Gyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Lineáris regresszió, ismétlés nélküli mérések

Átírás

1 Gakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgból Lneárs regresszó, smétlés nélkül mérések 1. példa Az alább táblázat eg kalbrácós egenes felvételekor mért adatokat tartalmazza: x (a) Adjon becslést a kalbrácós egenes paraméterere! (b) Vzsgálja meg 5%-os szgnfkancasznten, hog az gaz egenes átmeg-e az orgón? (c) Adjon 90%-os konfdenca-ntervallumot az egenes meredekségére! (d) Kmondhatjuk-e 90% valószínűséggel, hog az gaz egenes az x=4 helen Y=4 fölött halad? (e) Mlen ntervallumban lenne eg új mérés eredméne az x=4 helen 90% valószínűséggel? Megoldás (a) a = α = 4.08; b = β = 1.07; a = α = 0.08 Yˆ x (b) Statsztka próbával megoldva: H 0 : Y x=0 = 0 H 1 : Y x=0 0 s = s r = ( Y ) = ; s n Y (x=0) = s [ 1 + (x x ) n (x x ) ] = t 0 = Y x=0 = 0.08 = 0.706; t s Y (x=0) krt = t 0.05 () = Elfogadás tartomán: < t 0 < %-os szgnfkancasznten elfogadjuk, hog az gaz egenes átmeg az orgón. Konfdenca-ntervallummal megoldva: Kérdésünk ekkor az, hog az x = 0 helen az gaz egenes mlen értéket vesz fel 95%-os valószínűséggel. P(Ŷ x=0 t α/ s Y (x=0) < Y x=0 < Ŷ x=0 +t α/ s Y (x=0)) = 0.95 P( < Y x=0 < 1.059) = 0.95 az ntervallum tartalmazza a 0-t, tehát 5%-os szgnfkancasznten elfogadjuk, hog az gaz egenes átmeg az orgón. 1

2 (c) P(β tα/ s b < β < β +tα/ s b ) = 0.90 s b = s (x x ) ; s b=0.0685; t krt = t 0.05 () =.9 P(0.87 < β < 1.7) = 0.90 (d) Ŷ x=4 = 4.08 Statsztka próbával megoldva: H 0: Yx=4 4 H 1: Y x=4 >4 t 0 = Y x=4 (Y x=4 H 0 ) s Y (x=4) Elfogadás tartomán: = = t krt = t 0.1 () = 1.86 (egoldal!) -, t krt H0-t elfogadjuk. Az adatok nem bzonítják 10 %-os szgnfkancasznten, hog az gaz egenes az x=4 helen Y=4 fölött halad (de nem s mondanak ellent ennek). Konfdenca-ntervallummal megoldva: P(Ŷ x=4 t α s Y (x=4) < Y x=4 ) = P( < Y x=4 ) = = P(3.88 < Y x=4 ) = alatt értékek s beleesnek az ntervallumba, tehát az s elképzelhető, hog x=4 helen Y=4 alatt halad az egenes. Azaz nem lehetünk bztosak benne 10%-os szgnfkancasznten, hog az gaz egenes az x=4 helen Y=4 fölött halad. (e) Jóslás ntervallum kell. P(Ŷ x=4 t α/ s (x=4) < x=4 < Ŷ x=4 +t α/ s (x=4)) = 0.9 s (x=4) = s r [1 + 1 n + (x x ) (x x ) ] = ; s (x=4) = 0.4 P(3.373 < x=4 < 4.787) = 0.9. példa Eg kalbrácó során mért adatokat (és az azokból számolt mennségeket) tartalmazza az alább táblázat. x jelöl a koncentrácót, az analtka jelet. x (x-x_átlag) (x-x_átlag) _becsült (-_becsült) szumma (a) Adja meg a becsült egenes egenletét! (b) Adjon 95%-os konfdenca-ntervallumot a meredekségre!

3 (c) Hhető-e az az állítás 1%-os szgnfkancasznten, hog az gaz egenes meredeksége 1100? (d) Adjon 95%-os konfdenca-ntervallumot az egenes tengelmetszetére! (e) Hhető-e az az állítás 1%-os szgnfkancasznten, hog az gaz egenes átmeg az orgón? (f) Adjon 90%-os konfdenca-ntervallumot az analtka jel várható értékére x=0.3-nál! (g) Alátámasztják-e az adatok azt az állítást 5%-os szgnfkancasznten, hog az gaz egenes x=0.3-nál Y=3830 alatt halad? (h) Mlen ntervallumban várható eg új mérés eredméne x=0.3-nál 90%-os valószínűséggel? () Eg új mérés során x=0.3-nál 390-at mértek. A mért érték eg analtkus szernt túlzottan különbözk attól, amt a becsült kalbrácós egenes alapján várnánk, ematt azt ganítja, hog elállítódott a készülék. Vzsgálja a kérdést statsztka módszerrel, legen a szgnfkancasznt 0.1! (j) Az alább táblázat a fent adatsorra a STATISTICA szoftverrel végzett lneárs regresszó eredménet tartalmazza. Válaszolja meg az (a), (b) és (c) kérdéseket az tt közölt eredmének alapján! (A numerkus eltérések a kerekítésnek köszönhetőek.) Effect Intercept x Parameter Estmates (Spreadsheet14) Sgma-restrcted parameterzaton -95,00% +95,00% Param. Std.Err t p Cnf.Lmt Cnf.Lmt 10,8 9, ,4791 0, ,94 17, ,8889, ,4140, ,301566,47 Megoldás: (a) A táblázat a hánzó cellákkal (sárga színnel kemelve): x (x-x_átlag) (x-x_átlag) _becsült (-_becsült) szumma x =.373 = a n 9 x x b x x Y = (x ) = x 3

4 (b) s r ˆ Y 8414 s 10 n 7 t α/ = t 0.05 (7) =.365 P(β tα/ s b < β < β +tα/ s b ) = s b s x x = P( < β < ) = 0.95 P( < β < ) = 0.95 (c) H : 1100 H : t 0 = b 1100 = =.831 t s b α/ = t (7) = <.831 < tehát 1%-os szgnfkancasznten az adatok nem mondanak ellent annak az állításnak, hog a meredekség (d) s α = s Y (x=0) = s [ 1 + (x x ) n (x x ) ] = 10 [1 + ( ) ] = t α/ = t 0.05 (7) =.365 P(3.67 < α < 17.47) = 0.95 (e) H 0 : Y x=0 = 0 H 1 : Y x=0 0 t 0 = Y x=0 s Y (x=0) = = 3.470; t α/ = t (7) = Mvel a a (-3.499,3.499) ntervallumon még éppen belül van 1%-os szgnfkancasznten elfogadjuk azt a feltételezést, hog az egenes keresztülmeg az orgón. (f) Y x=0.3 = = s Y (x=3) = s [ 1 n t α/ = t 0.05 (7) = (x x ) (x x ) ] = 10 [1 9 P( < Y x=0.3 < ) = 0.90 ( ) + ] = H : Y 3830 H1 : Yx (g) 0 x 0.3 t 0 = Y x=3 Y x=3 H 0 s Y (x=3) Az elfogadás tartomán: = = 1.83; t 0.05 (7) , azaz elfogadjuk a nullhpotézst. Az adatok 5 %- os szgnfkancasznten nem bzonítják, hog az egenes x=0.3-nál 3830 alatt halad. 4

5 (h) Jóslás ntervallummal kell számoln. s Y = s [1 + 1 n P( < x=3 < 3878.) = (x x ) (x x ) ] = 10 [ ( ) + ] = () Mvel a 90%-os jóslás ntervallum eg új mérés értékére (ld. (h) alkérdés) nem tartalmazza a mért 390-as értéket, jogos a ganú 10%-os szgnfkancasznten. (Természetesen a kérdés statsztka próbával s vzsgálható. H 0 : E x=0.3 = Y x=0.3 ; t 0 = Y x=3 = = 3.04; t s Y (x=3) (7) Elutasítjuk a nullhpotézst.) (j) Effect Intercept x Parameter Estmates (Spreadsheet14) Sgma-restrcted parameterzaton -95,00% +95,00% Param. Std.Err t p Cnf.Lmt Cnf.Lmt 10,8 9, ,4791 0, ,94 17, ,8889, ,4140, ,301566,47 A STATISTICA szoftverrel kapott eredméntáblázat első oszlopának ( Param.) Intercept sorában az egenes tengelmetszetének, X sorában pedg a meredekségének becsült értékét láthatjuk. Ez alapján a becsült egenes egenlete: Y = x (A számolt és a szoftverrel kapott értékek közt numerkus eltérések a kerekítésnek köszönhetőek.) Az eredméntáblázat ötödk és hatodk oszlopának (-/+95,00% Cnf.Lmt) X sora mutatja a meredekség 95%-os konfdenca-ntervallumát: P( < β < ) = 0.95 A c) kérdésbel hpotézsvzsgálathoz számítandó próbastatsztka: t 0 = b 1100 Ehhez b értékét már tudjuk ( Param. oszlop X sora), míg sb értékét a másodk oszlop ( Std.Err) X sora mutatja. Eszernt: t 0 = =.84 t α/ = t (7) = Mvel <.84 < 3.499, 1%-os szgnfkancasznten az adatok nem mondanak ellent annak az állításnak, hog a meredekség s b 5

6 3. példa Az alább táblázat eg kalbrácós egenes felvételekor mért adatokat tartalmazza: x Rendelkezésre állnak az alább értékek: x 6 x x x (a) Adja meg a becsült egenes egenletét! (b) Menn a rezduáls szórásnégzet értéke? (c) Elfogadná-e 5%-os szgnfkancasznten azt az állítást, hog az gaz egenes meredeksége? (d) Adjon 95%-os konfdenca-ntervallumot az gaz egenes tengelmetszetére! (e) Mlen ntervallumban van 90% valószínűséggel az analtka jel () várhatóértéke az x=5 helen? (f) Mlen ntervallumban lesz 90% valószínűséggel eg új mérés eredméne az x=5 helen? Megoldás: (a) Y = x (b) s r = (c) s b = t 0 = 1.64; t krt = t 0.05 (3) = %-os szgnfkancasznten elfogadjuk, hog az gaz egenes meredeksége. (d) Ŷ x=0 = 0.556; s Y (x=0) = 0.769; P( < Y x=0 <.3) = 0.95 (e) Ŷ x=5 = 9.6; s Y (x=5) = 0.081; P(8.95 < Y x=5 < 10.9) = 0.90 (f) s = 0.406; P(8.094 < x=5 < ) = példa Eg kalbrácós egenes felvételekor az alább adatokat kapták: x A fent adatsorra a STATISTICA szoftverrel elvégezték a lneárs regresszót, melnek eredménét az alább táblázat mutatja: Effect Parameter Estmates (Lnreg_gak_4 pelda) Sgma-restrcted parameterzaton Param. Std.Err t p -95,00% Cnf.Lmt +95,00% Cnf.Lmt Intercept -,061 0,6913 -,981 0,046-3,75-0,369 x 7,745 0,509 30,861 0,0000 7,131 8,359 6

7 Effect Unvarate Tests of Sgnfcance for (Lnreg_gak_4 pelda) Sgma-restrcted parameterzaton Effectve hpothess decomposton; Std. Error of Estmate:, SS Degr. of Freedom MS F p Intercept 8, ,7179 8,888 0,04595 x 934, , ,405 0, Error 5, ,9808 Felhasználva a táblázat adatat, válaszoljon az alább kérdésekre! (a) Adja meg a becsült egenes egenletét! (b) Adjon 90%-os konfdenca-ntervallumot az egenes meredekségére! (c) Elfogadható-e 5%-os szgnfkancasznten, hog a tengelmetszet értéke -1? (d) Mlen x értéknél lesz a legksebb az llesztett egenes bzontalansága? Mért? Menn lesz az értéke? (e) Eg új mérés eredméne x=1-nél 8-nak adódott. Lát-e ebben bárm rendelleneset? Véleménét számolással támassza alá, a szgnfkancasznt legen 5%. Megoldás: (a) Y = x (b) s b = 0.509; t α/ = t 0.05 (6) = P(7.58 < β < 8.3) = 0.90 (c) H 0 : Y x=0 = 1; H 1 : Y x=0 1; s α = s Y (x=0) = ; t 0 = 1.53; t α/ = t 0.05 (6) =.447 (d) x =.375 s Y (x=0) (e) Y x=1 = 5.684; = s [ 1 + (x x ) n (x x ) ] = [1 + 0] = s Y = 1.; t α/ = t 0.05 (6) =.447 P(.98 < x=1 < 8.39) = 0.95, azaz előfordulhat, hog x=1-nél -ra 8-t kapunk, mvel x=1-nél számolt 95%-os kétoldal jóslás ntervallum tartalmazza a 8-t. 7