Áringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév

Átírás

1 Árigadozások elıadás Kvatitatív pézügyek szakiráy 01/13. félév Heti óra elıadás + óra gyakorlat Elıadás: fıleg modellek, elemzési módszerek Gyakorlat: R programmal, alkalmazások Számokérés 50%: beadadó feladat (+órai muka gyakorlatoko) 50%: ZH az utolsó gyakorlato az elıadás ayagából Iformációk:

2 Tematika Stabilis eloszlások, vozási tartomáyok Extrém-érték modellek egy-és többdimezióba Kopulák Véletle mátrixok ARCH- GARCH modellek Pézügyi kérdések: portfólióoptimalizálás, szabályozók stb.

3 Módszerek Cikk/köyvfeldolgozás Mide elıadás végé irodalomjegyzék Matematikai modellek, de az alkalmazásokra kocetrálva Példák illusztrációkét (részletese a gyakorlato)

4 Ismétlés (Ω, A,P): Kolmogorov-féle valószíőségi mezı X : Ω R függvéy valószíőségi vektorváltozó, ha {ω: X(ω) B} A mide B -dimeziós Borel halmazra. Várható érték: E( X ) = X ( ω) dp( ω) Vektorváltozókra koordiátákét Ω

5 Függvéy várható értéke Legye g: R R B-mérhetı függvéy, X valószíőségi változó. Ekkor g(x) is valószíőségi változó, a várható értéke E( g( X )) = g( X ( ω)) dp( ω) = g( x) dq ( x) = X Ω R R Ha X abszolút folytoos, akkor ebbıl = R E ( g( X )) f ( x) g( x) dx X g( x) df X ( x)

6 Szóráségyzet (variacia) D (X):=E[(X-E(X)) ] Összeg szóráségyzete csak korrelálatla változókra egyezik meg a szóráségyzetek összegével Korreláció R ( X, Y ) = cov( X, Y ) D( X ) DY ( ) a lieáris kapcsolat erısségét méri

7 Mometumok E(X k ), ha létezik Tulajdoság: E(X r )< eseté E(X s )<, ha s<r. Ha E(X r )<, akkor z r P( X >z) 0, ha z Azaz: P( X >z)=o(z -r ) Ekvivales feltétel: E( X r ) < z r 1 P( X > z) itegrálható a (0, + ) - e

8 Nagy számok törvéyei Legye X 1, X,... függetle, azoos eloszlású m várható értékkel. Ekkor P ω X ( ω) + X ( ω) X 1 ω : m = azaz (X 1 +X X )/ m 1 valószíőséggel. (Kolmogorov tétele) Hicsi tétele: Legye X 1, X,... párokét függetle, azoos eloszlású, m várható értékkel. Ekkor (X 1 +X X )/ m. sztochasztikusa. ( ) 1

9 Nagy számok törvéye összefüggı változókra Valami feltétel kell: X 1 =X = =X eseté (X 1 +X + +X )/ = X 1 és így em kovergál kostashoz. Tétel (Berstei). Legye (X 1, X,, X ) olya, hogy D (X 1 )+D (X ) + D (X )<k, valamit tegyük fel, hogy va olya h:n R + függvéy, melyre R(X i,x j ) h( i-j ) és 1 h( i) 0 ekkor (X 1 +X + +X )/ - (m 1 +m + +m )/ 0 sztochasztikusa. i= 1

10 Valódi határeloszlások Kérdés: lehet-e emelfajult valószíőségi változó a határérték? Tétel: ha X 1, X,... függetle valószíőségi változók, b számsorozat, melyre b és (X 1 +X X )/b X 1 valószíőséggel, akkor X 1 valószíőséggel álladó. Ehhez segédeszköz: 0 vagy 1 törvéy. Sıt: Tétel: ha X 1, X,... függetle valószíőségi változók, b számsorozat, melyre b és (X 1 +X X )/b X sztochasztikusa, akkor X 1 valószíőséggel álladó.

11 Gyege kovergecia Defiíció. X X gyegé (eloszlásba), ha az eloszlásfüggvéyeikre teljesül: F (z) F(z) az F mide folytoossági potjába. Megjegyzés. Ez a kovergecia em mod semmit a valószíőségi változók közelségérıl. Ω=[0,1], P= hosszúság, X =I [0,0.5] X=I [0.5,1] eseté F (z)=f(z), azaz teljesül a gyege kovergecia. A fetiekbıl az is látszik, hogy a határértékek csak az eloszlása érdekes.

12 Karakterisztikus függvéy (Fourier traszformált) Komplex értékő valószíőségi változók: Z=X+iY, ahol X és Y is valószíőségi változók. E(Z):=E(X)+iE(Y). X (valós) valószíőségi változó karakterisztikus függvéye: ϕ X (t):=e(e itx )=E(costX)+iE(sitX) Tulajdoságai: ϕ X (t) R C függvéy, mely mide X-re létezik. ϕ X (0)=1 mide X-re ϕ X (t) 1 (mert E(e itx ) E( e itx )=1 Ha X és Y függetleek, ϕ X+Y (t)= ϕ X (t)ϕ Y (t), mert E(e it(x+y) )= E(e itx e ity )= E(e itx ) E(e ity ) a függetleség miatt.

13 Tulajdoságok Ha E(X ) véges valamilye 1 egész számra. Ekkor ϕ X (t) -szer egyeletese folytoosa deriválható és ( l) ϕ X itx l ( t) = e ( ix) dq( x) Pl. 0 potba vett deriváltak: ( l) l l l ϕ (0) = ( ix) dq( x) = ie( X ) X Taylor sorfejtés: tegyük fel, hogy E(X ) véges. Ekkor t 0 mellett it ( it) ( it) ϕx ( t ) = 1+ E( X ) + E( X ) E( X ) + o( t ) 1!!! ahol o(t ) jeletése, hogy t el osztva is 0-hoz tart, ha t 0.

14 ψ ( t) A stadard ormális eloszlás karakterisztikus függvéye Áll.: a stadard ormális eloszlás karakterisztikus függvéye: Ehhez: eleget tesz a ψ (t)=-t ψ(t) differeciálegyeletek. (Ez léyegébe elég is: (log ψ(t)) =-t, amibıl log ψ(t)=-t /+c, de ψ(0)=1 miatt c=1.) parciális itegrálással. ϕ( t) = x x 1 1 = tx e dx t = cos( ) ; ψ '( ) xsi( tx) e dx π π 1 x x 1 ψ '( t) = si( tx) e t cos( tx) e dx π π e t = tψ ( t)

15 Cetrális határeloszlás tétel Legyeek X 1, X,, X,... függetle, azoos eloszlású valószíőségi változók. Tegyük fel, hogy σ =D (X) véges (m:=e(x i )). Tekitsük a stadardizált összegüket: Z X1 : = σ m Ekkor Z gyegé kovergál a stadard ormális eloszláshoz, azaz X X m 1 P < z Φ( z ) σ ahol Φ a stadard ormális eloszlás eloszlásfüggvéye. X

16 Bizoyítás vázlata Elegedı a Z karakterisztikus függvéyére beláti, hogy ϕ (t) exp{-t /}. Ha ψ(t) jelöli az X -m karakterisztikus függvéyét, akkor X 1 +X + +X -m karakterisztikus függvéye ψ (t). Ebbıl A maradéktagos Taylor formula miatt Végül t t = ) ( ) ( σ ψ ϕ ) ( 1 ) (! ) ( 1! ) ( 1 ) ( t o t t o m X E t i m X E it t + = = σ ψ (1) ) ( ) ( t e o t t o t t t + = + = = σ σ σ σ ψ ϕ

17 A em azoos eloszlású eset Ekkor a agy számok törvéyéél már látott okok miatt erısebb feltételek kelleek. A legegyszerőbb eset: ha X 1, X,, X,... függetle, egyeletese korlátos valószíőségi változók (ekkor σ i =D (X i ) véges, tegyük fel viszot, hogy összegük végtelehez tart, m i :=E(X i )), akkor a stadardizált összegük: Z : = X X 1 ( m Ekkor Z gyegé kovergál a stadard ormális eloszláshoz, azaz ahol Φ a stadard ormális eloszlás eloszlásfüggvéye. 1 σ σ m ( Z < z) Φ(z) P )

18 Általáosítások Ljapuov tétel: Legyeek X 1, X,, X,... függetle valószíőségi változók. Tegyük fel, hogy m i =E(X), i σ i =D (X i ) valamit h i =E( X i -m i 3 ) véges. Legye B = σ 1 +σ + + σ. Valamit H 3 =h 1 +h + +h re H /B 0. Ekkor X X ( m m ) limp x ( x) < B =Φ Lideberg tétel: Legyeek X 1, X,, X,... függetle valószíőségi változók. Tegyük fel, hogy m i =E(X), i és σ i =D (X i ) véges. Ha tetszıleges ε>0-ra akkor 1 lim ( x m ) dq ( x) = liml(, ε ) = 0 i i B i= 1 { x: x m εb } i X X ( m m ) limp x =Φ( x) < B

19 Lideberg tétel megfordítása Tétel (Feller). Ha és 1 k akkor X X ( m m ) limp x =Φ( x) < B Y max k m k 0 B sztochasztikusa, lim L(,ε)=0.

20 Kovergeciasebesség Ha X 1, X,, X,... függetle, azoos eloszlású valószíőségi változók, t.f.h. m=0, σ=1, akkor supp z X X m E X1 < z Φ( z) c σ (Berry-Essée tétel). Gyakorlatba agyo függ az eloszlás alakjától. Például az egyeletes eloszlásra =1 elég jó közelítést ad, de az expoeciális eloszlásra legalább =50 szükséges. 3

21 Stabilis eloszlások Def.: X stabilis eloszlású, ha tetszıleges a,bre megadható c és d, hogy ax+by eloszlása (X,Y függetle, azoos eloszlású) éppe cz+d eloszlása (Z is X eloszlású) Def.: Vozási tartomáy. F a G vozási tartomáyába tartozik, ha X 1, X,, X,... függetle, F eloszlásúakra megadható a, b ormáló sorozat, hogy i=1 X a i b G eloszlásba

22 Alkalmazásuk Fizikai törvéyszerőségek (pl. a Lévy eloszlás a Brow mozgás adott szit eléréséhez szükséges idı eloszlása) Általáos határeloszlás-tétel (Potosa a stabilis eloszlásokak va emüres vozási tartomáya) Vastag szélő (heavy tailed) eloszlások, pl. pézügyekbe

23 Szimmetrikus stabilis eloszlások Karakterisztikus függvéyük exp{- t α } ahol 0<α paraméter (α=: ormális eloszlás, α=1: Cauchy, α=0,5: Lévy) Mide stabilis eloszlás abszolút folytoos, sőrőségfüggvéyük végtele sokszor deriválható, de általába em adhatók meg zárt alakba Midegyik uimodális de a módusz általába em adható meg zárt alakba Az α< paraméterő stabilis eloszlás r-edik mometuma potosa r<α eseté véges

24 Általáos stabilis eloszlások Paraméterek: α idex β ferdeség γ skála δ hely α <1 és β =1 eseté félegyeesre kocetrált Egyébkét az egész számegyeesre

25 A ferdeségi paraméter szerepe Spec: E( X ) πα =δ βγ ta δ=0, β=0 eseté E(X)=0 (1< α) De β 0 eseté E(X), ha α 1 pedig a módusz 0 α = eseté E(X)= δ (β-ak ics szerepe)

26 A többi paraméter szerepe A jól ismert kvatilistraszformáció mőködik: ha q a γ=0, δ=0 (stadard) eloszlás kvatilise, akkor qγ+δ a γ, δ paraméterő eloszlás azoos kvatilise A szóráségyzet additivitásáak szerepét a γ α = γ 1α +γ α veszi át.

27 Cauchy eloszlás f ( x) = π ( γ γ + ( x δ ) ) X/Y eloszlása stadard Cauchy, ha X,Y függetle stadard ormális. Ebbıl adódóa megegyezik az 1 szabadságfokú t-eloszlással is. Világítótoroy-probléma: γ magasságú, δ távolságba levı világítótoroy véletleszerő iráyba világít. Az x tegelye a vetület eloszlása Cauchy (0,γ, δ)

28 Egy elrettetı példa α =0,1 β=0 β=0,5 β=1

29 Általáos határeloszlás Legyeek X 1, X,, X,... függetle, azoos eloszlású valószíőségi változók. Tegyük fel, hogy P( X >x) x -α L(x), ahol L lassú változású fv. a végtelebe (L(cx)/L(x) 1, ha x ). Ekkor megadható a, b hogy a ( X X ) b ahol Z éppeαredő stabilis eloszlás. (Ekkor modjuk, hogy az X a Z vozási tartomáyába va) Z

30 Gyakorlati kérdések Paraméterbecslés: maximum likelihood a leghatásosabb (kofidecia itervallum is kostruálható) Illeszkedésvizsgálat Sőrőségfv. becslésbıl: paraméteres vs. emparaméteres ( középe jó) PP plot QQ plot (általába elıyösebb, mert az eloszlás széleit is mutatja, de ezek itt eltúlzottak lehetek)

31 Michael-féle szórásstabilizált P-P plot A PP plotál a szélsı potok szórása kicsi (a QQ plotál általába a középsıké) S=arcsi(U 1/ )/π : sőrőségfüggvéye si(πx)- szel aráyos, a redezett mita elemeiek szórása aszimptotikusa azoos. Az ábrázoladó potok: r i = (/π)arcsi[{(i -0.5)/ 1/ }] s i = (/π)arcsi[f{(y i -m)/s}] Tesztstatisztika is számolható: max r i -s i

32 Szimuláció (Chambers, 1976) Szimmetrikus eset: Legye Θ E[-π/; π/] eloszlású, W pedig exp(1) eloszlású, függetleek. Ekkor Aszimmetrikus eset, θ 0 :=arcta(βta(πα/)/α)

33 Illusztráció: részvéy-idısorok Napi hozamok, Gyakoriság Átlag: 0,05 Miimum: -7 Maximum: 7 Szórás: 3 Nem ormális eloszlású! % ADN

34 Havi aggregálás Havi hozamok, Gyakoriság Átlag:1 Mi:-97 Max:38 Szórás:15 Ez sem ormális eloszlású, de már em vastag szélő % ADN

35 Kokrét példa GBP vs DM api log-hozam idısor ML becslésα-ra: 1,495; β ra:-0,18 Potozott: ormális sfv, vékoy:adatok, vastag: illesztett stabilis

36 Hivatkozások Chambers, J.M., Mallows, C. ad Stuck, B.W.: A method for simulatig stable radom variable (1976) Michael, P.: The stabilized probability plot (1983) Nola, J. P.: Modelig fiacial data with stable distributios (005) Nola, J. P.: Stable distributios (009)