hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek"

Átírás

1 Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével, de eze eloszlások segítségével explicite eldöthető, hogy alkalmas kostrukcióval megadható-e olya sztochasztikus folyamat, melyek ezek a véges dimeziós eloszlásai, és amelyik egy valószíűséggel folytoos trajektóriájú..) Legye X(t) = X(t, ω), t, olya sztochasztikus folyamat, melyre az X(, ω) trajektória folytoos függvéy majdem mide ω-ra. Legye továbbá ez a folyamat atommetes, azaz tetszőleges folytoos f(t), t, függvéyre P ({ω : X(t, ω) = f(t)}) =. Ekkor létezik olya X(t, ω), t, sztochasztikus folyamat, melyre P ({ω : X(t, ω) = X(t, ω)}) = tetszőleges t [, ]-re, és az X(t, ω) folyamat trajektóriái egy valószíűséggel sehol sem folytoosak. 2.) Legye B a [, ] itervallum egy mideütt sűrű megszámlálható részhalmaza, (például a a [, ] itervallumbeli racioális számok halmaza.) Legye X(t) sztochasztikus folyamat a [, ] itervallumba, melyek véges dimeziós F t,...,t (x,..., x ) = P (X(t ) < x,..., X(t ) < x ) eloszlásai ismertek tetszőleges t < < t paraméterekre. Lássuk be, hogy a.) Az F t,...,t (x,..., x ) véges dimeziós eloszlások egyértelműe meghatározzák, hogy az X(t) folyamat kielégíti-e a következő tulajdoságokat: Az X(t.ω), t B trajektóriái egy valószíűséggel egyeletese folytoosak (ω-tól függő folytoossági modulussal) az X(t) folyamat megszorításá a t B idexhalmazra. Az X(t) sztochasztikus folyamat tetszőleges t [, ]-re sztochasztikusa folytoos, azaz lim P ( X(t) X(s) > ε) = mide ε > -ra. s t b.) Lássuk be, hogy akkor és csak akkor létezik olya X(t) sztochasztikus folyamat a [, ] itervallumo, melyre P (X(t) = X(t)) = mide t [, ]-re, és e folyamat X(t, ω) trajektóriái egy valószíűséggel folytoosak, ha az X(t) folyamat teljesíti az a) rész feltételeit. Az X(t) és X(t) folyamat véges dimeziós eloszlásai megegyezek. 3). Legye X(t) = X(t, ω) folytoos trajektóriájú sztochasztikus folyamat az (Ω, A, P ) valószíűségi mező. Lássuk be, hogy X(t, ω) tekithető egy C([, ]) értékű valószíűségi változóak is. Részletesebbe megfogalmazva: Jelőlje B a Borel σ- algebrát R -e, és legye C a Borel σ-algebra a C([, ]) tére, azaz legye C a yílt halmazok által geerált legszűkebb σ-algebra a [, ] itervallumo értelmezett folytoos függvéyek teré a szuprémum orma által geerált topológiával. Lássuk be, hogy ha a T t : (Ω, A, P ) (R, B), T t (ω) = X t (ω), leképezés mérhető mide t [, ]-re, akkor a T: (Ω, A, P ) (C([, ]), C), T(ω) = X(, ω) leképezés is mérhető. Legye X(t), t, folytoos trajektóriájú sztochasztikus folyamat, és defiiáljuk eek µ X eloszlását a C([, ]) tére a következő módo: µ X (K) = P (X(, ω)

2 K) mide K C-re. Mutassuk meg, hogy a µ X mértéket meghatározzák az X(t) sztochasztikus folyamat véges dimeziós eloszlásai. 4.) Egy Komogorovtól származó eredméy szerit, ha az X(t), t, sztochasztikus folyamat teljesíti az E X(t) X(s) 2+δ C t s +ε feltételt mide s, t [, ]-re valamely δ >, ε > és C > számokkal, akkor létezik olya X(t) egy valószíűséggel folytoos trajektóriájú folyamat a [, ] itervallumo, melyre P ( X(t) = X(t)) = mide t [, ]-re. Általáosítsuk ezt az eredméyt arra az esetre, amikor az X(t) sztochasztikus folyamat a t [, ] k va értelmezve. Eek megfogalmazásához vezessük be a következő jelőléseket: Ha = [a, b ] [a k, b k ] [, ] k egy k-dimeziós téglatest, akkor = k (b j a j ), j= az X(t) megváltozása a - X( ) = t j =a j vagy b j j=,...,k ( ) χ(t,...,t k ) X(t,..., t k ), ahol χ(t,..., t k ) = #{j : t j = a j, j k}. Ha E X( ) 2+δ C +ε valamely δ >, ε > és C > -ra, akkor létezik olya X(t) folytoos trajektóriájú sztochasztikus folyamat a [, ] k -, melyre P ( X(t) = X(t)) = mide t [, ] k -ra. 5.) Lássuk be, hogy a W (t), t a sztochasztikus folyamat akkor és csak akkor Wieer folyamat a [, a] itervallumba, ha a W (ct) sztochasztikus folyamat c Wieer folyamat a [, a/c] itervallumba, alol c > tetszóleges pozitiv szám. A W (t) sztochasztikus folyamat akkor és csak akkor Wieer folyamat a [, a] itervallumba, ha ( ) [ ) t W Wieer folyamat az t a, itervallumba. Lássuk be eek a téyek a segítségével, hogy a Wieer folyamatra igaz iterált logaritmus tételből a végtele köryezetébe következik az iterált logaritmus tétel a W (t) = valószíűséggel, 2t log log t ulla köryezetébe, azaz abból hogy lim sup t következik, hogy lim sup t W (t) 2t log log t = valószíűséggel. 6.) Legye ϕ (x), ϕ 2 (x),... teljes ortoormált redszer a [, ] itervallumba (a Lebesgue mértékkel), ξ, ξ 2,..., függetle stadard ormális valószíűségi változók, és defiiáljuk a következő W (t) sztochasztikus folyamatot a [, ] itervallumba. t W (t) = ξ k ϕ(s) ds, t. Lássuk be, hogy W (t) Gauss folyamat, EW (t) =, t, melyek a kovariaciafüggvéye megegyezik a Wieer folyamat kovariaciafüggvéyével, azaz EW (s)w (t) = mi(s, t), s, t. 7.) Lássuk be, hogy a W (t) = π ( ξ + ) si kπt ξ k 2k 2, t.

3 összeg véges dimeziós eloszlásai megegyezek a Wieer folyamat véges dimeziós eloszlásaival, ha ξ, =,,..., függetle stadard ormális eloszlású valószíűségi változók. Hogya lehet ezt a reprezetációt általáosítai más Z(t), EZ(t) =, t, Gauss folyamatra a K(s, t) = EZ(s)Z(t), (K(s, t) = K(t, s)), kovariaciafüggvéy alkalmas reprezetációja segítségével? 8.) Lássuk be, hogy az előző feladatba defiiált W (t) sztochasztikus folyamat Wieer folyamat. Azaz, lássuk be, hogy az ott defiiált folyamatra a feladatba bizoyított tulajdoságoko kívül az is igaz, hogy a trajektóriái valószíűséggel folytoosak, az alábbi részfeladatok segítségével. a.) Lássuk be, hogy tetszőleges /2 > ε > -ra és mide elég agy -re P (A ) = P sup sup 2 p<2 + s,t, t s 2 (+ε) < cost. 2 (+ε) p si kπt ξ k 2k p si kπs ξ k 2k > 2 ε/2 b.) Alkalmas küszöbidex eseté tetszőleges, 2 p < 2 +, t -re ( ) p si kπt P ξ k 2k > 2 ε c.) Defiiáljuk a B(, j, p), j < 2 (+ε), 2 p < 2 +, B(, j, p) = { ω : {( < exp 2 ( 2ε)) } /2 } p ξ k (ω) si(kπj2 (+ε) ) 2k > 2 ε eseméyeket. Lássuk be, hogy P (B(, j, p)) <,,j,p P (A ) <. Lássuk ( be e relációk) és a Borel Catelli lemma segítségével, hogy a W (t) = ξ +, t, sztochasztikus folyamatok egy valószíűséggel π ξ k si kπt 2k egyeletese kovergálak a 7. feladatba defiiált W (t), t, folyamathoz, ezért ez utóbbi egy valószíűséggel folytoos trajektóriájú folyamat. 9.) Legye W (t), t, stadard Wieer folyamat, és defiiáljuk a következő B (t) folyamatot: B (t) = W (t) tw (). Lássuk be, hogy B (t) várható értékű (folytoos trajektóriájú) Gauss folyamat EB (s)b (t) = mi(s, t) st kovariaciafüggvéyel. A B (t) folyamat és a W () valószíűségi változó függetleek egymástól. 3

4 Megjegyzés: A feti B (t), t, folyamattal megegyező véges dimeziós eloszlású folytoos trajektóriájú folyamatokat Brow bridge-ek evezik. b.) Legye B (t) Brow bridge, < r < fix szám. Lássuk be, hogy a r (B (rt) tb (r)) és r (B (r + ( r)t) ( t)b (r)), t, folyamatok függetle Brow bridge-ek, melyek függetleek a B (r) valószíűségi változótól is. c.) Ha B (t) Brow bridge, akkor B ( t) is Brow bridge..) Legyeek ξ,..., ξ függetle a [, ] itervallumba egyeletes eloszlású valószíűségi változók. Defiiáljuk az F (t) empirikus eloszlásfüggvéyt, F (t) = #{ξ k : ξ k < t, k }, t. Lássuk be, hogy a stadardizált empirikus eloszlásfüggvéy K (t) = (F (t) t) kovariaciafüggvéye megegyezik a Brow bridge kovariaciafüggvéyével, és EK (t) = mide t [, ]-re. Mutassuk meg, hogy tetszőleges t < t 2 < < t k -ra a (K (t ),..., K (t k )) véletle vektor eloszlásba kovergál a (B (t ),..., B (t k )) véletle vektorhoz, ha, ahol B (t) Brow bridge..) Legye W (t) stadard Wieer folyamat, és defiiáljuk a Z(t) = W (et ), < et/2 t < folyamatot. Lássuk be, hogy EZ(s)Z(t) = e t s /2, EZ(t) =, A Z(t) és Z(t+a), < t <, folyamatok eloszlása megegyezik tetszőleges < a < - re. Legyeek s < s < < s r < t < t < < t p rögzített számok. A (Z(t ),..., Z(t r ) feltételes eloszlása a Z(s ) = x,..., Z(s r ) = x s feltétel eseté megegyezik e véletle vektor feltételes eloszlásával a Z(s r ) = x s feltétel eseté. Határozzuk meg ezt a feltételes eloszlást. Megjegyzés: A Z(t) folyamattal megegyező eloszlású, folytoos trajektóriájú sztochasztikus folyamatokat Orstei Uhlebeck folyamatak evezik. 2.) Legye W (t) Wieer folyamat a [, ] itervallumo. a.) Lássuk be, hogy lim 2 [W (k2 ) W ((k )2 )] 2 = valószíűséggel. b.) Legye µ w a W (t) Wieer folyamat és µ σw a σw (t) eloszlása a C([, ]) tére. Lássuk be, hogy σ >, σ eseté a µ w és µ σw mértékek szigulárisak egymásra ézve. 3.) Legye a W (t) + mt, t, ahol m fix valós szám és W (t) a Wieer folyamat, eloszlása a µ w,m mérték a C([, ]) tére. Lássuk be, hogy a µ w.m mérték abszolut folytoos a µ w mértékre ézve, és számoljuk ki a Rado Nikodym deriváltját. 4

5 Megoldásvázlatok.) Vezessük be a következő ekvivalecia relációt [, ]-e: x y akkor és csak akkor, ha x y racioális szám. Defiiáljuk a P = [, ]/ ekvivalecia osztályok halmazát a feti reláció szerit. Mivel mid a folytoos függvéyek Q halmazáak mid a P halmazak a számossága kotium, ezért létezik egy T: Q P kölcsööse egyértelmű leképezés. Egy folytoos f függvéyre defiiáljuk a U(f) = f függvéyt a következő módo: f(t) = f(t), ha t / T(f), és f(t) = f(t)+ ha t T(f). Legye X(t, ω) = f(t), ha X(t, ω) az f(t) folytoos függvéy. Ekkor X(t) trajektóriái egy valószíűséggel sehol sem folytoosak, mert a U leképezés egy folytoos függvéyt egy sehol sem folytoos függvéyre képez. Másrészt, P ( X(t) X(t)) = mide rögzített t [, ]-re, mert a t potba egyetle folytoos függvéy értéke változik meg, evezetese a t potot tartalmazó ekvivaleciaosztály képe a T traszformáció szerit. 2.) a.) Legye B = {x, x 2,..., } és B = {x,..., x }. Defiiáljuk az A(, ε, δ) = {ω; X(t, ω) X(s, ω) < ε, s, t B -re ha s t < δ} eseméyeket. Legye A(ε, δ) = A(, ε, δ), A(ε) = δ A(ε, δ), A = ε A(ε). Ekkor az összes A(ε, δ), A(ε) és A eseméy valószíűsége kiszámítható az F t,...,t (x,..., x ) eloszlások segítségével, így ezek ismeretébe eldöthető, hogy az A eseméy valószíűsége -gyel egyelő-e. De az A(ε, δ) eseméy azt jeleti, hogy az X(, ω) trajektória megszorítása a B halmazra olya, hogy a deltáál rövidebb itervallumoko e függvéy igadozása kisebb mit ε, A(ε) azt jeleti, hogy va olya ω-tól függő hossz, hogy az eél rövidebb itervallumoko a trajektória igadozása (megszorítva a t B halmazra) kisebb mit ε. Végül az A halmaz tartalmazza azo ω-kat, melyekre az X(t, ω) trajektória megszorítása a B halmazra egyeletese folytoos. Mivel a P ( X(t) X(s) > ε) eseméy valószíűségét meghatározzák a véges (két) dimeziós eloszlások, így ezek az eloszlások meghatározzák, hogy az X(t) folyamet sztochasztikusa folytoos-e. b.) Ha teljesülek az a) részbe felsorolt tulajdoságok, akkor az X(t, ω) = lim X(s, ω) s B,s t trajektória majdem mide ω-ra jól defiiált, mert az X(t, ω) folyamat egyeletese folytoos a B halmazo. Továbbá P ( X(t) = X(t)) = a sztochasztikus folytoosság miatt. A feltételek szükségessége yílvávaló. 5

6 3.) Azt kell beláti, hogy tetszőleges mérhető C C halmazra T (C) mérhető halmaz, azaz eleme a A σ-algebráak. Elég ezt az állítást yílt halmazokra beláti, mert ebből következik, hogy az állítás igaz a yílt halmazok által geerált σ- algebrára is. Miért? Tovább lehet redukáli az álltást a következő tipusú halmazokra: C([, ]), sup t [,] Ha x = x(t) C([, ]), ε >, akkor legye S(x, ε) = {y : y x(t) y(t) < ε}. Elég beláti, hogy az S(x, ε) tipusú halmazok ősképei mérhetőek mide x C([, ]) és ε > -ra, mert tetszőleges yílt halmaz előállítható megszámlálható sok ilye halmaz úiójakét, és egy yílt halmaz ősképe megegyezik az őt előállító úióba résztvevő halmazok ősképéek az úiójával. A k vetkező meggodolás mutatja, hogy S(x, ε) mérhető halmaz. Jelőlje Q a racioális számok halmazát a [, ] itervallumba. Ekkor T S(x, ε) = r Q { ( ω : X(r, ω) x(r) < ) ε} (Miért?) Ebből a reprezetációból látszik, hogy T S(x, ε) mérhető halmaz. Az előző érvelés megmutatta, hogy az {X(t ) A,..., X(t k ) A k } alakú halmazok, ahol t,..., t k tetszőleges potok a [, ] itervallumba, A,..., A k tetszőleges mérhető halmazok R -e, olya algebrát alkotak, amelyik geerálja a C σ-algebrát. Mivel ezekek a halmazokak a mértéket meghatározzák az X(t) folyamat véges dimeziós eloszlásai, ezért e véges dimeziós eloszlások meghatározzák a C σ-algebra halmazaiak a mértékét is. 5.) Aak bizoyításához, hogy ameyibe W (t) Wieer folyamat, akkor az új folyamatok is azok, elég elleőrizi azt, hogy az új folyamatok kovariaciafüggvéye az előírt alakú. E W (cs) W (ct) = E W (cs)w (ct) = mi(s, t), c c c E s W ( s ) t W ( ) = mi(s, t). t Az eredeti folyamatot kifejezve a traszformált folyamat segítségével kapjuk, hogy ezek a feltételek szükségesek is. 6.) Be kell láti, hogy EW (s)w (t) = mi(s, t). A ξ változók korrelálatlasága miatt EW (s)w (t) = s t ϕ(u) du ϕ(u) du. A Parseval formula szerit tetszőleges égyzetese itegrálható f és g függvéyekre f(u)g(u) du = 6 f(u)ϕ(u) du g(u)ϕ(u) du.

7 Legye f(u) a [, s], g(u) pedig a [.t] halmaz idikátorfüggvéye. Ekkor a Parseval formula az előző azoossággal adja, hogy EW (s)w (t) = f(u)g(u) du = mi(s, t). 7.) Az ϕ (t) =, ϕ (t) = cos πt függvéyek teljes ortoormált redszert alkotak a [, ] itervallumo. Miért? Így az előző feladat eredméyéből következik az állítás. Az általáos esetbeli reprezetációt megkaphatjuk, ha a K(s, t) korrelációfüggvéyt fel tudjuk íri K(s, t) = λ ϕ (s)ϕ (t) alakba, ahol ϕ (t) teljes ortoormált redszer a [, ] itervallumba, és λ. Ekkor az X(t) = λ ϕ(t)ξ ahol ξ, =, 2,..., függetle stadard ormális valószíűségi változók, várható értékű és K(s, t) = EX(s)X(t) kovariaciafüggvńyű Gauss folyamat. Miért? A kívát reprezetáció lehetséges. Defiiáljuk a Kf(t) = K(s, t)f(s) ds itegráloperátort a égyzetese itegrálható függvéyek teré. A fukcioálaalízis eredméyei alapjá K egy kompakt (Hilbert Schmidt) öadjugált operátor, ezért létezik olya teljes ortoormált ϕ (t) redszer, melyre ahol K(s, t) = Kf(t) = λ ϕ (t) ϕ (s)f(s) ds = K(s, t)f(s) ds, λ ϕ (s)ϕ (t). Mivel az itegráloperátor magfüggvéye egyértelműe meghatározott, ezért megkaptuk a kívát reprezetációt. Be kell még láti, hogy a képletbe szereplő λ sajátértékek em egatívak. Ehhez elég azt beláti, hogy K(s, t)f(s)f(t) ds dt tetszőleges égyzetese itegrálható f(t) függvéyre. Miért? Viszot K(s, t)f(s)f(t) ds dt = EX(s)X(t)f(s)f(t) ds dt ( 2 = f(s)ex(s) ds), 8.) Kérdés: Hogy szól a felhaszált fukcioálaalízisbeli eredméy véges dimeziós lieáris algebrai változata? 7

8 a.) sup s,t, t s 2 (+ε) 2 (+ε) π 2 p si kπt ξ k 2k 2 + p si kπs ξ k 2k < p ξ k cost. 2 ε + 2 (+ε) π sup s,t, t s 2 (+ε) 2 + π 2 (t s) ξ k ( ξ k E ξ k ) ha 2 p < 2 +. Ezért 2 + P (A ) P ( ξ k E ξ k ) > 2 2(+ε/2 < cost. 2 (+ε) a Csebisev egyelőtleség alapjá. b.) Az η = p si kπt ξ k valószíűségi változó várható értékű ormális valószíűségi k=2 2k változó, amelyikek a szórása kisebb mit 2. Ezért egy a ormális eloszlás farokeloszlására adott ismert becslés alapjá (ld. például a többdimeziós ormális eloszlásról szóló feladatsor 7. feladatát) kapjuk, hogy P( η > 2 ε ) = P (2 /2 η > 2 (/2 ε) ) < exp{ 2 ( 2ε)/2 }. j c.) A B(, j, p) eseméy valószíűségét a b.) részbe megbecsültük t = 2 (+ε) választással. Mivel rögzített -re 2 (2+ε) ilye eseméyt defiiáltuk, ezért a b.) rész becsléséből következik az első összeg kovergeciája. Az a.) részből következik a második összeg kovergeciája. A Borel Catelli lemmából és az előbbi relációkból következik, hogy > (ω)-ra sup q si t 2k ξ k > 4 2 ε, ha 2 p, q < ) a.) Ebből következik, hogy a kovergálak a E[W (s) sw ()][W (t) tw ()] t k=p si t 2k ξ k függvéyek egy valószíűséggel egyeletese si t 2k ξ k függvéyhez. Ebből következik az állítás. = EW (s)w (t) sew (t)w () tew (s)w () + stew () 2 = mi(s, t) st b.) Legye s, t. Ekkor r E[B (sr) sb (r)][b (tr) tb (r)] = r [r mi(s, t) r2 st s(tr tr 2 t(sr sr 2 ) + st(r r 2 ) = mi(s, t) st, 8

9 E[B (sr) sb (r)]b (r) = sr sr 2 sr( r) =, E[B (r + ( r)s) ( s)b (r)]b (r) = r r[r + ( r)s] ( s)(r r 2 ) =, E[B (sr) sb (r)][b (r + ( r)t) ( t)b (r)] = EB (sr)[b (r + ( r)t) ( t)b (r)] seb (r)[b (r + ( r)t) ( t)b (r)] =, E[B (r + ( r)s) ( s)b (r)][b (r + ( r)t) ( t)b (r)] =. E relációkból következik az állítás. Miért? c.) EB (s)b (t) = EB ( s)b ( t) =..) F (t) = I({ξ k < t}), ahol I(A) az A halmaz idikátorfüggvéyét jelőli. Ezért EF (t) = t, és EF (s)f (t) EF (s)ef (t) = 2 (P (ξ < s, ξ < t) P (ξ < s)p (ξ < t)) = (mi(s, t) st) tetszőleges s, t -re. Ebből következik az állítás a K (t) kovariaciafüggvéyére. A határeloszlástétel bizoyításához elég beláti azt, hogy tetszőleges c,..., c k valós számokra k j= c j K (t j ) eloszlásba kovergál a k j= c j B (t j ) valószíűségi változóhoz, ha. (Lásd pl. a ). feladatot a ormális eloszlás feladatsorba.) Viszot k c j K (t j ) = k c j (I({ξ p < t j }) P (ξ p < t j )) j= p= j= és az állítás következik a cetrális határeloszlástételből, ha azt az η p = k c j (I({ξ p < t j }) P (ξ p < t j )), p =,...,, j=.) függetle valószíűségi változókra alkalmazzuk. EZ(s)Z(t) = e (s+t)/2 EW (e s )W (e t ) = e (s+t)/2+mi(s,t) = e t s /2. A (Z(t ),..., Z(t k )) vektor eloszlása megegyezik a (Z(t +a),..., Z(t k +a)) vektor eloszlásával, mivel mid a kettő várható értékű ormális vektor ugyaazzal a kovariaciamátrix-szal. 9

10 Az Orstei Uhlebeck folyamatak a Wieer folyamat szeriti reprezetációját alkalmazva írjuk fel a ( ) (Z(t ),..., Z(t p )) = e t/2 (W (e t ) W (e s r )),..., e tp/2 (W (e t p ) W (e s r )) ( ) + e t/2 (W (e s r ),..., e tp/2 (W (e s r ) azoosságot. Mivel a Wieer folyamat függetle övekméyű folyamat, ezért a jobboldal első tagja függetle a (Z(s ),..., Z(s r )) = (e s /2 (W (e s ) ),..., e s r/2 (W (e s r) ) valószíűségi változótól, míg a második tag aak függvéye. feltételes eloszlása a ormális eloszlás Így a keresett vektor 2.) (m,..., m p ) = (e t /2,..., e t p/2 )W (e s r ) = (e t /2,..., e t p/2 )x r e s r/2 = x r (e (s r t )/2,..., e (s r t p /2) ) várható értékkel és D = (d j,k ) kovariaciamátrix-szal, ahol d j,k = e (t j+t k )/2 mi(e t j e s r, e t k e s r ) = e t j /2+s r (t j +t k )/2. a.) Az állítás a agy számok törvéyéek egy viszoylag egyszerű alakja. A Csebisev egyelőtleség alapjá tetszőleges ε > -ra ( ) 2 P [W (k2 ) W ((k )2 )] 2 > ε ( ( 2 [ ( ) ( )] 2 [ ( ) ( )] ) ) 2 k k k k = P W 2 W 2 E W 2 W 2 > ε Mivel < 3ε ε 2 2 <, a Borel Catelli lemmából következik az állítás. b.) Defiiáljuk a folytoos függvéyek következő K halmazát a C([, ]) tére. K = {f : f C([, ]), lim 2 [ f(k2 ) f((k )2 ) ] 2 =. (Ez úgy értedő, hogy a feti limesz létezik.) Ekkor az a.) rész eredméye szerit µ w (K) = és µ σw (K) =. Ezért a két mérték sziguláris egymásra ézve.

11 3.) Legye µ () w a (W (k2 ), k =,..., 2 ) µ () w,m a (W (k2 +mk2 ), k =,..., 2 ) vektorok eloszlása az R 2 w,m dµ () w térbe. Legye f(x,..., x 2 ) = dµ() (x,..., x 2 ), és vezessük be a következő T: C([, ]) R leképezést: Ha g C([, ]), azaz g(x) egy a [, ] itervallumo folytoos függvéy, akkor legye T(g) = f(g(2 ), g(2 2 ),..., g(2 2 )). Legyeek µ () w,m és µ () w a µ w,m és µ w mértékek vetülete a {k2, k =,..., 2 } koordiátákra a C([, ]) tére. Azaz egy K C([, ]) halmazra legye µ () w,m(k) = µ () w,m(u(k)) és µ () w (K) = µ () w (U(K)), ahol U a C([, ]) mérhető részhalmazait képezi le az R 2 mérhető részhalmazaira, és w,m d µ () w U(K) = {(x,..., x 2 ): g K; g(k2 ) = x k, k =,..., 2 }. Ekkor d µ() T(g). Miért? Ekkor { ( 2 f(x,..., x 2 ) = exp 2 (x k x k + 2 m) 2 + = exp{mx 2 m 2 /2}, 2 (x k x k ) 2 /2 (g) = )} és d µ() w,m d µ () w (g) = e mg() m2 /2. Ez a Rado Nikodym derivált em függ az idextől. Ezért a Rado Nikodym derivált defiicióját felhaszálva meg lehet mutati, hogy d µ w,m (g) = e mg() m2 /2. Miért? d µ w

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

k=1 k=1 találhatjuk meg, hogy az adott feltétel mellett az empirikus eloszlás ennek az eloszlásnak

k=1 k=1 találhatjuk meg, hogy az adott feltétel mellett az empirikus eloszlás ennek az eloszlásnak Nagy eltérések elmélete. A Szanov tétel. Egy előző feladatsorban, a Nagy eltérések elmélete; Független valós értékű valószínűségi változók feladatsorban annak az eseménynek a valószínűségét vizsgáltuk,

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

n = 1,2,..., a belőlük készített részletösszegek sorozata. Tekintsük az S n A n

n = 1,2,..., a belőlük készített részletösszegek sorozata. Tekintsük az S n A n Határeloszlástételek és korlátlanul osztható eloszlások. I. rész Az alapvető problémák megfogalmazása. A valószínűségszámítás egyik alapvető feladata a következő kérdés vizsgálata: Legyen ξ 1,ξ 2,... független

Részletesebben

feltételek esetén is definiálják, tehát olyan esetekben is, amikor a hagyományos, a

feltételek esetén is definiálják, tehát olyan esetekben is, amikor a hagyományos, a A Valószínűségszámítás II. előadássorozat hatodik témája. ELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG ÉS ELTÉTELES VÁRHATÓ ÉRTÉK A feltételes valószínűség és feltételes várható érték fogalmát nulla valószínűséggel bekövetkező

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

A természetes számok halmaza (N)

A természetes számok halmaza (N) A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Jelek és rendszerek - 1-2.előadás

Jelek és rendszerek - 1-2.előadás Jelek és rendszerek - 1-2.előadás Bevezetés, rendszeranaĺızis az időtartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet

Részletesebben

5. Lineáris rendszerek

5. Lineáris rendszerek 66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő

Részletesebben

Euler kör/út: olyan zárt/nem feltétlenül zárt élsorozat, amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza

Euler kör/út: olyan zárt/nem feltétlenül zárt élsorozat, amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza 1) Euler körök és utak, ezek létezésének szükséges és elégséges feltétele. Hamilton körök és utak. Szükséges feltétel Hamilton kör/út létezésére. Elégséges feltételek: Dirac, és Ore tétele. Euler kör/út:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

24. Valószínűség-számítás

24. Valószínűség-számítás 24. Valószínűség-számítás I. Elméleti összefoglaló Események, eseménytér A valószínűség-számítás a véletlen tömegjelenségek vizsgálatával foglalkozik. Azokat a jelenségeket, amelyeket a figyelembe vett

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória)

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY 013/014-ES TANÉV Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) Feladatok és megoldások A verseny az NTP-TV-13-0068 azonosító számú pályázat alapján a Nemzeti Tehetség

Részletesebben

6. előadás Környezetfüggetlen nyelvtanok/1.

6. előadás Környezetfüggetlen nyelvtanok/1. 6. előadás Környezetfüggetlen nyelvtanok/1. Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Bevezetés CF nyelv példák Nyelvek és nyelvtanok egy- és többértelműsége Bal- és jobboldali levezetések Levezetési fák A

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben