Eloszlások jellemzése. Momentumok. Medián és kvantilis. Karakterisztikus függvény
|
|
- Lídia Pappné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Karakterisztikus függvény Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Hogyan lehetne általánosítani a generátorfüggvényt folytonos okra?
2 Karakterisztikus függvény Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Karakterisztikus függvény Definíció: egy X folytonos valószínűségi változó karakterisztikus függvénye: ϕ(t) = e itx = e itx = e itx ρ(x)dx. A generátorfüggvény általánosításának felel meg: Ha X diszkrét és nem negatív egészeken fut végig, akkor ρ(x) = ϕ(t) = k=0 P(X = k)δ(x k) = p kδ(x k), k=0 e itx p kδ(x k)dx = k=0 p ke itk = G(z = e it ). k=0
3 Karakterisztikus függvény Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Karakterisztikus függvény Definíció: egy X folytonos valószínűségi változó karakterisztikus függvénye: ϕ(t) = e itx = e itx = e itx ρ(x)dx. A generátorfüggvény általánosításának felel meg: Ha X diszkrét és nem negatív egészeken fut végig, akkor ρ(x) = ϕ(t) = k=0 P(X = k)δ(x k) = p kδ(x k), k=0 e itx p kδ(x k)dx = k=0 p ke itk = G(z = e it ). k=0
4 Karakterisztikus függvény és momentumok Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Karakterisztikus függvény és momentumok A ρ(x) sűrűségfüggvény és az összes momentum meghatározható a karakterisztikus függvény segítségével: ρ(x) = 1 2π e itx ϕ(t)dt, X n = x n = 1 n ϕ i n t = [ 1 n n t=0 i t ] ϕ(t). t=0 A ρ(x) egyenleténél kihasználtuk, hogy 1 2π e itx ϕ(t)dt = 1 2π e itx 1 2π e itx ρ(x )dx dt = e it(x x) dt ρ(x )dx = ρ(x). δ(x x)
5 Karakterisztikus függvény és momentumok Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz a a momentumok karakterisztikus függvény Az összes momentum ismerete egyenlő az ismeretével!
6 Összeg karakterisztikus függvénye Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Ha X és Y függetlenek, akkor mi lesz a Z = X + Y változó karakterisztikus függvénye? Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Összeg a
7 Összeg karakterisztikus függvénye Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Ha X és Y függetlenek, akkor mi lesz a Z = X + Y változó karakterisztikus függvénye? Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz ρ Z(x) = ρ X(x y)ρ Y(y)dy ϕ Z(t) = dx dyρ X(x y)ρ Y(y)e itx = ϕ Z(t) = dx dyρ X(x y)ρ Y(y)e it(x y) e ity = ϕ Z(t) = dzρ X(z)e itz dyρ Y(y)e ity = ϕ X(t)ϕ Y(t). Összeg a
8 Összeg karakterisztikus függvénye Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Összeg karakterisztikus függvénye Összeg karakterisztikus függvénye a karakterisztikus függvények szorzata: Ha X 1, X 2,..., X n független valószínűségi változók és Y = X 1 + X X n, akkor Y karakterisztikus függvénye: ϕ Y(t) = Z X1 +X 2 + +X n (t) = e it(x 1+X 2 + +X n) = e itx 1 e itx 2 e itxn = e itx 1 e itx 2 e itxn = ϕ X1 (t)ϕ X2 (t) ϕ Xn (t). χ 2 -
9 Összeg karakterisztikus függvénye Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Összeg karakterisztikus függvénye Összeg karakterisztikus függvénye a karakterisztikus függvények szorzata: Ha X 1, X 2,..., X n független valószínűségi változók és Y = X 1 + X X n, akkor Y karakterisztikus függvénye: ϕ Y(t) = Z X1 +X 2 + +X n (t) = e it(x 1+X 2 + +X n) = e itx 1 e itx 2 e itxn = e itx 1 e itx 2 e itxn = ϕ X1 (t)ϕ X2 (t) ϕ Xn (t). χ 2 -
10 Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz MEDIÁN ÉS KVANTILIS
11 Hol van egy közepe? Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Általában a várható értéket szoktuk az közepének gondolni... Ez a x -re szimmetrikus ρ(x) esetén teljesen OK, pl. normális : µ =2, σ =1 µ =7, σ =2 ρ( x) x
12 Hol van egy közepe? Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Előfordulnak azonban olyan ok is, ahol ρ(x) erősen aszimmetrikus. Pl. Tegyük fel, hogy egy előadó 200 csokit oszt ki 50 hallgató közt különböző módokon: mindenkinek 4-et, teljesen véletlenszerűen, (minden egyes csokinál véletlenszerűen kiválaszt egy hallgatót, függetlenül az előző választásoktól), a ZH pontszám alapján elért helyezés szerint -az első 5 hallgató 20 csokit kap fejenként, -a 6. helyezéstől a 10.-ig 10-et fejenként, -a 11. helyezéstől a 20.-ig 4-et fejenként, -a 21. helyezéstől a 31.-ig 1-et fejenként. A 4 legstréberebb hallgatónak ad csokit (Az egy hallgatónak adott csokik számának várható értéke minden esetben 200/50=4).
13 Hol van egy közepe? Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz ρ( x) Az első két esetben az (közel) szimmetrikus és a várható érték tényleg az közepén van : <x> x
14 Hol van egy közepe? Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz ρ( x) A másik két esetben viszont egy tipikus hallgató kevesebb csokival rendelkezik mint az átlag: <x> x
15 Medián Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Az erősen aszimmetrikus ok esetén ahol nagy kiugró értékek fordulnak elő, a várható érték helyett sokszor szemléletesebb az mediánja. Medián Definíció: egy mediánja az az m érték, ahol az függvény F(x = m) = 1 2. Szemléletes jelentése: - az közepén van abból a szempontból, hogy annak valószínűsége, hogy X < m illetve, hogy X > m egyaránt ha elég nagy számú mintát veszünk az ból, akkor nagyjából ugyanannyi lesz alatta mint felette.
16 Medián Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Előfordulhatnak olyan esetek, amikor pontosítani kell a definíción: Ha F(x) = 1 teljesül egy egész [x1, x2] szakaszon keresztül, akkor 2 m = (x 1 + x 2)/2 a szakasz közepén van. F(x) m x
17 Medián Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Előfordulhatnak olyan esetek, amikor pontosítani kell a definíción: Ha F(x) átugorja az 1 értéket, azaz F(x) = 1 -nek nincs 2 2 megoldása, akkor van egy x 0, melyre P(X < x 0) < 1 és 2 P(X > x 0) < 1. Ilyenkor m = x0. 2 F(x) m x
18 Medián Példák Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Példa A csokoládé osztogatós példánál a medián: ρ( x) <x> x
19 Medián Példák Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Példa Mi az exponenciális mediánja? F(x) = 1 e λx, ρ(x) = λe λx
20 Medián Példák Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Példa Mi az exponenciális mediánja? F(x) = 1 e λx, Sűrűségfüggvény alapján: ρ(x) = λe λx Kvantilis Módusz m m ρ(x)dx = ρ(x)dx = λe λx dx = 0 m 0 m λe λx dx = 1 2 [ e λx ] m 0 = [ e λx ] m = 1 e λm = e λm = 1 2 m = 1 λ ln 2 Eloszlásfüggvény alapján: F(x = m) = 1 e λm = 1 2 e λm = 1 2 m = 1 λ ln 2
21 Medián Példák Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Példa A lognormális nál: µ=0, σ=0.3 µ=0, σ=1.5 ρ( x) m 0.4 <x> 0.2 m <x> x
22 Medián és várható érték Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Ha a sűrűségfüggvény szimmetrikus X -re, akkor m = X. Miért? Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz
23 Medián és várható érték Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Ha a sűrűségfüggvény szimmetrikus X -re, akkor m = X. Ilyenkor a szimmetria miatt x ρ(x)dx = x ρ(x)dx = 1 2.
24 Kvantilis Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz A medián definícióját általánosíthatjuk úgy, hogy az függvény, F(x) értékkészletét két nem egyforma nagyságú tartományra osztjuk szét: Kvantilis Definíció: egy p-ed rendű kvantilise az az Q p érték, melyre F(x = Q p) = p. Fontos kvantilisek: - a Q 1 2 a medián, - a Q 1 4 az alsó kvartilis, a Q 3 4 a felső kvartilis. A Q 3 Q 1 az interkvartilis terjedelem ami pl. a szóráshoz hasonlóan 4 4 azt jellemzi, hogy milyen széles egy.
25 Kvantilis Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz A medián definícióját általánosíthatjuk úgy, hogy az függvény, F(x) értékkészletét két nem egyforma nagyságú tartományra osztjuk szét: Kvantilis Definíció: egy p-ed rendű kvantilise az az Q p érték, melyre F(x = Q p) = p. Fontos kvantilisek: - a Q 1 2 a medián, - a Q 1 4 az alsó kvartilis, a Q 3 4 a felső kvartilis. A Q 3 Q 1 az interkvartilis terjedelem ami pl. a szóráshoz hasonlóan 4 4 azt jellemzi, hogy milyen széles egy.
26 Kvantilis Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz A medián definícióját általánosíthatjuk úgy, hogy az függvény, F(x) értékkészletét két nem egyforma nagyságú tartományra osztjuk szét: Kvantilis Definíció: egy p-ed rendű kvantilise az az Q p érték, melyre F(x = Q p) = p. Fontos kvantilisek: - a Q 1 2 a medián, - a Q 1 4 az alsó kvartilis, a Q 3 4 a felső kvartilis. A Q 3 Q 1 az interkvartilis terjedelem ami pl. a szóráshoz hasonlóan 4 4 azt jellemzi, hogy milyen széles egy.
27 Kvantilis Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz A medián definícióját általánosíthatjuk úgy, hogy az függvény, F(x) értékkészletét két nem egyforma nagyságú tartományra osztjuk szét: Kvantilis Definíció: egy p-ed rendű kvantilise az az Q p érték, melyre F(x = Q p) = p. Fontos kvantilisek: - a Q 1 2 a medián, - a Q 1 4 az alsó kvartilis, a Q 3 4 a felső kvartilis. A Q 3 Q 1 az interkvartilis terjedelem ami pl. a szóráshoz hasonlóan 4 4 azt jellemzi, hogy milyen széles egy.
28 Módusz Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Módusz Definíció: az egy módusza a sűrűségfüggvény, ρ(x), egy lokális maximumhelyének felel meg. Unimodális : ρ(x)-nek csak egy maximumhelye van. (Pl. normális-). Bimodális, trimodális, stb. : ρ(x)-nek két, három, stb. lokális maximumhelye van.
29 Módusz Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Módusz Definíció: az egy módusza a sűrűségfüggvény, ρ(x), egy lokális maximumhelyének felel meg. Unimodális : ρ(x)-nek csak egy maximumhelye van. (Pl. normális-). Bimodális, trimodális, stb. : ρ(x)-nek két, három, stb. lokális maximumhelye van.
30 Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset KORRELÁCIÓ
31 Korreláció Bevezetés Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset Mit jelenthet két valószínűségi változó közti korreláció? Pl. X mint a valszám ZH-ra készülés intenzitása, Y meg a kapott pontszám. A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset
32 Korreláció Bevezetés Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset Mit jelenthet két valószínűségi változó közti korreláció? Pl. X mint a valszám ZH-ra készülés intenzitása, Y meg a kapott pontszám. A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset
33 Korreláció Bevezetés Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Mit jelenthet két valószínűségi változó közti korreláció? Pl. X mint a valszám ZH-ra készülés intenzitása, Y meg a kapott pontszám. Ha a kettő független, akkor nincs korreláció és a tanulás mennyisége semmilyen hatással nincs a kapott pontszámra. Ha nem függetlenek és van némi korreláció akkor több pontra számítunk sok tanulás esetén, kevesebbre kevés tanulás esetén, legalábbis az átlagos esethez viszonyítva. Jó ötletnek tűnik a (X X )(Y Y ) szorzatot vizsgálni, hiszen ha X és Y egyforma irányban térnek el az átlaghoz képest, akkor ez a szorzat mindig pozitív lesz.
34 Korreláció Bevezetés Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Mit jelenthet két valószínűségi változó közti korreláció? Pl. X mint a valszám ZH-ra készülés intenzitása, Y meg a kapott pontszám. Ha a kettő független, akkor nincs korreláció és a tanulás mennyisége semmilyen hatással nincs a kapott pontszámra. Ha nem függetlenek és van némi korreláció akkor több pontra számítunk sok tanulás esetén, kevesebbre kevés tanulás esetén, legalábbis az átlagos esethez viszonyítva. Jó ötletnek tűnik a (X X )(Y Y ) szorzatot vizsgálni, hiszen ha X és Y egyforma irányban térnek el az átlaghoz képest, akkor ez a szorzat mindig pozitív lesz.
35 Korreláció Bevezetés Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Mit jelenthet két valószínűségi változó közti korreláció? Pl. X mint a valszám ZH-ra készülés intenzitása, Y meg a kapott pontszám. Ha a kettő független, akkor nincs korreláció és a tanulás mennyisége semmilyen hatással nincs a kapott pontszámra. Ha nem függetlenek és van némi korreláció akkor több pontra számítunk sok tanulás esetén, kevesebbre kevés tanulás esetén, legalábbis az átlagos esethez viszonyítva. Jó ötletnek tűnik a (X X )(Y Y ) szorzatot vizsgálni, hiszen ha X és Y egyforma irányban térnek el az átlaghoz képest, akkor ez a szorzat mindig pozitív lesz.
36 Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Korreláció és kovariancia Definíció: A X és Y valószínűségi változók kovarianciája: Cov(X, Y) = (X X )(Y Y ) = (x x ) (y y ) ρ(x, y)dxdy, ahol ρ(x, y) a X és Y együttes sűrűségfüggvénye. Alternatív ekvivalens formulája: Cov(X, Y) = (X X )(Y Y ) = XY X Y Y X + X Y = XY X Y Y X + X Y = XY X Y. Tulajdonságai: Ha X és Y független, akkor XY = X Y, emiatt Cov(X, Y) = 0. A X saját magával vett kovarianciája a variancia, más néven a szórásnégyzet: Cov(X, X) =Var(X) = σ 2 (X). Szorzat várható értéke
37 Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Korreláció és kovariancia Definíció: A X és Y valószínűségi változók kovarianciája: Cov(X, Y) = (X X )(Y Y ) = (x x ) (y y ) ρ(x, y)dxdy, ahol ρ(x, y) a X és Y együttes sűrűségfüggvénye. Alternatív ekvivalens formulája: Cov(X, Y) = (X X )(Y Y ) = XY X Y Y X + X Y = XY X Y Y X + X Y = XY X Y. Tulajdonságai: Ha X és Y független, akkor XY = X Y, emiatt Cov(X, Y) = 0. A X saját magával vett kovarianciája a variancia, más néven a szórásnégyzet: Cov(X, X) =Var(X) = σ 2 (X). Szorzat várható értéke
38 Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Korreláció és kovariancia Definíció: A X és Y valószínűségi változók kovarianciája: Cov(X, Y) = (X X )(Y Y ) = (x x ) (y y ) ρ(x, y)dxdy, ahol ρ(x, y) a X és Y együttes sűrűségfüggvénye. Alternatív ekvivalens formulája: Cov(X, Y) = (X X )(Y Y ) = XY X Y Y X + X Y = XY X Y Y X + X Y = XY X Y. Tulajdonságai: Ha X és Y független, akkor XY = X Y, emiatt Cov(X, Y) = 0. A X saját magával vett kovarianciája a variancia, más néven a szórásnégyzet: Cov(X, X) =Var(X) = σ 2 (X). Szorzat várható értéke
39 Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Max. mekkora lehet a kovariancia abszolút értéke? Bizonyítás: Először azt látjuk be, hogy Cov(X, Y) σ(x)σ(y). XY X 2 Y 2. Tetszőleges a számra (Y ax) 2 0, ezért 0 (Y ax) 2 = Y 2 2aYX + a 2 X 2 = Y 2 2a YX + a 2 X 2. Helyettesítsünk be a = XY X 2 értéket: 0 Y 2 XY 2 X 2 0 Y 2 X 2 XY 2
40 Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Max. mekkora lehet a kovariancia abszolút értéke? Bizonyítás: Először azt látjuk be, hogy Cov(X, Y) σ(x)σ(y). XY X 2 Y 2. Tetszőleges a számra (Y ax) 2 0, ezért 0 (Y ax) 2 = Y 2 2aYX + a 2 X 2 = Y 2 2a YX + a 2 X 2. Helyettesítsünk be a = XY X 2 értéket: 0 Y 2 XY 2 X 2 0 Y 2 X 2 XY 2
41 Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Max. mekkora lehet a kovariancia abszolút értéke? Bizonyítás: Először azt látjuk be, hogy Cov(X, Y) σ(x)σ(y). XY X 2 Y 2. Tetszőleges a számra (Y ax) 2 0, ezért 0 (Y ax) 2 = Y 2 2aYX + a 2 X 2 = Y 2 2a YX + a 2 X 2. Helyettesítsünk be a = XY X 2 értéket: 0 Y 2 XY 2 X 2 0 Y 2 X 2 XY 2
42 Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Max. mekkora lehet a kovariancia abszolút értéke? Bizonyítás: Először azt látjuk be, hogy Cov(X, Y) σ(x)σ(y). XY X 2 Y 2. Tetszőleges a számra (Y ax) 2 0, ezért 0 (Y ax) 2 = Y 2 2aYX + a 2 X 2 = Y 2 2a YX + a 2 X 2. Helyettesítsünk be a = XY X 2 értéket: 0 Y 2 XY 2 X 2 0 Y 2 X 2 XY 2
43 Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő A XY X 2 Y 2 tételt használjuk a X X és Y Y változókra: (X X ) (Y Y ) = Cov(X, Y) (X X ) 2 (Y Y ) 2 = σ(x)σ(y). Több dimenziós eset Ha a kovarianciát leosztjuk a szorások szorzatával, egy 1 és 1 közé eső számot kapunk!
44 Kovariancia Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő A XY X 2 Y 2 tételt használjuk a X X és Y Y változókra: (X X ) (Y Y ) = Cov(X, Y) (X X ) 2 (Y Y ) 2 = σ(x)σ(y). Több dimenziós eset Ha a kovarianciát leosztjuk a szorások szorzatával, egy 1 és 1 közé eső számot kapunk!
45 Korrelációs együttható Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Korrelációs együttható Definíció: A X és Y korrelációs együtthatója: C(X, Y) = Cov(X, Y) (X X )(Y Y ) σ(x)σ(y) = = σ(x)σ(y) (Ezt szokták Pearson-korrelációnak hívni). Tulajdonságai: Legfeljebb 1 abszolútértékű: 1 C(X, Y) 1 Ha X és Y független, akkor C(X, Y) = 0. XY X Y. σ(x)σ(y) Egy X valószínűségi változó önmagával vett korrelációs együtthatója C(X, X) = Cov(X,X) σ 2 (X) = 1.
46 Korrelációs együttható Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Korrelációs együttható Definíció: A X és Y korrelációs együtthatója: C(X, Y) = Cov(X, Y) (X X )(Y Y ) σ(x)σ(y) = = σ(x)σ(y) (Ezt szokták Pearson-korrelációnak hívni). Tulajdonságai: Legfeljebb 1 abszolútértékű: 1 C(X, Y) 1 Ha X és Y független, akkor C(X, Y) = 0. XY X Y. σ(x)σ(y) Egy X valószínűségi változó önmagával vett korrelációs együtthatója C(X, X) = Cov(X,X) σ 2 (X) = 1.
47 Korrelációs együttható Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Korrelációs együttható Definíció: A X és Y korrelációs együtthatója: C(X, Y) = Cov(X, Y) (X X )(Y Y ) σ(x)σ(y) = = σ(x)σ(y) (Ezt szokták Pearson-korrelációnak hívni). Tulajdonságai: Legfeljebb 1 abszolútértékű: 1 C(X, Y) 1 Ha X és Y független, akkor C(X, Y) = 0. XY X Y. σ(x)σ(y) Egy X valószínűségi változó önmagával vett korrelációs együtthatója C(X, X) = Cov(X,X) σ 2 (X) = 1.
48 Korrelációs együttható Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Korrelációs együttható Definíció: A X és Y korrelációs együtthatója: C(X, Y) = Cov(X, Y) (X X )(Y Y ) σ(x)σ(y) = = σ(x)σ(y) (Ezt szokták Pearson-korrelációnak hívni). Tulajdonságai: Legfeljebb 1 abszolútértékű: 1 C(X, Y) 1 Ha X és Y független, akkor C(X, Y) = 0. XY X Y. σ(x)σ(y) Egy X valószínűségi változó önmagával vett korrelációs együtthatója C(X, X) = Cov(X,X) σ 2 (X) = 1.
49 Korrelációs együttható Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Korrelációs együttható Definíció: A X és Y korrelációs együtthatója: C(X, Y) = Cov(X, Y) (X X )(Y Y ) σ(x)σ(y) = = σ(x)σ(y) (Ezt szokták Pearson-korrelációnak hívni). Tulajdonságai: Legfeljebb 1 abszolútértékű: 1 C(X, Y) 1 Ha X és Y független, akkor C(X, Y) = 0. XY X Y. σ(x)σ(y) Egy X valószínűségi változó önmagával vett korrelációs együtthatója C(X, X) = Cov(X,X) σ 2 (X) = 1.
50 Korrelációs együttható Példák Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset Példák Nézzük meg a korrelációs együttható értékét különböző pontfelhők esetén, ahol X és Y a pontok vízszintes és függőleges koordinátáinak felelnek meg: A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset
51 Korrelációs együttható A C = ±1 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő A C(X, Y) = ±1 eset Ha Y = a + bx, (ahol b 0), akkor C(X, Y) = ±1, (b előjelétől függően). Ha C(X, Y) = ±1, akkor a, b melyekre Y = a + bx. Bizonyítás, odafelé: ha Y = a + bx, akkor Több dimenziós eset C(X, Y) = (a + bx)x a + bx X ax + bx 2 (a + b X ) X σ(a + bx)σ(x) = bσ(x)σ(x) = a X + b X 2 a X b X 2 bσ 2 (X) = b ( X2 X 2 ) bσ 2 (X) = 1.
52 Korrelációs együttható A C = ±1 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő A C(X, Y) = ±1 eset Ha Y = a + bx, (ahol b 0), akkor C(X, Y) = ±1, (b előjelétől függően). Ha C(X, Y) = ±1, akkor a, b melyekre Y = a + bx. Bizonyítás, odafelé: ha Y = a + bx, akkor Több dimenziós eset C(X, Y) = (a + bx)x a + bx X ax + bx 2 (a + b X ) X σ(a + bx)σ(x) = bσ(x)σ(x) = a X + b X 2 a X b X 2 bσ 2 (X) = b ( X2 X 2 ) bσ 2 (X) = 1.
53 Korrelációs együttható A C = ±1 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Bizonyítás, visszafelé: tegyük fel, hogy C(X, Y) = 1. Ilyenkor vizsgáljuk meg az várható értéket. Egyfelől R = ( X X σ(x) Y Y 2 σ(y) ) (X X )2 (X X )(Y Y ) R = 2 + σ 2 (X) σ(x)σ(y) (Y Y )2 = σ 2 (Y) (X X ) 2 σ 2 (X) 1 2 (X X )(Y Y ) σ(x)σ(y) C(X,Y) + (Y Y ) 2 σ 2 (Y) 1 = 2 2C(X, Y) = 0.
54 Korrelációs együttható A C = ±1 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Bizonyítás, visszafelé: tegyük fel, hogy C(X, Y) = 1. Ilyenkor vizsgáljuk meg az várható értéket. Egyfelől R = ( X X σ(x) Y Y 2 σ(y) ) (X X )2 (X X )(Y Y ) R = 2 + σ 2 (X) σ(x)σ(y) (Y Y )2 = σ 2 (Y) (X X ) 2 σ 2 (X) 1 2 (X X )(Y Y ) σ(x)σ(y) C(X,Y) + (Y Y ) 2 σ 2 (Y) 1 = 2 2C(X, Y) = 0.
55 Korrelációs együttható A C = ±1 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Másfelől ha jobban megnézzük, R = ( X X σ(x) Y Y 2 σ(y) ) 0, azaz R egy olyan valószínűségi változó, ami sosem negatív és a várható értéke 0. Általánosan, ha egy Z 0 valószínűségi változóra Z = 0, akkor P(Z = 0) = 1: - Tegyük fel, hogy P(Z = 0) < 1. Ilyenkor létezik egy A mérhető halmaz, melyre 0 A és P(Z A) = A ρ Z(x)dx = 1 P(Z = 0) > 0 - Viszont ekkor Z = zρ(z)dz A zρ(z)dz > 0 azaz ellentmondásra jutottunk, (amivel beláttuk, hogy P(Z = 0) = 1).
56 Korrelációs együttható A C = ±1 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Másfelől ha jobban megnézzük, R = ( X X σ(x) Y Y 2 σ(y) ) 0, azaz R egy olyan valószínűségi változó, ami sosem negatív és a várható értéke 0. Általánosan, ha egy Z 0 valószínűségi változóra Z = 0, akkor P(Z = 0) = 1: - Tegyük fel, hogy P(Z = 0) < 1. Ilyenkor létezik egy A mérhető halmaz, melyre 0 A és P(Z A) = A ρ Z(x)dx = 1 P(Z = 0) > 0 - Viszont ekkor Z = zρ(z)dz A zρ(z)dz > 0 azaz ellentmondásra jutottunk, (amivel beláttuk, hogy P(Z = 0) = 1).
57 Korrelációs együttható A C = ±1 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Másfelől ha jobban megnézzük, R = ( X X σ(x) Y Y 2 σ(y) ) 0, azaz R egy olyan valószínűségi változó, ami sosem negatív és a várható értéke 0. Általánosan, ha egy Z 0 valószínűségi változóra Z = 0, akkor P(Z = 0) = 1: - Tegyük fel, hogy P(Z = 0) < 1. Ilyenkor létezik egy A mérhető halmaz, melyre 0 A és P(Z A) = A ρ Z(x)dx = 1 P(Z = 0) > 0 - Viszont ekkor Z = zρ(z)dz A zρ(z)dz > 0 azaz ellentmondásra jutottunk, (amivel beláttuk, hogy P(Z = 0) = 1).
58 Korrelációs együttható A C = ±1 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Másfelől ha jobban megnézzük, R = ( X X σ(x) Y Y 2 σ(y) ) 0, azaz R egy olyan valószínűségi változó, ami sosem negatív és a várható értéke 0. Általánosan, ha egy Z 0 valószínűségi változóra Z = 0, akkor P(Z = 0) = 1: - Tegyük fel, hogy P(Z = 0) < 1. Ilyenkor létezik egy A mérhető halmaz, melyre 0 A és P(Z A) = A ρ Z(x)dx = 1 P(Z = 0) > 0 - Viszont ekkor Z = zρ(z)dz A zρ(z)dz > 0 azaz ellentmondásra jutottunk, (amivel beláttuk, hogy P(Z = 0) = 1).
59 Korrelációs együttható A C = ±1 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Alkalmazva az iménti tételt R-re azt kapjuk, hogy a X X σ(x) = Y Y σ(y) azonosság teljesül 1 valószínűséggel. Innen egyenesen következik, hogy P(Y = a + bx) = 1, ahol b = σ(y) σ(x), σ(y) a = Y σ(x) X.
60 Korrelációs együttható A C = ±1 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Alkalmazva az iménti tételt R-re azt kapjuk, hogy a X X σ(x) = Y Y σ(y) azonosság teljesül 1 valószínűséggel. Innen egyenesen következik, hogy P(Y = a + bx) = 1, ahol b = σ(y) σ(x), σ(y) a = Y σ(x) X.
61 Korrelációs együttható A C = ±1 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Példa VIGYÁZAT! Az iménti tétel kifejezetten az egzaktul C = ±1 esetekre vonatkozott. Általánosan egy magas abszolút értékű C még nem feltétlen jelent közel lineáris kapcsolatot a két változó között. Az alábbi esetek mind C = értéket produkálnak: Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset
62 Korrelációs együttható A C = 0 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Ha X és Y függetlenek, akkor C(X, Y) = 0, hiszen ilyenkor XY = X Y. És visszafelé? Visszafelé nem igaz, hogy ha C(X, Y) = 0, akkor X és Y automatikusan független is egyben. Egy ellenpélda: - Tfh. a 2d síkon az ábrán látható négy pontot egyformán P = 1 4 valószínűséggel választhatjuk. - A választott pont x és y koordinátái mint valószínűségi változók korrelálatlanok: x = y = 0 és mivel xy = 0 mindig teljesül, xy = 0. - Viszont nem függetlenek: P(x = 1, y = 1) = 0 P(x = 1)P(y = 1). P=0.25 ( 1,0) (0,1) (0, 1) P=0.25 P=0.25 (1,0) P=0.25
63 Korrelációs együttható A C = 0 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Ha X és Y függetlenek, akkor C(X, Y) = 0, hiszen ilyenkor XY = X Y. És visszafelé? Visszafelé nem igaz, hogy ha C(X, Y) = 0, akkor X és Y automatikusan független is egyben. Egy ellenpélda: - Tfh. a 2d síkon az ábrán látható négy pontot egyformán P = 1 4 valószínűséggel választhatjuk. - A választott pont x és y koordinátái mint valószínűségi változók korrelálatlanok: x = y = 0 és mivel xy = 0 mindig teljesül, xy = 0. - Viszont nem függetlenek: P(x = 1, y = 1) = 0 P(x = 1)P(y = 1). P=0.25 ( 1,0) (0,1) (0, 1) P=0.25 P=0.25 (1,0) P=0.25
64 Korrelációs együttható A C = 0 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Ha X és Y függetlenek, akkor C(X, Y) = 0, hiszen ilyenkor XY = X Y. És visszafelé? Visszafelé nem igaz, hogy ha C(X, Y) = 0, akkor X és Y automatikusan független is egyben. Egy ellenpélda: - Tfh. a 2d síkon az ábrán látható négy pontot egyformán P = 1 4 valószínűséggel választhatjuk. - A választott pont x és y koordinátái mint valószínűségi változók korrelálatlanok: x = y = 0 és mivel xy = 0 mindig teljesül, xy = 0. - Viszont nem függetlenek: P(x = 1, y = 1) = 0 P(x = 1)P(y = 1). P=0.25 ( 1,0) (0,1) (0, 1) P=0.25 P=0.25 (1,0) P=0.25
65 Korrelációs együttható A C = 0 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Ha X és Y függetlenek, akkor C(X, Y) = 0, hiszen ilyenkor XY = X Y. És visszafelé? Visszafelé nem igaz, hogy ha C(X, Y) = 0, akkor X és Y automatikusan független is egyben. Egy ellenpélda: - Tfh. a 2d síkon az ábrán látható négy pontot egyformán P = 1 4 valószínűséggel választhatjuk. - A választott pont x és y koordinátái mint valószínűségi változók korrelálatlanok: x = y = 0 és mivel xy = 0 mindig teljesül, xy = 0. - Viszont nem függetlenek: P(x = 1, y = 1) = 0 P(x = 1)P(y = 1). P=0.25 ( 1,0) (0,1) (0, 1) P=0.25 P=0.25 (1,0) P=0.25
66 Korrelációs együttható A C = 0 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Ha X és Y függetlenek, akkor C(X, Y) = 0, hiszen ilyenkor XY = X Y. És visszafelé? Visszafelé nem igaz, hogy ha C(X, Y) = 0, akkor X és Y automatikusan független is egyben. Egy ellenpélda: - Tfh. a 2d síkon az ábrán látható négy pontot egyformán P = 1 4 valószínűséggel választhatjuk. - A választott pont x és y koordinátái mint valószínűségi változók korrelálatlanok: x = y = 0 és mivel xy = 0 mindig teljesül, xy = 0. - Viszont nem függetlenek: P(x = 1, y = 1) = 0 P(x = 1)P(y = 1). P=0.25 ( 1,0) (0,1) (0, 1) P=0.25 P=0.25 (1,0) P=0.25
67 Korrelációs együttható A C = 0 eset Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Ha X és Y függetlenek, akkor C(X, Y) = 0, hiszen ilyenkor XY = X Y. És visszafelé? Visszafelé nem igaz, hogy ha C(X, Y) = 0, akkor X és Y automatikusan független is egyben. Egy ellenpélda: - Tfh. a 2d síkon az ábrán látható négy pontot egyformán P = 1 4 valószínűséggel választhatjuk. - A választott pont x és y koordinátái mint valószínűségi változók korrelálatlanok: x = y = 0 és mivel xy = 0 mindig teljesül, xy = 0. - Viszont nem függetlenek: P(x = 1, y = 1) = 0 P(x = 1)P(y = 1). P=0.25 ( 1,0) (0,1) (0, 1) P=0.25 P=0.25 (1,0) P=0.25
68 Koszinusz hasonlóság Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Két vektor, x és y hasonlóságát mérhetjük a közbezárt φ szög koszinuszával: x y Sim( x, y) = cos φ = x y = i x iy i i xi 2 i y 2 i Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset
69 Koszinusz hasonlóság Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Két vektor, x és y hasonlóságát mérhetjük a közbezárt φ szög koszinuszával: x y Sim( x, y) = cos φ = x y = i x iy i i xi 2 i y 2 i Ha pl. mérési adataink vannak két változóról, akkor ezt a mennyiséget is használhatjuk a két változó összehasonlítására: a mérési adatokkal töltjük fel az x és y vektort, kiszámoljuk a koszinusz hasonlóságot a fenti módon. Több dimenziós eset
70 Koszinusz hasonlóság Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Két vektor, x és y hasonlóságát mérhetjük a közbezárt φ szög koszinuszával: x y Sim( x, y) = cos φ = x y = i x iy i i xi 2 i y 2 i Tegyük fel, hogy a változók centráltak, azaz x = 1 n n i=1 x i = 0, (ahol n a mérési adatok száma). y = 1 n n i=1 y i = 0, Több dimenziós eset
71 Koszinusz hasonlóság Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Két vektor, x és y hasonlóságát mérhetjük a közbezárt φ szög koszinuszával: x y Sim( x, y) = cos φ = x y = i x iy i i xi 2 i y 2 i Tegyük fel, hogy a változók centráltak, azaz x = 1 n n i=1 x i = 0, (ahol n a mérési adatok száma). Mi lesz a korrelációs együttható? y = 1 n n i=1 y i = 0,
72 Koszinusz hasonlóság Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Két vektor, x és y hasonlóságát mérhetjük a közbezárt φ szög koszinuszával: x y Sim( x, y) = cos φ = x y = i x iy i i xi 2 i y 2 i Tegyük fel, hogy a változók centráltak, azaz x = 1 n n i=1 x i = 0, y = 1 n n i=1 y i = 0, (ahol n a mérési adatok száma). Mi lesz a korrelációs együttható? 1 Cov(x, y) = n x iy i x y = 1 x y, i n 0 σ 2 (x) = 1 n i x 2 i x 2 0 = 1 n x 2
73 Koszinusz hasonlóság Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Két vektor, x és y hasonlóságát mérhetjük a közbezárt φ szög koszinuszával: x y Sim( x, y) = cos φ = x y = i x iy i i xi 2 i y 2 i Tegyük fel, hogy a változók centráltak, azaz x = 1 n n i=1 x i = 0, (ahol n a mérési adatok száma). Mi lesz a korrelációs együttható? 1 y = 1 n n i=1 y i = 0, n C = i x iy i = i x iy i = Sim( x, y). 1 n i xi 2 1 n i y 2 i x 2 i i i y 2 i
74 Koszinusz hasonlóság Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Két vektor, x és y hasonlóságát mérhetjük a közbezárt φ szög koszinuszával: x y Sim( x, y) = cos φ = x y = i x iy i i xi 2 i y 2 i És ha nem centráltak? Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset
75 Koszinusz hasonlóság Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Két vektor, x és y hasonlóságát mérhetjük a közbezárt φ szög koszinuszával: x y Sim( x, y) = cos φ = x y = i x iy i i xi 2 i y 2 i És ha nem centráltak? Akkor centráljuk őket: x c i = x i x, y c i = y i y, és a centrált változókra: Cov(x c, y c ) = 1 n (x i x )(y i y ) x c y c = 1 x i n c y c 0 σ 2 (x c ) = 1 n i (x i x ) 2 x c 2 0 = 1 n x c 2, C(x c, y c ) = Cov(xc, y c 1 ) σ(x c )σ(y c ) = x n c y c 1 n x c 1 n y c = Sim( x c, y c ).
76 Empirikus kovariancia és korreláció Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Ahogy már az előző részben láttuk, ha empirikus adatpárok állnak rendelkezésre egy X és Y mennyiségről úgy mint pl. - betegek vérnyomása és testsúlya, - egy kísérletben a becsapódó részecske x és y koordinátája, - stb. akkor a két mennyiség kovariancájának természetes becslése a Cov(x, y) = 1 n n i=1(x i x)(y i y) vagy Cov(x, y) = 1 n n i=1 x iy i x y.
77 Empirikus kovariancia és korreláció Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Ahogy már az előző részben láttuk, ha empirikus adatpárok állnak rendelkezésre egy X és Y mennyiségről úgy mint pl. - betegek vérnyomása és testsúlya, - egy kísérletben a becsapódó részecske x és y koordinátája, - stb. akkor a két mennyiség kovariancájának természetes becslése a Cov(x, y) = 1 n n i=1(x i x)(y i y) vagy Cov(x, y) = 1 n n i=1 x iy i x y. Mi az empirikus kovarianca várható értéke?
78 Empirikus kovariancia és korreláció Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Ahogy már az előző részben láttuk, ha empirikus adatpárok állnak rendelkezésre egy X és Y mennyiségről úgy mint pl. - betegek vérnyomása és testsúlya, - egy kísérletben a becsapódó részecske x és y koordinátája, - stb. akkor a két mennyiség kovariancájának természetes becslése a Cov(x, y) = 1 n n i=1(x i x)(y i y) vagy Cov(x, y) = 1 n n i=1 x iy i x y. Mi az empirikus kovarianca várható értéke? n Cov(x, y) = 1 i x)(y i y) = n i=1(x 1 n 1 n n i=1 xy 1 n n i=1 [ x iy i x iy y ix + x y ] = n i=1 x iy 1 n n i=1 x iy i x iy y ix + x y = y ix + x y.
79 Empirikus kovariancia és korreláció Korreláció Bevezetés Kovariancia Cov(x, y) = xy 1 n n i=1 x iy 1 n n i=1 y ix + x y. Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset
80 Empirikus kovariancia és korreláció Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Cov(x, y) = xy 1 n n i=1 x iy 1 n n i=1 y ix + x y. A második és harmadik tagok a minták függetlensége miatt x iy = x i 1 n y ix = y i 1 n n j=1 n j=1 y j = 1 n x j = 1 n n j=1 n j=1 x iy j = 1 [ xy + (n 1) x y ], n y ix j = 1 [ yx + (n 1) y x ], n
81 Empirikus kovariancia és korreláció Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Cov(x, y) = xy 1 n n i=1 x iy 1 n n i=1 y ix + x y. A második és harmadik tagok a minták függetlensége miatt x iy = x i 1 n y ix = y i 1 n A negyedik tag: n j=1 n j=1 y j = 1 n x j = 1 n n j=1 n j=1 x y = [ 1 n n x i] 1 n y j = i=1 n j=1 1 n n 2 i=1 1 n n 2 x iy i + 2 x iy j i=1 i<j x iy j = 1 [ xy + (n 1) x y ], n y ix j = 1 [ yx + (n 1) y x ], n x iy i + 2 x iy j i<j = = 1 n xy + 2 n 2 x i y j = i<j 1 n(n 1) [n xy + 2 x y ] = 1 n2 2 n xy + (1 1 ) x y n
82 Empirikus kovariancia és korreláció Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Visszahelyettesítve: Cov(x, y) = xy 1 n n i=1 x iy 1 n n i=1 y ix + x y = xy 2 n n 1 n [ xy + (n 1) x y ] + 1 n xy + (1 1 ) x y = n (1 1 n ) xy (1 1 n ) x y = (1 1 ) [ xy x y ] = n n 1 n [ xy x y ] = n 1 Cov(X, Y) n
83 Empirikus kovariancia és korreláció Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Visszahelyettesítve: Cov(x, y) = xy 1 n n i=1 x iy 1 n n i=1 y ix + x y = xy 2 n n 1 n [ xy + (n 1) x y ] + 1 n xy + (1 1 ) x y = n (1 1 n ) xy (1 1 n ) x y = (1 1 ) [ xy x y ] = n n 1 [ xy x y ] = n 1 Cov(X, Y) n n Mit kapunk, ha a másik alakból indulunk ki?
84 Empirikus kovariancia és korreláció Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Visszahelyettesítve: Cov(x, y) = xy 1 n n i=1 x iy 1 n n i=1 y ix + x y = xy 2 n n 1 n [ xy + (n 1) x y ] + 1 n xy + (1 1 ) x y = n (1 1 n ) xy (1 1 n ) x y = (1 1 ) [ xy x y ] = n n 1 [ xy x y ] = n 1 Cov(X, Y) n n Mit kapunk, ha a másik alakból indulunk ki? n 1 Cov(x, y) = x iy i x y, n Cov(x, y) = 1 n i=1 n i=1 x iy i x y = 1 n n i=1 x iy i x y = xy [ 1 n xy + (1 1 ) x y ] = n n 1 [ xy x y ] = n 1 n n Cov(X, Y)
85 Empirikus kovariancia és korreláció Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő A kovariancia és a korreláció becslése Ha n mérési adatpárunk van az X és Y mennyiségre (változóra) vonatkozóan, akkor ezek alapján a kovarianciát a Cov(x, y) = 1 n 1 n i=1 összefüggés segítségével becsülhetjük meg. (x i x)(y i y) Több dimenziós eset
86 Empirikus kovariancia és korreláció Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset A kovariancia és a korreláció becslése Ha n mérési adatpárunk van az X és Y mennyiségre (változóra) vonatkozóan, akkor ezek alapján a kovarianciát a Cov(x, y) = 1 n 1 n i=1 (x i x)(y i y) összefüggés segítségével becsülhetjük meg. A fentiek alapján Cov(x, y) = Cov(X, Y).
87 Empirikus kovariancia és korreláció Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset A kovariancia és a korreláció becslése Ha n mérési adatpárunk van az X és Y mennyiségre (változóra) vonatkozóan, akkor ezek alapján a kovarianciát a Cov(x, y) = 1 n 1 n i=1 (x i x)(y i y) összefüggés segítségével becsülhetjük meg. A fentiek alapján Cov(x, y) = Cov(X, Y). A korrelációs együttható becslésére a kifejezést használhatjuk. c(x, y) = Cov(x, y) S x S y
88 Kovariancia- és korrelációs mátrixok Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Kovariancia- és korrelációs mátrixok Definíció: a X 1, X 2,..., X n valószínűségi változók kovariancia mátrixa: Σ ij = Cov(X i, X j). A diagonális elemek a szórásnégyzeteknek felelnek meg, Σ ii = σ 2 (X i). Definíció: a X 1, X 2,..., X n valószínűségi változók korrelációs mátrixa: C ij = C(X i, X j) = Cov(Xi, Xj) σ(x i)σ(x j) XiXj Xi Xj =. σ(x i)σ(x j) A diagonális elemek C ii = 1.
89 Kovariancia- és korrelációs mátrixok Korreláció Bevezetés Kovariancia Korrelációs együttható A C = ±1 eset A C = 0 eset Koszinusz hasonlóság Empirikus kovariancia és korreláciő Több dimenziós eset Kovariancia- és korrelációs mátrixok Definíció: a X 1, X 2,..., X n valószínűségi változók kovariancia mátrixa: Σ ij = Cov(X i, X j). A diagonális elemek a szórásnégyzeteknek felelnek meg, Σ ii = σ 2 (X i). Definíció: a X 1, X 2,..., X n valószínűségi változók korrelációs mátrixa: C ij = C(X i, X j) = Cov(Xi, Xj) σ(x i)σ(x j) XiXj Xi Xj =. σ(x i)σ(x j) A diagonális elemek C ii = 1.
90 Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Nevezetes ok Multinomiális
91 Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális EGYENLETES ELOSZLÁS
92 Egyenletes Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális Egyenletes Definíció: egy x 1, x 2,..., x n számokon végigfutó diszkrét X valószínűségi változó egyenletes ú, ha P(X = x i) = 1 n. Definíció: egy [x 1, x 2] intervallumon értelmezett X folytonos valószínűségi változó egyenletes ú, ha ρ X(x) = 1 x 2 x 1 ha x 1 x x 2 0 egyébként F X(x) = 0 ha x < x 1 x x 1 x 2 x 1 ha x 1 x x 2 1 ha x > x 2
93 Egyenletes Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális Egyenletes Definíció: egy x 1, x 2,..., x n számokon végigfutó diszkrét X valószínűségi változó egyenletes ú, ha P(X = x i) = 1 n. Definíció: egy [x 1, x 2] intervallumon értelmezett X folytonos valószínűségi változó egyenletes ú, ha ρ X(x) = 1 x 2 x 1 ha x 1 x x 2 0 egyébként F X(x) = 0 ha x < x 1 x x 1 x 2 x 1 ha x 1 x x 2 1 ha x > x 2
94 Egyenletes Példák Nevezetes ok A sűrűség- és függvény: Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális 1 1 ρ(x) x 2 x 1 F(x) x 1 x 2 x Hol fordul elő? Kockadobás, mintavételezés, null hipotézis.
95 Egyenletes Példák Nevezetes ok A sűrűség- és függvény: Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális 1 1 ρ(x) x 2 x 1 F(x) x 1 x 2 x Hol fordul elő? Kockadobás, mintavételezés, null hipotézis.
96 Egyenletes Példák Nevezetes ok A sűrűség- és függvény: Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális 1 1 ρ(x) x 2 x 1 F(x) x 1 x 2 x Hol fordul elő? Kockadobás, mintavételezés, null hipotézis.
97 Egyenletes Példák Nevezetes ok A sűrűség- és függvény: Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális 1 1 ρ(x) x 2 x 1 F(x) x 1 x 2 x Hol fordul elő? Kockadobás, mintavételezés, null hipotézis.
98 Egyenletes Jellemzők Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális Az egyenletes jellemzői A várható érték és szórás diszkrét esetben: x1 + x2 + + xn X = x kp(x = x k) = k n σ 2 (X) = X 2 X 2 = 1 n n i=1 x 2 i ( 1 n n i=1 2 x i).
99 Egyenletes Jellemzők Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Az egyenletes jellemzői A várható érték és szórás folytonos esetben: Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális X = x 1 x 2 x 1 dx = [ x2 2 x 2 x 1 x 2 x 1 2 x2 1 2 x1 + x2 ] =, 2 Multinomiális σ 2 (X) = X 2 X 2 = x 1 x x x1 + x2 dx ( ) = x 2 x x 2 x 1 [ x3 2 3 x3 1 3 x x x 1x x1 + x2 ] ( ) = 2 x x 1x 2 + x = (x2 x1)2 12
100 Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális BINOMIÁLIS ELOSZLÁS
101 Binomiális Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális Binomiális Egy kísérletnek két lehetséges kimenetele van, p és q = 1 p valószínűséggel; N-szer hajtjuk végre, egymástól függetlenül. Valószínűségi változó az egyik fajta kimenetelek száma az N kísérlet során. Az : P(X = k) = p k = ( N k )pk (1 p) N k = ( N k )pk q N k. Hol fordul elő? Bernoulli problémája, sorozatos pénzfeldobás, valszám vizsgán megbukottak száma, véletlen gráf fokszáma, stb. Bernoulli problémája Binomiális I. Várható érték Szórás Generátorfgv.
102 Binomiális Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális Binomiális Egy kísérletnek két lehetséges kimenetele van, p és q = 1 p valószínűséggel; N-szer hajtjuk végre, egymástól függetlenül. Valószínűségi változó az egyik fajta kimenetelek száma az N kísérlet során. Az : P(X = k) = p k = ( N k )pk (1 p) N k = ( N k )pk q N k. Hol fordul elő? Bernoulli problémája, sorozatos pénzfeldobás, valszám vizsgán megbukottak száma, véletlen gráf fokszáma, stb. Bernoulli problémája Binomiális I. Várható érték Szórás Generátorfgv.
103 Binomiális Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális Binomiális Egy kísérletnek két lehetséges kimenetele van, p és q = 1 p valószínűséggel; N-szer hajtjuk végre, egymástól függetlenül. Valószínűségi változó az egyik fajta kimenetelek száma az N kísérlet során. Az : P(X = k) = p k = ( N k )pk (1 p) N k = ( N k )pk q N k. Hol fordul elő? Bernoulli problémája, sorozatos pénzfeldobás, valszám vizsgán megbukottak száma, véletlen gráf fokszáma, stb. Bernoulli problémája Binomiális I. Várható érték Szórás Generátorfgv.
104 Binomiális Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális Binomiális Egy kísérletnek két lehetséges kimenetele van, p és q = 1 p valószínűséggel; N-szer hajtjuk végre, egymástól függetlenül. Valószínűségi változó az egyik fajta kimenetelek száma az N kísérlet során. Az : P(X = k) = p k = ( N k )pk (1 p) N k = ( N k )pk q N k. Hol fordul elő? Bernoulli problémája, sorozatos pénzfeldobás, valszám vizsgán megbukottak száma, véletlen gráf fokszáma, stb. Bernoulli problémája Binomiális I. Várható érték Szórás Generátorfgv.
105 Binomiális Hisztogram Nevezetes ok Egyenletes A binomiális hisztogramja: Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus N=20, p=0.25 Negatív binomiális Multinomiális p k k 15 20
106 Binomiális Jellemzők Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális A binomiális jellemzői A binomiális generátorfüggvénye: N G(z) = ( N k )pk q N k z k = (pz + q) N = (1 (1 p)z) N. k=0 A várható érték és szórás: X = z z G(z) = G (1) = Np(pz + q) N 1 z=1 = Np z=1 X 2 = z z z z G(z) = G (1) + G (1) = z=1 N(N 1)p 2 (pz q) N 2 z=1 + Np = N(N 1)p 2 + Np σ 2 (X) = X 2 X 2 = N 2 p 2 Np 2 + Np N 2 p 2 = Np(1 p) = Npq Várható érték Szórás Generátorfgv.
107 Binomiális Jellemzők Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális A binomiális jellemzői A binomiális generátorfüggvénye: N G(z) = ( N k )pk q N k z k = (pz + q) N = (1 (1 p)z) N. k=0 A várható érték és szórás: X = z z G(z) = G (1) = Np(pz + q) N 1 z=1 = Np z=1 X 2 = z z z z G(z) = G (1) + G (1) = z=1 N(N 1)p 2 (pz q) N 2 z=1 + Np = N(N 1)p 2 + Np σ 2 (X) = X 2 X 2 = N 2 p 2 Np 2 + Np N 2 p 2 = Np(1 p) = Npq Várható érték Szórás Generátorfgv.
108 Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális URNA MODELLEK
109 Urna modellek Nevezetes ok Egyenletes Binomiális Urna modellek Geometriai Hipergeometrikus Negatív binomiális Multinomiális Sok probléma ekvivalens a következő urna modell valamelyik speciális verziójával: Van egy urnánk, amiben két-, vagy akár több színű golyók vannak, egyforma vagy eltérő arányban, véges vagy végtelen sokan. Ebből az urnából golyókat húzunk, visszatevéssel vagy visszatevés nélkül. Példa: binomiális Pl. A binomiális t is elképzelhetjük urna modellként: Két színű golyóból van végtelen sok, arányuk p és q = 1 p. N-szer húzunk, a X valószínűségi változó a p valószínűségű színnel rendelkező golyók számával egyenlő.
Valószínűségszámítás és statisztika a fizikában március 12.
Valószínűségszámítás és statisztika a fizikában 2019. március 12. MOMENTUMOK, GENERÁTORFÜGGVÉNY, KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY általános definíciója Definíció: A X valószínűségi változó k-adik momentuma: X
RészletesebbenMatematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 9. Együttes eloszlás, kovarianca, nevezetes eloszlások Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés, definíciók Együttes eloszlás Függetlenség
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet
RészletesebbenElemi statisztika. >> =weiszd= << december 20. Szerintem nincs sok szükségünk erre... [visszajelzés esetén azt is belerakom] x x = n
Elemi statisztika >> =weiszd=
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
RészletesebbenVillamosmérnök A4 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások
Villamosmérnök A 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások Kétdimenziós normális összefoglalás Egy kétdimenziós X, Y valószínűségi változó kovariancia mátrixa: VarX CovX, Y CovX, Y VarY
RészletesebbenValószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév
Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek
RészletesebbenEgyü ttes e s vetü leti eloszlá s, sü rü se gfü ggve ny, eloszlá sfü ggve ny
Együ ttes e s vetü leti eloszlá s, sü rü se gfü ggve ny, eloszlá sfü ggve ny Szűk elméleti összefoglaló Együttes és vetületi eloszlásfüggvény: X = (X, X, X n ) valószínűségi vektorváltozónak hívjuk. X
RészletesebbenBackhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5
Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
Részletesebben3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy
Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig
RészletesebbenValó szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny
Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.
RészletesebbenVALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA
VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 013/14. tavaszi félév 1. Folytonos eloszlások Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó, illetve egy eloszlás eloszlásfüggvényének egy
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenVan-e kapcsolat a változók között? (példák: fizetés-távolság; felvételi pontszám - görgetett átlag)
, rangkorreláció Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
Részletesebbeni p i p 0 p 1 p 2... i p i
. vizsga, 06--9, Feladatok és megoldások. (a) Adja meg az diszkrét eloszlás várható értékének a definícióját! i 0... p i p 0 p p... i p i (b) Tegyük fel, hogy a rigófészkekben található tojások X száma
Részletesebben1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7
RészletesebbenBiometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás
SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.
RészletesebbenBiometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem
Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem Előadások-gyakorlatok 2018-ban (13 alkalom) IX.12, 19, 26, X. 3, 10, 17, 24, XI. 7, 14,
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
RészletesebbenSzámítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés
SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenBiomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:
RészletesebbenValószínűségszámítás
Valószínűségszámítás Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem 2010/2011 tanév, II. félév Pap Gyula (SZE) Valószínűségszámítás 2010/2011 tanév, II. félév 1 / 122 Ajánlott irodalom: RÉNYI ALFRÉD Valószínűségszámítás
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenSTATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás
ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenAdatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei
Adatok statisztikai értékelésének főbb lehetőségei 1. a. Egy- vagy kétváltozós eset b. Többváltozós eset 2. a. Becslési problémák, hipotézis vizsgálat b. Mintázatelemzés 3. Szint: a. Egyedi b. Populáció
RészletesebbenBevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika
Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra
RészletesebbenMi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenCHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.
CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés
RészletesebbenGyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel. a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli
Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Mutassuk meg, hogy tetszőleges A és B eseményekre PA B PA+PB. Mutassuk
RészletesebbenÁltalánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg
LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
RészletesebbenBiomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Részletesebbena megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli
Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenKalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
RészletesebbenSegítség az outputok értelmezéséhez
Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenGyakorló feladatok a 2. dolgozathoz
Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenMatematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 5. : Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenDr. Karácsony Zsolt. Miskolci Egyetem november
Valószínűségszámítás és Matematikai statisztika Dr. Karácsony Zsolt Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék 2013-2014 tanév 1. félév Miskolci Egyetem 2013. november 11-18 - 25. Dr. Karácsony
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 6.
Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre
RészletesebbenPéldák: tojások száma egy madárfészekben (egy adott madárfaj esetén), egy egyed testhőmérséklete (adott faj és ivar esetén), a következő buszon az uta
Valószínűségi változók (véletlen változók, random variables) Változó: Névvel ellátott érték. (Képzeljünk el egy fiókot. A fiók címkéje a változó neve, a fiók tartalma pedig a változó értéke.) Valószínűségi
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
Részletesebbenyf X (y)dy a af X (y)dy = a P (X a)
Valószínűségszámítás jegyzet 3. rész. Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség. Együttesés vetületi eloszlásfüggvény, függetlenség. Diszkrét és folytonos eset. Együttes- és vetületi eloszlás. Együttes- és vetületi
RészletesebbenBevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés
Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 6.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 6. MGS6 modul Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok alapfogalmak
Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenElemi statisztika fizikusoknak
1. oldal Elemi statisztika fizikusoknak Pollner Péter Biológiai Fizika Tanszék pollner@elte.hu Az adatok leírása, megismerése és összehasonlítása 2-1 Áttekintés 2-2 Gyakoriság eloszlások 2-3 Az adatok
RészletesebbenA leíró statisztikák
A leíró statisztikák A leíró statisztikák fogalma, haszna Gyakori igény az, hogy egy adathalmazt elemei egyenkénti felsorolása helyett néhány jellemző tulajdonságának megadásával jellemezzünk. Ezeket az
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenMatematikai statisztika szorgalmi feladatok
Matematikai statisztika szorgalmi feladatok 1. Feltételes várható érték és konvolúció 1. Legyen X és Y független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges második momentummal. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenTANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató
BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben