Matematikai statisztika gyakorlatok összefoglaló

Átírás

1 Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Matematikai statisztika gyakorlatok összefoglaló Eger, 2012

2 Tartalomjegyzék Jelölések 2 1. Összefoglaló Eloszlások geerálása Egyeletes eloszlásból származtatott eloszlások Normális eloszlásból származtatott eloszlások Grafikus illeszkedésvizsgálat Itervallumbecslések Paraméteres hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres hipotézisvizsgálatok Regressziószámítás Excel függvéyek Logikai függvéyek Elemi függvéyek Mátrixok Kombiatorika Pszeudo-véletle szám geerálása Statisztikák Eloszlások Eloszlásfüggvéyek Sűrűségfüggvéyek Iverz eloszlásfüggvéyek Grafikus illeszkedésvizsgálat Itervallumbecslés Paraméteres hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres hipotézisvizsgálatok Regressziószámítás

3 Jelölések Általáos N R R R + (a, b) [x] f 1 A A 1 a pozitív egész számok halmaza a valós számok halmaza R-ek ömagával vett -szeres Descartes-szorzata a pozitív valós számok halmaza redezett elempár vagy yílt itervallum közelítőleg egyelő az x valós szám egész része az f függvéy iverze az A mátrix traszpoáltja az A mátrix iverze Valószíűségszámítás P(A) E ξ D ξ, D 2 ξ cov(ξ, η) corr(ξ, η) ϕ Φ I A Bi(r; p) Exp(λ) Norm(m; σ) Norm d (m; A) Gamma(r; λ) Khi(s) az A eseméy valószíűsége ξ várható értéke ξ szórása illetve szóráségyzete kovariacia korrelációs együttható a stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéye a stadard ormális eloszlás eloszlásfüggvéye az A eseméy idikátorváltozója az r-edredű p paraméterű biomiális eloszlású valószíűségi változók halmaza a λ paraméterű expoeciális eloszlású valószíűségi változók halmaza az m várható értékű és σ szórású ormális eloszlású valószíűségi változók halmaza az m és A paraméterű d-dimeziós ormális eloszlású valószíűségi változók halmaza az r-edredű λ paraméterű gamma-eloszlású valószíűségi változók halmaza az s szabadsági fokú khi-égyzet eloszlású valószíűségi változók halmaza 2

4 t(s) F(s 1 ; s 2 ) F V az s szabadsági fokú t-eloszlású valószíűségi változók halmaza az s 1 és s 2 szabadsági fokú F-eloszlású valószíűségi változók halmaza Ha ξ valószíűségi változó, és V a ξ-vel azoos eloszlású valószíűségi változók halmaza, akkor ez azt jelöli, hogy F a V-beli valószíűségi változók közös eloszlásfüggvéye. Például Φ Norm(0; 1). Matematikai statisztika F ξ S, S 2 S ξ,, Sξ, 2 S, S 2 Sξ,, S 2 ξ, ξ1,..., ξ Cov (ξ, η) Corr (ξ, η) ϑ H 0, H 1 tapasztalati eloszlásfüggvéy a ξ-re voatkozó mita átlaga (mitaátlag) tapasztalati szórás illetve szóráségyzet ξ-re voatkozó tapasztalati szórás illetve szóráségyzet korrigált tapasztalati szórás illetve szóráségyzet ξ-re voatkozó korrigált tapasztalati szórás illetve szóráségyzet redezett mita tapasztalati kovariacia tapasztalati korrelációs együttható a ϑ paraméter becslése ullhipotézis, ellehipotézis 3

5 1. Összefoglaló 1.1. Eloszlások geerálása Egyeletes eloszlásból származtatott eloszlások Itt az η, η 0, η 1, η 2,... függetle, a [0, 1] itervallumo egyeletes eloszlású valószíűségi változókat jelet. Diszkrét egyeletes eloszlás Ha m N, akkor [mη] + 1 diszkrét egyeletes eloszlású az { 1,..., m } halmazo. Karakterisztikus eloszlás Ha 0 < p < 1, akkor I η<p karakterisztikus eloszlású p paraméterrel. Biomiális eloszlás Ha r N és 0 < p < 1, akkor r i=1 I η i <p r-edredű p paraméterű biomiális eloszlású. Hipergeometrikus eloszlás Legye r, M, N N, M < N, továbbá r mi{ M, N M }. Ekkor ξ i 1 + 1, ξ 0 0, ξ i := ξ i 1, ha η i < M ξ i 1 N i+1, külöbe, (i = 1,..., r) jelöléssel P(ξ r = k) = ( M )( N M ) k r k ( N ) (k = 0,..., r), r azaz ξ r hipergeometrikus eloszlású N, M, r paraméterekkel. Poisso-eloszlás Ha λ > 0, akkor { mi s : Poisso-eloszlású λ paraméterrel. Geometriai eloszlás s } η i < e λ i=0 Ha 0 < p < 1, akkor mi { s : η s < p } geometriai eloszlású p paraméterrel. 4

6 Folytoos egyeletes eloszlás Ha a, b R, a < b, akkor a + (b a)η az [a, b] itervallumo egyeletes eloszlású. Expoeciális eloszlás Ha λ > 0, akkor l η λ Gamma-eloszlás expoeciális eloszlású λ paraméterrel. Ha λ > 0 és r N, akkor 1 λ r i=1 l η i r-edredű λ paraméterű gammaeloszlású. Normális eloszlás Ha m R és σ > 0, akkor m + σ 2 l η 1 cos(2πη 2 ) ormális eloszlású m várható értékkel és σ szórással Normális eloszlásból származtatott eloszlások Itt az η, η i (i N) függetle stadard ormális eloszlású valószíűségi változókat jelet. Khi-égyzet eloszlás Ha s N, akkor s i=1 η2 i khi-égyzet eloszlású s szabadsági fokkal. t-eloszlás Ha s N, akkor η s s i=1 η2 i t-eloszlású s szabadsági fokkal. Cauchy-eloszlás η 1 η 2 Cauchy-eloszlású. F-eloszlás Ha s 1, s 2 N, akkor s 2 s1 i=1 η 2 i s 1 s1 +s 2 i=s 1 +1 η2 i F-eloszlású s 1 és s 2 szabadsági fokkal Grafikus illeszkedésvizsgálat Legye x 1,..., x r R és x 1 < x 2 < < x r. Jelölje a mitarealizáció elemeiek a számát és k i az x i -él kisebb elemek számát a mitarealizációba. 5

7 Normalitásvizsgálat Ha teljesül, hogy a vizsgált valószíűségi változó ormális eloszlású m várható értékkel és σ szórással, akkor y i := Φ 1 ki ( ) jelöléssel az (x i, y i ) (i = = 1,..., r) koordiátájú potok körülbelül egy olya egyeesre esek, melyek 1 σ a meredeksége és m σ Expoecialitásvizsgálat értékél metszi a függőleges tegelyt. Ha teljesül, hogy a vizsgált valószíűségi változó expoeciális eloszlású λ paraméterrel, akkor y i := l 1 k ) ( i jelöléssel az (x i, y i ) (i = 1,..., r) koordiátájú potok körülbelül egy olya egyeesre esek, melyek λ a meredeksége és átmegy az origó Itervallumbecslések Legye a ξ valószíűségi változóra voatkozó mita ξ 1,..., ξ, és 1 α a becsüledő paraméterre voatkozó [τ 1, τ 2 ] kofideciaitervallum biztosági szitje. ξ Norm(m; σ) m az ismeretle becsüledő paraméter, σ ismert τ 1 = ξ σ Φ ( ) 1 1 α 2 τ 2 = ξ + σ Φ ( ) 1 1 α 2 ξ Norm(m; σ) m ismert, σ az ismeretle becsüledő paraméter F Khi() τ 1 = τ 2 = i=1 (ξ i m) 2 F 1 (1 α 2 ) i=1 (ξ i m) 2 F 1 ( α 2 ) ξ Norm(m; σ) m ismeretle, σ az ismeretle becsüledő paraméter 2, F Khi( 1) τ 1 = S F 1 (1 α 2 ) τ 2 = S F 1 ( α 2 ) ξ Norm(m; σ) m az ismeretle becsüledő paraméter, σ ismeretle 6

8 2, F t( 1) τ 1 = ξ S F ( ) 1 1 α 2 τ 2 = ξ + S F ( ) 1 1 α 2 ξ Exp(λ) λ az ismeretle becsüledő paraméter F Gamma(; 1) τ 1 = 1 ξ F ( ) 1 α 2 τ 2 = 1 ξ F ( ) 1 1 α 2 ξ Bi(1; p) p az ismeretle { becsüledő paraméter τ 1 = 1 max z N : z ( } i i=0 i) ξ (1 ξ) i < α 2 { τ 2 = 1 mi z N : z ( } i i=0 i) ξ (1 ξ) i 1 α 2 Nagy -re: c = Φ ( ) 1 1 α 2 τ 1 = ξ + c2 c 2 ξ(1 ξ) + c2 4 ξ c ξ(1 ξ) 1 + c2 τ 2 = ξ + c2 + c 2 ξ(1 ξ) + c c2 ξ + ξ az [a, b] itervallumo egyeletes eloszlású c ξ(1 ξ) a ismert, b az ismeretle becsüledő paraméter F Gamma(; 1), c 1 = F ( ) 1 α 2, c2 = F ( ) 1 1 α 2 τ 1 = a + ( e c 1 i=1 (ξ i a) ) 1 τ 2 = a + ( e c 2 i=1 (ξ i a) ) Paraméteres hipotézisvizsgálatok A következőkbe 1 α a próba szitjét jeleti. Egymitás u-próba ξ Norm(m; σ), m ismeretle, σ ismert, ξ 1,..., ξ a ξ-re voatkozó mita, m 0 R rögzített. H 0 : m = m 0 u = ξ m 0 σ 7

9 H 1 m m 0 m < m 0 m > m 0 kritikus tartomáy 2 2Φ( u ) < α Φ(u) < α 1 Φ(u) < α Kétmitás u-próba ξ Norm(m 1 ; σ 1 ), η Norm(m 2 ; σ 2 ) függetleek, m 1, m 2 ismeretleek, σ 1, σ 2 ismertek, ξ 1,..., ξ 1 a ξ-re voatkozó, η 1,..., η 2 az η-ra voatkozó mita. H 0 : m 1 = m 2 u = ξ η σ σ2 2 2 H 1 kritikus tartomáy m 1 m 2 m 1 < m 2 m 1 > m 2 2 2Φ( u ) < α Φ(u) < α 1 Φ(u) < α Egymitás t-próba ξ Norm(m; σ), m, σ ismeretleek, ξ 1,..., ξ a ξ-re voatkozó mita, 2, m 0 R rögzített. H 0 : m = m 0 t = ξ m 0 S és F t( 1) H 1 kritikus tartomáy m m 0 m < m 0 m > m 0 2 2F ( t ) < α F (t) < α 1 F (t) < α Kétmitás t-próba ξ Norm(m 1 ; σ 1 ), η Norm(m 2 ; σ 2 ) függetleek, m 1, m 2, σ 1, σ 2 ismeretleek, σ 1 = σ 2, ξ 1,..., ξ 1 a ξ-re voatkozó, illetve η 1,..., η 2 az η-ra voatkozó mita, 1 2, 2 2. H 0 : m 1 = m 2 t = ξ η 1 Sξ, S 2 1 η, ( ) és F t( ) 8

10 H 1 m 1 m 2 m 1 < m 2 m 1 > m 2 kritikus tartomáy 2 2F ( t ) < α F (t) < α 1 F (t) < α Scheffé-módszer ξ Norm(m 1 ; σ 1 ), η Norm(m 2 ; σ 2 ) függetleek, m 1, m 2, σ 1, σ 2 ismeretleek, ξ 1,..., ξ 1 a ξ-re voatkozó, illetve η 1,..., η 2 az η-ra voatkozó mita, H 0 : m 1 = m 2 ζ i = ξ i 1 2 η i k=1 η k η (i = 1,..., 1 ) ( 1 = 2 eseté ζ i = ξ i η i ) t = ζ S ζ, 1 1 és F t( 1 1) H 1 kritikus tartomáy m 1 m 2 2 2F ( t ) < α m 1 < m 2 F (t) < α m 1 > m 2 1 F (t) < α 1 = 2 eseté a módszer akkor is alkalmazható, ha a miták em függetleek, de csak akkor, ha ξ η ormális eloszlású. F-próba ξ Norm(m 1 ; σ 1 ), η Norm(m 2 ; σ 2 ) függetleek, m 1, m 2, σ 1, σ 2 ismeretleek, ξ 1,..., ξ 1 a ξ-re voatkozó, illetve η 1,..., η 2 az η-ra voatkozó mita ( 1 2, 2 2). H 0 : σ 1 = σ 2 F = S 2 ξ, 1 S 2 η, 2 és F F( 1 1; 2 1) H 1 kritikus tartomáy σ 1 σ 2 σ 1 < σ 2 σ 1 > σ 2 2 mi{ F (F),1 F (F) } < α F (F) < α 1 F (F) < α Khi-égyzet próba ξ Norm(m; σ), m, σ ismeretleek, ξ 1,..., ξ a ξ-re voatkozó mita ( 2). H 0 : σ = σ 0 9

11 χ 2 = S2 és F Khi( 1) σ0 2 H 1 kritikus tartomáy σ σ 0 σ < σ 0 σ > σ 0 2 mi{ F (χ 2 ),1 F (χ 2 ) } < α F (χ 2 ) < α 1 F (χ 2 ) < α Statisztikai próba az expoeciális eloszlás paraméterére ξ Exp(λ), λ ismeretle, ξ 1,..., ξ a ξ-re voatkozó mita, λ 0 R + rögzített. H 0 : λ = λ 0 γ = λ 0 ξ és F Gamma(; 1) H 1 kritikus tartomáy λ λ 0 λ < λ 0 λ > λ 0 2 mi{ F (γ),1 F (γ) } < α 1 F (γ) < α F (γ) < α Statisztikai próba valószíűségre ξ Bi(1; p), p ismeretle, 0 < p 0 < 1 rögzített és ξ 1,..., ξ a ξ-re voatkozó mita. H 0 : p = p 0 F 1 (x) = mi { z N : z ( ) i=0 i p i 0 (1 p 0 ) i x } mi{ p 0, (1 p 0 ) } 10 eseté F 1 (x) p p 0 (1 p 0 )Φ 1 (x) H 1 kritikus tartomáy p p 0 ξ < F ( ) ( ) 1 α 2 vagy ξ > F 1 1 α 2 p < p 0 ξ < F 1 (α) p > p 0 ξ > F 1 (1 α) feltétel p p 0 1 F ( ) 1 α 2 < p0 < F ( ) 1 1 α 2 1 p < p 0 1 F 1 (α) < p 0 p > p 0 p 0 < F 1 (1 α) Nemparaméteres hipotézisvizsgálatok A következőkbe 1 α a próba szitjét jeleti. 10

12 Tiszta illeszkedésvizsgálat valószíűségre A 1,..., A r teljes eseméyredszer, p 1,..., p r R +, p p r = 1. H 0 : P(A i ) = p i i, ahol P a valódi valószíűség ϱ i ( 10) az A i gyakorisága kísérlet utá r χ 2 (ϱ i p i ) 2 = és F Khi(r 1) p i i=1 Kritikus tartomáy: 1 F (χ 2 ) < α Tiszta illeszkedésvizsgálat eloszlásfüggvéyre ξ-re voatkozó mita ξ 1,..., ξ H 0 : ξ eloszlásfüggvéye F 0 a 0 = < a 1 < a 2 < < a r 1 < a r = ϱ i = I ξz [ai 1,a i ) 10 z=1 p i = P(a i 1 ξ < a i ) = F 0 (a i ) F 0 (a i 1 ), azaz P P H0 r χ 2 (ϱ i p i ) 2 = és F Khi(r 1) p i i=1 Kritikus tartomáy: 1 F (χ 2 ) < α Becsléses illeszkedésvizsgálat ξ-re voatkozó mita ξ 1,..., ξ F ϑ eloszlásfüggvéy mide ϑ = (ϑ 1,..., ϑ v ) Θ R v eseté. H 0 : ξ eloszlásfüggvéye F ϑ valamely ϑ Θ eseté a 0 = < a 1 < a 2 < < a r 1 < a r = ϱ i = I ξz [ai 1,a i ) 10 z=1 ϑ i a ϑ i maximum likelihood becslése H 0 feltételezésével p i = P ( ϑ1,..., ϑ (a v) i 1 ξ < a i ) = F ( ϑ1,..., ϑ (a v) i) F ( ϑ1,..., ϑ (a v) i 1) r χ 2 (ϱ i p i ) 2 = és F Khi(r 1 v) p i i=1 Kritikus tartomáy: 1 F (χ 2 ) < α Függetleségvizsgálat eseméyredszerekre A 1,..., A r és B 1,..., B s két teljes eseméyredszer. H 0 : P(A i B j ) = P(A i ) P(B j ) i, j, ahol P a valódi valószíűség. A kotigecia táblázat 11

13 B 1 B 2... B s A 1 ϱ 11 ϱ ϱ 1s k 1 A 2 ϱ 21 ϱ ϱ 2s k A r ϱ r1 ϱ r2... ϱ rs k r l 1 l 2... l s ϱ ij 10 mide i, j eseté r s χ 2 (ϱ ij 1 = il j ) 2 1 i=1 j=1 il j és F Khi((r 1)(s 1)) Kritikus tartomáy: 1 F (χ 2 ) < α Függetleségvizsgálat valószíűségi változókra (ξ, η)-ra voatkozó mita (ξ 1, η 1 ),..., (ξ, η ) H 0 : ξ és η függetle a 0 = < a 1 < a 2 < < a r 1 < a r = b 0 = < b 1 < b 2 < < b s 1 < a s = k i = I ξz [ai 1,a i ) l j = ϱ ij = z=1 z=1 I ηz [b j 1,b j ) I ξz [ai 1,a i ) I ηz [bj 1,b j ) 10 z=1 r s χ 2 (ϱ ij 1 = k il j ) 2 1 k és F Khi((r 1)(s 1)) i=1 j=1 il j Kritikus tartomáy: 1 F (χ 2 ) < α Homogeitásvizsgálat ξ és η függetle valószíűségi változók, az ezekre voatkozó miták ξ 1,..., ξ 1 illetve η 1,..., η 2. H 0 : ξ és η azoos eloszlású c 0 = < c 1 < c 2 < < c r 1 < c r = k i = I ξz [ci 1,c i ) 10 l j = I ηz [cj 1,c j ) 10 z=1 χ 2 = 1 2 r i=1 ( k i 1 l i 2 ) 2 z=1 k i + l i és F Khi(r 1) Kritikus tartomáy: 1 F (χ 2 ) < α Kétmitás előjelpróba (ξ, η)-ra voatkozó mita (ξ 1, η 1 ),..., (ξ, η ) 12

14 H 0 : P(ξ > η) = 1 2 B = I ξi >η i i=1 F 1 (x) = mi { z N : z ( ) i=0 i ( 1 2 ) x } 20 eseté F 1 (x) 1 ( 1 + Φ 1 (x)) 2 H 1 kritikus tartomáy P(ξ > η) 1 2 B < F ( ) ( ) 1 α 2 vagy B > F 1 1 α 2 P(ξ > η) < 1 2 B < F 1 (α) P(ξ > η) > 1 2 B > F 1 (1 α) Kolmogorov Szmirov-féle kétmitás próba ξ és η folytoos eloszlásfüggvéyű függetle valószíűségi változók, az ezekre voatkozó miták ξ 1,..., ξ illetve η 1,..., η ( > 30) H 0 : ξ és η azoos eloszlású ξ-re illetve η-ra voatkozó mitákhoz tartozó tapasztalati eloszlásfüggvéyek F illetve G D = 2 max i=1,...,2 F (x i ) G (x i ), ahol x 1 = ξ 1,..., x = ξ, x +1 = η 1,..., x 2 = η K(z) = i=1 ( 1)i e 2i2 z 2 Kritikus tartomáy: K(D) 1 α Kolmogorov Szmirov-féle egymitás próba ξ folytoos eloszlásfüggvéyű valószíűségi változó, az erre voatkozó mita ξ 1,..., ξ ( > 30) H 0 : ξ eloszlásfüggvéye F F a tapasztalati eloszlásfüggvéy F (x) = 1 k=1 I ξ k x D = max i=1,..., max{ F(x i ) F (x i ), F (x i ) F (x i ) } K(z) = i=1 ( 1)i e 2i2 z 2 Kritikus tartomáy: K(D) 1 α 1.6. Regressziószámítás Az η, ξ 1,..., ξ k valószíűségi változókra adjuk meg azt az η g(ξ 1,..., ξ k ) közelítést adó g függvéyt, melyre E ( η g(ξ 1,..., ξ k ) ) 2 miimális. Az ilye tulajdoságú g függvéyt (regressziós függvéy) a gyakorlatba csak becsüli tudjuk az 13

15 (η, ξ 1,..., ξ k ) valószíűségi vektorváltozóra voatkozó (η i, ξ i1,..., ξ ik ), i = 1,..., mita alapjá. Legye ez a becslés ĝ. Ezutá az η ĝ(ξ 1,..., ξ k ) közelítést fogjuk haszáli. Lieáris regresszió A regressziós függvéyt csak a g(x 1,..., x k ) = a 0 + a 1 x a k x k (a 0,..., a k R) alakú függvéyek között keressük. Ekkor az η â 0 + â 1 ξ â k ξ k közelítést fogjuk haszáli, ahol â 0,..., â k redre a 0,..., a k becslései. Fixpotos lieáris regresszió Legyeek t 0,..., t k R rögzített kostasok. A regressziós függvéyt g(x 1,..., x k ) = t 0 + a 1 (x 1 t 1 ) + + a k (x k t k ) (a 1,..., a k R) alakba keressük. Ekkor az η t 0 + â 1 (ξ 1 t 1 ) + + â k (ξ k t k ) közelítést fogjuk haszáli, ahol â 1,..., â k redre a 1,..., a k becslései. A (t 1,..., t k, t 0 ) potot fixpotak evezzük, mert a kapott g biztosa ráilleszkedik. Poliomos regresszió k = 1 és a regressziós függvéyt y = a 0 + a 1 x + a 2 x a r x r (a 0,..., a r R + ) között vég- alakba keressük. Az a 0,..., a r együtthatókat az η, ξ 1, ξ1, 2..., ξ1 r rehajtott lieáris regresszió adja. 14

16 Hatváykitevős regresszió k = 1 és a regressziós függvéyt y = ax b (a R +, b R) alakba keressük. Ez azzal ekvivales, hogy l y = l a + b l x, így ekkor l η és l ξ 1 között lieáris regressziót végrehajtva, a kapott a 0, a 1 együtthatókra teljesül, hogy a = e a 0, b = a 1. Expoeciális regresszió k = 1 és a regressziós függvéyt y = ab x (a, b R + ) alakba keressük. Ez azzal ekvivales, hogy l y = l a + (l b)x, így ekkor l η és ξ 1 között lieáris regressziót végrehajtva, a kapott a 0, a 1 együtthatókra teljesül, hogy a = e a 0, b = e a 1. Logaritmikus regresszió k = 1 és a regressziós függvéyt y = a + b l x (a, b R) alakba keressük. Így ekkor η és l ξ 1 között lieáris regressziót végrehajtva, a = a 0, b = a 1. 15

17 Hiperbolikus regresszió k = 1 és a regressziós függvéyt y = 1 a + bx (a, b R) alakba keressük. Ez azzal ekvivales, hogy y 1 = a + bx, így ekkor η 1 és ξ 1 között lieáris regressziót végrehajtva, a = a 0, b = a Excel függvéyek Képlet bevitele Mide képletet = jellel kell kezdei. Ha a képlet egyértékű eredméyt ad, akkor yomjo Eter-t. Tömbképlet bevitele Ha a képlet eredméye tömb (például egy mátrix iverze), akkor először jelölje ki a megfelelő méretű tömböt, gépelje be a képletet (előtte =), majd yomjo Ctrl+Shift+Eter-t. Tömbképlet javítása Ha egy tömbképletet javítai akar, akkor jelölje ki a tömbképletre voatkozó tömböt, F2, javítás, majd Ctrl+Shift+Eter. Műveletek + összeadás - kivoás * szorzás / osztás ^ hatváyozás Relációk = egyelő < kisebb > agyobb <= kisebb vagy egyelő 16

18 >= agyobb vagy egyelő <> em egyelő Kostasok e = KITEVŐ(1) π = PI() Logikai függvéyek HA(feltétel;ha igaz;ha hamis) ÉS(feltétel1;feltétel2;...) VAGY(feltétel1;feltétel2;...) Elemi függvéyek x = ABS(x) x R [x] = INT(x) x R sig x = ELŐJEL(x) x R l x = LN(x) x > 0 log a x = LOG(x;a) x > 0, a > 0, a 1 x = GYÖK(x) x 0 x a = HATVÁNY(x;a) = x^a e x = KITEVŐ(x) x R si x = SIN(x) x R cos x = COS(x) x R tg x = TAN(x) x R, x k π, ahol k páratla egész 2 arcsi x = ARCSIN(x) x [ 1, 1] arccos x = ARCCOS(x) x [ 1, 1] arctg x = ARCTAN(x) x R r i=0 a ix k+im = SERIESSUM(x;k;m;A:A), ahol az A oszlopba vaak az a 0,..., a r valós számok (x R, k, m N) 1 l ( 1+x 2 1 x) = FISHER(x) 1 < x < 1 e 2x 1 = INVERZ.FISHER(x) x R e 2x +1 l Γ(x) = l u x 1 e u du = GAMMALN(x) x > Γ(x) = u x 1 e u du = KITEVŐ(GAMMALN(x)) x > 0 17

19 Mátrixok MDETERM(tömb) A tömb-be található típusú mátrix determiása TRANSZPONÁLÁS(tömb) A tömb-be található m típusú mátrix traszpoáltja, mely egy m méretű tömbbe helyezkedik el (tömbképlet!). INVERZ.MÁTRIX(tömb) A tömb-be található típusú mátrix iverze, mely egy méretű tömbbe helyezkedik el (tömbképlet!). MSZORZAT(tömb1;tömb2) A tömb1-be található m típusú mátrix és a tömb2- be található k típusú mátrix szorzata, mely egy m k méretű tömbbe helyezkedik el (tömbképlet!) Kombiatorika m! = FACT(m) m N m!! = FACTDOUBLE(m) m N (m!! az ú. szemifaktoriális, amely m, ha m páratla, illetve m, ha m páros.) ( m ) k = KOMBINÁCIÓK(m;k) m N, k = 0,..., m m! = VARIÁCIÓK(m;k) m N, k = 0,..., m (m k)! (k 1 +k 2 + +k r)! k 1! k 2!... k r! = MULTINOMIAL(k 1 ;k 2 ;...;k r ) k 1, k 2,..., k r N Pszeudo-véletle szám geerálása VÉL() [0, 1) itervallumo egyeletes eloszlású pszeudo-véletle szám RANDBETWEEN(a;b) (a, b N, a < b) diszkrét egyeletes eloszlású pszeudo-véletle szám az { a, a + 1,..., b } halmazo Statisztikák Legye a ξ valószíűségi változóra voatkozó x 1,..., x mitarealizáció az A oszlopba. Jelölje x 1,..., x a redezett mitarealizációt. Ekkor x 1 = MIN(A:A) x = MAX(A:A) x k x k = KICSI(A:A;k) k = 1,..., = NAGY(A:A;k + 1) k = 0,..., 1 mi{ k : x k = x i } = SORSZÁM(x i ;A:A;1) i = 1,..., mi{ k : x k = x i } + 1 = SORSZÁM(x i ;A:A;0) i = 1,..., = DARAB(A:A) ξ = ÁTLAG(A:A) 18

20 S = SZÓRÁSP(A:A) S 2 = VARP(A:A) S = SZÓRÁS(A:A) S 2 = VAR(A:A) tapasztalati mediá = MEDIÁN(A:A) tapasztalati módusz = MÓDUSZ(A:A) 100t%-os tapasztalati kvatilis = PERCENTILIS(A:A;t) 0 t 1 tapasztalati alsó kvartilis = KVARTILIS(A:A;1) tapasztalati felső kvartilis = KVARTILIS(A:A;3) tapasztalati ferdeség = FERDESÉG(A:A) tapasztalati lapultság (csúcsosság) = CSÚCSOSSÁG(A:A) i=1 x i = SZUM(A:A) i=1 x2 i = NÉGYZETÖSSZEG(A:A) i=1 (x i ξ) 2 = SQ(A:A) 1 i=1 x i ξ = ÁTL.ELTÉRÉS(A:A) i=1 x i = SZORZAT(A:A) i=1 x i = MÉRTANI.KÖZÉP(A:A) x i > 0 (i = 1,..., ) ( 1 i=1 ) 1 1 x i = HARM.KÖZÉP(A:A) xi > 0 (i = 1,..., ) x i <a x i = SZUMHA(A:A;"<a") a R a<x i b x i = SZUMHATÖBB(A:A;A:A;">a";A:A;"<=b") a, b R 1 1 x i <a x i = ÁTLAGHA(A:A;"<a") a R a<x i b x i = ÁTLAGHATÖBB(A:A;A:A;">a";A:A;"<=b") a, b R i=1 I x i <a = DARABTELI(A:A;"<a") a R i=1 I a<x i b = DARABHATÖBB(A:A;">a";A:A;"<=b") a, b R Legye a (ξ, η) kétdimeziós valószíűségi vektorváltozóra voatkozó mitarealizáció (x 1, y 1 ),..., (x, y ). Az A oszlop i-edik sorába legye x i, illetve a B oszlop i-edik sorába legye y i. Ekkor Cov (ξ, η) = KOVAR(A:A;B:B) Corr (ξ, η) = KORREL(A:A;B:B) i=1 x iy i = SZORZATÖSSZEG(A:A;B:B) i=1 (x i y i ) 2 = SZUMXBŐLY2(A:A;B:B) i=1 (x2 i y 2 i ) = SZUMX2BŐLY2(A:A;B:B) i=1 (x2 i + y 2 i ) = SZUMX2MEGY2(A:A;B:B) 19

21 Eloszlások Biomiális eloszlás (r-edredű p paraméterű) ( r ) k p k (1 p) r k = BINOM.ELOSZLÁS(k;r;p;HAMIS) r N, k = 0,..., r, 0 < p < 1 Hipergeometrikus eloszlás ( M k )( N M r k ) = HIPERGEOM.ELOSZLÁS(k;r;M;N) ( N r ) r, M, N N, M < N, r mi{ M, N M }, k = 0,..., r Poisso-eloszlás (λ paraméterű) λ k k! e λ = POISSON(k;λ;HAMIS) λ > 0, k = 0, 1, Eloszlásfüggvéyek Biomiális eloszlás (r-edredű p paraméterű) ) p i (1 p) r i = BINOM.ELOSZLÁS(k;r;p;IGAZ) k ( r i=0 i r N, k = 0,..., r, 0 < p < 1 Poisso-eloszlás (λ paraméterű) k i=0 λ i i! e λ = POISSON(k;λ;IGAZ) λ > 0, k = 0, 1,... Expoeciális eloszlás (λ paraméterű) F (x) = 1 e λx = EXP.ELOSZLÁS(x;λ;IGAZ) λ > 0, x 0 Gamma-eloszlás (r-edredű λ paraméterű) F (x) = GAMMA.ELOSZLÁS(x;r;1/λ;IGAZ) r, λ > 0, x 0 Stadard ormális eloszlás x Φ(x) = 1 2π e t2 2 dt = STNORMELOSZL(x) x R Normális eloszlás (m és σ paraméterű) F (x) = Φ ( ) x m σ = NORM.ELOSZL(x;m;σ;IGAZ) m, x R, σ > 0 Khi-égyzet eloszlás (s szabadsági fokú) F (x) = 1-KHI.ELOSZLÁS(x;s) s N, x 0 t-eloszlás (s szabadsági fokú) F (x) = 1-T.ELOSZLÁS(x;s;1) s N, x 0 F (x) = T.ELOSZLÁS( x;s;1) s N, x < 0 P( ξ > x) = 2 2F (x) = T.ELOSZLÁS(x;s;2) s N, x 0 20

22 F-eloszlás (s 1 és s 2 szabadsági fokú) F (x) = 1-F.ELOSZLÁS(x;s 1 ;s 2 ) s 1, s 2 N, x Sűrűségfüggvéyek Expoeciális eloszlás (λ paraméterű) f(x) = λe λx = EXP.ELOSZLÁS(x;λ;HAMIS) λ > 0, x 0 Gamma-eloszlás (r-edredű λ paraméterű) f(x) = GAMMA.ELOSZLÁS(x;r;1/λ;HAMIS) r, λ > 0, x 0 Khi-égyzet eloszlás (s szabadsági fokú) f(x) = GAMMA.ELOSZLÁS(x;s/2;2;HAMIS) x 0 Stadard ormális eloszlás ϕ(x) = 1 2π e x2 2 = NORM.ELOSZL(x;0;1;HAMIS) x R Normális eloszlás (m és σ paraméterű) f(x) = 1 ϕ ( ) x m σ σ = NORM.ELOSZL(x;m;σ;HAMIS) m, x R, σ > Iverz eloszlásfüggvéyek Normális eloszlás (m és σ paraméterű) F 1 (x) = INVERZ.NORM(x;m;σ) m R, σ > 0, 0 < x < 1 Stadard ormális eloszlás Φ 1 (x) = INVERZ.STNORM(x) 0 < x < 1 Khi-égyzet eloszlás (s szabadsági fokú) F 1 (x) = INVERZ.KHI(1 x;s) s N, 0 < x < 1 t-eloszlás (s szabadsági fokú) F 1 (x) = -INVERZ.T(2x;s) s N, 0 < x < 0,5 F 1 (x) = INVERZ.T(2 2x;s) s N, 0,5 x < 1 Gamma-eloszlás (r-edredű λ paraméterű) F 1 (x) = INVERZ.GAMMA(x;r;1/λ) r, λ > 0, 0 < x < 1 F-eloszlás (s 1 és s 2 szabadsági fokú) F 1 (x) = INVERZ.F(1 x;s 1 ;s 2 ) s 1, s 2 N, 0 < x < 1 21

23 Grafikus illeszkedésvizsgálat MEREDEKSÉG(tömb_y i ;tömb_x i ) Az (x i, y i ), i = 1,..., r potokra illesztett lieáris tredvoal meredeksége. METSZ(tömb_y i ;tömb_x i ) Az (x i, y i ), i = 1,..., r potokra illesztett lieáris tredvoal függőleges tegelymetszete Itervallumbecslés σ Φ ( ) 1 1 α 2 = MEGBÍZHATÓSÁG(α;σ;) 0 < α < 1, σ > 0, N S F 1 ( 1 α 2 ) MEGBÍZHATÓSÁG(α;S ;) F t( 1), 0 < α < 1, σ > 0, N. A becslés aál potosabb, miél agyobb az. mi { c N : c i=0 ( i) p i (1 p) i x } = KRITBINOM(;p;x) N, 0 < p < < 1, 0 < x < Paraméteres hipotézisvizsgálatok A ξ-re illetve η-ra voatkozó mitarealizációk az A illetve B oszlopokba vaak. Egymitás u-próba 1 Φ(u) = Z.PRÓBA(A:A;m 0 ;σ) 2 2Φ( u ) = 2*MIN(Z.PRÓBA(A:A;m 0 ;σ);1-z.próba(a:a;m 0 ;σ)) Egymitás t-próba A ξ-re voatkozó mitarealizáció mide tagja mellett szerepelje m 0 értéke a B oszlopba. 2 2F ( t ) = T.PRÓBA(A:A;B:B;2;1) F (t) = T.PRÓBA(A:A;B:B;1;1) ha ξ m 0 1 F (t) = T.PRÓBA(A:A;B:B;1;1) ha ξ m 0 F-próba 2 mi{ F (F),1 F (F) } = F.PRÓBA(A:A;B:B) F (F) = F.PRÓBA(A:A;B:B)/2, ha S 2 ξ, 1 S 2 η, 2 1 F (F) = F.PRÓBA(A:A;B:B)/2, ha S 2 ξ, 1 S 2 η, 2 Kétmitás t-próba 2 2F ( t ) = T.PRÓBA(A:A;B:B;2;2) F (t) = T.PRÓBA(A:A;B:B;1;2) ha ξ η 1 F (t) = T.PRÓBA(A:A;B:B;1;2) ha ξ η 22

24 Scheffé-módszer azoos mitaelemszámra 2 2F ( t ) = T.PRÓBA(A:A;B:B;2;1) F (t) = T.PRÓBA(A:A;B:B;1;1) ha ξ η 1 F (t) = T.PRÓBA(A:A;B:B;1;1) ha ξ η Scheffé-módszer külöböző mitaelemszámra Az ζ-ra voatkozó mitarealizáció a C oszlopba va, és mide tagja mellett szerepelje 0 a D oszlopba. 2 2F ( t ) = T.PRÓBA(C:C;D:D;2;1) F (t) = T.PRÓBA(C:C;D:D;1;1) ha ξ η 1 F (t) = T.PRÓBA(C:C;D:D;1;1) ha ξ η Statisztikai próba az expoeciális eloszlás paraméterére F (γ) = GAMMA.ELOSZLÁS(λ 0 *SZUM(A:A);DARAB(A:A);1;IGAZ) Statisztikai próba valószíűségre mi { z N : z i=0 ( i) p i 0 (1 p 0 ) i x } = KRITBINOM(;p 0 ;x) Nemparaméteres hipotézisvizsgálatok Tiszta illeszkedésvizsgálat 1 F (χ 2 ) = KHI.PRÓBA(ϱ i tartomáya;p i tartomáya) Becsléses illeszkedésvizsgálat Σ i := (ϱ i p i ) 2 p i 1 F (χ 2 ) = =KHI.ELOSZLÁS(SZUM(Σ i tartomáya);r 1 v) Függetleségvizsgálat 1 F (χ 2 ) = KHI.PRÓBA(ϱ ij tartomáya;k i l j / tartomáya) Homogeitásvizsgálat ν ij := (k i+l i ) j F (χ 2 ) = KHI.PRÓBA(k i, l j tartomáya;ν ij tartomáya) Kétmitás előjelpróba F 1 (x) = KRITBINOM(;1/2;x) Regressziószámítás Lieáris regresszió eta: η-ra voatkozó mitarealizációt tartalmazó 1 méretű tömb. 23

25 xi: (ξ 1,..., ξ k )-ra voatkozó mitarealizációt tartalmazó k méretű tömb. x: x 1,..., x k számokat tartalmazó 1 k méretű tömb. (â k, â k 1,..., â 0 ) = LIN.ILL(eta;xi) (1 (k + 1) méretű tömbképlet!) â 0 + â 1 x â k x k = TREND(eta;xi;x) Fixpotos lieáris regresszió eta-t: (η t 0 )-ra voatkozó mitarealizációt tartalmazó 1 méretű tömb. xi-t: (ξ 1 t 1,..., ξ k t k )-ra voatkozó mitarealizációt tartalmazó k méretű tömb. x-t: x 1 t 1,..., x k t k számokat tartalmazó 1 k méretű tömb. (â k, â k 1,..., â 1 ) = LIN.ILL(eta-t;xi-t;HAMIS) (1 k méretű tömbképlet!) â 1 (x 1 t 1 ) + + â k (x k t k ) = TREND(eta-t;xi-t;x-t;HAMIS) Expoeciális regresszió eta: η-ra voatkozó mitarealizációt tartalmazó 1 méretű tömb. xi: ξ 1 -re voatkozó mitarealizációt tartalmazó 1 méretű tömb. ( b, â) = LOG.ILL(eta;xi) (1 2 méretű tömbképlet!) â b x = NÖV(eta;xi;x) 24