Kopulák. 2 dimenziós példák különbözı összefüggıséggel. Példák. Elliptikus kopulák. Sőrőségfüggvények. ( u) 7. elıadás március 24.

Átírás

1 Kopulák 7. elıaás 204. március 24. Kopulák Az összefüggıségi struktúra uiverzális megjeleítıi (többimeziós eloszlás egyeletes margiálisokkal, Hoeffig, 940 az 990-es évekbe újra felfeezték és azóta széles körbe alkalmazzák is. Tetszıleges -imeziós, folytoos eloszláshoz egyértelmőe megaható olya C F kopula, melyre F x, x,..., x C ( F ( x, F ( x,..., F ( x ( 2 F 2 2 A megolás: 2 ( u, F2 ( u2,..., F C( u, u,..., u F( F 2 imeziós pélák külöbözı összefüggıséggel Pélák Az azoosításhoz agy mitaelemszám szükséges (külööse 2-él magasabb imezióba Nagyo gyege és agyo erıs összefüggıségre em léyeges a kopula típusa Függetle eset: C(xy. Teljes összefüggıség (Frechet C(mi( C(max{(x+y-,0} Gauss-kopula CR( u ΦR, ( Φ ( u,..., Φ ( u ahol Φ R az R korrelációs mátrixú, -imeziós ormális eloszlás eloszlásfüggvéye. Rugalmasabb moell: t-kopula. C R, ν ( u tr, ν, ( tν ( u,..., tν ahol t R,ν, az R korrelációs mátrixú, ν szabaságfokú - imeziós t-eloszlás eloszlásfüggvéye. Sőrőségfüggvéyek Haszos gyakorlati eszközök a kopula tulajoságaiak vizualizációjáál (az abszolút folytoos esetbe A Gauss kopulára: ϕr, ( Φ c ( u R ϕ( Φ ( ui i ( u,..., Φ Hasolóa számolható a t-kopulára is Elliptikus kopulák Sőrőségfüggvéyük kotúrjai ellipszisek Péla: Gauss, t Azoos korreláció eseté kovolúciójuk ismét elliptikus it Karakterisztikus függvéyük: T µ ϕ( t e ψ ( t Σt Raiális szimmetria: C(u,vu+v-+C(-u,-v Éppe ez az, ami tipikusa em teljesül a portfóliók hozamára T

2 Elliptikusság tesztelése Staarizálás utá gömbszimmetrikus az ereméy R Y és SY/ Y függetleek, S egyeletes eloszlású gyakoriság A pélába a χ 2 próba em fogaja el az egyeletességet Iexek elliptikussága Extrém-érték kopulák t t t C( u, v C ( u, v mie t>0-ra (maxstabilitásból. Pélák: / β Gumbel kopula C( exp{ [( l( x + ( l( 0<β ; β felel meg a függetleségek, β 0 peig a teljes összefüggıség. Galambos kopula C( xy exp{[( l( x 0<δ ; δ 0 felel meg a függetleségek, δ peig a teljes összefüggıségek. δ / β β + ( l( ] } δ / δ ] } Arkhiméeszi kopulák C(u,vϕ - (ϕ(u+ ϕ(v, ahol ϕ:[0,] [0, ], szigorúa mooto fogyó, kove folytoos, ϕ(0, ϕ(0. Pélák: Gumbel kopula: ϕ(t-l(t θ ( θ. ϑ t Clayto kopula: ϕ( t ϑ ( u, v ( u + v C Cl ϑ ϑ / ϑ ahoa ahol - θ<0 vagy θ>0. θ 0 felel meg a függetleségek, a kétfajta teljes összefüggıség is elıáll a paramétertér szélei. Kopulák összehasolítása Clayto (4 Gumbel (3.5 Gauss (0.85 t (0.85,sz.f.4 Ugyaolya erıs összefüggıséget egésze más móo állítaak elı Péla: két (kisebb részvéy Péla: két iex Napi hozamok, Napi hozamok, kopula Napi hozamok, Napi hozamok, kopula ABF ABF Az ADN részvéyel sok apo em keresketek Látható, hogy iszkrét eloszlásra em mőköik jól a kostrukció Nasaq Nasaq Sokkal erısebb az összefüggés ADN ADN Dow Dow

3 Feltételes kopulák Legye C Arkhiméeszi kopula iffereciálható geerátorral. Ekkor xy limp( X Y y X u, Y u CCl ( u 0 mi( ahol a három lehetıség rere a ϕ R 0, ϕ R α (0<α<, ϕ R esetek felel meg. Azt mojuk, hogy ϕ R α ha ϕ( ux α lim x u 0 ϕ( u Kopulák összefüggıségi iexei χ lim ( Cˆ ( u, u /( u lim ( 2u + C ( u, u /( u u u ahol a túlélés-kopula Nemelfajuló Gauss kopulára χ0 ν + R2 χ 2t ν + t-kopulára + R2 Gumbel kopulára χ2-2 /β Galambos kopulára χ2-2 /δ (δ> Ezek az összefüggések becslésre is haszálhatók, hisze lehet a tapasztalati eloszlásból becsüli a χ értékét. Ĉ A t-kopula egy figyelemreméltó tulajosága Aszimptotikusa összefüggı akkor is, ha egatív a kooriátái közötti korreláció A ρ korreláció és a χ közötti kapcsolat Összefüggıségi iex az aszimptotikusa függetle esetre χ lim(2log( u / logcˆ( u, u u Tulajoságok - és között va ha aszimptotikusa összefüggek a kompoesek, akkor értéke Függetle esetbe 0 A Gauss kopulára értéke éppe a lieáris korreláció Összhag-mérıszámok (emlieáris korrelációk Lieáris korreláció: hátráyai: érzékey a kiugró értékekre E( X EX ( Y EY r D( X DY ( változik, ha traszformáljuk a margiálisokat Alteratívák: Keall-τ: τ P{( ( Y Y > 0} P{( ( Y Y < 0} Spearma-ρ: ~ ~ ρ 3 ( P{( ( Y Y ' > 0} P{( ( Y Y ' < 0} ahol ( X, Y,( X, Y,( X ', Y ' függetle, azoos eloszlásúak. Tulajoságok Ezek úgyevezett ragkorrelációk (csak az értékek sorreje érekes Nem érzékeyek a kiugró értékekre Kiszámításuk a kopulával ρ ( X, Y 4 C( u, vc ( u, v τ 0 0 ρ s ( X, Y 2 { C( u, v uv} uv 0 0

4 További tulajoságok Mikettı ivariás a mooto traszformációkra. Legye κρ vagy κ τ. Ekkor - κ ; κ X,X, κ X,-X - Ha X és Y függetle, akkor κ X,Y 0 κ X,-Y κ -X,Y - κ X,Y Az egyes kopulákra aóó összefüggıségi mérıszámok függek a paramétertıl, így becslésükbıl egyúttal a kopula becslése is megkapható. Pélául a Gumbel kopulára τ-/β. Alkalmazások A Gauss kopulára a párokéti korrelációkra Rij si( πτ ( Xi, Xj / 2 Léyeges a választás a külöbözı kopula-típusok között (pl. a farok-összefüggıség segítségével, illetve elméleti meggoolások alapjá. Tapasztalati téy, hogy pl. a pézügyi portfóliókál gyakra mie egyes elem extrém értékő (tızsekrach azaz itt várhatóa fellép a farok-összefüggıség. A külöbözı moellekbıl agyo agy külöbségek aóhatak a valószíőségbecslésre. Gauss- kopula Stuet-t kopula.f.2 t kopula illesztése Szimulált t4 Empirikus τ0.7 Gumbel-kopula Clayto-kopula A szabaságfok: 4 Ez tőik a legjobbak Dow Joes Log hozamok traszformációja Daily log returs Nasaq Dow Joes Copula of log returs Nasaq Láthatóak a kiugró értékek az ereeti aatokba és a kopula összefüggısége Az illesztett Gumbel kopula Depeece of Nasaq a Dow Joes iices year Az ábrá a becsült paraméter-értékek láthatóak, 25 apos (egy év ablakok alapjá. A kék voalak a és bootstrap kvatilisek az elsı év paraméter értékére. Az összefüggıség szemlátomást erısöött.

5 Szimulált péla Illeszkeésvizsgálat 8 évyi aatot szimuláltuk, és az összefüggıség hirtele emelkeését építettük be a moellbe 990 év elejé (0.7-rıl 0.9-re. Fél évvel késıbb mutatja ki a bootstrap teszt (ekkor már az aatok fele az új eloszlásból va Depeece of simulate iices year A számításigéy csökketéséhez a imeziószámot is csökketei kell. A K- függvéy: K( θ t P( F( X < t PC ( ( F ( X,..., F ( X., θ < t Arkhiméeszi kopulákra a kiszámítása i ( ( i K θ, t t + [ φθ ( t ] fi ( θ, t i i! ahol i fi ( θ, t φ ( x x ( t. i θ φ x θ Ei j K Empirikus verzió ( Uj < Ui,..., Uj < Ui és ebbıl i ( t ( E < t, t [ 0,] Ebbıl formális teszt képezhetı (ha agy az eltérés, elutasítjuk az egyezést i K(theta,t Péla: 3 imeziós kopula illesztése K Fuctios for 3D Gumbel moels a for the observatios Depeece parameters theta. theta.7 theta2.3 theta2.9 theta3.5 Observatios Roseblatt-traszformáció Egy másik mószer: Breyma-teszt (Breyma et al, Berg & Bakke a Roseblatt traszformáció alapul R:(0, (0, i i C( u, K, ui,, K C( u, K, ui,, K ei / u K u u K u ahol C a kopula és R(ue. Tulajosága: U eloszlása potosa akkor a C kopula, ha R(U a függetle kopula. i i t Breyma-teszt: függetleségvizsgálat 2 Y Φ ( Z i i éppe a chi-égyzet eloszlású, szabaságfokkal. Ha ezt a saját eloszlásfüggvéyébe helyettesítjük, egyeletes eloszlást kapuk. Ezt tesztelhetjük pélául az Aerso-Darlig próbával. Berg és Bakke továbbfejlesztette a mószert, kozisztessé téve azt. Hivatkozások Nelso,Roger B. (2006. A Itrouctio to Copulas. Spriger Breyma, W., A. Dias, a P. Embrechts (2003. Depeece structures for multivariate high-frequecy ata i fiace. Berg, D. a Bakke, H. (2007 Copula Gooes-of-fit Tests: A comparative stuy