) folyamattal megegyező eloszlású, folytoos trajektóriájú sztochasztikus folyamatokat Orstei Uhlebeck folyamatak evezik. 2.) Legye W (t) Wieer folyamat a [, ] itervallumo. a.) Lássuk be, hogy lim 2 [W (k2 ) W ((k )2 )] 2 = valószíűséggel. b.) Legye µ w a W (t) Wieer folyamat és µ σw a σw (t) eloszlása a C([, ]) tére. Lássuk be, hogy σ >, σ eseté a µ w és µ σw mértékek szigulárisak egymásra ézve. 3.) Legye a W (t) + mt, t, ahol m fix valós szám és W (t) a Wieer folyamat, eloszlása a µ w,m mérték a C([, ]) tére. Lássuk be, hogy a µ w.m mérték abszolut folytoos a µ w mértékre ézve, és számoljuk ki a Rado Nikodym deriváltját. 4

5 Megoldásvázlatok.) Vezessük be a következő ekvivalecia relációt [, ]-e: x y akkor és csak akkor, ha x y racioális szám. Defiiáljuk a P = [, ]/ ekvivalecia osztályok halmazát a feti reláció szerit. Mivel mid a folytoos függvéyek Q halmazáak mid a P halmazak a számossága kotium, ezért létezik egy T: Q P kölcsööse egyértelmű leképezés. Egy folytoos f függvéyre defiiáljuk a U(f) = f függvéyt a következő módo: f(t) = f(t), ha t / T(f), és f(t) = f(t)+ ha t T(f). Legye X(t, ω) = f(t), ha X(t, ω) az f(t) folytoos függvéy. Ekkor X(t) trajektóriái egy valószíűséggel sehol sem folytoosak, mert a U leképezés egy folytoos függvéyt egy sehol sem folytoos függvéyre képez. Másrészt, P ( X(t) X(t)) = mide rögzített t [, ]-re, mert a t potba egyetle folytoos függvéy értéke változik meg, evezetese a t potot tartalmazó ekvivaleciaosztály képe a T traszformáció szerit. 2.) a.) Legye B = {x, x 2,..., } és B = {x,..., x }. Defiiáljuk az A(, ε, δ) = {ω; X(t, ω) X(s, ω) < ε, s, t B -re ha s t < δ} eseméyeket. Legye A(ε, δ) = A(, ε, δ), A(ε) = δ A(ε, δ), A = ε A(ε). Ekkor az összes A(ε, δ), A(ε) és A eseméy valószíűsége kiszámítható az F t,...,t (x,..., x ) eloszlások segítségével, így ezek ismeretébe eldöthető, hogy az A eseméy valószíűsége -gyel egyelő-e. De az A(ε, δ) eseméy azt jeleti, hogy az X(, ω) trajektória megszorítása a B halmazra olya, hogy a deltáál rövidebb itervallumoko e függvéy igadozása kisebb mit ε, A(ε) azt jeleti, hogy va olya ω-tól függő hossz, hogy az eél rövidebb itervallumoko a trajektória igadozása (megszorítva a t B halmazra) kisebb mit ε. Végül az A halmaz tartalmazza azo ω-kat, melyekre az X(t, ω) trajektória megszorítása a B halmazra egyeletese folytoos. Mivel a P ( X(t) X(s) > ε) eseméy valószíűségét meghatározzák a véges (két) dimeziós eloszlások, így ezek az eloszlások meghatározzák, hogy az X(t) folyamet sztochasztikusa folytoos-e. b.) Ha teljesülek az a) részbe felsorolt tulajdoságok, akkor az X(t, ω) = lim X(s, ω) s B,s t trajektória majdem mide ω-ra jól defiiált, mert az X(t, ω) folyamat egyeletese folytoos a B halmazo. Továbbá P ( X(t) = X(t)) = a sztochasztikus folytoosság miatt. A feltételek szükségessége yílvávaló. 5

6 3.) Azt kell beláti, hogy tetszőleges mérhető C C halmazra T (C) mérhető halmaz, azaz eleme a A σ-algebráak. Elég ezt az állítást yílt halmazokra beláti, mert ebből következik, hogy az állítás igaz a yílt halmazok által geerált σ- algebrára is. Miért? Tovább lehet redukáli az álltást a következő tipusú halmazokra: C([, ]), sup t [,] Ha x = x(t) C([, ]), ε >, akkor legye S(x, ε) = {y : y x(t) y(t) < ε}. Elég beláti, hogy az S(x, ε) tipusú halmazok ősképei mérhetőek mide x C([, ]) és ε > -ra, mert tetszőleges yílt halmaz előállítható megszámlálható sok ilye halmaz úiójakét, és egy yílt halmaz ősképe megegyezik az őt előállító úióba résztvevő halmazok ősképéek az úiójával. A k vetkező meggodolás mutatja, hogy S(x, ε) mérhető halmaz. Jelőlje Q a racioális számok halmazát a [, ] itervallumba. Ekkor T S(x, ε) = r Q { ( ω : X(r, ω) x(r) < ) ε} (Miért?) Ebből a reprezetációból látszik, hogy T S(x, ε) mérhető halmaz. Az előző érvelés megmutatta, hogy az {X(t ) A,..., X(t k ) A k } alakú halmazok, ahol t,..., t k tetszőleges potok a [, ] itervallumba, A,..., A k tetszőleges mérhető halmazok R -e, olya algebrát alkotak, amelyik geerálja a C σ-algebrát. Mivel ezekek a halmazokak a mértéket meghatározzák az X(t) folyamat véges dimeziós eloszlásai, ezért e véges dimeziós eloszlások meghatározzák a C σ-algebra halmazaiak a mértékét is. 5.) Aak bizoyításához, hogy ameyibe W (t) Wieer folyamat, akkor az új folyamatok is azok, elég elleőrizi azt, hogy az új folyamatok kovariaciafüggvéye az előírt alakú. E W (cs) W (ct) = E W (cs)w (ct) = mi(s, t), c c c E s W ( s ) t W ( ) = mi(s, t). t Az eredeti folyamatot kifejezve a traszformált folyamat segítségével kapjuk, hogy ezek a feltételek szükségesek is. 6.) Be kell láti, hogy EW (s)w (t) = mi(s, t). A ξ változók korrelálatlasága miatt EW (s)w (t) = s t ϕ(u) du ϕ(u) du. A Parseval formula szerit tetszőleges égyzetese itegrálható f és g függvéyekre f(u)g(u) du = 6 f(u)ϕ(u) du g(u)ϕ(u) du.

7 Legye f(u) a [, s], g(u) pedig a [.t] halmaz idikátorfüggvéye. Ekkor a Parseval formula az előző azoossággal adja, hogy EW (s)w (t) = f(u)g(u) du = mi(s, t). 7.) Az ϕ (t) =, ϕ (t) = cos πt függvéyek teljes ortoormált redszert alkotak a [, ] itervallumo. Miért? Így az előző feladat eredméyéből következik az állítás. Az általáos esetbeli reprezetációt megkaphatjuk, ha a K(s, t) korrelációfüggvéyt fel tudjuk íri K(s, t) = λ ϕ (s)ϕ (t) alakba, ahol ϕ (t) teljes ortoormált redszer a [, ] itervallumba, és λ. Ekkor az X(t) = λ ϕ(t)ξ ahol ξ, =, 2,..., függetle stadard ormális valószíűségi változók, várható értékű és K(s, t) = EX(s)X(t) kovariaciafüggvńyű Gauss folyamat. Miért? A kívát reprezetáció lehetséges. Defiiáljuk a Kf(t) = K(s, t)f(s) ds itegráloperátort a égyzetese itegrálható függvéyek teré. A fukcioálaalízis eredméyei alapjá K egy kompakt (Hilbert Schmidt) öadjugált operátor, ezért létezik olya teljes ortoormált ϕ (t) redszer, melyre ahol K(s, t) = Kf(t) = λ ϕ (t) ϕ (s)f(s) ds = K(s, t)f(s) ds, λ ϕ (s)ϕ (t). Mivel az itegráloperátor magfüggvéye egyértelműe meghatározott, ezért megkaptuk a kívát reprezetációt. Be kell még láti, hogy a képletbe szereplő λ sajátértékek em egatívak. Ehhez elég azt beláti, hogy K(s, t)f(s)f(t) ds dt tetszőleges égyzetese itegrálható f(t) függvéyre. Miért? Viszot K(s, t)f(s)f(t) ds dt = EX(s)X(t)f(s)f(t) ds dt ( 2 = f(s)ex(s) ds), 8.) Kérdés: Hogy szól a felhaszált fukcioálaalízisbeli eredméy véges dimeziós lieáris algebrai változata? 7

8 a.) sup s,t, t s 2 (+ε) 2 (+ε) π 2 p si kπt ξ k 2k 2 + p si kπs ξ k 2k < p ξ k cost. 2 ε + 2 (+ε) π sup s,t, t s 2 (+ε) 2 + π 2 (t s) ξ k ( ξ k E ξ k ) ha 2 p < 2 +. Ezért 2 + P (A ) P ( ξ k E ξ k ) > 2 2(+ε/2 < cost. 2 (+ε) a Csebisev egyelőtleség alapjá. b.) Az η = p si kπt ξ k valószíűségi változó várható értékű ormális valószíűségi k=2 2k változó, amelyikek a szórása kisebb mit 2. Ezért egy a ormális eloszlás farokeloszlására adott ismert becslés alapjá (ld. például a többdimeziós ormális eloszlásról szóló feladatsor 7. feladatát) kapjuk, hogy P( η > 2 ε ) = P (2 /2 η > 2 (/2 ε) ) < exp{ 2 ( 2ε)/2 }. j c.) A B(, j, p) eseméy valószíűségét a b.) részbe megbecsültük t = 2 (+ε) választással. Mivel rögzített -re 2 (2+ε) ilye eseméyt defiiáltuk, ezért a b.) rész becsléséből következik az első összeg kovergeciája. Az a.) részből következik a második összeg kovergeciája. A Borel Catelli lemmából és az előbbi relációkból következik, hogy > (ω)-ra sup q si t 2k ξ k > 4 2 ε, ha 2 p, q < ) a.) Ebből következik, hogy a kovergálak a E[W (s) sw ()][W (t) tw ()] t k=p si t 2k ξ k függvéyek egy valószíűséggel egyeletese si t 2k ξ k függvéyhez. Ebből következik az állítás. = EW (s)w (t) sew (t)w () tew (s)w () + stew () 2 = mi(s, t) st b.) Legye s, t. Ekkor r E[B (sr) sb (r)][b (tr) tb (r)] = r [r mi(s, t) r2 st s(tr tr 2 t(sr sr 2 ) + st(r r 2 ) = mi(s, t) st, 8

9 E[B (sr) sb (r)]b (r) = sr sr 2 sr( r) =, E[B (r + ( r)s) ( s)b (r)]b (r) = r r[r + ( r)s] ( s)(r r 2 ) =, E[B (sr) sb (r)][b (r + ( r)t) ( t)b (r)] = EB (sr)[b (r + ( r)t) ( t)b (r)] seb (r)[b (r + ( r)t) ( t)b (r)] =, E[B (r + ( r)s) ( s)b (r)][b (r + ( r)t) ( t)b (r)] =. E relációkból következik az állítás. Miért? c.) EB (s)b (t) = EB ( s)b ( t) =..) F (t) = I({ξ k < t}), ahol I(A) az A halmaz idikátorfüggvéyét jelőli. Ezért EF (t) = t, és EF (s)f (t) EF (s)ef (t) = 2 (P (ξ < s, ξ < t) P (ξ < s)p (ξ < t)) = (mi(s, t) st) tetszőleges s, t -re. Ebből következik az állítás a K (t) kovariaciafüggvéyére. A határeloszlástétel bizoyításához elég beláti azt, hogy tetszőleges c,..., c k valós számokra k j= c j K (t j ) eloszlásba kovergál a k j= c j B (t j ) valószíűségi változóhoz, ha. (Lásd pl. a ). feladatot a ormális eloszlás feladatsorba.) Viszot k c j K (t j ) = k c j (I({ξ p < t j }) P (ξ p < t j )) j= p= j= és az állítás következik a cetrális határeloszlástételből, ha azt az η p = k c j (I({ξ p < t j }) P (ξ p < t j )), p =,...,, j=.) függetle valószíűségi változókra alkalmazzuk. EZ(s)Z(t) = e (s+t)/2 EW (e s )W (e t ) = e (s+t)/2+mi(s,t) = e t s /2. A (Z(t ),..., Z(t k )) vektor eloszlása megegyezik a (Z(t +a),..., Z(t k +a)) vektor eloszlásával, mivel mid a kettő várható értékű ormális vektor ugyaazzal a kovariaciamátrix-szal. 9

10 Az Orstei Uhlebeck folyamatak a Wieer folyamat szeriti reprezetációját alkalmazva írjuk fel a ( ) (Z(t ),..., Z(t p )) = e t/2 (W (e t ) W (e s r )),..., e tp/2 (W (e t p ) W (e s r )) ( ) + e t/2 (W (e s r ),..., e tp/2 (W (e s r ) azoosságot. Mivel a Wieer folyamat függetle övekméyű folyamat, ezért a jobboldal első tagja függetle a (Z(s ),..., Z(s r )) = (e s /2 (W (e s ) ),..., e s r/2 (W (e s r) ) valószíűségi változótól, míg a második tag aak függvéye. feltételes eloszlása a ormális eloszlás Így a keresett vektor 2.) (m,..., m p ) = (e t /2,..., e t p/2 )W (e s r ) = (e t /2,..., e t p/2 )x r e s r/2 = x r (e (s r t )/2,..., e (s r t p /2) ) várható értékkel és D = (d j,k ) kovariaciamátrix-szal, ahol d j,k = e (t j+t k )/2 mi(e t j e s r, e t k e s r ) = e t j /2+s r (t j +t k )/2. a.) Az állítás a agy számok törvéyéek egy viszoylag egyszerű alakja. A Csebisev egyelőtleség alapjá tetszőleges ε > -ra ( ) 2 P [W (k2 ) W ((k )2 )] 2 > ε ( ( 2 [ ( ) ( )] 2 [ ( ) ( )] ) ) 2 k k k k = P W 2 W 2 E W 2 W 2 > ε Mivel < 3ε ε 2 2 <, a Borel Catelli lemmából következik az állítás. b.) Defiiáljuk a folytoos függvéyek következő K halmazát a C([, ]) tére. K = {f : f C([, ]), lim 2 [ f(k2 ) f((k )2 ) ] 2 =. (Ez úgy értedő, hogy a feti limesz létezik.) Ekkor az a.) rész eredméye szerit µ w (K) = és µ σw (K) =. Ezért a két mérték sziguláris egymásra ézve.

11 3.) Legye µ () w a (W (k2 ), k =,..., 2 ) µ () w,m a (W (k2 +mk2 ), k =,..., 2 ) vektorok eloszlása az R 2 w,m dµ () w térbe. Legye f(x,..., x 2 ) = dµ() (x,..., x 2 ), és vezessük be a következő T: C([, ]) R leképezést: Ha g C([, ]), azaz g(x) egy a [, ] itervallumo folytoos függvéy, akkor legye T(g) = f(g(2 ), g(2 2 ),..., g(2 2 )). Legyeek µ () w,m és µ () w a µ w,m és µ w mértékek vetülete a {k2, k =,..., 2 } koordiátákra a C([, ]) tére. Azaz egy K C([, ]) halmazra legye µ () w,m(k) = µ () w,m(u(k)) és µ () w (K) = µ () w (U(K)), ahol U a C([, ]) mérhető részhalmazait képezi le az R 2 mérhető részhalmazaira, és w,m d µ () w U(K) = {(x,..., x 2 ): g K; g(k2 ) = x k, k =,..., 2 }. Ekkor d µ() T(g). Miért? Ekkor { ( 2 f(x,..., x 2 ) = exp 2 (x k x k + 2 m) 2 + = exp{mx 2 m 2 /2}, 2 (x k x k ) 2 /2 (g) = )} és d µ() w,m d µ () w (g) = e mg() m2 /2. Ez a Rado Nikodym derivált em függ az idextől. Ezért a Rado Nikodym derivált defiicióját felhaszálva meg lehet mutati, hogy d µ w,m (g) = e mg() m2 /2. Miért? d µ w