Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév"

Átírás

1 Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125

2 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek a valószínűségelméletből Polygon, RÉNYI ALFRÉD Valószínűségszámítás Tankönyvkiadó, BOGNÁR JÁNOSNÉ, MOGYORÓDI JÓZSEF, PRÉKOPA ANDRÁS, RÉNYI ALFRÉD, SZÁSZ DOMOKOS Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Tankönyvkiadó, 1971; Typotex, BARCZY MÁTYÁS, PAP GYULA Valószínűségszámítás 2, Példatár és Feladatsor Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 2 / 125

3 1. Mértékelméleti előkészítés Halmazalgebra, σ-algebra Az Ω nemüres halmaz bizonyos részhalmazaiból álló H 2 Ω halmazrendszert halmazalgebrának nevezzük, ha (i) Ω H, (ii) zárt az unióképzésre, azaz tetszőleges A, B H esetén A B H, (iii) zárt a komplementerképzésre, azaz tetszőleges A H esetén A := Ω \ A H. Az A 2 Ω halmazalgebrát σ-algebrának nevezzük, ha (ii) következő erősebb változata teljesül: (ii ) zárt a megszámlálható unióképzésre, azaz tetszőleges A 1, A 2, A esetén A n A. n=1 Ekkor az (Ω, A) párt mérhetőségi térnek nevezzük. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 3 / 125

4 1. Mértékelméleti előkészítés Mérték Legyen Ω nemüres halmaz és H 2 Ω halmazalgebra. Azt mondjuk, hogy a µ : H [0, ] halmazfüggvény végesen additív, ha tetszőleges A, B H diszjunkt halmazok esetén µ(a B) = µ(a) + µ(b). (Ebből persze teljes indukcióval következik, hogy tetszőleges n N és tetszőleges A 1,..., A n H páronként diszjunkt halmazok esetén µ( n k=1 A k) = n k=1 µ(a k).) mérték, ha µ( ) = 0 és σ-additív, azaz ( ) µ A n = µ(a n ), n=1 n=1 ha A 1, A 2, H páronként diszjunktak és A n H. n=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 4 / 125

5 Mérték Legyen Ω nemüres halmaz, és H 2 Ω Azt mondjuk, hogy a µ : H [0, ] mérték véges, ha µ(ω) <. valószínűségi mérték, ha µ(ω) = 1. halmazalgebra. σ-véges, ha léteznek olyan Ω 1, Ω 2, H halmazok úgy, hogy Ω = k=1 Ω k, és µ(ω k ) <. Azt mondjuk, hogy a µ : H [, ] halmazfüggvény előjeles mérték, ha előáll µ = µ 1 µ 2 alakban, ahol µ 1, µ 2 mértékek, és legalább az egyik véges. Legyen Ω nemüres halmaz. Legyen minden n N esetén A n Ω. Ha A 1 A 2... és A := A n, akkor azt írjuk, hogy A n A. Ha A 1 A 2... és A := n=1 A n, akkor azt írjuk, hogy A n A. n=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 5 / 125

6 Mérték folytonossága Legyen Ω nemüres halmaz, és H 2 Ω halmazalgebra. Legyen P : H [0, ] olyan végesen additív halmazfüggvény, melyre P(Ω) = 1. Ekkor 1 P( ) = 0; 2 tetszőleges A H esetén 0 P(A) 1; 3 P monoton, azaz tetszőleges A, B H, A B esetén P(A) P(B), továbbá P(B \ A) = P(B) P(A); 4 tetszőleges A H esetén P(A) = 1 P(A); 5 a következő állítások ekvivalensek: 1 P σ-additív. 2 P alulról folytonos, azaz tetszőleges A 1, A 2, H, A n A és A H esetén lim P(A n ) = P(A). n 3 P felülről folytonos, azaz tetszőleges A 1, A 2, H, A n A és A H esetén lim P(A n ) = P(A). n 4 P felülről folytonos az üres halmazon, azaz tetszőleges A 1, A 2, H és A n esetén lim P(A n ) = 0. n Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 6 / 125

7 1. Mértékelméleti előkészítés Mérték additivitása, szubadditivitása Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér és P : A [0, 1] valószínűségi mérték. Ekkor 1 P végesen additív; 2 P ( σ-szubadditív, azaz tetszőleges A 1, A 2, A esetén ) P A n P(A n ). n=1 n=1 Carathéodory kiterjesztési tétele Legyen Ω nemüres halmaz, és H 2 Ω halmazalgebra. Legyen µ : H [0, ] σ-véges mérték. Ekkor létezik egy egyértelműen meghatározott ν : σ(h) [0, ] σ-véges mérték úgy, hogy tetszőleges A H esetén ν(a) = µ(a). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 7 / 125

8 1. Mértékelméleti előkészítés Nyilván σ-algebrák tetszőleges halmazának metszete σ-algebra. Halmazrendszer által generált σ-algebra Legyen Ω. Legyen Γ és minden γ Γ esetén A γ Ω. Az {A γ : γ Γ} halmazokat tartalmazó σ-algebrák metszetét az {A γ : γ Γ} halmazrendszer által generált σ-algebrának nevezzük. Jelölése: σ(a γ : γ Γ). (Tulajdonképpen σ(a γ : γ Γ) az a legszűkebb σ-algebra, mely tartalmazza az {A γ : γ Γ} halmazokat.) Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 8 / 125

9 1. Mértékelméleti előkészítés B(R d ) := Borel-hamazok σ-algebrája (vagyis R d nyitott halmazai által generált σ-algebra) Függvényrendszer által generált σ-algebra Legyenek Ω és Γ nemüres halmazok. Legyen minden γ Γ esetén g γ : Ω R d tetszőleges függvény. A {g γ : γ Γ} függvényrendszer által generált σ-algebra: σ(g γ : γ Γ) := σ(g 1 γ (B) : γ Γ, B B(R d )). Egyetlen függvény által generált σ-algebra Legyen Ω nemüres halmaz. Legyen g : Ω R d függvény. Ekkor σ(g) = g 1 (B(R d )) := {g 1 (B) : B B(R d )}. tetszőleges Ez a σ-algebra Ω éppen azon A részhalmazaiból áll, melyek esetén g(ω) megfigyelésével eldönthető, hogy ω A teljesül-e, vagy sem. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 9 / 125

10 1. Mértékelméleti előkészítés Mérhető függvény Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér. Azt mondjuk, hogy a g : Ω R d függvény mérhető, ha tetszőleges B B(R d ) esetén g 1 (B) := {g B} := {ω Ω : g(ω) B} A, vagyis σ(g) A. Legyen továbbá F A rész-σ-algebra. Azt mondjuk, hogy a g : Ω R d függvény F-mérhető, ha tetszőleges B B(R d ) esetén vagyis σ(g) F. g 1 (B) F, Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 10 / 125

11 1. Mértékelméleti előkészítés Függvény mérhetősége Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér, g = (g 1,..., g d ) : Ω R d tetszőleges függvény. g akkor és csak akkor mérhető, ha tetszőleges (x 1,..., x d ) R d esetén {ω Ω : g 1 (ω) x 1,..., g d (ω) ) x d } A. (Hiszen ez a halmaz g ( 1 d j=1 (, x j], és a { d j=1 (, x j] : (x 1,..., x d ) R d } téglák generálják a B(R d ) σ-algebrát.) g akkor és csak akkor mérhető, ha a g i : Ω R, i {1,..., d} függvények mérhetőek. σ(g) a legszűkebb rész-σ-algebra, melyre nézve g mérhető. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 11 / 125

12 1. Mértékelméleti előkészítés Valószínűségi mező Olyan (Ω, A, P) hármas, ahol (Ω, A) mérhetőségi tér és P : A [0, 1] valószínűségi mérték. Véletlen változó, véletlen vektor Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R függvény véletlen változó (vagy valószínűségi változó), ha mérhető. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d függvény véletlen vektor (vagy valószínűségi vektorváltozó), ha mérhető. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 12 / 125

13 Diszkrét, illetve egyszerű véletlen vektor Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor diszkrét, ha értékkészlete, az X(Ω) halmaz megszámlálható. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor egyszerű, ha értékkészlete véges halmaz. Ha X : Ω R d, Y : Ω R d véletlen vektorok és P(X = Y ) = 1, akkor azt írjuk, hogy X = Y P-m.b. (egyenlőek P-majdnem biztosan). Egyszerű véletlen vektor Ha X : Ω R d egyszerű véletlen vektor melynek értékkészlete X(Ω) = {x 1,..., x l }, akkor l X = x j 1 Aj, j=1 ahol A j := {ω Ω : X(ω) = x j } A, j = 1,..., l diszjunkt halmazok l és A j = Ω, azaz teljes eseményrendszert alkotnak. j=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 13 / 125

14 1. Mértékelméleti előkészítés Közelítés egyszerű véletlen változókkal Tetszőleges Y : Ω R + nemnegatív véletlen változó esetén létezik nemnegatív egyszerű véletlen változókból álló Y 1, Y 2,... sorozat úgy, hogy tetszőleges ω Ω esetén Y n (ω) Y (ω). Tetszőleges X : Ω R d véletlen vektor esetén létezik egyszerű véletlen vektorokból álló X 1, X 2,... sorozat úgy, hogy tetszőleges ω Ω esetén X n (ω) X(ω). Véletlen vektor mérhető függvénye Legyen X : Ω R d véletlen vektor. 1 Ha g : R d R r mérhető függvény, akkor a g X : Ω R r összetett függvény σ(x)-mérhető véletlen vektor, azaz σ(g X) σ(x). 2 Ha Y : Ω R r σ(x)-mérhető véletlen vektor, azaz σ(y ) σ(x), akkor létezik olyan g : R d R r mérhető függvény, hogy Y = g X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 14 / 125

15 1. Mértékelméleti előkészítés Véletlen vektor eloszlása Az X : Ω R d véletlen vektor eloszlása a P X : B(R d ) R, P X (B) := P(X B) = P(X 1 (B)), B B(R d ) halmazfüggvény, mely nyilván valószínűségi mérték az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Véletlen vektor eloszlásfüggvénye Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Az X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor eloszlásfüggvénye F X = F X1,...,X d : R d [0, 1], F X (x) := P(X 1 x 1,..., X d x d ), x = (x 1,..., x d ) R d. Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Legyenek X, Y : Ω R d véletlen vektorok. Ekkor P X = P Y F X = F Y. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 15 / 125

16 Jelölje g : R d R, j {1,..., d}, u, v R, u < v és x = (x 1,..., x d ) R d esetén (j) u,vg(x) := g(x 1,..., x j 1, v, x j+1,..., x d ) g(x 1,..., x j 1, u, x j+1,..., x d ). Az F : R d R függvény akkor és csak akkor eloszlásfüggvénye valamely X : Ω R d véletlen vektornak, ha (i) F minden változójában monoton növekvő, (ii) F minden változójában jobbról folytonos, (iii) lim F(x) = 0, lim min{x 1,...,x d } F(x) = 1, min{x 1,...,x d } (iv) tetszőleges a, b R d, a < b esetén (1) a 1,b 1... (d) a d,b d F 0. (Ha d = 1, akkor (iv) következik (i)-ből.) Ha X : Ω R d véletlen vektor és a, b R d, a < b, akkor P(X (a, b]) = (1) a 1,b 1... (d) a d,b d F X 0, tehát P X az F X függvény által generált Lebesgue Stieltjes mérték. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 16 / 125

17 2. Függetlenség σ-algebrák, események, illetve véletlen vektorok függetlensége Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, Γ nemüres halmaz. Legyen minden γ Γ esetén F γ A rész-σ-algebra. Azt mondjuk, hogy az {F γ : γ Γ} rész-σ-algebrák függetlenek, ha a Γ különböző elemeiből álló minden {γ 1,..., γ n } véges részhalmaz esetén és minden A γ1 F γ1,..., A γn F γn választással teljesül P(A γ1... A γn ) = P(A γ1 ) P(A γn ). Legyen minden γ Γ esetén A γ A. Azt mondjuk, hogy az {A γ : γ Γ} események függetlenek, ha a hozzájuk rendelt { {, Aγ, Ω \ A γ, Ω} : γ Γ } rész-σ-algebrák függetlenek. Legyen minden γ Γ esetén X γ : Ω R d véletlen vektor. Azt mondjuk, hogy az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok függetlenek, ha a hozzájuk rendelt { σ(x γ ) : γ Γ } rész-σ-algebrák függetlenek. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 17 / 125

18 2. Függetlenség Független véletlen vektorok függvényei függetlenek Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Ha az X : Ω R k és Y : Ω R l véletlen vektorok függetlenek, akkor tetszőleges g : R k R r, h : R l R p mérhető függvények esetén a g X : Ω R r és h Y : Ω R p véletlen vektorok is függetlenek. Független halmazalgebrák által generált σ-algebrák függetlenek Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Ha az F 0 A és G 0 A rész-halmazalgebrák függetlenek abban az értelemben, hogy tetszőleges A F 0 és B G 0 esetén P(A B) = P(A)P(B), akkor a generált F := σ(f 0 ) és G := σ(g 0 ) rész-σ-algebrák is függetlenek. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 18 / 125

19 Függetlenség Nyilván Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 19 / 125 Független σ-algebrák által generált σ-algebrák függetlenek Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Ha az F 1,..., F k, G 1,..., G l rész-σ-algebrák függetlenek, akkor a ( k ) l σ F i, σ i=1 rész-σ-algebrák is függetlenek. Farok-σ-algebra Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér. Legyen minden n N esetén F n A rész-σ-algebra. Ekkor az {F n : n N} rész-σ-algebrákhoz tartozó farok-σ-algebra: T := σ(f k : k n). n=1 j=1 G j

20 Függetlenség Ha (Ω, A, P) valószínűségi mező, X 1, X 2,... véletlen változók, akkor a következő események benne vannak a σ(x 1 ), σ(x 2 ),... rész-σ-algebrákhoz rendelt farok-σ-algebrában: { } ω Ω : lim, X n (ω) létezik n { } ω Ω : lim sup X n (ω) x, x R, { n ω Ω : lim X n (ω) létezik és lim X n (ω) x n n { } X 1 (ω) + + X n (ω) ω Ω : lim létezik. n n }, x R, Éppen azok az események vannak benne ebben a farok-σ-algebrában, melyek bekövetkezését nem befolyásolja véges sok X n értékének megváltoztatása. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 20 / 125

21 Függetlenség Kolmogorov 0 vagy 1 törvénye Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Legyen minden n N esetén F n A rész-σ-algebra, és jelölje T a hozzájuk tartozó farok-σ-algebrát. Ha az {F n : n N} rész-σ-algebrák függetlenek, akkor tetszőleges A T esetén P(A) = 0 vagy P(A) = 1. Példa: Ha X 1, X 2,... független véletlen változók és akkor X n := X X n, n P ( {X n } n=1 konvergens) {0, 1}, és léteznek a b úgy, hogy ( ) ( ) P lim inf X n = a = 1, P lim sup X n = b = 1. n n Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 21 / 125

22 Függetlenség Ha Ω nemüres halmaz, és minden n N esetén A n Ω, akkor jelölje lim sup A n := A k = {ω Ω : ω A n végtelen sok n N esetén}, n n=1 k=n lim inf A n := A k = {ω Ω : ω A n véges sok n N kivételével}. n n=1 k=n Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér. Ha A 1, A 2, A, akkor a lim sup n A n és lim inf n A n halmazok benne vannak a {, A n, Ω \ A n, Ω}, n N σ-algebrákhoz tartozó farok-σ-algebrában. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 22 / 125

23 Függetlenség Ha az A 1, A 2,... események függetlenek, akkor P(lim sup A n ) {0, 1}, n azaz vagy 1 valószínűséggel végtelen sok esemény bekövetkezik ezek közül, vagy pedig 1 valószínűséggel legfeljebb csak véges sok. Borel Cantelli lemmák Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, A 1, A 2, A események. ( ) 1 Ha P(A n ) <, akkor P lim sup A n = 0 n n=1 (vagyis ezen események közül 1 valószínűséggel legfeljebb csak véges sok következik be). 2 Ha az {A n } n=1 események függetlenek és P(A n ) =, ( ) n=1 akkor P lim sup A n = 1 (vagyis ezen események közül 1 n valószínűséggel végtelen sok következik be). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 23 / 125

24 Várható érték Egyszerű véletlen változó várható értéke Legyen X : Ω R egyszerű véletlen változó, és X(Ω) = {x 1,..., x l }. Ekkor az l E(X) := X(ω) P(dω) := x j P(X = x j ) Ω j=1 mennyiséget az X várható értékének nevezzük. Nyilván a várható érték végesen additív és monoton az egyszerű véletlen változókon. Legyen X : Ω R nemnegatív véletlen változó. 1 Ha Z és Y 1, Y 2,... nemnegatív egyszerű véletlen változók, és tetszőleges ω Ω esetén Y n (ω) X(ω) Z (ω), akkor lim n E(Y n ) E(Z ). 2 Ha Y 1, Y 2,... és Z 1, Z 2,... nemnegatív egyszerű véletlen változók, és tetszőleges ω Ω esetén Y n (ω) X(ω) és Z n (ω) X(ω), akkor lim n E(Y n ) = lim n E(Z n ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 24 / 125

25 Várható érték Nemnegatív véletlen változó várható értéke Legyen X : Ω R nemnegatív véletlen változó. Legyen X 1, X 2,... nemnegatív egyszerű véletlen változókból álló sorozat úgy, hogy tetszőleges ω Ω esetén X n (ω) X(ω) ha n. Ekkor az E(X) := X(ω) P(dω) := lim E(X n ) n mennyiséget az X várható értékének nevezzük. Így E(X) [0, ] egyértelműen definiált, és Ω E(X) = sup {E(Y ) : Y egyszerű véletlen változó, melyre 0 Y X}. Véletlen változó felbontása pozitív és negatív részre Ha X : Ω R véletlen változó, akkor X + := max{x, 0} és X := min{x, 0} nemnegatív véletlen változók, és X = X + X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 25 / 125

26 Várható érték Véletlen változó várható értéke Legyen X : Ω R véletlen változó. Azt mondjuk, hogy X-nek létezik várható értéke (integrálja), ha az E(X + ) és E(X ) várható értékek közül legalább az egyik véges, és ekkor E(X) := X(ω) P(dω) := E(X + ) E(X ). Ω Azt mondjuk, hogy X-nek véges a várható értéke (integrálható), ha az E(X + ) és E(X ) várható értékek végesek. Transzformációtétel Ha X : Ω R d véletlen vektor és g : R d R mérhető függvény, akkor E[g(X)] = g(x(ω)) P(dω) = g(x) P X (dx) = g(x) df X (x) Ω R d R d abban az értelemben, hogy az integrálok ugyanakkor léteznek, és ha léteznek, egyenlőek. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 26 / 125

27 Várható érték Várható érték tulajdonságai 1 X akkor és csak akkor integrálható, ha X integrálható. 2 Ha E(X) és c R, akkor E(cX), és E(cX) = c E(X). 3 Ha E(X)> és X Y P-m.b., akkor E(Y ) és E(X) E(Y ). 4 Ha E(X), akkor E(X) E( X ). 5 Ha E(X), akkor A A esetén E(X1 A ); ha X integrálható, akkor A A esetén X1 A is integrálható. 6 Ha E(X), E(Y ) és az E(X) + E(Y ) kifejezés értelmes (azaz nem vagy + alakú), akkor E(X + Y ) és E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). 7 Ha X = 0 P-m.b., akkor E(X) = 0. 8 Ha E(X) és X = Y P-m.b., akkor E(Y ), és E(X) = E(Y ). 9 Ha X 0 P-m.b. és E(X) = 0, akkor X = 0 P-m.b. 10 Ha E( X )< és A A esetén E(X1 A ) 0, akkor X 0 P-m.b.. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 27 / 125

28 Várható érték Várható érték tulajdonságai 11 Ha X és Y integrálhatók és A A esetén E(X1 A ) E(Y 1 A ), akkor X Y P-m.b. 12 Ha X és Y integrálhatók és A A esetén E(X1 A ) = E(Y 1 A ), akkor X = Y P-m.b. 13 Ha X és Y integrálhatók és X, Y függetlenek, akkor XY is integrálható és E(XY ) = E(X) E(Y ). 14 Monoton konvergenciatétel: Ha X 1, X 2,... integrálhatók, n N esetén X n Y P-m.b., E(Y ) >, és X n X P-m.b., akkor E(X n ) E(X) ha n. ( ) 15 Ha X 1, X 2,... nemnegatívak, akkor E X n = E(X n ). n=1 n=1 16 Fatou-lemma: Ha n N esetén X n Y P-m.b. és E(Y ) >, akkor E (lim inf n X n ) lim inf n E(X n ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 28 / 125

29 Várható érték tulajdonságai 17 Majoráns konvergenciatétel: Ha n N esetén X n Y P-m.b., E(Y ) < és X n X P-m.b., akkor E( X ) <, E(X n ) E(X) és E( X n X ) 0 ha n. 18 Cauchy Schwartz-egyenlőtlenség: Ha E(X 2 ), E(Y 2 ) <, akkor E( XY ) E(X 2 ) E(Y 2 ). 19 Jensen-egyenlőtlenség: Ha E( X ) <, I R olyan nyitott (nem feltétlenül korlátos) intervallum, hogy P(X I) = 1, és g : I R konvex, akkor E(X) I és g(e(x)) E(g(X)). 20 Hölder-egyenlőtlenség: Legyenek p, q (1, ) olyanok, hogy p 1 + q 1 = 1. Ha E( X p ) < és E( Y q ) <, akkor E( XY ) (E( X p )) 1/p (E( Y q )) 1/q. 21 Ljapunov-egyenlőtlenség: Ha 0 < s < t, akkor (E( X s )) 1/s ( E( X t ) ) 1/t. 22 Minkowski-egyenlőtlenség: Ha p [1, ), E( X p ) < és E( Y p ) <, akkor (E X + Y p ) 1/p (E( X p )) 1/p + (E( Y p )) 1/p. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 29 / 125

30 Abszolút folytonosság Legyen (E, E) mérhetőségi tér. Azt mondjuk, hogy a µ : E [, ] halmazfüggvény abszolút folytonos a ν : E [, ] halmazfüggvényre nézve, ha minden B E, ν(b) = 0 esetén µ(b) = 0. Jelölése: µ ν. Sűrűségtétel Legyen (E, E) mérhetőségi tér, ν : E [0, ] mérték, g : E R + nemnegatív mérhető függvény. Ekkor a µ : E [0, ], µ(b) := g(x) ν(dx) halmazfüggvény mérték, amely pontosan akkor véges, ha g integrálható, µ ν, és tetszőleges h : E R mérhető függvény esetén h(y)µ(dy) = h(x)g(x) ν(dx) E abban az értelemben, hogy a két oldal ugyanakkor létezik, és ha léteznek, egyenlőek. B E Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 30 / 125

31 Várható érték Radon Nikodym tétel Legyen (E, E) mérhetőségi tér és ν : E [0, ] σ-véges mérték. A µ : E [, ] előjeles mérték akkor és csak akkor abszolút folytonos a ν mértékre nézve, ha létezik olyan g : E [, ] mérhető függvény, hogy tetszőleges B E esetén µ(b) = g(x) ν(dx). B A g függvény ν-m.m. egyértelműen meg van határozva, azaz ha egy h : E [, ] mérhető függvényre is teljesül µ(b) = h(x) ν(dx) minden B E esetén, akkor ν{x E : g(x) h(x)} = 0. B A Radon Nikodym tételben létező (ν-m.m. egyértelműen meghatározott) g függvényt a µ mértéknek a ν mértékre vonatkozó Radon Nikodym deriváltjának nevezzük, melynek jelölése dµ dν. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 31 / 125

32 Várható érték Abszolút folytonos (eloszlású) véletlen vektor Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor abszolút folytonos (eloszlású), ha P X λ d, ahol λ d a d-dimenziós Lebesgue-mérték, és ekkor az f X := dp X dλ d Radon Nikodym deriváltat sűrűségfüggvénynek nevezzük. Abszolút folytonos véletlen változó Az X : Ω R véletlen változó akkor és csak akkor abszolút folytonos, ha az F X eloszlásfüggvény abszolút folytonos, azaz ε > 0 esetén δ > 0 úgy, hogy ha k N, a 1 < b 1 a 2 < b 2... a k < b k és k j=1 (b j a j ) < δ, akkor k j=1 (F X (b j ) F X (a j )) < ε. Sűrűségfüggvény és eloszlásfüggvény kapcsolata Ha az X : Ω R d véletlen vektor abszolút folytonos, akkor f X (x) = 1... d F X (x) λ d -m.m. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 32 / 125

33 Abszolút folytonos véletlen vektor függvényének várható értéke Ha X : Ω R d abszolút folytonos véletlen vektor és g : R d R mérhető függvény, akkor E[g(X)] = g(x)f X (x) dx R d abban az értelemben, hogy a két oldal ugyanakkor létezik, és ha léteznek, egyenlőek. Abszolút folytonos véletlen változó szigorúan monoton transzformációja Ha X : Ω R abszolút folytonos véletlen változó, I R olyan (nem feltétlenül korlátos) intervallum, hogy P(X I) = 1, h : I R szigorúan monoton (növekvő vagy csökkenő) folytonosan differenciálható, és x I esetén h (x) 0, akkor a h X véletlen változó is abszolút folytonos, és sűrűségfüggvénye { fx (h 1 (y)), ha y h(i), f h X (y) = h (h 1 (y)) 0, egyébként, ahol h 1 a h inverzét jelöli. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 33 / 125

34 Várható érték Független, abszolút folytonos eloszlású véletlen változók összege, szorzata, hányadosa Ha X és Y független, abszolút folytonos eloszlású véletlen változók, akkor az X + Y véletlen változó is abszolút folytonos eloszlású, és f X+Y (z) = f X (x)f Y (z x) dx = f X (z y)f Y (y) dy. az XY véletlen változó is abszolút folytonos eloszlású, és ( z ) dx ( ) z f XY (z) = f X (x)f Y x x = f X f Y (y) dy y y. az X Y véletlen változó is abszolút folytonos eloszlású, és f X (z) = 1 ( x ) Y z 2 f X (x)f Y x dx = f X (zy)f Y (y) y dy. z Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 34 / 125

35 Mérték koncentrálódása részhalmazba Legyen (E, E) mérhetőségi tér, µ : E [, ] mérték. Azt mondjuk, hogy a µ mérték a B E halmazba koncentrálódik, ha µ(e \ B) = 0. (Ez a halmaz nem egyértelműen definiált.) Diszkrét (eloszlású) véletlen vektor Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor diszkrét (eloszlású), ha D R d megszámlálható halmaz úgy, hogy P X a D halmazba koncentrálódik, azaz P(X D) = 1. Ekkor az ilyen tulajdonságú halmazok metszete (azaz a legszűkebb ilyen halmaz) D X := { x R d : P X ({x}) > 0 } = { x R d : P(X = x) > 0 }, melynek elemeit a P X mérték atomjainak nevezzük, és P X = P(X = x)δ x, x D X ahol x R d esetén δ x az x pontba koncentrálódó Dirac-mértéket jelöli, azaz δ x (B) = 1 ha x B, és δ x (B) = 0 ha x / B. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 35 / 125

36 Várható érték Diszkrét véletlen vektor eloszlásfüggvénye Az X : Ω R d diszkrét véletlen vektor eloszlásfüggvénye F X (x) = P(X = y), x R d. {y D X : y x} Diszkrét véletlen vektor függvényének várható értéke Legyen X : Ω R d diszkrét véletlen vektor és g : R d R mérhető függvény. A g X véletlen változó akkor és csak akkor integrálható, ha E[ g(x) ] = g(x) P(X = x) <, x D X és ekkor E[g(X)] = x D X g(x)p(x = x). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 36 / 125

37 Várható érték Szingularitás Legyen (E, E) mérhetőségi tér. Azt mondjuk, hogy a µ : E [0, ] és ν : E [0, ] mértékek szingulárisak egymásra (nézve), ha léteznek olyan diszjunkt A, B E halmazok, hogy µ az A halmazba, ν pedig a B halmazba koncentrálódik. Jelölése: µ ν. Szinguláris (eloszlású) véletlen vektor Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor szinguláris, ha P X λ d, azaz B B(R d ) úgy, hogy λ d (B) = 0 és P(X B) = 1. A diszkrét véletlen vektorok nyilván szingulárisak. Szinguláris véletlen változó Az X : Ω R véletlen változó akkor és csak akkor szinguláris, ha F X (x) = 0 m.m. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 37 / 125

38 Várható érték Eloszlásfüggvények felbontási tétele Tetszőleges F : R [0, 1] eloszlásfüggvény egyértelműen felbontható F = p 1 F d + p 2 F af + p 3 F fs alakban, ahol p 1, p 2, p 3 0, p 1 + p 2 + p 3 = 1, F d diszkrét, F af abszolút folytonos, F fs folytonos szinguláris eloszlásfüggvény. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 38 / 125

39 Várható érték Momentumok Legyen X : Ω R véletlen változó. Legyen α R +. Az X α-adik abszolút momentuma: E( X α ). Ha k N, és X k-adik abszolút momentuma véges, akkor X k-adik momentuma: E(X k ), X k-adik centrális momentuma: E [ (X E(X)) k]. Ha X második abszolút momentuma véges, akkor X második centrális momentumát X varianciájának (szórásnégyzetének) nevezzük. Jelölése: Var(X) := D 2 (X) := E [ (X E(X)) 2]. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 39 / 125

40 Várható érték Véletlen vektor várható érték vektora Legyen X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor. Ha E( X 1 ) <,... E( X d ) <, akkor X várható érték vektora Jensen-egyenlőtlenség E(X) := (E(X 1 ),..., E(X d )) R d. Legyen X : Ω R d véletlen vektor, melyre E( X ) <. 1 Ha K R d konvex, zárt és X K m.b., akkor E(X) K. 2 Ha g : R d R konvex és E( g(x) ) <, akkor g(e(x)) E(g(X)). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 40 / 125

41 Várható érték Véletlen vektor kovarianciamátrixa (szórásmátrixa) Legyen X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor. Ha E( X 2 ) <, azaz E(X1 2) <,... E(X d 2 ) <, akkor X kovarianciamátrixa [ Cov(X) := E (X E(X))(X E(X)) ] R d d, melynek elemei E [ (X i E(X i ))(X j E(X j )) ] =: Cov(X i, X j ). Kovarianciamátrix tulajdonságai Legyen X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor, E( X 2 ) <. Cov(X) szimmetrikus: Cov(X) = Cov(X). Cov(X) pozitív szemidefinit, azaz x R d esetén d d x Cov(X)x = Cov(X)x, x = Cov(X i, X j )x i x j 0. i=1 j=1 Ha A R r d és b R r, akkor E(AX + b) = A E(X) + b és Cov(AX + b) = A Cov(X)A. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 41 / 125

42 Komplex értékű véletlen változó várható értéke Az X = Re X + i Im X : Ω C komplex értékű véletlen változónak véges a várható értéke (integrálható), ha az E(Re X) és E(Im X) várható értékek végesek, és ekkor E(X) := E(Re X) + i E(Im X). Komplex értékű véletlen változó várható értéke Legyen X : Ω C komplex értékű véletlen változó. X várható értéke akkor és csak akkor véges, ha E( X ) <. Ha E( X ) <, akkor E(X) E( X ). Komplex értékű véletlen változók függetlensége Azt mondjuk, hogy az {X γ : γ Γ} komplex értékű véletlen változók függetlenek, ha a {(Re X γ, Im X γ ) : γ Γ} véletlen vektorok függetlenek. Komplex értékű véletlen változók függetlensége Ha X : Ω C és Y : Ω C független komplex értékű véletlen változók és E( X ) <, E( Y ) <, akkor E( XY ) < és E(XY ) = E(X) E(Y ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 42 / 125

43 Karakterisztikus függvény Karakterisztikus függvény Az X :Ω R d véletlen vektor karakterisztikus függvénye ϕ X :R d C, ϕ X (t) := E(e i t,x ), t R d. Karakterisztikus függvény tulajdonságai 1 ϕ X 1, és ϕ X (0) = 1. 2 ϕ X egyenletesen folytonos. 3 Tetszőleges t R d esetén ϕ X ( t) = ϕ X (t). 4 Bochner-tétel: A ϕ : R d C függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvénye valamely véletlen vektornak, ha folytonos és pozitív szemidefinit, azaz tetszőleges n N és t 1,..., t n R d esetén a ( ϕ(t j t l ) ) j,l=1,...,n Cd d mátrix pozitív szemidefinit, azaz tetszőleges z 1,..., z n C esetén n n ϕ(t j t l )z j z l 0. j=1 l=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 43 / 125

44 Karakterisztikus függvény Karakterisztikus függvény tulajdonságai 5 Tetszőleges A R r d, b R r és t R r esetén ϕ AX+b (t) = e i t,b ϕ X (A t). 6 Ha X 1,..., X l : Ω R d függetlenek, akkor tetszőleges t R d esetén l ϕ X1 + +X l (t) = ϕ Xj (t). 7 P X = P Y akkor és csak akkor, ha ϕ X = ϕ Y. 8 X 1 : Ω R d 1,..., X l : Ω R d l akkor és csak akkor függetlenek, ha tetszőleges t 1 R d 1,..., t l R d l esetén l ϕ X1,...,X l (t 1,..., t l ) = ϕ Xj (t j ). j=1 j=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 44 / 125

45 Karakterisztikus függvény Karakterisztikus függvény tulajdonságai 9 Ha X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor és E( X n ) < valamely n N esetén, akkor ϕ X n-szer folytonosan differenciálható, és tetszőleges r 1,..., r d, r r d n nemnegatív egészek esetén r r d d ϕ X (t) = i r 1+ +r d E(X r 1 1 X r d d ei t,x ), E(X r 1 1 X r d d ) = r r d d ϕ X (0) i r, 1+ +r d ϕ X (t) = r 1 + +r d n i r 1+ +r d t r 1 1 tr d d r 1! r d! E(X r 1 1 X r d d ) + R n(t), ahol R n (t) = O( t n ) és R n (t) = o( t n ) ha t 0, mégpedig R n (t) 3 t n n! E( X n ), R n (t) lim t 0 t n = 0. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 45 / 125

46 Karakterisztikus függvény Karakterisztikus függvény tulajdonságai 10 Ha X : Ω R véletlen változó és ϕ (2n) X (0) létezik és véges valamely n N esetén, akkor E(X 2n ) <. 11 Ha tetszőleges n N esetén E( X n ) <, és R := lim sup n 1 E( X n )/n!, akkor tetszőleges t R d, t < R esetén i r 1+ +r d E(X r 1 1 ϕ X (t) =... X r d r 1! r d! r 1 =0 r d =0 n d ) t r 1 1 tr d d. 12 Inverziós formula: Ha ϕ X L 1 (R d ), azaz R ϕ d X (t) dt <, akkor X eloszlása abszolút folytonos, és a sűrűségfüggvénye f X (x) = 1 (2π) d e i t,x ϕ X (t) dt, x R d. R d Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 46 / 125

47 Karakterisztikus függvény Véletlen vektorok eloszlásbeli konvergenciája Legyenek X n : Ω R d, n N, és X : Ω R d véletlen vektorok. Azt mondjuk, hogy az (X n ) n 1 sorozat eloszlásban konvergál X-hez, ha F Xn (x) F X (x) az F X minden x folytonossági D pontjában. Jelölése: X n X. Folytonossági tétel Legyenek X n : Ω R d, n N véletlen vektorok. 1 Ha létezik olyan X : Ω R d D véletlen vektor, hogy X n X, akkor ϕ Xn ϕ X minden korlátos intervallumon egyenletesen. 2 Ha tetszőleges t R d esetén létezik lim n ϕ Xn (t) =: g(t), és g folytonos a 0 R d pontban, akkor létezik olyan X : Ω R d véletlen vektor, hogy ϕ X = g, és X n D X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 47 / 125

48 Karakterisztikus függvény Generátorfüggvény Ha az X : Ω R d véletlen vektor koordinátái nemnegatív egész értékeket vesznek fel, azaz X a Z d + halmazba koncentrálódik, vagyis P(X Z d +) = 1, akkor X = (X 1,..., X d ) generátorfüggvénye a G X (z) := G X1,...,X d (z 1,..., z d ) := E(z X ) := E(z X 1 1 zx d d ) = P(X 1 = k 1,..., X d = k d ) z k 1 1 zk d d k 1 =0 k d =0 d-változós komplex hatványsor összegfüggvénye. Ez a hatványsor abszolút konvergens a {(z 1,..., z d ) C d : z 1 1,..., z d 1} halmazon, és X karakterisztikus függvénye a ϕ X (t) = ϕ X (t 1,..., t d ) = G X (e it 1,..., e it d ), periodikus függvény. t = (t 1,..., t d ) R d Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 48 / 125

49 Generátorfüggvény tulajdonságai 1 G X (1,..., 1) = 1 2 G X analitikus a {(z 1,..., z d ) C d : z 1 < 1,..., z d < 1} halmazon 3 Tetszőleges k 1,..., k d nemnegatív egészek esetén P(X 1 = k 1,..., X d = k d ) = k k d d G X (0,..., 0) k 1! k d! 4 P X = P y x [ 1, 1] d esetén G X (x) = G Y (x) 5 Ha X és Y függetlenek, akkor G X+Y (z) = G X (z)g Y (z) a {(z 1,..., z d ) C d : z 1 1,..., z d 1} halmazon 6 Tetszőleges r 1,..., r d nemnegatív egészek esetén és E(X r 1 1 X r d d ) < r r d d G X (1,..., 1 ) <, r r d d G X (1,..., 1 ) = E(X 1 (X 1 1) (X 1 r 1 + 1) X d (X d 1) (X d r d + 1)) Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 49 / 125

50 Karakterisztikus függvény Folytonossági tétel Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N olyan véletlen vektorok, hogy P(X Z d +) = 1 és P(X n Z d +) = 1, n N. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: D X ha n X n P(X n = k) P(X = k) ha n minden k Z d + esetén G Xn (x) G X (x) ha n minden x [ 1, 1] d esetén Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 50 / 125

51 Karakterisztikus függvény Laplace-transzformált Ha az X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor koordinátái nemnegatív értékeket vesznek fel, azaz X az R d + halmazba koncentrálódik, vagyis P(X R d +) = 1, akkor X Laplace-transzformáltja ψ X : R d + R, ψ X (s) := ψ X1,...,X d (s 1,..., s d ) := E(e s, X ) = 0 Ha P(X Z d +) = 1, akkor 0 e s 1x 1 s d x d df X1,...,X d (x 1,..., x d ) ψ X (s 1,..., s d ) = G X (e s 1,..., e s d ), (s 1,..., s d ) R d +, G X (x 1,..., x d ) = ψ X (log x 1,..., log x d ), (x 1,..., x d ) (0, 1) d. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 51 / 125

52 Laplace-transzformált tulajdonságai 1 0 ψ X 1, és ψ X (0) = 1 2 ψ X analitikus a (0, ) d halmazon 3 P X = P Y akkor és csak akkor, ha ψ X = ψ Y 4 Ha X és Y függetlenek, akkor ψ X+Y = ψ X ψ Y 5 Tetszőleges r 1,..., r d nemnegatív egészek esetén és E(X r 1 1 X r d d ) < r r d d ψ X (0+,..., 0+) <, Folytonossági tétel r r d d ψ X (0+,..., 0+) = ( 1) r 1+ +r d E(X r 1 1 X r d d ) Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N olyan véletlen vektorok, hogy P(X R d +) = 1 és P(X n R d +) = 1, n N. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: D X ha n X n ψ Xn (s) ψ X (s) ha n minden s R d + esetén Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 52 / 125

53 Nevezetes eloszlások p paraméterű Bernoulli-eloszlás Legyen p [0, 1]. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó p paraméterű Bernoulli-eloszlású, ha lehetséges értékei: 0 és 1, és eloszlása P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p. { 1 ha A bekövetkezik, Ha A esemény, akkor az 1 A := 0 ha A nem következik be véletlen változó Bernoulli-eloszlású P(A) paraméterrel. Generátorfüggvény Laplace-transzformált G X (z) = 1 p + pz = 1 + p(z 1), z C ψ X (s) = 1 p + p e s = 1 p(1 e s ), s R + Karakterisztikus függvény ϕ X (t) = 1 p + p e it = 1 + p(e it 1), t R Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 53 / 125

54 Nevezetes eloszlások (n, p) paraméterű binomiális eloszlás Legyen n N és p [0, 1]. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó (n, p) paraméterű binomiális eloszlású, ha lehetséges értékei: 0, 1,..., n, és eloszlása P(X = k) = ( n k ) p k (1 p) n k, k {0, 1,..., n}. Ha az A eseménnyel kapcsolatban n független kísérletet végzünk és { 1 ha A bekövetkezik az i-edik alkalommal, X i := 0 egyébként, akkor az X = X X n véletlen változó (n, P(A)) paraméterű binomiális eloszlású, és X 1,..., X n független, P(A) paraméterű Bernoulli-eloszlásúak. G X (z) = (1 p + pz) n = (1 + p(z 1)) n, z C ψ X (s) = (1 p + p e s ) n = (1 p(1 e s )) n, s R + ϕ X (t) = (1 p + p e it ) n = (1 + p(e it 1)) n, t R Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 54 / 125

55 Nevezetes eloszlások (n, M, N M) paraméterű hipergeometrikus eloszlás Legyenek n, N, M N úgy, hogy M N. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó (n, M, N M) paraméterű hipergeometrikus eloszlású, ha olyan k értékeket vehet fel, melyekre teljesül 0 k n, k M és n k N M, és eloszlása ( M )( N M ) k n k P(X = k) = ( N. n) Ha egy dobozban M piros és N M fekete golyó van, és visszatevés nélkül húzunk ki n golyót, és X jelöli a kihúzott piros golyók számát, akkor az X véletlen változó (n, M, N M) paraméterű hipergeometrikus eloszlású. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 55 / 125

56 Nevezetes eloszlások p paraméterű r-edrendű negatív binomiális eloszlás Legyen r N és p [0, 1]. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó p paraméterű r-edrendű negatív binomiális eloszlású, ha lehetséges értékei: 0, 1,..., és eloszlása ( ) k + r 1 P(X = k) = p r (1 p) k, k {0, 1,... }. r 1 Ha az A eseménnyel kapcsolatban független kísérletet végzünk és az A r-edik bekövetkezéséhez szükséges kísérletek száma r + X, akkor az X véletlen változó P(A) paraméterű r-edrendű negatív binomiális eloszlású. Generátorfüggvény ( G X (z) = p 1 (1 p)z ) r, z C, z < 1 1 p Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 56 / 125

57 Nevezetes eloszlások Elsőrendű negatív binomiális eloszlások konvolúciója Ha az X 1,..., X r véletlen változók függetlenek és p paraméterű elsőrendű negatív binomiális eloszlásúak, akkor az X := X X r véletlen változó p paraméterű r-edrendű negatív binomiális eloszlású. Elsőrendű negatív binomiális eloszlás örökifjú tulajdonsága Ha az X véletlen változó p paraméterű elsőrendű negatív binomiális eloszlású, akkor P(X k + l X k) = P(X l), k, l {0, 1,... }. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 57 / 125

58 Nevezetes eloszlások λ paraméterű Poisson-eloszlás Legyen λ R +. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó λ paraméterű Poisson-eloszlású, ha lehetséges értékei: 0, 1,..., és eloszlása P(X = k) = λk k! e λ, k {0, 1,... }. Generátorfüggvény G X (z) = e λ(z 1), z C Binomiális eloszlás közelítése Poisson-eloszlással Ha X n, n N, binomiális eloszlású véletlen változók (n, p n ) D paraméterrel, és np n λ (0, ) ha n, akkor X n X ha n, ahol az X véletlen változó λ paraméterű Poisson-eloszlású. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 58 / 125

59 Nevezetes eloszlások Egyenletes eloszlás a {0, 1,..., N 1} halmazon Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó egyenletes eloszlású az {0, 1,..., N 1} halmazon, ha P(X = k) = 1, k {0, 1,..., N 1}. N Generátorfüggvény G X (z) = 1 N (1 + z + + zn 1 ), z C, = 1 N z N 1 z 1, z C \ {1} Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 59 / 125

60 Nevezetes eloszlások Egyenletes eloszlás az (a, b) intervallumon Legyen a, b R úgy, hogy a < b. Azt mondjuk, hogy az X abszolút folytonos véletlen változó egyenletes eloszlású az (a, b) intervallumon, ha a sűrűségfüggvénye f X (x) = Karakterisztikus függvény ϕ X (t) = { 1 b a, x (a, b), 0, egyébként. { e ibt e iat i(b a)t, t 0, 1, t = 0. Folytonos egyenletes eloszlás közelítése Ha X n, n N, egyenletes eloszlású véletlen változók a {0, 1,..., n 1} halmazon, akkor Xn D n X ha n, ahol az X véletlen változó egyenletes eloszlású a (0, 1) intervallumon. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 60 / 125

61 Nevezetes eloszlások λ paraméterű exponenciális eloszlás Legyen λ > 0. Azt mondjuk, hogy az X abszolút folytonos véletlen változó λ paraméterű exponenciális eloszlású, ha sűrűségfüggvénye { λe λx, x > 0, f X (x) = 0, egyébként. Exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága Ha az X véletlen változó λ paraméterű exponenciális eloszlású, akkor P(X t + h X t) = P(X h), t, h 0. Laplace-transzformált ψ X (s) = λ s + λ, s R + Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 61 / 125

62 Nevezetes eloszlások (m, σ 2 ) paraméterű normális eloszlás Legyen m R és σ > 0. Azt mondjuk, hogy az X abszolút folytonos véletlen változó (m, σ 2 ) paraméterű normális eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye Karakterisztikus függvény f X (x) = 1 e (x m)2 2σ 2 2πσ ϕ X (t) = e imt σ2 t 2 2, t R Binomiális eloszlás közelítése normális eloszlással Ha X n, n N, binomiális eloszlású véletlen változók (n, p) X paraméterrel, ahol p (0, 1), akkor n np D X ha n, np(1 p) ahol az X véletlen változó (0, 1) paraméterű normális eloszlású. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 62 / 125

63 Többdimenziós normális eloszlás Többdimenziós normális eloszlás Azt mondjuk, hogy az Y : Ω R d véletlen vektor standard normális eloszlású, ha Y = (Y 1,..., Y d ), ahol Y 1,..., Y d : Ω R független, standard normális eloszlású véletlen változók. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor normális eloszlású, ha X eloszlása megegyezik AY + m eloszlásával, ahol Y : Ω R d standard normális eloszlású, A R d d és m R d. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 63 / 125

64 Többdimenziós normális eloszlás Karakterisztikus függvény, sűrűségfüggvény Egy X : Ω R d véletlen vektor akkor és csak akkor normális eloszlású, ha karakterisztikus függvénye ϕ X (t) = exp {i m, t 12 } Dt, t, t R d alakú, ahol m R d, és D R d d szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrix, azaz D = D, valamint tetszőleges t R d esetén Dt, t 0. Továbbá m = E(X), D = Cov(X). Ha D invertálható, akkor X abszolút folytonos, és sűrűségfüggvénye 1 f X (x) = { (2π) d det(d) exp 1 } 2 D 1 (x m), x m, x R d. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor normális eloszlású (m, D) paraméterekkel, ha X karakterisztikus függvénye a fenti tételben adott alakú. Jelölése: X = D N (m, D). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 64 / 125

65 Többdimenziós normális eloszlás Többdimenziós normális eloszlás lineáris transzformáltja Ha X D = N (m, D) d-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor, és a R l, B R l d, akkor a + BX D = N (a + Bm, BDB ) l-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor. Többdimenziós normális eloszlás karakterizálása Egy X : Ω R d véletlen vektor akkor és csak akkor normális eloszlású, ha minden c R d vektor esetén a c X véletlen változó normális eloszlású. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 65 / 125

66 Többdimenziós normális eloszlás Többdimenziós normális eloszlás koordinátáinak függetlensége Legyen (X 1,..., X k, Y 1,..., Y l ) k + l-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor, és tegyük fel, hogy bármely i {1,..., k} és j {1,..., l} esetén Cov(X i, Y j ) = 0. Ekkor a (X 1,..., X k ) és (Y 1,..., Y l ) véletlen vektorok függetlenek. Lineáris kombinációk függetlensége Legyenek X 1,..., X d független, standard normális eloszlású véletlen változók. Az a 1 X a d X d és b 1 X b d X d lineáris kombinációk akkor és csak akkor függetlenek, ha az (a 1,..., a d ) és (b 1,..., b d ) vektorok merőlegesek egymásra. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 66 / 125

67 Véletlen vektorok konvergenciája Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. Azt mondjuk, hogy az X 1, X 2,... sorozat X-hez konvergál m.b. majdnem biztosan (jelölése X n X vagy X n X P-m.b.), ( ) ha P lim X n = X = 1; n P sztochasztikusan (jelölése X n X), ha bármely ε > 0 esetén lim P( X n X ε) = 0; n D eloszlásban (jelölése X n X), ha lim F X n n (x) = F X (x) minden olyan x R pontban, ahol F X folytonos; r r-edik momentumban, ahol r > 0 (jelölése X n X), ha E( X r ) <, E( X n r ) <, n N, és lim E ( X n X r ) = 0. n Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 67 / 125

68 Véletlen vektorok konvergenciája Konvergenciafajták kapcsolata Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. m.b. r Ha X n X, vagy valamely r > 0 esetén X n X, akkor P X. X n r Ha X n X valamely r > 0 esetén, akkor tetszőleges s s (0, r) esetén X n X. Határérték egyértelműsége Ha X : Ω R d, Y : Ω R d, X n : Ω R d és Y n : Ω R d, n N, P P véletlen vektorok úgy, hogy X n X, Y n Y, és X n = Y n P-m.b. minden n N esetén, akkor X = Y P-m.b. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 68 / 125

69 Véletlen vektorok konvergenciája Majdnem biztos és sztochasztikus konvergencia Legyenek X : Ω R d X n m.b. X ε > 0 esetén és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. ( ) lim P sup X k X ε = 0 n k n sup X k X P 0, amint n. k n P ((X n ) n 1 konvergens) = 1 ε > 0 esetén ε > 0 esetén k=1 lim P n ( ) sup X k X n ε = 0. k n P( X k X ε) < = X n m.b. X. P X n X pozitív egészek bármely n 1 < n 2 <... sorozatának van olyan n k1 < n k2 <... részsorozatata, hogy m.b. X, amint i. X nki Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 69 / 125

70 Véletlen vektorok konvergenciája Véletlen vektorok folytonos függvényének konvergenciája Legyenek X : Ω R d, Y : Ω R d, X n : Ω R d, és Y n : Ω R d, n N, véletlen vektorok és g : R d R d R r folytonos függvény. Ha X n m.b. X és Y n m.b. Y, akkor g(x n, Y n ) m.b. g(x, Y ). Ha X n P X és Y n P Y, akkor g(x n, Y n ) P g(x, Y ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 70 / 125

71 Véletlen vektorok konvergenciája Konvergencia és műveletek kapcsolata Legyenek X : Ω R d, Y : Ω R d, X n : Ω R d, és Y n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. m.b. m.b. m.b. Ha X n X és Y n Y, akkor X n + Y n X + Y és X n, Y n m.b. X, Y. P Ha X n X és Y n P X n, Y n X, Y. P Y, akkor X n + Y n P X + Y és r r Ha X n X és Y n Y valamely r 1 esetén, akkor r X n + Y n X + Y. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 71 / 125

72 Véletlen vektorok konvergenciája Véletlen vektorok egyenletes integrálhatósága Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, Γ nemüres halmaz, és minden γ Γ esetén X γ : Ω R d véletlen vektor. Azt mondjuk, hogy az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok egyenletesen integrálhatók, ha lim E ( X γ 1 { Xγ >K }) = 0. sup K γ Γ Egyenletes integrálhatóság Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, Γ nemüres halmaz, és minden γ Γ esetén X γ : Ω R d véletlen vektor. Az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok akkor és csak akkor egyenletesen integrálhatók, ha sup E( X γ ) < és lim γ Γ sup P(A) 0 γ Γ E ( X γ 1 A ) = 0 (azaz ε > 0 δ > 0 úgy, hogy E ( X γ 1 A ) < ε minden γ Γ és minden olyan A A esemény esetén, melyre P(A) < δ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 72 / 125

73 Véletlen vektorok konvergenciája Egyenletes integrálhatóság Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, Γ nemüres halmaz, és minden γ Γ esetén X γ : Ω R d, Y γ : Ω R d véletlen vektorok. Ha létezik olyan r > 1, hogy sup γ Γ E( X γ r ) <, akkor az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok egyenletesen integrálhatók. Ha az {X γ : γ Γ} és {Y γ : γ Γ} véletlen vektorok egyenletesen integrálhatók, akkor az {X γ + Y γ : γ Γ} véletlen vektorok is egyenletesen integrálhatók. Ha az {Y γ : γ Γ} véletlen vektorok egyenletesen integrálhatók és minden γ Γ esetén E( X γ ) E( Y γ ), akkor az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok is egyenletesen integrálhatók. Momentum konvergenciatétel Legyenek X, X 1, X 2,... d-dimenziós véletlen vektorok, és r 1. r P Az X n X konvergencia azzal ekvivalens, hogy X n X és az { X n r : n N} véletlen változók egyenletesen integrálhatók. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 73 / 125

74 Véletlen vektorok konvergenciája Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája Legyenek µ, µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Azt mondjuk, hogy a µ 1, µ 2,... sorozat gyengén konvergál µ-höz (jelölése: µ n µ), ha lim µ n (A) = µ(a) minden olyan A B(R d ) n esetén, melyre µ( A) = 0, ahol A az A halmaz határát jelöli. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 74 / 125

75 Véletlen vektorok konvergenciája Portmanteau tétel Legyenek µ, µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. A következő állítások ekvivalensek: 1 lim g(y) µ n (dy) = g(y) µ(dy) minden g : R d R n R d R d korlátos, folytonos függvény esetén. 2 lim g(y) µ n (dy) = g(y) µ(dy) minden g : R d R n R d R d korlátos, egyenletesen folytonos függvény esetén. 3 lim sup µ n (F) µ(f) minden F B(R d ) zárt halmaz esetén. n 4 lim inf µ n(g) µ(g) minden G B(R d ) nyitott halmaz esetén. n 5 lim n µ n (A) = µ(a) minden A B(R d ) esetén, melyre µ( A) = 0. 6 µ n µ. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 75 / 125

76 Véletlen vektorok konvergenciája Eloszlásbeli és gyenge konvergencia kapcsolata Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. A következő állítások ekvivalensek: 1 lim n E(g(X n )) = E(g(X)) minden g : R d R korlátos, folytonos függvény esetén. 2 lim n E(g(X n )) = E(g(X)) minden g : R d R korlátos, egyenletesen folytonos függvény esetén. 3 lim sup P(X n F) P(X F) minden F B(R d ) zárt halmazra. n 4 lim inf P(X n G) P(X G) minden G B(R d ) nyitott halmazra. n 5 lim n P(X n A) = P(X A) minden olyan A B(R d ) Borel-halmaz esetén, melyre P(X A) = 0. 6 P Xn P X. D 7 X n X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 76 / 125

77 Véletlen vektorok konvergenciája Cramér Szluckij lemma Legyenek X : Ω R d, és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. D P D Ha X n X és Xn Y n 0, akkor Y n X. Véletlen vektorok konvergenciája Legyenek X : Ω R d, X n : Ω R d, Y n : Ω R és Z n : Ω R d, n N, véletlen vektorok, és a R d, b R. P D Ha X n X, akkor X n X. D P Ha X n X, Yn b és Z n D Y n X n + Z n bx + a. P X n a akkor és csak akkor, ha X n P a, akkor D a. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 77 / 125

78 Véletlen vektorok konvergenciája A h : R d R l mérhető függvény szakadási pontjainak D h halmaza Borel-mérhető. Leképezési tétel Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok, h : R d R l mérhető függvény, és x R d. D Ha X n X és P(X Dh ) = 0, akkor h(x n ) D h(x). Véletlen vektorok mérhető függvényének konvergenciája Legyenek X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok, h : R d R l mérhető függvény, és x R d. P P Ha X n x és x / D h, akkor h(x n ) h(x). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 78 / 125

79 Valószínűségi mértékcsalád feszessége Legyen Γ nemüres halmaz, és minden γ Γ esetén µ γ valószínűségi mérték az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Azt mondjuk, hogy a {µ γ : γ Γ} mértékcsalád feszes, ha Folytonossági tétel lim sup µ γ ({x R d : x > K }) = 0. K γ Γ Legyenek X n : Ω R d, n N véletlen vektorok. 1 Ha létezik olyan X : Ω R d D véletlen vektor, hogy X n X, akkor ϕ Xn ϕ X minden korlátos intervallumon egyenletesen. 2 Ha tetszőleges t R d esetén létezik lim n ϕ Xn (t) =: g(t), és a {P Xn : n N} mértékcsalád feszes, akkor létezik olyan X : Ω R d D véletlen vektor, hogy ϕ X = g, és X n X. 3 Ha tetszőleges t R d esetén létezik lim n ϕ Xn (t) =: g(t), és g folytonos a 0 R d pontban, akkor létezik olyan X : Ω R d véletlen vektor, hogy ϕ X = g, és X n D X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 79 / 125

80 Véletlen vektorok konvergenciája Prohorov-tétel Legyenek µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. A {µ n : n N} mértékcsalád akkor és csak akkor feszes, ha pozitív egészek bármely n 1 < n 2 <... sorozatához létezik olyan µ valószínűségi mérték és olyan n k1 < n k2 <... részsorozat, hogy µ nki µ, amint i. Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája Legyenek µ, µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Ekkor µ n µ akkor és csak akkor, ha a {µ n : n N} mértékcsalád feszes, és ha pozitív egészek valamely n 1 < n 2 <... sorozatához létezik olyan ν valószínűségi mérték, hogy µ nk ν, amint k, akkor ν = µ. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 80 / 125

81 Véletlen vektorok konvergenciája Helly-féle kiválasztási tétel Legyenek µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Ekkor létezik olyan µ mérték az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren, melyre µ(r d ) 1, pozitív egészek olyan n 1 < n 2 <... sorozata, és olyan c [0, 1] konstans, hogy µ nk ({y R d : y < x}) c + µ({y R d : y < x}), amint k, minden olyan x R d függvény folytonos. Nyíró egyenlőtlenség pontban, ahol az x µ({y R d : y < x}) Ha X véletlen változó, akkor tetszőleges a > 0 esetén ( P X 2 ) 1 a (1 ϕ X (t)) dt. a a a Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 81 / 125

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5 Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Tómács Tibor. Mérték és integrál. (X, A, µ) mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor. lim

Tómács Tibor. Mérték és integrál. (X, A, µ) mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor. lim Tómács Tibor Mérték és integrál X, A, µ mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor lim f n dµ = lim f n dµ. Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Mérték és integrál Eger, 2016.

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

1. hét. 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A. (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B. 2. Fejezzük ki

1. hét. 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A. (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B. 2. Fejezzük ki . hét. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A (b) A \ B \ A \ B = A \ B \. Fejezzük ki (a) A \ B -t a n és [ m½uveletével! A \ B (b) A [ B -t a \ m½uveletével és az A; B halmazra vonatkozó

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

Matematikai statisztika Tómács Tibor

Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Hallgatói Információs Központ Copyright 2011, Educatio Kht., Hallgatói Információs Központ

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

4. rész. Nevezetes eloszlások és generálásuk. Játék a véletlennel. Komputerstatisztika kurzus

4. rész. Nevezetes eloszlások és generálásuk. Játék a véletlennel. Komputerstatisztika kurzus Valós és generálásuk Játék a véletlennel Komputerstatisztika kurzus diszkrét folytonos Box Muller Barczy Mátyás Informatikai Kar Debreceni Egyetem Marsaglia 1 A témái Valós diszkrét 1 Valós folytonos 2

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás European Virtual Laboratory of Mathematics Project No. 2006 - SK/06/B/F/PP - 177436 Európai Virtuális Matematikai Laboratórium Árvai- Homolya Szilvia Valószínűségszámítás EVML e-könyvek Miskolc 2008 Sorozat

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Itô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék

Itô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék Itô-formula A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája Medvegyev Péter Matematika tanszék 2008 Medvegyev (Corvinus Egyetem) Itô-formula 2008 1 / 39 Az Itô-formula Theorem Ha F kétszer folytonosan

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. A valószínűségszámítás egyik nagyon fontos fogalma a Wiener-folyamat, amelyet Brownmozgásnak is hívnak. Az első elnevezés e fogalom

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

Tartalomjegyzék Szitaformulák Példák a szitaformulára Mintavételezés Bayes-tétel... 17

Tartalomjegyzék Szitaformulák Példák a szitaformulára Mintavételezés Bayes-tétel... 17 Valószínűségszámítás Földtudomány szak, 2015/2016. tanév őszi félév Backhausz Ágnes (ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék)1 Tartalomjegyzék 1. Valószínűségi mező 3 1.1. Példák valószínűségi

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Véletlen szám generálás

Véletlen szám generálás 2. elıadás Véletlen szám generálás LCG: (0 < m, 0

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november

Dr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony

Részletesebben

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI, Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus. KOKI, 2015.09.17. Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze.

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.

YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

Függvénytranszformációk

Függvénytranszformációk . fejezet Függvénytranszformációk A matematika talán legfontosabb trükkje, hogy különböző matematikai területeket, meglepő és mély módon összekapcsol. A valószínűségszámítás legfontosabb analitikus eszköze

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

2. Alapfogalmak, műveletek

2. Alapfogalmak, műveletek 2. Alapfogalmak, műveletek Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGIMIEM Tartalomjegyzék I Mit tudunk eddig? 2 Fuzzy halmazokkal kapcsolatos alapvető fogalmak Fuzzy halmaz tartója Fuzzy halmaz

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

DIPLOMAMUNKA TÉMAVEZETŐ: DR. PAP GYULA MATEMATIKAI ÉS INFORMATIKAI INTÉZET DEBRECENI EGYETEM

DIPLOMAMUNKA TÉMAVEZETŐ: DR. PAP GYULA MATEMATIKAI ÉS INFORMATIKAI INTÉZET DEBRECENI EGYETEM DIPLOMAMUNKA BARCZY MÁTYÁS VALÓSZÍNŰSÉGI MÉRTÉKEK LOKÁLISAN KOMPAKT ABEL-CSOPORTOKON TÉMAVEZETŐ: DR. PAP GYULA MATEMATIKAI ÉS INFORMATIKAI INTÉZET DEBRECENI EGYETEM 2001 1 I. Bevezetés. Diplomamunkám a

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Területi sor Kárpát medence Magyarország Nyugat-Európa

Területi sor Kárpát medence Magyarország Nyugat-Európa Területi sor Terület megnevezése Magyarok száma 2011.01.01. Kárpát medence 13 820 000 Magyarország 10 600 00 Nyugat-Európa 1 340 000 HIV prevalence (%) in adults in Africa, 2005 2.5 Daganatos halálozás

Részletesebben

Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok.

Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Wiener-folyamatok legfontosabb tulajdonságai. Poisson-folyamatok. Láttuk, hogy a Wiener-folyamat teljesíti az úgynevezett funkcionális centrális határeloszlástételt. Ez az eredmény durván szólva azt fejezi

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Matematika III. Nagy Károly 2011

Matematika III. Nagy Károly 2011 Matematika III előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 20 . Kombinatorika.. Definíció. Adott n darab egymástól különböző elem. Ezeknek egy meghatározott sorrendjét az n elem

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,

Részletesebben

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul

Részletesebben