1 Y t = X tmod(n) azaz periodikusan kiterjesztjük a mintát. 3 Adott b blokkméretre készítsünk N =mb (N N)

Átírás

1 Alkalmazása az összefüggő esetre 7. előadás, áprls 5. Zemplén András Valószínűségelmélet és Statsztka Tanszék Természettdomány Kar Eötös Loránd Tdományegyetem Árngadozások előadás Crclar blokk bootstrap (CBB) 1 Y t = X tmod(n) azaz perodksan kterjesztjük a mntát 2 Legyen 1, 2,... m mnta az {1,..., N} halmazon egyenletes eloszlásból 3 Adott b blokkméretre készítsünk N =mb (N N) pszedo-megfgyelést: Y (k 1)b+j = Y m+j 1 ahol j = 1,..., b; k = 1,..., m 4 A mnket érdeklő statsztka kszámítása a pszedo-megfgyelésekből: Y N = (N ) 1 (Y Y N ) Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 1 / 26 Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 2 / 26 Blokkméret kálasztása (Polts & Whte) Blokkméret kálasztása (Polts & Whte) Jel. F 0 = σ{x n : n 0}, F k = σ{x n : n k} Def.: {X t : t Z } erősen keerő, ha α X (k) 0 (k ), ahol α X (k) = sp{ P(A B) P(A)P(B) : A F 0, B F k } Tétel : Tegyük fel, hogy X t staconárs és E X t 6+δ <, k 2 (α X (k)) δ 6+δ < alamely δ>0-ra. A célnk Var( NX) becslése. k=1 Legyen b = o(n 1/2 ), N esetén b. Ekkor MSE(σ 2 ) = G2 + D b b,x b 2 n + o(b 2 ) + o( b n ) ahol D= 4 3 g2 (0) és G = k R(k) k= g( ): spektráls sűrűségfüggény R( ): atokoaranca függény Optmáls blokkméret: b opt = ( 2G2 D )1/3 n 1/3 Kérdés: hogyan becsüljük G-t és D-t ˆD = 4 3ĝ2 (0) Ĝ = M k= M λ( k ) k ˆR(k) M ahol ˆR(k) N k = N 1 (X X N )(X + k X N ) k=1 1 ha t [0, 1/2] λ(t) = 2(1 t ) ha t [1/2, 1] 0 különben M = 2 ˆm, ahol ˆm: ahonnan a korrelogram "lényegében" 0 Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 3 / 26 Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 4 / 26

2 Paraméteres bootstrap Egyszerű példa a paraméteres bootstrapra Eddg semmlyen modellt nem használtnk Ha an jó modellünk, akkor azt érdemes a bootstrapnél s alkalmazn A legegyszerűbb esetben egyszerűen a becsült modellből esszük a mntát Regresszós modelleknél mnta a rezdálsokból, majd ezt adjk hozzá az llesztett értékhez Választás a zsgálat célja alapján: Modell kálasztás: nemparaméteres bootstrap Modell megbízhatóság: paraméteres bootstrap Kérdés: lehet-e 1 az alakparametere az llesztett gamma eloszlásnak? Bootstrap mntákat eszünk az exponencáls eloszlásbó (ez a Γ(1, λ) eloszlás). Statsztka: ezekre a mntákra az alakparaméter ML becslése Bootstrap p-érték: azon esetek aránya, ahol táolabb agynk 1-től, mnt a megfgyelt eset becslése Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 5 / 26 Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 6 / 26 AR-see bootstrap Feltétel: a folyamat staconárs és jól becsülhető AR(p) modellel: p X t µ X = φ j (X t j µ X ) + ε t, t Z j=1 ahol µ X = EX t (ε t ) t Z..d., E(ε t )=0 és ε t független { X s ; s < t }-től Paraméterek és hbák becslése: ˆp=? AIC ˆµ X = n 1 n t=1 X t ˆφ 1,..., ˆφˆp =? Yle-Walker módszer R t = X t ˆp ˆφ j=1 j X t j, ahol t = ˆp + 1,..., n ebből pedg ˆε t = R t R t, ahol t = ˆp + 1,..., n Bootstrap mnta konstrálásának lépése: ε t : életlen elem { ˆεˆp+1,..., ˆε n } halmazból Nagy -ra (X,..., X +ˆp 1 ) = (ˆµ X,..., ˆµ X ) (a folyamat ndítása) p Xt = µ X + φ j (Xt j µ X ) + ε t t Z j=1 Ebből a bootstrap mnta: { X 1,..., X n } Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 7 / 26 Súlyozott (ad) bootstrap Itt már nem bootstrap mntát eszünk, hanem súlyoznk (példál a lkelhood függényt) Formálsan: Z (k) súlyok, E(Z (k) ) = 0 és D 2 (Z (k) ) = 1 ahol = 1,..., n, k = 1,..., N (N a boostrap smétlések száma). A klasszks esetben Z polnomáls eloszlású Az első alkalmazás a regresszónál: ŷ = ŷ + Z ε Heteroszkedasztks esetben érdemes használn Toább alkalmazás lehetőség: koplák lleszkedészsgálata Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 8 / 26

3 Bootstrap az extrém-érték modellekben Hall és Wessman módszere A nemparaméteres bootstrap ks mntákra tpksan túl szűk konfdencanterallmokat ad Aszmptotksan s érdemes m << n elemű bootstrap mntákat enn és ezzel párhzamosan a feladatot keésbé extrém kantlsek becslésére sszaezetn Fnomhangoln paraméterek (s, t) segítségéel lehet } A cél: D 1 (t, n, x) := E {(Fˆθ(t) (x) F(x))2 mn t Ha az 1 p-kantlst becsüljük, akkor átírható: } D 2 (t, n, x) := D 1 (t, n, F 1 (p)) = E {(Fˆθ(t) (F 1 (p)) p) 2 mn t { ( A bootstrap becslések ˆD ) } 2 1 (t, m, y) = E Fˆθ (t)(y) ˆF(y) és { ( ) ) } ˆD 2 (t, m, q) = E 1 2 Fˆθ (t) (ˆF (q) q. Arra kell ügyeln, hogy a transzformácónál a log(x)/ log(n) hányados legalábbs aszmptotksan ne áltozon, mkor áttérünk (n, x) helyett az (m, y) párra. Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 9 / 26 Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 10 / 26 Koplák Az összefüggőség strktúra nerzáls megjelenítő Többdmenzós eloszlás egyenletes margnálsokkal, (Hoeffdng, 1940) - az 1990-es éekben újra felfedezték és azóta széles körben alkalmazzák s. Tetszőleges d-dmenzós, folytonos F eloszlásfüggényhez egyértelműen megadható olyan C F kopla, melyre F(x 1,..., x d ) = C F (F 1 (x 1 ),..., F d (x d )). Ha F folytonos, akkor egyértelmű a megoldás: C F ( 1,..., d ) = F(F 1 1 ( 1),..., F 1 d ( d)). Példák Független eset: C(x, y) = xy. Teljes összefüggőség (Frechet) C(x, y) = mn(x, y), C(x, y) = max{(x + y 1), 0} Gass-kopla ) C R () = Φ R,d (Φ 1 ( 1 ),..., Φ 1 ( d ) ahol Φ R,d az R korrelácós mátrxú, d-dmenzós normáls eloszlás eloszlásfüggénye. Rgalmasabb modell: t-kopla C R,ν () = t R,ν,d ( tν 1 ) ( 1 ),..., tν 1 ( d ) ahol t R,ν,d az R korrelácós mátrxú, ν szabadságfokú d-dmenzós t-eloszlás eloszlásfüggénye. Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 11 / 26 Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 12 / 26

4 Sűrűségfüggények Ellptks eloszlások, koplák Hasznos gyakorlat eszközök a kopla tlajdonságanak zalzácójánál A Gass koplára: c R () = ϕ ( R,d Φ 1 ( 1 ),..., Φ 1 ( d ) ) d =1 ϕ ( Φ 1 ( ) ) Hasonlóan számolható a t-koplára s Sűrűségfüggényük kontúrja ellpszsek Példa: Gass, t Azonos típsú ellptks eloszlások konolúcója smét gyanolyan típsú ellptks eloszlás Az ellptks koplákra teljesül a radáls szmmetra: C(, ) = C(1, 1 ) Éppen ez az, am tpksan nem áll fenn a portfólók hozamára (a kgró eszteségek tpksan nagyobbak a kgró nyereségeknél) Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 13 / 26 Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 14 / 26 Ellptksság tesztelése Arkhmédesz koplák Standardzálás tán gömbszmmetrks kell, hogy legyen az eredmény R = Y és S = Y / Y függetlenek, S egyenletes eloszlású Példál χ 2 próba alkalmazható A kopla generátor függénnyel adhatók meg: ϕ() : [0, 1] [0, ], folytonos, konex (2D-ben, általánosan: teljesen monoton) és szgorúan monoton csökkenő, ϕ(1) = 0. Ebből a d-dmenzós Arkhmédesz kopla ( d ) C ϕ () = ϕ 1 ϕ( ). =1 Egyszerű a konstrkcójk, de an hátrányk s: csak egy (agy néhány) paraméterük an. Az összes s < d dmenzós peremeloszlásk azonos Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 15 / 26 Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 16 / 26

5 Példák Tlajdonságok A Gmbel kopla (logsztks modell) generátora: ϕ θ () = [ ln()] θ, ahol θ [1, + ). Tehát a d-dmenzós Gmbel-kopla C Gmbel () = e ( d =1 log( ) θ ) 1θ. Egy C kopla extrém-érték kopla, ha C( t 1,..., t d ) = Ct ( 1,..., d ) mnden t > 0. Ez megfelel a többdmenzós extrém-érték eloszlásoknak. Ezek közül a Gmbel kopla az egyetlen Arkhmédesz kopla. A Clayton kopla generátora ϕ θ () = θ 1, ahol θ > 0. Tehát a d-dmenzós Clayton kopla: ( d ) 1 C Clayton () = θ θ d + 1. =1 Az azonosításhoz nagy mntaelemszám szükséges (különösen 2-nél magasabb dmenzóban) Nagyon gyenge és nagyon erős összefüggőségnél nem lényeges a kopla típsa Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 17 / 26 Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 18 / 26 Koplák összehasonlítása Extremáls összefüggőség Gmbel copla Gassan copla Clayton copla (Flpped) Stdent t copla Koplákra: C t (, ) = P(U < F 1 t (), V < F 1 t () U < t, V < t) ahol F t () := P(U < U < t, V < t) a feltételes eloszlásfüggény A határeloszlás dfferencálható generátorú Arkhmédesz koplákra:, ϕ R 0 lm C t (, ) = C t 0 Clayton,α (, ), ϕ R α mn(, ) ϕ R Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 19 / 26 Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 20 / 26

6 Koplák összefüggőség ndexe Koplák összefüggőség ndexe/2 χ = lm 1 P{X 2 > F 1 2 () X 1 > F 1 1 ()}, Kantlsfüggő áltozat: ( log P{X1 > F 1 1 χ() = 2 (), X 2 > F 1 2 ()} ) log P{X 1 > F 1 1 ()}, 0 1. E(X EX)(Y EY ) Lneárs korrelácó: R(X, Y ) = D(X)D(Y ) hátránya: érzékeny a kgró értékekre áltozk, ha transzformáljk a margnálsokat Alternatíák: Kendall-τ: τ(x, Y ) = P [(X X)(Y ] Ỹ ) > 0 P [(X X)(Y ] Ỹ ) < 0. Spearman-ρ: ( [ ] [ ]) ρ(x, Y ) = 3 P (X X)(Y Y ) > 0 P (X X)(Y Y ) < 0. ahol (X, Y ), ( X, Ỹ ), (X, Y ) független, azonos eloszlásúak. Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 21 / 26 Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 22 / 26 Tlajdonságok Toább tlajdonságok Ezek úgyneezett rangkorrelácók (csak az értékek sorrendje érdekes) Nem érzékenyek a kgró értékekre Kszámításk a kopláal τ(x, Y ) = 4 ρ(x, Y ) = C(, )dc(, ) 1 [C(, ) ] dd. Mndkettő naráns a monoton transzformácókra. Legyen κ = ρ agy κ = τ. Ekkor 1 κ 1; κ X,X = 1, κ X, X = 1. Ha X és Y független, akkor κ X,Y = 0. κ X, Y = κ X,Y = κ X,Y. Az egyes koplákra adódó összefüggőség mérőszámok függnek a paramétertől, így becslésükből egyúttal a kopla becslése s megkapható. Példál a Gmbel koplára τ = 1 1/β. Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 23 / 26 Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 24 / 26

7 Alkalmazások Hatkozások A Gass koplára a páronként korrelácókra R j = sn ( πτ(x, X j )/2 ) ) Lényeges a álasztás a különböző kopla-típsok között (pl. a farok-összefüggőség segítségéel, llete elmélet meggondolások alapján). Tapasztalat tény, hogy pl. a pénzügy portfólóknál gyakran mnden egyes elem extrém értékű (tőzsdekrach) - azaz tt árhatóan fellép a farok-összefüggőség. A különböző modellekből nagyon nagy különbségek adódhatnak a alószínűségbecslésre. Efron, B. and Tbshran, R.J.: An Introdcton to the Bootstrap (1993) Lahr, S.N.: Resamplng methods for dependent data (Sprnger, 2003) Bckel, P.J. and Sako, A.: On the Choce of m n the m Ot of n Bootstrap and ts Applcaton to Confdence Bonds for Extrema (2008) Polts, D. N. and Whte, H.: Atomatc Block-Length Selecton for the Dependent Bootstrap (2004) Nelsen, R.B. (2006) An Introdcton to Coplas. 2nd ed. John Wley & Sons. Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 25 / 26 Zemplén András (ELTE) 7. előadás, áprls 5. Árngadozások előadás 26 / 26