NEMPARAMÉTERES PRÓBÁK

Átírás

1 NEMPARAMÉTERES PRÓBÁK A nemparaméteres próbák nem tételezk föl a normáls eloszlást. A leggyakrabban használt próbák (pl. a t-próbák, ANOVA) feltételezk a normáls eloszlást. Sokszor ez nem teljesül. Következmény: az első ll. másodfajú hba-valószínűsége eltér a deklarálttól (Pl. azt hsszük, hogy p=0.01, tehát szgnfkáns a különbség, pedg helyesen számolva p=0. lenne, tehát nem szgnfkáns a különbség.) BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 1

2 Mkor nem várható a normáls eloszlás? Sokszor az adatok természete már nylvánvalóvá tesz: a selejtarány bnomáls eloszlású a rtkán előforduló eset (pl. hbák száma) Posson-eloszlású őrlésnél a szemcseméret lognormáls eloszlású bzonyos adatok csak sorrend skálán értelmezhetők (pl. Lkert-skála) Máskor csak az eloszlás vzsgálatával derül k : hsztogram normaltásvzsgálat (grafkusan: Normal Probablty Plot, statsztka próbával: pl. Shapro-Wlk test) BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1

3 Nemparaméteres jegyzet 1. fejezet Mről lesz szó ebben a negyedévben? 1. rangokon alapuló próbák kétmntás t-próba Wlcoxon-Mann-Whtney egymntás t-próba Wlcoxon sgned rank páros t-próba Wlcoxon sgned rank egy faktor szernt ANOVA Kruskal-Walls véletlen blokk Fredman + rang-korrelácó. Medánok vzsgálata egy vagy két párosított mnta előjel-próba két vagy több független mnta Mood-féle medán próba BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 3

4 Mről lesz szó ebben a negyedévben? (folytatás) Nemparaméteres jegyzet. fejezet 3. bnomáls eloszláson alapuló próbák egymntás bnomáls próba kétmntás bnomáls próba két arány összehasonlítására kontngenca-táblázatok: homogentásvzsgálat bnomáls eloszláson alapuló páros próbák függetlenségvzsgálat vagy McNemar próba Fsher egzakt próbája BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 4

5 Mről lesz szó ebben a negyedévben? (folytatás) Nemparaméteres jegyzet 3., 4. fejezet 4. Illeszkedésvzsgálat Posson-eloszlásra multnomáls eloszlásra kontngenca-táblázatokra 5. Logt regresszó (a függő változó névleges vagy sorrend skálán mért) 6. Túlélés vzsgálatok BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 5

6 Néhány fgyelmeztető megjegyzés: ha az adatok ténylegesen normáls eloszlásúak, a nemparaméteres próbák statsztka ereje ksebb (könnyebben elfogadják a nullhpotézst, amkor az nem gaz) ha lehet (azaz a normáls eloszlású adatokra) a paraméteres próbákat célszerű alkalmazn a nemparaméteres próbák ugyan nem feltételezk a normáls eloszlást, de más, elég szgorú feltételeket támasztanak! (pl. függetlenség, a két összehasonlítandó mnta azonos alakú eloszlásból származzék) ha ezek nem teljesülnek, a nem-paraméteres próbák ugyanúgy hams eredményt adnak, mnt a paraméteresek BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 6

7 Néhány fgyelmeztető megjegyzés (folytatás): ha a próba eredménye szgnfkáns (a nullhpotézst elutasítjuk), az s lehetséges, hogy a nullhpotézs (pl. két sokaság medánjanak várható értékek megegyezk) gaz, csak a próba feltételezése nem teljesülnek BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 7

8 1. példa Két független mnta összehasonlítása: Wlcoxon-Mann-Whtney próba a kétmntás t-próba nemparaméteres megfelelője (Conover, W.J.: Practcal nonparametrc statstcs, J. Wley, 3rd ed. 1999, p. 101 nyomán) Felmérést végeztek általános skolás gyerekek körében, hogy azok a gyerekek, akk óvodába jártak, eredményesebbek-e az skolában. 1 gyerek eredményet vzsgálták, közülük 4 volt óvodás. átlag járt-e RANGOK VIZSGÁLATA Függő változó sorrend skála! gen gen gen gen nem nem nem nem nem nem nem nem BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 8

9 Rangok (rangszámok) Sorba rendezzük a gyerekeket az átlageredmények szernt: 1. a legmagasabb, 1. a legalacsonyabb. Majd a sorrendben elfoglalt helyük alapján mnden egyes mntaelemnek adunk egy rangszámot. átlag rang járt-e nem gen nem nem gen gen nem nem gen nem nem nem Rang(szám): az adat sorszáma a nagyság szernt sorbarendezett mntában BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 9

10 Nullhpotézs - egyoldal ellenhpotézs H 0 : a 4 óvodát járt nem teljesít jobban, rangszámuk véletlen mnta az 1-1 közül H 1 : a 4 óvodát járt jobban teljesít, rangszámak alacsonyabbak Próbastatsztka: az óvodát jártak W rang-összege W mn = 10 (1,, 3, 4) W max = 4 (9, 10, 11, 1) W aktuáls = (, 5, 6, 9) BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 10

11 Ksmntás eljárás - flózófa Állíthatjuk-e bztonsággal, hogy az óvodások jobban teljesítenek (a valóságban ksebbek a rangszámak) és nem véletlen okozta a mntában tapasztalt sorrendet? Precíz módszer, de (még ks mntánál s) sok számolást gényel lehetséges konfgurácók száma Ha a rangszámokat véletlenszerűen osztanánk k, mndegyk konfgurácó előfordulás valószínűsége: BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 11

12 Ksmntás eljárás számítás (egyoldal) W P (W=H0) P (W H0) 1,,3,4 10 1/495 1/495=0.00 1,,3,5 11 1/495 /495= ,,3,6 1 /495 4/495= ,,4,5 1,,3,7 13 3/495 7/495= ,,4,6 1,3,4,5 1,,3,8 14 5/495 1/495=0.04 1,,4,7 1,,5,6,3,4,5 1,3,4,6 1,,3,9 15 6/495 18/495= ,,4,8 1,,5,7 1,3,5,6 1,3,4,7,3,4, H P W 16 H P W Aktuálsan az óvodát jártak rangszáma:, 5, 6, 9 W= Döntés: H 0 -t elfogadjuk, az óvodások nem jobbak BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 1

13 Nullhpotézs - kétoldal ellenhpotézs H 0 : az óvodát jártak és nem jártak egyformán teljesítenek rangszámok véletlenszerűen osztódnak k H 1 : az óvodát jártak és nem jártak különbözően teljesítenek (akár jobban, akár rosszabbul) Mndkét oldalra (ks és nagy rangszám összeg) megnézzük 0.05 határral. BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 13

14 Ksmntás eljárás számítás (kétoldal) W P (W= ) P (W ) 1,11,10,9 4 1/495 1/495=0.00 1,11,10,8 41 1/495 /495= ,11,10,7 40 /495 4/495= ,11,9,8 1,11,10,6 39 3/495 7/495= ,11,9,7 1,10,9,8 1,11,10,5 38 5/495 1/495=0.04 1,11,9,6 1,11,8,7 1,10,9,7 11,10,9,8 1,11,10,4 37 6/495 18/495= ,11,9,5 1,11,8,6 1,10,9,6 1,10,8,7 11,10,9,7 H 0 -t elfogadjuk, ha 14 < W < 38 BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 14

15 Közelítés normáls eloszlással (nagymntás eljárás) z W E( W ) Var( W ) n1 ( n1 n E( W H0) 1) 4(4 8 1) E( W H0) 6 Var n ( n n 1 1) n 1 1 ( W H0) 4(4 8 1) 8 Var( W H0) n1 N 1 W 6 z 0 z n1n N BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 15

16 Nagymntás eljárás (folytatás): z 6 0 p P H 0 - H 1 hpotézspárra (egyoldal): z H 0 - H 1 hpotézspárra (kétoldal): z * p 1 P Döntés mndkét esetben: H 0 -t elfogadjuk Mann-Whtney U Test (Ovoda n Workbook1) By varable jarte Marked tests are sgnfcant at p <,05000 Rank Sum Rank Sum U Z p-value varable n rang, , , , , BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 16

17 Nagymntás eljárás alkalmazhatóság feltétele: 1 N 1 p N N 1 Az aktuáls példában: N= p BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 17

18 Folytonosság korrekcó (Contnuty correcton) x=b=7 P(x = 7) helyett P(6.5 < x 7.5) P(x < 7) helyett P(x = 6.5) P(x 7) helyett P(x = 7.5) x < b x b BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 18

19 Folytonosság korrekcó alkalmazása az 1. példára egyoldal p P z z z p = P(z ) = emlék: korrekcó nélkül p P z A folytonosság korrekcó konzervatívabbá tesz a becslést! kétoldal p = 0.766* = Mann-Whtney U Test (w/ contnuty correcton) (Ovoda n Ovoda) By varable jarte Marked tests are sgnfcant at p <,05000 Rank Sum Rank Sum U Z p-value varable n rang, , , , ,5515 BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 19

20 . példa Kapcsolt rangok (tes) (J. Krauth: Dstrbuton-free statstcs, An applcaton-orented approach, Elsever, 1988, p. 50) Pszchátra betegeket lítum-készítménnyel való kezelésének hatásosságát vzsgálták. A függő változó a pácensek önértékelése a depresszós skálán (VAS: Vsual Analogue Score, nagy érték súlyosabb depresszót jelent). Kapcsolt rang: azonos értékek esetén a mndegyk érték a rájuk jutó rangok átlagát kapja kezelt kontroll VAS rang VAS rang BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 0

21 Ksmntás eljárás Adatok sorba rendezése és rangok kosztása: csoport T T C T C C VAS rang H 0 : a kezeltek eredménye nem jobbak a nem kezeltekénél (a rangszám csak a véletlentől függ) H 1 : a kezeltek eredménye jobbak (alacsonyabb rangszámok) A lehetséges konfgurácók száma: 6 3 Ha a rangszámokat véletlenszerűen osztanánk k, mndegyk konfgurácó előfordulás valószínűsége: = 0.05 BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 1

22 Ksmntás eljárás (folytatás): W 1 1 (T) 1 (T) 1 (T) (C) (C) (C) p mntabel eset mntabel vagy ugyanolyan vagy jobb (a véletlen műveként): 3 0 α = 0.05 Döntés? 0.15 BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1

23 Nagymntás eljárás: z W E( W ) Var( W ) E WหH 0 = n 1 n 1 + n + 1 = 3 7 = 10.5 Kapcsolt rangok esetén módosított képlet a varancára: Var WหH 0 = n 1n N s R = = തR = N+1 =3.5 s R = σ k=1 N R k N തR N 1 = = 3.4 z 0 = = 1.38 z krt = 1.64 Döntés? α = 0.05 BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 3

24 Statstcs > Nonparametrcs > Comparng two ndependent samples (groupes) > Mann-Whtney U test Mann-Whtney U Test (Ltum n Workbook) By varable treate Marked tests are sgnfcant at p <,05000 Rank Sum Rank Sum U Z p-value Z p-value Vald N Vald N *1sded varable T C adjusted T C exact p Rang 7, , , , , ,384 0, ,00000 eredet képlettel számolva Var WหH 0 = n 1 n 1 + n n z 0 = = = = 5.5 adjusted = adjusted for tes azaz kapcsolt rangokkal számolt BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 4

25 Csak a rangok számítanak, az adatok közt távolságok nem! treate VAS 3 rang0 4 Vasm1 5 rang1 6 Vasm 7 rang 8 Vasm3 9 rang3 T T T C C C varable VAS vasm1 vasm vasm3 Mann-Whtney U Test (ltum) By varable treate Marked tests are sgnfcant at p < Rank Sum Rank Sum U Z p-level Z p-level Vald N Vald N *1sded T C adjusted T C exact p BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 5

26 3. példa R. Hoerl, R. Snee: Statstcal thnkng, Duxbury, 00 nyomán Vevő elégedettség összehasonlítása szállodában kérdőív alapján Hotel Hotel rang =17 fő sorszám kapcsolt rang: = 3 legrosszabb mnősítést adtak: 11+3=14 fő 1 14 sorszám kapcsolt rang: = 7.5 BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 6

27 score 3 number Hotel 5 30 Hotel Hotel Hotel1 13 Hotel Hotel Hotel 4 7 Hotel 3 1 Hotel 4 Hotel 1 3 Hotel Mann-Whtney U Test (Hotel n Workbook4) By varable Hotel Marked tests are sgnfcant at p <,05000 Weght varable: number Rank Sum Rank Sum U Z p-value Z p-value Vald N Vald N varable Hotel1 Hotel adjusted Hotel1 Hotel score 19905,50 544, ,500-3,5534 0, , , BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 7

28 Wlcoxon-Mann-Whtney próba feltétele 1. A két mnta véletlen mnta a két sokaságból. A két mnta független 3. Legalább sorrend skálán mért változókról van szó 4. A két mnta mögött álló két sokaság eloszlása azonos alakú, vagys amennyben a két eloszlásfüggvény különböző, a különbség helyzet BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 8

29 A 4. feltételhez értelmezéséhez : H 0 : F G Px y Px y H 1 : F G Px y Px y azaz x többnyre ksebb y-nál F() x G() y x y Custom Text BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 9

30 A hpotézsek természete: Erre tudunk válaszoln H 0 : F G Ezt szeretnénk vszont tudn : E x Ey H 1 : F G H 0 H 1 : E x E y csak akkor ha: a két mnta mögött álló két sokaság eloszlása azonos alakú, vagys amennyben a két eloszlásfüggvény különböző, a különbség helyzet BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 30

31 Ellenpélda: nem azonos alakú eloszlások, bár a várható értékük megegyezk x~χ ν= x y y~6 χ ν= E x Ey P de x y Px y Elutasítjuk H 0 -t, de nem azt, am érdekel mnket! BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 31

32 Összehasonlítás egy előírt értékkel: Wlcoxon előjeles rang próbája (sgned rank test) 4. Példa az egymntás t próba megfelelője QS-9000, Measurement systems analyss, Reference manual, 3 rd ed. 00, p. 87) Egy munka-etalon méretét nagyon pontos eszközzel meghatározták (x ref =6.00), majd ezt a munka-etalont 15-ször megmérték a mnősítendő mérőeszközzel. Vzsgáljuk meg, hogy torzít-e a mérőrendszer! H 0 : e 0 μ 0 = x ref = 6.0 (standard) azaz a medán várható értéke egy meghatározott érték BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 3

33 Számolás elve: d x R R 0 kszámítjuk referencához képest különbségeket rangsoroljuk a nem-nulla különbségek abszolút értéket előjeles rangot képzünk Próbastatsztka nagy mntára: W E( W ) z Var( W ) W R z 0 R R Próbastatsztka ks mntára W d 1 R 0 BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 33

34 Nagymntás eljárás előjeles rangszám x d x xref R ha x x 0 ref R R z 0 = R R BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 34 z = 0.135

35 Statstcs > Nonparametrcs > Comparng two dependent samples (varables) > Wlcoxon matched pars test Sheet1 1 x ref 5,8 6 5,7 6 5,9 6 5, , ,1 6 6,4 6 6, ,1 6 6, 6 5, Ksmntás eljárással számol W = W = εd <0 εd >0 R = 31.5 R = 34.5 közül a ksebb Wlcoxon Matched Pars Test (gagebas n Workbook1) Marked tests are sgnfcant at p <,05000 Vald T Z p-value Par of Varables N x & ref 11 31, , , BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 35

36 Párokon belül összehasonlítás: Wlcoxon előjeles rang próbája (sgned rank test) 5. példa a páros t próba megfelelője G. E. P. Box, W. G. Hunter, J. S. Hunter: Statstcs for expermenters, J. Wley, 1978, p. 97 Cpőtalp anyagának kopásállóságát vzsgálták. 10 fút választottak k véletlenszerűen, majd mndegyküknél ksorsolták, hogy melyk lábukon melyk cpőtalp-anyagból készült cpőt vseljék. Van-e különbség a cpőtalpak átlagos kopásában? BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 36

37 boy materal A materal B B A dfference d R R előjeles rang (L) 14.0(R) (L) 8.8(R) (R) 11.(L) (L) 14.(R) (R) 11.8(L) (L) 6.4(R) (L) 9.8(R) (L) 11.3(R) (R) 9.3(L) (L) 13.6(R) Nagymntás eljárás: R 49 z average dfference R 38.5 BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 37 A különbségek abszolút értékenek rangszáma!

38 Ksmntás eljárás: W = εd <0 Wlcoxon előjeles rang próba (nemparaméteres módszer) Wlcoxon Matched Pars Test (fucpo n Workbook) Marked tests are sgnfcant at p <,05000 Vald T Z p-value Par of Varables N TALPA & TALPB 10 3,000000, ,01516 R = 3 Páros t-próba (feltételez a különbségek normáls eloszlását) Varable TALPA TALPB T-test for Dependent Samples (fucpo n Workbook) Marked dfferences are sgnfcant at p <,05000 Mean Std.Dv. N Dff. Std.Dv. t df p Dff. 10,63000, ,04000, , , , , BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 38

39 Wlcoxon előjeles rang próba alkalmazás feltétele 1. Legalább ntervallum skálán mérhető adatok. Szmmetrkus eloszlás Megjegyzés: Ha párosított mntákra használjuk, akkor a különbségekre kell a fent feltételeknek teljesüln. BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 39

40 6. példa Több független csoport összehasonlítása: Kruskal-Walls próba az egy faktor szernt ANOVA megfelelője, a Wlcoxon-Mann-Whtney próba általánosítása Háromféle gyógyszerrel (A, B és C) kezelt csoport vzeletében található blrubn mennységét kell összehasonlítanunk. Negatív 0 Kcs s Mérsékelt m Nagy l Gyógyszer A B C 0 s 0 Blrubn 0 0 m mennysége s m s 0 s m s 0 s BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 40

41 Kruskal-Walls próba Nullhpotézs: a mnták (csoportok) mögött álló sokaságok eloszlása azonos A nullhpotézsnek tehát ellentmond, ha különbözk: - akár az eloszlások várható értéke (medánja), - akár varancája, - vagy egyéb alakparamétere (ferdeség, lapultság). Számítás elve: Az összehasonlításhoz a rangokat használja. A rangokat az összes mntát egyesítve számolja k. A próbastatsztka (H) a mntánként rangszámösszegekből (R ) számítódk. BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 41

42 R A ranga B rangb C rangc s m 14 s 9.5 m 14 s s 9.5 m 14 s s 9.5 összeg Próbastatsztka: 1 H = N(N + 1) r R =1 p 3 N + 1 = =,05 kapcsolt rangok esetén: H corr = H 1 σ t 3 t N 3 N = eloszlású, r 1 szabadság fokkal =.537 BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 4

43 Statstcs > Nonparametrcs > Comparng multple ndependent samples (groups) > Summary: Kruskal-Walls ANOVA & Medan test Depend.: y A B C Kruskal-Walls ANOVA by Ranks; y (blrubn) Independent (groupng) varable: Gyógyszer Kruskal-Walls test: H (, N= 15) =, p =,807 Code Vald Sum of Mean N Ranks Rank , , , , , ,10000 Döntés? BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 43

44 Kruskal-Walls próba alkalmazás feltétele 1. A mnták véletlen mnták a megfelelő sokaságból.. A mnták függetlenek. 3. A függő változó legalább sorrend skálán mérhető. 4. A mnták (az egyes faktorszntekhez tartozó csoportok) azonos alakú sokaságokból származnak. BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 44

45 7. példa Véletlen blokk elrendezés: Fredman ANOVA G. E. P. Box, W. G. Hunter, J. S. Hunter: Statstcs for expermenters, J. Wley, 1978, p. 09 Penclln gyártása: 4 technológát akarnak összehasonlítan, a kukorcalekvár-adagok különböznek. technológa kuk. lekvár y j y y 86 blokk BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 45

46 Fredman ANOVA Számítás elve: Az összehasonlításhoz a rangokat használja. A rangokat blokkonként (tt: kukorcalekvár) osztja k, majd a rangokat a faktorszntenként (tt technológa) összegz. A próbastatsztka (képletet nem tanuljuk) a rangszámösszegekből számítódk. Nullhpotézs: a blokkon belül (tt: egy adott kukorcalekvár) a rangszámok kosztása véletlen, azaz a rögzített faktornak nncs hatása Ellenhpotézs: legalább egy faktorsznten (tt: technológa) nagyobb értékek várhatók, mnt egy másk faktorsznten BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 46

47 Statstcs > Nonparametrcs > Comparng multple dependent samples (varables) > Summary: Fredman ANOVA Varable technológa_1 technológa_ technológa_3 technológa_4 Fredman ANOVA and Kendall Coeff. of Concordance (PENICILL n Penclln_Fredman) ANOVA Ch Sqr. (N = 5, df = 3) = 3, p =,309 Coeff. of Concordance =,365 Aver. rank r =,0408 Average Sum of Mean Std.Dev. Rank Ranks 1, , , ,13106, , , , , , , ,84903, , , , kukorcalekvár. kukorcalekvár 3. kukorcalekvár 4. kukorcalekvár 5. kukorcalekvár 1 technológa_ 1 technológa _ 3 technológa _3 4 technológa _ szumma: 9 rangszámok BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 47

48 Fredman ANOVA alkalmazás feltétele 1. A mérés eredmények blokkokon belül és blokkok között s függetlenek.. A függő változó legalább sorrend skálán mérhető. BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 48

49 Előjel-próba (sgn test): egy mntára vagy párokon belül összehasonlításra 5. példa adata MEDIÁNOK VIZSGÁLATA Cpőtalp anyagának kopásállóságát vzsgálták. 10 fú, akk egyk lábukon A cpőtalp-anyagból készült cpőt, másk lábukon pedg B cpőtalp-anyagból készült cpőt vseltek. Van-e különbség a cpőtalpak átlagos kopásában? Nullhpotézs: a különbség medánja nulla Máshogy fogalmazva: ugyanolyan valószínűséggel kapunk a különbségre poztív ll. negatív értéket BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 49

50 H 0 : p + = 0.5 Bnomáls eloszlás: boy materal A materal B A-B előjel 1 13.(L) 14.0(R) (L) 8.8(R) (R) 11.(L) (L) 14.(R) (R) 11.8(L) (L) 6.4(R) (L) 9.8(R) (L) 11.3(R) (R) 9.3(L) (L) 13.6(R) Mntában: + előjel: db - előjel: 8 db Véletlen műveként: P k = หH 0 = = P k หH 0 = = = BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 50

51 Páros t-próba, Wlcoxon-féle előjeles rang-próba és az előjel próba összehasonlítása a fúcpő példára (38. és 50. da alapján) próba p (kétoldal esetre) előjel-próba Wlcoxon-próba páros t-próba Melyk próba erősebb? M lehet az oka? (Segítség: mlyen nformácót vesz fgyelembe a módszer?) BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 51

52 próba p (kétoldal esetre) előjel-próba Wlcoxon-próba páros t-próba wear boys materal A materal B BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 5

53 Előjel-próba bnomáls eloszlás közelítése normáls eloszlással (fúcpő példán) z = ξ E ξ ) Var(ξ ahol ξ normáls eloszlású valószínűség változó Most: ξ = k 0 a mntában talált selejtes darabok száma z F p Sgn Test (fucpo n Fucpo) Marked tests are sgnfcant at p <,05000 No. of Percent Z p-value Par of Varables Non-tes v < V BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 53 TALPA & TALPB 10 80, , ,113846

54 Előjel-próba 8. példa: Arbuthnot (1710) a legelső lyen jellegű próba ( Argument for Dvne Provdence ) 8 év születés adatat (London) vzsgálva azt találta, hogy mnd a 8 évben több fú született, mnt lány. Hhető-e ennek ellenére, hogy ugyanolyan valószínűséggel születk fú, mnt lány? H 0 : p fú =0.5 P k 8 p p 8 BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 54

55 Mood-féle medán-próba: több független csoport összehasonlítása 6. példa adata az egy faktor szernt ANOVA megfelelője Háromféle gyógyszerrel (A, B és C) kezelt csoport vzeletében található blrubn mennységét kell összehasonlítanunk. Negatív 0 Kcs s Mérsékelt m Nagy l medán: s Gyógyszer A B C 0 s 0 Blrubn 0 0 m mennysége s m s 0 s m s 0 s Nullhpotézs: a csoportok medánja mnd megegyeznek BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 55

56 Számítás elve: Ha a három faktorsznt között nem lenne különbség (a faktornak nem lenne hatása) számított érték : a 15 adatból összesen 1-szer fordul elő a medánnal egyenlő vagy annál ksebb érték (azaz 0 vagy s ), egyenlően szétosztva 4 jut egy csoportra Gyógyszer A B C 0 s 0 Blrubn 0 0 m mennysége s m s 0 s m s 0 s medán: s BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 56

57 Számítás elve: 0 1 j1 r c n j n n ν = (r 1) (c 1) Példában: χ 0 = =.5 j j n j n j mért (mntabel) érték számított érték r faktorszntek száma c = (medán alatt és felett) ν = 1 = BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 57

58 Statstcs > Nonparametrcs > Comparng multple ndependent samples (groups) > Summary: Kruskal-Walls ANOVA & Medan test Medan Test, Overall Medan = 1,00000; y (blrubn) Independent (groupng) varable: Gyógyszer Dependent: Ch-Square =, df = p =,865 y A B C Total <= Medan: observed expected obs.-exp. > Medan: observed expected obs.-exp. Total: observed 5, , , , , , , , , , , ,000000, , , , , , , , , , , ,00000 BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 58

59 Medán próbák alkalmazás feltétele 1. A mnták véletlen mnták a megfelelő sokaságból.. A mnták függetlenek. 3. A függő változó legalább sorrend skálán mérhető. Legenyhébb alkalmazhatóság feltételek Leggyengébb próbák BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 59

60 Rang-korrelácó Emlékeztetőül a közönséges korrelácó : x és y (kétváltozós mnta, két valószínűség változó) legalább ntervallum-skálán mérhető adatok lneárs kapcsolat szorosságát mér értéke -1 és 1 közé esk ha a két változó független, r=0; de fordítva nem gaz Pearson-féle korrelácós együttható: r y yx x y y x x BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 60

61 x R x R y R y R x R x R y R y R legalább sorrend skálán mérhető adatok Rang-korrelácó N x R N y R N x R N y R x x y y x x y y r BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 61 Spearman-féle rang-korrelácós együttható (Pearson rangokra)

62 Rang-korrelácó 9. példa S. Segel: Nonparametrc statstcs for the behavoral scences, McGraw-Hll, 1956, p. 04 A vzsgált személyek autortárus hajlamát és a társadalm belleszkedésre való törekvésük mértékét pontozták. A kérdés az, hogy van-e a két jellemző között összefüggés. BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 6

63 Statstcs > Nonparametrcs > Correlatons (Spearman, Kendall tau ) Correlaton between autortaransm and socal status strvng 1 AUTHORIT STRIVING Vald Par of Varables N Spearman Rank Order Correlatons (Strvng) MD parwse deleted Marked correlatons are sgnfcant at p < Spearman t(n-) p-value R AUTHORIT & STRIVING Spearman Rank Order Correlatons (Strvng n Workbook1) MD parwse deleted Marked correlatons are sgnfcant at p <,05000 Varable AUTHORIT STRIVING AUTHORIT 1, ,81818 BIOMETRIA_NEMPARAMÉTERES_1 63 STRIVING 0, ,000000